共点力平衡问题题型与与解题方法例析与训练

共点力平衡问题题型与与解题方法例析与训练1．平衡问题与正交分解法题型1．物体在粗糙水平面上的匀速运动例1．如图所示，物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.3, 物体质量为m =5.0kg ．现对物体施加一个跟水平方向成θ=37°斜向上的拉力F ，使物体沿水平面做匀速运动．求拉力F 的大小．解析：物体受四个力：mg 、 F N 、f 、F ．建立坐标系如图所示．将拉力F沿坐标轴分解．F x = F cosθ F y = F sinθ根据共点力平衡条件，得X 轴：∑ F x = 0 F cosθ — f = 0 ………⑴Y 轴：∑ F y = 0 F sinθ + F N — mg = 0………⑵公式 f = μ F N ………⑶将⑵⑶代入⑴ F cosθ = μ F N = μ (mg — F sinθ )解得 F = θμθμsin cos +mg =N 156.03.08.08.90.53.0=⨯+⨯⨯ 归纳解题程序：定物体，分析力→建坐标，分解力→找依据，列方程→解方程，得结果． 变式1：如果已知θ 、m 、F ，求摩擦因数μ。

变式2：如果将斜向上的拉力改为斜向下的推力F ，θ、m 、μ均不变，则推力需要多大，才能使物体沿水平面做匀速运动。

结果 F = =⨯-⨯⨯=-6.03.08.08.90.53.0sin cos θμθμmg 23.71N 讨论：当θ增大到某一个角度时，不论多大的推力F,都不能推动物体。

求这个临界角。

这里的无论多大，可以看成是无穷大。

则由上式变形为cosθ—μsinθ = Fmgμ 时 当 F→∞时， Fmg μ → ０ 则令cosθ—μsinθ = 0 所以有 co t θ= μ 或 tanθ = μ1 θ = tan —1 μ1 变式3．如果先用一个水平拉力F 0恰好使物体沿水平面做匀速运动．则这个F 0有多大？现在用同样大小的力F0推物体，使物体仍然保持匀速运动，则这个推力跟水平方向的夹角多大？解法一：物体受五个力：mg 、 F N 、f 、两个 F 0。

由共点力平平衡条件得当只有一个F 0沿水平方向作用时，物体匀速运动 F 0 = f = μ mg水平方向∑F x = 0 F 0+ F 0cosθ — f = 0竖直方向∑F y =0 F N — F 0sinθ —mg = 0解得 μ = cotθ θ = cot —1μ .解法二：物体保持原来的速度匀速运动，则施加推力F 0后，增加的动力部分跟增加的阻力部分相等，则有 F 0 cos θ = △f = μ F sin θ所以得 co t θ = μ题型2．物体在粗糙斜面的匀速运动例2．（见教材P 65例2）物体A 在水平力F 1=400N 的作用下，沿倾角θ =60°的斜面匀速下滑，如图⑴所示，物体A 受的重力G =400N.．求斜面对物体A 的支持力和A 与斜面间的动摩擦因数μ．解析：物体匀速下滑，摩擦力f 沿斜面向上，物体受力： mg ，F N ，f ．F ．如图所示．建立坐标系，分解mg 和F ．由共点力平衡条件得x 轴 mg sin60° —f —F cos60° = 0………⑴y 轴 F N —mg cos60°—F sin60° = 0 ………⑵公式 f = μ F N ……… ⑶由⑴ f = mg sin60°— F cos60° = 400×3/2 —400×0.5 = 146N由⑵ F N =mg cos60° + F sin60° = 546N由⑶ μ = f / F N = 146 /546 = 0.27．变式1．如果m 、θ= 60°、μ= 0..27保持不变，要使物体沿斜面向上匀速运动，需要多大的水平推力？解析：物体沿斜面向上做匀速运动，只将动摩擦力f 改为沿斜面向下。

物体匀速下滑，摩擦力f 沿斜面向上，物体受力： mg ，F N ，f ．F ．如图所示．建立坐标系，分解mg 和F ．由共点力平衡条件得x 轴 F cos60°—f —mg sin60°= 0………⑴y 轴 F N —mg cos60°—F sin60° = 0 ………⑵公式 f = μ F N ……… ⑶由以上三式得F = =-+mg o o oo 60sin 60cos 60cos 60sin μμ1481.5N 变式2．如果物体A 的质量m ，A 与斜面间的动摩擦因数μ，斜面倾角θ=60°是已知，假设物体的滑动摩擦力等于它的最大静摩擦力，则水平推力F 多大时，物体能保持不动．解析：⑴用滑动摩擦力等于最大静摩擦力，当物体恰好不下滑时，最大静摩擦力f max = μ F N ,方向沿斜面向上，物体受力： mg ，F N ，f max ．F ．如图⑴所示．建立坐标系，分解mg 和F ．由共点力平衡条件得x 轴 mg sinθ —f max —F cosθ = ………0⑴y 轴 F N —mg cosθ—F sinθ = 0……… ⑵公式 f = μ F N ……… ⑶由⑴⑵⑶解得 F = mg θμθθμθsin cos cos sin +-⑵当物体恰好不上滑时，f max 沿斜面向上，物体受力如图⑵所示，在两坐轴上的方程如下x 轴 F cosθ—f max —mg sin θ= 0………⑷y 轴 F N —mg cosθ—F sinθ = 0 ………⑸公式 f = μ F N ……… ⑹由以上三式解得 F = mg θμθθμθsin cos cos sin -+ 要使物体能在斜面上保持静止，则水平推力F 的取值范围是mg θμθθμθsin cos cos sin +-≤ F ≤mg θμθθμθsin cos cos sin -+ 变式练习：如果推力F 沿斜面向上，要使物体在斜面上保持静止，则这个推力的取值范围如何？题型3．物体沿竖直墙壁运动例3．物体与竖直墙壁之间的动摩擦因数为μ，用一个斜向上的推力F 可以使物体沿竖直墙壁做匀速运动，物体质量为m ．求F 的大小．解析：题中没有指明运动方向，所以有两种可能情况。

⑴物体沿墙壁向上做匀速运动，受力情况及力的分解如图⑴所示。

由共点力平衡条件得x 轴 F 1sinθ = F N ………1 ⑴y 轴 F 1cosθ = mg + f 1……… ⑵公式 f 1 = μ F N 1 ………⑶由⑴⑵⑶得 F 1 = θμθsin cos -mg ⑵物体沿墙壁向下做匀速运动时，受力情况及力的分解如图⑵所示。

由共点力平衡条件有x 轴 F 2sinθ = F N 2 ………⑴y 轴 F 2cosθ+ f 2 = m ………………g ⑵公式 f 2 = μ F N 2 ⑶由⑴⑵⑶得 F 2 = θμθsin cos +mg 思考：要让物体保持静止，则推力F 的取值范围如何？变式1．如图所示，物体重10N ，物体与竖直墙的动摩擦因数为0.5，用一个与水平成45°角的力F 作用在物体上，要使物体A 静止于墙上，则F 的取值是____________。

变式2．重为30N 的物体与竖直墙壁的动摩擦因数为0.4，若用斜向上与水平面成θ=53°的推力F =50N 托住物体。

物体处于静止，如图所示。

这时物体受到的摩擦力是多少？题型4．质量为5kg的木块放在木板上，当木板与水平方向的夹角为37°时,木块恰能沿木板匀速下滑．当木板水平放置时，要使木块能沿木板匀速滑动，给木块施加的水平拉力应多大？（sin37°=0.6, cos37°=0.8,g=10N/kg）.解析：木块沿木板匀速下滑时，有mg sinθ = f= μ mg cosθ得μ = tan θ = 0.75当木板在水平状态时，要木块沿木板匀速运动，所施加的水平拉力F = f= μ mg = 0.75×5×10 N = 37.5N变式题．质量为3kg的物体，放在倾角为30°的斜面上恰能匀速下滑，若要使该物体沿斜面匀速上滑，需对物体施加多大的沿斜面向上的力？（取g = 10N/kg）解析：当物体沿斜面自由地匀速下滑时，有mg sin30° = μ mgcos30°μ = tan30° = 3/3现在要使同一物体沿斜面匀速上滑，所施加的沿斜面向上的拉力F = mg sin30° + μ mg cos30° = 2 mg sin30° = mg =30N题型5．如图所示，物体可以自由地沿斜面匀速下滑，当沿竖直方向施加一个压力F后，物体能否保持匀速运动解析：物体自由地匀速下滑时，有mg sinθ —μ mg cosθ = 0………⑴或变为sinθ—μ c osθ = 0………⑵当对物体施加一个竖直向下的力F时，将F和mg等效为一个竖直向下的作用力G′ = F + mg………⑶则物体沿斜面方向受的合力为∑F = G′sinθ—μG′cosθ = ( F + mg )sinθ—μ (F+ mg)cosθ………⑷将⑴式代入⑶得∑ F = F(sinθ —μ c osθ ) = 0即物体仍然做匀速运动。

变式题：如图所示，一个空木箱恰好能沿斜面匀速下滑．现将质量为m的球放到箱子中，这时木箱能否保持匀速运动，这时球与木箱之间的相互作用力有多大？解析：设木箱的质量为M，木箱匀速下滑时，有：Ｍg sinθ—μＭg cosθ= 0在木箱中放一质量为m的小球后，整体受合力为∑F =( M +m) g sinθ—μ( M+m) g cosθ = mg ( sinθ—μ cosθ ) = 0木箱仍然能保持匀速运动。

小球与木箱前壁之间存在弹力，对小球有F N = mg sinθ题型6．如图所示，质量为m＝5kg的物体，置于倾角为 ＝30°的粗糙斜面块上，用一平行于斜面的大小为30N的力推物体，使其沿斜面向上匀速运动．求地面对斜面块M的静摩擦力是多少？[8 ]解答把M、m作为一个整体进行受力分析，如图所示，根据水平方向的平衡条件可得f=F cosθ,其中F=30N，θ=30°，代入可得f=15 3 N。

所以地面对斜面M的静摩擦力为15 3 N。

例．质量为0.8kg的物块静止在倾角为30°的斜面上，若用平行于斜面沿水平方向大小等于3N的力推物块，物块仍保持静止，如图（原图所示，则物块所受的摩擦力大小等于( )3NA．5N B．4N C．3N D．3解答：在斜面平面内物体的受力分析如图1-33所示，根据平衡条件得f=F＝3N，m＝0.8kg，θ=30°，代入得f=5N。