与角平分线有关的常用结论、辅助线总结与练习(有答案)

【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道，每道40分)
1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
答案：∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.
答案：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.
答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一）∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线。

5角平分线知识互联网板块一角平分线的性质与判定知识导航角平分线的性质与判定：⑴定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．⑵角平分线的性质定理：如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑶角平分线的判定定理12如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线；在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．夯实基础【例1】⑴证明：三角形三个角的角平分线交于一点．⑵已知：如图，ABC △的两条外角平分线交于点P ．求证：PB 平分ABC ∠．BAP【解析】⑴如图，在ABC △中，设BAC ABC ∠∠、的平分线的交点为I ，过I 点作ID AB ⊥于D ，IE AC ⊥于E ，IF BC ⊥于F ，连接IC ．∵AI BI 、都是角平分线，∴ID IE =，ID IF =，∴IE IF =，∴IC 是ACB ∠的平分线，∴三角形三个角的平分线交于一点．这一点称之为三角形的内心，常用大写字母I 来表示，三角形的内心到三角形三条边的距离相等，它是三角形内切圆的圆心．⑵如图，过P 作PM BA ⊥于M ，PN AC ⊥于N ，PQ BC⊥于Q ．由角平分线的性质定理，易证PM PN =，PN PQ =，故PM PQ =，因此根据角平分线的判定定理，PB 平分ABC ∠，得证．这一点称之为三角形的旁心，三角形的旁心到三角形三条边的距离相等，它是三角形旁切圆的圆心．旁心有3个．【例2】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：CF 平分AFB ∠．M D NEC BFAGM H D NEC BF AI FE DCB ANMC B AQ P3【解析】过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB △≌△，利用AAS 进而再证BCH NCG △≌△，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．【点评】此图在前面的学习中做过介绍，老师可以先带着学生简单复习一下相关结论。

专题4 与角平分线有关的辅助线作法知识解读角平分线所在直线是所在角的对称轴，因此角平分线的性质都是以轴对称为基础的，其辅助线作法也应多从轴对称的角度来考虑，其常用的辅助线构造方法有：（1）过角平分线上一点作到角的两边的垂线段，如图1－4－1①.（2）以顶点为圆心，在角两边截取两条相等的线段，构造全等三角形，如图1－4－1②.（3）利用三线合一定理构造等腰三角形，如图1－4－1③.（4）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，如图1－4－1④.培优学案典例示范一、过角平分线上一点作两边的垂线段.例1如图1－4－2，AB//CD，E为AD上一点，且BE，CE分别平分∠ABC，∠BC D.求证：AE＝E D.【提示】由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点，因此我们可以过点E，分别作AB，BC，CD的垂线段，如图1－4－3.【解答】【技巧点评】过一点作角两边的垂线段，构造的是一对全等的直角三角形，可以得到一些相等的线段和相等的角，但利用角平分线的性质，可以省去证明全等这一环节，直接证得线段相等。

同样由“距离”相等，也能直接得到角平分线.让证明来得更简捷。

跟踪训练1.如图1－4－4，在△ABC中，DC⊥AC，∠1＝∠2，DA＝D B.求证：AB＝2A C.二、角平分线＋高＝全等三角形例2如图1－4－5，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CELBE.求证：CE＝12B D.【提示】由于BE平分∠ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形。

【解答】【技巧点评】当一根线段同时满足“是角平分线”、“是中线”和“是高”中两个时，可考虑将图形补成一个等腰三角形解决问题。

跟踪训练2.如图1－4－6，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD＝∠DAC＋∠C.三、借助角平分线的轴对称性构造全等三角形例3如图1－4－7，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B.求证：AB＝AC＋C D.【提示】可考感以AD 为对称轴构造全等三角形，可在AB 边上截取AE ＝AC ，也可以延长AC 到点E ，使得AE ＝A B. 【解答】【技巧点评】角平分线所在直线是角的对称轴，可以对称着构造全等三角形。

BB角平分线类问题常用思路1、 轴对称性：内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。

思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图，2、 角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形3、 定义：带来角相等。

4、 补充性质：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则有针对性例题：例题1：如图，AB=2AC ,∠BAD=∠DAC,DA=DB求证：DC ⊥AC例题2：如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH例题3：如图1，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800，求证：AD=DC ．：BA CD E思路一：利用“角平分线的对称性”来构造因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形．证法1：如图1，在BC 上取BE=AB ，连结DE ，∵BD 平分 ∠ABC ，∴∠ABD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠A=∠DBE ，AD=DE ，又∠A+∠C=1800，∠DEB+∠DEC=1800，∴∠C=∠DEC ，DE=DC ，则AD=DC ． 证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、BD 于E 、F ，连结DE ，由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△EBF ，则AB=BE ，BD 平分∠ABC ，BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ），∴AD=ED ，∠BAD=∠DEB ，又∠BAD+∠C=1800， ∠BED+∠CED=1800，∴∠C=∠DEC ，则DE=DC ，∴AD=DC ． 说明：证法1，2，都可以看作将△ABD 沿角平分线BD 折向BC 而构成 全等三角形的．证法3：如图3，延长BA 至E ，使BE=BC ，连结DE ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△CBD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠C=∠E ，CD=DE ，又∠BAD+∠C=1800，∠DAB+∠DAE=1800， ∴∠E=∠DAE ，DE=DA ，则AD=DC ． 说明：证法3是△CBD 沿角平分线BD 折向BA 而构成全等三角形的． 思路二：利用“角平分线的性质”来构造 由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形．证法4：如图4，从D 分别作BC 、BA 的垂线，垂足为E 、F ，∵BD 平分 ∠ABC ，∴DE=DF，又∠BAD+∠C=1800，∠BAD+∠FAD=1800， ∴∠FAD=∠C ，∴△FAD ≌△ECD （AAS ），则AD=DC ．例题4 已知：如图5，在△ABC 中，∠C =90°,AC =BC ,AD 平分∠CAB .求证：AC +CD =AB 证明：在AB 上截取AE=AC ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD = ∠DAB ，AD =AD ， ∴△CAD ≌△EAD ，∴∠DEA =90°，∵∠C =90°，AC =BC ，∴∠B =45°， ∴∠B =∠BDE =45°∴DE =BE ，∴AC +CD =AE +DE =AE +BE =AB ，即AC +CD =AB .例题5．已知：如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合，当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 中点.解：当∠A =30°时，点D 恰为AB 的中点.∵∠A =30°，∠C =90°(已知)，∴∠CBA =60°(直角三角形两锐角互余).又△BEC ≌△BED (已知)，∴∠CBE =∠DBE =30°，且∠EDB =∠C =90°(全等三角形对应角相等)，∴∠DBE =∠A (等量代换).∵BE =AE (等角对等边)，又∠EDB =90°， 即ED ⊥AB ，∴D 是AB 的中点(三线合一).B ACDEF 图2B ACD E图3B ACD F E图4角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

初中几何辅助线“口诀”大全及练习一初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为△和□。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

二、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

专题03 与角平分线有关的辅助线的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线例1．如图，已知30AOB Ð=°，P 是AOB Ð的平分线OC 上的任意一点，PD OA ∥交OB 于点D ，PE OA ^于点E ，如果8cm OD =，求PE 的长．【答案】4cm【详解】如图，过点P 作PF ⊥OB 于点F ，∵OC 平分∠AOB ，PE ⊥OA ，∴PF ＝PE ，∠EOP ＝∠DOP∵PD P OA ，∠AOB ＝30°，∴∠PDF ＝∠AOB ＝30°，∴∠DPO ＝∠EOP ＝∠DOP ，∴ PD ＝OD ＝8cm在Rt △PDF 中，∵∠DFP=90°,∠FDP=30°∴PF =12PD =4cm ，∴ PF ＝PE ＝4cm ．【变式训练1】如图，ABC D 中，90ACB Ð=°，点,D E 分别在边BC ，AC 上，DE DB =，DEC B Ð=Ð．求证： AD 平分BAC Ð．【答案】见解析【详解】证明：过点D 作DF AB ^于点F ． 90DFB \Ð=°90ACB Ð=°Q ,DFB ACB DC AC \Ð=Ð^．在DCE D 和DFB D 中，,,,DCE DFB DEC B DE DB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()DCE DFB AAS \D D ≌．DC DF \=．\点D 在BAC Ð的平分线上．\AD 平分BAC Ð．．【变式训练2】图，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ．AE ＝AB ，AF ＝AC ，BF 与CE 相交于点M ．(1)EC ＝BF ；(2)EC ⊥BF ；(3)连接AM ，求证：AM 平分∠EMF ．【答案】(1)见解析．(2)见解析．(3)见解析．【解析】(1)证明：∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE ＝∠CAF ＝90°，∴∠BAE +∠BAC ＝∠CAF +∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAF ，在△ABF 和△AEC 中，∵AE AB EAC BAF AF AC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABF ≌△AEC （SAS ），∴EC ＝BF ；(2)根据（1），∵△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC ＝∠ABF ，∵AE ⊥AB ，∴∠BAE ＝90°，∴∠AEC +∠ADE ＝90°，∵∠ADE ＝∠BDM （对顶角相等），∴∠ABF +∠BDM ＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，所以EC⊥BF．(3)作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图：∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．【变式训练3】已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵∠CBE +∠ADC ＝180°，∠CDF +∠ADC ＝180°，∴∠CBE ＝∠CDF ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF °Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=î，∴△BCE ≌△DCF （AAS ）∴BC ＝DC ；（2）解：AD ﹣AB ＝2BE ，理由如下：如图2，过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，AE ＝AF ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠CBE ＝180°，∴∠CDF ＝∠CBE ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF °Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=î，∴△BCE ≌△DCF （AAS ），∴DF ＝BE ，∴AD ＝AF +DF ＝AE +DF ＝AB +BE +DF ＝AB +2BE ，∴AD ﹣AB ＝2BE ；（3）解：如图3，在BD 上截取BH ＝BG ，连接OH ，∵BH ＝BG ，∠OBH ＝∠OBG ，OB ＝OB在△OBH 和△OBG 中，BH BG OBH OBG OB OB =ìïÐ=Ðíï=î，∴△OBH ≌△OBG （SAS ）∴∠OHB ＝∠OGB ，∵AO 是∠MAN 的平分线，BO 是∠ABD 的平分线，∴点O 到AD ，AB ，BD 的距离相等，∴∠ODH ＝∠ODF ，∵∠OHB ＝∠ODH +∠DOH ，∠OGB ＝∠ODF +∠DAB ，∴∠DOH ＝∠DAB ＝60°，∴∠GOH ＝120°，∴∠BOG ＝∠BOH ＝60°，∴∠DOF ＝∠BOG ＝60°，∴∠DOH ＝∠DOF ，在△ODH 和△ODF 中，DOH DOF OD OD ODH ODF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ODH ≌△ODF （ASA ），∴DH ＝DF ，∴DB ＝DH +BH ＝DF +BG ＝2+1＝3．类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形例1.如图，△ABC 的面积为9cm 2，BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP 于P ，连接PC ，则△PBC 的面积为______cm 2．【答案】4.5【详解】解：延长AP 交BC 于E ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP=∠EBP，∵AP ⊥BP ，∴∠APB=∠EPB=90°，在△ABP 和△EBP 中，ABP EBP PB PB APB EPB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ABP ≌△EBP （ASA ），∴AP=PE ，∴,APB EPB ACP ECP S S S S ==V V V V ∴119 4.522BPC ABC S S ==´=V V cm 2，故答案为4.5．【变式训练1】如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CE ⊥BD ，交BD 的延长线于点E ，若BD ＝4，则CE ＝________．【答案】2【详解】解：如图，延长BA 、CE 相交于点F ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，在△BCE 和△BFE 中，90ABD CBD BE BE BEF BEC ìïíïÐÐÐаî＝＝＝＝，∴△BCE ≌△BFE （ASA ），∴CE=EF，∵∠BAC=90°，CE ⊥BD ，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF ，在△ABD 和△ACF 中，90ABD ACF AB AC BAC CAF ìïíïÐÐÐаî＝＝＝＝，∴△ABD ≌△ACF （ASA ），∴BD=CF ，∵CF=CE+EF=2CE ，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案为：2．【变式训练2】如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =AC ，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，AE =12BD ，且DF ⊥AB 于F ，求证：CD =DF 【答案】见解析【解析】证明：延长AE 、BC 交于点F. 如图所示：∵AE ⊥BE ，∴∠BEA=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DBC=∠FAC ，在△ACF 和△BCD 中,90ACF BCD AC BC FAC DBC Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴△ACF ≌△BCD(ASA)，∴AF=BD.又AE=12BD ，∴AE=12AF ，即点E 是AF 的中点，∴AB=BF ，∴BD 是∠ABC 的角平分线，∵∠C=90°，DF ⊥AB 于F ，∴CD=DF.类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短例1.已知：如图，//AC BD ，AE ，BE 分别平分CAB Ð和ABD Ð，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD三者之间的数量关系，并证明．【答案】AB=AC+BD，证明见详解．【详解】解：延长AE，交BD的延长线于点F，∵//AC BD，∴∠F=∠CAF，∵AE平分CABÐ，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∵BE平分ABFÐ，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．【变式训练1】如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋12∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析；(2)43AE+CD=AC，证明见解析【解析】(1)证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠BCA）=12（180°-∠ABC）=90°-12∠ABC，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-12∠ABC），即∠AOC =90°+12∠ABC ；(2)解：43AE +CD =AC ，证明：如图2，∵∠AOC =90°+12∠ABC =135°，∴∠EOA =45°，在AC 上分别截取AM 、CN ，使AM =AE ，CN =CD ，连接OM ，ON ，则在△AEO 和△AMO 中，AE AM EAO MAO AO AO =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEO ≌△AMO ，同理△DCO ≌△NCO ，∴∠EOA =∠MOA ，∠CON =∠COD ，OD =ON ，∴∠EOA =∠MOA =∠CON =∠COD =45°，∴∠MON =∠MOA =45°，过M 作MK ⊥AD 于K ，ML ⊥ON 于L ，∴MK =ML ，S △AOM =12AO ×MK ，S △MON =12ON ×ML ，∴AOM MONS AO ON S D D =，∵AOM MON S AM S MN D D =，∴AO AM ON MN=，∵AO =3OD ，∴31AO OD =，∴31AO AM ON MN ==，∴AN =43AM =43AE ，∵AN +NC =AC ，∴43AE +CD =AC ．【变式训练2】如图，∠B =∠C =90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ．求证：AE 是∠DAB 的平分线．（提示：过点E 作EF ⊥AD ，垂足为F ．）【答案】见解析【详解】证明：过点E作EF⊥DA于点F，∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴CE=EF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，又∵∠B=90°，EF⊥AD，∴AE平分∠DAB．【变式训练3】如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．(1)求证：∠ABD＝∠ACD；(2)求证：AD平分∠CDE；(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析；(3)∠BAC =60°，理由见解析【解析】(1)证明：∵∠BDC =∠BAC ，∠DFB =∠AFC ，又∵∠ABD +∠BDC +∠DFB =∠BAC +∠ACD +∠AFC =180°，∴∠ABD =∠ACD ；(2)证明：过点A 作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ，如下图所示：则∠AMC =∠ANB =90°．∵OB =OC ，OA ⊥BC ，∴AB=AC ，由(1)可知：∠ABD =∠ACD ，∴△ACM ≌△ABN (AAS )，∴AM =AN ．∴DA 平分∠CDE ．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；(3)解：∠BAC 的度数为60°，理由如下：在CD 上截取CP=BD ，连接AP ，如下图所示：∵CD=AD+BD ，∴AD=PD ．∵AB=AC ，∠ABD =∠ACD ，BD=CP ，∴△ABD ≌△ACP (SAS ) ，∴AD=AP ，∠BAD =∠CAP ，∴AD=AP=PD ，即△ADP 是等边三角形，∴∠DAP =60°．∴∠BAC =∠BAP +∠CAP =∠BAP +∠BAD =60°．【变式训练4】已知：如图1，在ABC V 中，AD 是BAC Ð的平分线．E 是线段AD 上一点（点E 不与点A ，点D 重合），满足2Ð=ÐABE ACE ．（1）如图2，若18Ð=°ACE ，且EA EC =，则DEC Ð=________°，AEB Ð=_______°．（2）求证：AB BE AC +=．（3）如图3，若BD BE =，请直接写出ABE Ð和BAC Ð的数量关系．【答案】（1）36，126；（2）见解析；（3）3180Ð+Ð=°ABE BAC 【详解】（1）∵18Ð=°ACE ，且EA EC =，∴∠EAC =∠ACE =18°，∴∠DEC =∠EAC +∠ACE =36°，又∵AD 是BAC Ð的平分线，∴∠BAD =∠CAD =18°，∵2Ð=ÐABE ACE ，∴∠ABE =36°，∴1801836126Ð=°-°-°=°AEB ；故答案为：36，126（2）在AC 上截取AF AB =，连接FE ，又∵AE =AE ，EAF EAB Ð=Ð，∴()V V ≌AEF AEB SAS ，∴EF EB =，AFE ABEÐ=Ð∵∠AFE =∠ACE +∠FEC ，∠ABE =2∠ACE ，∴FEC FCE Ð=Ð，∴EF FC=∴=+=+AC AF FC AB BE ；（3）∵BD BE =，∴BED BDE Ð=Ð，∵BED ABE BAE Ð=Ð+Ð，Ð=Ð+ÐBDE DAC ACD ，∠CAD =∠BAE ，∴∠ACD =∠ABE ，∵∠ABE =2∠ACE ，∴∠ACD =2∠ACE ，∴CE 平分∠ACB ，∴点E 到CA 、CB 的距离相等，又∵AD 是BAC Ð的平分线，∴点E 到AC 、AB 的距离相等，∴点E 到BA 、BC 的距离相等，∴BE 是ABD Ð的平分线，∴∠ABE =∠CBE ，∴Ð=Ð=ÐABE ACD DBE ，又∵180ACB ABC BAC Ð+Ð+Ð=°，∴2180Ð+Ð+Ð=°ABE ABE BAC ，即3180Ð+Ð=°ABE BAC ．课后训练1．如图①，CDE Ð是四边形ABCD 的一个外角，AD //BC ，BC BD =，点F 在CD 的延长线上，FAB FBA Ð=Ð，FG AE ^，垂足为G ．(1)求证：①DC 平分BDE Ð；②BC DG AG +=．(2)如图②，若4AB =，3BC =，1DG =．求AFD Ð的度数．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)90°【解析】(1)解：①∵AD ∥BC ，∴∠C =∠CDE ，∵BC =BD ，∴∠C =∠CDB ，∴∠CDB =∠CDE ，∴DC 平分BDE Ð；②如图，过点F 作FH ⊥BD ，交BD 延长线于H ，∵∠FDG =∠CDE ，∠FDH =∠CDB ，∠EDC =∠CDB ，∴∠FDG =∠FDH ，∵FG ⊥AE ，FH ⊥BD ，∴FH =FG ，∠H =∠FGD =∠AGF =90°,∵FD =FD ，∴Rt △FHD ≌Rt △FGD （HL ），∴DH =DG ，∵FAB FBA Ð=Ð，∴FB =FA ，∴Rt △FHB ≌Rt △FGA （HL ）∴BH =AG ，∵BD =BC ，∴AG =BH =BD +DH =BC +DG ，即AG =BC +DG ；(2)解：∵AB =4，BC =3，DG =1，∴BD =BC =3，AG =BC +DG =3+1=4，∴AD =AG +DG =4+1=5，∵AB 2+BD 2=42+32=52=AD 2，∴∠ABD =90°，过点F 作FM ⊥AB 于M ，交AD 于N ，如图，则∠AMF =∠BMF =90°=∠ABD ，∴FM ∥BD ，∴∠BFM =∠FBD ，∵FAB FBA Ð=Ð，∴FB =FA ，∴AM =12AB =2，∠AFM =∠BFM ，∴∠AFM =∠FBD ，由（1）②知，Rt △FHB ≌Rt △FGA ，∴∠FAG =∠FBD ，∴∠FAG =∠AFN ，∵FM ∥BD ，∴∠MFD =∠BDC ，∵∠BDC =∠CDE =∠FDG ，∴∠MFD =∠FDG ，∴∠AFM +∠FAG +∠DFN +∠FDG =180°，∴2∠AFM +2∠DFN =180°，∴2∠AFD =180°，∴∠AFD =90°．2．已知：如图1，四边形ABCD 中，135ABC Ð=°，连接AC 、BD ，交于点E ，BD BC AD AC ^=，．(1)求证：90DAC Ð=°；(2)如图2，过点B 作BF AB ^，交DC 于点F ，交AC 于点G ，若2DBF CBF S S =V V ，求证：AG CG =；(3)如图3，在（2）的条件下，若3AB =，求线段GF 的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)52【解析】(1)解：如图，过点A 作AP ⊥BD 于点P ，AF ⊥BC ，交CB 的延长线于点F ，∵AP ⊥BD ，AF ⊥BC ，BD ⊥BC∴四边形APBF 是矩形∵∠ABC ＝135°，∠DBC ＝90°，∴∠ABP ＝45°，且∠APB ＝90°，∴AP ＝PB ，∴四边形APBF 是正方形，∴AP ＝AF ，且AD ＝AC ，∴ΔΔRt APD Rt AFC HL ≌（），∴∠DAP ＝∠FAC ，∵∠FAC +∠PAC ＝90°，∴∠DAP +∠PAC ＝90°，∴∠DAC ＝90°(2)如图，过点F 作FM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BD 于点N ，过点C 作CP ⊥BF 于点P ，在BD 上截取DH ＝BC ，连接AH ，∵∠ABC ＝135°，∠ABF ＝90°，∴∠CBF ＝45°，且∠DBC ＝90°，∴∠DBF ＝∠CBF ，且FN ⊥BD ，FM ⊥BC ，∴FN ＝FM ，∵S △DBF ＝2S △CBF ，∴1122BD FN BC FM ´´=´´×2，∴BD ＝2BC ，∴BH ＝BD ﹣DH ＝BD ﹣BC ＝BC ，∵∠AED ＝∠BEC ，∠DAC ＝∠DBC ＝90°，∴∠ADH ＝∠ACB ，且AD ＝AC ，DH ＝BC ，∴△ADH ≌△ACB （SAS ），∴∠AHD ＝∠ABC ＝135°，AH ＝AB ，∴∠AHB ＝∠ABD ＝45°，∴∠HAB ＝90°，∵BC ＝BH ，∠HAB ＝∠BPC ，∠AHB ＝∠FBC ＝45°，∴△AHB ≌△PBC （AAS ），∴AB ＝PC ，∵AB ＝PC ，且∠ABP ＝∠BPC ，∠AGB ＝∠CGP ，∴△AGB ≌△CGP （AAS ），∴AG ＝GC(3)解：如图，∵AB ＝3＝PC ，∠PBC ＝45°，PC ⊥BF ，∴BP ＝PC=3，∵△AGB ≌△CGP ，∴BG ＝PG ＝32，在Rt PGC D 中，CG ，∴AG ＝GC ∴AC ＝AD ＝2AG ＝在Rt ADC D 中，CD ∵S △DBF ＝2S △CBF ，∴DF ＝2FC∵DF +FC ＝DC ，∴F C在Rt PFC D 中，PF 1，∴FG ＝PG +PF ＝1+32 ＝52．3．如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，交CD 于点G ．(1)求证：CG =CE ；(2)如图2，连接FC ，AC ．若BF 平分∠DBE ，求证：CF 平分∠ACE ；(3)如图3，若G 为DC 中点，AB =2，求EF【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCG ＝∠DCE ＝90°，∵BF ⊥DE ，∴∠DFG ＝∠BCG ＝90°，∵∠DGF ＝∠BGC ，∴∠GBC ＝∠EDC ，在△BCG 和△DCE 中，BCG DCE BC DC GBC EDC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△BCG ≌△DCE （ASA ），∴CG ＝CE ；(2)证明：∵BF 平分∠DBE ，BF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，∴CF 是Rt △DCE 的中线，∴CF ＝EF ，∴∠E ＝∠FCE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DBE ＝∠ACB ＝45°，∵BF 平分∠DBE ，∴∠FBE 12=∠DBE ＝22.5°，∴∠E ＝90°﹣∠FBE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠FCE ＝67.5°，∴∠ACF ＝180°﹣∠FCE ﹣∠ACB ＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠ACF ＝∠FEC ，∴CF 平分∠ACE ；(3)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCG ＝90°，AB ＝BC ＝CD＝2，BD =＝∵G 为DC 中点，∴CG ＝GD 12=CD＝1，在Rt△BCG 中，由勾股定理得：BG ==设GF ＝x ，在Rt △BDF 和Rt △DFG 中，由勾股定理得：BD 2﹣BF 2＝DF 2，DG 2﹣GF 2＝DF 2，∴2222-=1-x x （），解得：x =∴DF 2＝12﹣22025=，∴DF =，由（1）知：△BCG ≌△DCE ，∴BG ＝DE =，∴EF ＝DE ﹣DF ==．4．已知：在四边形ABCD 中，180,B CAD DE AC Ð+°Ð=^于E ，且2AD AE =．(1)如图1，求B Ð的度数；(2)如图2，BF 平分ABC Ð交AC 于F ，点G 在BC 上，连接FG ，且AF FG =．求证：AB BG =；(3)如图3，在（2）的条件下，AF AD =，过点F 作FH CD ^，且2CH CG =，若21,52CD AB ==，求线段BF 的长．【答案】(1)120°；(2)见解析；(3)3．【解析】(1)解：如图1，取AD 的中点F ，连接EF ，∵DE ⊥AC ，∴∠AED =90°，∴AD =2AF =2EF ，∵AD =2AE ，∴AE =EF =AF ，∴∠CAD =60°，∵∠B +∠CAD =180°，∴∠B =120°；(2)证明：如图2，作FM ⊥BC 于M ，FN ⊥AB 于点N ，∴∠BMF =∠BNF =90°，∠GMF =∠ANF =90°，∵BF 平分∠ABC ，∴FM =FN ，在Rt △BFM 和Rt △BFN 中，BF BF FM FN =ìí=î，∴Rt △BFM ≌Rt △BFN （HL ），∴BM =BN ，在Rt △FMG 和Rt △FNA 中，FG FA FM FN=ìí=î，∴Rt △FMG ≌Rt △FNA （HL ），∴MG =NA ，∴BN +NA =BM +MG ，∴AB =BG ．(3)如图3，连接AG ，DF ，DG ，作FM ⊥BC 于M ，延长GF 交AD 于N ，∵AF =AD ，∠DAE =60°，∴△ADF 是等边三角形，∴∠AFD =60°，AF =DF ，∵GF =AF ，∠DFC =180°-∠AFD =120°，∴AF =GF =DF ，∴∠FGD =∠FDG ，∠FAG =∠FGA ，∴∠AGD =12∠AFN +12∠DFN =12∠AFD =12×60°＝30°，∵∠ADC =120°，AD =DG ，∴∠DGA =∠DAG =1802ADC °-Ð=30°，∴∠DGC =180°-∠DGA -∠AGD =180°-30°-30°=120°，∴∠DGC =∠DFC ，∵∠1=∠2，∴180°-∠DGC -∠1=180°-∠DFC -∠2，∴∠GCF =∠FDG ，∠DCF =∠FGD ，∴∠GCF =∠DCF ，∵FH ⊥CD ，∴FM =FH ，∵∠FMG =∠FHD =90°，∴Rt △FMG ≌Rt △FHD （HL ），∴DH =MG ，同理可得：△MCF ≌△HCF （HL ），∴CM =CH =2CG ，∴GM =CG =DH ，∴3CG =CD =212，∴GM =CG =72，∴BM =BG -GM =AB -GM =5-72=32，在Rt △BFM 中，∠BFM =90°-∠FBM =90°-60°=30°，∴BF =2BM =3．5．如图1，ABC D 的ABC Ð和ACB Ð的平分线BE ，CF 相交于点G ，60BAC Ð=°．（1）求BGC Ð的度数；（2）如图2，连接AG ，求证：AG 平分BAC Ð；（3）如图3，在⑵的条件下，在AC 上取点H ，使得AGH BGC Ð=Ð，且8AH =，10BC =，求ABC D 的周长．【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）28【详解】（1）证明：如图1，BE CF Q 、分别平分ABC ACB ÐÐ、，111 , 2 22ABC ACB \Ð=ÐÐ=Ð，()()11112 180 90 222ABC ACB A A \Ð+Ð=Ð+Ð=°-Ð=°-Ð，60BAC Ð=°Q ，() 1 180 ********BGC A \Ð=°-Ð+Ð=°+Ð=°；(2)如图2，过点G 分别作GM ⊥AB 于M ，GN ⊥BC 于N ， GQ ⊥AC 于Q ，BE Q 平分ABC Ð， GM ⊥AB 于M ，GN ⊥BC 于N ，GM GN \=，同理GN GQ =，GM GQ \=，∵GM ⊥AB 于M ， GQ ⊥AC 于Q ， AG \平分BAC Ð ；（3）解：∵GM ⊥AB 于M ， GQ ⊥AC 于Q ，GM =GQ ，∴AG 平分BAC Ð，∵又60BAC Ð=°， 30BAG CAG \Ð=Ð=°，在BC 上取点K ，使 BK BA =，BE Q 平分ABC Ð，ABG CBG \Ð=Ð，又BG BG =Q ，ABG KBG \D D ≌，BKG BAG \Ð=Ð，30BKG BAG \Ð=Ð= ，=18030150GKC \Ð-= ，120AGH BGC Ð=Ð=°Q ， 30CAG Ð=°，120 30 150GHC \Ð=°+°=°，GKC GHC \Ð=Ð，又CG CG =Q ，KCG HCG Ð=Ð，KCG HCG \D D ≌，CK CH \=，△ABC 的周长为：()()2210828AB BC CA AB BK KC AH CH BC AH ++=++++=+=´+=， ABC \D 的周长是28．6．如图所示，AD 是ABC V 的高，点H 为AC 的垂直平分线与BC 的交点，HC AB =．（1）如图1，求证：2B C Ð=Ð；（2）如图2，若2DAF B C Ð=Ð-Ð，求证：AC BF BA =+；（3）在（2）的条件下，若12AC =，CF 10=，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1【详解】解：（1）连接AH ，∵H 为AC 的垂直平分线与BC 的交点，∴HA HC =，HAC C Ð=Ð，∵HC AB =，∴AB AH =，∴B AHB Ð=Ð，∵AHB C HAC Ð=Ð+Ð，∴2AHB C Ð=Ð，∴2B C Ð=Ð．（2）∵2DAF B C Ð=Ð-Ð，∴1122DAF B C Ð=Ð-Ð，在Rt ADF V 中，9090DAF AFD FAC C Ð=°-Ð=°-Ð-Ð，∴119022FAC C B C °-Ð-Ð=Ð-Ð∴[]111190180()2222FAC B C B C BAC Ð=°-Ð-Ð=°-Ð+Ð=Ð，即AF 平分BAC Ð， 在AC 上截取AG AB =，连接FG ，在BAF △和GAF V 中，AB AG BAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BAF GAF SAS V V ≌，∴BF FG =，AB =AG ，B AGF Ð=Ð，∵2B CÐ=Ð∴2AGF C Ð=Ð，∴GFC C Ð=Ð，∴FG GC BF ==，∴AC GC AG BE BA =+=+．（3）在DB 上截取DM DF =，连接AM ，在ADF V 和ADM △中，AD AD ADF ADM DF DM =ìïÐ=Ðíï=î，∴()ADF ADM SAS V V ≌，∴DAF DAM Ð=Ð，∴2MAC DAF FAC Ð=Ð+Ð，由（2）可知119022FAC B C Ð=°-Ð-Ð，又∵2DAF B C Ð=Ð-Ð，2B C Ð=Ð．∴11131909029022222MAC B C B C C C C Ð=Ð-Ð+°-Ð-Ð=+´Ð-Ð=-°Ð°．∵()11111180909022222AMC AFM C FAC C BAC C B C B C C °Ð=Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+-Ð-Ð=-Ð+°Ð=-а∴MAC AMC Ð=Ð ，∴AC MC =∴2MC CF AC CF DF -=-=，∴12102DF-=∴1DF =．7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．若AC =3，BC =4，求CD 的长；（2）如图③．在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点P 在AD 上，点M 在AC 上．若AC =6，BC =8，则PC +PM 的最小值为 ．【答案】教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）32；（2）245．【详解】教材呈现：OC Q 是AOB Ð的平分线，POD POE \Ð=Ð，,PD OA PE OB ^^Q ，90PDO PEO \Ð=Ð=°，在POD V 和POE △中，POD POE PDO PEO OP OP Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()POD POE AAS \@V V ，PD PE \=；定理应用：（1）如图，过点D 作DE AB ^于点E ，Q 在ABC V 中，90,3,4C AC BC Ð=°==，5AB \==，Q AD 平分BAC Ð，且90C Ð=°，CD DE \=，在Rt ACD △和Rt AED △中，AD AD CD ED =ìí=î，()Rt ACD Rt AED HL \@V V ，3AC AE \==，532BE AB AE \=-=-=，设CD DE x ==，则4BD BC CD x =-=-，在Rt BDE V 中，222DE BE BD +=，即2222(4)x x +=-，解得32x =，即CD 的长为32；（2）如图，过点M 作MN AD ^，交AB 于点N ，连接PN，Q AD 平分BAC Ð，AD \垂直平分MN （等腰三角形的三线合一），PM PN \=，PC PM PC PN \+=+，由两点之间线段最短得：当点,,C P N 在同一条直线上时，PC PN +取得最小值，最小值为CN ，又由垂线段最短得：当CN AB ^时，CN 取得最小值，Q 在ABC V 中，90,6,8ACB AC BC Ð=°==，10AB \==，又1122Rt ABC S AC BC AB CN =×=×V Q ，11681022CN \´´=´，解得245CN =，即PC PM +的最小值为245，故答案为：245．。

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

C EODBA21C EDB A21OA全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”)2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS"） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS"）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等,角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢?(1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知:如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O,且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．图1（2）条件不足,会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维,逐步分析，探索结论成立的条件,从而得出答案．例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2,要使△ABC ≌△ADE,还需添加的条件是（只需填一个）_____． 图2（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知:如图3，AB=AC,∠1=∠2． 求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO,要证∠BAO=∠BCO,只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．图3GABF DEC ODA CBFCEDBA（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中,∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种:①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题,体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案﹒（1）画出测量图案﹒（2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5 (3)计算A 、B 的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1）题,测量图案如图5所示．第（2）题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB,这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第（3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：（1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O,在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB,这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．（3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ． 又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ． 图6评注：本题的背景是学生熟悉的,提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力,培养了 学生用数学的意识﹒练习:1．已知：如图7，D 是△ABC 的边AB 上一点,AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ． 求证：AE=CE ．C ED B AAO Q M CPBN A D C PBHF EGAD CBADCFBEA2．如图8，在△ABC 中，点E 在BC 上,点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ．求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法:如图9所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ，再取PM=QN,连接PN 、QM,得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？4．如图10，△ABC 中，AB=AC,过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图10中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知:如图11，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形,并给予证明．所添条件为__________,你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图12，∠1=∠2，BC=EF ，那么需要补充一个直接条件_____（写出一个即可）,才能使△ABC ≌△DEF ．7图13，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC,∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．AODCBAFCGBEAF DCB EOED218．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证:EG=GF．10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．11．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(）﹒（A）带①和②去 (B）带①去（C)带②去（D）带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图18中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理．13．如图19，将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起,使AA’、BB’可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件,则A' B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OAB的理由是（ )（A)边角边（B）角边角（C）边边边（D）角角边专题二角的平分线从一个角的顶点出发,把一个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分,而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等,或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．(1)利用角的平分线的性质证明线段或角相等F ED CB A 21A FH DCGBEADCBE AF DC BE C E D例6 如图20，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ， BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等,浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法,不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理,应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法． 例7 已知:如图21,△ABC 中, BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形 ①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 求证：AE=ED ．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC,连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线 例10 如图24,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F,即可构造全等三角形．．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形． 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．CF E BADQPCBACB AD EA例11 如图26，在△ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ．分析：要证CD=21BE ，可将BE 分成两条线段，然后再证明CD 与这两条线段都相等．练习：1．如图27，在△ABC 中，∠B=90º,AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F,DE=DC ．求证：BE=CF ．2．已知:如图28，AD 是△ABC 的中线,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线；（2）AB=AC ．3．在△ABC 中,∠BAC=60º，∠C=40º，AP 平分∠BAC 交BC 于P,BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ． 求证：AB+BP=BQ+AQ ．4．如图30，在△ABC 中,AD 平分∠BAC ，AB=AC+CD ． 求证：∠C=2∠B ．5．如图31，E 为△ABC 的∠A 的平分线AD 上一点，AB ＞AC ． 求证:AB —AC ＞EB-EC ．CB AD 4321C E BADF CE BAD CEBADCBADACBD6．如图32,在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ． 求证：∠A+∠C=180º．7．如图33所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2,∠3=∠4,直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交BC 于点C ．求证：AD+BC=AB ．8．已知,如图34，△ABC 中，∠ABC=90º，AB=BC,AE 是∠A 的平分线,CD ⊥AE 于D ．求证:CD=21AE ．9．△ABC 中，AB=AC,∠A=100º，BD 是∠B 的平分线．求证：AD+BD=BC ．10．如图36，∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ )A ．9B ．8C ．7D ．611．如图37，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点．求证：AB=AC ．A CF E B M D12．已知：如图38，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 是BC 的中点，EF ∥AD ，交AB 于M ，交CA 的延长线于F ．求证：BM=CF ．。

板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．重、难点知识点睛中考要求第十讲 全等三角形中的角平分线与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB A A B OP【例1】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【解析】 ∵O 点为ABC △中角平分线的交点， ∴O 点到三边距离相等．∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△1()331.52AB BC AC =⨯++⨯=【例2】 在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．ADOCB重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。

初二数学提高题专题复习全等三角形角平分线辅助练习题及答案一、全等三角形角平分线辅助1．（特例感知）（1）如图（1），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，3CD =，4BD =，求点D 到直线AB 的距离．（类比迁移）（2）如图（2），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，探索线段AB ，BE ，BC 之间的数量关系，并说明理由．（问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，72BD =，6AB =，求ABC 的内心与外心之间的距离．2．直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图1，已知AE BE 、分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线，点A B 、在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD AD BC ，、分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，又DE CE 、分别是ADC ∠和BCD ∠的角平分线，点A B 、在运动的过程中，CED ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED ∠的度数． （3）如图3，延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线及反向延长线相交于E F 、，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO ∠的度数为____（直接写答案）3．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB=°（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D①若∠BAO=60°，则∠D=°．②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由．（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．4．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO 的度数．5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．6．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．∠和7．如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN//PQ．NAB∠的平分线交于点C．ABQ⊥；（1）求证：BC AC（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合），交PQ于点E,+=；①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD BE AB②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为边BC上的点，连结AM.如果将△ABM 沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，求点M到AC的距离.9．如图，在四边形OACB 中，CE OA ⊥于E ，12∠=∠，CA CB =.求证：34180∠+∠=︒；2OA OB OE +=.10．如图，已知：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB=AD ，CE ⊥AD ，交AD 的延长线于E.求证：AB+AC=2AE.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）125；（2）2AB BC BE +=，理由见解析；（35 【分析】 （1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ，再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；（2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．只要证明()DFA DEC ASA ∆≅∆，推出AF CE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆，推出AF BE =即可解决问题；（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==，推出541ON =-=，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt OMN ∆中，理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．图① BD 平分ABC ∠，DF AB ⊥，DE BC ⊥，DF DE ∴=， BC 是直径，90BDC ∴∠=︒， 2222435BC BD CD ∴=+=+=，1122BC DE BD DC =， 125DE ∴=， 125DF DE =∴=． 故答案为125 （2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ，连接AD ，DC ．BD 平分ABC ∠，DE BC ⊥，DF BA ⊥，DF DE ∴=，90DFB DEB ∠=∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC EDF ∠+∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，FDA CDE ∴∠=∠，90DFA DEC ∠=∠=︒，()DFA DEC ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，BD BD =，DF DE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆，BF BE ∴=，2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．图③ 72BD =，∴正方形BEDF 的边长为7，由（2）可知：28BC BE AB =-=，226810AC ∴=+=，由切线长定理可知：610842AN +-==， 541ON ∴=-=，设内切圆的半径为r ， 则11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯ 解得2r ， 即2MN =，在Rt OMN ∆中，2222215OM MN ON =+=+=． 5【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（1）不发生变化，∠AEB =135°；（2）不发生变化，∠CED =67.5°；（3）60°或45°【分析】（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB =90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出∠BAE =12∠OAB ，∠ABE =12∠ABO ，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长A D 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB =90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）=45°，∴∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不变．延长A D、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠MBA=270°，∵A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，∴∠BAD+∠ABC=12（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠F=45°，∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE=112.5°，∴∠CED =67.5°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，∴∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF=90°．在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．∴∠ABO为60°或45°．故答案为：60°或45°．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．3．（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45°【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；（2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；②证明和推理过程同①的求解过程；（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍.【详解】（1）()11801802118090180451352AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒（2）①如图所示AD 与BO 交于点E ，()9060301180307521909030602180180756045OBA DBO NBC DEB OEA OAB D DBE DEB ∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒②∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化设BAD α∠=，因为AD 平分∠BAO ，所以2BAO α∠=，因为∠AOB=90°，所以180902ABN ABO AOB BAO α∠=︒-∠=∠+∠=+。