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1． 已知当[]1,3x ∈，不等式21a x a -≥-恒成立，则a 的取值范围是．解法一：结合()2f x a x =-的图象分类讨论： 当21a ≤，即12a ≤时，112a a -≤-，解得12a ≤ 当23a ≥，即32a ≥时，123a a -≤-，解得2a ≥ 当123a <<，即1322a <<时，10a -≤，解得112a <≤ 综上可知： 1a ≤或2a ≥解法二：当1a ≤时显然成立当1a >时，有2121a x a x a a -≥-⇔-≥-或21x a a -≤-进而有：min13x a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭或()max 1a x ≥-所以23a ≤或2a ≥ 综上：1a ≤或2a ≥2．设实数a 使得不等式2232x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则满足条件a 组成的集合是。
解法一：设()232f x x a x a =-+-当0a ≥时，()53,22,23253,3a x a x a a f x x a x a x a x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩所以()min 233a a f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以23a a ≤，解得103a ≤≤ 当0a <时，()253,32,3253,2a x a x a a f x x a x a x a x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩所以()min 233a a f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭所以23a a ≤-，解得103a -≤< 综上，1133a -≤≤解法二：由齐次化思想，令()x at t =∈R ，则原不等式为22132a t a t a -+-≥ 转化为2132a t t ≤-+-对任意t ∈R 恒成立易得()min 121323t t -+-= 所以13a ≤，解得1133a -≤≤2015年浙江第18题3.设函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 为()y f x =在[]1,1-上的最大值 （1）设2a ≥，求证：(),2M a b ≥（2）若(),2M a b ≤，请求出a b +的最值。
高一不等式恒成立问题3种基本方法文章标题：探讨高一不等式恒成立问题的三种基本方法在高中数学学习中，不等式恒成立问题是一个很常见的题型。
学生们通常需要掌握多种方法来解决这类问题，而这些方法通常可以分为三种基本类型。
本文将会详细介绍这三种基本方法，帮助读者全面理解这一数学概念。
1. 方法一：代数法我们来介绍代数法。
这种方法是在不等式两边进行代数变换，使得不等式变成一个容易解决的形式。
代数法通常包括加减变形、乘除变形以及平方去根等技巧。
以不等式ax+b>0为例，我们可以通过移项得到ax>-b，然后再除以a的正负来确定不等式的方向，从而得到不等式的解集。
代数法在解决不等式恒成立问题中应用广泛，能够快速简便地找到解的范围和规律。
2. 方法二：图像法我们介绍图像法。
图像法是通过绘制不等式所代表函数的图像，来直观地找出不等式恒成立的区间。
对于一元一次不等式ax+b>0，我们可以画出函数y=ax+b的图像，从而通过观察图像的上升或下降趋势来确定不等式的解集。
图像法能够帮助我们更直观地理解不等式的性质和范围，提高我们的思维逻辑和空间想象能力。
3. 方法三：参数法我们介绍参数法。
参数法是通过引入一个或多个参数，将不等式转化为一个有参数的等式问题，进而进行求解。
参数法的典型应用包括辅助角法、二次函数法等。
以不等式ax²+bx+c>0为例，我们可以引入Δ=b²-4ac，然后根据Δ的正负来确定不等式的解集。
参数法在解决不等式问题中能够简化问题的复杂度，将不等式的求解转化为参数的求解，从而提高解题的效率和准确度。
总结回顾通过对以上三种基本方法的介绍，我们可以发现它们各有特点，应用范围和解题思路有所不同。
代数法能够利用代数变形快速求解不等式问题，图像法能够帮助我们直观地理解不等式的性质，而参数法则能够将问题转化为参数的求解，提高解题的效率。
个人观点和理解在实际解题中，我们应该根据具体情况灵活选用这三种方法，结合题目的特点和自身的掌握程度来选择合适的解题方法。
不等式恒成立
不等式恒成立,就是一边的式子结果,无论里面的变量如何,一定符合要求.
如：绝对值的（X-2）大于等于0 就不管X取何值,永远成立
主要判断定一边一定是某种结果,另一边符合大于或小于的特征对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min．
典例分析
例1：对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为．
答案(－2，2)
解析由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，
只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2.
例2：对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值
恒大于零，则x的取值范围是( )
A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3
C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2
答案 B
解析f(x)＞0，∴x2＋(a－4)x＋4－2a＞0，
即(x－2)a＋(x2＋4－4x)＞0，设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)
总结：有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；
(2)若参变量不能分离，可以考虑转换主元，构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解．。
不等式的恒成立问题基本解法9种解法不等式的恒成立问题基本解法：9种解法导语：在数学中，我们经常会遇到不等式的问题，而不等式的恒成立问题则更加耐人寻味。
不等式的恒成立问题是指对于某个特定的不等式，是否存在一组解使得不等式始终成立。
解决这种问题需要灵活运用数学知识和技巧。
本文将介绍不等式的恒成立问题的基本解法，共包括9种方法。
一、置换法。
这是最简单的一种方法，即将不等式中的变量互相置换，然后观察不等式是否成立。
如果成立，则不等式恒成立。
对于x^2 +y^2 ≥ 0这个不等式，我们可以将x和y置换一下，得到y^2 + x^2 ≥ 0。
由于平方数是非负数，所以不等式始终成立。
二、加法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时加上相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时加上-3，得到2x + 3 - 3 ≥ x + 4 - 3，即2x ≥ x + 1。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
三、减法法则。
与加法法则相似，减法法则是通过在不等式的两边同时减去相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时减去x，得到x + 3 ≥ 4。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
四、乘法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时乘以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时乘以2，得到4x + 6 ≥ 2x + 8。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
五、除法法则。
与乘法法则相似，除法法则是通过在不等式的两边同时除以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时除以2，得到x + 3/2 ≥ 1 + x/2。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
六、平方法则。
这种方法是通过平方运算来改变不等式的符号。
对于不等式x^2 ≥ 0，我们可以将x^2展开为(x + 0)^2，得到x^2 + 0 ≥ 0。
含参绝对值不等式恒成立问题
【评注】
本题就是绝对值不等式恒成立问题的典型，将不等式左端视为新函数，求出该函数的最大值，然后转化为一元二次不等式的解法。
法1利用零点分段法，思路清晰，作出图象，直观明了；法2利用绝对值三角不等式，简洁迅速，二者殊途同归。
在小题中，提倡用法2，节约时间。
【评注】
恒成立的对立面就是无解，要使原不等式无解，只需右端比左端的最小值还小即可。
于是本题转化为左端函数的最小值问题，所用方法与例题1一致。
【评注】
本题中，应用零点分段法没有什么可说的，值得注意的是法2，对于变量系数不相同时，怎么拆分利用绝对值三角不等式，这是很多人都面临的困难，本题给出了答案。
含两个绝对值不等式的恒成立问题的研究含两个绝对值不等式的恒成立问题的研究是一类具有重要意义的数学问题，它是极小优化问题的一种形式，它可以用来求解最优化和最佳化问题。
它的研究涉及到多种领域，其中有投资学、运输规划、库存管理、排队论、能源管理、社会经济学、统计学、概率论和信息论等。
恒成立问题是指在给定的条件下，线性方程组的解必须满足给定的约束条件。
在绝对值不等式的约束条件中，存在由|x-c|≤b所组成的约束条件，其中x∈R,c∈R,b≥0。
事实上，这种约束条件有时也被称为“一般约束条件”，它是现代数学和工程应用中经常使用的约束条件。
含两个绝对值不等式的恒成立问题是一类比较复杂的极小优化问题，它包括了线性、二次和非线性规划问题，它主要是通过改变某些变量的取值，使得一组约束条件永久地满足而追求最优解。
一般来说，可以采用数学优化的方法来解决这类问题。
数学优化的方法可以分为两大类，即有限解法和无限解法。
有限解法是将恒成立问题转换为极小优化问题，然后使用梯度下降算法、拟牛顿法、模拟退火法等方法来解决极小优化问题，以获得最优解。
无限解法是利用凸优化技术，如Kuhn-Tucker条件、Karush-Kuhn-Tucker条件、Lagrange乘子法等，将恒成立问题转化为凸优化问题，以便获得最优解。
此外，含两个绝对值不等式的恒成立问题还可以使用元素法、随机搜索法和贝叶斯优化等方法来解决。
元素法是指将最优化问题转换为一系列子问题，然后逐个解决子问题，最后合并子问题的解来获得最优解。
随机搜索法是通过在可行域内随机生成解来解决恒成立问题，这种方法可以在不知道原问题的情况下搜索出近似最优解。
贝叶斯优化是一种启发式优化方法，它利用贝叶斯理论来对恒成立问题进行求解。
总之，含有两个绝对值不等式的恒成立问题的研究是一类具有重要意义的数学问题，它不仅可以用来求解极小优化问题，而且还可以用于投资学、运输规划、库存管理、排队论、社会经济学、统计学、概率论和信息论等领域。
不等式的恒成立问题基本解法9种解法在解决不等式的恒成立问题时，有多种基本解法可以选择，每种解法都有其独特的特点和适用场景。
在本文中，我们将深入探讨不等式的恒成立问题，并从不同的角度提出9种基本解法，帮助读者更全面、深入地理解这一主题。
1. 直接法直接法是解决不等式的恒成立问题最直接的方法。
通过对不等式的特定性质和条件进行分析，直接得出不等式恒成立的结论。
这种方法通常适用于简单的不等式，能够快速得到结果。
2. 间接法间接法是一种通过反证法或对立法解决不等式的恒成立问题的方法。
当直接法无法直接得出结论时，可以尝试使用间接法来推导不等式的恒成立条件。
这种方法通常适用于较为复杂的不等式，可以通过推翻假设得到结论。
3. 分类讨论法分类讨论法是一种将不等式的条件分为多种情况进行分析的方法。
通过将不同情况进行分类讨论，找出每种情况下不等式的恒成立条件，从而得出综合结论。
这种方法适用于不等式条件较为复杂的情况，能够全面考虑不同情况下的特殊性。
4. 代入法代入法是一种通过代入特定的数值进行验证的方法。
通过选择合适的数值代入不等式中，可以验证不等式在特定条件下是否恒成立。
这种方法通常适用于验证不等式的特定性质或条件。
5. 齐次化法齐次化法是一种将不等式中的不定因子统一化的方法。
通过将不等式中的不定因子进行统一化，可以简化不等式的表达形式，从而更容易得出不等式的恒成立条件。
这种方法通常适用于不等式较为复杂的情况，能够简化问题的复杂度。
6. 几何法几何法是一种通过几何形象进行分析的方法。
通过将不等式转化为几何图形，可以直观地理解不等式的恒成立条件。
这种方法通常适用于具有几何意义的不等式问题，能够通过几何图形进行直观分析。
7. 递推法递推法是一种通过递归关系进行推导的方法。
通过建立递推关系，可以得出不等式的递推解，从而得出恒成立条件。
这种方法通常适用于递推关系较为明显的不等式问题，能够通过递推求解不等式问题。
8. 极限法极限法是一种通过极限的性质进行分析的方法。
不等式恒成立的条件在数学中，不等式是一个常见的概念，是指两个或多个数或变量之间的大小关系。
当不等式的两边用某种方法进行等价变换后，如果变换后的不等式恒成立，那么我们就称这个不等式为恒等不等式。
那么，不等式恒成立的条件是什么呢？下面是详细的介绍。
一、一元一次不等式的恒成立条件1.当不等式形如ax>b时，若a>0，那么不等式恒成立的条件是x>b/a；若a<0，那么不等式恒成立的条件是x<b/a。
2.当不等式形如ax<b时，若a>0，那么不等式恒成立的条件是x<b/a；若a<0，那么不等式恒成立的条件是x>b/a。
二、一元二次不等式的恒成立条件1.当不等式形如ax^2+bx+c>0时，若a>0，那么恒成立的条件是x<-b/(2a)或x>-b/(2a)；若a<0，那么恒成立的条件是x∈R。
2.当不等式形如ax^2+bx+c<0时，若a>0，那么恒成立的条件是x>-b/(2a)且x<-b/(2a)；若a<0，那么恒成立的条件是不存在实数x能使不等式成立。
三、绝对值不等式的恒成立条件1.当不等式形如|ax+b|>c时，若a>0，那么恒成立的条件是x<-b/a-c或x>-b/a+c；若a<0，那么恒成立的条件是x∈(-∞,-b/a-c]U[b/a+c,+∞)。
2.当不等式形如|ax+b|<c时，那么恒成立的条件是-x<b/a-c且x>-b/a-c或-x<b/a+c且x>-b/a+c。
总结而言，不等式恒成立的条件是通过对不等式进行一系列的等价变换，并求解使得不等式成立的参数或变量的值。
这个过程需要一定的数学知识和技巧，需要有耐心去理解、推导和计算。
只有掌握了不等式恒成立的条件，才能更好地运用不等式去解决实际问题。
不等式“恒成立”问题的解法对于不等式问题，“恒成立”是一个重要的概念。
如果一个不等式对于所有的变量的取值都成立，那么我们就说这个不等式“恒成立”。
在本文中，我们将介绍几种方法，解决不等式“恒成立”问题。
寻找不等式“恒成立”的方法1. 数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，它可以证明一个结论对于所有自然数都成立。
我们可以借助数学归纳法来证明一个不等式对于所有变量取值都成立。
首先，我们要确定一个起点。
假设我们要证明不等式P(n)对于所有 $n \\in \\mathbb{N}$ 都成立，我们需要找到一个n0，使得不等式P(n0)是成立的。
通常情况下，我们选择n0=1。
接下来，我们需要证明不等式P(n)成立时，不等式P(n+1)也成立。
也就是说，我们需要证明P(n+1)与P(n)之间的关系。
如果我们能证明 $P(n)\\Rightarrow P(n+1)$，那么就可以使用数学归纳法证明不等式P(n)对于所有 $n \\geq n_0$ 都是成立的。
2. 分析不等式的性质在一些特定的不等式中，我们可以利用它们的性质来证明恒成立的情况。
例如，对于任何一组实数a1,a2,...,a n，我们都有：$$ (a_1 - a_2)^2 + (a_2 - a_3)^2 + ... + (a_{n-1} - a_n)^2 \\geq 0 $$不等式左侧是一组非负实数的和，因此它一定大于等于零。
所以，上面的不等式对于所有实数a1,a2,...,a n都是恒成立的。
3. 利用代数等式有时，我们可以通过将一个不等式转化为代数等式来解决恒成立的问题。
例如，假设我们要证明不等式 $x^2 + y^2 \\geq 2xy$ 对于所有实数x和y都成立。
我们可以将这个不等式变成以下代数等式：$$ (x - y)^2 \\geq 0 $$根据平方数的非负性，不等式左侧一定大于等于零，所以原来的不等式对于所有实数x和y都是成立的。
实例分析接下来，我们将通过几个实例来演示如何使用上述方法解决不等式“恒成立”的问题。
不等式“恒成立”问题的解法在微积分学中，不等式“恒成立”问题是一个解决方法的重要组成部分。
这个问题的主要目的是研究在某一条件下，某个变量的取值范围如何受到不等式的限制。
解决“恒成立”问题，主要分为以下几步：1.首先，确定不等式恒成立的变量，并对变量进行分类。
2.其次，通过数学归纳法，确定不等式恒成立时变量的取值范围。
3.接着，把不等式恒成立的变量分别带入不同的条件，根据不同的条件，分别研究变量取值范围如何受到不等式的限制。
4.最后，总结所有的条件下变量的取值范围，得出不等式恒成立的结果。
上述就是不等式“恒成立”问题的常规解法，但也有一些特殊情况，则需要用到更多的数学工具，如变量变换、隐函数等，来解决不等式“恒成立”问题。
例如，假设有不等式$x^2+2x-3>0$，并且$x \in \mathbb{R}$，要求求解不等式恒成立的解。
这时，先将不等式左边进行变换，即$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)>0$，然后分别把变量$x+3$、$x-1$的正负性考虑进去。
由此得出，不等式恒成立的解为 $x>1$ 或 $x<-3$ 。
以上就是不等式“恒成立”问题解决的具体步骤，由此可见，要解决不等式“恒成立”问题，需要通过多种数学工具来求解，能够用文字清晰表达出来，从而解决这类问题。
另外，在解决不等式“恒成立”问题时，还可以使用一些特殊的数学工具，从而达到更好的解决效果。
例如，在解决不等式 $x^2+2x-3>0$，并且$x \in\mathbb{R}$ 的问题时，可以使用隐函数的方法处理。
即，通过将该不等式变换为$y=x^2+2x-3$，将该不等式变换为一个隐函数，然后由该隐函数求解其在实数范围内的正负性变化，最后得到不等式恒成立的解。
同样，对于更加复杂的不等式，也可以采用类似的思路，将不等式变换为若干个隐函数，然后逐个求解，从而得到不等式恒成立的解。
总而言之，解决不等式“恒成立”问题，既可以采取常规解法，也可以使用特殊的数学工具，如变量变换、隐函数，从而精准求解出不等式恒成立的解，从而达到有效解决不等式“恒成立”问题的目的。
绝对值不等式的恒成立问题
【例4】(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(Ⅱ)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
【解】(Ⅰ)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|
＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(Ⅱ)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞).
(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.
(1)求不等式f (x )≤6的解集．
(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围．
解：(1)原不等式等价于
⎩⎨⎧ x >32
，(2x ＋1)＋(2x －3)≤6，
或 ⎩⎨⎧ －12
≤x ≤32，(2x ＋1)－(2x －3)≤6，
或 ⎩⎨⎧ x <－12，－(2x ＋1)－(2x －3)≤6.
解之得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12.即不等式的解集为{x |
－1≤x ≤2}．
(2)因为f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，所以|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5.
1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≤0时，等号成立，对|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时左边等号成立，当且仅当ab ≤0时
右边等号成立．
2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c<0，则不等式解集为R.。
