第2章---第10节 课后·演练·提升
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一、选择题
1．半径为R 的圆受热均匀膨胀，若半径增加了r ，则圆面积的平均膨胀率是( )
A ．πr 2
B ．2πRr
C ．2πR ＋πr
D ．π(R ＋r )2－πR 2
2．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )
A ．[0，π4]∪[3π
4，π) B ．[0，π) C ．[π4，3π4] D ．[0，π4]∪(π2，3π4]
3．设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图像上的点(x 0，y 0)的切线的斜率为k ，若k ＝g (x 0)，则函数k ＝g (x 0)的图像大致为( )
4．经过点(3,0)且斜率存在的直线l 与抛物线y ＝x 2
2相交于A 、B 两点，过两个交点的抛物线的切线相互垂直，则直线l 的斜率k 的值为( )
A ．－16
B ．－13 C.12 D ．－12
5．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1
2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.1
2 二、填空题
6．(2011·北京东城模拟)已知函数f (x )＝x 3－px 2＋qx 的图像与x 轴相切于点(1,0)，则p ＝________，q ＝________.
7．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －
1′(x )(n ∈N ＋，n ≥2)，
则f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2 011(π
2)＝________.
8．已知函数f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f (π
4)＝________. 三、解答题
9．若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，试求实数a 的取值范围． 10．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2
＋tan θ， 其中θ∈[0，5π
12]，求导数f ′(1)的取值范围．
11．(2011·南昌质检)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋15
4x －9都相切，求实数a 的值．
答案及解析
1．【解析】 π(R ＋r )2－πR 2＝2Rr π＋πr 2，故π(R ＋r )2－πR
2
r
＝2πR ＋πr .
【答案】 C
2．【解析】 y ′＝cos x ，其值域为以点P 为切点的切线的斜率的取值范围为[－1,1]，结合正切函数图像及直线倾斜角取值范围[0，π)可知本题答案为[0，
π4]∪[3
4
π，π)． 【答案】 A
3．【解析】 y ′＝x cos x ⇒g (x 0)＝x 0cos x 0⇒g (x 0)为奇函数，∴可排除B 、C ，又x 0从正方向趋向于0时，g (x 0)>0，∴可排除D.故应选A.
【答案】 A
4．【解析】 设l ：y ＝k (x －3)． 由⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝k (x －3)，y ＝x 2
2，消去y ，得x 2－2kx ＋6k ＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝6k . ∵y ′＝(x 2
2)′＝x ，∴x 1x 2＝－1，∴6k ＝－1， ∴k ＝－1
6. 【答案】 A
5．【解析】 y ′＝x 2－3
x (x >0)， 由x 2－3x ＝1
2，得x ＝3或x ＝－2(舍去)． 【答案】 A
6．【解析】 f ′(x )＝3x 2－2px ＋q ， 由题意知⎩⎨⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧
1－p ＋q ＝0，3－2p ＋q ＝0，
解得p ＝2，q ＝1.
【答案】 2 1
7．【解析】 f 2(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2 011(π2)＝f 1(π2)＋f 2(π2)＋f 3(π2) ＝1－1－1＝－1. 【答案】 －1
8．【解析】 f ′(x )＝f ′(π
2)cos x －sin x ， 令x ＝π2，则f ′(π2)＝－sin π
2＝－1， ∴f (x )＝－sin x ＋cos x ， ∴f (π4)＝－sin π4＋cos π4＝0. 【答案】 0
9．【解】 f ′(x )＝2ax ＋1
x ，x >0， 依题意得f ′(x )＝0(x >0)有实根， ∴a ＝－1
2x 2<0，
所以，a 的取值范围是(－∞，0)
10．【解】 ∵f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)． 又θ∈[0，5π12]，∴θ＋π3∈[π3，3π
4]， ∴sin(θ＋π3)∈[2
2，1]，
∴f ′(1)的取值范围是[2，2]．
11．【解】 令过(1,0)的直线与y ＝x 3切于点(x 0，y 0)，切线斜率为k ＝3x 2
0.
设切线方程为y ＝3x 20(x －1)，
⎩⎨⎧
y 0＝x 30
y 0＝3x 2
0(x 0－1)
⇒x 30＝3x 30－3x 20⇒2x 30－3x 2
0＝0.
∴x 0＝0或x 0＝3
2.
故切线方程为y ＝0或y ＝27
4(x －1)． ⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝0y ＝ax 2＋154x －9⇒ax 2＋15
4x －9＝0，
∵Δ＝0，∴a ＝－25
64. ⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝274(x －1)
y ＝ax 2＋154x －9
⇒ax 2＋154x －9＝27
4(x －1)，
又Δ＝0，∴a ＝－1，
综上实数a 的取值为a ＝－1或a ＝－25
64.。
