云南省玉溪市红塔区第一中学2020-2021学年高二上学期期末数学(文)试题

2020年春学期高二数学（文）期末考试试卷（含答案）满分150分，考试时间120分钟一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位，则2(1)i -的值等于 ( ) A.22i - B.22i +C.2i -D.2i2.函数3yx x 的递增区间是（）A.),(+∞-∞B ．)1,(-∞C ．),0(+∞D ．),1(+∞3.上海地铁2号线早高峰时每隔4.5分钟一班，其中含列车在车站停留的0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为（ ）A ．71B ．81 C ．91 D ．101 4.曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，化成直角坐标方程为( ) A ．4)2(22=++y xB ．4)2-(22=+y xC ．42-22=+y x ）（ D ．4222=++y x ）（ 5.欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径3cm ，中间有边长为1cm 的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是（ ） A ．14πB ．12πC ．49πD ．2π6.已知椭圆14:222=+y a x C 的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为（ ） A.31B ．21C.22 D ．322 7.下面四个推理不是．．合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的8.已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于( ) A.24B.36C.48D.969．点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 10.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是( )A.0.09B.0.20C.0.25D.0.4511.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确．．．的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半12．为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系.设其回归直线方程为ˆy =ˆb x+ˆa .已知1021i i x =∑=225,10i 1i y =∑=1 600,ˆb=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( ) A.160 B.163 C.166 D.170第II 卷二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．椭圆{φφcos 3sin 5==x y ，(φ是参数)的离心率是14. 从字母a ,b ,c ,d ,e 中任取两个不同字母,则取到字母a 的概率为 15. 如果复数ibi212+-的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为 16. 已知函数f 1(x )＝sin x －cos x ,f 2(x )＝f 1′(x ),f 3(x )＝f ′2(x ),……,f n (x )＝f n －1′(x ),则f 2020(x )＝____. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)设函数xe xf x=)(，求函数)(x f 的单调区间．18.(本小题满分12分)甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙获胜的概率为13,求:(1)甲获胜的概率; (2)甲不输的概率. 19.(本小题满分12分)某校随机抽取20名学生在一次知识竞赛中的成绩(均为整数)，并绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]．(1)求频率分布直方图中x 的值；(2)估计这次知识竞赛成绩的合格率(60分及以上为合格)；(3)从成绩在[40,60)的学生中任选2人，求此2人的成绩在同一分组区间的概率．20.(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．21.(本小题满分12分)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为7(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6号或10号的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量．22.(本小题满分12分)已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12，两焦点之间的距离为4.（I ）求椭圆的标准方程；（II ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线24y x =于A 、B 两点，（1）求证：OA ⊥OB ；（2）设OA 、OB 分别与椭圆相交于点D 、E ，过原点O 作直线DE 的垂线OM ，垂足为M ，证明|OM|为定值.答案1-5 CACBC 6-10 CCCCD 11-12 AC13 45 14 52 15 －23 16 x x sin cos --17 解析：f ′(x )＝－1x 2e x ＋1x e x ＝x －1x2e x ，由f ′(x )＝0，得x ＝1.因为当x ＜0时，f ′(x )＜0；当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0，1]．18解:(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件,所以“甲获胜”的概率P=1-12-13=16. (2)法一 设事件A 为“甲不输”,可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=16+12=23.法二 设事件A 为“甲不输”,可看成是“乙获胜”的对立事件,所以P(A)=1-13=23.19.[解析] (1)由题意，得(0.010＋0.020＋0.030＋0.020＋x ＋0.005)×10＝1， 解得x ＝0.015.(2)估计这次竞赛成绩的合格率为：(0.030＋0.020＋0.015＋0.005)×10×100%＝70%.(3)成绩在区间[40,50)人数为0.1×20＝2人，记为A 1、A 2； 成绩在区间[50,60)人数为0.2×20＝4人，记为B 1、B 2、B 3、B 4.从成绩在[40,60)的学生中任选2人的所有基本事件有：(A 1，A 2)、(A 1，B 1)、(A 1，B 2)、(A 1，B 3)、(A 1，B 4)、(A 2，B 1)、(A 2，B 2)、(A 2，B 3)、(A 2，B 4)、(B 1，B 2)、(B 1，B 3)、(B 1，B 4)、(B 2，B 3)、(B 2，B 4)、(B 3，B 4)共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“2人的成绩在同一分组区间”所包含的基本事件是：(A 1，A 2)、(B 1，B 2)、(B 1，B 3)、(B 1，B 4)、(B 2，B 3)、(B 2，B 4)、(B 3，B 4)共7个． ∴此2人的成绩在同一分组区间的概率为P ＝715.20.【解】 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．21.解 (1)(2)k ＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到6号或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个．事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，∴P (A )＝836＝29.22.【答案】解：（Ⅰ）由⎪⎩⎪⎨⎧==,21,42a c c 得42a c =⎧⎨=⎩，故122=b ．所以，所求椭圆的标准方程为2211612x y +=． （Ⅱ）（1）设过椭圆的右顶点()0,4的直线AB 的方程为4+=my x ．代入抛物线方程24y x =，得24160y my --=．设()11,y x A 、()22,y x B ，则⎩⎨⎧-==+.16,42121y y m y y∴()()1212121244x x y y my my y y +=+++＝()()212121416m y y m y y ++++＝0． ∴OB OA ⊥． ……………………（8分）（2）设()33,y x D 、()44,y x E ，直线DE 的方程为λ+=ty x ，代入2211612x y +=，得 ()0483643222=-+++λλy t y t ． 于是43483,4362243243+-=+-=+t y y t t y y λλ．从而()()434842224343+-=++=t t ty ty x x λλλOE OD ⊥ ，04343=+∴y y x x ．代入，整理得()148722+=t λ． ∴原点到直线DE 的距离721412=+=t d λ为定值．。

玉溪一中2020-2021学年上学期高二年级期中考理科数学答案一、选择题：1-5DDCCD6-10BAABA 11-12DC二、填空题：13.-414.315.-5,1816.①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本题10分）已知向量3sin ,(cos ,1)4a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ,，设函数()2()f x a b b =+⋅ .（1）当//a b时，求2cos sin 2x x -的值；（2）求使得5()2f x ≥的x 的取值构成得集合.解：（1）//a b r r Q ，3cos sin 04x x ∴+=，3tan 4x ∴=-22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5x x x x x x x x --∴-===++……………………5分（2）223sin cos ,cos 14a b x x b x ⋅=-=+ ()222312222sin cos 2cos 22sin cos 2cos 22f x a b b a b b x x x x x x →→→→→→⎛⎫∴=+⋅=⋅+=-++=++ ⎪⎝⎭33sin 2cos 22242x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由得25≥)(xf 3242x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭25≥即sin 24x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭2故3222444k x k πππππ+≤+≤+，Z k ∈得4k x k πππ≤≤+，Z k ∈所以{}4x x k x k k Z πππ∈≤≤+∈|，……………………10分18．（本题12分）某学校计划从甲，乙两位同学中选一人去参加省数学会举办的数学竞赛，以下是甲，乙两位同学在10次测试中的数学竞赛成绩的茎叶图．（1）从甲的成绩中任取一个数据(90)x x ≥，从乙的成绩中任取一个数据(87)y y ≤，求满足条件||5x y -≥的概率；（2）分别计算甲乙两位同学成绩的平均值和方差，根据结果决定选谁去合适．【答案】（1）12（2）甲同学参加比赛．见解析（1）抽取两个数据的基本事件有(90,85)，(90,86)，(90,87)，(91,85)，(91,86)，(91,87)，共6种结果，满足||5x y -≥的有(90,85)，(91,85)，(91,86)，共3个．所以概率为3162=．……………………6分（2）x 甲88=，x 乙88=，S 甲222221(8688)(8788)(8988)(9188)310⎡⎤=-+-+-++-=⎣⎦…，S 乙222221(8588)(8588)(8588)(9388)410⎡⎤=-+-+-++-=⎣⎦…．……………10分从平均数看，甲乙两名同学的成绩相同；从方差看，甲同学的成绩的方差较小，因此甲同学的成绩更稳定，从成绩的稳定性考虑，应选甲同学参加比赛．……………………12分19．（本题12分）已知等比数列{}n a 中，314610,80a a a a +=+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log =n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2n n a =（2）()1212n n T n +=+- (1)设数列{}n a 的公比为q ，由题意知：()32422a a a +=+，∴32220q q q -+-=，即()()2210q q -+=.∴2q =，即1222n n n a -== .……………………6分(2)2nn b n = ，∴231222322n n T n =++++ .①()23412122232122n n n T n n +=++++-+ .②①－②得12341222222n n n T n +-=+++++- ()1212n n +=--- ∴()1212n n T n +=+- .……………………12分20．（本题12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin a c B b c A C-=-+.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求b c +的取值范围．解：（1）由sin sin sin a c B b c A C -=-+，利用正弦定理可得：a c b b c a c -=-+，化为：222b c a bc +-=．由余弦定理可得：2221cos 22b c a A bc +-==，()0,A π∈，∴3A π=．……………………5分（2）在ABC ∆中有正弦定理得sin sin sin 3ab c B C π==，又2a =，所以b B =，43432sin 333c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故43432sin 333b c B B π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭3sin cos 4sin 3226B B B π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为203B π<<且()3B b c π≠≠，故5666B πππ<+<且62B ππ+≠，所以1sin 126B π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，(2,4)b c +∈，故b c +的取值范围是(2,4)．……………………12分21．（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，2AB//CD AB =，，3CD =，M 为PC 上一点,且2PM MC =．（1）求证：BM //平面PAD ；（2）若23AD PD ==，，3πBAD ∠=，求三棱锥P ADM -的体积．【答案】（1）见解析（2.（1）法一：过M 作//MN CD 交PD 于点N ，连接AN .∵2PM MC =∴23MN CD =.又∵23AB CD =，且//AB CD ，∴//AB MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形，∴//BM AN .又∵BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ，∴//BM 平面PAD .法二：过点M 作MN CD ⊥于点N ，N 为垂足，连接BN .由题意，2PM MC =，则2DN NC =，又∵3DC =，2DN =∴//AB DN ，∴四边形ABND 为平行四边形∴//BN AD .∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD∴PD DC ⊥.又MN DC⊥∴//PD MN .又∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面,MBN BN MN N ⋂=；∵AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，AD PD D ⋂=；∴平面//MBN 平面PAD .∵BM ⊂平面MBN∴//BM 平面PAD .……………………6分（2）过B 作AD 的垂线，垂足为E .∵PD ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD∴PD BE ⊥.又∵AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，AD PD D ⋂=；∴BE ⊥平面PAD由（1）知，//BM 平面PAD ，所以M 到平面PAD 的距离等于B 到平面PAD 的距离，即BE .在ABC ∆中，2AB AD ==，3BAD π∠=∴BE =.13P ADM M PAD PAD V V S --∆==⨯133BE ⋅=⨯=.……………………12分22．（本题12分）已知圆C ：22(3)4x y +-=，一动直线l 过(1,0)A -与圆C 相交于P Q ，两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：360x y ++=相交于N .（1）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；（2）当PQ =时，求直线l 的方程；（3）探索AM AN ⋅ 是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)1x =-或4340x y -+=（3）见解析（1） l 与m 垂直，且13m k =-，3l k ∴=，又3AC k =，所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C .……………………2分（2）①当直线l 与x 轴垂直时,易知1x =-符合题意②当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为()1y k x =+，即0kx y k -+=，因为PQ =，所以1CM ==，则由1CM ==，得43k =∴直线l ：4340x y -+=.从而所求的直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=……………………6分（3）因为CM ⊥MN,()AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅ ①当l 与x 轴垂直时，易得51,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则50,3AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,又()1,3AC = ,5AM AN AC AN ∴⋅=⋅=- ，②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+，则由()1360y k x x y ⎧=+⎨++=⎩，得N （36,13k k --+513k k -+）,则55,1313k AN k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭ AM AN AC AN ∴⋅=⋅ =51551313k k k --+=-++综上，AM AN ⋅ 与直线l 的斜率无关，且5AM AN ⋅=- .……………………12分。

----<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>------<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>----2017-2018年云南省玉溪市红塔区高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列表示正确的是（）A．?∈{0}B．{3}∈{1，3}C．0?{0，1}D．??{2}2．（5分）=（）A．B．C．D．3．（5分）下列函数中，与函数y=log22x+1是同一个函数的是（）A．y=（）2B．y=+1C．y=+1D．y=+1 4．（5分）设a=2﹣3，b=log35，c=cos100°，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 5．（5分）函数f（x）=e x﹣x﹣2的零点所在区间是（）x﹣10123e x0.371 2.727.3920.09x+212345A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）6．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=lnx3B．y=﹣x2C．y=x|x|D．7．（5分）下列函数同时具有“最小正周期是π，图象关于点（，0）对称”两个性质的函数是（）A．y=sin（2x+）B．y=cos（2x+）C．y=cos（+）D．y=sin（+）8．（5分）已知，若f（﹣a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．﹣3或﹣1B．﹣3C．3或1D．39．（5分）要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移10．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）11．（5分）设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0B．1C．D．512．（5分）设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．[4，6]B．（4，6）C．[﹣1，3]D．（﹣1，3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若函数y=（α﹣1）x﹣4α﹣2是幂函数，则实数α的值是．14．（5分）函数y=的定义域为．15．（5分）已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣6x+5，则当x＜0时，f（x）=．16．（5分）函数y=4sin2x+6cosx﹣6（﹣≤x≤π）的值域．三、解答题（共阳0分.解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知全集U={x∈N|1≤x≤6}，集合A={x|x2﹣6x+8=0}，集合B={3，4，5，6}．（1）求A∩B，A∪B；（2）写出集合（?U A）∩B的所有子集．18．（12分）计算下列各题：（1）0.001﹣（）0+16+（?）6；（2）log3+lg25+lg4+7log72+（﹣9.8）0．19．（12分）已知角α的终边经过点（1）求sinα；（2）求的值．20．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21．（12分）已知f（x）=﹣sin（2x+）+2，求：（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）f（x）的单调递增区间；（3）若方程f（x）﹣m+1=0在x∈[0，]上有解，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+log4（4x+1）﹣x2﹣1，证明：对任意实数k，函数y=g （x）的图象与直线y=﹣3x+k最多只有一个交点．2017-2018年云南省玉溪市红塔区高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

玉溪一中2019—2020学年上学期高二年级期中考数学学科答案（理科）一、选择题：1-5 ADBAB 6-10 CABBD 11-12 CB二、填空题13.12+n 14.π315.)3,0( 16.②③三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：对于p ：2201142>-<⇒>⨯⨯-=∆m m m 或对于q ：310144)2(162<<⇒<⨯⨯--=∆m mq p ∨为真，q p ∧为假 q p ,∴中一真一假①323122≥-<⇒⎩⎨⎧≥≤>-<m m m m m m q p 或或或假：真且②213122-≤<⇒⎩⎨⎧<<≤≤m m m q p 真：假且为所求或或3212≥≤<-<∴m m m18.解：（1）由已知得20.00024a ba b =⎧⎨+=⎩，解得0.00016a =，0.00008b =.（2）平均数10000.0620000.16x =⨯+⨯+30000.1240000.30⨯+⨯+50000.2660000.08⨯+⨯+70000.023860⨯=（元）（3）由已知得从手机价格为[)1500,2500中抽取4人，设为a ，b ，c ，d ，在手机价格为[)55006500,中抽2人，设为x ，y ，从这6人中任意取2人，共有15种抽法，分别为：xy ，xa ，xb ，xc ，xd ，ya ，yb ，yc ，yd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，其中抽取的2人的手机价格在不同区间的有8种，∴抽取的2人手机价格在不同区间的概率：815p =19.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋1－cos ωx ＝32sin ωx －12cos ωx ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1. ∵函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π，∴函数f (x )的周期为2π.∴ω＝1.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋1. (2)由f (A )＝32，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∵S ＝12bc sin A ＝63，∴12bc sin π3＝63，bc ＝24，由余弦定理，得a 2＝(27)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－24.∴b 2＋c 2＝52，又∵b ＜c ，解得b ＝4，c ＝6.20.解 (1)直线l ∥平面PAC .证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC .又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l .因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC ..,,2PAC BC PACAC PAC PC C AC PC BCPC ABCPC ACBC O AB 平面平面平面平面又的直径是圆）（⊥∴∈∈=⋂⊥∴⊥⊥∴(3),,,,PA BM BM M PA CM C PAC BC ⊥⊥∴⊥则连接于作过平面 ,--的平面角即为二面角C PA B BMC ∠∴52=CM ,3=BC ,215523tan ==∠∴BMC .19192cos =∠∴BMC .21.解：（1）由程序框图可知：).2021,(333),2021,(12121.3,1}{2,1}{1≤∈=⨯=≤∈-=-+=∴*-*n N n b n N n n n a b a n n n n n n 且且）（的等差数列公比为为首项为的等差数列；公差为为首项为.3)1(33)12(323232323)12(3)32(35333133)12(3533313)12(21132143232+++⋅-+=∴⨯--⨯++⨯+⨯+=-∴⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=⨯-++⨯+⨯+⨯=∴⋅-==n n n n n n n n nn nn n n n T n T n n T n T n b a c ）（22.圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5,（1）由圆心N 在直线6x =上，可设()06,N y .因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-.设直线l 的方程为2y x m =+，即20x y m -+=，则圆心M 到直线l的距离d因为BC OA ===而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以()252555m +=+，解得5m =或15m =-.故直线l 的方程为250x y -+=或2150x y --=.(3)设()()1122,,Q ,.P x y x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=,所以212124x x ty y =+-⎧⎨=+⎩ ……①因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-= …….②将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点，所以5555,-≤≤+解得22t -≤≤+.因此，实数t的取值范围是22⎡-+⎣。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

玉溪一中2022届高二上学期第一次月考理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.已知集合{}12<<-=x x A ，，则=⋂B A A.)1,0(B.(]3,2-C.[)1,0D.(]3,12.已知向量)4,2(=a ，，若a 与b a +2共线，则实数m 的值为 A.41-B.21-C.1-D.2-3．各项为正数的等比数列中，与的等比中项为（ ） A ．B ．C ．D ．4.设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，下列条件中能够推出m l //的是 A.α//l ，β⊥m ，βα⊥ B.α⊥l ，β⊥m ，βα// C.α//l ，β//m ，βα//D.α//l ，β//m ，βα⊥5.函数xx x x f ln sin )(+=的部分图象大致是A. B. C.D.6.已知34<<-m ，直线m x y l +=:，圆2:22=+y x C ，则直线l 与圆C 相交的概率为A.74 B.72 C.32 D.21 7.已知角α的终边过点)8,2(m P -，且53cos =α，则αtan 的值为A.43B.34 C.34- D.34±8.ABC ∆的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足AbB a cos cos =，则ABC ∆的形状是 A.正三角形 B.等腰三角形 C .等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形{}230B x x x =-≤(,1)b m =-{}n a 5a 15a 24216log log a a +=43219.已知αtan ，βtan 是方程04332=++x x 的两根，且α，)0,2(πβ-∈，则=+βα A.3π B.32π C.32π- D.3π或32π- 10.已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f 的图象与x 轴相邻交点的横坐标相差2π,把函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移6π个单位,得到函数)(x g 的图象.关于函数)(x g ,下列说法正确的是A.在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上是增函数 B.其图象关于直线4π-=x 对称C.函数)(x g 是奇函数D.当⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ32,6时,函数)(x g 的值域是[]1,2- 11．已知是三角形的内角，为直线上的点，为圆：上的点，则的最小值为（ ）AB ．C ．D12.已知函数⎩⎨⎧>≤+=)0(log )0(1)(x x x x x f a ，函数)(x g 是偶函数，且)()2(x g x g =+，当[]1,0∈x 时，12)(-=xx g ，若函数)()(x g x f y -=恰好有6个零点，则a 的取值范围是 A.)6,4(B.)6,5(C.)7,5(D .),5(+∞二、填空题:本题共4小题，每题5分，共20分. 13.函数)1(log 14)(3++--=x x xx f 的定义域是__________． 14.ABC ∆为等腰直角三角形，且2π=∠A ，4=AB ．若点E 为BC 的中点，则=⋅AB AE ．15.已知32sin cos 44=-αα，且)2,0(πα∈，则=+)32cos(πα________. 16.已知在三棱锥ABC P -中，334=-ABC P V ，4π=∠APC ，3π=∠BPC ，AC PA ⊥，BC PB ⊥，且平面⊥PAC 平面PBC ，那么三棱锥ABC P -外接球的体积为__________． 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题10分）已知)cos 2,(sin x x a =，)sin ,sin 2(x x b =，b a x f ⋅=)( （1）求)(x f 的最小正周期和单调增区间；A ABC P :sinA 20l x y -+=Q 221x y +=PQ 211（2）若)2,0(π∈x ，求)(x f 的值域.18.（本题12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，)sin(sin sin C A C B -=-. （1）求角；（2）若32=a ，且ABC ∆的面积是33，求c b +的值．19.（本题12分）2020年春季延期开学期间，为保证防控疫情期间中小学校“停课不停学”，各地教育行政部门、中小学及教育网站积极提供免费线上课程，为中小学生如期学习提供了便利条件．某教育网站针对高中学生的线上课程播出后，社会各界反响强烈．该网站为了解高中学生对他们的线上课程的满意程度，从收看该课程的高中学生中随机抽取了1000名学生对该线上课程进行评分（满分100分），并把相关的统计结果记录如表：（1）计算这1000名学生评分的中位数、平均数，根据样本估计总体的思想，若平均数低于70分，视为不满意，试判断高中学生对该线上课程是否满意？（2）为了解部分学生评分偏低的原因，该网站利用分层抽样的方法从评分为[50，60），[60，70）的高中学生中抽取6人，再从中随机抽取2名学生进行详细调查，求这2名学生的评分来自不同评分分组的概率． 20.（本题12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，、分别是、中点，（1）求证：∥平面； （2）求与面所成角的正切值．21．（共12分）已知圆C 经过点、，且直线平分圆C ．（1）求圆C 的方程；（2）若过点，且斜率为的直线与圆C 有两个不同的交点、．若，求的值．A P ABCD -ABCD PD ABCD PD DC =E F PC AD DE PFB PB PCD A(3,3)(2,4)B 210m x y --=：D(2,0)k l M N 13OM ON ⋅=k22．（共12分）已知函数是奇函数．（1）求的值；（2）求解不等式（3）当时恒成立，求实数的取值范围．高二第一次月考理科答案二、选择题13. (]4,1)1,1(⋃-14. 815.6152-16.332π 三、解答题17.（1）2()2sin 2sin cos f x x x x =+的最小正周期为.由得，() 所以的单调增区间为， （2）由（1）得，，.∴，的值域为18..22()21x x a f x +=-a ()4;f x ≥(1,3]x ∈2()(1)0f tx f x +->，t 1cos2sin2x x =-+)14x π=-+()f x ∴π222242k x k πππππ-≤-≤+388k x k ππππ-≤≤+k Z ∈()f x 3[])88k k k Z ππππ-+∈，(4)1(2)x f x π=-+(0,)2x π∈32444x πππ∴-<-<sin(2)14x π<-≤∴()f x (0⎤⎦19.（1）各组中间值分别为55、65、75、85、95，故平均数为55×0.1+65×0.2+75×0.4+85×0.25+95×0.05＝74.5， ∵74.5＞70，∴高中学生对该线上课程是满意的．（2）由题意知，从评分为[50，60）的学生中抽取了2人，分别记为x ，y ， 从评分为[60，70）的学生中抽取了4人，分别记为a ，b ，c ，d ， 则所有可能的结果有：（x ，y ），（x ，a ），（x ，b ），（x ，c ），（x ，d ），（y ，a ），（y ，b ），（y ，c ）， （y ，d ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共15个． 记两人来自同一组为事件A ，则事件A 包括的可能结果有：（x ，y ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共7个， 故这2名学生的评分来自不同评分分组的概率为1581571=-=P ． 20. （1）证明：取PB 的中点M ，连接EM ，FM ， ∵E ，M 分别是PC ，PB 的中点， ∴EM ∥BC ，EM ＝BC ，∵四边形ABCD 是正方形，F 是AD 的中点， ∴DF ∥BC ，DF ＝BC ，∴四边形DEMF 是平行四边形，∴DE ∥FM ， 又DE ⊄平面PFB ，FM ⊂平面PFB ，22222222222++sin sin sin()sin()sin sin().31(2)sin 12,22cos ,2cos =()3.()=+3=48b+c ABC B C A C A C C A C S bc A bc b c bc A b c bc A b c bc b c bc b c bc ππ-=-+-=-≠∴====+-=+-+-=+-+在三角形ABC 中，A B C=,由可得化简得2cosAsinC=sinC 0A=得由余弦定理的a 那么，a 则a，可得∴DE ∥平面PFB ．（2）解：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥BC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，又PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ， ∴BC ⊥平面PCD ．∴∠BPC 为直线PB 与平面PCD 所成的角， ∵PD ＝DC ＝BC ， ∴PC ＝CD ＝BC ，∴tan ∠BPC ＝＝．21.（1）AB 中点)27,25(，1-=ABk ，所以AB 的中垂线方程为01=+-y x又直线m 经过圆心，所以联立⎩⎨⎧=--=+-01201y x y x ，解得圆心)3,2(C ，半径1==CB r所以圆C 的方程为：1)3()2(22=-+-y x（2）设直线2:+=my x l ，点),(11y x M ，),(22y x N联立⎩⎨⎧=-+-+=1)3()2(222y x my x ，得086)1(2=+-+y y m 0)1(32362>+-=∆m ，得812<m 则16221+=+m y y ，18221+=m y y 13112124)(2)1(2212122121=++=++++=+=⋅m my y m y y m y y x x解得356+=m （舍），或356-=m ∴3561+==mk .22．。

玉溪一中2022届高二上学期第一次月考理科数学试卷一､选择题1. 已知集合{}21A x x =-<<，{}230B x x x =-≤，则A B =（ ）A. (0,1)B. (]2,3-C. [)0,1D. (]1,3【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合B ，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为{}{}23003B x x x x x =-≤=≤≤，{}21A x x =-<<， 所以{}01A B x x ⋂=≤<. 故选：C.【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 2. 已知向量()2,4a =，(),1b m =-，若a 与2a b +共线，则实数m 的值为（ ） A. 14-B. 1-C. 12-D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运行与共线定理，列方程求出m 的值. 【详解】由()2,4a =，(),1b m =-，则()24,7a b m +=+， 又因 a 与2a b +共线，则()27440m ⨯-⨯+=， 解得12m =-. 故选：C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题，属于基础题．3. 各项为正数的等比数列{}n a 中， 5a 与15a 的等比中项，则24216log log a a +=（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】各项为正数的等比数列{}n a 中，22是 5a 与15a 的等比中项， 所以()2515228a a ==.()()2421624162515log log log log 3a a a a a a +===.故选B.4. 设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出l ∥m 的是A. l ∥α，m ⊥β，α⊥βB. l ⊥α，m ⊥β，α∥βC. l ∥α，m ∥β，α∥βD. l ∥α，m ∥β，α⊥β【答案】B 【解析】由A ，C ，D 可推出l 与m 平行、相交或异面，由B 可推出l ∥m . 故选B5. 函数ln ()sin xf x x x=+的部分图象大致是( ) A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，根据奇偶函数图象特征排除，再利用特值验证排除可得解.【详解】因为ln ||0,()sin()()x x f x x f x x-≠-=-+=--, ln ()sin xf x x x∴=+奇函数，图象关于原点对称，所以排除选项D ； 因为2ln2()102f πππ=+>，所以排除选项A ；因为ln ()00f πππ=+>，所以排除选项B ；因此选项C 正确.故选：C.【点睛】本题考查函数图象识别问题. 其解题思路：由解析式确定函数图象：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 函数图象识别有时常用特值法验证排除6. 已知43m -<<，直线:l y x m =+，圆22:2C x y +=，则直线l 与C 相交的概率为（ ）A12B.23C.47D. 27【答案】C 【解析】 【分析】直线方程与圆方程联立方程组消元后用>0∆得m 的取值范围，然后由几何概型概率公式计算概率．详解】联立22,2,y x m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222220x mx m ++-=． 令>0∆，解得22m -<<，故所求概率()224347P +==--．故选：C ．【点睛】本题考查几何概型，属于基础题．几何概型问题要弄清楚是长度型、面积型还是体积型，然后求出相应的度量，计算概率． 7. 已知角α的终边过点()2,8P m -，且3cos 5α=，则tan α的值为（ ） A.34B.43 C. 43-D. 43±【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可得出关于m 的方程，解出m 的值，再利用三角函数的定义可求得tan α的值.【详解】由题得3cos 5α==，解得3m =-，所以点()6,8P ，所以84tan 63α==． 故选：B ．【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 8.ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos a bB A=，则ABC 的形状是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 利用正弦定理sin sin sin sin a b a AA B b B=⇒=，再结合已知cos cos a b B A =可求得sin cos sin cos A BB A=，从而可得sin 2sin 2A B =，可判断ABC 的形状. 【详解】解：ABC 中，由正弦定理得：sin sin a b A B=， ∴sin sin a Ab B=，又cos cos a b B A =，∴sin cos sin cos A BB A=， ∴sin 2sin 2A B =， ∴A B =或22A B π=-， 即A B =或2A B π+=，∴ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D .【点睛】本题考查判断三角形的形状，利用正弦定理化边为角后，由正弦函数性质可得角的关系，得三角形形状．9. 已知tan α，tan β是方程240x ++=的两根，且α，,02πβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ） A.3π B.23π C. 23π-D.3π或23π-【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理，得到tan tan tan tan 4αβαβ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩，再由两角和的正切公式，结合角的范围，即可得出结果.【详解】因为tan α，tan β是方程240x ++=的两根，所以tan tan tan tan 4αβαβ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩，则()tan tan tan 1tan tan 14αβαβαβ+-+===--，又α，,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以0παβ-<+<， 因此23αβπ+=-. 故选：C.【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，属于基础题型.10. 已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>的图象与x 轴相邻交点的横坐标相差2π，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象.关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A. 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B. 其图象关于直线4πx =-对称 C. 函数()g x 是奇函数 D. 当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]2,1- 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可求出函数()f x 的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数()y g x =的解析式，根据余弦函数的性质分析出函数的奇偶性、单调性、对称性以及函数的值域．【详解】函数()cos 2sin()6f x x x x ωωωπ=+=+又函数()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于22T π=， 故函数的最小正周期T π=， 又0ω>，2ω∴=故()2sin(2)6f x x π=+ 将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位可得： ()2sin[2()]2cos266y g x x x ππ==++=；函数()g x 是偶函数，C 错； 令222k x k πππ-，即2k x k πππ-+，k Z ∈故函数()y g x =的增区间为[2k ππ-+，]k π，k Z ∈在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是增函数，A 错；4πx =-时，()2cos 042g ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，不是最值，4πx =-不是对称轴，B 错；由2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得，2,343x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故[]1cos 21,2cos 22,12x x ⎡⎤∈-⇒∈-⎢⎥⎣⎦，D 正确，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的周期性、三角函数图象的平移变换法则，两角和与差的正弦函数、诱导公式，余弦函数的奇偶性、单调性、对称性与值域，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键．11. 已知A 是三角形ABC 的内角，P 为直线l ：sin 20x A y -+=上的点，Q 为圆：221x y +=上的点，则PQ 的最小值为( )B. 2C. 11【答案】D 【解析】 【分析】转化为圆心到直线的距离减去半径，再根据正弦函数的最大值可得答案. 【详解】圆221x y +=的圆心为(0,0)，半径1r =， 圆心到直线l ：sin 20x A y -+=的距离为d ==，所以||PQ≥1d r -=-11≥=，当且仅当2A π=且P 是圆心在直线上的射影，Q 是圆上离直线最近的点时取得等号. 故选：D【点睛】本题考查了点到直线的距离，考查了正弦函数的最大值，考查了转化化归思想，属于基础题.12. 已知函数()()()10log 0a x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()g x 是偶函数，且()()2g x g x +=，当[]0,1x ∈时，()21xg x =-，若函数()()y f x g x =-恰好有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A. ()5,+∞B. ()5,6C. ()4,6D. ()5,7【答案】D 【解析】 【分析】作出函数()y g x =与函数()y f x =的图象，可知两函数在区间(),0-∞上有且只有一个交点，则两函数在[)0,+∞上有5个交点，结合图象得出()()5171f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可.【详解】如下图所示，当0x <时，函数()1f x x =+与()y g x =有1个交点， 故0x >时()log a f x x =与()y g x =有且仅有5个交点，必有1a >且()()51log 515771log 71a a f a f ⎧<<⎧⎪⇒⇒<<⎨⎨>>⎪⎩⎩. 因此，实数a 的取值范围是()5,7. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两函数的交点个数，结合图象找出一些关键点列不等式组求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二､填空题13. 函数()()34log 1xf x x -=+的定义域是__________． 【答案】()(]1,11,4-【分析】求出使解析式有意义的自变量x 的范围即可．【详解】由题意401010x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪+>⎩，解得11x -<<或14x <≤．故答案为：()(]1,11,4-【点睛】本题考查求函数的定义域，求出使函数式有意义的自变量的取值范围即得，掌握对数函数性质是解题关键． 14.ABC 为等腰直角三角形，且2A π∠=，4AB =，若点E 为BC 的中点，则AE AB ⋅=______.【答案】8 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质可推出AE =4BAE π∠=；而||||cos AE AB AE AB BAE ⋅=⋅∠，代入所得数据进行运算即可得解．【详解】因为ABC 为等腰直角三角形，且2A π∠=，4AB =，所以BC ==，点E 为BC的中点，12AE BC ∴==，且124BAE A π∠=∠=．∴||||cos 4cos84AE AB AE AB BAE π⋅=⋅∠=⨯=．故答案为：8．【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 15. 已知442cos sin 3αα-=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.【答案】26【解析】由平方差公式及同角三角函数的平方关系可得222cos sin cos 23ααα-==，求出sin 2α，利用两角和的余弦公式展开cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭并求值. 【详解】()()4422222cos sin sin cos cos sin cos 23ααααααα-=+-==， 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()20,απ∈，25sin 21cos 2αα∴=-=， 13cos 2cos 2sin 2322πααα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭123521523-=⨯-⨯=. 故答案为：2156- 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角和与差的余弦公式、二倍角公式，属于基础题. 16. 已知在三棱锥P ABC -中，433P ABC V -=，4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ABC -外接球的体积为__________．【答案】323π【解析】 【分析】取PC 的中点O ，连接,AO BO ，设球半径为R ，利用已知体积可求2R =且AO ⊥平面PBC ，从而可求外接球的体积.【详解】取PC 的中点O ，连接,AO BO ，设球半径为R ，则2PC R =，PB R =，BC =，AO R =. 因4APC π∠=，PA AC ⊥，故CAP 为等腰直角三角形，故AO PC ⊥.因为平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC平面PBC PC =，AO ⊂平面PAC ，所以AO ⊥平面PBC ，所以由体积可得11323P ABC V R R -=⨯⨯⨯=， 解得2R =，所以三棱锥P ABC -外接球的体积为343233V R ππ==． 故答案为：323π. 【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．三､解答题17. 已知(sin ,2cos )a x x =，(2sin ,sin )b x x =，()f x a b =⋅（1）并求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若(0,)2x π∈，求()f x 的值域.【答案】（1）π；3[])88k k k Z ππππ-+∈，，(；（2）(0⎤⎦. 【解析】【分析】 （1）根据向量数量积的坐表运算将()f x 表示出来，利用辅助角公式整理成“一角一函数”，利用正弦函数的性质求出()f x 的单调区间.（2）由(0,)2x π∈，求出24x π-的范围，由正弦函数图象求出值域.【详解】（1）2()2sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-+)14x π=-+ ()f x ∴的最小正周期为π. 由222242k x k πππππ-≤-≤+得388k x k ππππ-≤≤+，(k Z ∈) 所以()f x 的单调增区间为3[])88k k k Z ππππ-+∈，(，（2）由（1）得4)1(2)x f x π=-+， (0,)2x π∈，32444x πππ∴-<-<.∴sin(2)124x π-<-≤，∴()f x 的值域为(0⎤⎦. 【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，辅助角公式，三角函数的单调性与周期、值域，属于基础题.18. 在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边，()sin sin sin B C A C -=-．(1)求角A ；(2)若a =ABC ∆的面积是b c +的值．【答案】（1）3A π=（2）b c +=【解析】分析：（1）由两角和差公式得到1cos 2A =，进而得到角A 的值；（2）结合第一问和三角形的面积公式得到12bc =，由余弦定理得到()223a b c bc =+-，则()22348b c a bc +=+=，可得b c +=详解：(1)在ABC 中， A B C π++=，那么由()sin sinC sin B A C -=-，可得()()sin sin sin A C C A C +-=-， sin cos cos sin sin A C A C C +-sin cos cos sin A C A C =-∴2cos sin sin 0A C C =≠，∴1cos 2A =，∴在ABC 中， 3A π=．(2)由(1)知3A π=，且1sin 2ABC S bc A ==12bc =，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-，那么， 2222cos a b c bc A =+- ()2223b c bc b c bc =+-=+-，则()22348b c a bc +=+=，可得b c +=．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19. 2020年春季延期开学期间，为保证防控疫情期间中小学校“停课不停学”，各地教育行政部门、中小学及教育网站积极提供免费线上课程，为中小学生如期学习提供了便利条件.某教育网站针对高中学生的线上课程播出后，社会各界反响强烈.该网站为了解高中学生对他们的线上课程的满意程度，从收看该课程的高中学生中随机抽取了1000名学生对该线.上课程进行评分（满分100分），并把相关的统计结果记录如下：（1）计算这1000名学生评分的中位数、平均数，根据样本估计总体的思想，若平均数低于70分，视为不满意，试判断高中学生对该线上课程是否满意？（2）为了解部分学生评分偏低的原因，该网站利用分层抽样的方法从评分为[)50,60，[)60,70的高中学生中抽取6人，再从中随机抽取2名学生进行详细调查，求这2名学生的评分来自不同评分分组的概率.【答案】（1）中位数为75，平均数为74.5，高中学生对该线上课程是满意的；（2）815. 【解析】【分析】（1）根据中位数是使得两边频率相等的数即可求解；平均数用每组的中间值乘以相应的频率求和即可，求出平均数，再根据平均数判断即可；（2）先分别计算来自[)5060，和[)60,70的人数，再列举出所有的基本事件总数和评分来自不同评分分组的事件数，根据古典概型公式计算即可.【详解】解：（1）设中位数为a ， 则由题意可得700.10.20.40.510a -++⨯=， 解得75a =，即中位数为75.又各组中间值分别为55,65,75,85,95，故平均数为550.1650.2750.4850.25950.0574.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∵74.570>，∴高中学生对该线上课程是满意的.（2）由题意知，从评分为[)5060，的学生中抽取了2人，分别记为x ，y ；从评分为[)60,70的学生中抽取了4人，分别记为a ，b ，c ，d ，则所有可能的结果有：(),x y ，(),x a ，(),x b ，(),x c ，(),x d ，(),y a ，(),y b ，(),y c ，(),y d ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共15个.记两人来自同一组为事件A ，则事件A 包括的可能结果有：(),x y ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共7个， 故所求的概率为7811515P =-=. 【点睛】本题考查频数分布表估计中位数，平均数，古典概型，考查学生的数据分析能力与计算能力，是中档题.20. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 、F 分别是PC 、AD 中点，(1)求证：DE//平面PFB ；(2)求PB 与面PCD 所成角的正切值．【答案】（1）详见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）取PB的中点G，连接EG，FG，通过证明四边形FGED是平行四边形，得ED//GF，进而可以得到DE//面PFB；（2）先由条件求出∠BPC就是PB与面PCD所成的角，再通过求三角形边长即可得到结论【详解】（1）取PB的中点G，连接EG，FG，如图，E，G分别是PC，PB的中点，∴FG//BC且FG=12BC，又DF//BC且DF=12BC∴FG//DF且FG=DF，∴四边形FGED是平行四边形，则DE//GF，又DE⊄面PFB，GF⊂面PFB，∴DE//面PFB（2）由已知得：PD⊥面ABCD∴PD⊥BC∵ABCD 是正方形∴BC ⊥CD又PD ∩CD ＝D∴BC ⊥面PCD∴PB 在面PCD 内的射影是PC∴∠BPC 就是PB 与面PCD 所成的角．设PD ＝DC ＝a ，则PC∴在△PBC 中，∠PCB ＝90°，PC ，BC ＝a∴tan ∠BPC ＝2BC PC ==∴PC 与面PCD 所成角的正切值为2 【点睛】本题主要考查线面平行以及线面所成的角．线面平行的证明一般转化为线线平行或面面平行．21. 已知圆C 经过点(3,3)A ，(2,4)B ，且直线:210n x y --=平分圆C ．（1）求圆C 的方程；（2）若过点(2,0)D ，且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点M ，N ，若13OM ON ⋅=，求k 的值．【答案】（1）22(2)(3)1x y -+-=；（2）6+.【解析】【分析】（1）由已知求出AB 的中垂线方程，再由圆C 经过A 、B 两点，可得圆心在线段AB 的中垂线上．联立两直线方程求得圆心坐标，则圆的方程可求； （2）令1m k=，则直线方程可写成：2x my =+．联立直线方程与圆的方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量的数量积运算求解m 的值，可得k 值． 【详解】（1）线段AB 的中点57(,)22E ，43123AB k -==--，故线段AB 的中垂线方程为7522y x -=-， 即10x y -+=．圆C 经过A 、B 两点， 故圆心在线段AB 的中垂线上． 又直线:210n x y --=平分圆C ，∴直线n 经过圆心．联立10210x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得圆心的坐标为(2,3)C ，而圆的半径||1r CB ==， ∴圆C 的方程为：22(2)(3)1x y -+-=．（2）设直线:2l x my =+，点11(,)M x y ，22(,)N x y联立222(2)(3)1x my x y =+⎧⎨-+-=⎩，得2(1)680m y y +-+= 23632(1)0m ∆=-+>，得218m <则12261y y m +=+，12281y y m =+ 212121212212(1)2()412131m OM ON x x y y m y y m y y m ⋅=+=++++=+=+解得6m =+（舍），或6m =-所以16k m==+【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，同时考查了平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，是中档题．22. 已知函数22()21x x a f x ⋅+=-是奇函数. (1)求a 的值;(2)求解不等式()4f x ≥;(3)当(1,3]x ∈时，()2(1)0f tx f x +->恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)2a =;(2)}{20log 3x x <≤;(3)1,4t ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)由奇函数的性质得出a 的值；(2)结合()f x 的解析式可将()4f x ≥化为32021x x -≥-，解不等式即可得出答案； (3)利用函数()f x 在(1,3]x ∈上的单调性以及奇偶性将()2(1)0f tx f x +->化为21tx x <-，分离参数t 结合二次函数的性质得出实数t 的取值范围.【详解】(1)根据题意，函数222222()()211212x x x x x x a a a f x f x --⋅++⋅⋅+-===-=--- ∴2a =. (2)222()421x x f x ⋅+=≥-，即21221x x +≥-，即2132202121x x x x +--=≥-- 即()()32210210x x x ⎧--≥⎪⎨-≠⎪⎩，解得：132x <≤，得20log 3x <≤. (3)22222244()2212121x x x x x f x ⋅+⋅-+===+--- 故()f x 在(1,3]x ∈上为减函数2()(1)0f tx f x +->，即2()(1)(1)f tx f x f x >--=-即21tx x <-，221111124t x x x ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭ 又(1,3]x ∈，11,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故14t <- 综上1,4t ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了由函数的奇偶性求解析式以及利用单调性解不等式，属于中档题.。

玉溪一中2020-2021学年上学期高二年级期中考理科数学试卷总分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.设集合{}1,0,1,2,3A =-,{}2|30B x x x =-≤，则AB =( )A ．{}1-B ．{}012，， C ．{}123，， D ．{}0123，，， 2.=-)sin(67π（ ） A ．23-B ．23 C ．21-D ．21 3.高二某班有学生52人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（ ） A ．13 B ．14 C ．18 D ．264.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知510=10,50S S =，则15=S （ ） A ．180 B ．160 C ．210 D ．2505.下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >，则a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，0c <，则a c b c +<+D >a b >6.已知等差数列{}n a 中，50a >，470a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S7.方程(1)210a x y a --++=(a R ∈)所表示的直线（ ） A ．恒过定点(2,3)-B ．恒过定点(2,3)C ．恒过定点(3,2)-D ．都是平行直线8.函数()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图象如图所示，为了得到()5sin 6g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭第2页，总12页的图象，则只将()f x 的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位9.如图所示的ABC ∆中,2,1,60,2,//AB AC BAC BD DC DE AC ︒==∠== 则AD DE ⋅=（ ） A ．23B ．23-C ．56D ．56-10.已知单位向量a 和b 满足2a b a b +=-，则a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．13B ．23-C ．13-D ．2311.设()()2,014,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+++⎪⎩，＞若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[]2,3- B ．[]2,0- C ．[]1,3 D ．[]0,312.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2f x f x -=，(1)3f -=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则()()56f a f a +=( ) A ．1 B ． 3 C ．-3 D ．0 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。