VB梯度下降算法

梯度下降算法原理及推导今天我们就来介绍用来优化代价函数的梯度下降算法（gradient descent algorithm）。

1 原理那梯度下降究竟为何方神圣？我来用最通俗的语言来介绍下：假设你站在华山之巅，你现在想以最快速度下山，那你肯定是找一条最陡峭的路走。

你环顾四周，找到了一条路线，恩，这个方向是最陡的。

于是你就出发了，走了一会发现，这个方向不是最陡的路了。

你就停下来，换了个最陡的方向，继续往下走。

重复这个步骤，你最终到达了山脚下。

那么，你从山顶到山脚的整个下山的过程，就是梯度下降。

为了在线性回归中应用梯度下降，我们先来回顾下线性回归模型的代价函数，它长这个样子：其中，f(x)为注意，我们变量的上标是指样本数量，从1到m；下标指特征数量，从0到n。

我们的目标是即在J(w)取最小值时，所对应的w值。

这时，梯度下降法就上场了，用公式表示为：其中，“:=”为赋值的含义；α为学习速率，又叫步长，可以理解为我们下山时每走一步的距离；α右边的是J(w)对w求的偏导（偏导就是对w向量中的每个元素分别求导）。

这个公式的含义就是，先初始确定一个w的值，然后用（1）式计算新的w值，反复迭代。

我们不断更新参数w的值，直到J(w)取得最小值时，停止迭代。

我们先把（1）式中J(w)对w的偏导求出来，会容易理解些：将（2）式代入（1）式，可得这就是线性回归中的梯度下降算法。

最后，我手画一张图来把梯度下降的原理大概表示下：如上图，我们先确定一个w，然后按步长α一步一步减小w的值。

最后当w取某一值时，J(w)取得最小值，任务就完成了。

说到这里，可能大家就有疑问了，梯度下降的公式（1）到底是怎么来的呢？别急，我们马上就来推导。

2 推导首先，我们需要泰勒近似定理的一阶展开式：上边那个倒三角符号表示梯度，就是对w求偏导的意思。

从上式不难看出：也就是说：上式说明了什么呢？注意到w和▽J(w)均为向量，也就是说，参数w变化的方向与梯度方向之间的夹角大于90°。

梯度下降算法及优化⽅法序⾔对于y=f(wx+b),如何使⽤神经⽹络来进⾏求解，也就是给定x和y的值，如何让系统⾃动⽣成正确的权重值w和b呢？⼀般情况下，有两种尝试⽅法：1）随机试：纯概率问题，⼏乎不可能实现。

2）梯度下降法：先初始化w和b(可以随机设置，也可以⼈为默认)，然后使⽤下降算法来对w和b进⾏更新。

都有哪些⽅法？到底哪种⽅法更好？⽬录⼀、基础知识⼆、SGD三、Momentum四、Adagrad五、Adadelta六、RMSProp七、Adam正⽂⼀、基础知识斜率：在⼀维空间上，斜率就是函数的导数；梯度：在多维空间⾥，函数的导数叫梯度，梯度是偏导数组成的向量；⼆、SGD⼀般情况下，SGD指Mini-batch GD，（GD可分为三种：Batch GD，Stochastic GD，mini-batch GD）SGD就是每次迭代计算mini-batch的梯度，然后对参数进⾏更新：1）gt=∇θt−1f(θt−1)2）Δθt=−η∗gt其中，η是学习率，gt是梯度SGD完全依赖于当前batch的梯度，η可理解为允许当前batch的梯度多⼤程度影响参数更新。

劣势：1、学习率LR选择⽐较困难2、对所有参数都使⽤相同的LR：在数据不均衡的情况下，如稀疏特征希望更新快些，常出现特征出现慢些时，SGD不太满⾜要求。

3、容易收敛到局部最优，有可能被困于鞍点三、Momentum积累之前的动量来替代梯度1）mt=µ∗mt−1+gt2）Δθt=−η∗mt其中，µ是动量因⼦梯度下降前期：使⽤上⼀次参数来更新，下降⽅向⼀致，乘上较⼤的µ能够进⾏很好的加速梯度下降后期，在局部最⼩值来回震荡的时候，gradient→0，µ使得更新幅度增⼤，跳出陷阱梯度⽅向改变时，µ能够减少更新结论：momentum项能够加速SGD，抑制振荡，从⽽加快收敛四、Adagrad对学习率进⾏了约束：nt=nt−1+gt2Δθt=−η/(√nt+ϵ)∗gt此处，对gt从11到tt进⾏⼀个递推形成⼀个约束项regularizer:−1/√(∑r=1t(gr)2+ϵ) ，ϵ⽤来保证分母⾮0特点：前期gt较⼩的时候， regularizer较⼤，能够放⼤梯度后期gt较⼤的时候，regularizer较⼩，能够约束梯度适合处理稀疏梯度缺点：由公式可以看出，仍依赖于⼈⼯设置⼀个全局学习率η设置过⼤的话，会使regularizer过于敏感，对梯度的调节太⼤中后期，分母上梯度平⽅的累加将会越来越⼤，使gradient→0，使得训练提前结束五、Adadelta对Adagrad的扩展，也是对学习率进⾏⾃适应约束，但对计算进⾏了简化。

机器学习——梯度下降法1 前⾔ 机器学习和深度学习⾥⾯都⾄关重要的⼀个环节就是优化损失函数，⼀个模型只有损失函数收敛到⼀定的值，才有可能会有好的结果，降低损失的⼯作就是优化⽅法需做的事。

常⽤的优化⽅法：梯度下降法家族、⽜顿法、拟⽜顿法、共轭梯度法、Momentum、Nesterov Momentum、Adagrad、RMSprop、Adam等。

梯度下降法不论是在线性回归还是 Logistic 回归中，主要⽬的是通过迭代找到⽬标函数的最⼩值，或者收敛到最⼩值。

梯度下降法作为机器学习中较常使⽤的优化算法，其有着三种不同的形式：批量梯度下降（Batch Gradient Descent）随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）⼩批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent） 其中⼩批量梯度下降法也常⽤在深度学习中进⾏模型的训练。

接下来，将逐步对这三种不同的梯度下降法进⾏理解。

为⽅便理解这三种梯度下降法，可以参考本博客2 梯度下降算法2.1 场景假设 梯度下降法的基本思想可以类⽐为⼀个下⼭的过程。

假设这样⼀个场景：⼀个⼈被困在⼭上，需要从⼭上找到⼭的最低点。

但此时⼭上的浓雾很⼤，导致可视度很低；因此，下⼭的路径就⽆法确定，必须利⽤⾃⼰周围的信息⼀步⼀步地找到下⼭的路。

这个时候，便可利⽤梯度下降算法来帮助⾃⼰下⼭。

怎么做呢？⾸先以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地⽅，然后朝着下降⽅向⾛⼀步，然后⼜继续以当前位置为基准，再找最陡峭的地⽅，再⾛直到最后到达最低处。

2.2 梯度下降 梯度下降的基本过程就和下⼭的场景很类似。

⾸先，我们有⼀个可微分的函数，代表着⼀座⼭。

⽬标是找到这个函数的最⼩值，也就是⼭底。

根据之前的场景假设，最快的下⼭的⽅式就是找到当前位置最陡峭的⽅向，然后沿着此⽅向向下⾛。

对应到函数中，就是找到给定点的梯度 ，然后朝着梯度相反的⽅向，就能让函数值下降的最快！ 重复利⽤这个⽅法，反复求取梯度，最后就能到达局部的最⼩值，这就类似于我们下⼭的过程。

梯度下降算法和人工神经网络梯度下降算法是一种优化算法，用于最小化一个函数的值。

它是基于函数的导数的方向来迭代地减小函数值的。

具体来说，梯度下降算法根据函数的梯度信息（即函数在其中一点的变化率）来确定当前位置的下降方向，然后按照一定的步长（学习率）在该方向上前进一步，以此来迭代地逼近函数的最小值点。

在机器学习中，梯度下降算法通常被用于求解损失函数的最小值点。

例如，在回归问题中，我们可以使用最小二乘法来定义一个损失函数，然后使用梯度下降算法来最小化该损失函数。

在分类问题中，我们可以使用交叉熵损失函数，并使用梯度下降算法来更新模型的参数，以最小化损失函数。

人工神经网络是一种通过模拟神经元之间的连接和传递信息来实现机器学习任务的模型。

它由多个神经元（节点）组成，这些神经元通过连接（边）相互传递信息。

每个神经元接收输入信号并产生一个输出信号，这个输出信号又可以作为其他神经元的输入。

人工神经网络通常具有输入层、隐藏层和输出层，其中隐藏层可以有多个。

人工神经网络的训练通常通过梯度下降算法进行。

我们首先定义一个损失函数，然后通过计算损失函数对模型参数的梯度来更新参数。

在更新参数时，我们可以使用不同的优化算法，例如批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）、随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）或者小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）。

这些算法可以帮助我们在不同的场景下高效地训练神经网络，提高模型的性能。

总结起来，梯度下降算法是优化算法中的一种，用于求解最小化函数值的问题，而人工神经网络是一种模型，利用梯度下降算法对模型进行训练，以解决机器学习问题。

梯度下降算法可以有效地优化人工神经网络的损失函数，并帮助我们找到模型的最佳参数。

这使得人工神经网络成为了机器学习中非常重要且广泛应用的方法之一。

梯度下降法例子梯度下降法是一种常用的优化算法，用于求解目标函数的最小值。

其基本思想是通过不断地迭代，沿着目标函数的负梯度方向更新参数，直到达到最小值。

下面我们将通过一个简单的例子来介绍梯度下降法的具体实现过程。

假设我们要求解以下目标函数的最小值：$$f(x) = x^2 + 2x + 1$$我们可以通过求导得到该函数的梯度：$$\nabla f(x) = 2x + 2$$接下来，我们可以随机初始化参数$x$的值，比如$x=0$，然后根据梯度下降法的更新规则，不断地迭代更新$x$的值，直到达到最小值。

具体的更新规则如下：$$x_{t+1} = x_t - \alpha \nabla f(x_t)$$其中，$x_t$表示第$t$次迭代时$x$的值，$\alpha$表示学习率，控制每次更新的步长。

一般来说，学习率的选择需要根据具体的问题进行调整，如果学习率过大，可能会导致算法不收敛；如果学习率过小，可能会导致算法收敛速度过慢。

假设我们选择学习率$\alpha=0.1$，则可以按照以下步骤进行迭代更新：1. 初始化$x=0$；2. 计算梯度$\nabla f(x) = 2x + 2$，得到$\nabla f(0) = 2$；3. 根据更新规则，更新$x$的值：$x_{t+1} = x_t - \alpha \nablaf(x_t) = 0 - 0.1 \times 2 = -0.2$；4. 重复步骤2和3，直到达到收敛条件。

在本例中，我们可以通过观察目标函数的图像来确定收敛条件。

由于目标函数是一个凸函数，因此它的最小值位于函数的谷底，也就是$x=-1$处。

因此，我们可以设置一个阈值$\epsilon$，当$x$的变化量小于$\epsilon$时，认为算法已经收敛。

下面是一个简单的Python代码实现：```pythondef gradient_descent(f, df, x_init, alpha=0.1, epsilon=1e-6,max_iters=1000):x = x_initfor i in range(max_iters):grad = df(x)x_new = x - alpha * gradif abs(x_new - x) < epsilon:breakx = x_newreturn xf = lambda x: x**2 + 2*x + 1df = lambda x: 2*x + 2x_init = 0x_min = gradient_descent(f, df, x_init)print("Minimum value of f(x) is %.4f at x=%.4f" % (f(x_min), x_min))```运行结果如下：```Minimum value of f(x) is 1.0000 at x=-1.0000```可以看到，经过不到10次迭代，算法就找到了目标函数的最小值，并且与理论值$x=-1$非常接近。

梯度下降法和牛顿迭代法梯度下降法和牛顿迭代法是常用的优化算法，用于求解函数的最小值。

它们在机器学习和数值优化等领域具有重要的应用。

本文将分别介绍梯度下降法和牛顿迭代法的原理和应用，并比较它们的优缺点。

梯度下降法是一种基于搜索的最优化方法，通过迭代的方式找到函数的最小值点。

其核心思想是沿着负梯度的方向更新参数，使得函数值逐渐减小。

梯度下降法可以分为批量梯度下降法和随机梯度下降法两种形式。

批量梯度下降法在每一次迭代中都使用所有样本的梯度来更新参数，这样做的优点是每次迭代都能朝着整体最优的方向前进，但计算梯度的时间复杂度较高，尤其在大规模数据集上的应用受到限制。

随机梯度下降法每次迭代只使用一个样本的梯度来更新参数，虽然更新速度较快，但由于每次迭代只使用一个样本，可能会出现参数更新的方向不准确的情况。

为了解决这个问题，可以使用小批量梯度下降法，即每次迭代使用一批样本的梯度来更新参数。

梯度下降法的优点是简单易实现，收敛性较好，但也存在一些缺点。

首先，梯度下降法的收敛速度较慢，特别是在函数的最小值点附近时，更新步长会变得很小，导致收敛速度减慢。

其次，梯度下降法对初始点的选择较为敏感，不同的初始点可能得到不同的最优解。

另外，梯度下降法通常只能找到局部最优解，无法保证找到全局最优解。

牛顿迭代法是一种基于二阶导数信息的优化方法，通过近似函数的二阶导数来更新参数。

其核心思想是利用二阶导数的信息来修正一阶导数的方向，从而加速收敛速度。

牛顿迭代法的更新公式为：θ = θ - H^(-1) * ∇J(θ)，其中H为函数的海森矩阵，∇J(θ)为函数的梯度。

牛顿迭代法的优点是收敛速度快，特别是在函数的最小值点附近时，收敛速度更快。

此外，牛顿迭代法对初始点的选择不敏感，通常能够找到全局最优解。

然而，牛顿迭代法也存在一些缺点。

首先，计算海森矩阵的逆矩阵需要较大的计算开销，特别是在高维问题上。

其次，海森矩阵的逆矩阵可能不存在或计算困难，导致无法更新参数。

机器学习概念之梯度下降算法（全量梯度下降算法、随机梯度下降算法、批量梯度下降算法） 不多说，直接上⼲货！回归与梯度下降 回归在数学上来说是给定⼀个点集，能够⽤⼀条曲线去拟合之，如果这个曲线是⼀条直线，那就被称为线性回归，如果曲线是⼀条⼆次曲线，就被称为⼆次回归，回归还有很多的变种，如本地加权回归、逻辑回归，等等。

⽤⼀个很简单的例⼦来说明回归，这个例⼦来⾃很多的地⽅，也在很多的开源软件中看到，⽐如说weka。

⼤概就是，做⼀个房屋价值的评估系统，⼀个房屋的价值来⾃很多地⽅，⽐如说⾯积、房间的数量（⼏室⼏厅）、地段、朝向等等，这些影响房屋价值的变量被称为特征(feature)，feature在机器学习中是⼀个很重要的概念，有很多的论⽂专门探讨这个东西。

在此处，为了简单，假设我们的房屋就是⼀个变量影响的，就是房屋的⾯积。

假设有⼀个房屋销售的数据如下： ⾯积(m^2) 销售价钱（万元） 123 250 150 320 87 160 102 220 … … 这个表类似于帝都5环左右的房屋价钱，我们可以做出⼀个图，x轴是房屋的⾯积。

y轴是房屋的售价，如下： 如果来了⼀个新的⾯积，假设在销售价钱的记录中没有的，我们怎么办呢？ 我们可以⽤⼀条曲线去尽量准的拟合这些数据，然后如果有新的输⼊过来，我们可以在将曲线上这个点对应的值返回。

如果⽤⼀条直线去拟合，可能是下⾯的样⼦： 绿⾊的点就是我们想要预测的点。

⾸先给出⼀些概念和常⽤的符号，在不同的机器学习书籍中可能有⼀定的差别。

房屋销售记录表 - 训练集(training set)或者训练数据(training data), 是我们流程中的输⼊数据，⼀般称为x 房屋销售价钱 - 输出数据，⼀般称为y 拟合的函数（或者称为假设或者模型），⼀般写做 y = h(x) 训练数据的条⽬数(#training set), ⼀条训练数据是由⼀对输⼊数据和输出数据组成的 输⼊数据的维度(特征的个数，#features)，n 下⾯是⼀个典型的机器学习的过程，⾸先给出⼀个输⼊数据，我们的算法会通过⼀系列的过程得到⼀个估计的函数，这个函数有能⼒对没有见过的新数据给出⼀个新的估计，也被称为构建⼀个模型。

梯度下降法的优点和缺点梯度下降法是机器学习中最为常用的优化算法之一。

它是一种基于函数梯度的迭代法，通过不断更新参数，使得目标函数的值不断减小。

虽然梯度下降法已经被广泛应用于各种机器学习问题中，但是它同样存在一些优点和缺点。

优点：1. 算法收敛速度快梯度下降法在进行参数更新时，是根据目标函数的梯度方向来进行的。

因此，每次更新的方向都是朝着函数值下降最快的方向，这使得算法收敛速度非常快。

在一些大规模的数据集中，梯度下降法甚至可以在数秒内就实现了模型的训练。

2. 应用广泛梯度下降法是一种通用的优化算法，不仅可以应用在线性回归和逻辑回归等简单模型中，同样也可以用于神经网络和深度学习的训练过程中。

这就使得梯度下降法成为了机器学习中最为重要和实用的优化算法之一。

3. 参数更新方便梯度下降法的参数更新过程非常简单，只需要计算目标函数的梯度，然后用计算得到的梯度乘以一个学习率，就可以得到更新后的参数。

这样不仅计算量小，而且可以方便地应用于各种不同的机器学习问题中。

缺点：1. 容易陷入局部最优解梯度下降法的一个最大的缺点就是容易陷入局部最优解。

在某些情况下，梯度下降法只能找到局部最优解而无法找到全局最优解。

这是因为梯度下降法只能根据当前位置的梯度方向来进行参数更新，而不能考虑整体的函数形状。

2. 受初始值影响大梯度下降法对初始值比较敏感。

不同的初始值可能会导致算法收敛到不同的点上，甚至可能无法收敛。

这就需要我们在使用梯度下降法时，需要仔细调节初始参数的值，来保证算法可以收敛到正确的最优解。

3. 难以处理稀疏数据梯度下降法在处理稀疏数据时会遇到一些问题。

在稀疏数据集中，大多数特征的值都是0，只有少数的特征有值。

这就导致了目标函数的梯度在这些特征上变化较大，而在其他特征上变化很小。

这会对梯度下降法的更新效果造成较大的影响，从而导致训练效果差。

综上所述，梯度下降法作为一种经典的优化算法，在机器学习中拥有很高的应用价值，但也有其明显的缺点。

梯度下降法
梯度下降法是机器学习中常用的一种优化方法，其原理是通过迭代求解最适合某个函数参数值的方法。

梯度下降是在函数空间中搜索最优解的有效算法。

它是一种以极小化最优化技术来求解最小值的一种算法，可以用来求解优化问题，包括凸优化问题，即优化目标变量是凸函数的最小值求解问题。

拟牛顿法、调整系数算法和梯度下降法都可以用来求解最小值问题，但梯度下降法有几个显著优点：算法简单，精度可以得到较好的收敛，而且它有很灵活的学习率，能使模型容易收敛，训练数据集要求不是很大，计算复杂度也不高，这也使得梯度下降法比较受欢迎。

但梯度下降法也有一些限制，其中之一是它只有在函数为连续可导的情况下才能有效求解。

它使用较大的学习率可能影响收敛精度，而且当所有数据点都极其相似时，它也不能保证找到最小值。

如果函数中存在局部最小值或者鞍点，它也可能导致收敛慢，不能发现全局最小值。

总之，梯度下降法是一种简单无脑的优化方法，因为它着重于通过简单的迭代求解最优函数参数，而无需考虑更复杂的求解过程，节省了大量的时间成本。

然而，它也存在一些局限性，特别是在局部最小情况下，所以在做深度学习或者大规模优化时，应该综合考虑使用其他的优化算法。

梯度下降算法实例
摘要：
1.梯度下降算法的基本原理
2.梯度下降算法的实例
3.梯度下降算法的优缺点
正文：
梯度下降算法是一种用于机器学习和人工智能领域的优化算法，它的基本原理是从一个初始点开始，沿着函数的负梯度方向迭代更新，直到达到最小值或收敛。

在实际应用中，梯度下降算法的实例非常广泛。

例如，在二次函数的优化中，我们可以通过梯度下降算法来找到函数的最小值。

假设我们有一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a, b, c 是常数，我们需要找到这个函数的最小值。

首先，我们需要计算函数的梯度，即函数对x 的偏导数。

对于二次函数，它的梯度是2ax + b。

然后，我们将梯度设为0，解出x 的值，得到x = -b/2a。

将x 的值代入原函数，就可以得到函数的最小值。

除了二次函数，梯度下降算法还可以用于其他类型的函数优化，例如多项式函数、指数函数、对数函数等。

在这些函数的优化中，梯度下降算法的原理和实现方式都是类似的。

梯度下降算法的优点在于它的简单和有效。

只需要计算函数的梯度，并沿着梯度的反方向更新参数，就可以不断逼近函数的最小值。

而且，梯度下降算法适用于各种类型的函数，具有一定的通用性。

然而，梯度下降算法也存在一些缺点。

首先，它的收敛速度比较慢，需要
进行多次迭代才能达到最小值。

其次，梯度下降算法在某些情况下可能会陷入局部最优解，而不是全局最优解。

这是因为梯度下降算法只能保证沿着梯度的反方向更新参数，但并不能保证更新的方向一定是最优的。

如何理解梯度下降算法介绍在这篇文章中，我们将了解什么是真正的梯度下降法，为什么它成为非常流行的机器学习算法，为什么AI和ML中的大多数算法都遵循这种技术。

柯西在1847年提出了梯度下降算法，是第一个提出梯度下降的人，梯度这个词的意思是一个性质的增加和减少！而下降意味着向下移动的动作，所以，总的来说，先下降到某个地方，然后观察并且继续下降的行为被称为梯度下降所以，在正常情况下，如图所示，山顶的坡度很高，通过不断的移动，当你到达山脚时的坡度最小，或者接近或等于零，同样的情况在数学上也适用。

让我们看看怎么做在数学上的梯度下降我们假设这是一条形式为y=f（x）的曲线。

曲线上，任何一点上的斜率都是y对x的导数，当向下移动时，斜率在尖端或最小位置减小并等于零，当我们再次向上移动时，斜率会增加记住这一点，我们将研究在最小点处x和y的值会发生什么，观察下图，我们有不同位置的五个点！当我们向下移动时，我们会发现y值会减小，所以在这里的所有点中，我们在图的底部得到了相对最小的值，因此，我们的结论是我们总是在图的底部找到最小值（x，y）。

现在让我们看看如何在ML 和DL中实现这个过程，以及如何在不遍历整个图的情况下达到最小点？在任何一种优化算法中，我们的主要目的是最小化损失，这才能使我们的模型表现更好。

为了分析这一点，我们将使用线性回归因为线性回归使用直线来预测连续输出-设直线为y=w*x+c这里我们需要得到w和c的值，才能得到使误差最小化的最佳拟合线，所以我们的目标是找到最佳的w和c值我们先把w和c初始化为随机值，我们根据损失更新w和c的值，也就是说，我们更新这些权重，直到斜率等于或接近于零。

我们将取y轴上的损失函数，x轴上有w和c。

查看下图为了在第一个图中达到最小的w值，请遵循以下步骤-1.用w和c计算给定的一组x _values的损失。

2.绘制点，现在将权重更新为-w_new =w_old – learning_rate * slope at (w_old,loss)重复这些步骤，直到达到最小值！•我们在这里减去梯度，因为我们想移到山脚下，或者朝着最陡的下降方向移动•当我们减去梯度后，我们会得到一个比前一个小的斜率，这就是我们想要移动到斜率等于或接近于零的点•我们稍后再讨论学习率这同样适用于图2，即损失和c的函数现在的问题是为什么要把学习率放在等式中？这是因为我们不能在起点和最小值之间遍历所有的点我们需要跳过一些点•我们可以在最初阶段采取大步行动。

梯度下降法
梯度下降法(gradient descent)或最速下降法(steepest descent)是求解⽆约束最优化问题的⼀种最常⽤的⽅法。

梯度下降法是迭代算法，每⼀步需要求解⽬标函数的梯度向量。

假设f(x)是R n上具有⼀阶连续偏导数的函数，要求解的⽆约束最优化问题是
x*表⽰⽬标函数f(x)的极⼩点。

提梯度下降法是⼀种迭代算法。

选取适当的初值x(0)，不断迭代，更新x值，进⾏⽬标函数的极⼩化，直到收敛。

由于负梯度⽅向是使函数值下降最快的⽅向，在迭代的每⼀步，以负梯度⽅向更新x的值，从⽽达到减少函数值的⽬的。

由于f(x)具有⼀阶连续偏导数，若第k次迭代值为x(k)，则可将f(x)在x(k)附近进⾏⼀阶展泰勒开：
这⾥，为f(x)在x(k)的梯度。

求出第k+1次迭代值x(k+1)：
其中，p k是搜索⽅向，取负梯度⽅向，λk是步长，由⼀维搜索确定，即λk使得：
梯度下降算法如下：
输⼊：⽬标函数f(x)，梯度函数，计算精度ε；
输出：f(x)的极⼩点x*
（1）取初值x(0)∈R n ，置k=0
（2）计算f(x(k))
（3）计算梯度g k=g(x(k)),当||g k||<ε时，停⽌迭代，令x*=x k；否则，令p k=-g(x(k))，求λk，使
（4）置x(k+1)=x(k)+λk p k，计算f(x(k+1))
当||f(x(k+1))-f(x(k))||<ε或||x(k+1)-x(k)||<ε时，停⽌迭代，令x*=x(k+1)
（5）否则，置k=k+1,转（3）。

梯度下降公式梯度下降法公式，是在求解线性代数方程组时常用的一种简单有效的方法。

它的原理就像电路中电流随着电压而改变的规律一样。

这里，我们假设初始条件不变，方程组的所有系数矩阵都不相同。

我们把通过原点 O 的每一个矢量的梯度记作+ cosθ或-sinθ，并称之为加速度的正梯度（也可以写成δ）；相反地，我们则把通过每个不同的标准方向的正梯度记作- cosθ或- sinθ，并称之为减速度的负梯度（也可以写成δ）。

梯度下降公式有许多推广，例如广义梯度下降、广义梯度下降等。

在此只介绍前两者。

梯度下降法适合于研究一些未知量随某个已知量变化的情况。

当题目比较复杂时，需要考虑使用其他方法来处理问题。

梯度下降法的基本思想是：对某一微小扰动，给予足够大的正（或负）梯度，将会使被研究的变量的值增大，从而达到预期的结果。

因此，当某一研究对象受到外界影响时，往往采取增大正梯度的办法，以便收到良好的效果。

如果将该微小扰动的作用看做是无穷小的，那么正梯度就是它的加速度。

而且，梯度越大，则该物体运动得越快。

为了更形象地说明梯度方向与加速度的关系，我们举个例子来说明。

有一块金属片，其上刻画着几条曲线。

你拿一支铅笔放在金属片的边缘上移动，发现金属片会沿着铅笔走过的痕迹向左偏转，这表示铅笔的作用力大小为 A，方向是从左到右。

然后你又拿起另一支铅笔在金属片上移动，发现金属片仍然按照刚才的轨迹偏转，但是移动方向却和第一次相反，这表示铅笔的作用力大小为 B，方向是从右到左。

最后你再拿起第三支铅笔在金属片上移动，发现金属片还是按照刚才的轨迹偏转，但是移动方向却和第二次相反，这表示铅笔的作用力大小为 C，方向是从左到右。

这时候你很容易发现：这四支铅笔对金属片产生的作用力大小均为 A，但是由于方向的不同，造成了它们的加速度不同，因此它们对金属片产生的作用力大小也不同。

即 A+ A= A，而 A+ B= A， A+ C= A， A+ D= A。

根据梯度的定义， A 的方向应该向左， B 的方向应该向右， A+ B+ C+ D= A。

梯度下降的正确步骤梯度下降是一种优化算法，用于在机器学习和深度学习中最小化损失函数。

它通过迭代地调整模型的参数，以使损失函数最小化。

以下是梯度下降的正确步骤：1.确定问题：首先，我们需要确定需要优化的问题。

这可能是一个回归问题，需要最小化均方误差，或是一个分类问题，需要最小化交叉熵损失。

2.确定参数：确定需要优化的参数。

这些参数可以是线性回归中的权重和偏置，或是神经网络中的权重和偏置。

3.初始化参数：将参数初始化为随机数或零。

这个步骤是为了确保每个训练迭代的起始位置都是随机的。

4.计算损失函数的梯度：梯度下降的关键步骤是计算损失函数对参数的梯度。

梯度可以表示为损失函数在参数空间中的斜率，告诉我们在哪个方向上应该更新参数。

5.更新参数：根据计算得到的梯度，更新参数的值。

更新的方向是损失函数下降最快的方向，大小由学习率决定。

学习率指定了每次迭代更新参数的步长。

6.重复步骤4和步骤5：重复计算梯度和更新参数的过程，直到达到足够小的损失或达到预定的迭代次数。

7.收敛判断：在每次参数更新后，我们需要检查算法是否已经收敛，即损失函数是否已经足够小。

如果损失函数的改进不再显著，那么可以认为算法已经收敛，可以停止训练。

8.结果评估：对于回归问题，可以使用均方误差或平均绝对误差等指标评估预测结果的准确性。

对于分类问题，可以使用准确率、精确率和召回率等指标。

9.参数调优：如果模型的表现不佳，可以调整学习率、增加迭代次数或重新选择特征等步骤来改善模型。

10.验证集测试：在训练完成后，使用验证集进行最后的模型测试。

验证集是从训练集中独立选择的一部分数据，用于评估模型在未见过的数据上的表现。

11.模型部署：如果模型在验证集上表现良好，可以部署模型并在实际应用中使用。

总结起来，梯度下降的正确步骤包括确定问题、确定参数、初始化参数、计算损失函数的梯度、更新参数、重复计算和更新直到收敛、判断收敛情况、结果评估、参数调优、验证集测试和模型部署。

13、梯度下降算法1、机器学习中为什么需要梯度下降梯度下降是机器学习中常见优化算法之⼀，梯度下降法有以下⼏个作⽤：（1）梯度下降是迭代法的⼀种，可以⽤于求解最⼩⼆乘问题。

（2）在求解机器学习算法的模型参数，即⽆约束优化问题时，主要有梯度下降法（Gradient Descent）和最⼩⼆乘法。

（3）在求解损失函数的最⼩值时，可以通过梯度下降法来⼀步步的迭代求解，得到最⼩化的损失函数和模型参数值。

（4）如果我们需要求解损失函数的最⼤值，可通过梯度上升法来迭代。

梯度下降法和梯度上升法可相互转换。

（5）在机器学习中，梯度下降法主要有随机梯度下降法和批量梯度下降法。

2、梯度下降法缺点梯度下降法缺点有以下⼏点：（1）靠近极⼩值时收敛速度减慢。

（2）直线搜索时可能会产⽣⼀些问题。

（3）可能会“之字形”地下降。

梯度概念也有需注意的地⽅：（1）梯度是⼀个向量，即有⽅向有⼤⼩。

（2）梯度的⽅向是最⼤⽅向导数的⽅向。

（3）梯度的值是最⼤⽅向导数的值。

3、梯度下降法直观理解梯度下降法经典图⽰如下图所⽰：形象化举例，由上图所⽰，假如最开始，我们在⼀座⼤⼭上的某处位置，因为到处都是陌⽣的，不知道下⼭的路，所以只能摸索着根据直觉，⾛⼀步算⼀步，在此过程中，每⾛到⼀个位置的时候，都会求解当前位置的梯度，沿着梯度的负⽅向，也就是当前最陡峭的位置向下⾛⼀步，然后继续求解当前位置梯度，向这⼀步所在位置沿着最陡峭最易下⼭的位置⾛⼀步。

不断循环求梯度，就这样⼀步步地⾛下去，⼀直⾛到我们觉得已经到了⼭脚。

当然这样⾛下去，有可能我们不能⾛到⼭脚，⽽是到了某⼀个局部的⼭势低处。

由此，从上⾯的解释可以看出，梯度下降不⼀定能够找到全局的最优解，有可能是⼀个局部的最优解。

当然，如果损失函数是凸函数，梯度下降法得到的解就⼀定是全局最优解。

核⼼思想归纳：（1）初始化参数，随机选取取值范围内的任意数；（2）迭代操作： a）计算当前梯度； b）修改新的变量； c）计算朝最陡的下坡⽅向⾛⼀步； d）判断是否需要终⽌，如否，返回a）；（3）得到全局最优解或者接近全局最优解。

梯度下降法的步骤
1. 定义目标函数：为了使用梯度下降法，需要明确需要最小化
的目标函数，并确定该函数的可微性质。

2. 初始化参数：开始时需要提供一个初始值，通常使用随机数
生成。初始化参数的好坏直接影响最终结果的质量，通常需要
经过多次试验找到最优值。

3. 计算梯度：使用初始值计算目标函数的梯度，这里的梯度是
指函数在当前点的方向导数，代表函数在该点的变化趋势。

4. 更新参数：通过计算出的梯度来更新参数，使得目标函数值
不断减小。更新参数时需要确定一个学习率，以控制参数的变
化速度。

5. 重复以上步骤：由于目标函数很可能具有多个局部最小值，
因此需要反复进行更新参数的过程，直到目标函数收敛于全局
最小值或达到预设的停止条件。