测量误差分析

1.4 测量误差分析1.4.1 测量误差分类按照误差的表示形式，可分为绝对误差、相对误差和引用误差；按照误差的特点和性质，又可分为系统误差、随机误差和粗大误差。

1.按表示形式分类(1) 绝对误差绝对误差的定义为绝对误差＝测得值-真值 (1-1)在实际工作中，经常使用修正值。

为消除系统误差，用代数法加到测量结果中的值称为修正值。

将测得值加上修正值之后可以得到近似的真值，即修正值＝真值-测得值 (1-2)由此可得真值≈测得值+修正值 (1-3)修正值与误差值的大小相等而符号相反。

测得值加修正值后可在一定程度上消除该误差的影响，这就是误差修正的基本原理。

但值得注意的是，由于在大多数情况下难以得到真值，修正值本身也存在着误差，因此修正后只能得到较测得值更为准确的结果。

(2) 相对误差相对误差定义为绝对误差与被测量的真值之比，即绝对误差相对误差=真值(1-4) 相对误差只有大小和符号且量纲为一，一般用百分数来表示。

此外，相对误差常用来衡量测量的相对准确程度，相对误差越小，测量精确度越高。

(3) 引用误差对于有一定测量范围的测量仪器或仪表，以上所提到的绝对误差和相对误差都会随测量点的改变而改变，因此往往还采用其测量范围内的最大误差来表示该仪器仪表的误差，这就是引用误差的概念。

引用误差定义为在一个量程内的最大绝对误差与测量范围上限或满量程之比，即最大绝对误差引用误差＝测量范围上限(1-5) 根据国家标准GB776—76《测量指示仪表通用技术条件》规定，我国电工仪表的精确度等级就是按照引用误差进行分级的。

一般分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0七级，分别表示它们的引用误差不超过的百分数。

例1-1 某1.0级电流表，满度值为100A μ，求测量值分别为100A μ，80A μ和20A μ时可能出现的最大绝对误差和相对误差。

根据题意得1100A x μ=，280A x μ=，320Ax μ=（13x x -对应了三次测量值），且考虑到绝对误差不随测量值而变，均为123100 1.0%1A x x x μ∆=∆=∆=±⨯=±则最大相对误差分别为1111100%100%1%100x x r x ∆=⨯=±⨯=± 2221100%100% 1.25%80x x r x ∆=⨯=±⨯=± 3331100%100%5%20x x r x ∆=⨯=±⨯=± 可见，在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。

例1-2检定一只2.5级、量程上限为100 V 的电压表，发现在50 V 处误差最大，其值为2 V ，而其他刻度处的误差均小于2 V ，问这只电压表是否合格？首先求得电压表的引用误差为(2/100)100%2%m r =⨯=由于2％<2.5％，所以电压表合格。

2．按性质分类(1)系统误差系统误差指在相同条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变；或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。

其定义为在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。

系统误差按照掌握程度分为已定系统误差和未定系统误差；按照变化规律可分为恒定系统误差和变值系统误差，其中变值系统误差又可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。

已定系统误差是误差的绝对值和符号已经确定的系统误差。

未定系统误差是误差的绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常可以估计出误差范围。

恒定系统误差是误差的绝对值和符号固定不变的系统误差。

如砝码标准量值的误差、某些仪器的调整偏差所引人的误差都属于恒定系统误差。

变值系统误差是误差的绝对值和符号变化的系统误差。

线性系统误差是误差的数值随某些测量系统的变化而逐渐增加或逐渐减小的系统误差。

周期性系统误差是误差的数值随某些测量条件发生周期性变化的系统误差。

如表盘安装偏心引起的误差，在一周示值上呈正弦规律变化，即表现为周期性系统误差。

复杂规律系统误差指变化规律很复杂的系统误差，但多次测量时其变化具有一定的规律性。

系统误差表现出的规律性，可根据其产生原因，通过采取一定的技术措施予以减小或消除，例如对测量值进行必要的修正可以在一定程度上减小系统误差的影响。

(2)随机误差随机误差也称偶然误差，是在相同条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预知方式变化的误差。

产生随机误差的原因很多，最常见的如实验过程中温度的波动、噪声的干扰、电磁场的扰动、电压的起伏和外界振动等。

这些因素之间可能很难找到确定的关系，而且每个因素的出现与否，以及这些因素对测量结果的影响，难以预测和控制。

从统计的角度来看，虽然某一个随机误差的出现没有规律性，也不能用实验的方法予以消除。

但是，如果进行大量的重复实验，就可能发现它在一定程度上所遵循的某种统计规律。

这样就可以运用概率统计的方法对随机误差的总体趋势及其分布进行估计，并采取相应的措施减小其影响。

(3)粗大误差明显超出规定条件下预期的误差称为粗大误差，或称过失误差。

这种误差较大，明显歪曲测量的结果，因此要按照一定的判决准则予以剔除。

产生粗大误差的原因可能是某些突发性的因素或疏忽、测量方法不当、操作程序失误、读错读数或单位、记录或计算错误等。

值得注意的是，系统误差和随机误差之间并不存在绝对的界线。

在生产实践中，由于测量是在某种环境中进行的，在一定条件下系统误差和随机误差间可发生变化甚至相互转化。

随着对误差性质认识的深化和测量技术的进步，有可能运用误差分离的技术，把随机误差的某些部分予以分离后实施修正，或者把系统误差当做随机误差来分析，通过概率统计的方法进行处理。

1.4.2 随机误差本节内容为随机误差的基本概念，通过对随机误差产生原因、特点及处理方法的介绍，了解随机误差的分布特征，并掌握算术平均值、测量标准差和极限误差等的计算方法。

1.4.2.1 随机误差的基本概念1.随机误差的定义随机误差也称偶然误差，是在相同条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预知方式变化的误差。

2.随机误差产生的原因随机误差是由许多不能掌握、不能控制、不能调节、更不能消除的微小因素所构成。

虽然产生随机误差的原因很多，但主要可分为以下三个方面：①测量装置方面的因素。

由于所使用的测量仪器在结构上不完善或零部件制造不精密，因而给测量结果带来随机误差。

例如，由于轴与轴承之间存在间隙，因而润滑油在一定条件下所形成的油膜不均匀的现象会给圆周分度测量带来随机误差。

② 测量环境方面的因素。

最常见的如实验过程中温度的波动、噪声的干扰、电磁场的扰动、电压的起伏和外界振动等。

③ 测量人员方面的因素。

操作人员对测量装置的调整、操作不当，如瞄准、读数不稳定等。

这些因素之间可能很难找到确定的关系，而且每个因素的出现与否，以及这些因素对测量结果的影响，都难以预测和控制。

3.随机误差的特点从统计意义来看，虽然某一个随机误差的出现没有规律性，也不能用实验的方法予以消除。

但是如果进行大量的重复实验，就能发现它在一定程度上遵循某种统计规律。

这样，就有可能运用概率统计的方法对随机误差的总体趋势及其分布进行估计，并采取相应的措施减小其影响。

常见的随机误差分布特征有很多种。

若以正态分布为例，则随机误差的出现服从以下规律：①单峰性 测量值与真值相差越小，其可能性越大；与真值相差很大，其可能性较小。

②对称性 测量值与真值相比，大于或小于某量的可能性是相等的。

③有界性 在一定的测量条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度。

④抵偿性 随机误差的算术平均值随测量次数的增加越来越小。

正态分布的概率密度函数如图2-1所示。

其表达式为212x y μσ⎧⎫-⎪⎪⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭ (1-6) 式中：y ——正态分布概率密度函数；x ——被测量的测量值；μ——被测量的真值；σ——标准差。

从图2-1可以看出，σ越大，则测量的数据越分散。

图2-l 正态分布曲线4.减小随机误差的技术途径①测量前，找出并消除或减少产生随机误差的物理源。

②测量中，采用适当的技术措施，抑制和减小随机误差。

③测量后，对采集的数据进行适当处理，抑制和减小随机误差。

如数据处理中常用低通滤波、平滑滤波等方法来消除中高频随机噪声，用高通滤波方法来有效消除低频随机噪声等。

1.4.3 算术平均值与标准误差1.4.3.1 算术平均值基于随机误差的上述特性，通过多次测量求平均值的方法，可以使随机误差相互抵消。

算术平均值与真值较为接近，一般作为最后测量结果。

在等精度测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，测量值代数和除以测量次数而得到的值称为算术平均值。

其表达式为11ni i x x n ==∑ (1-7) 式中：n ——测量次数；i x (i ＝1，2，…，n )——n 个测量结果。

因为算术平均值与被测量的真值最为接近，若测量次数无限增加，则必然趋近于真值，因此将其作为测量结果的最佳估计。

根据误差定义有i i x δμ=- (1-8)式中：i δ——某次测量的误差；i x ——某次测量的测量值；μ——被测量的真值。

式(1-8)还可写成[E(X)][E(X)]i i i x x δμμ=-=-+- (1-9)式中：E(X)——测量结果的期望(又称为数学期望)。

测量误差由两个分量组成：[E(X)]i x -为测量结果与期望的偏差，一般称为随机误差。

其特点是：当测量次数趋于无限大时，随机误差的期望趋于零；[E(X)]μ-为期望与真值的偏差，通常称为系统误差。

式(1-9)可以揭示以下结论：①重复条件下对同一被测量进行无限次测量，测量结果的平均值就是数字期望；②随机误差等于误差减系统误差；③因为测量次数不可能做到无限次，因此只能确定随机误差的估计值。

总之，随机误差是测量误差中数学期望为零的误差分量，而系统误差则是测量误差中数学期望不为零的误差分量。

1.4.3.2 测量的标准差标准差作为随机误差的代表，是随机误差绝对值的统计均值。

在国家计量技术规范中，标准差的正式名称是标准偏差，简称标准差，用符号σ表示。

当对一个参数进行有限次测量时，应将其视为对测量总体取样而求得的标准差估计值，用s 表示，以区别于总体标准差σ。

为便于教学描述，本书对标准差估计值仍用σ表示，但读者应对两者的区别有所了解。

1.单次测量的标准差测量列中单次测量值(任一测量值)的标准差定义为σ (1-9)式中：i δ为第i 次测量的真差。

由于真差i δ未知，所以不能直接按照定义求得σ值，故实际测量时常用残余误差i i x x ν=-代替真差，按照贝塞尔(Bessel)公式求得σ的估计值为σ=(1-10)2.算术平均值标准偏差 如果在相同条件下对同一量值进行多组重复的系列测量，则每一系列测量都有一个算术平均值。