积分上限函数的一些应用
- 格式：pdf
- 大小：50.28 KB
- 文档页数：3
．
又 Ｆ（ ） Ｉｆ ｘ ｄ ．Ｆ０） ０ 一 （ ）ｘ
Ｊ Ｏ
Ｊ ） ，ｒ ， 删 ｄ 即 （ 一 ｘ 州
０ Ｊ ｑ ＪＯ
２ 证 明 积 分 不 等 式 ． 对 于 有 些 含 有 定 积 分 的不 等 式 的 证 明 ， 往 可 以 把 积 分 上 限 变 为参 数 而构 造 辅 助 函数 ， 往 再
在 ， 上 可 导 ， Ｆ 妇 且 ）一 厂（ ， 就 是 积 分 上 限 函 数 的 导 数 定 理 。 该 定 理 直 接 推 得 连 续 ） 这 由
函数 一 定 存 在 原 函 数 ， 而推 出著 名 的 牛 顿 一 莱 布 尼 兹 公式 ， 此 ， 分 上 限 函数 的 导 数 定 理 进 因 积 也 称 之 为 微 积分 基 本 定 理 。 文 介 绍 积 分 上 限 函数 在 证 明 积 分 等式 、 等 式 及 中值 命 题 时 的 一 本 不
积 分 上 限 函 数 的 一 些 应 用
唐 艳 蕾 ， 张 汉 清
（ 西省 财政 税 务专 科学 校 ，山西 太 原 ００ ２ ） 山 ３ ０ ４
摘
要 ：通过 构 遣 积分 上 限 画数 证 明积 分等 式 ，积分 不等 式 ，并 蛄告 微 积分 中值 定理 可
证 喁一 些 与定 积舟 有 关的 中值耷 题 ．
例 ４ 设 ，０ ）在 ， 上 连 续 ， ，（ ）＞ ０ 证 明 且 ｚ ，
ｆ 而 出≥６ Ⅲ １ （ 一
证 ： 造 函数 构
Ｆ（）一 ， ｚ ７ 出 一 （ ｎ 。 ≤ ≤ ６ ， Ｆ（ ＝ 。 （ ）ｚ — ）， ）则 ）
． ． ．
证： 构造 函数 Ｆ妇）一 ｌ ｆ ｘ ｄ （ ）ｘ
ｄ
‘
． ． ‘
Ｊ， （ 一 ， 一『（ 州 （ Ｊ 州 Ｊ ｏ ０ ，
） 一 ０， ’Ｆ （ ） ＝ ｃ， ． ． ａ
， （ ）＝ ｆ（ ＋ ７）一 ｆ ａ ． ‘ 口 ａ １ （ ） Ｆ
些 应 用 １ 证 明 积 分 等 式 ． 当 积 分 等 式 中 的 某 定 积 分 的 上 限 （ 下 限 ）为 字 母 时 ， 视 其 为 变 量 ， 造 一 个 积 分 上 限 或 可 构
函 数 ， 过证 明 此 函数 的 导 数 为 零 ， 可 推 出要 证 的 等 式 ． 通 即
通 过 求 导 确 定 出 函数 的单 调 性 的 方 法 加 以证 明 。 例 ３设 函数 ，扛 ）在 ［． ］上 连续 且 单 调 减 少 ， 明 任 意 ∈ （ ， ）均 有 Ｏ１ 证 对 ０１，
ｒ 】
Ｉ （ ）ｘ＞ ４ｌ （ ）ｘ ｘｄ ｆ ｘｄ ｆ
证构 函 Ｆ ） ｛： ） ；造 数 ＝ 』（ ，出 则 ，） 』 （ （ｚ Ｆ Ｌ一 ｒ
维普资讯
第 ２ ０卷 第 ２期 ２０ ０ ２年 ６月
太 原 教 膏 学 院 学 报
ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＴＡ Ｙ Ｉ ＵＡＮ 】 钉 Ｔ ＮＳ ＵＴＥ ＯＦ ＥＤ ＵＣ ＴＩ Ａ ＯＮ
ｖ０１ ０ Ｎｏ． ，２ ２
Ｊ ｎ． ０ ２ ｕ ２ ０
㈣一 “ ， 志 如＋ ， （ ． ｒ
一
３ 证 明 中值 命 题 ．
＋ ＿］ ＇ ｆ √ 铬 ２ ［Ｉ＿＿ 出 （ １ ｔ － ）
ｚ。 ≥．
－ 函数 Ｆ（）单 调 不 减 ， 而 Ｆ（ ）≥ Ｆ（ ）一 ０ 因此 原 不 等 式 成 立 ． 从 ６ 口 ，
许 多 与 定 积 分 有 关 的 中值 命 题 ， 可用 构 造 积 分 上 限 函 数 结 合 微 积 分 中 值 定 理 的 方 法 加 以
关 键 词 ：积分 上 限 函数 ；积 分 不等 式 ； 中值 命 题
中 国 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ２ ２ 文 献标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ０ ８ ８ ０ （ ０ ２ ０ — ０ ９ ０ 】 ０ — ６ １ ２ ０ ） ２０ ２ — ３
如果函 厂 ￣ ｌＥ， 上连续， 数 （） Ｎ ａ妇 则变上限的定积分所定义的函数 Ｆ 一 Ｉ （ ｄ （） ＂ ｔ ｔ ｆ ）
例．厂）连 函 ，明 （ 一 』，）． １ （是 续 数证 ， 吉：（ｄ 设 － ｒ ）
证 ： 造 函 数 构
）ｐ 一
一
州 ．
由积 分 上 限 函数 的 导 数 定 理 及 复 合 函数 求 导 法 则 得
Ｆ （）： ａｆ ａ ）一 ÷口ｆ ａ ） ． 口 ￣ （ （ ・
’ 口 Ｆ （ ）一 Ｏ ． ｎ ， Ｆ（ ）： ｃ 又 ’ ， Ｆ（ ）一 ０ ． ｄ ０ ， Ｆ（ ）一 ０ 故 原 式 成 立 ． ，
例 ２ 设 厂扛 ）是 以 Ｔ 为 周 期 的 连 续 函数 ， 明 ： 任 意 ｎ∈ Ｒ， ． 证 对 有
Ｉ ｆｘｄ ｌ （）ｘ （） ｚ— ｘｄ ｆ
… ， 、
ｚ一— ） —■ 一
一 手 （ 。
‘ｆ（ 在 ［ ， ］ 单 调 减 少 ，‘当 ０ ） ０ １ 上 ． ． ＜ ＜ 时 √ （ ＞ ， ） 从 而当 ０ ） ， ＜ ≤ １时 ， 引 Ｆ（
＜ ０ 故 Ｆ（ ， ）在 （ ，］上 单 调 减 少 ， 是 对 任 意 口∈ （ ， ）有 Ｆ（ ） Ｆ（ ）即 Ｏ１ 于 ０１ ， ａ ＞ １，
收 稿 日 期 Ｏ ｌ １ — １ ２ Ｏ 一 ０ １
作 者 简 介 ｔ 艳 蕾 （９ ９ ） 士 ， 川 省 却 江 堰 市 ＾ ， 西 省 财 政 税 务 专 科 学枝 讲 师 唐 １６ － ， 四 山
维普资讯
，
， 臣汉 清 ： 争 上 限 矗兰 塑 二 积
又 Ｆ（ ） Ｉｆ ｘ ｄ ．Ｆ０） ０ 一 （ ）ｘ
Ｊ Ｏ
Ｊ ） ，ｒ ， 删 ｄ 即 （ 一 ｘ 州
０ Ｊ ｑ ＪＯ
２ 证 明 积 分 不 等 式 ． 对 于 有 些 含 有 定 积 分 的不 等 式 的 证 明 ， 往 可 以 把 积 分 上 限 变 为参 数 而构 造 辅 助 函数 ， 往 再
在 ， 上 可 导 ， Ｆ 妇 且 ）一 厂（ ， 就 是 积 分 上 限 函 数 的 导 数 定 理 。 该 定 理 直 接 推 得 连 续 ） 这 由
函数 一 定 存 在 原 函 数 ， 而推 出著 名 的 牛 顿 一 莱 布 尼 兹 公式 ， 此 ， 分 上 限 函数 的 导 数 定 理 进 因 积 也 称 之 为 微 积分 基 本 定 理 。 文 介 绍 积 分 上 限 函数 在 证 明 积 分 等式 、 等 式 及 中值 命 题 时 的 一 本 不
积 分 上 限 函 数 的 一 些 应 用
唐 艳 蕾 ， 张 汉 清
（ 西省 财政 税 务专 科学 校 ，山西 太 原 ００ ２ ） 山 ３ ０ ４
摘
要 ：通过 构 遣 积分 上 限 画数 证 明积 分等 式 ，积分 不等 式 ，并 蛄告 微 积分 中值 定理 可
证 喁一 些 与定 积舟 有 关的 中值耷 题 ．
例 ４ 设 ，０ ）在 ， 上 连 续 ， ，（ ）＞ ０ 证 明 且 ｚ ，
ｆ 而 出≥６ Ⅲ １ （ 一
证 ： 造 函数 构
Ｆ（）一 ， ｚ ７ 出 一 （ ｎ 。 ≤ ≤ ６ ， Ｆ（ ＝ 。 （ ）ｚ — ）， ）则 ）
． ． ．
证： 构造 函数 Ｆ妇）一 ｌ ｆ ｘ ｄ （ ）ｘ
ｄ
‘
． ． ‘
Ｊ， （ 一 ， 一『（ 州 （ Ｊ 州 Ｊ ｏ ０ ，
） 一 ０， ’Ｆ （ ） ＝ ｃ， ． ． ａ
， （ ）＝ ｆ（ ＋ ７）一 ｆ ａ ． ‘ 口 ａ １ （ ） Ｆ
些 应 用 １ 证 明 积 分 等 式 ． 当 积 分 等 式 中 的 某 定 积 分 的 上 限 （ 下 限 ）为 字 母 时 ， 视 其 为 变 量 ， 造 一 个 积 分 上 限 或 可 构
函 数 ， 过证 明 此 函数 的 导 数 为 零 ， 可 推 出要 证 的 等 式 ． 通 即
通 过 求 导 确 定 出 函数 的单 调 性 的 方 法 加 以证 明 。 例 ３设 函数 ，扛 ）在 ［． ］上 连续 且 单 调 减 少 ， 明 任 意 ∈ （ ， ）均 有 Ｏ１ 证 对 ０１，
ｒ 】
Ｉ （ ）ｘ＞ ４ｌ （ ）ｘ ｘｄ ｆ ｘｄ ｆ
证构 函 Ｆ ） ｛： ） ；造 数 ＝ 』（ ，出 则 ，） 』 （ （ｚ Ｆ Ｌ一 ｒ
维普资讯
第 ２ ０卷 第 ２期 ２０ ０ ２年 ６月
太 原 教 膏 学 院 学 报
ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＴＡ Ｙ Ｉ ＵＡＮ 】 钉 Ｔ ＮＳ ＵＴＥ ＯＦ ＥＤ ＵＣ ＴＩ Ａ ＯＮ
ｖ０１ ０ Ｎｏ． ，２ ２
Ｊ ｎ． ０ ２ ｕ ２ ０
㈣一 “ ， 志 如＋ ， （ ． ｒ
一
３ 证 明 中值 命 题 ．
＋ ＿］ ＇ ｆ √ 铬 ２ ［Ｉ＿＿ 出 （ １ ｔ － ）
ｚ。 ≥．
－ 函数 Ｆ（）单 调 不 减 ， 而 Ｆ（ ）≥ Ｆ（ ）一 ０ 因此 原 不 等 式 成 立 ． 从 ６ 口 ，
许 多 与 定 积 分 有 关 的 中值 命 题 ， 可用 构 造 积 分 上 限 函 数 结 合 微 积 分 中 值 定 理 的 方 法 加 以
关 键 词 ：积分 上 限 函数 ；积 分 不等 式 ； 中值 命 题
中 国 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ２ ２ 文 献标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ０ ８ ８ ０ （ ０ ２ ０ — ０ ９ ０ 】 ０ — ６ １ ２ ０ ） ２０ ２ — ３
如果函 厂 ￣ ｌＥ， 上连续， 数 （） Ｎ ａ妇 则变上限的定积分所定义的函数 Ｆ 一 Ｉ （ ｄ （） ＂ ｔ ｔ ｆ ）
例．厂）连 函 ，明 （ 一 』，）． １ （是 续 数证 ， 吉：（ｄ 设 － ｒ ）
证 ： 造 函 数 构
）ｐ 一
一
州 ．
由积 分 上 限 函数 的 导 数 定 理 及 复 合 函数 求 导 法 则 得
Ｆ （）： ａｆ ａ ）一 ÷口ｆ ａ ） ． 口 ￣ （ （ ・
’ 口 Ｆ （ ）一 Ｏ ． ｎ ， Ｆ（ ）： ｃ 又 ’ ， Ｆ（ ）一 ０ ． ｄ ０ ， Ｆ（ ）一 ０ 故 原 式 成 立 ． ，
例 ２ 设 厂扛 ）是 以 Ｔ 为 周 期 的 连 续 函数 ， 明 ： 任 意 ｎ∈ Ｒ， ． 证 对 有
Ｉ ｆｘｄ ｌ （）ｘ （） ｚ— ｘｄ ｆ
… ， 、
ｚ一— ） —■ 一
一 手 （ 。
‘ｆ（ 在 ［ ， ］ 单 调 减 少 ，‘当 ０ ） ０ １ 上 ． ． ＜ ＜ 时 √ （ ＞ ， ） 从 而当 ０ ） ， ＜ ≤ １时 ， 引 Ｆ（
＜ ０ 故 Ｆ（ ， ）在 （ ，］上 单 调 减 少 ， 是 对 任 意 口∈ （ ， ）有 Ｆ（ ） Ｆ（ ）即 Ｏ１ 于 ０１ ， ａ ＞ １，
收 稿 日 期 Ｏ ｌ １ — １ ２ Ｏ 一 ０ １
作 者 简 介 ｔ 艳 蕾 （９ ９ ） 士 ， 川 省 却 江 堰 市 ＾ ， 西 省 财 政 税 务 专 科 学枝 讲 师 唐 １６ － ， 四 山
维普资讯
，
， 臣汉 清 ： 争 上 限 矗兰 塑 二 积
