全等三角形的性质和判定(复习课)

第一讲全等三角形的性质及判定（一）一、要点提示1、全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

能够相互重合的顶点、边、角分别叫做对应的顶点、对应边、对应角。

全等符号为“≌”。

2、组成全等三角形的基本图形：（1）平移型：如图所示（对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到）（2）轴对称型：如图所示（重合的顶点就是全等三角形的对应顶点）。

（3）旋转型：如图所示。

它们可以看成以某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对应顶角、某些角的和或差中。

3、全等三角形的性质： ●对应角相等●对应边相等 ●对应边上的中线相等 ●对应边上的高相等●对应角的角分线相等 4、全等三角形的判定方法：（1）边角边定理（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（2）角边角定理（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）边边边定理（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等。

（4）斜边、直角边定理（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两具直角三角形全等。

5、判定三角形全等的基本思路：6、全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，已知一边一角边为角的对边→找任意一角→AAS边就是角的一条边找这条边上的另一角→ASA 找这条边上的对角→AAS 找该角的另一边→SAS已知两边找夹角→SAS找直角→HL 找另一边→SSS找两角的夹边→ASA找任意一边→AAS已知两角在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。

7、主要考点：能通过判定两个三角形全等，进而可以证明两条线段间的位置关系和大小关系，而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等，是几何证明的基础，进而还会涉及到数学思想中的转化思想和构造法等。

二、全等三角形的判定公理1、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)。

例1已知：如图，∠1＝∠2，AB ＝AD 。

全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（ ）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠= .【仿练1】如图2，已知ABC ADE ∆≅∆，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ∆≅∆，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .、图4EDCB A图2 图3M DA NBC 图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF ∵CM 是△的中线∴_____________( )∴____________________∴__________（ ） 或 ∵AC=EF∴____________________∴__________（ ）AB=AB （ ）在△ABC 和△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．BFECAFE DCB ACMBA B A例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．SAS C．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。

特别鸣谢资源原创者，本人仅仅便于自己的备课整理排版了一下。

第十一章全等三角形复习一、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

2、全等三角形有哪些性质（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”第十二章轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。

这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点,叫做对称点4.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______.点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______.2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等四、（等腰三角形)知识点回顾1.等腰三角形的性质①.等腰三角形的两个底角相等。

全等三角形第 1 节全等三角形的性质和判断【知识梳理】1、全等图形：能够完整重合的两个图形就是全等图形．2、全等三角形的观点与表示：能够完整重合的两个三角形叫作全等三角形．能够互相重合的极点、边、角分别叫作对应极点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．3、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角均分线相等，面积相等．4、全等三角形的判断方法：(1)边角边定理 ( SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理 ( SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理 ( AAS ) ：两个角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理 ( HL ) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．【诊疗自测】1、假如ABC≌Δ DBC，则 AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠DBC的对应角是_____，∠ DCB的对应角是_____．2、如图，已知△ABE≌△ DCE， AE＝2 cm， BE＝1.5 cm，∠ A＝25°，∠ B＝48°；那么 DE＝_____cm，EC＝ _____cm，∠C＝ _____°；∠D＝ _____°．C 和点E，点 B 和点D 分别是对应点，则另一3、假如△ABC和△ DEF这两个三角形全等，点组对应点是，对应边是，对应角是，表示这两个三角形全等的式子是．【考点打破】种类一：全等形例 1、由同一张底片冲刷出来的两张五寸照片的图案 _____全等图案，而由同一张底片冲刷出来的五寸照片和七寸照片 ____全等图形。

（填“是”或许“不是”）种类二：全三角形的定义和性质例 2、如图，点 E，F 在线段 BC 上，△ ABF 与△ DCE 全等，点 A 与点 D ，点 B 与点 C 是对应极点， AF 与 DE 交于点 M ，则∠ DCE= （）A ．∠B B．∠ A C．∠ EMF D ．∠ AFB例 3、如图，△ ABE 和△ ADC 是△ ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折 180°形成的，若∠ BAC ：∠ABC ：∠ BCA=28 ： 5： 3，则∠α的度数为（）A ． 90° B． 85° C． 80° D． 75°种类三：全等三角形的判断（SSS）例 4、用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图印迹如下图，则作图的依照是（）A ． SSS B． SAS C． ASA D． AAS例 5、已知：如图 2－ 1，△ RPQ 中， RP＝ RQ， M 为 PQ 的中点．求证： RM 均分∠ PRQ．剖析：要证 RM 均分∠ PRQ，即∠ PRM＝ ______，只需证 ______≌ ______证明：∵M 为 PQ 的中点（已知），∴______＝ ______在△ ______和△ ______中，RP RQ(已知 ),PM ______,______ ______(),∴______≌ ______（）．∴∠ PRM ＝ ______（ ______）．即 RM．例 6．已知：如图， AD ＝BC． AC＝ BD ．试证明：∠ CAD ＝∠ DBC .种类四：全等三角形的判断（SAS）例 7. 已知：如图3－1，AB、CD订交于O点，AO＝CO，OD＝OB．求证：∠ D＝∠ B．剖析：要证∠ D＝∠ B，只需证 ______≌ ______证明：在△ AOD 与△ COB 中，AO CO ( ),______ ______( ),OD ______( ),∴△ AOD ≌△ ______ （）．∴∠D＝∠ B （ ______）．例8、小红家有一个小口瓶（如下图），她很想知道它的内径是多少？可是尺子不可以伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有方法了．她拿来了两根长度同样的细木条，而且把两根长木条的中点固定在一同，木条能够绕中点转动，这样只需量出AB 的长，就能够知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为何吗？请说明原因．（木条的厚度不计）例 9、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接∠ABC= ∠ EBD=90 °），连结 AE 、 CD，试确立 AE 结论．（A 、B、D 三点共线，AB=CB ，EB=DB ，与 CD 的地点与数目关系，并证明你的种类五：全等三角形的判断（AAS和 ASA）例 10、某同学把一块三角形的玻璃打坏成了 3 块，现要到玻璃店去配一块完整同样的玻璃，同学小明知道只需带③ 去就行了，你知道此中的道理是（）A ． SAS B． SSA C． ASA D． HL例 11.如图，已知△ ABC的六个元素，则以下甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是例 12、已知：如图，PM ＝ PN，∠ M＝∠ N．求证： AM＝ BN．剖析：∵ PM＝ PN，∴要证AM＝BN，只需证PA＝ ______，只需证 ______≌ ______．证明：在△ ______与△ ______中，______ ______( ),______ ______( ),______ ______( ),∴△ ______≌△ ______ （）．∴ PA＝ ______ （）．∵PM＝PN （），∴PM － ______＝ PN－ ______，即 AM ＝ ______．例 13、已知： AB ⊥ AE ，AD ⊥ AC ，∠ E=∠ B， DE=CB ．求证： AD=AC ．．例 14、如图，在△ ABC中，∠ ACB＝90°， AC＝BC，BE⊥CE于点 E． AD⊥CE于点D．求证：△ DEC≌△ CDA．种类六：全等三角形的判断（HL）例 15. 已知在△ ABC和△ DEF中 , ∠ A=∠D=90°, 则以下条件中不可以判断△ABC和△DEF全等的是 ( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠ F,BC=EF例 16、如下图，在△ ABC中，∠ C=90°， DE⊥AB 于点 D， BD=BC,若 AC=6，则AE+DE=_____BDAE C【易错优选】1、如下图，△ABC ≌△ DEC，则不可以获得的结论是（）A ． AB=DEB ．∠ A= ∠ D C． BC=CD D ．∠ ACD= ∠ BCE2、如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，点 M是 AD的中点，且 MB=MC，若 AD=4，AB=6，BC=8，则梯形 ABCD的周长为（）A．22 B．24 C．26 D． 283、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则∠ ABC+∠ DFE=__________度【精髓提炼】判断三角形全等的基本思路：找夹角SAS已知两边 SS找直角HL找另一边SSS边为角的对边→找随意一角→AAS找这条边上的另一角→ASA已知一边一角 SA边就是角的一条边找这条边上的对角→AAS找该角的另一边→ SAS找两角的夹边ASA已知两角 AA找随意一边AAS备注：找寻对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边 ( 或最大角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ，一对最短边 ( 或最小角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是重点．全等三角形的图形概括起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型【本节训练】训练【 1】如图， E 为线段 BC 上一点， AB ⊥BC，△ ABE ≌△ ECD ，判断 AE 与 DE 的关系，并证明你的结论．训练【 2】如图，点A、F、C、D在同向来线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD的双侧，且 AB＝DE，∠ A＝∠ D，AF＝ DC．求证： BC∥EF．训练【 3】已知图中的两个三角形全等，则∠ 1 等于度．【训练 4】．如图，∠ BAC= ∠DAE ，∠ ABD= ∠ ACE ，AB=AC ．求证： BD=CE ．基础稳固一、选择题1、以下说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．此中正确的有（）．A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个DE=BC，以D、 E 为两个极点作地点不一样的三2、如图，△ABC是不等边三角形，角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多能够画出[ ] ．A．2 个B．4 个C．6 个D．8 个3、以下说法正确的选项是（）A、全等三角形是指周长和面积都同样的三角形;B、全等三角形的周长和面积都同样;C、全等三角形是指形状同样的两个三角形;D、全等三角形的边都相等4、以下两个三角形中，必定全等的是（）A.两个等边三角形B.有一个角是 40°，腰相等的两个等腰三角形C.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形D.有一个角是 100°，底相等的两个等腰三角形5、如图，△ ABC与△ BDE都是等边三角形， AB<BD，若△ ABC不动，将△ BDE绕点CD的大小关系为( )B 旋转，则在旋转过程中，AE与A．AE=CD B ． AE>CD C．AE<CD D．没法确立ECA B D6、如图，已知 AB=AD，那么增添以下一个条件后，仍没法判断△ABC≌△ ADC的是（）A．CB=CD B ．∠ BAC=∠DAC C．∠ BCA=∠ DCA D．∠ B=∠D=90°二、填空题6、如图，在△ ABC 中，AD⊥ BC 于 D，BE⊥ AC 于 E，AD 与 BE 订交于点F，若 BF=AC，则∠ ABC=_______7、如图，等腰直角三角形ABC的直角极点 B 在直线 PQ上，AD⊥ PQ于 D，CE⊥PQ 于 E，且 AD=2cm，DB=4cm，则梯形 ADEC的面积是 _____ ．8、（着手操作实验题）如下图是小明自制对顶角的“小仪器”表示图：（1）将直角三角板 ABC的 AC边延伸且使 AC固定；（2）另一个三角板 CDE?的直角极点与前一个三角板直角极点重合；（3）延伸 DC，∠PCD与∠ ACF就是一组对顶角，已知∠ 1=30°，∠ ACF为多少？三、简答题9、如图，已知AB=AC ，∠ 1=∠ 2，AD=AE ，求证：∠ C=∠ B．10、如图，在△ ABC中， AD是∠ BAC的均分线， DE、DF分别是△ ABD和△ ACD的高线，求证： AD⊥EF。

全等三角形第1节全等三角形的性质和判定【知识梳理】1、全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．2、全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．3、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．4、全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．【诊断自测】1、如果ΔABC≌ΔDBC，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠DBC的对应角是_____，∠DCB的对应角是_____．2、如图，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．3、如果△ABC和△DEF这两个三角形全等，点C和点E，点B和点D分别是对应点，则另一组对应点是，对应边是，对应角是，表示这两个三角形全等的式子是．【考点突破】类型一：全等形例1、由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案_____全等图案，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片____全等图形。

（填“是”或者“不是”）类型二：全三角形的定义和性质例2、如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB例3、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠BAC：∠ABC：∠BCA=28：5：3，则∠α的度数为（）A．90°B．85°C．80°D．75°类型三：全等三角形的判定（SSS）例4、用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS例5、已知：如图2－1，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．分析：要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______，只要证______≌______证明：∵ M 为PQ 的中点（已知），∴______＝______在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(____________,),(PM RQ RP 已知 ∴______≌______（ ）．∴ ∠PRM ＝______（______）．即RM ．例6．已知：如图，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .类型四：全等三角形的判定（SAS ）例7. 已知：如图3－1，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ．求证：∠D ＝∠B ．分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______证明：在△AOD 与△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=),______(),______(______),(OD CO AO∴ △AOD ≌△______ （ ）．∴ ∠D ＝∠B （______）．例8、小红家有一个小口瓶（如图所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）例9、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB=CB，EB=DB，∠ABC=∠EBD=90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．类型五：全等三角形的判定（AAS和ASA）例10、某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，同学小明知道只要带③去就行了，你知道其中的道理是（）A．SAS B．SSA C．ASA D．HL例11. 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是例12、已知：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．分析：∵PM ＝PN ，∴ 要证AM ＝BN ，只要证PA ＝______，只要证______≌______．证明：在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),______(______),______(______),______(______ ∴ △______≌△______ （ ）．∴PA ＝______ （ ）．∵PM ＝PN （ ），∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．例13、已知：AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E=∠B ，DE=CB ．求证：AD=AC ．．例14、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于点E ．AD ⊥CE 于点D ．求证：△DEC ≌△CDA ．类型六：全等三角形的判定（HL ） 例15.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=D E,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF例16、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BD=BC,若AC=6，则AE+DE=_____【易错精选】1、如图所示，△ABC≌△DEC，则不能得到的结论是（）A．AB=DE B．∠A=∠D C．BC=CD D．∠ACD=∠BCE2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（）A．22 B．24 C．26 D．283、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度A CBED【精华提炼】判定三角形全等的基本思路：SAS SS HLSSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边 AAS ASA SA AASSAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AA AAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边 备注：寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型【本节训练】训练【1】如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论．训练【2】如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．训练【3】已知图中的两个三角形全等，则∠1等于度．【训练4】．如图，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，AB=AC．求证：BD=CE．基础巩固一、选择题1、下列说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．其中正确的有（）．A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 [ ]．A．2个 B．4个 C．6个 D．8个3、下列说法正确的是（）A、全等三角形是指周长和面积都一样的三角形;B、全等三角形的周长和面积都一样 ;C、全等三角形是指形状相同的两个三角形;D、全等三角形的边都相等4、下列两个三角形中，一定全等的是（）A. 两个等边三角形B. 有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形C. 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形D. 有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形5、如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB<BD，若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为 ( )A．AE=CD B．AE>CD C．AE<CD D．无法确定6、如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°二、填空题6、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与B E相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=_______7、如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点B在直线PQ上，AD⊥PQ于D，CE⊥PQ 于E，且AD=2cm，DB=4cm，则梯形ADEC的面积是 _____．A8、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；（2）另一个三角板CDE•的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？三、简答题9、如图，已知AB=AC，∠1=∠2，AD=AE，求证：∠C=∠B．10、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高线，求证：AD⊥EF。

专题06 全等三角形的判定与性质1. 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。

2. 三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。

3. 三角形的外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。

大于它不相邻的任意一个内角。

4. 全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。

5. 全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。

在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。

1．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（ASA），∴AB＝AD．2．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC与△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．3．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．4．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS可得△ABC≌△ADC；（2）由（1）△ABC ≌△ADC ，得BC ＝CD ＝3，S △ABC ＝S △ADC ，求出S △ABC ＝AB •BC ＝6，即可得四边形ABCD 的面积是12．【解答】（1）证明：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴∠B ＝90°＝∠D ，在△ABC 和△ADC 中，，∴△ABC ≌△ADC （AAS ）；（2）解：由（1）知：△ABC ≌△ADC ，∴BC ＝CD ＝3，S △ABC ＝S △ADC ，∴S △ABC ＝AB •BC ＝×4×3＝6，∴S △ADC ＝6，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ＝12，答：四边形ABCD 的面积是12．5．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD ＝AB ，DE ∥AB ，∠DCE ＝∠A ．求证：DE ＝BC ．【分析】利用平行线的性质得∠EDC ＝∠B ，再利用ASA 证明△CDE ≌△ABC ，可得结论．【解答】证明：∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ，在△CDE 和△ABC 中，，∴△CDE ≌△ABC （ASA ），∴DE ＝BC ．6．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC 于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．7．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC ＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号） （只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是 （填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC DEF．求证：AB∥DE．【分析】（1）根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，即可解决问题；（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由题意补全图形如下：CD＝CH．证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．9．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可求解【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．10．如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，设BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，＝BC•DE＝×5×4＝10，∴S△BCD∴△BCD的面积为10．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC的长，由角度关系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，可得AC＝CD ＝1，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝﹣1．12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．13．如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE ＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S＝123，则BC＝ ，BF＝ ．△ABC【分析】（1）根据图形分别得出答案；（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可．【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，图③：BE﹣BC＝BF；（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BC+CE，∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BF+EF，∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，∵∠B＝∠F＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，∴AH＝3，∵S＝12，△ABC∴＝12，∴BC＝8，∵CE＝2，∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，故答案为：8，14或18．14．△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAF＝60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF＝PA，∴PB＝BF+PF＝PC+PA；（3）PC＝PA+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠PAM＝60°，∴△AMP是等边三角形，∴PM＝PA，∴PC＝PM+CM＝PA+PB．15．【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF，得BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，可证明△BHE≌△AGF （SAS），得BH＝AG；【迁移应用】由△BHE≌△AGF，得∠BHE＝∠AGF，可得∠AGF+∠GPO＝90°，从而∠BHE+∠HPD＝90°，∠HDP＝90°，故DG⊥BH；【拓展延伸】设AB交OH于T，交AC于K，根据△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，可得OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，即得△BOT∽△AOK，有＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，又OH＝GO，可得＝＝，故△BTH∽△AKG，即得＝＝，BH＝AG．【解答】【情境再现】证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，∴∠BEH＝∠AFG，∵OH＝OG，∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，在△BHE和△AGF中，，∴△BHE≌△AGF（SAS），∴BH＝AG；【迁移应用】解：猜想：DG⊥BH；证明如下：由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，∴∠BHE＝∠AGF，∵∠HOG＝90°，∴∠AGF+∠GPO＝90°，∴∠BHE+∠GPO＝90°，∵∠GPO＝∠HPD，∴∠BHE+∠HPD＝90°，∴∠HDP＝90°，∴DG⊥BH；【拓展延伸】解：猜想：BH＝AG，证明如下：设AB交OH于T，OG交AC于，如图：由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，∴△BOT∽△AOK，∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，∵OH＝GO，∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，∴＝＝，∴△BTH∽△AKG，∴＝＝，∴BH＝AG．。

第一节全等三角形的性质与判定知识结构导图高频核心考点1.全等三角形的有关概念全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

注：平移、对称、旋转前后的图形全等。

全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

相关概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2.表示方法：△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：书写全等三角形时要求对应顶点必须写在对应位置。

3.全等三角形的一般规律⑴全等三角形对应角所对的边是对应边，两组对应角所夹的边是对应边；⑵全等三角形对应边所对的角是对应角，两组对应边所夹的角是对应角；⑶两个全等三角形中的一对最长边（最大角）是对应边（对应角），一对最短边（最小角）是对应边（对应角）；⑷两个全等三角形有公共边时，公共边是对应边；⑸两个全等三角形有公共角时，公共角是对应角；⑹两个全等三角形有对顶角时，对顶角是对应角。

4.全等三角形的性质特别提醒：1.由全等三角形的性质可得到全等三角形的面积和周长相等，但周长和面积相等的三角形不一定全等。

2.全等三角形的性质是证明线段或角相等的重要方法，在运用这个性质时，关键是结合图形或根据全等三角形的记法灵活地找到对应边或对应角，要牢牢抓住“对应”二字。

5.全等三角形的判定(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形判定的书写格式:在△XXX和△XXX中_______________________________________∴△XXX≌△XXX（判定定理）在寻找证明两个三角形全等的条件时，应注意图形中的隐含条件：①公共边或公共角相等；②对顶角相等。

全等三角形的性质与判定复习课教学设计上课教师：高婷一、教材分析全等三角形的性质与判定综合运用是八年级数学上册第二单元第五小节的内容，是本章继等腰三角形等内容之后，又一证明线段、角相等的重要方法，尤其是接下来学习尺规作图，对尺规作图的作法的合理性和正确性的解释。

本小节中全等三角形的识别方法的给出都通过学生画图、讨论、交流、比较得出，注重学生实际操作能力，为培养学生参与意识和创新意识提供了机会。

本节课主要复习：1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边和对应角相等及其应用；2、全等三角形的判定：灵活选择SAS、ASA、AAS、SSS进行三角形全等的判定。

二、学情的分析八年级学生在学习了空间与图形的基本知识，积累了一定的活动经验，掌握一定的图形性质后，已具备初步的观察、计算、分析、归纳、推理等能力，但还需要巩固和提高，特别是学生用综合法进行证明和计算的能力，更需要进一步培养。

针对教材内容和八年级学生的实际情况，组织学生通过复习全等三角形的性质与判定，让学生在新授的基础上，熟练地运用三角形的性质进行线段相等、角相等的证明，以及追寻证明线段相等、角相等的途径，其中重要的途径与方法之一就是证三角形全等。

三、教学目标1、通过全等三角形的概念和识别方法的复习，让学生体会证明三角形全等的一般思维和方法。

2、培养学生观察和理解能力，会用符号语言证明三角形全等，并解决实际问题。

3、通过复习，激发学生学习的兴趣，培养学生主动探究、合作交流的习惯。

四、教学重难点重点：全等三角形的性质及其应用；全等三角形的判定方法及其灵活应用。

难点：灵活选择SAS、ASA、AAS、SSS进行三角形全等的判定。

五、教具准备：多媒体课件、三角尺。

六、教学过程（一）导入“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟，儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。

”如图是小东同学自己做的风筝，他根据, AB=AD，BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。

请用所学的知识给予说明，并说出是应用哪一知识来解决这个问题的？利用“SSS”求证三角形全等，然后利用全等三角形的对应角相等说A明两角相等。