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河南理工大学计算机图形学7章-3 曲面资料

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计算机图形学第七章自由曲线与曲面PPT

计算机图形学第七章自由曲线与曲面PPT

axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈〔0,1〕；
z(t) azt3 bzt2 czt dz
矢量表示：
p(t)a3tb2tc td
t∈〔0,1〕；
矩阵表示：
a
p(t) t 3
t2
t
1
b
c
t∈〔0,d1〕；
7.1.3 拟合和逼近
曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点） 来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定 的型值点序列确定，称为曲线曲面的拟合，如 图7-2所示。
曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线 曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点， 称为曲线曲面的逼近，如图所示。
图7-2 拟合曲线
图7-3逼近曲线
7.1.4连续性条件
通常单一的曲线段或曲面片难以表达 复杂的形状，必须将一些曲线段连接成 组合曲线，或将一些曲面片连接成组合 曲面，才能描述复杂的形状。为了保证 在连接点处平滑过渡，需要满足连续性 条件。连续性条件有两种：参数连续性 和几何连续性。
7.1.2 曲线曲面的表示形式
曲线曲面的可以采用显式方程、隐 函数方程和参数方程表示：
首先看一下直线的表示形式：已知 直线的起点坐标P1（x1，y1）和终 点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方 程表示为：
yy1yx22 xy11(xx1)
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
7.1.1 样条曲线曲面
在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制 曲线的形状。绘图员弯曲样条（如弹性细木条） 通过各型值点，其它地方自然过渡，然后沿样 条画下曲线，即得到样条曲线（Spline Curve)。 在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲 线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特 定的连续性条件，而样条曲面则可用两组正交 样条曲线来描述。

大学生精品课件：第7讲 曲线曲面造型基础-3

大学生精品课件：第7讲 曲线曲面造型基础-3

华中科技大学CAD中心
非均匀B样条曲面性质
由此可知，均匀双三次B样条曲面及Bezier曲面都是非均匀B样条曲面的特例。 因此，与双三次均匀B样条曲面及Bezier曲面一样，B样条曲面的几何特性如下：
几何不变性 函数连续性 对称性 凸包性 局部性 可分割性 升降阶特性
正是B样条表达方法这些优越的几何特性，因此B样条在当前CAD系统中得 到广泛应用。
最后所求即为双三次B样条插值曲面的控制顶点。
华中科技大学CAD中心
7.3.4 非均匀B样条曲面定义
类似于Bezier曲面的定义方法，将B样条曲线的定义推广到B样条曲面。
给定（m＋1）×（n＋1）个控制点P i , j（ i=0, 1, … , m ； j = 0, 1, …, n ）构 成特征多边形控制网格顶点，并给定参数u和v的次数 k 和 l 以及对应的节点向 量U＝[u0,u1, …, um+k+1]与V＝[v0,v1, …, vn+l+1]，则可定义一张k×l 次B样条曲 面p(u,v)，其表达为：
7.4．NURBS曲面 7.5．其它曲面表达方法
华中科技大学CAD中心
本章目的
1．熟练掌握Bezier曲面表示方法 2．熟练掌握B样条曲面表示方法 3．了解其它曲面表达方法
华中科技大学CAD中心
7.1、 曲面概述
解析曲面（代数面在造型系统中常见，但远远不 能满足复杂曲面造型的要求
o
x
y
P(0.7,0.6)
思考问题： 参数空间为一圆，在三维空间映射为什么曲线 ? ?
华中科技大学CAD中心
均匀三次B样条曲面的计算与绘制 根据前述定义，任意给定（u，v）值，即可按下式进行计算：

计算机图形学第8.3讲 曲面zds

计算机图形学第8.3讲 曲面zds
《计算机图形学》课程
第7讲 曲线曲面
主讲教师：张东水
湖南科技大学 地球空间信息研究中心
参数曲面的概念 P(u,w)=[x(u,w),y(u,w),z(u,w)] 0<=u,w<=1
P(0, w)
P(0,1)
P(u, 1)
P(0, 0)
P(u, w) P(u, 0)
P(1,1) P(1, w)
P(1, 0)
22
p(u,v)
Pi, j Bi,2 (u)B j,2 (v)
i0 j0
(u, v) [0,1] [0,1]
3）．双三次Bezier曲面(m=n=3)
33
p(u,v)
Pi, j Bi,3 (u)B j,3 (v)
i0 j0
(u, v) [0,1] [0,1]
P2,3
P2,3
P1ห้องสมุดไป่ตู้3
P2,2
w
1 (u,w)
0
1
u
Bezier曲面
• 1．定义
设Pij(i=1…n;j=1…m)为(n+1)*(m+1)个
空间点列，则m*n次Bezier曲面定义为：
nm
P(u, v)
Pij Bi,n (u)B j,m (v), 0 u, v 1
i0 j0
一般称Pij为Bezier曲面P(u,v)的控制顶点；把由
图 Bezier 曲面
1）．双线性Bezier曲面(m=n=1)
11
p(u,v)
Pi, j Bi,1(u)B j,1(v)
i0 j0
(u, v) [0,1] [0,1]
p(u, v) (1 u)(1 v)P0,0 (1 u)vP0,1 u(1 v)P1,0 uvP1,1

河南理工大学20102011学年图形学考试题资料

河南理工大学20102011学年图形学考试题资料

一、 名词解释（每题2分，共10分） 1 计算机图形学答：计算机图形学是一门旨在研究用计算机来生成、显示和处理图形信息的学科。

2 屏幕分辨率答：屏幕上显示的像素个数。

（屏幕单位长度上能分辨出的最大光点(像素)数） 3 窗口答：用户在用户坐标系中定义的任一区域称为窗口。

（P110） 4 外法线答：有立体内部指向外部的法线称为外法线。

5 平行投影 答：投影中心与投影平面的距离为无穷大时的投影称为平行投影。

（P103）1图形系统中输入设备常用的有键盘、_鼠标___、___光笔__、 触摸屏____等。

（P15） 2直线的属性主要包括线型、_____直线的宽度_和____直线的颜色__。

3在简单光反射模型中，反射光由____漫反射光____、___镜面反射光_______和_____环境光______三部分组成。

4直线生成的常用算法有____DDA 画线算法___、___中线画线算法_等。

（P36） 三、单项选择题（每题2分，共20分） 1．触摸屏是计算机图形系统的( A )设备。

A 输入B 输出C 输入输出D 不是输入设备 2．计算机图形显示器一般使用( A )颜色模型。

A RGBB CMYC HSVD HLS3．使用右边二维图形变换矩阵，将产生变换的结果为（ D ） A 图形放大2倍B 图形放大2倍，同时沿X 、Y 坐标轴方向各移动1个绘图单位C 沿X 坐标轴方向各移动2个绘图单位D 沿X 坐标轴方向放大2倍，同时沿X 、Y 坐标轴方向各平移1个绘图单位。

T =4．二维视象变换中，根据窗口和视区的关系，下列哪一种说法正确（）。

A窗口不变，视区变大，则图形缩小 B窗口不变，视区变大，则图形扩大C视区不变，窗口变大，则图形扩大 D 视区不变，窗口缩小，则图形缩小5．当观察光照下的光滑物体表面时，在某个方向上看到高光或强光，这个现象称为（B）。

A 漫反射B 镜面反射C 环境光D 折射6．绘制样条曲线时，如果控制点中的任一个发生了变动，只有局部曲线形状受到影响，该曲线是（D ）曲线。

计算机图形学及cad技术讲义——曲线曲面基本理论

计算机图形学及cad技术讲义——曲线曲面基本理论

第三讲 曲线曲面基本理论1概述(a) 飞机 (b) 船舶 (c) 汽车图 1-1 曲线曲面造型应用曲线曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design, CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机系统中如何用曲线曲面表示、设计、显示和分析物体模型。

它在航空航天、船舶、飞机、汽车等行业得到广泛应用(如图1-1所示)。

由Coons 、Bezier 等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础,经过三十多年的发展，曲线曲面造型现在已形成了以有理B 样条曲线曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲线曲面(Implicit Algebraic Surface)表示为主体的两类方法，且以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)手段为几何理论体系。

1.1曲线曲面表示曲线曲面可以用三种形式进行表示，即显式、隐式和参数表示，三种形式表示如下。

显式表示：形如),(y x f z =的表达式。

对于一个平面曲线而言，显式表达式可写为)(x f y =。

在平面曲线方程中，一个x 值与一个y 值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。

隐式表示：形如0),,(=z y x f 的表达式。

如一个平面曲线方程，隐式表达式可写为0),(=y x f 。

隐式表示的优点是易于判断函数),(y x f 是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。

参数表示：形如)(t f x =，)(t f y =，)(t f z =的表达式，其中t 为参数。

即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。

如平面曲线上任一点P 可表示为)](),([)(t y t x t P =，如图1-2(a)所示；空间曲线上任一三维点P 可表示为)](),(),([)(t z t y t x t P =，如图1-2(b)所示。

计算机图形学课件 第7章 三维变换及三维观察 电子教案[可修改版ppt]

计算机图形学课件 第7章 三维变换及三维观察 电子教案[可修改版ppt]

y X
(2)绕x轴旋转
1 0
0 0
TRX
0 0
cos sin
sin cos
0 0
z
0 0
0 1
y X
(3)绕y轴旋转
cos 0 sin 0
TR Y
0
sin
1 0
0
cos
0 0
z
0
0
0
1
y
X
4. 对称变换 (1)关于坐标平面对称 关于xoy平面进行对称变换的矩阵计算形式为：
1 0 0 0
TFxy
输出设备上的图形
7.2 三维几何变换
a b c p
p'x'
y'
z'
1pT3Dx
y
z
1d
h
e i
f j
q r
l m n s
7.2.1 三维基本几何变换
三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴 进行的几何变换 假 设 三 维 形 体 变 换 前 一 点 为 p(x,y,z)， 变 换 后 为 p'(x',y',z')。
1. 平移变换
1 0 0 0
Tt
0 0
1 0
0
0
1 0
Tx
Ty
Tz
1
Z (x,y,z) (x',y',z')
Y
X
图 7-5 平 移 变 换
2. 比例变换
(1)局部比例变换
a 0 0 0
Ts
0
0
e 0
0 j
0
0
0
0
0
1
例子：对如图7-6所示的长方形体进行比例变换，其中 a=1/2，e=1/3，j=1/2，求变换后的长方形体各点坐标。

第七章 曲面立体的投影(10建经上课用)

第七章 曲面立体的投影(10建经上课用)
1、辅助素线法： 过锥顶作一条线。 2、辅助圆法：
H
如何在曲面内取点？
辅助线如何作？
s m
平行于底圆作一圆。
例2：ABC位于圆锥体表面，已知V面投影，求H、W面投影。
s' a' d' (e') b'(c') c e s a b d
s" (a")
分析：
d" b" ABC不通过锥 顶，故为曲线。
e"
c"
求特殊点
作中间点
判断可见性
光滑连线
特殊点： 转向轮廓线上的共有点；极限点；对称轴上的顶点。
ห้องสมุดไป่ตู้
本章到此 结束， 同学们 再见！！
素线
（二）圆柱的投影图
O V
W
O H
转向轮廓线投 影的对应关系 圆柱面投影 可见性判断
对V面的转 对W面的转 向轮廓线 向轮廓线
（三）圆柱表面上的点和线
例1: 圆柱体表面一点M ，已知m′求m ，m"。 O
m'
V
M
W
（m"）
O
H
m
利用投影 的积聚性
例2： AC位于圆柱体表面，已知a’c’，求ac、a”c”。
2' (4') 5' 6' (4") 3" (2") 1" 5" 6"
1' (3')
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅴ Ⅵ
(a) 题图
3
4 2⑹
1 5
（b）
图
圆柱体开出一方槽的投影
③判断可见性，连线、加深
1' (3')

曲面模型知识点归纳总结

曲面模型知识点归纳总结

曲面模型知识点归纳总结曲面模型是计算机图形学中的一个重要概念，其在计算机辅助设计、动画制作、虚拟现实等领域都有广泛的应用。

曲面模型是一种由曲面构成的三维模型，可以用来描述自然界中的曲面形状，也可以用来构建艺术、工程、医学等领域中需要的复杂的曲面模型。

学习曲面模型知识，能够帮助我们更好地理解三维模型的构建和运用，下面对曲面模型的知识点进行归纳总结。

一、曲面模型的基本概念1. 曲面模型是什么？曲面模型是由曲面定义的三维模型，通常是通过一系列曲面片或曲线来描述一个物体的形状和结构。

曲面模型可以用来描述复杂的物体，比如人体、汽车、飞机等。

2. 曲面模型的优点与多边形或其它类型的模型相比，曲面模型有许多优点。

它可以更加准确地描述复杂的曲面形状，同时对于建模的复杂度也能够有着更好的控制。

此外，曲面模型还可以更好地进行光照和纹理的处理，使得渲染效果更加真实。

3. 曲面模型的应用曲面模型广泛应用于计算机辅助设计、动画制作、虚拟现实、医学成像、工程设计等领域。

比如在游戏开发中，曲面模型可以用来制作角色、场景、道具等；在医学成像中，可以用来重建人体器官的形状；在工程设计中，可以用来进行汽车、飞机、船舶的设计。

二、曲面的表示方法1. 参数曲面参数曲面是通过参数方程来表示的曲面，通常是由两个参数u、v来描述曲面上的点。

这种表示方法可以很好地描述复杂的曲面形状，如球面、圆柱面、双曲面等。

2. B样条曲面B样条曲面是由B样条曲线推广而来的曲面表示方法，它通过一系列的控制点和权重来定义曲面的形状。

B样条曲面具有良好的局部控制性和平滑性，因此在实际应用中被广泛使用。

3. NURBS曲面NURBS曲面是一种更加通用的曲面表示方法，它是由有理B样条曲线推广而来的，可以用更少的控制点和权重来定义复杂的曲面形状。

NURBS曲面是目前最为常用的曲面表示方法之一。

4. 曲面的渲染曲面的渲染是指将曲面模型转化为图像的过程，通常包括光照、纹理、阴影等处理。

第七章立体的投影

第七章立体的投影
1 5 (6) 2 (4) 3 7 (8) 6(8) 4 1(3) 5(7) 2
步骤： 1 分析 空间分析 投影分析 2 作图 • 求特殊点 • 作一般点 • 判别可见性， 并连线 • 整理，检查
6 1 5
4
8 3
2
7
讨论： 1 两正交圆柱相贯线的变化趋势
动 画
交线向大圆 柱一侧弯
Ⅰ
求截交线的实质是求两平面的交线(共有性)。 截交线的每条边都是截平面与立体表面、或截平面与截 平面的交线,顶点是截平面与平面立体的各棱线或边的交点。
3 作图步骤
（1）分析 空间分析：确定截交线的形状。 投影分析：确定截交线投影的形状。 （2）作图 • 作出截平面与各棱线或边的交点;如立体被多个 平面截切,应求出截平面间的交线. • 判别可见性,依次连线; 判别截交线可见性的原则：截交线所在面可见 则截交线可见，否则，不可见。 • 检查,整理.
首先判断点在立体的哪个表面，再具体作图。
k m ( n) k
n
m
n
k
m
圆柱上、下底面上取点同平面取点。 圆柱面上取点应利用圆柱面积聚性的投影作图。
例1 已知圆柱面上的直线AB、曲线BC的正面投影， 求其另外两面投影。
c
c
f d e a(b)
f
a b e d
平面立体——由若干平面围成的立体。 常见的平面立体有棱柱、棱锥和棱台等。
画平面立体的投影，只要画出组成平面立体的平面和 棱线(相邻棱面的交线)的投影，然后判别可见性。 平面立体的棱线和边的投影可见时，画成粗实线；不 可见时，画成虚线；当多种图线发生重叠时，应以粗实线、 虚线、点画线等顺序优先绘制。
二 棱柱
交线为两条平面 曲线（椭圆）

第7章 消隐

第7章 消隐

消隐的概述
物体空间消隐算法 物体空间是需要消隐的物体所在的三维空间。 物体空间是需要消隐的物体所在的三维空间。 算法描述如下： 算法描述如下： for（场景中的每一个物体） （场景中的每一个物体） { 将该物体与场景中的其它物体进行比较， 将该物体与场景中的其它物体进行比较，确定其 表面的可见部分； 表面的可见部分； 显示该物体表面的可见部分； 显示该物体表面的可见部分； }
消隐的概述
消隐不仅与消隐对象有关， 消隐不仅与消隐对象有关，还与观察者的位 置有关。如图所示，由于视点的位置不同， 置有关。如图所示，由于视点的位置不同， 物体的可见部分也不同： 物体的可见部分也不同：
D C B
E2
A
E1
消隐与观察者的位置关系
消隐的概述
按消隐的对象分类
― ―
线消隐（Hidden-line） 线消隐（Hidden-line） 面消隐（Hidden-surface） 面消隐（Hidden-surface） 物体空间消隐算法 图像空间消隐算法
为平面上任意一点。
多面体的消隐算法
算法实现的一般步骤 根据表面的数据结构，取顶点数据， 根据表面的数据结构，取顶点数据，计算表 面的外法线矢量。 面的外法线矢量。 计算外法线在投影方向上的分量的值。 计算外法线在投影方向上的分量的值。 根据分量的值判断表面的可见性。 根据分量的值判断表面的可见性。 若表面可见画出该表面， 若表面可见画出该表面，否则处理下一个表 面。
Yv
S
3
S
2
S
1
(x, y)
Xv
Zv
Z缓冲器算法基本思想 缓冲器算法基本思想
深度缓冲器算法
帧缓存来存放每个象素的颜色值 初值可放对应背景颜色的值 深度缓存来存放每个象素的深度值。 深度缓存来存放每个象素的深度值。 初值取成z的极小值。 初值取成z的极小值。

河南理工大学计算机图形学考试总结

河南理工大学计算机图形学考试总结

第一章：1.什么是计算机图形学，它主要研究内容？答：是一门研究用计算机将数据转换成图形，并在专用设备上显示和处理的学科，它着重研究图形生成和处理的原理、方法和技术，是一门多学科综合应用的新技术。

研究内容分为九个方向：1）基于设备的基本图形生成算法，如直线、圆弧等；2）图形元素的裁剪和几何变换技术；3）曲线和曲面的处理技术：插值、拟合、拼接和分解4）三维几何造型技术；5）三维形体的实时显示和图形的并行处理技术6）真实感图形生成技术和仿真模拟系统；7）随机形体或模糊景物的模拟生成技术；8）虚拟现实环境的生成和控制技术9）三维或高维数据场的可视化技术。

2.图形的构成要素和表示方法？答：图形的构成要素：几何要素：刻画对象的轮廓、形状等；非几何要素：刻画对象的颜色、材质等。

图形的表示方法：点阵表示：是用具有颜色信息的点阵来表示图形的一种方法，它强调图形由哪些点组成，并具有什么灰度或色彩把点阵法描述的图形叫做图象；参数表示：是以计算机中所记录图形的形状参数与属性参数来表示图形的一种方法。

通常把参数法描述的图形叫做图形第二章 1.计算机图形系统由哪几部分组成，各自实现什么功能？答：作为一个图形系统，至少应具有计算、存储、输入、输出、对话等五个方面的基本功能。

计算机硬件+图形输入输出设备+计算机系统软件+图形软件。

图像硬件设备通常由图形处理器、图形输入设备和输出设备构成图形硬件包括高性能的图形计算机系统和图形设备。

图形设备由图形输入设备、图形显示设备和图形硬拷贝输出设备组成。

图形软件由图形应用数据结构、图形应用软件和图形支撑软件组成。

图形输入设备是指可以完成定位、描画、定值、选择、拾取、字符逻辑输入功能的一类物理设备。

键盘、鼠标、数字化仪、触摸屏、图像扫描仪、光笔图形显示设备：光栅扫描显示器(CRT)、液晶显示器(LCD)、等离子显示器2.常用的图形输入、输出设备有哪些？各有何特点？图形输入设备 1 键盘和鼠标2 跟踪球和空间球3 光笔4 数字化仪5 触摸板6 扫描仪图形输出设备显示器 1 阴极射线管显示器2 液晶显示器（LCD）3 发光二极管显示器4 等离子显示器5 等离子显示器6发光聚合物技术3.图形软件分为几层？各个层有什么特点？计算机图形软件的分类：通用编程软件包和专业应用图形软件包几何造型平台：ACIS和Parasolid ；4.熟悉光栅扫描显示系统的结构。

计算机图形学_完整版 ppt课件

计算机图形学_完整版 ppt课件
图元（图素） Primitive 矢量（向量）图 Vecter-based graphics 参数图 Parametric 动画 animation
▲ 图像（Image）
➢一些相关概念： 像素 Pixel 网格图 Grid 位图 Bitmap 点阵图 光栅图 Raster 图片 Picture……
计算机图形学与虚拟现实 Computer Graphics and Virtual Reality
第一章 图形学综述 第二章 图形系统概述 第三章 输出图元 第四章 图元属性 第五章 图形变换 第六章 三维对象的表示 第七章 可见面判别算法 第八章 光照模型 第九章 图形用户界面和交互输入方法 第十章 颜色模型 第十一章 虚拟现实技术
系统 存储器
CPU
DAC
图 形
GPU
帧缓存 显存
卡
接口
视频卡
系统总线
其他输入/输出设备
图形卡工作原理示意
图形处理器
GPU
✓可看作连接计算机和显示终端的纽带。不仅存储图 形，还能完成大部分图形函数，减轻了CPU的负担， 提高了显示能力和显示速度。
图形软件体系结构
专业应用系统，如MATLAB、 AutoCAD、3DSMAX、 UG……
CGM 图元文件
CGI 设备相关服务
操作系统通信接口
图形输 入设备
图形 工作站
图形输 出设备
图形输出显示设备
阴极射线管 CRT
存储管式显示器→随机扫描显示器（矢量显示器）→ 刷新式光栅扫描显示器→彩色光栅扫描显示器
平板显示器FPD 等离子体显示板 薄膜光电显示器 发光二极管LED 液晶显示器LCD
边界表示 B-reps
使用一组多边形平面或曲面——面片，来描述 三维对象。面片将对象分为内部和外部。

计算机图形学 ch07 曲线与曲面

计算机图形学 ch07 曲线与曲面
14
1. 曲线的表示形式

切矢量P’(t)：
x '(t ) dP(t ) P(t t ) P (t ) P '(t ) lim y '(t ) t 0 dt t z '(t )
反映曲线上各点的坐标变量关于参数的变化率。方向与曲线 的变化方向一致。 P(1) R ∆P Q P(0) P’(t) P(t) P(t+∆t)
24
2. 曲面的表示形式
曲面可表示为：
z f ( x, y) 或 F ( x, y, z ) 0
x x (u , v ) 矢量方程为： 其参数表达式为： y y (u , v) r r(u, v) r( x(u, v), y(u, v), z(u, v)) z z (u , v )

与坐标轴相关； 多值；如：x2+y2=R2


会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)；
不便于计算机编程。
11
1. 曲线的表示形式
参数表示的优点：

便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空 间去；

参数方程将自变量和各因变量完全分开，使 得参数变化对各因变量的影响可以明显地表 示出来。

规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分 量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界； 易于用矢量和矩阵表示，简化了计算。
15
1. 曲线的表示形式

弧长s：对正则曲线P=P(t)，定义
s (t )

t
dP (t ) dt

dt
P(0)
P(t)
0
为曲线从参数区间0→t的弧长。其中

曲面知识课件

曲面知识课件

z oy
椭圆锥面
x2 a2

y2 b2

z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆

x2 (at)2

y2 (bt)2
1,
zt
z
z
o yy xx
在平面x＝0 或y＝0 上的截痕为过原点的两直线.
可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上
内容小结
（1）空间曲面
三元方程 F(x, y , z) 0
则F(x,y,z)= 0 称为曲面S的方程（通常
称此方程为曲面的一般方程）,
曲面 S 叫做方程 F(x,y,z) = 0的图形.
F(x, y, z) 0
z
S
oy x
例如：三元一次方程 Ax+By+Cz+D= 0 是空间平面 的方程. 平面又称为一次曲面.
曲面的参数方程
x x(u, v),
化简得 2x 6 y 2z 7 0
上例说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
曲面的一般方程
如果曲面 S 与方程 F(x, y, z) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
z
y x
单叶双曲面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( a,b, c 为正数)

7章-2曲线概论

7章-2曲线概论

5 控制点: 用来控制或调整曲线形状的形状特殊点，而 曲线本身不通过该点。 6 拟合：插值和逼近方法的统称。
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第5章―8/24
2020/11/14
计算机图形学
第7章 三维对象
四、常用矢量
1 位置矢量 曲线上任意点P的位置矢量P(t)：
P(t)=[x(t),y(t),z(t)] t∈[0,1]
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第5章―12/24
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第7章 三维对象
六 参数拟合曲线的优点
1）采用参数，使两个坐标量不产生直接关系； 2）采用格式化参数变量，使相应的几何分量有界； 3）被描述的曲线形状与坐标系的选择无关； 4）易于用矢量和矩阵进行表示； 5）便于处理无穷大问题； 6）便于进行几何变换后期处理。
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第7章 三维对象
五、样条表示
1 样条曲线表示 样条间曲线是由各个多项式曲线段连接而成的。 矢量形式：Q(t)=at3+bt2+ct+d 0≤t≤1
代数形式： x(t)= axt3+bxt2+cxt+dx
y(t)= ayt3+byt2+cyt+dy z(t)= azt3+bzt2+czt+dz
第5章―4/24
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§7.3.1 曲线和曲面基础
第7章 三维对象
一、曲线的分类
1 规则曲线：可用初等解析函数来表示 如圆、椭圆、双曲线、圆球、圆柱、圆锥等
2 自由曲线：以复杂方式自由变化，无法用初等解析函 数来描述的光滑连续性曲线
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计算机科学与技术学院 第5章―26/30
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第4章 实体与曲线曲面
(3)端点的切平面
由计算易知三角形P00P10P01，P0nP1nPmn，PmnPm-1,nPm,n-1， Pm0Pm-1,0Pm1 所 在 的 平 面 分 别 在 点 P00,P0n,Pmn,Pm0 与 曲 面 P(u,v)相切。
3 Bezier曲面的拼接
已知两张双三次Bezier曲面片： P： PP 1,2,3) i , j (i, j 0, Q： Q Qi , j (i, j 0,1,2,3)
实现G1连续性的条件为：
在边界上有公共切平面
(1) 共界： P1(1,v)=Q2(0,v)，
即有P3,i=Q0,i，i=0,1,2,3
1. 孔斯曲面片的边界条件 Hermite曲线：Q(t)=TMhGh=Fh(t)Gh w=0 0≤u≤1 w=1 0≤u≤1 u=0 0≤w≤1 u=1 0≤w≤1 2. 孔斯曲面片的数学形式 1）对位置矢量： u=0 w=0 P00=a00 u=1 w=0 P10=a30+ a20+ a10+ a00 u=0 w=1 P01=a03+ a02+ a01+ a00 u=1 w=1 P11= a33+ a32+ ….. + a01 + a00
(4)端点的法向 由端点的切平面知是P(u,v)在点P00的法向，其余各端 点的法向的情况也类似。 (5)几何不变性 由于曲面Q(u,v)的形状仅与各个控制点的位置有关，与 坐标系的选择无关。
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第4章 实体与曲线曲面
曲面片2 曲面片1
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.(9) .(10) ..(11) ..(12)
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第4章 实体与曲线曲面
4). 对扭曲矢量
=9a33u2w2+6a32u2+3a31u2+6a23uw2+4a22uw+2a21u
+3a13w2+2a12w+a11 u=0 w=0 Puw00=a11
u=i时，位置矢量：
Pi0=Fh1(ui)P00+Fh2(ui)P10+Fh3(ui)Pu00+Fh4(ui)Pu10 u u Pi1=Fh1(ui)P01+Fh2(ui)P11+Fh3(ui)P 01+Fh4(ui)P 11 u=i时，切向矢量：
w w uw uw P i0=Fh1(ui)P 00+Fh2(ui)P 10+Fh3(ui)P 00+Fh4(ui)P 10 w w w uw uw P i1=Fh1(ui)P 01+Fh2(ui)P 11+Fh3(ui)P 01+Fh4(ui)P 11
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第5章―21/30
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第4章 实体与曲线曲面
1．连续曲面的几何特性： 1）在连接方向上，边界的两端点重合（共点）； 2）两曲面片具有公共边界（共界）； 3）边界上任何一点，在跨越边界的方向上切线的方向 相同（共向）； 4）边界上任何一点，在跨越边界的方向上切线相同 或长度之比为常数（共线） 2．孔斯曲面拼接条件：
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P0,0 P 1, 0 G P2,0 p3,0
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P0,1 P0, 2 P0,3 P1,1 P1, 2 P1,3 P2,1 P2, 2 P2,3 P3,1 P3, 2 P3,3
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第4章 实体与曲线曲面
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第4章 实体与曲线曲面
双三次Bezier曲面矩阵形式(m=n=3)
Q(u, v) UMbGM V
T b
T
式中：
U [u
3
u
2
u 1]
1 0 0 0
V [v v v 1]
3 2
1 3 3 3 6 3 Mb 3 3 0 0 0 1
1）P10≡Q00 P11≡Q01 2）Pw10≡Qw00 Pw11≡Qw01 u u 3）P 1j≡Q 0j 4）Pu1j≡aQu0j
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第4章 实体与曲线曲面
7.5.2 Bezier曲面
1 Bezier曲面的定义
在空间给定 (m+1)×(n+1) 个点 Pi,j (i=0,1,2,…,m; j=0,1,2,…,n) 后，所有的控制点构成的空间的一张网 格称为控制网格。则Bezier曲面的定义如下：
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第4章 实体与曲线曲面
3. 中间曲线的定义
令w=j，u=i ，求中间两条曲线。 当w=j时，Q(i，j)的端点：P0j、P1j ， 两端点切矢：Pu0j、Pu1j 。 对u=0或u=1边界上点u向切矢： Pu0j、Pu1j是随着w的变化而变化的，其变化率
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第4章 实体与曲线曲面
在四个顶点处：
中间点的各切向矢量用两端点处的切矢和扭矢来确定
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第4章 实体与曲线曲面
对曲面上点 Q(i ， j) ，是 u=i 和 w=j 两条曲线的交点， 根据Hermite曲线：
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w
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第4章 实体与曲线曲面
孔斯曲面的矢量形式：
孔斯曲面的矩阵形式：
u调和函数
矢 量 矩 阵
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w调和函数
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第4章 实体与曲线曲面
位置矢量
扭曲矢量 在实际中取为0
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第4章 实体与曲线曲面
4．曲线上任意点确定
当取0≤j≤1和0≤i≤1时， 令u=i、 w=j，两条曲线的交点：Q(i，j)。
uw
Pij
W=j
P01
Pij
Pij
u
w
u=i
P11 P00
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P10
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第4章 实体与曲线曲面
曲面的表示
曲面：由边界条件 构造曲面片 曲面片拼接曲面 曲面片：是构造曲面的基本单元， 是以曲线为边界的点的集合。 工程常用的双三次参数方程表示曲面片：
u∈[0,1]，w∈[0,1]
u,w为参数，aij为系数向量，其中i=0,1,2,3，j=0,1,2,3， 共16个矢量
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第4章 实体与曲线曲面
2 Bezier曲面的性质
(1)端点位置 控制网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点。
Q(0,0) P0,0 ; Q(0,1) P0,n ;
Q(1,0) Pm,0 ; Q(1,1) Pm,n
(2)边界线的位置 控制网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界， P(0,v),P(u,0),P(1,v),P(u,1) 分别是以P00P01P02…P0n,P00P10P20…Pm0, Pm0Pm1Pm2P…Pmn, P0nP1nP2n…Pmn 为控制多边形的Bezier曲线。
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第4章 实体与曲线曲面
一、曲面片的边界条件
1．四个角点 ① u=0 w=0 曲面过Q(0,0)点，用P00表示 ② u=0 w=1 曲面过Q(0,1)点，用P01表示 ③ u=1 w=0 曲面过Q(1,0)点，用P10表示 ④ u=1 w=1 曲面过Q(1,1)点，用P11表示 2．四条边界 ① u=0 0≤w≤1 ② u=1 0≤w≤1 ③ w=0 0≤u≤1 ④ w=1 0≤u≤1 3．八个切线矢量 构造u=0、u=1、w=0、w=1边界需要八个切线矢量：
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第4章 实体与曲线曲面
5．任意点处的矢量 ① 在Q(i，j)处存在u方向切矢：
② 在Q(i，j)处存在u方向切矢：
③ 在Q(i，j)处存在混合导数（扭曲矢量）：
6．构造曲面片的边界条件
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第4章 实体与曲线曲面
7.5.1 孔斯曲面
下图是双三次Bezier曲面及其控制网格
P 2,3 P 1,3 P 1,2 P 0,2 P 0,3 P 0,1 P 1,1 P 1,0 P 3,0 P 2,2 P 2,1 P 2,3 P 3,3 P 2,0 P 3,1
P 0,0
双三次Bezier曲面及其控制网格
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第4章 实体与曲线曲面
二次曲面（圆锥曲面）
直纹曲面
回转面
构造曲面
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第4章 实体与曲线曲面
摩托车油箱曲面模型线框图