第一章有理数的概念及计算

有理数的概念和运算法则有理数是指可以表示为两个整数的比例形式的数，包括正有理数、负有理数和零。

在数轴上，有理数可以表示为一个点，点的位置与其对应的有理数大小有关。

有理数的概念很早就在人们的生活中出现了，主要是为了解决各种实际问题。

比如，在买卖商品的过程中，涉及到价格的加减乘除等运算，而价格往往是一个有理数，所以理解有理数的概念是非常重要的。

有理数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。

下面我们将分别介绍这几种运算法则。

1. 加法：对于两个有理数a和b，它们的和可以表示为a + b。

如果a和b都是正数或者都是负数，那么它们的和也是正数或者负数；如果a和b一个是正数，一个是负数，那么它们的和可能是正数、负数或者零。

我们可以通过数轴上的移动来演示有理数的加法运算。

2. 减法：对于两个有理数a和b，它们的差可以表示为a - b。

我们可以将减法转化为加法，即a - b = a + (-b)。

这样，减法运算就可以转换为加法运算，使得运算更加简便。

3. 乘法：对于两个有理数a和b，它们的乘积可以表示为a × b。

乘法的法则是：两个正数相乘为正数，两个负数相乘为正数，一个正数和一个负数相乘为负数。

同样地，我们可以通过数轴上的距离来演示有理数的乘法运算。

4. 除法：对于两个有理数a和b（b ≠ 0），它们的商可以表示为a ÷b。

除法的法则是：两个正数相除为正数，两个负数相除为正数，一个正数和一个负数相除为负数。

除法运算可以通过乘法的倒数来实现，即a ÷ b = a × (1/b)。

有理数的运算法则在实际问题中有着广泛的应用。

比如，在计算家庭的收入和支出时，需要进行有理数的加减运算；在计算速度和时间之间的关系时，需要进行有理数的乘除运算等等。

总之，了解有理数的概念和运算法则对于我们解决实际问题、提高数学能力都非常重要。

通过合理运用这些概念和法则，我们可以更加灵活地进行数的计算，解决各种实际问题，并且能够对我们的日常生活产生积极的影响。

有理数的概念与运算有理数是数学中的一类数，是整数和分数的统称。

有理数的概念与运算是数学的基础知识之一，对于理解和应用数学有着重要的意义。

本文将就有理数的概念、有理数的分类、有理数的四则运算以及有理数的应用进行探讨。

一、有理数的概念有理数是指可以表达为两个整数的比值的数，包括整数和分数。

有理数可以用分数表示，并且可以用有限小数或无限循环小数表示。

例如，-3、1/2、-0.75都属于有理数。

有理数的分类根据有理数的大小，可以将有理数分为正有理数、负有理数和零三类。

正有理数是指大于零的有理数，例如1/2、0.75等；负有理数是指小于零的有理数，例如-3、-0.5等；零是不小于也不大于零的有理数，即0。

二、有理数的四则运算1. 加法运算有理数的加法运算遵循相同符号相加、不同符号相减的原则。

即同号相加取符号、异号相减取绝对值后取符号。

例如：2/3 + 1/3 = 3/3 = 1-5 + 3 = -22. 减法运算有理数的减法运算可以转化为加法运算。

即减去一个数等于加上其相反数。

例如：1/2 - 1/4 = 1/2 + (-1/4) = 1/2 + (-1/2) = 03. 乘法运算有理数的乘法运算可以直接按照分数的乘法规则进行运算。

即分别对分子和分母进行相乘。

例如：-3/4 × 2/3 = (-3×2)/(4×3) = -6/12 = -1/24. 除法运算有理数的除法运算可以转化为乘法运算。

即除以一个数等于乘以其倒数。

例如：-3/4 ÷ 2/3 = (-3/4) × (3/2) = -3/8三、有理数的应用1. 数轴表示有理数可以用数轴表示，便于直观理解和比较大小。

在数轴上，正有理数位于原点右侧，负有理数位于原点左侧，零位于原点上。

2. 比较大小有理数的大小可以通过大小关系符号进行比较。

其中，大于号（>）表示大于，小于号（<）表示小于，等于号（=）表示相等。

第一章 有理数知识网络 有理数：一、概念：1.有理数的分类 2.相反数 3.有理数大小比较 4.绝对值 5.倒数二、运算：1.加减法 2.乘除法 3.乘方4.混合运算（法则） 学法导航1.有理数的概念是在是在自然数的基础上建立的，所以有理数的运算 依赖于算数的计算但是要认清有理数与算术数在特征上的不同。

有理数由两部分组成：一是数字（绝对值)部分，二是符号部分。

2.弄清绝对值、相反数、数轴这三个概念的本质和相互之间的联系，是学习有理数运算的必备条件。

分清有理数运算中的作用，不仅可以使运算简化，还可以使学生发现规律找到窍门，从而获得研究数学的乐趣。

知识技能一、有理数的相关概念有理数 正数与负数数轴 相关概念 计算科学记数法与近似数1.正数和负数的定义2.有理数的定义3.有理数的分类：（1）按整数和分数的关系分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 （2）按整数、负数、0的关系分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数04.数轴的概念1) 数轴的概念：规个定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

2) 用数轴表示数： 任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点表示， 但数轴上的任意一点却不一定表示一个有理数，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示.3) 利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数. 5.相反数1）概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数.0的相反数仍是0. 2）性质:①在数轴上，表示一对相反数的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，它们关于原点对称.②互为相反数的两个数的和为0；即：若a 与b 互为相反数，则0=+b a .反之，若两数的和为0，则它们互为相反数。

0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a a a a 6.绝对值1）概念：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记做a .2）性质：①一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.②绝对值具有非负性，即a ≥0. 3）“两个负数，绝对值大的反而小” 类型1. 正数和负数考点分析：用正负数表示具有相反意义的量 典型例题：例1.下面各数哪些是正数，哪些是负数？哪些是正整数，哪些是负整数？哪些是正分数（小数），哪些是负分数（小数）？7，－9，109-，－301，274+，31.25，－3.5， ＋2004，211例2.（1）若将低于海平面392米的死海记作－392米，则高于海平面8848米的世界最高峰——珠穆朗玛峰应记作________米；（2）一根铁丝受热后伸长2mm ，记作＋2mm ，把受热的铁丝放入冷水中收缩4mm 应记作_______mm ；（3）存入银行2000元记作＋2000元，－500元表示______________；（4）图纸上一个零件的直径是03.002.030+-Φ(单位：mm).这样标注表示零件的标准尺寸是___________，实际产品的直径最大可以是___________，最小可以是___________.例3. 某粮库10日存粮食3000t ，下表是该粮库一周内进出粮食的记录（运进为正） 日期 11121314151617进出(t)+80 -22 -27 +62 -25 +50 -55(1) 根据记录，这周内该粮库哪一天运进的粮食最多？哪一天运出的粮食最多？（2）一周后（17日）该粮库共有粮食多少吨？ (3) 哪一天粮库里粮食最多？例4. 观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第101个数、第2004 个数是什么吗？（1）－1，－2，＋3，－4，－5，＋6，－7，－8，______，______，______，…．（2）－1，21，－3，41，－5，61，－7，81，______，______，______，…． 类型2. 有理数 考点分析： 1.有理数的分类： 2.分数与小数的互换 典型例题：例1.下列说法正确的是（ ） A ．一个有理数不是整数就是分数 B ．正整数和负整数统称整数C ．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数D ．0不是有理数例2.把21-，＋5，－6.3，0，6.9，1312-，542，－7，210，0.031，－43，－10％，填入它所属于集合的圈内：例３．试一试：比较a 与－a 的大小。

初中数学第一章有理数知识点归纳总结初中数学第一章主要涉及有理数的概念、运算规则、绝对值和相反数等知识点。

下面将对这些知识点进行归纳总结。

1.有理数的概念：有理数是整数和分数的统称，包括正整数、负整数、零，以及正分数和负分数。

有理数可以用分数形式表示，也可以用小数形式表示。

2.整数的概念：整数包括正整数、负整数和零。

正整数表示数量时为正，负整数表示数量时为负，零表示没有数量。

3.分数的概念：分数由分子和分母组成，分子表示被分成的份数，分母表示总的份数。

分数可以表示一个数在单位等分之中的一部分。

4.有理数的比较：有理数可以通过大小进行比较。

对于两个有理数a和b，如果a-b>0，则a>b；如果a-b<0，则a<b；如果a-b=0，则a=b。

5.有理数的加法与减法：有理数的加法和减法满足以下性质：-相同符号的两个数相加或相减，绝对值较大的数保留符号，结果的符号与原来的符号相同。

-不同符号的两个数相加或相减，绝对值较大的数保留符号，结果的符号与绝对值较大的数的符号相同。

6.有理数的乘法与除法：有理数的乘法和除法满足以下性质：-两个正数相乘或相除的结果为正数。

-两个负数相乘或相除的结果为正数。

-一个正数与一个负数相乘或相除的结果为负数。

-任何数除以零的结果为零。

7.绝对值：一个数的绝对值表示这个数离零的距离。

如果一个数是正数，那么它的绝对值就等于它本身；如果一个数是负数，那么它的绝对值等于它的相反数。

8.相反数：一个数与它的相反数的和为零。

一个数的相反数可以通过改变符号获得，正数变为负数，负数变为正数。

9.有理数的绝对值与相反数的关系：一个有理数的绝对值等于它的相反数的绝对值。

10.混合运算：混合运算指在一个表达式中同时包含加减乘除等不同的运算符号。

在混合运算中，先进行括号内的计算，然后进行乘除法运算，最后进行加减法运算。

11.近似数与精确数：在实际计算中，有时候需要使用近似数来代替精确数。

第一章有理数一、有理数的有关概念1、正数和负数大于0的数是正数(为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。

)，在正数前面加上“－”的数叫做负数(负数前面的“－”号不能省略)。

0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界。

注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。

例如－a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，－a是0，当a是负数时，－a是正数。

在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义。

习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

【例1】（1）下降5.5 m记作＋5.5 m，则上升10米记作_____m.（2）在食品的包装袋上，标明食品的净质量是80±5 g，这个“80±5”表示的最少是______________.（3）若将50计为0，则可以将49计为__________，+2为__________.【例2】如果向东为正，那么 -50m表示的意义是………………………（）A．向东行进50m B．向南行进50m C．向北行进50m D．向西行进50m2、有理数的分类正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称有理数。

注意：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。

如果用字母表示数，则a>0表明a是正数；a<0表明a是负数；a≥0表明a是非负数；a≤0表明a是非正数。

【例3】把下列各数填入相应的大括号内：-13．5，2，0，0．128，-2．236，3．14，+27，-45，-15%，-112，227，2613．正数集合{ …}，负数集合{ …}，整数集合{ …}，分数集合{ …}，非负整数集合{ …}3、数轴1、数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

有理数的概念与运算有理数是数学中的一种重要概念，它包括整数和分数。

有理数的运算是数学中的基础内容，它包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。

本文将介绍有理数的定义以及有理数的运算规则，帮助读者更好地理解和掌握有理数的概念与运算。

一、有理数的定义有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，它可以是正数、负数或零。

有理数包括整数和分数，整数可以看作分母为1的分数。

有理数可以用分数形式表示，例如1/2、-3/4等，也可以用小数形式表示，例如2.5、-0.8等。

二、有理数的运算规则1. 有理数的加法有理数的加法遵循以下规则：- 两个正数相加，结果仍然为正数；两个负数相加，结果仍然为负数；- 正数与负数相加，结果的符号取决于绝对值较大的数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数；- 加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b +c)。

2. 有理数的减法有理数的减法可转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。

例如，5 - 3 可转化为 5 + (-3) = 2。

3. 有理数的乘法有理数的乘法遵循以下规则：- 两个正数相乘，结果仍然为正数；两个负数相乘，结果为正数；- 正数与负数相乘，结果为负数；- 0与任何数相乘，结果为0；- 乘法满足交换律和结合律。

4. 有理数的除法有理数的除法可转化为乘法运算，即a ÷ b = a × (1/b)。

例如，12 ÷ 3 可转化为 12 × (1/3) = 4。

三、有理数的运算示例1. 加法示例：2/3 + 3/4 = (2×4 + 3×3)/12 = (8 + 9)/12 = 17/122. 减法示例：5/6 - 2/5 = (5×5 - 2×6)/30 = (25 - 12)/30 = 13/303. 乘法示例：2/3 × (-4/5) = (2×(-4))/(3×5) = (-8)/154. 除法示例：7/8 ÷ (-2/3) = (7/8) × (3/(-2)) = (-21)/16综上所述，有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。

七年级上数学每章知识点第一章有理数
有理数的概念
有理数的表示方法
有理数的大小比较
有理数的加减运算
有理数的乘除运算
有理数的应用
第二章整式与因式分解
整式的概念
整式的基本运算
整式的因式分解
公式与分式
整式的应用
第三章方程与不等式
方程的概念
一元一次方程
解一元一次方程的应用
不等式的概念
一元一次不等式
解一元一次不等式的应用
第四章分数
分数的概念
分数的基本性质
分数的基本运算
分数的化简与换算
分数的应用
第五章比例与比例的应用比例的概念
比例的表示方法
比例的性质与基本计算
分项与比例
应用题目
第六章相似与相似三角形
相似的概念与判定
相似三角形的性质
重心、中点、垂心、外心的性质相似三角形的应用
第七章平面直角坐标系
平面直角坐标系的建立
平面直角坐标系中点、距离公式点、线段、中点的坐标表示
图形的坐标表示
平面直角坐标系的应用
第八章线性方程组的解法
方程组的概念
二元一次方程组
三元一次方程组
解线性方程组的方法
线性方程组的应用
第九章一次函数
函数的概念
一次函数的定义与性质
一次函数的图象及相关概念
一次函数的应用
以上为七年级上数学的每章知识点内容，每章内容较多，需要
认真理解掌握。

为了更好的学习效果，建议结合教材里的示例和
习题进行练习。

掌握每章的知识点，对于学习数学后续的知识和
应用都将起到很好的帮助作用。

祝愿每位同学在学习中有所收获！。

有理数及其相关概念一、有理数的定义和性质（一）有理数的定义1、整数和分数统称为有理数。

有理数的分类：2、能够表示成一个既约分数mn （m 、n 都是整数，且m 、n 互质）的数叫有理数（有理数又叫可比数）；（二）有理数的性质1、有序性：任意两个有理数a 、b ，在,,a b a b a b >=<三种关系中，有且只有一个成立 。

2、封闭性：任何两个有理数的和、差、积、商（0不是除数）还是有理数。

3、稠密性：任何两个有理数之间都有无数个有理数。

例1、将下列循环小数化成分数。

（1）0.2 （2）0.6- （3）0.25 （4）0.34- （5）321.0 -例2、说明：边长为1的正方形的对角线不是有理数。

二、有理数的相关概念（一）数轴：（二）相反数：（三）绝对值：数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记做a . 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

例3、（1）指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数．（2）已知点A 在数轴上对应的有理数为a ，将A 向左移4个单位长度后，再向右移动1个单位长度得到点B ，点B 对应的数为5.3-，则有理数=a ________．例4、化简下列各数：（1）)];([a --- （2）)]};([{m +-+- （3）)];([y x --- （4）)].([b a +-+例5、如果a 是一个不等于1-的负整数，试用“<”连接a 、a 1、a -、a1-这几个数．例6、（1）已知2=a ，5=b ，且b a >，试求a ，b 的值．（2）若032=-++y y x ，试求y x 32+的值．例7、设a 、b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||b a b a +=+；（2）||||||b a ab =；（3）||||a b b a -=-；（4）若b a =||，则b a =；（5）若||||b a <，则b a <；（6）若b a >，则||||b a >。

《数学》第一章有理数的所有概念基础知识：1、大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数。

2、0既不是正数也不是负数。

3、正整数、0、负整数、正分数、负分数这样的数称为有理数。

（有限小数和无限循环小数都可化为分数）4、通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

数轴满足以下要求：（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度。

5、绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。

6、一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

记做|a|。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

7、有理数加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0.（3）一个数同0相加，仍得这个数。

加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

表达式：a+b=b+a。

加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。

表达式：（a+b）+c=a+（b+c）8、有理数减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数。

表达式：a-b=a+（-b）9、有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0.乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

表达式：ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

表达式：（ab）c=a（bc）乘法分配律：一般地，一个数同两个的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

表达式：a（b+c）=ab+ac10、有理数的除法法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

第一章：有理数
1.1自然数和整数的平方根
-平方根的定义和性质
-平方数
-二次方程
-平方跟的概念和计算方法
1.2有理数
-有理数的定义和性质
-有理数的加减运算和乘除运算
-有理数的比较和排序
-有理数的绝对值
-小数和有理数的表示方法
-实数的概念和实数在数轴上的表示1.3数轴及其应用
-数轴的定义和性质
-有理数和实数在数轴上的表示
-数轴上的有理数运算
-数轴上的加法和减法
-数轴上的乘法和除法
-数轴上的相反数和绝对值
1.4运算律的应用
-结合律、交换律和分配律的定义和性质
-运算律在有理数计算中的应用
-有理数运算中的应用问题
1.5有理数的乘方
-乘方及其运算法则
-幂次运算法则
-乘方的应用和问题
-有理数的开方
-有理数乘方的应用和问题
1.6有理数应用问题
-有理数的应用问题：交通运输、财务管理等实例
-有理数的实际应用问题解决方法和步骤
总结：第一章主要介绍了有理数的概念和基本性质，包括平方根、加减乘除运算、比较和排序、绝对值、小数表示、实数的概念和数轴表示等内容。

此外，还学习了运算律的应用和有理数的乘方运算，以及有理数的应用问题解决方法。

通过这一章的学习，学生可以掌握有理数的基本运算和应用，为后续数学学习打下坚实基础。

第一章有理数基本内容结构本章内容：（1）有理数的相关概念，包括数轴、相反数、绝对值等；（2）有理数的运算，包括有理数的加、减、乘、除和乘方运算等；（3）科学记数法和近似数.本章重点：（1）有理数的相关概念，能在数轴上表示有理数，并借助数轴理解相反数和绝对值的意义；（2）有理数的运算，能进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算和简单的混合运算.本章难点：负数概念的建立以及对有理数运算法则的理解.本章考情：本章在中考题中主要考查有理数的有关概念和科学记数法，题型主要以选择题、填空题为主. 本章知识是后续学习的基础，所以在对其他内容的考查中也会包含有理数的知识.学习方法指导1. 有理数的有关概念及运算与小学学过的数的概念及运算联系紧密，因此注意应用类比的方法学习. 例如，对负数的认识离不开对已学过的数的认识；有理数的运算，当符号确定后，就归结为已学过的运算.2. 注重数学思想的应用，体会数形结合、分类讨论、转化、类比等数学思想方法在本章学习中的应用.1.1 正数和负数本节概念与方法：正数和负数是具有相反意义的量．教学要求1．了解正数和负数的产生过程，体会数学与现实生活的联系．2．理解正数、负数和0的意义，会判断一个数是正数还是负数．13．能用正数、负数表示生活中具有相反意义的量．提前预习内容1．自然数的认识：自然数起源于数数，0是最小的自然数，没有最大的自然数．2．自然数与整数的关系：自然数都是整数，但整数不一定是自然数．3．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数．知识点突破知识点1 正数与负数的定义1．像2%，4，3，5这样大于0的数叫做正数. 有时为了明确所表达的意义，要在正数前面加上“＋”（正）号，如＋2，＋0.7，17+，…．2．像－3，－2.7%，－4.5这样在正数前面加上“－”（负）号的数叫做负数．提示：小于零的数是负数．3．0既不是正数，也不是负数，不要忽视零的这一特性．注意：（1）一个数前面的“＋”或“－”号叫做这个数的符号，正数前面的“＋”号一般省略不写，负数前面的“－”号不能省略不写．（2）0的意义：0不仅表示“没有”，它还是正数与负数的分界．例1 判断下列各数，哪些是正数，哪些是负数．＋2014，－3.1，12，10.58，－9，＋1，－45.6，0，1100+，－7%，114-．分析：可根据正数、负数的定义判断一个数是正数还是负数．解：正数有：＋2014，12，10.58，＋1，1100+．负数有：－3.1，－9，－45.6，－7%，114-．知识点2 用正数、负数表示具有相反意义的量在生产、生活中常常会遇到一些具有相反意义的量，例如“收入1000元与支出500元”“向东走2 km与向西走3 km”“上升1.5 m与下降0.8 m”等．为了更好地区分这些具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正的，把另一种和它具有相反意义的量规定为负的．学习具有相反意义的量应注意两点：（1）它们表示的意义相反；（2）它们是同类量．提示：（1）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正是可以任意选择的，2但习惯把“前进、上升，收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负．例如：若规定收入1000元记作＋1000元，则支出500元记作－500元；若规定上升1.5 m记作＋1.5 m，则下降0.8 m记作－0.8 m．（2）具有相反意义的量一定是具体的数量．（3）具有相反意义的量中的两个量必须是同类量，如节约3吨汽油与浪费1吨水就不是具有相反意义的量．（4）具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能成为具有相反意义的量．具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量相等，如盈利3000元与亏损400元是具有相反意义的量．例2 （1）天气预报说某地12月某天的最高温度是零上5 ︒C，最低温度是零下3 ︒C，若规定零上温度为正，则零上5 ︒C可记作︒C，零下3 ︒C可记作︒C．（2）如果某蓄水池的水位比标准水位高2 m，记作＋2 m，那么比标准水位低0.8 m应记作；恰好在标准水位应记作．（3）某地区的平均高度高于海平面310 m，记作海拔高度＋310 m，则海拔高度－270 m 表示．解析：（1）因为规定零上温度为正，所以零下温度为负；（2）比标准水位高用正数表示，那么比标准水位低则用负数表示，恰好在标准水位上就用0表示；（3）高于海平面的海拔高度用正数表示，所以负数表示海拔高度低于海平面．答案：（1）＋5（或5），－3；（2）－0.8 m，0 m；（3）低于海平面270 m．点拨：用正数和负数表示具有相反意义的量时，要明确“基准”．例3 长江某水文站的警戒水位为12 m，如果超过警戒水位1 m，记作＋1 m，那么低于警戒水位0.60 m，记作m．观察某年8月1日至8月5日该水文站的水位记录表并回答问题．日期8月1日8月2日8月3曰8月4曰8月5日水位/m －0.80 0 0.38 0.50 0.96（1）哪一天的水位最高？最高水位是多少？（2）哪一天的水位最低？最低水位是多少？（3）在这五天中，有多少天的水位超过警戒水位？分析：在本题中负数表示低于警戒水位，正数表示超过警戒水位，由此可确定每天的水位，再进行比较即可．解：－0.60．（1）8月5日的水位最高，为12.96 m．（2）8月1日的水位最低，为11.20 m．（3）在这五天中，有三天的水位超过警戒水位．34规律总结：当题目中已明确给出“一种意义”的量对应的是正数还是负数时，我们就可判断“与之具有相反意义”的量所对应的是负数还是正数．题型分类剖析题型1 辨别正数和负数例1 在－5，0，2014，123-，13-，＋0.03，154+，－1.23，π中，负数的个数为（ ）． A ．8 B ．6 C ．4 D ．3解析：根据负数的定义进行判断．注意对于正数和负数，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数，如＋(－4)＝－4不是正数，－(－2)＝2不是负数.答案：C题型2 正数和负数的实际应用1．用具有相反意义的量表示行走问题中的量例2 文具店、书店和玩具店依次位于一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20 m 处，玩具店在书店东边100 m 处，小明从书店沿街向东走了40 m ，接着又向东走了－60 m ，此时小明在（ ）．A ．文具店B ．玩具店C ．文具店西40 m 处D ．玩具店西60 m 处解析：把文具店、书店、玩具店的相对位置及小明的行走路线在图上表示出来，小明从书店出发沿街向东走了40 m ，到达M 处，接着又向东走了－60 m ，表示接着向西走了60 m ，所以小明向西走了60 m ，此时小明在文具店．答案：A方法归纳：图示法．图示法是将研究的问题用图表示出来，使其直观形象，便于理解问题内在联系的方法．例如，本题中用直线上的点表示位置，用线段的长表示距离，便可轻松地确定小明的位置．2．用正数、负数记录成绩例3 七年级（1）班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为85分，一名同学以平均成绩为标准，将超过平均成绩的记为正，得到五名同学的成绩为－15分，－4分，0分，4分，15分．这五名同学的实际成绩分别是多少分？分析：以平均成绩为标准，负数表示该成绩低于平均成绩，0表示该成绩与平均成绩相同，正数表示该成绩高于平均成绩．解：－15分表示比平均成绩85分少15分，即70分；－4分表示比平均成绩少4分，即81分；0分表示和平均成绩相同，即85分；4分表示比平均成绩多4分，即89分；15分表示比平均成绩多15分，即100分．这五名同学的实际成绩分别是70分，81分，85分，89分，100分．方法归纳：为了计算方便，常把高于平均数、标准数或某一基准数的量规定为正，把与它们具有相反意义的量用负数表示．3．用正数、负数表示误差范围例 4 某饮料公司生产了一种瓶装饮料，外包装上印有“(600±30) mL”的字样，那么(600±30) mL表示什么含义？质检局抽查了5瓶该产品，容量分别为603 mL，611 mL，588 mL，568 mL，628 mL，就容量而言，问抽查的产品是否合格？解题关键：“(600±30) mL”隐含着产品合格的范围，即合格产品的容量在(600－30) mL与(600＋30) mL之间，根据这个范围来判断抽查产品是否合格．解：(600±30) mL表示容量在(570～630) mL的产品都合格．抽查的5瓶饮料中只有568 mL比600 mL少了32 mL，属不合格，其余均合格．注意：正数和负数的分界是0，但并不是所有的分界都是0，如本题中的分界为600 mL．题型3 与正数、负数相关的表格信息题例 5 一个病人每天要测量五次体温，该病人某一天五次所测体温的变化情况（与前一次测量的体温比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是38 ︒C）如下表：时间6：00 10：00 14：00 18：00 22：00 体温变化/︒C ＋1.1 ＋0.4 －1 ＋0.5 －0.1实际体温/︒C（1）完成上面的表格；（2）计算该病人这一天的平均体温；（3）用前一天最后一次测量的体温与这天的平均体温比较，你能判断出该病人的体温是上升还是下降吗？分析：（1）根据该病人一天的体温变化情况，结合正数和负数的表示方法，即可求出答案．（2）根据表中所给的数据，结合题意，即可求出该病人这一天的平均体温．（3）用该病人前一天最后一次测量的体温与病人这天的平均体温进行比较，即可得出答案．解：（1）完成表格如下：5时间6：00 10：00 14：00 18：00 22：00 体温变化/︒C ＋1.1 ＋0.4 －1 ＋0.5 －0.1实际体温/︒C ＋39.1 ＋39.5 ＋38.5 ＋39 ＋38.9（2）根据题意，得平均体温＝(39.1＋39.5＋38.5＋39＋38.9)÷5＝195÷5＝39 ︒C．（3）∵前一天最后一次测量的体温是38 ︒C，这天的平均体温是39 ︒C，39 ︒C>38 ︒C，∴该病人的体温上升了．注意：本题中明确每次的基准温度是难点，只有第一次测量体温时的基准温度是38 ︒C，而后几次的基准温度均是前一次所测量的实际温度．题型4 正数、负数的规律探究题例6 观察下面依次排列的两组数，请按其规律写出后面的3个数，你能说出第15个数、第101个数、第2017个数分别是什么吗？（1）－1，－2，＋3，－4，－5，＋6，－7，－8，，，，…；（2）－1，12，－3，14，－5，16，－7，18，，，，…．分析：仔细观察每组数的特点，尤其是符号的分布特点，从变化中发现一般规律．由第（1）题所给的依次排列的一组数中的前8个数可知：对于第n个数，当n是3的整数倍时，此数为＋n；当n不是3的整数倍时，此数为－n；由第（2）题所给的依次排列的一组数中的前8个数可知：对于第n个数，当n为奇数时，此数为－n；当n为偶数时，此数为1n．解：（1）＋9，－10，－11．这组数中的第15个数为＋15，第101个数为－101，第2017个数为－2017．（2）－9，110，－11．这组数中的第15个数为－15，第101个数为－101，第2017个数为－2017．点拨：探索规律时，应全面分析题中所给的所有数据，要从符号和数两个方面进行观察，若是分数，还要分别观察分子和分母．要特别注意观察符号的变化规律，这样才能找到这组数的变化规律．中考考点对接考点归纳解读 1：正数和负数的定义，主要考查辨别一个数是正数还是负数，中考题中多以选择题和填空题的形式出现，题目较简单．解读 2：考查运用正数、负数表示具有相反意义的量或考查用正数、负数表示的数的实际意义，题型以选择题、填空题为主．6典型考题中考真题（(2016·山东临沂中考·3分）四个数－3，0，1，2，其中负数是（）．A．－3 B．0 C．1 D．2解析：根据负数的定义来判断．答案：A考题点睛：中考真题和教材练习题均考查了依据正数、负数的定义来辨别正数或负数，需要注意的是0既不是正数也不是负数．中考真题（2016·广州中考·3分）中国人很早开始使用负数，在中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章就正式引入了负数，这在世界数学史上属首次．如果收入100元记作＋100元，那么－80元表示（）．A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元解析：在实际问题中，由于“收入”和“支出”的意义相反，因此在用正负数表示具有相反意义的量时，若收入100元记作＋100元，那么－80元表示支出80元，所以选项C正确，答案：C．考题点睛：中考真题与教材练习题都考查了对用正数、负数表示具有相反意义的量的理解，其解决问题的思想方法完全相同，属基础题．小结与警示一、知识结构图示二、前车之鉴易误点1 误认为凡带有正号的数就是正数，凡带有负号的数就是负数．正数前面的“＋”号有时可以省略，但省略“＋”号后仍是正数；用字母表示数时，带有“＋”号或省略“＋”号的数不一定是正数，带有“－”号的数不一定是负数．提示：例题见“题型分类剖析”例1．易误点2 对“0”的含义理解不准确．例1 下列说法错误的是（）．7A．0是自然数B．0是整数C．0是偶数D．某地海拔高度为0 m表示某地没有海拔高度答案：D注意：小学阶段开始学习数的吋候，0表示没有，学习了负数后，0除了表示“没有”外，还是正数与负数的分界．本题D选项中对海拔高度0 m的理解错误，它并不是表示某地没有海拔高度，而是表示某地与海平面一样高．易误点3 对负数表示的意义理解不清．例2 如果上升3 m记作＋3 m，那么－4 m表示什么意义？解：－4 m表示下降4 m．注意：本题易错答案为下降－4 m．产生错误的原因是用正数、负数表示具有相反意义的量时，对负数表示的意义理解不清．易误点4 用正数、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位．例3 如果中午12点记作0时，下午3点记作＋3时，那么上午9点记作．解析：中午12点记作0时，中午12点之后几小时记作正几时，则中午12点之前几小时记作负几时，上午9点是中午12点之前3小时，故用－3时表示．答案：－3时注意：把一个量去掉它后面的单位名称后，它就是一个数，而不是一个量了．本题易错答案为－3，因漏掉后面的单位而出错．综合练习1．如果规定每天上午10时记为0时，10时以前记为负，10时以后记为正，且以45分钟为1个时间单位，如9：15记为－1时，10：45记为1时，那么7：45应记为（）．A．3时B．－3时C．－2.15时D．－7.45时2．在一次跳远测试中，体育老师以达标成绩2.00 m为标准，将高于该成绩的记为正，低于该成绩的记为负．王非跳出了2.12 m，记为＋0.12 m；何叶跳出了1.95 m，记为；张平跳出的成绩记为0 m，他实际跳的距离是．3．一个物体沿着东、西两个方向运动，若向东记为正，向西记为负，则：（1）向东运动2 m，记作，向西运动4 m，记作；（2）＋3 m表示向运动m，－6 m表示向运动m；（3）物体原地不动时，记作m．4.（“典型例题分析”例4变式）如图所示，某食品包装盒上标有“净含量385 g±5 g”，则这盒食品的合格净含量范围是g～390 g．895．教室高3 m ，教室里课桌高0.8 m ，如果把桌面高度记作0 m ，那么教室顶部和地面的高度分别记作什么？如果把教室顶部的高度记作0 m ，那么桌面和地面的高度分别记作什么？6．（“题型分类剖析”例3变式）如果课桌高度比标准高度高2 mm 记作＋2 mm ，那么比标准高度低3 mm 记作什么？现有5张课桌，量得它们的高度比标准高度分别高＋1 mm ，－1 mm ，0 mm ，＋3 mm ，－1.5 mm ，若规定课桌的高度比标准高度高不超过 2 mm ，低不超过 2 mm 就算合格，则上述5张课桌中有几张合格？1.2 有理数本节概念与方法：有理数，有理数的分类，数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较．教学要求1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小，能对有理数按一定标准进行分类．2．借助数轴理解相反数、绝对值的意义，掌握求一个有理数的相反数、绝对值的方法． 3．知道|a |（a 表示有理数）的含义． 4．初步感悟分类讨论思想和数形结合思想．提前预习内容1．几个定义：10正数：像2%，4，3.5这样大于0的数叫做正数．负数：像－3，－2.7%，－4.5这样在正数前面加上符号“－”（负）的数叫做负数． 非正数包括负数和0； 非负数包括正数和0．2．已学过的几类数：（1）正整数，如1，2，3，…； （2）0；（3）负整数，如 1，－2，－3，…；（4）正分数，如12，13，0.1，35，…； （5）负分数，如－0.5，23-，18-，…．知识点突破知识点1 有理数的有关概念★ 整数包括正整数、0、负整数，如－3，－2，0，1，2，3等． ★ 分数包括正分数、负分数，如＋113，0.18，－1.35，45-等． 分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式，同时有限小数和无限循环小数又都可以化为分数，如10.254=，10.33= ，10.1428577= ．所以有限小数和无限循环小数都属于分数，如3.17，0.3- 等都是分数． ★ 整数和分数统称为有理数． ★ 几个常用数学名词的含义．（1）正整数：既是正数，又是整数的数． （2）负整数：既是负数，又是整数的数． （3）正分数：既是正数，又是分数的数． （4）负分数：既是负数，又是分数的数． （5）非负数：正数和0． （6）非正数：负数和0． （7）非负整数：正整数和0． （8）非正整数：负整数和0． 拓展：任何一个有理数都可以写成nm的形式，其中只有当m ，n 同时满足：① m ，n 是互质的整数；② n ≠0，m ≠1时，nm才表示一个最简分数． 注意：（1）有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不能转化成分数，故无限不循环。

第一章有理数一、有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数0 正有理数负整数正分数有理数有理数0 （0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数二、数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素；⑶同一数轴上的单位长度要统一；(4)所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。

3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

三、相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶0的相反数是它本身。

2.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个；(2)互为相反数的两数和为0，即a，b互为相反数，则a+b=03.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数。

说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

第一章 有理数一、有理数的基础知识1、三个重要的定义（1）正数： ；（2）负数： ；（3）0即不是 也不是 ，0是 和 的分界.2、有理数的概念及分类（1） 和 统称为有理数.（2）有理数的分类如下：按定义分类： （2）按性质符号分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴（1）标有 、 和 的直线叫做数轴.（2）在数轴上所表示的数， 的数总比 的数大.（3）数轴上表示数a 的点与原点的距离是 个单位长度.（4）在数轴上求任意两点a 、b 的距离L,则有公式L= .4、相反数（1）如果两个数只有 不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。

（2）0的相反数是 ，数a 的相反数是 .，b a -的相反数是 .（3）在数轴上位于原点的 ，并且与原点的距离 .（4）如果数a 和数b 互为相反数，则a +b = ；a b= （0ab ≠）. 5、绝对值（1）数轴上表示数a 的点与原点的 叫做数a 的绝对值.（2）一个正数的绝对值是 ；0的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 .可用字母a 表示如下：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a（3）两个负数比较大小，绝对值大的 .（4）任何一个数的绝对值都是 ，即a 0.二、有理数的运算1、有理数的加法（1）有理数的加法法则：同号两数相加， ，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加， ，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得 ；一个数同0相加， .（2）有理数加法的运算律：加法的交换律 ： ；加法的结合律： .方法：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。

2、有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数等于 这个数的 .（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。

第一章有理数一、有理数的有关概念1. 正数和负数正数：像17,4,3%等大于0的数叫做正数。

负数：在正数前面加上“-”的数叫做负数。

【在同一问题中，可用正数和负数表示具有相反意义的量。

】2. 有理数的分类3. 数轴（1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

（2）三要素：原点、正方向、单位长度。

（3）有理数与数周的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，但是，数轴上的任意一点却不一定表示一个有理数。

（4）利用数轴表示数的大小在数轴上表示的两个点中，右边的点表示的数大于左边的点表示的数。

4. 相反数5. 绝对值（1）几何定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。

记作a 。

（2）代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.（3）符号表示0a a a ⎧⎪=⎨⎪-⎩000a a a >=<6. 有理数的大小比较二、有理数的运算1. 有理数的加法（1）有理数的加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两数相加得0.③一个数同0相加，仍得这个数，如()022+-=-.（2）加法的运算定律2. 有理数的减法有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即()-=+-.a b a b3. 有理数的加减混合运算有理数的加减混合运算可统一成加法运算，统一成加法运算后可适当运用加法运算律，使运算简便。

4. 有理数的乘法（1）有理数的乘法法则：两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0.（2）倒数：乘积是1的两个数互为倒数，即若1ab =，则a ，b 互为倒数，0没有倒数。

（3）积的符号与负因数的关系：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数，负因数的个数是奇数时，积是负数。

《有理数》章节知识点归纳总结有理数是数学中的一种基本概念，它包括了整数、分数和零。

有理数可以用分数形式表示，分子是整数，分母是正整数。

一、有理数的定义和性质1.有理数的定义：有理数表示为两个整数的比值，其中分母不为零。

有理数可以用分数形式表示为a/b的形式，其中a是整数，b是正整数。

2.有理数的四则运算法则：加法：同号求和，异号作差，结果的符号跟两个有理数的符号相同。

减法：转化为加法运算，将减法问题转化为加法问题。

乘法：同号得正，异号得负。

除法：将除法转化为乘法，取倒数后将除法问题转换为乘法问题。

3.有理数的乘方运算：有理数的乘方运算是将一个有理数乘以自身若干次。

有理数的乘方运算的结果仍然是有理数。

4.有理数的比较运算：可以通过比较大小符号来比较有理数的大小，如果两个有理数的大小符号相同，则比较绝对值的大小。

5.有理数的约分：可以将一个有理数化简成最简形式，即将分子和分母互质的形式。

二、有理数的绝对值和相反数1.有理数的绝对值：绝对值表示有理数距离零的距离，绝对值是非负的。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。

2.有理数的相反数：一个有理数的相反数是与它的绝对值相等但符号相反的数。

三、有理数的数轴1.有理数的数轴是一条直线，可以用来表示有理数的大小关系。

2.在数轴上，正数表示为向右的方向，负数表示为向左的方向，原点为零。

3.数轴上，绝对值越大的数离原点越远，绝对值相同的数离原点的距离相等。

四、有理数的运算律1.有理数的加法符合交换律、结合律和分配律。

交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.有理数的乘法符合交换律、结合律和分配律。

交换律：a×b=b×a结合律：(a×b)×c=a×(b×c)分配律：(a+b)×c=a×c+b×c五、有理数的应用1.有理数可以用来表示一些具体问题中的数值，比如表示温度、长度、质量等。

有理数的基本概念与运算有理数是指可以表示为两个整数之比的数字。

在数学中，有理数包括有理整数、有理分数、有限小数和循环小数，而整数和零也属于有理数的范围。

有理数的运算通常包括加法、减法、乘法和除法四则运算。

本文将介绍有理数的基本概念以及这些运算的规则和性质。

1. 有理数的定义有理数可以用分数表示，其中分子和分母都是整数。

例如，2/3是一个有理数，因为2和3都是整数。

有理数的定义包括整数和分数，例如-2，1/4。

有理数的集合通常用Q来表示。

2. 有理数的加法有理数的加法是指将两个有理数相加得到一个新的有理数。

当两个有理数具有相同的分母时，只需要将它们的分子相加即可；当两个有理数具有不同的分母时，需要进行通分后再进行操作。

例如，1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12。

有理数的加法满足交换律、结合律和分配律。

3. 有理数的减法有理数的减法是指将一个有理数减去另一个有理数得到一个新的有理数。

减法可以通过加上一个相反数来实现。

例如，5 - 3 = 5 + (-3) = 2。

有理数的减法满足结合律和分配律。

4. 有理数的乘法有理数的乘法是指将两个有理数相乘得到一个新的有理数。

有理数的乘法满足交换律、结合律和分配律。

当两个有理数的分子或分母有一个为零时，结果为零。

例如，2/3 × 4/5 = 8/15。

5. 有理数的除法有理数的除法是指将一个有理数除以另一个有理数得到一个新的有理数。

有理数的除法可以转化为乘法，即将分子乘以除数的倒数。

例如，3/4 ÷ 1/2 = 3/4 × 2/1 = 6/4 = 3/2。

需要注意的是，除数不能为零。

6. 有理数的性质有理数具有许多重要的性质，包括闭合性、可结合性、分配性、交换性、逆元和单位元等。

闭合性指的是两个有理数进行运算后的结果仍然是有理数；可结合性指的是连续进行相同运算的多个有理数之间的结果不受计算顺序的影响；分配性指的是一个有理数对另外两个有理数进行加法和乘法运算的结果相同。

七年级数学第一章有理数1. 有理数的初探1.1 有理数是什么？嘿，小伙伴们，今天我们来聊聊有理数。

你们知道吗？有理数其实就是能够用分数表示的数，包括整数、分数，甚至是小数。

比如说，1、0、1/2、3.14都是有理数。

听起来简单吧？没错，很多时候我们身边随处可见的数，基本上都可以算作有理数。

说到这，有点想起了那句老话：“一分耕耘，一分收获。

”数学里也是这样，努力去理解，最终你会收获满满的知识。

1.2 有理数的特点有理数的特点也挺有趣的。

首先，它们是可以相加、相减、相乘和相除的（除了除以零，当然，那个是不被允许的）。

这就好比咱们平时做饭，切菜、炒菜，都是可以组合搭配的。

还有，有理数在数轴上是有位置的，正数在右边，负数在左边，就像坐标系中的小精灵，各自都有自己的家。

说到这里，真的让人想起“有的放矢”这句话，数学也是要有目标的。

2. 有理数的运算2.1 加法与减法好了，咱们开始深入一些。

有理数的加法和减法其实并不复杂。

你只需要把数值相加或相减就行了，比如说2 + 3 = 5，简单明了。

但如果涉及负数，那就需要动动脑筋了，比如说2 + 3，这时候你要想到，从3往回走2步，结果就是1，没错，数学就是这么形象！减法呢？其实就是加上相反数，比如说5 2就变成了5 + (2)，听起来是不是酷炫多了？这让我想到，生活中遇到问题时，有时候换个角度思考，解决方案就会豁然开朗。

2.2 乘法与除法接下来是乘法和除法。

乘法就像在打怪升级，1乘以1变成1，这可是个神奇的转变哦！再比如说，3乘以2，那结果就是6，你就可以想象自己在进行一场反向的战斗。

至于除法，实际上是乘以倒数，比如说，6 ÷ 2 = 6 × 1/2，这就是反转了。

数学就像个魔术，翻转的瞬间总是让人惊叹。

3. 有理数在生活中的应用3.1 购物与账单说到有理数，生活中处处都能用到它们。

想象一下，你去超市购物，看到一瓶饮料要3元，买了两瓶，是不是很简单？加起来就是6元。

一、有理数概念及性质
1.什么是有理数
有理数是形式上存在分数表示，或者可以等价转化为分数表示的自然数，整数，分数及其各自的正负数的数的总称。

2.有理数的性质
(1)有理数的封闭性：有理数组成的集合，是一个封闭的集合，它满足交换律，结合律，分配律，有界律以及加减乘除定律。

(2)有理数的可比较性：有理数可以相互比较大小。

(3)有理数的可折叠性：有理数可以折叠为一个更小的数，而且当两个有理数可以折叠时，它们可以折叠到一个相同的因数上。

二、有理数的加减法
(1)有理数的加法
有理数的加法只要把两个加数的分母约到相同，然后将相同的分母下的分子相加即可。

(2)有理数的减法
有理数的减法只要把两个减数的分母约到相同，然后将相同的分母下的分子相减即可。

三、有理数的乘法
有理数的乘法是把两个乘数的分子相乘，分母也相乘，得到的结果是两个乘数的乘积。

四、有理数的除法
有理数的除法是把被除数的分母乘以除数的分子，分子乘以除数的分母，得到的结果是两个数的商。

五、有理数的最简形式
有理数的最简形式，即最简分数，是指把一个分数的分子和分母都约分到最简形式，使得同时存在它们的最大公约数。

六、有理数的基本运算。

有理数的概念和运算法则一、有理数的概念1.有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数比的数，包括正整数、负整数、0、正分数和负分数。

2.整数：正整数、负整数和0。

3.分数：正分数和负分数，分子和分母都是整数，且分母不为0。

4.真分数：分子小于分母的分数。

5.假分数：分子大于或等于分母的分数。

6.带分数：由一个整数和一个真分数组成的数。

二、有理数的运算法则1.加法法则：a.同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。

b.异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

c.0加任何数等于任何数。

d.任何数加0等于任何数。

2.减法法则：a.减去一个数等于加上这个数的相反数。

b.减法可以转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。

3.乘法法则：a.同号相乘，取相同符号，并把绝对值相乘。

b.异号相乘，取相反符号，并把绝对值相乘。

c.0乘任何数等于0。

d.任何数乘0等于0。

4.除法法则：a.同号相除，取相同符号，并把绝对值相除。

b.异号相除，取相反符号，并把绝对值相除。

c.除以0没有意义，除数不能为0。

5.乘方法则：a.正数的任何正整数次幂都是正数。

b.负数的任何正整数次幂都是负数。

c.正数的任何负整数次幂都是正数。

d.负数的任何负整数次幂都是正数。

e.0的任何正整数次幂都是0。

f.0的任何负整数次幂都没有意义。

三、有理数的混合运算1.运算顺序：a.先算乘方。

b.再算乘除。

c.最后算加减。

d.同级运算，从左到右依次进行。

e.如果有括号，先算括号里面的。

2.运算律：a.加法结合律：三个数相加，可以先算任意两个数的和，结果不变。

b.乘法结合律：三个数相乘，可以先算任意两个数的积，结果不变。

c.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，结果不变。

d.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，结果不变。

e.分配律：一个数乘以两个数的和，等于这个数分别乘以这两个加数，然后把乘积相加。

四、有理数的应用1.化简：将复杂的分数或带分数化为简化形式。