成都七中高三数学上学期12月月考试题 理 新人教A版

成都2023-2024学年度上期12月月考高一数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.2.本堂考试120分钟，满分150分；3.答题前，考生务必先将自己的姓名､学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂.4.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷选择题部分，共60分一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}012M =,,，{}1,2,3N =，则M N ⋃=（）.A.{}1,2 B.{}0 C.{}0,1,2,3 D.{}0,1【答案】C 【解析】【分析】结合集合的并集运算即可.【详解】结合题意：{}{}{}0,1,21,2,30,1,2,3M N == ，故选：C.2.“=1x ”是“()()120x x --=”的（）条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次方程，再根据充分必要条件的推理得出结果.【详解】根据题意，显然当=1x ，可得()()120x x --=成立，所以充分性满足；当()()120x x --=时，可得1x =或2x =，所以必要性不满足；即“=1x ”是“()()120x x --=”的充分不必要条件.故选：A.3.函数()2xf x x =+的零点所在区间是（）A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】B 【解析】【分析】分析函数()f x 的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数y x =、2x y =均为R 上的增函数，故函数()2xf x x =+为R 上的增函数，因为()1021112f --+=--=<，()010f =>，由零点存在定理可知，函数()2xf x x =+的零点所在区间是()1,0-.故选：B.4.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式()0f x <的解集是（）A.(]2,5 B.[)(]5,22,5-⋃ C.()(]2,02,5- D.[)(]5,02,5- 【答案】C 【解析】【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式.【详解】根据图像，当0x >时，()0f x <的解为25x <≤，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，若()0f x <，即()0f x --<，则()0f x ->所以02x <-<，解得20x -<<，综合得不等式()0f x <的解集是()(]2,02,5- .故选：C.5.设函数()31,11,1xx x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），若()()18f f =，则=a （）A.3B.3± C. D.±【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为()31,11,1x x x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），所以()1312f =-=，所以()()()21218ff f a==-=，解得3a =或3a =-（舍去）.故选：A6.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c <<D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.7.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d （1d =，2，L ，9）的概率为1lg 1d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.2.9 B.3.2C.3.8D.3.9【答案】C 【解析】【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.【详解】依题意一个数的首位数字是1的概率为lg 2，一个数的首位数字是5的概率为16lg 1lg 55⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所求的比为()lg 2lg 2lg 26lg 6lg 5lg 2lg 3lg10lg 2lg5==-+--lg 20.3013.82lg 2lg 3120.3010.4771=≈≈+-⨯+-．故选：C8.已知函数()f x 定义域为[]1,2a a -，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（）A.25,36⎛⎤⎥⎝⎦B.15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】分析可知函数()f x 为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数a 的值，根据函数()f x 的单调性、偶函数的性质，结合()()123f x f x a ->-可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得x的取值范围.【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，令()()1g x f x =-，则()()2g x g x -=，即()()211f x f x --=-，即()()11f x f x -=-，所以，()()f x f x -=，故函数()f x 是定义在[]1,2a a -上的偶函数，则120a a -+=，解得13a =，所以，函数()f x 是定义在22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的偶函数，由题意可知，函数()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，由()()121f x f x ->-可得()()121fx f x ->-，所以，12122133222133x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎩，解得2536x <≤.因此，不等式()()123f x f x a ->-的解集为25,36⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数a b c d ,,,，则下列说法正确的有（）A.若0a b <<，则11a b> B.若0a b >>，0c d >>，则ac bd >C.若,a b c d >>，则a d b c ->- D.若a b >，则22a b >【答案】ABC 【解析】【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.【详解】选项A ：因为0b a >>，所以110a b>>，故A 正确；选项B ：因为0a b >>，0c d >>，所以0ac bd >>，故B 正确；选项C ：因为,a b c d >>，所以d c ->-，所以a d b c ->-，故C 正确；选项D ：a b >，取222,2a b a b ==-⇒=，故D 错误；故选：ABC.10.下列说法正确的有（）A.命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”B.若a b >，c d >，则ac bd>C.若幂函数()22231mm y m m x--=--在区间()0,∞+上是减函数，则2m =或1-D.方程()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则a<0．【答案】AD 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系可判定A ；举反例可判定B ；根据幂函数定义和性质可判定C ；根据一元二次方程的性质可判定D.【详解】对于A 选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”，A 选项正确；对于B 选项，若a b >，c d >，如1a =，0b =，1c =-，2d =-，则ac bd <，B 选项错误；对于C 选项，函数()22231m m y m m x --=--是幂函数，所以2211230m m m m ⎧--=⎨--<⎩，解得2m =，所以C 选项错误；对于D 选项，设()()23f x x a x a =+-+，则()f x 有两个零点，且两个零点一正一负，则()00f a =<，所以D 选项正确.故选：AD.11.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①R x ∀∈，()()f x f x -=；②1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=．则下列选项成立的是（）A.()()34f f >B.若()()12f m f -<，则()1,3m ∈-C.若()0f x x>，则()()1,00,x ∈-⋃+∞ D.R x ∀∈，R m ∃∈，使得()f x m≥【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件探求出函数()f x 的奇偶性和在()0,∞+的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答.【详解】由R x ∀∈，()()f x f x -=得：函数()f x 是R 上的偶函数，由12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，()()21210f x f x x x ->-得：()f x 在()0,∞+上单调递增，对于A ，根据函数()f x 在()0,∞+上单调递增，可得()()34f f <，故A 错误；对于B ，根据函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，则()()()()12|1|2f m f f m f -<⇔-<，又函数()f x 的图象是连续不断的，则有|1|2m -<，解得13m -<<，故B 正确；对于C ，由()0f x x>，则()00f x x >⎧⎨>⎩或()00f x x <⎧⎨<⎩，又()()110f f -==，解得1x >或10x -<<，即()()1,01,x ∈-⋃+∞，故C 错误；对于D ，因R 上的偶函数()f x 的图象连续不断，且()f x 在()0,∞+上单调递增，因此，R x ∀∈，()(0)f x f ≥，取实数m ，使得(0)m f ≤，则R x ∀∈，()f x m ≥，故D 正确.故选：BD.12.直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩的图象相交于四个不同的点，若从小到大交点横坐标依次记为a ，b ，c ，d ，则下列结论正确的是（）A.[]3,4m ∈B.)40,eabcd ⎡∈⎣C.211,e e c ⎛⎤∈⎥⎝⎦D.56211e 2,e 2e e a b c d ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭【答案】BCD 【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合思想，结合二次函数和对数函数的性质进行求解即可.【详解】函数的图象如下图所示：当0x ≤时，()2223(1)4f x x x x =--+=-++4≤，此时()30f x x =⇒=或2x =-；当20e x <≤时()2ln f x x =-，此时函数单调递减，当2e x >时()ln 2f x x =-，此时函数单调递增，此时()53e f x x =⇒=或1ex =，()64e f x x =⇒=或21e x =，直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩有四个不同的点，必有34m ≤<，此时256211210e e e e ea b c d -≤<-<≤<<≤<<≤<，其中2(1)2a b +=⨯-=-，且2223232ln ln 2a a b b c d m --+=--+=-=-=，因此有3ab m =-，42ln ln 2ln 4e c d cd cd -=-⇒=⇒=，显然[0,1)ab ∈，因此)40,eabcd ⎡∈⎣，所以选项A 不正确，选项B 、C 正确；因为2a b +=-，211e e c <≤56e e d <≤<，结合图象知：56211e 2e 2e ea b c d +-≤+++<+-，因此选项D 正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，得到a ，b ，c ，d 的取值范围是解题的关键.第II 卷非选择题部分，共90分三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()()log 21a f x x =++（0a >且1a ≠），则函数()f x 恒过定点_____．【答案】()1,1-【解析】【分析】根据对数函数的知识求得定点坐标.【详解】由于()1log 111a f -=+=，所以函数()f x 恒过定点()1,1-.故选：()1,1-14.函数()212log 45y x x =--的递减区间为____________.【答案】()5,+∞【解析】【分析】由复合函数的单调性只需求出245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，从而求出答案.【详解】因为12log y u =在()0,∞+上单调递减，由复合函数的单调性可知，()212log 45y x x =--的递减区间为245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，解得5x >或1x <-，其中()224529u x x x =--=--在()5,+∞上单调递增，故()212log 45y x x =--的递减区间为()5,+∞.故答案为：()5,+∞15.如果关于x 的不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，则12123ax x x x ++的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解.【详解】不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，所以12,x x 是方程22630x ax a -+=的实数根，0a >时，()222064324a a a ∆==-⨯>-，所以1221263x x a x x a +=⎧⎨=⎩，所以1212316a x x a x x a ++=+≥，当且仅当16a a =，即66a =时取等号，故12123ax x x x ++的最小值是故答案为：16.定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[][]124,2,2,1x x ∀∈--∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】求出()f x 在[]2,4上的值域，利用()()22f x f x +=得到()f x 在[]2,0-上的值域，再求出()g x 在[]2,1-上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a 的取值范围.【详解】当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，由于224(2)4y x x x =-+=--+为对称轴为2x =开口向下的二次函数，222x y x x x+==+，由对勾函数的性质可知，函数在(]3,4上单调递增，可得()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，()()()924,33,42f f f ===，()f x \在[]2,3上的值域为[]3,4，在(]3,4上的值域为119,32⎛⎤⎥⎝⎦，()f x \在[]2,4上的值域为93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()()()()()11122,246248f x f x f x f x f x f x +=∴=+=+=+ ，故当[][]4,2,62,4x x ∈--+∈，()f x \在[]4,2--上的值域为39,816⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，31289116a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得516a ≥，故a 的范围是516a ≥；当0<a 时，()g x 为单调递减函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，31891216a a ⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得5;8a ≤-故a 的范围是58a -≤，综上可知故a 的范围是55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合{}2230A x x x =-->，{}40B x x a =-≤.（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）若A B = R ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(]134∞--⋃，，（2）34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】（1）代入1a =，求解集合A ，B ，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合B ，由并集为全集得出集合B 的范围，从而求出a 的范围.【小问1详解】解：由2230x x -->得1x <-或3x >.所以()()13A ∞∞=--⋃+，，.当1a =时，(]4B ∞=-，.所以()(]134A B ∞⋂=--⋃，，.【小问2详解】由题意知(4B a ∞=-，].又()()13A ∞∞=--⋃+，，，因为A B = R ，所以43a ≥.所以34a ≥.所以实数a 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.计算（1）2ln3325(0.125)e -+++（24,=求11122a a a a --+-【答案】（1）（2）3±【解析】【分析】（1）直接利用指数幂的运算和对数的运算化简求值；（2）先求出114a a-+=，再求出1122a a --=±即得解.【小问1详解】解：原式=2333421--++（）=741++-.【小问2详解】解：4,=∴224,=1216a a -∴++=.114a a -∴+=.又112122()214212a a a a ---=+-=-=11-22a a ∴-=±.111223a a a a --+∴==±-.19.已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =+--.（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明；（3）求不等式()1f x >的解集.【答案】（1）()2,2-（2）奇函数，证明见解析（3）18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；（3）根据对数函数的单调性进行求解．【小问1详解】要使函数()f x 有意义,则2020x x +>⎧⎨->⎩，解得22x -<<，故所求函数()f x 的定义域为()2,2-；【小问2详解】证明：由（1）知()f x 的定义域为()2,2-，设()2,2x ∀∈-，则()2,2x -∈-,且()()()()lg 2lg 2-=-+-+=-f x x x f x ，故()f x 为奇函数；【小问3详解】因为()1f x >，所以()2lg12+=>-x f x x ，即2lg >lg102x x +-可得2102x x +>-，解得1811x >,又22x -<<，所以18211x <<，所以不等式()1f x >的解集是18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭．20.科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是31cm ，2秒后染料扩散的体积是33cm ，染料扩散的体积y 与时间x （单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①3x y m =，②3log y m x b =+，其中m ，b 均为常数．（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）若染料扩散的体积达到35cm ，至少需要多少秒．【答案】（1）选3log y m x b =+，22log 1y x =+（2）至少需4秒【解析】【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式；(2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解.【小问1详解】因为函数3x y m =中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数3log y m x b =+中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即3log y m x b =+，由题意可得：33log 11log 23m b m b +=⎧⎨+=⎩，解得：212log 3b m =⎧⎨=⎩，所以该模型的解析式为：2322log 3log 12log 1y x x =+=+，【小问2详解】由（1）知：22log 1y x =+，由题意知：5y ≥，也即22log 15x +≥，则有22log 4x ≥，∴2log 2x ≥，∴4x ≥，∴至少需要4秒．21.已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且对一切0,0x y >>都有()()()x f f x f y y=-，当1x >时，有()0f x >；（1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明；（3）若(6)1f =，解不等式1(5)(2f x f x+-<；【答案】（1）f （1）＝0；（2）()f x 在（0，＋∞）上是增函数，证明见详解；（3）()0,4【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求(1)f 的值；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，利用条件可得()()210f x f x ->，进而可得单调性；（3）结合函数单调性将不等式进行转化即可得到结论．【详解】解：令x ＝y ＞0，则f （1）＝f （x ）−f （x ）＝0，所以f （1）＝0；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，则()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为210x x >>，所以211x x >，则210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()210f x f x ->即()()21f x f x >，所以()f x 在（0，＋∞）上是增函数；（3）因为(6)1f =，所以36()(36)(6)6f f f =-，所以(36)2(6)2f f ==，由1(5)()2f x f x+-<，得[](5)(36)f x x f +<，所以5010(5)36x x x x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩，解得04x <<所以原不等式的解为()0,4．【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的关键，是中档题．22.已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.【解析】【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m>，所以1m >且101m <<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，1,2.所以m的取值范围是()【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：f x中分1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；。

2021-2022学年四川省成都市第七中学高二上学期12月阶段性测试数学（理）试题一、单选题1．已知两直线16:0l x y -=+与23320l x y --:+=，则1l 与2l 间的距离为（ ）A ．2B ．823C ．3D ．833【答案】B【分析】把直线2l 的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解. 【详解】直线2l 的方程化为：203x y -+=，显然，12l l //， 所以1l 与2l 间的距离为222|6|82331(1)d -==+-. 故选：B2．命题“x R ∀∈，103x⎛⎫>⎪ ⎭⎝”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，B ．x R ∀∈，103x⎛⎫≤⎪ ⎭⎝C ．x R ∀∈，103x⎛⎫<⎪ ⎭⎝D ．0x R ∃∈，0103x ⎛⎫≤⎪ ⎭⎝【答案】D【分析】根据全称命题的否定的规则即可直接写出.【详解】全称命题“x R ∀∈，103x⎛⎫>⎪ ⎭⎝”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并把结论否定，即为“0x R ∃∈，0103x ⎛⎫≤⎪ ⎭⎝”，故选：D .3．双曲线22221(0)4x y a a a-=≠ 的渐近线方程为A ．2y x =±B ．12y x =± C ．4y x =±D ．2y x =±【答案】A【详解】根据双曲线的渐近线方程知，22ay x x a=±=±，故选A.4．若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足2MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【答案】D【分析】以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，求出点M 的轨迹方程即可计算得解.【详解】以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点(,)M x y ，22222(3)x y x y +=-+22(4)4x y -+=， 于是得点M 的轨迹是以点(4,0)为圆心，2为半径的圆，其面积为4π， 所以M 点的轨迹围成区域的面积为4π. 故选：D5．下列命题中，结论为真命题的组合是（ ） ①“12m =”是“直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互垂直”的充分而不必要条件②若命题“p q ⌝∧⌝”为假命题，则命题p ⌝一定是假命题 a b >lg lg a b >的必要不充分条件④双曲线2212y x -=被点()1,1B 平分的弦所在的直线方程为210x y --=⑤已知过点(3,0)的直线(3)(R)y k x k =-∈与圆229x y +=的交点个数有2个. A ．①③④ B ．②③④C ．①③⑤D ．①②⑤【答案】C【分析】求出两直线垂直时m 值判断①；由复合命题真值表可判断②；化简不等式结合充分条件、必要条件定义判断③；联立直线与双曲线的方程组成的方程组验证判断④；判定点(3,0)与圆229x y +=的位置关系判断⑤作答.【详解】若直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互垂直，则(2)(2)3(2)0+-++=m m m m ，解得2m =-或12m =， 则“12m =”是“直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互垂直”的充分而不必要条件，①正确；命题“p q ⌝∧⌝”为假命题，则p ⌝与q ⌝至少一个是假命题，不能推出p ⌝一定是假命题，②不正确；0a b >>≥，lg lg 0a b a b >⇔>>，>lg lg a b >的必要不充分条件，③正确；由2221022x y x y --=⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：22430x x -+=，2(4)42380∆=--⨯⨯=-<， 即直线210x y --=与双曲线2212y x -=没有公共点，④不正确； 点(3,0)在圆229x y +=上，则直线(3)(R)y k x k =-∈与圆229x y +=至少有一个公共点， 而过点(3,0)与圆229x y +=相切的直线为3x =，直线(3)(R)y k x k =-∈不包含3x =， 因此，直线(3)(R)y k x k =-∈与圆229x y +=相交，有两个交点，⑤正确， 所以所有真命题的序号是①③⑤. 故选：C6．若直线2y x c =+先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆225x y +=相切，则c 的值为（ ） A ．8或-2 B ．6或-4C ．4或-6D ．2或-8【答案】A【分析】求出平移后的直线方程，再利用直线与圆相切并借助点到直线距离公式列式计算作答.【详解】将直线2y x c =+先向右平移一个单位，再向下平移一个单位所得直线方程为()211y x c =-+-，因直线230x y c -+-=与圆225x y +=|3|5c -=，解得8c =或2c =-， 所以c 的值为8或-2.故选：A7．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6【答案】C【分析】根据题意，结合计数原理中的分步计算，以及排列组合公式，即可求解. 【详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数， 则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能，从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有2232326C A ⋅=⨯=种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为2612⨯=. 故选：C.8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是A B ．2C ．13D ．12【答案】D【详解】由于BF ⊥x 轴，故2,B B b x c y a=-=，设()0,P t ，由2AP PB =得()21,2,22b a t t t a c e a ⎛⎫-=--∴=∴= ⎪⎝⎭，选D.【解析】椭圆的简单性质9．若直线y x m =-+与曲线y =m 的取值范围是（ ）A ．22m -≤＜B ．m -≤≤C ．22m -≤＜或5m =D ．m -≤<5m =【答案】D【分析】根据曲线方程的特征，发现曲线表示在x 轴上方的图象，画出图形，根据图形上直线的三个特殊位置，当已知直线位于直线1l 位置时，把已知直线的解析式代入椭圆方程中，消去y 得到关于x 的一元二次方程，由题意可知根的判别式等于0即可求出此时对应的m 的值；当已知直线位于直线2l 及直线3l 的位置时，分别求出对应的m 的值，写出满足题意得m 的范围，综上，得到所有满足题意得m 的取值范围．【详解】根据曲线2154y x =-，得到21504x -，解得：2525x -；0y ， 画出曲线的图象，为椭圆在x 轴上边的一部分，如图所示：当直线y x m =-+在直线1l 的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点， 把直线y x m =-+代入椭圆方程得：22584200x mx m -+-=，得到0=， 即226420(420)0m m --=，化简得：225m =，解得5m =或5m =-(舍去)， 则5m =时，直线与曲线只有一个公共点；当直线y x m =-+在直线2l 位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时5m = 当直线y x m =-+在直线3l 位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时25m =- 则当2525m -<时，直线与曲线只有一个公共点， 综上，满足题意得m 的范围是2525m -<5m =． 故选：D ．10．已知双曲线2222:1x y M a b-=（0a >，0b >）的左､右焦点分别为1F ，2F ，122F F c =.若双曲线M 的右支上存在点P ，使12213sin sin a cPF F PF F =∠∠，则双曲线M 的离心率的取值范围为（ ） A ．27⎛+ ⎝⎭B ．27⎫++∞⎪⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,+∞【答案】A【分析】利用三角形正弦定理结合12213sin sin a cPF F PF F =∠∠，用a ，c 表示出2||PF ，再由点P 的位置列出不等式求解即得.【详解】依题意，点P 不与双曲线顶点重合，在12PF F △中，由正弦定理得：211221||||sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，因12213sin sin a c PF F PF F =∠∠，于是得21||||3PF PF a c=，而点P 在双曲线M 的右支上，即12||||2PF PF a -=，从而有222||3a PF c a=-，点P 在双曲线M 的右支上运动，并且异于顶点，于是有2||PF c a >-，因此，223a c a c a >--，而0c a >>，整理得22340c ac a --<，即23410e e --<，解得e <<又1e >，故有1e <<， 所以双曲线M的离心率的取值范围为. 故选：A11．已知两定点()30A -,和()3,0B ，动点(,)P x y 在直线5l y x =-:＋上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的短轴的最小值为（ ） A．B．CD．【答案】B【分析】根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解.【详解】根据题意，设点()30A -,关于直线5l y x =-:＋的对称点()00,A x y '， 则000001303522y x y x -⎧=⎪+⎪⎨+-⎪=-+⎪⎩，解得0058x y =⎧⎨=⎩，即()5,8A '.根据椭圆的定义可知，2a AP BP A P BP A B ''=+=+≥==当A '、P、B 三点共线时，长轴长取最小值min a = 由222a b c =+且3c =，得b = 因此椭圆C 的短轴的最小值为故选：B.12．过原点O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆2212x y +=交于A 、C 与B 、D ，则四边形ABCD 面积最小值为（ ） A ．83B ．C ．D ．43【答案】A【分析】直线AC 、BD 与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD 面积最小值，再比较大小即可作答.【详解】因四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD 的四个顶点为椭圆顶点时，而1a b ==， 四边形ABCD的面积11||||222S AC BD =⋅=⨯= 当直线AC 斜率存在且不0时，设其方程为y kx =，由2222y kxx y =⎧⎨+=⎩消去y 得：22(21)20k x +-=，设1122(,),(,)A x y C x y ，则1212220,21x x x x k +==-+，12|||AC x x =-= 直线BD 方程为1=-y x k，同理得：BD =则有1||||2S AC BD =⋅==83≥，当且仅当221k k =，即1k =-或1k =时取“=”，而83< 所以四边形ABCD 面积最小值为83.故选：A 二、填空题13．双曲线2213y x -=上一点P 到(3,0)M 的距离最小值为___________.【答案】2【分析】设出点P 的坐标，利用两点间距离公式结合二次函数求出最小值即可作答.【详解】设00(,)P x y ，则220013y x -=，即220033=-y x ，于是得||PM ===0||1x ≥，则当01x =时，min ||2PM =，所以双曲线2213y x -=上一点P 到(3,0)M 的距离最小值为2.故答案为：214．若命题P ：对于任意[]1,1a ∈-，使不等式2122ax x a +->为真命题，则实数x 的取值范围是___________. 【答案】(),0∞-【分析】根据题意，结合指数函数不等式，将原问题转化为关于a 的不等式，对于任意[]1,1a ∈-恒成立，即可求解.【详解】根据题意，知对于任意[]1,1a ∈-，2122ax x a +->恒成立， 即21ax x a >+-，化简得()1210x a x --+>，令()()121f a x a x =--+，[]1,1a ∈-，则()0f a >恒成立，即()12101210x x x x ⎧---+>⎨--+>⎩，解得0x <，故(),0x ∈-∞.故答案为：(),0∞-.15．已知点(4,0)A 和(2,2)B ，M 是椭圆221259x y +=上一动点，则||||MA MB +的最大值为________.【答案】10+【分析】由题设条件可知，10MA MB MB MF +=+-.当M 在直线BF 与椭圆交点上时，在第一象限交点时有MB MF BF -=-， 在第三象限交点时有MB MF BF -=.显然当M 在直线BF 与椭圆第三象限交点时MA MB +有最大值， 其最大值为1010MA MB MB MF BF +=+-=+. 由此能够求出MA MB +的最大值.【详解】解：A 为椭圆右焦点，设左焦点为()4,0F -，则由椭圆定义210MA MF a +==， 于是10MA MB MB MF +=+-.当M 不在直线BF 与椭圆交点上时，M ､F ､B 三点构成三角形，于是MB MF BF -<， 而当M 在直线BF 与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有MB MF BF -=-，在第三象限交点时有MB MF BF -=.显然当M 在直线BF 与椭圆第三象限交点时MA MB +有最大值，其最大值为10101010MA MB MB MF BF +=+-=+=+故答案为：10+【点睛】本题考查椭圆的基本性质，解题时要熟练掌握基本公式.16．已知椭圆2214x y +=的右顶点为A ，上顶点为B ，且直线l 与椭圆交于C ，D 两点，若直线l ∥直线AB ，设直线AC ，BD 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的值为___________.【答案】140.25【分析】求出点A ，B 坐标，设出直线l 的方程，联立直线l 与椭圆方程，借助韦达定理即可计算作答.【详解】依题意，点(2,0),(0,1)A B ，直线AB 斜率为12-，因直线l ∥直线AB ，则设直线l 方程为：12y x t =-+，1t ≠，由221244y x tx y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩消去y 并整理得：222220x tx t -+-=，22244(22)4(2)0t t t ∆=--=-->，解得t<<1t<或1t <设1122(,),(,)C x y D x y ，则212122t,22x x x x t +==-，有1212121,2y y k k x x -==-， 因此，121212212122122111()(1)(1)(2)(22)122(2)242x t x t y y x t x t k x x x k x x x x x -+-+----+===⋅--- 22121211221221222()42(2)224211142424x x t x x t x t x x t t t x x x x x x x -+++--⋅+-=⋅=⋅=--， 所以12k k 的值为14.故答案为：14三、解答题17．已知p ：方程22131x y t t +=-+所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆；q ：当1[,2]2x ∈时，函数215()32f x x t t x =+>-+恒成立.(1)若p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若p q ∧为假命题，且p q ∨为真命题，求实数t 的取值范围 【答案】(1)11t -<< (2)[)11,1,22⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦【分析】(1)由给定条件结合椭圆标准方程的特征列不等式求解作答. (2)求命题q 真时的t 值范围，再借助“或”联结的命题为真命题求解作答. (1)因方程22131x y t t +=-+所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，则有310t t ->+>，解得11t -<<， 所以实数t 的取值范围是11t -<<. (2)1[,2]2x ∈，则有1()2f x x x =+≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取“=”，即min ()(1)2==f x f ，因当1[,2]2x ∈时，函数215()32f x x t t x =+>-+恒成立，则25322t t -+<，解得122t <<，命题q 为真命题有122t <<， 因p q ∧为假命题，且p q ∨为真命题，则p 与q 一真一假， 当p 真q 假时，112t -<≤，当p 假q 真时，12t ≤<， 所以实数t 的取值范围是1(1,][1,2)2-⋃.18．在三角形ABC 中，三个顶点的坐标分别为(0,2)A ，(1,0)B -，(4,0)C ，且D 为AC 的中点.(1)求三角形ABC 的外接圆M 方程；(2)求直线BD 与外接圆M 相交产生的相交弦的长度.【答案】(1)2232524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；. 【分析】（1）根据题意，结合直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，即可求解； （2）根据题意，结合点到直线的距离，以及弦长公式，即可求解. (1)根据题意，易知ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，故外接圆圆心是B ，C 的中点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，半径为BC 长度的一半为52，故三角形ABC 的外接圆M 方程为2232524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. (2)因为D 为AC 的中点，所以易求(2,1)D . 故直线BD 的方程为310x y -+=，圆心3,02⎛⎫⎪⎝⎭到直线310x y -+=的距离d ==故相交弦的长度为2=. 19．已知双曲线C 的方程为222221y x a-=（0a >）(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过(0,1)E 的直线l 交曲线C 于M N 、两点，求EM EN ⋅的取值范围. 【答案】(1)2211122y x -=；(2)11(,][,)22-∞-+∞.【分析】（1）根据题意，结合离心率易，知双曲线为等轴双曲线，进而可求解； （2）根据题意，分直线斜率否存在两种情形讨论，结合设而不求法以及向量数量积的坐标公式，即可求解. (1)，知双曲线是等轴双曲线，所以222a = 21a =，故双曲线C 的标准方程为2211122y x -=. (2)当直线斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，则由221221y kx y x =+⎧⎨-=⎩消去y ，得到22(22)410k x kx -++=， ∵直线与双曲线交于M ､N 两点，∴222220Δ164(22)0k k k ⎧-≠⎨=-->⎩，解得1k ≠±. 设1122(,)(,)M x y N x y 、，则有12221kx x k +=-，122122x x k ⋅=-， 因此2211221222111(,1)(,1)(1)2221k EM EN x y x y k x x k k +⋅=-⋅-=+⋅==+--，∵1k ≠±，∴211k -≥-且210k -≠，故2111k ≤--或2101k >-， 故21111(,](,)2122EM EN k ⋅=+∈-∞-+∞-； ②当直线l 的斜率不存在时，此时:0l x =，易知2(0,)2M ，2(0,)2N -，故12EM EN ⋅=. 综上所述，所求EM EN ⋅的取值范围是11(,][,)22-∞-+∞.20．在平面直角坐标系xOy 中，设点)(1,0F ，直线:1l x =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，也是PF 的中点．RQ FP ⊥，PQ l ⊥．(1)求动点Q 的轨迹的方程E ；(2)过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为M ，N ．求直线MN 过定点R 的坐标．【答案】(1)()240y x x =>(2))(3,0【分析】（1）由图中的几何关系可知PQ QF =,故可知动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，但不能和原点重合，即可直接写出抛物线的方程；（2）设出直线AB 的方程，把点A 、B 的坐标代入抛物线方程，两式作差后，再利用中点坐标公式求出点M 的坐标，同理求出点N 的坐标，即可求出直线MN 的方程，最后可求出直线MN 过哪一定点. (1)∵直线l 的方程为1x =-，点R 是线段FP 的中点且RQ FP ⊥， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线,∵PQ l ⊥, ∴PQ 是点Q 到直线l 的距离, ∵点Q 在线段FP 的垂直平分线，∴PQ QF =,则动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，但不能和原点重合，即动点Q 的轨迹的方程为()240y x x =>.(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()1y k x =-，由已知得21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差可得1212124y y x x y y -=-+，即124y y k +=，则2M y k =，代入()1y k x =-可得221M x k =+，即点M 的坐标为2221,kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理设()33,C x y ，()44,D x y ，直线CD 的方程为()11y x k=--， 由已知得23324444y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差可得3434344y y x x y y -=-+，即344y y k +=-， 则2N y k =-，代入()11y x k=--可得221N x k =+，即点N 的坐标为()221,2k k +-， 则直线MN 的斜率为21M N MN M N y y k k x x k -==--，即方程为()222211ky k x k k+=---，整理得()()213y k k x -=-， 故直线MN 恒过定点()3,0R .21．已知一张纸上画有半径为4的圆O ，在圆O 内有一个定点A ，且2OA =，折叠纸片，使圆上某一点A '刚好与A 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A '取遍圆上所有点时，所有折痕与OA '的交点形成的曲线记为C . (1)求曲线C 的焦点在x 轴上的标准方程；(2)过曲线C 的右焦点2F （左焦点为1F ）的直线l 与曲线C 交于不同的两点M ，N ，记1F MN △的面积为S ，试求S 的取值范围.【答案】(1)22143x y +=； (2)(]0,3﹒【分析】(1)根据题意，作出图像，可得4MO MA +=，由此可知M 的轨迹C 为以O 、A 为焦点的椭圆；(2)分为l 斜率存在和不存在时讨论，斜率存在时，直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理表示1F MN △的面积，根据变量范围可求面积的最大值﹒ (1)以OA 中点G 坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图：∴可知()1,0O -，(1,0)A ，设折痕与OA '和AA '分别交于M ，N 两点，则MN 垂直平分AA '，∴MA MA '=，又∵A O MO A M ''=+，∴4MO MA +=， ∴M 的轨迹是以O ，A 为焦点，4为长轴的椭圆．∴M 的轨迹方程C 为22143x y +=；(2)设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1F MN △的周长为48a =． 当l x ⊥轴时，l 的方程为1x =，3MN =，12|132|S MN F F =⨯=， 当l 与x 轴不垂直时，设():1(0)l y k x k =-≠，由22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(39)460k y ky k -=＋＋，∵∆＞0，∴122643k y y k =-+＋，2122943k y y k =-+，112121211221212111||||||222F MNF F MF F NF F y F F y F F SSy Sy =⋅+⋅=⋅-＝＋ 222122112221169()424224343k k F F y y y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-=⨯--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2222(1(43))k k k +=+令243k t +=，则3t >，22222311114333213333t t S t t t t --⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∵3t >，∴1103t <<，∴03S <<.综上可知，S 的取值范围是(]0,3．22．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)与椭圆2226x y +=的焦点相同，且椭圆C 过点12⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥，(O 为坐标原点)，若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由； (3)P 是椭圆C 上异于上顶点1A ，下顶点2A 的任一点，直线1PA ，2PA ，分别交x 轴于点N ，M ，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T ．证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值． 【答案】(1)2214x y +=；(2)存在，2245x y +=；(3)证明见解析，定值2．【分析】(1)根据已知条件，用待定系数解方程组即可得到C 的方程；(2)设出AB 的方程，与椭圆方程联立，得到根与系数关系，代入由OA OB ⊥确定方程内即可得到结果；(3)设P 点坐标，求出M 和N 坐标，设出圆G 的圆心坐标，求得圆的半径，由垂径定理求得切线长|OT |，结合P 在椭圆上可证|OT |为定值﹒ (1)设椭圆C 的方程为222213x y a a +=-将点12⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程有点． 解得24a =，(舍)∴椭圆的方程为2214x y +=；(2)设1122(,),(,)A x y B x y ，当AB 斜率存在时，设:AB y kx m =+，代入2214x y +=，整理得()222148440k x kmx m +++-=，由OA OB ⊥得12120x x y y +=，即1212()0()x x kx m kx m +++=，由韦达定理化简得2254(1)m k =+=设存在圆222x y r +=与直线:AB y kx m =+r =，解得r =∴圆的方程为2245x y +=； 又若AB 斜率不存在时，检验知满足条件，故存在圆心在原点的圆2245x y +=符合题意；(3) 如图：1(0,1)A ，2(0,1)A -，设()00,P x y ，直线0101:1y PA y x x --=，令0y =，得001N x x y =-；直线0201:1y PA y x x ++=，令0y =，得001M xx y =+；解法一：设圆G 的圆心为00001,211x x h y y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，则222220000000000112111411x x x x x r h h y y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=++⎢⎥ ⎪⎪+-++-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 22200001||411xx OG h y y ⎛⎫=-+ ⎪+-⎝⎭，22222220000000011||||411411x x x x OT OG r h h y y y y ⎛⎫⎛⎫=-=-+-+- ⎪ ⎪+-+-⎝⎭⎝⎭20201x y =-， 而220014x y +=，∴()220041x y =-，∴24OT =， ∴||2OT =，即线段OT 的长度为定值2．解法二：20002000|1|1||1x x x OM ON y y y ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪-+-⎝⎭，而220014x y +=，∴()220041x y =-，∴||||4OM ON ⋅=．由切割线定理得2||||||4OT OM ON =⋅=．∴||2OT =，即线段OT 的长度为定值2．。

四川省成都市第七中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知,则a，b不可能满足的关系是（）A．B．C. D．参考答案：D,得，,即,对于,解之得,成立;对于,成立;对于，成立;对于，故,故错.故选.2. 已知公比为的等比数列的前项和为，则下列结论中：（1）成等比数列；（2）；（3）正确的结论为（）（）（1）（2）．（）（1）（3）．（）（2）（3）．（）（1）（2）（3）．参考答案：C3. 若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．参考答案：C考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．4. 要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将y=cos（2x﹣）图象上的所有点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据诱导公式将函数y=cos（2x﹣）化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：y=cos（2x﹣）=sin（2x﹣+）=sin（2x+），y=sin（2x+）=sin[2（x﹣）+]，∴要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将y=cos（2x﹣）图象上的所有点向右平行移动个单位长度，故选D．5. 如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为( )A． B． C． D．参考答案：D略6. 已知向量，b，若| a b a·b，则A． B． C．1 D．3参考答案：S略7. 已知a是函数的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）(A)f（x0）=0 (B)f（x0）＞0(C)f（x0）＜0 (D)f（x0）的符号不确定参考答案：C8. 若，，均为单位向量，且?=﹣， =x+y（x，y∈R），则x+y的最大值是（）A．2 B．C．D．1参考答案：A【考点】平面向量的综合题；平面向量的基本定理及其意义．【分析】由题设知==x2+y2﹣xy=1，设x+y=t，y=t﹣x，得3x2﹣3tx+t2﹣1=0，由方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，知△=9t2﹣12（t2﹣1）≥0，由此能求出x+y的最大值．【解答】解：∵，，均为单位向量，且?=﹣， =x+y（x，y∈R），∴==x2+y2﹣xy=1，设x+y=t，y=t﹣x，得：x2+（t﹣x）2﹣x（t﹣x）﹣1=0，∴3x2﹣3tx+t2﹣1=0，∵方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，∴△=9t2﹣12（t2﹣1）≥0，﹣3t2+12≥0，∴﹣2≤t≤2∴x+y的最大值为2．故选A．9. 如图给出了函数y=a x，y=log a x，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2的图象，则与函数y=a x，y=log a x，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是（）A．①②③④B．①③②④C．②③①④D．①④③②参考答案：B【考点】对数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由二次函数的图象为突破口，根据二次函数的图象开口向下得到a的范围，然后由指数函数和对数函数的图象的单调性得答案．【解答】解：由图象可知y=（a﹣1）x2为二次函数，且图中的抛物线开口向下，∴a﹣1＜0，即a＜1．又指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1，∴y=a x为减函数，图象为①；y=log a x为减函数，图象为③；y=log（a+1）x为增函数，图象为②．∴与函数y=a x，y=log a x，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是①③②④．故选B．【点评】本题考查了基本初等函数的图象和性质，是基础的概念题．10. 已知集合，，则A. B. C.D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，，若，则实数m=______.参考答案：-2【分析】根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果. 【详解】由题意得：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.12. 在中，角A，B，C所对边分别为且，面积，则= ．参考答案：5：：∵，面积，∴，由余弦定理得，∴．故答案为：5．13. 已知实数x,y满足设b=x-2y，若b的最小值为一2，则b的最大值为参考答案：10【知识点】简单线性规划．E5解析：由约束条件作出可行域如图，由b=x ﹣2y ，得，由图可知，A （a ，a ），B （a ，﹣2a ）， 则当直线过A （a ，a ）时在y 轴上的截距最大，b 有最小值为a ﹣2a=﹣a=﹣2，即a=2，∴当直线过B （a ，﹣2a ）时在y 轴上的截距最小，b 有最大值为a ﹣2（﹣2a ）=5a=10．故答案为：10．【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得a 的值，再把使目标函数取得最大值的最优解的坐标代入目标函数求得b 的最大值．14. 已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为 ．参考答案：16【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出侧棱长，再计算四棱柱的侧面积．【解答】解：如图所示，直四棱柱底面ABCD 是边长为2的菱形， 侧面对角线的长为，∴侧棱长为CC 1==2； ∴该直四棱柱的侧面积为S=4×2×2=16．故答案为：16．15. 已知A 、B 是过抛物线焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，满足，，则的值为参考答案：略16. 在直角坐标系xOy 中，双曲线（）的离心率，其渐近线与圆交x 轴上方于A 、B 两点，有下列三个结论：① ；②存在最大值；③．则正确结论的序号为_______.参考答案：①③ 【分析】根据双曲线离心率的范围可得两条渐近线夹角的范围，再根据直线与圆的位置关系及弦长，即可得答案；【详解】，，对①，根据向量加法的平行四边形法则，结合，可得成立，故①正确；对②，，由于，没有最大值，没有最大值，故②错误；对③，当时，，，又，，，故③正确；故答案为：①③.【点睛】本题考查向量与双曲线的交会、向量的数量积和模的运算，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.17. 某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式．《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过小时后才能开车（不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时）．参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2022-2023学年四川省成都市第七中学高二上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1．在我校举办的艺术节舞蹈比赛中，有15位评委为选手打分，若选手甲所得分数用茎叶图表示如图所示，则该选手所得分数的中位数为（ ）A ．80B ．81C ．84D ．85【答案】C【分析】根据茎叶图，结合中位数的定义进行求解即可.【详解】根据茎叶图，从小到大排列，第8个数据为84，所以该选手所得分数的中位数为84，故选：C2．分别对“x A B ∉”和“x A B ∉”进行描述，正确的是（ ）A ．x A ∉或xB ∉，x A ∉且x B ∉B ．x A ∉或x B ∉，x A ∉或x B ∉C ．x A ∉且x B ∉，x A ∉或x B ∉D ．x A ∉且x B ∉，x A ∉且x B ∉ 【答案】A【分析】由交集和并集的定义结合集合与元素的关系即可得出答案.【详解】由交集和并集的定义知， x A B ∉即x A ∉或x B ∉，x A B ∉即x A ∉且x B ∉.故选：A.3．已知O 为坐标原点，(2,2)A ，则以OA 为直径的圆方程为（ ）A ．22(1)(1)2x y +++=B ．22(1)(1)2x y -+-=C ．22(1)(1)8x yD ．22(1)(1)8x y +++= 【答案】B【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为()1,1，半径1122r OA ＝=∴圆的方程为22(1)(1)2x y --＋＝﹒故选：B ﹒4．记直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，命题p ：“若12k k =，则12l l ∥”，命题q ：“若121k k ，则12l l ⊥”，则下列选项中，为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】C【分析】先利用两直线平行或垂直的判定来判断命题的真假，然后判断且命题的真假【详解】若12k k =，则12l l ∥或1l 与2l 重合”，故命题p 为假命题， p ⌝为真命题，“若121k k ，则12l l ⊥正确，故命题q 为真命题，所以p q ⌝∧为真命题故选：C.5．双曲线2213x y -=的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．13y x =±C ．y =D ．y x = 【答案】D 【分析】利用双曲线的标准方程，令方程右边的常数1为0，两边开平方，即可得到答案．【详解】双曲线2213x y -=，由方程2203x y -=，可得双曲线的渐近线方程为y x =． 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线的方程求法，属于基础题．6．如图的程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”．执行该程序框图，若输入1813,333m n ==，则输出m 的值为（ ）A．4 B．37 C．148 D．333【答案】B【分析】利用辗转相除法求1813和333的最大公约数.【详解】题中程序框图为辗转相除法求1813和333的最大公约数.因为181********=⨯+，333148237=⨯+，1483740=⨯+，所以1813和333的最大公约数为37.故选：B.7．为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元) 8.28.610.011.212支出y(万元) 7.407.508.008.50m但是统计员不小心丢失了一个数据(用m代替)，在数据丢失之前得到回归直线方程为0.760.4y x=+，则m的值等于（）A．8.60B．8.80C．9.25 D．9.52【答案】A【分析】根据表格数据求,x y，由样本中心点(,)x y在回归直线上，将点代入即可求m的值.【详解】由题设知：8.28.61011.212105x++++==，7.47.588.531.455m my+++++==，∵(,)x y在回归直线上，∴31.40.76100.45m +⨯+=，解得8.6m =. 故选：A. 8．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a 的取值范围是( )A ．56a ≤≤B ．56a <<C ．56a <≤D ．56a ≤<【答案】D【分析】模拟执行该循环体5次，求出此时i 的取值即可判断a 的范围.【详解】模拟执行程序：0,1S i ==， ①01,2,2S i a =+=≤；②3,3,3S i a ==≤；③6,44S i a ==≤，； ④10,5,5S i a ==≤；⑤15,6,6S i a ==>，共执行了5次循环体，结束循环，∴56a ≤<.故选：D.9．过点(4,1)P 的直线l 与圆22(3)4x y -+=相交于,A B 两点．记:p 直线l 的斜率等于0，:||23=q AB p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线l 的斜率等于0时，直线l 的方程为1y =，代入方程22(3)4x y -+=中，得33x =±||3AB =，当直线l 的不存在斜率时，直线l 的方程为4x =，代入方程22(3)4x y -+=中，得x =||AB =，因此p 是q 的充分不必要条件，故选：A10．已知圆22:1O x y +=，点00(,0),(0)A x x ≥，动圆M 经过点A 且与圆O 相切，记动圆圆心M 的轨迹为E ，有下列几个命题：①00x =，则轨迹E 表示圆，②001x <<，则轨迹E 表示椭圆，③01x =，则轨迹E 表示抛物线，④01x >，则轨迹E 表示双曲线，其中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】设动圆M 圆心(),M x y ，半径为r ，根据圆与圆内切和外切两种情况，结合圆，抛物线，椭圆和双曲线的定义，依次判断每个选项得到答案.【详解】设动圆M 圆心(),M x y ，半径为r ，当00x =时，动圆M 与圆O 内切，故1MO r =-，即1MO MO =-，12MO =，轨迹为圆，①正确； 当001x <<时，动圆M 与圆O 内切，故1MO r =-，即1MO MA AO +=>，故轨迹为椭圆，②正确；当01x =时，动圆M 与圆O 内切时，1MO r =-，1MO MA AO +==，轨迹为线段OA ；动圆M 与圆O 外切时，1MO r =+，1MO MA AO -==，轨迹为射线，③错误；当01x >时，动圆M 与圆O 外切，1MO r =+，即1MO MA AO -=<，故轨迹为双曲线，④正确. 故选：C11．抛物线22y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别为,C D ，且2CF DF =，则直线l 的斜率等于（ ）A ．2B ．12C ．43D ．34 【答案】C【分析】设AB 为12x ky =+，1122(,),(,)A x y B x y 且120y y >>，联立抛物线整理可得12y y +，12y y ，而11(,)2C y -，21(,)2D y -，2CF DF =则有2212144y y +=+，即可求12,y y ，进而求k 值，可知直线l 的斜率.【详解】由题意，1(,0)2F ，设AB 为12x ky =+，1122(,),(,)A x y B x y 且120y y >>， ∴联立抛物线方程，整理得：2210y ky --=且2440k ∆=+>， ∴122y y k +=，121y y =-①，又11(,)2C y -，21(,)2D y -，2CF DF =， ∴2212144y y +=+，得221234y y =+②，联立①②，可得：1212,2y y ==-，则322k ，故34k =， ∴直线l 的斜率为43. 故选：C【点睛】关键点点睛：设直线并联立抛物线方程，应用韦达定理写出12y y +，12y y ，结合已知线段的数量关系列方程组求12,y y ，进而求直线的斜率.12．某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S 等于（ ）A ．24B ．26C ．30D ．32【答案】D【分析】确定函数表示椭圆的上半部分，d 表示椭圆上的点到一个焦点的距离，S 表示距离之和，画出图像计算得到答案. 【详解】25116x y =-，即2251162x y +=，()0y ≥，表示椭圆的上半部分， 焦点为()10,3F ，()20,3F -，d 表示椭圆上的点到一个焦点的距离，S 表示距离之和，如图所示：()1121314152627232732S A F A F A F A F A F A F A F a a c a c =++++++=⨯+-=-=.故选：D二、填空题13．命题“对R b ∀∈，方程22211x y a b +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”为真命题，则满足条件的a 的一个值可以是______．【答案】0.5（填满足01a <<的任意实数均可）【分析】由题意知，210b a +>>，又因为211b +≥，可求出01a <<，即可得出答案.【详解】因为命题“对R b ∀∈，方程22211x y ab +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”为真命题， 则210b a +>>，因为211b +≥，所以01a <<.故答案为：0.5（填满足01a <<的任意实数均可）.14．在平面直角坐标系中，已知点(1,4),(3,2)A B --，现将坐标平面沿x 轴折成直二面角，则折叠后A ，B 间的距离为______．【答案】6【分析】如图所示，过A 作AC x ⊥轴于C ，作BD x ⊥轴于D ，确定AC BC ⊥，利用勾股定理计算即可.【详解】如图所示：过A 作AC x ⊥轴于C ，作BD x ⊥轴于D ，折叠后的两个平面为,αβ，αβ⊥，x αβ=轴，AC x ⊥轴，故AC α⊥，BC α⊂，故AC BC ⊥，则22222425BC BD CD =+=+=，2216206AB AC BC =+=+=. 故答案为：615．已知动圆P 的圆心P 在y 轴的右侧，圆P 与y 轴相切，且与圆C ：222x y x +=外切． 则动圆圆心P 的轨迹方程为____________．【答案】24(0)y x x =>【分析】由题意，设点(,)(0)P x y x >，圆P 与y 轴相切则圆P 的半径为1r x =，在根据两圆的位置关系求出解析式即可.【详解】由题知，设点(,)(0)P x y x >，因为圆P 与y 轴相切，所以圆P 的半径为1r x =，由圆C ：()2222211x y x x y +=⇒-+=，所以圆心为(1,0)C ，半径21r =，由圆P 与圆C 外切， 所以12r r PC +=，即1x +=化简得：24(0)y x x =>故答案为：24(0)y x x =>.16．已知点(3,1)M ，直线:2(1)40,(R)l ax a y a -++=∈，M 关于直线l 的对称点为点N ，则OM ON ⋅的取值范围是_________．【答案】(0,20]【分析】直线过点()2,4，考虑斜率不存在，斜率为0和斜率存在且不为0三种情况，根据对称计算N 的坐标，再计算向量的数量积，根据二次函数的性质得到答案.【详解】():420l y a x y -+-=，4020y x y -=⎧⎨-=⎩，得到2,4x y ==，故直线过定点()2,4， 当斜率不存在时，即1a =-时，直线方程为2x =，故()1,1N ，()()3,11,14OM ON =⋅=⋅； 当斜率为0时，即0a =时，直线方程为4y =，故()3,7N ，()()3,13,716OM ON =⋅=⋅； 当直线斜率存在且不为0时，设()00,N x y ，设直线方程为()24y k x =-+，221a k a =≠+， 则00113y x k -=--，00132422y x k ++⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得202202631271k k x k k k y k ⎧-+=⎪⎪+⎨++⎪=⎪+⎩， ()222222224263274161631111k k k k k O k k N k O k k M k --+++-+=++++⋅==+， 设2k t -=，2k t =+，0t ≠，222244454451211555O t t N t M t t t O ===++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭⋅，212115555t ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，故(]0,20OM ON ⋅∈. 综上所述：(]0,20OM ON ⋅∈故答案为：(0,20]三、解答题17．某幼儿园为调查学生的年龄与体重之间的关系，现从全校学生中随机抽取100名学生对他们的体重进行分析，这100个样本已经按体重[15,20),[20,25),[25,30),[30,35]（单位：公斤）分成四组，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)若要从体重在[15， 20），[20，25) ， [25， 30)三组内的学生中，用分层抽样的方法选取16人参加一项活动，求从体重在[25，30)内的学生中应选取的人数；(2)求这100名学生的平均体重．【答案】(1)7；(2)25.5.【分析】（1）根据在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，结合分层抽样的性质进行求解即可；（2）根据平均数的定义进行求解即可.【详解】（1）(0.030.040.06)51a +++⨯=，所以解得0.07a =，体重在[15， 20），[20，25) ， [25， 30)三组内的学生人数分别为15、30、35人设体重在[25，30)内的学生中应选取的人数为x ，则16735153035x x =⇒=++；（2）这100名学生中，体重在[15， 20）内的频率为15100， 体重在[20， 25）内的频率为30100， 体重在[25， 30）内的频率为35100，体重在[30， 35）内的频率为20100， 所以平均体重为153530453555206525.51002100210021002⨯+⨯+⨯+⨯=. 18．已知:p 方程22122xy m m +=-+表示双曲E ，:q 方程2222x y y m +-+=表示圆C ． (1)若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围； (2)若p q ∧为真，求双曲线E 的离心率的取值范围． 【答案】(1)(][)2,12,m ∈-+∞(2)e ∈【分析】（1）当p 为真命题时，22m -<<，当q 为真命题时，1m >，考虑p 真q 假和p 假q 真两种情况，计算得到答案. （2）确定(1,2)m ∈，242e m =+，根据m 范围得到离心率的取值范围.【详解】（1）p q ∨为真命题，p q ∧为假，故p ，q 恰有一个是真命题． 当p 为真命题时，(2)(2)0m m -+<，解得22m -<<；当q 为真命题时，2222x y y m +-+=，即()2211x y m +-=-，故1m >.当p 真q 假时，221? m m -<<⎧⎨≤⎩，解得21m -<≤；当p 假q 真时，21m m ≥⎧⎨>⎩或21? m m ≤-⎧⎨>⎩，解得2m ≥.综上所述：m 的取值范围是(][)2,12,m ∈-+∞，（2）p q ∧为真，则(1,2)m ∈， 根据双曲线E 的方程得222,2a m b m =+=-. 所以242e m =+，12m <<，324m <+<，44123m <<-．所以双曲线的离心率e ∈． 19．已知某同学的物理成绩y （单位：分，满分100分）与数学成绩x （单位：分，满分150分）之间具有线性相关关系，在连续的五次月考中，该生的物理成绩与数学成绩统计如下表：(1)根据该同学的数学与物理成绩，若都以100分值计算，判断哪一科更稳定；(2)利用上表中的五组数据求回归直线方程y b x a ∧∧∧=+.若在第六次月考中该生数学成绩为135x =，利用该回归直线方程预测第六次月考的物理成绩．参考公式：222211221()()1=[()()()],,()nii i n nii xx y y s x x x x x x b a y b x n xx ∧∧∧==---+-++-==--∑∑【答案】(1)物理成绩更加稳定； (2)98.1分.【分析】（1）根据方差的运算公式和性质进行求解判断即可； （2）根据题中所给的公式，利用代入法进行求解即可. 【详解】（1）根据表中数据可得：1201101251301159283909689120,90,55x y ++++++++====按100分值计算，数学学科的方差为：222222211100200(0105105)51509s ⎛⎫=++++⨯=⎪⎝⎭， 物理学科的方差为22222221(27061)185s =++++=，200189>， 所以均以100分值计算，该同学物理成绩更加稳定； （2）51()()135i i i x x y y =--=∑521()250ii x x =-=∑51521()()0.54()iii ii x x yy b x x ∧==--∴==-∑∑.900.54120a y b x ∧=-⋅=-⨯25.2a ∴= ，故所求回归直线的方程为0.5425.2y x =+ 当135x =，∴98.1y =(分)∴故第六次月考物理成绩预测值为98.1分.20．已知0a >，三条直线123:0,:(1)0,:(1)10l ax y a l x ay a a l a x y a -+=+-+=+-++=两两相交，交点分别为,,A B C ．(1)证明：ABC 是直角三角形，且有一个顶点为定点； (2)求ABC 面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)34.【分析】（1）根据直线垂直的性质，结合直线点斜式方程的特征进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】（1）记12,l l 的交点为A ，记13,l l 的交点为B ，记23,l l 的交点为C ，1:0l ax y a -+=的斜率为1k a =，2:(1)0l x ay a a +-+=的斜率为21k a=-， 121k k =-，12l l ∴⊥，即ABC 是直角三角形，其中90A =， 又1:0(1)l ax y a y a x -+=⇒=+，所以过定点(1,0)-，3:(1)10(1)(1)l a x y a y a x +-++=⇒=++，所以过定点(1,0)-，ABC 有一个顶点B 为定点(1,0)-；（2）ABC 的面积为1||||2S AB AC =， 其中AB 为B (1,0)-到直线2l的距离，即2||AB ， 又23,l l 得交点为(0,1)C a +到直线1l的距离，即||AC =221111113111221224a a S a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++ ==⋅=+≤= ⎪+ ⎪+ ⎝⎭⎝， 当且仅当1a a=时取等号， 1a ∴=时，ABC 面积取得最大值34． 21．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，抛物线24y x =与椭圆有相同的焦点，点P 为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且17||3PF =． (1)求椭圆的方程；(2)过F 作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，线段AB 的中点为M ，线段CD 的中点为N ，证明：直线MN 过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析，定点4(,0)7.【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标，结合余弦定理、抛物线和椭圆的定义进行求解即可； （2）直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式进行求解即可. 【详解】（1）抛物线焦点坐标为(1,0)，故221a b -=. 设2||PF t =，由抛物线定义得：点P 到直线=1x -的距离为t.123cos 7t PF F ∴∠=，由余弦定理，得21249434cos 77223tt PF F +-∠==⨯⨯. 整理，得2936650t t +-=，解得53t =或133t =-（舍去）.由椭圆定义，得12||||24PF PF a +==，2,a b ∴==∴椭圆的方程为22143x y +=；（2）设:1,(0)AB l x my m =+≠，联立22221(34)690143x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 即2634A B my y m -+=+， 23234A B M y y m y m +-∴==+，代入直线方程得2434M x m =+，2243(,)3434mM m m -∴++，同理可得22243(,)4343m mN m m ∴++， 2744MN mk m ∴=-， 222374:()344434MN m m l y x m m m ∴+=-+-+， 令0y =，得2222241212121647347(34)7(34)m m x m m m -+=+==+++，所以直线MN 过定点4(,0)7.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键. 22．已知抛物线24y x =及圆C ：222x y x +=．(1)过圆心C 作直线l 与抛物线和圆交于四个点，自上而下依次为A ，M ，N ，B ，若||,||,||AM MN NB 成等差数列，求直线l 的方程；(2)过抛物线上一动点P （P ）作圆C 的两条切线分别交y 轴于E ，F 两点，求线段EF 的取值范围．【答案】(1)1)y x =- (2)(2,)+∞【分析】（1）由圆C 的半径为1可得||2MN =，因为||,||,||AM MN NB 成等差数列，找出等量关系，求出||AB 的值，设直线方程:1l x my =+，代入抛物线方程化简，利用韦达定理，弦长公式即可求出直线方程；（2）设22000(,2),2P y y y >，求出过P 且与圆C 相切的直线方程，记,PE PF 得斜率分别为12,k k ，再利用已知条件表示出||EF ，结合题设条件转化为函数求解即可. 【详解】（1）由圆C 的半径为1可得||2MN =， 因为||,||,||AM MN NB 成等差数列， 所以||||2||4AM NB MN +==， 又||||||||AM NB AB MN +=-， 所以||6AB =，设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩， 所以12124,4x x m x x +==-， 由||6AB =得：AB6，解得212m=，所以直线l 的方程为1)y x =-.（2）设22000(,2),2P y y y >，过P 且与圆C 相切得直线方程为：2002()y y k x y -=-，记,PE PF 得斜率分别为12,k k ， 则2010(0,2)E y k y -，2020(0,2)F y k y -， 所以2120||||EF k k y =-，由圆心到直线的距离等于半径得：21=，化简得：4222200000(2)4(1)410y y k y y k y -+-+-=2001222004(1)(2)y y k k y y -∴+=-，2012220041(2)y k k y y -=-，21200||||EF k k y y ∴=-=0y =0|y =0|y =令202t y =-，则202y t =+， 因为202y >，所以2020t y =->()0,t ∈+∞，||EF ∴= ()10,t∈+∞，（对称轴更接近0） ||2EF ∴>，即线段EF 的取值范围为：(2,)+∞.。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．已知全集U=R ，集合A={}13>xx ，B={}0log 2>x x ，则A ∪B=（ ） A ．{}0>x xB ．{}1>x xC ．{}10<<x xD ．{}0<x x2．“函数2)(-=kx x f 在区间[]1,1-上存在零点”是“3≥k ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知1tan()2πα-=，则sin cos 2sin cos αααα+-=（ ） A ．41B ．21C ．41-D ．21-4．定义运算bc ad dc b a -=，则函数32cos 12sin )(xx x f =的最小正周期为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π5．函数3)1()(2---=x a ax x f 在区间[)∞+-,1上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-31,B ．(]0,∞-C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛31,D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,6．已知函数m x x x f +-=3)(3只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,2- B ．()2,-∞-∪()∞+,2 C ．()2,2-D ．(]2,-∞-∪[)∞+,27．ΔABC 中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且A Bb a cos cos =，A 、B 、C 成等差数列，则角C=（ ） A ．3π B ．6πC ．6π或2πD ．3π或2π8. 若函数()139x x f x a =++•，其定义域为(]1,∞-，则a 的取值范围是（ ） A ．94-=aB ．94-≥a C ．94-≤a D ．094<≤-a 【答案】A 【解析】9．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=-，)()4(x f x f -=-，且在区间[]2,0上是减函数．若方程k x f =)(在区间[]8,8-上有两个不同的根，则这两根之和为（ ） A ．±8B ．±4C ．±6D ．±2xy–1–2–3–4–5–6–7–89123456789–11O6、2或－2、6，所以这两考点：1、抽象函数的奇偶性和周期性单调性及图象；2、方程的根.10．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-+≥-+=)0()3()4()0()1()(2222x a x a a x x a k kx x f ，其中R a ∈，若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数)(122x x x ≠，使得)()(12x f x f =成立，则k 的最小值为（ ） A ．151-B ．5C ．6D ．8所以当01x ≤<时，1519()()13219g x g -≥==-；当1x >时，591()(3)192g x g -≤==-. 所以8k ≥或0k ≤.又因为0k >，所以8k ≥. （另法：也可以利用不等式求253211ak a-=⨯--的范围）. 考点：1、分段函数；2、一次函数与二次函数；3、导数的应用；4、不等关系.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.11．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点(3,4)P t t -(0)t <其中，则cos α= .12．ΔABC中，B=120º，AC=3，AB=3，则ΔABC的面积为．13．曲线2()lnln2xf x x=-在1=x处的切线方程为．14.已知37,sin()sin()25Rπαπαα∈++-=，则tanα= .15. 若,a b 是任意非零常数，对于函数()y f x =有以下5个命题： ①()y f x =是2T a =的周期函数的充要条件是()()f x a f x a +=-； ②()y f x =是2T a =的周期函数的充要条件是()()f x a f x +=-； ③若)(x f 是奇函数且是a T 2=的周期函数，则)(x f 的图形关于直线2ax = 对称； ④若)(x f 关于直线2ax =对称，且)()(x f a x f -=+，则)(x f 是奇函数； ⑤若)(x f 关于点()0,a 对称，关于直线b x =对称，则)(x f 是)(4b a T -=的周期函数． 其中正确命题的序号为 ．考点：函数的周期性、奇偶性、对称性.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.16．已知函数a x x x f --=2)(2.（1）当0=a 时，画出函数)(x f 的简图，并指出)(x f 的单调递减区间； （2）若函数)(x f 有4个零点，求a 的取值范围．222(1)1,(0)()2(1)1,(0)x x f x x x x x ⎧--≥⎪=-=⎨+-<⎪⎩,据此可画出图象，由图象可得)(x f 的单调递减区间.（2）由0)(=x f ，得a x x =-22,这样问题转化为曲线x x y 22-=与直线a y =有4个不同交点,由(1)题中的图像可得a 的取值范围.试题解析：（1）当0=a 时，222(1)1,(0)()2(1)1,(0)x x f x x x x x ⎧--≥⎪=-=⎨+-<⎪⎩,由图可知，)(x f 的单调递减区间为()1,-∞-和()1,0. ………………6分 （2）由0)(=x f ，得a x x =-22,∴曲线x x y 22-=与直线a y =有4个不同交点,∴根据(1)中图像得01<<-a . ………………12分 考点：1、函数的图象；2、函数的单调区间；3、函数的零点.17．已知向量212cos,12x a ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,cos()3b x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0ω>，点A 、B 为函数b a x f ⋅=)(的相邻两个零点，AB=π. （1）求ω的值； （2）若33)(=x f ，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，求x sin 的值； （3）求x x f x g 3)2()(-=在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间.这里不能展开来求x sin ，而应考虑凑角： 22()33x x ππ=+-，这样再利用差角的正弦公式就可以求出x sin 的值； （3）x x x g 3322sin 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=π,03322cos 32)(≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='πx x g ,∴21322cos ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ………………………………………………………………10分 ∴35232232πππππ+≤+≤+k x k （k Z ∈）, 即26πππ+≤≤-kx x k （k Z ∈）,又⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0πx ,∴()g x 在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,65ππ. …………………………………………………………（12分） 考点：1、向量的数量积；2、三角函数的周期；3、三角变换；4、导数的应用.18．已知m 为常数，函数2()12xxm f x m -=+⋅为奇函数. （1）求m 的值；（2）若0>m ，试判断)(x f 的单调性（不需证明）；（3）若0>m ，存在[]2,2x ∈-，使()(2)0xxf e xe k f +-+≤，求实数k 的最大值．试题解析：（1）由0)()(=+-x f x f ，得0212212=⋅+-+⋅+---xxx x m m m m ,考点：1、函数的奇偶性和单调性；2、不等关系.19．ΔABC 中，)2sin(sin 3B A B +=，2tan 12tan 42A A -=. （1）求证：4π=+B A ;（2）若a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，2=a ，求c 和ΔABC 的面积.（2）解:由（1）得43π=C ，由21tan =A ，得55sin =A .由正弦定理得sin 10sin a Cc A==由()tan tan tan 11tan tan A B A B A B ++==-得31tan =B ，从而1010sin =B ……………………10分∴1sin 21==∆B ac S ABC . …………………………………………………………12分 考点：1、三角变换；2、正弦定理；3、三角形的面积.20．已知函数x a a x a x x f )()12(2131)(223+++-=. （1）若函数xx f x h )()('=为奇函数，求a 的值；（2）若R m ∈∀，直线m kx y +=都不是曲线)(x f y =的切线，求k 的取值范围； （3）若1->a ，求)(x f 在区间[]1,0上的最大值．（2）若R m ∈∀，直线m kx y +=都不是曲线)(x f y =的切线，这说明k 不在)(x f y =的（3）)()12()(22a a x a x x f +++-='(1)()x a x a =---.因为1->a ，所以01>+a ，当1≥a 时，0)(≥'x f 对[]1,0∈x 成立，()f x 在[0,1]上单调递增，所以当1=x 时，)(x f 取得最大值61)1(2-=a f ; 当10<<a 时，在),0(a x ∈，0)(>'x f ，)(x f 单调递增，在)1,(a x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 调递减，所以当a x =时，)(x f 取得最大值232131)(a a a f +=; 0=a 时，在)1,0(∈x ，0)(<'x f ，)(x f 单调递减，所以当0=x 时，)(x f 取得最大值0)0(=f ;………………….10分当01<<-a 时，在)1,0(+∈a x ，0)(<'x f ，)(x f 单调递减，在)1,1(+∈a x ，0)(>'x f ，)(x f 单调递增,0．……………………………………13分 考点：1、导数的应用；2、函数的奇偶性.21．设xe x xf ⋅=)(0，10211()(),()(),,()()(*)n n f x f x f x f x f x f x n N -'''===∈.（1）请写出)(x f n 的表达式（不需证明）； （2）求)(x f n 的极小值；（3）设2()2(1)88,()n n g x x n x n g x =--+-+的最大值为a ，)(x f n 的最小值为b ，求a b -的最小值.即*)()1(N n e y n n ∈-=+-. …………………………8分又因为1232341114,1,c c c e e e=+=+=，123c c c >>. 所以当3n =时，a b -取得最小值4e -.……………………………………14分 考点：1、归纳推理；2、导数的应用；3、函数的最值.。

四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学理科试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．43πB ．32π9．化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的状态．根据计算系统的吉布斯自由能变化和Van’tHoff 方程，可以得到温度()T 与可逆反应的平衡常数ln H T S G RT K ∆-∆=∆=-式中H ∆为焓变（在一定温度变化范围内视为定值）熵变，R 为气体常数．利用上述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算．已知当温度为1T 时，时，可逆反应的平衡常数为2K ．则12ln K K =（A ．()1212ΔH T T RT T -B ．()2112ΔH T T RT T -二、填空题三、解答题(1)若14λ=，求证：平面PBM⊥参考答案：故选：A .9．A【解析】根据题中所给关系式，结合题中条件，得到简整理，即可得出结果.【详解】当温度为1T 时，可逆反应的平衡常数为为2K ；则111222ln ln H T S RT K H T S RT K ∆-∆=-⎧⎨∆-∆=-⎩则1212H T S H T S RT RT ∆-∆∆-∆-=故选：A.10．C【解析】根据排列数得到总的可能性，再根据宫、羽两音阶在角音阶的同侧，通过除序法，得到符合要求的可能性，根据古典概型的概率公式，得到答案【详解】根据题意，总的可能性有因为要使得宫、羽两音阶在角音阶的同侧，．【详解】试题分析：()1021x x -+的展开式的通项公式为，对于通项公式为，令得．()1021x x -+的展开式系数为．考点：二项式定理的应用.【方法点晴】本题主要考查了二项式定理的应用、二项展开式的系数问题，其中先把()1021x x -+话为210[1()]x x +-，得到其通项2110()r rm T C x x +=-，则对得通项，可得1,1r m ==或3,3r m ==，即可得到3x 的系数，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题．14．13(,3)4a ∈-【分析】将23||x a x -->在()0-∞，上有解转化为23||x x a ->-至少有一个负数解，构造2()3,()||,f x x g x x a =-=-画出图像，平移()||g x x a =-图像即可.【详解】由题知，可将23||x a x -->在()0-∞，上有解，转化为23||x x a ->-至少有一个负数解，构造2()3,()||,f x x g x x a =-=-，画出图形，如图：当3a =时，()f x 与()g x 相交于点()03，，要使()f x 与()g x 相交于y 轴左侧，则需满足3a <，则()222233x y x y -+=⨯+，整理得到：故ABC 的BC 边上的高的范围为）1AB =，故AC =ABC 为直角三角形且如图，设ABP α∠=，则30,PCA α∠=︒-1cos cos α=⨯=PBC 中，由余弦定理可得：整理得到：24cos α=224cos 4sin αα+整理得到：238tan α=为锐角，故tan α存在且sin ABP ∠(1)证明见解析23=【分析】(1)利用线面垂直的判定定理性质定理和面面垂直的性质定理可得再证明BM ⊥平面PCM()0,1,3P ，()3,4,0C ，()0,4,0D ，∴MC 设平面MPC 与平面PCD 的一个法向量分别为∴1111113(44)0(4(1),3,3330x y n x y z λλ+-=⎧⎪⇒=-⎨+-=⎪⎩222223330(0,1,3)30x y z n x ⎧+-=⎪⇒=⎨-=⎪⎩，∵7tan 6θ=，∴12216cos 43n n n n θ⋅=== ()()238403220λλλλ-+=⇒--=，∵∴23λ=．19．(1)6(2)892⨯(3)()2312n n --⨯【分析】（1）结合“二进制”以及(),n n M a b 的定义，利用组合数求得正确答案；（2）由（1）列出对应的10b 的个数，利用倒序相加及组合数性质求解；（3）先求得(),n n M a b 的和S 的表达式，然后利用倒序相加法求得(),n n M a b 的和；【详解】（1）∵()55,2M a b =，∴5b 为5位数且与5a 有2项不同，又∵首项为1，故5a 与5b 在后四项中有两项不同，得5b 个数为24C 6=.（2）∵101111111111a =，当()1010,0M a b =时，10b 的个数为09C ；当()1010,1M a b =时，10b 的个数为19C ；……当()1010,9M a b =时，10b 的个数为99C ；设()1010,M a b 的和为S ，则012999990C 1C 2C 9C S =++++ ，倒序相加得019999929C C C 92S ⎡⎤=++=⨯⎣⎦ ，即892S =⨯，∴()1010,M a b 的和为892S =⨯.（3）先固定n a ，下面对n b 的情况分类讨论得：当(),0n n M a b =时，n b 的个数为01C n -；当(),1n n M a b =时，n b 的个数为11C n -，当(),2n n M a b =时，n b 的个数为21C n -，……当(),1n n M a b n =-时，n b 的个数为11C n n --，设(),n n M a b 的和为T ，则012111110C 1C 2C (1)C n n n n n T n -----=++++- ，。

成都市数学高三上学期理数12月月考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·遵义月考) 设集合，，则 =（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·江西模拟) 下列命题正确的个数为（）①“∀x∈R都有x2≥0”的否定是“∃x0∈R使得x02≤0”；②“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件；③命题“若m≤ ，则方程mx2+2x+2=0有实数根”的否命题为真命题．A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分） (2015高三上·石家庄期中) 已知点P（，﹣）在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（）A .B .C .D .4. （2分）设是等差数列，，，则这个数列的前6项和等于（）A . 12B . 24C . 36D . 485. （2分）已知两条不同直线l1和l2及平面，则直线的一个充分条件是（）A . 且B . 且C . 且D . 且6. （2分） (2016高一上·玉溪期中) 函数的图象（）A . 关于点（﹣2，3）对称B . 关于点（2，﹣3）对称C . 关于直线x=﹣2对称D . 关于直线y=﹣3对称7. （2分） (2017高二下·襄阳期中) 已知椭圆C： + =1的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1于点P，线段PF2的垂直平分线与l1的交点的轨迹为曲线C2 ，若点Q是C2上任意的一点，定点A（4，3），B（1，0），则|QA|+|QB|的最小值为（）A . 6B . 3C . 4D . 58. （2分）已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（）A .B . 100πC .D . 50π9. （2分） (2018高一上·深圳月考) 已知，则的最大值（）A .B .C .D .10. （2分）在四棱锥P﹣ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，且∠BED=90°，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A . πB . πC . πD . π11. （2分） (2018高二上·西城期末) “ ” 是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分）设函数f（x）=|sinx|+cos2x，若x则函数f（x）的最小值是（）A . 0B . 1C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·汕头月考) 已知圆的圆心位于直线上，且圆过两点,则圆的标准方程为________．14. （1分）若点P（m，3）在不等式2x+y＜4表示的平面区域内，则m的取值范围为________ ．15. （1分）已知长为+1的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上的一点，且=，则点P的轨迹方程为________16. （1分） (2019高三上·牡丹江月考) 如图正方体的棱长为，、、，分别为、、的中点.则下列命题：①直线与平面平行；②直线与直线垂直；③平面截正方体所得的截面面积为；④点与点到平面的距离相等；⑤平面截正方体所得两个几何体的体积比为 .其中正确命题的序号为________.三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）(2018·宝鸡模拟) 设是首项为，公比为的等比数列，为数列的前项和.（1）已知，且是的等差中项，求数列的通项公式；（2）当时，令，求证：数列是等差数列.18. （5分）(2017·日照模拟) 已知函数f（x）=sin2x﹣．（I）求函数f（x）的值域；（II）已知锐角△ABC的两边长分别是函数f（x）的最大值和最小值，且△ABC的外接圆半径为，求△ABC 的面积．19. （10分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．求证：平面PAC⊥平面 BDD120. （15分） (2018高一上·雅安月考) 已知函数．（1）当时，证明：为偶函数；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围，使恒成立。

四川成都七中高2021届高三〔上〕入学考试数学〔理〕试题第一卷 〔选择题 共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、设集合2{|450}A x x x =--=，集合2{|10}B x x =-=，那么A B =〔 〕〔A 〕{1} 〔B 〕{1}-〔C 〕{1,1,5}- 〔D 〕∅ 2、设复数z 满足 (1－i )z=2 i ，那么z =〔 〕〔A 〕－1＋i 〔B 〕－1－i 〔C 〕1＋i 〔D 〕1－i 3、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是〔1，0，1〕，〔1，1，0〕， 〔0，1，1〕，〔0，0，0〕，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，那么得到正视图可以为〔 〕(A) (B) (C) (D)4、设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的选项是A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点 〔 〕C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 5、函数sin()(0,0,)22y A x A ππωϕωϕ=+>>-<<的局部图象如以下列图，那么此函数的解析式可为〔 〕 〔A 〕2sin(2)6y x π=-〔B 〕2sin(2)3y x π=-〔C 〕2sin(4)6y x π=- 〔D 〕2sin(4)3y x π=+6、阅读如以下列图的程序框图，假设输入的10k =，那么该算法的功能是〔 〕〔A 〕计算数列{}12n -的前10项和 〔B 〕计算数列{}12n -的前9项和〔C 〕计算数列{}21n -的前10项和yx-π35π122-2O〔D 〕计算数列{}21n -的前9项和7、设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f'(x ),且函数f (x )在x =－2处取得极小值,那么函数y=xf'(x )的图象可能是〔 〕8、方程ay =b 2x 2+c 中的a,b,c ∈{-3,-2,0,1,2,3},且a,b,c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有〔 〕 (A)60条 (B)62条 (C)71条 (D)80条9、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,A =30°,假设将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所得的点数分别为a 、b ,那么满足三角形有两个解的概率是〔 〕 (A)错误！未指定书签。

2012-2013学年四川省成都七中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1．（5分）（2011•陕西）设集合M={y|y=|cos2x﹣sin2x|，x∈R}，N={x||x﹣|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为（）A．（0，1）B．（0，1] C．[0，1）D．[0，1]考点：交集及其运算；绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：通过三角函数的二倍角公式化简集合M，利用三角函数的有界性求出集合M；利用复数的模的公式化简集合N；利用集合的交集的定义求出交集．解答：解：∵M={y|y=|cos2x﹣sin2x|}={y|y=|cos2x}={y|0≤y≤1}={x|﹣1＜x＜1}∴M∩N={x|0≤x＜1}故选C点评：本题考查三角函数的二倍角公式、三角函数的有界性、复数的模的公式、集合的交集的定义．2．（5分）（2013•资阳二模）下列命题为真命题的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x2﹣3x+2≤0”D．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，使得x2+x﹣1≥0考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．分析：本题需要逐一判断，到满足题意的选项为止，（选择题四选一）；可以采用先熟悉后生疏的策略判定解答．解答：解：由复合命题真值表知：若p∨q为真命题，则p、q至少有一个为真命题，有可能一真一假，也可能两个都真，推不出p∧q为真命题∴选项A错误；由x=5可以得到x2﹣4x﹣5=0，但由x2﹣4x﹣5=0不一定能得到x=5，∴选项B成立；选项C错在把命题的否定写成了否命题；选项D错在没有搞清楚特称命题的否定是全称命题．故选B．点评：本题涉及到四个命题，真值表，充要条件，命题的否定，分析中逐一判断，到满足题意的选项为止，（选择题四选一），先熟悉后生疏，提供解题策略；解答中分析的比较清晰．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a=，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．30°或105°C．60°D．60°或120°考点：解三角形．专题：计算题．分析：由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA的值，由a大于b，根据大边对大角，得到A大于B，由B的度数及三角形内角可得出角A的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．解答：解：由a=，b=，B=45°，根据正弦定理=得：sinA===，由a=＞b=，得到A∈（45°，180°），则角A=60°或120°．故选D点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有正弦定理，以及特殊角的三角函数值，学生做题时注意角度的范围及三角形内角和定理这个隐含条件．4．（5分）在等比数列{a n}中，S n为前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q 为（）A．2B．3C．4D．5考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件得出2S5﹣2S4=a6﹣3﹣（a5﹣3）=a6﹣a5=2a5，得出3a5=a6，然后根据两项的关系得出3a5=a5q，答案可得．解答：解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，即2S4=a5﹣3，2S5=a6﹣3∴2S5﹣2S4=a6﹣3﹣（a5﹣3）=a6﹣a5=2a5即3a5=a6∴3a5=a5q解得q=3，故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是利用S5﹣S4=a5得出a5、a6的关系，属中档题．5．（5分）（2012•山东）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7B．9C．10 D．15考点：系统抽样方法．专题：计算题．分析：由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数，即为所求解答：解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，故选C．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．6．（5分）（2010•四川）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（x﹣）D．y=sin（x﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：分析法．分析：先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换．解答：解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣）再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（x﹣）．故选C．点评：本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减．7．（5分）已知函数f（x）=g（x+1）﹣2x为定义在R上的奇函数，则g（0）+g（1）+g（2）=（）A．1B．C．D．3考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：据函数f（x）是定义在R上的奇函数，运用函数奇偶性的定义得到f（﹣x）=﹣f（x），特别地，当x=0时，得到f（0）=0．然后结合f（x）=g（x+1）﹣2x得g（1）=1．再分别令x=﹣1和x=1，从而得到g（0）+g（2）=，最后求出g（0）+g（1）+g（2）的值．解答：解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x），特别地，当x=0时，得到f（0）=0．由f（x）=g（x+1）﹣2x取x=0，所以f（0）=g（1）﹣1，所以g（0）=1．再分别令x=﹣1和x=1，得：f（﹣1）=g（0）﹣2﹣1，f（1）=g（2）﹣2，两式相加得f（﹣1）+f（1）=g（0）﹣2﹣1+g（2）﹣2，且f（﹣1）+f（1）=0，∴f（0）+g（2）=，所以g（0）+g（1）+g（2）=1+=．故选C．点评：本题考查了函数的奇偶性，体现了数学转化思想，考查了学生的抽象思维能力，此题是中档题．8．（5分）已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值2考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t 代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．解答：解：设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t +=+•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2 =﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故选B．点评：本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习．9．（5分）（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3B．4C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．解答：解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．10．（5分）命题P“方程有解”是命题Q“方程x2﹣2x+a=0无实根”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要考点：充要条件．专题：计算题．分析：由指数和对数的关系可化简方程，分离a，由基本不等式可得a≥1，再由△＜0可得a＞1，由集合的包含关系可得答案．解答：解：方程可化为=a﹣2x，整理可得a=≥2=1，当且仅当，即x=﹣1时取等号，故可得a≥1；而方程x2﹣2x+a=0无实根可得△=（﹣2）2﹣4a＜0，解得a＞1，又因为集合{a|a≥1}真包含{a|a＞1}，所以P是Q的必要不充分条件故选B点评：本题考查充要条件的判断，涉及基本不等式和一元二次方程根的情况，属基础题．11．（5分）已知实系数一元二次方程x2+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x1、x2，并且0＜x1＜2，x2＞2，则的取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣）D．（﹣3，）考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜2＜x2，结合对应二次函数性质得到然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析的几何意义，然后数形结合即可得到结论．解答：解：由程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，故函数f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜2＜x2，则即，其对应的平面区域如下图阴影示：则表示阴影区域上一点与M（1，0）连线的斜率由题意可得A（﹣3，2）由图可知∈（﹣3，﹣）故选C点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，线性规划，其中由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜2＜x2，结合二次函数性质得到解答本题的关键．12．（5分）（2010•成都一模）把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n}，若a n=2009，则n=（）A．1026 B．1027 C．1028 D．1029考点：进行简单的合情推理；归纳推理．专题：压轴题；探究型．分析：根据题意，分析图乙，可得其第k行有k个数，则前k行共有个数，第k 行最后的一个数为k2，从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列；进而由442＜2009＜452，可得2009出现在第45行，又由第45行第一个数为442+1=1937，由等差数列的性质，可得该行第37个数为2009，由前44行的数字数目，相加可得答案．解答：解：分析图乙，可得①第k行有k个数，则前k行共有个数，②第k行最后的一个数为k2，③从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列，又由442=1936，452=2025，则442＜2009＜452，则2009出现在第45行，第45行第一个数为442+1=1937，这行中第=37个数为2009，前44行共有=990个数，则2009为第990+37=1027个数；故选B．点评：本题考查归纳推理的运用，关键在于分析乙图，发现每一行的数递增规律与各行之间数字数目的变化规律．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确的答案填在横线上.）13．（4分）一个凸多面体的三视图如图所示，则这个凸多面体的体积是．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由凸多面体的三视图知：凸多面体是四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AD=2，AD∥BC，由此能求出这个凸多面体的体积．解答：解：由凸多面体的三视图知：凸多面体是四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AD=2，AD∥BC，∴，这个凸多面体的体积V===．故答案为：．点评：本题考查利用三视图求四棱锥的体积，是基础题．解题时要认真审题，解题的关键是利用三视图得到几何体．14．（4分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是n≤9或n＜10 ．考点：程序框图．专题：计算题．分析：通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可．解答：解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构判断框内为满足循环的条件第1次循环，s=1+1=2 n=1+1=2第2次循环，s=2+2=4 n=2+1=3••当执行第10项时，n=11n的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值故答案为：n≤9或n＜10点评：本题考查程序框图，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题．15．（4分）已知cos（）=，α∈（0，），则= ．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由α∈（0，）及cos（）可求sin（），进而利用诱导公式及二倍角正弦公式可求cos2=2sin（）cos（），而==cos（），代入所求式子即可求解解答：解：∵α∈（0，）∴α∈（0，）∴sin（），＞0∵cos（）=∴sin（）=∴cos2=2sin（）cos（）====cos（）=∴==故答案为：点评：本题主要考查了三角函数的诱导公式及二倍角公式的综合应用，解题的关键是公式的灵活应用16．（4分）设函数f（x）=e x，g（x）=lnx+m，下列五个命题：①对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则m＜e；②存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，则m＜e2﹣ln2；③对于任意x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，则m＜e﹣ln2；④对于任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则m＜e．⑤存在x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则m＜e2．其中正确命题的序号为①②③④⑤．（将你认为正确的命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：对于①函数f（x）=e x，g（x）=lnx+m，设F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数研究其单调性，从而得出对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则F（x）＞0恒成立，即F（1）＞0，即可求出m的取值范围；对于②③④⑤，可结合图象法，将原问题转化为函数的最大或最小值问题进行解决即可．解答：解：函数f（x）=e x，g（x）=lnx+m，∴f（x）﹣g（x）=e x﹣（lnx+m），设F（x）=e x﹣（lnx+m），则F′（x）=e x﹣，当x∈[1，2]时，F′（x）＞0，故F（x）在x∈[1，2]上是增函数，①对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则F（x）＞0恒成立，即F（1）＞0，e﹣（ln+m）＞0，∴m＜e，故正确；②存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，则f（x）在[1，2]上的最大值比g（x）在[1，2]上的最大值大即可，∴e2＞ln2+m，则m＜e2﹣ln2．故正确；③对于任意x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，则f（x）在[1，2]上的最小值比g（x）在[1，2]上的最大值大即可，∴e＞ln2+m，则m＜e﹣ln2；故正确；④对于任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则f（x）在[1，2]上的最小值比g（x）在[1，2]上的最小值大即可，∴e＞ln1+m，则m＜e；故正确；⑤存在x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则f（x）在[1，2]上的最大值比g（x）在[1，2]上的最小值大即可，∴e2＞ln1+m，则m＜e2；故正确；故答案为：①②③④⑤．点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共74分）17．（12分）（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．解答：解：（1）∵f（x）=sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x =sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得f（x）=sin（2x+）是关键，属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．点E在棱PA上，且PE=2EA．（1）求证：PC∥平面EBD；（2）求二面角A﹣BE﹣D的正弦值的大小．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题．分析：（1）连接AC，BD，交点为G．由△CBG∽△ADG，且CB=2AD．知CG=2AG，在三角形PCA 中，PE=2AE，CG=2AG．故EG‖PC．由此能够证明PC‖平面EBD．（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．则，，，由题得向量=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．设向量=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，由，知，故=（1，1，﹣2），由向量法能够求出二面角A﹣BE﹣D的正弦值．解答：解：（1）连接AC，BD，交点为G．∵AD∥B C，∴△CBG∽△ADG，且CB=2AD．∴CG=2AG，在三角形PCA中，PE=2AE，CG=2AG．∴EG‖PC．∵EG在平面EBD内，∴PC‖平面EBD．（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，∴A（3，0，0，0），D（3，﹣3，0），B（0，0，0），E（2，1，0），∴，，，由题得向量=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．设向量=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，∵，∴，令x=1，得=（1，1，﹣2），设二面角A﹣BE﹣D的平面角是θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．∴二面角A﹣BE﹣D的正弦值sinθ==．点评：本题考查直线与平面平行的证明和求二面角的正弦值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的灵活运用．19．（12分）设m是常数，集合（1）证明：当m∈M时，f（x）对所有的实数x都有意义；（2）当m∈M时，求函数f（x）的最小值；（3）求证：对每个m∈M，函数f（x）的最小值都不于1．考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）化简函数的解析式为，m＞1时，恒成立，故f（x）的定义域为R．（2）设，由于y=log3U是增函数，故当U最小f（x）最小，再由U的最小值为，求得f（x）的最小值．（3）根据m∈M时，，从而证得函数f（x）的最小值都不小于1．解答：解：（1），当m∈M，即 m＞1时，恒成立，故f（x）的定义域为R．（2）设，∵y=log3U是增函数，∴当U最小时f（x）最小．而，显然当x=2m时，U的最小值为，此时．（3）m∈M时，，当且仅当m﹣1=1时，即m=2时，等号成立，所以，即函数f（x）的最小值都不小于1．点评：本题主要考查基本不等式在最值问题中的应用，对数函数的图象性质的应用，属于中档题．20．（12分）（2007•福建）数列{a n}的前N项和为S n，a1=1，a n+1=2S n（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项a n；（II）求数列{na n}的前n项和T．考点：数列的求和；数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用递推公式a n+1=2S n把已知转化为a n+1与a n之间的关系，从而确定数列a n的通项；（II）由（I）可知数列a n从第二项开始的等比数列，设b n=n则数列b n为等差数列，所以对数列n•a n的求和应用乘“公比”错位相减．解答：解：（I）∵a n+1=2S n，，∴S n+1﹣S n=2S n，∴=3．又∵S1=a1=1，∴数列{S n}是首项为1、公比为3的等比数列，S n=3n﹣1（n∈N*）．∴当n≥2时，a n﹣2S n﹣1=2•3n﹣2（n≥2），∴a n=（II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，当n=1时，T1=1；当n≥2时，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n﹣2，①3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n﹣1，②①﹣②得：﹣2Tn=﹣2+4+2（31+32+…+3n﹣2）﹣2n•3n﹣1=2+2•=﹣1+（1﹣2n）•3n﹣1∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n≥2）．又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n∈N*）点评：本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．21．（12分）（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0（不考虑另一根）．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（14分）已知函数在[0，+∞）上单调递增，数列{a n}满足，，（n∈N*）．（Ⅰ）求实数a的取值范围以及a取得最小值时f（x）的最小值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．考点：数列与不等式的综合；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立，分离参数，可得a≥在[0，+∞）上恒成立，求出最值，即可得到结论；（Ⅱ）先证明{}是常数数列，再证明{a n﹣1}是首项为﹣，公比为的等比数列，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅰ）知对x∈[0，+∞）恒成立，令x=，则，可得＜ln（3n+1﹣2）﹣ln（3n﹣2），叠加即可证得结论．解答：（Ⅰ）解：由题意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立∴a≥在[0，+∞）上恒成立∵x∈[0，+∞），∴∈（0，1]∴a≥1当a=1时，f（x）min=f（0）=0；（Ⅱ）解：∵，∴=∴{}是常数数列∵，，∴∴=∴∴∴{a n﹣1}是首项为﹣，公比为的等比数列∴a n﹣1=（﹣）•∴a n=1﹣；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知对x∈[0，+∞）恒成立令x=，则∴＜ln（+1）=ln（3n+1﹣2）﹣ln（3n﹣2）∴++…+＜[ln（32﹣2）﹣ln（31﹣2）]+[ln（33﹣2）﹣ln（32﹣2）]+…+ln（3n+1﹣2）﹣ln（3n﹣2）=ln（3n+1﹣2）∴点评：本题考查导数知识的运用，考查数列的通项与不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

智才艺州攀枝花市创界学校行唐县第三、正定县第三、正定县第七二零二零—二零二壹第一学期12月联考试卷高三数学〔理科〕时间是:120分钟总分值是:150分第一卷一、选择题：一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每个小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的一项．1．集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，那么A∩B＝()A．[－2，－1]B．[－1,2)C．[－1,1]D．[1,2)2．设z＝＋i，那么|z|＝()A.B.C.D．23．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，那么a·b＝()A．1B．2 C．3D．54．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的间隔是()A．2B．2 C.D．15．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．假设m⊥n，n∥α，那么m⊥αB．假设m∥β，β⊥α，那么m⊥αC．假设m⊥β，n⊥β，n⊥α，那么m⊥αD．假设m⊥n，n⊥β，β⊥α，那么m⊥α6．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，那么周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.B.C.D.7．假设变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，那么a－b的值是() A．48B．30 C．24D．168．将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，假设S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，那么m＝()A．3B．4 C．5D．610．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.B．4 C.D．611．抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，假设，那么|QF|＝()A.B.C．3D．212．函数f(x)＝ax3－3x2＋1，假设f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，那么a的取值范围为() A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．13．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为________．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.b －c ＝a ，2sinB ＝3sinC ，那么cosA 的值是________．15．假设数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋，那么{a n }的通项公式是a n ＝.16．三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，那么此棱锥的体积为______________.三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17．(12分)C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3ma b = 与()cos ,sin n =A B 平行．〔I 〕求A ；〔II 〕假设a =2b =求C ∆AB 的面积．18.(12分)如图，四棱锥P­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB∥平面AEC ；(2)设二面角D­AE­C 为60°，AP ＝1，AD ＝，求三棱锥E ­ACD 的体积．19.(12分)端午节吃粽子是我国的传统风俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全一样，从中任意选取3个。

成都高2026届高一上期数学12月考试（答案在最后）一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.6730︒'化为弧度是（）A.3π8B.38C.673π1800D.6731800【答案】A 【解析】【分析】先将角统一成度的形式，然后利用角度与弧度的互化公式求解即可【详解】π3π673067.51808'︒=⨯=（弧度）．故选：A2.不等式2210x x --<的解集是（）A.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()1,2- C.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D.()2,1-【答案】C 【解析】【分析】利用了一元二次不等式的解法求解．【详解】解：不等式2210x x --<，可化为(1)(21)0x x -+<，解得112x -<<，即不等式2210x x --<的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．3.已知函数()()32,20243f x ax bx f =+-=，则()2024f -=（）A.－7B.－5C.－3D.3【答案】A 【解析】【分析】按题意取值即可【详解】因为()320242024202423f a b =⨯+⨯-=，所以3202420245a b ⨯+⨯=，所以()32024202420242527f a b -=-⨯-⨯-=--=-.故选：A.4.已知sin 5β=-，π02β-<<，则cos β=（）A.5B.5±C.5-D.5【答案】D 【解析】【分析】由已知，利用同角公式计算得解.【详解】由π02β-<<，得cos 0β>，而5sin 5β=-，所以25cos 5β==.故选：D5.已知函数()f x 的图象是连续不断的，有如下的,()x f x 对应值表，那么函数()f x 在区间[1,6]上的零点至少有（）x1234567()f x 123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B 【解析】【分析】根据函数值符号变化，由零点存在性定理可得.【详解】由数表可知，(2)0,(3)0,(4)0,(5)0f f f f ><><.则(2)(3)0<f f ，(3)(4)0f f <，(4)(5)0f f <，又函数()f x 的图象是连续不断的，由零点存在性定理可知，函数分别在(2,3),(3,4),(4,5)上至少各一个零点，因此在区间[1,6]上的零点至少有3个．故选：B.6.已知0.3281log ,log 27, 1.15a b c -=-==，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.b<c<aC.b a c<< D.c b a<<【答案】D 【解析】【分析】直接由对数函数、指数函数的单调性、运算性质即可得解.【详解】由题意33228221log log 5log 27log 3log 35a b =-=>===，00.3822log 27log 3log 21 1.1 1.1b c -==>==>=，所以,,a b c 的大小关系为c b a <<.故选：D.7.某市一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：时）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段[]0,t 内最高温度与最低温度的差），()C t 与t 之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据()Q t 的图象确定()C t 的变化趋势，确定正确选项．【详解】由题意()C t ，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D 满足，故选：D ．8.若定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为奇函数；②对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式2(4)(2)2f x f x x --<+的解集为（）A.()()3,22,1--⋃-- B.()2(),31,-∞-- C.()),31(,2(2,)-∞--+∞ D.(,3)(2,)-∞-+∞ 【答案】B 【解析】【分析】令()()f x F x x=，故()F x 在()0,∞+上单调递减，并得到()()f x F x x=在(,0)(0,)-∞+∞ 上为偶函数，分2x >和2x <两种情况，得到不等式，求出答案.【详解】不妨设120x x >>，()()()()211221121200x f x x f x x f x x f x x x -<⇒-<-，故()()()()12211212f x f x x f x x f x x x <⇒<，令()()f x F x x=，故()F x 在()0,∞+上单调递减，其中()()f x F x x=定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，又()f x 在(,0)(0,)-∞+∞ 上为奇函数，故()()()()()f x f x f x F x F x xxx---====--，所以()()f x F x x=在(,0)(0,)-∞+∞ 上为偶函数，当20x ->，即2x >时，222(4)(2)(4)(2)224f x f x f x f x x x x ----<⇒<+--，即()()224F x F x -<-，()()224F x F x -<-，故22422x x x x ->-=-⋅+，又20x ->，故21x +<，解得32-<<-x 或2<<1x -，与2x >求交集得到空集；当20x -<即2x <时，222(4)(2)(4)(2)224f x f x f x f x x x x ----<⇒>+--，即()()224F x F x ->-，()()224F x F x ->-，故22422x x x x -<-=-⋅+，又20x ->，故21x +>，解得1x >-或3x <-，与2x <取交集得(),31,2()x -∞--∈ .故选：B二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.命题p ：0x ∃∈R ，200220x x ++<，则命题p 的否定是x ∀∈R ，2220x x ++≥B.“x y >”是“x y >”的必要不充分条件C.命题“x ∀∈Z ，20x >”是真命题D.“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件【答案】AD 【解析】【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A ；利用不等式的性质确定选项B ；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D.【详解】命题p 的否定是x ∀∈R ，2220x x ++≥，故A 正确；x y >不能推出x y >，例如21->，但21-<；x y >也不能推出x y >，例如23>-，而23<-；所以“x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故B 错误；当0x =时，20x =，故C 错误；关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，故D 正确.故选：AD.10.下列结论正确的是（）A.7π6-是第三象限角B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2C.若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α=-D.若角α为锐角，则角2α为钝角【答案】BC 【解析】【分析】利用象限角的定义可判断A 选项；利用扇形的面积公式可判断B 选项；利用三角函数的定义四可判断C 选项；取π4α=可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为7π5π2π66-=-且5π6为第二象限角，故7π6-是第二象限角，A 错；对于B 选项，若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的半径为π3π3r ==，因此，该扇形的面积为113πππ3222S r ==⨯=，B 对；对于C 选项，若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α==-，C 对；对于D 选项，因为α为锐角，不妨取π4α=，则π22α=为直角，D 错.故选：BC.11.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AFBC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（）①由图1和图2面积相等得ab d a b=+；②由AE AF≥可得2a b+≥；③由ADAE ≥可得211a b≥+；④由AD AF ≥可得222a b ab +≥.A.①B.②C.③D.④【答案】ABCD 【解析】【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d 的表达式，可判断A 选项正误，由题意可求得图3中,,AD AE AF 的表达式，逐一分析B 、C 、D 选项，即可得答案.【详解】对于①：由图1和图2面积相等得()S ab a b d ==+⨯，所以abd a b =+，故①正确；对于②：因为AFBC ⊥，所以12a b AF ⨯⨯=，所以AF =，设图3中内接正方形边长为t ，根据三角形相似可得a t t ab -=，解得abt a b=+，所以AE a b==+，因为AE AF ≥，所以a b ≥+2a b+≥，故②正确；对于③：因为D 为斜边BC的中点，所以2AD =，因为AD AE ≥，所以2a b≥+211a b≥+，故③正确；对于④：因为AD AF ≥，所以2≥，整理得：222a b ab +≥，故④正确；故选：ABCD【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得,,AD AE AF 的表达式，根据图形及题意，得到,,AD AE AF 的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力.12.已知函数12()22(R)x f x x x a a -=-++∈，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 在()1,+∞上单调递减B.函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称C.存在实数a ，使得函数()f x 有三个不同的零点D.存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞ 【答案】BD 【解析】【分析】对函数()f x 变形，并分析函数()f x 的性质，再判断选项ABC ，利用函数性质解不等式判断D 作答.【详解】R a ∈，函数12()(1)21x f x x a -=-++-的定义域为R ，对于A ，当1x >时，21()(1)21x f x x a -=-++-，而2(1)1y x a =-+-，12x y -=在()1,+∞上都单调递增，因此函数()f x 在()1,+∞上单调递增，A 错误；对于B ，因为12(2)(1)21()xf x x a f x --=-++-=，因此函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称，B 正确；对于C ，对任意实数a ，由选项A 知，函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，则函数()f x 在[1,)+∞上最多一个零点，由对称性知，函数()f x 在(,1]-∞上最多一个零点，因此函数()f x 在R 上最多两个零点，C 错误；对于D ，当2a =-时，12()(1)235x f x x -=-+-≥，而(1)(3)5f f -==，由对称性及选项A 知，()f x 在(),1-∞上单调递减，当1x ≤时，得1x ≤-，当1x ≥时，得3x ≥，即()5f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞ ，所以存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞ ，D 正确.故选：BD【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.第II 卷（非选择题）三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.3223827--⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______.【答案】14-##-0.25【解析】【分析】直接由分数指数幂以及根式互化运算，以及整数指数幂运算即可求解.)3232112332433482122733----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1222191223344--⎛⎫⎛⎫=--+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：14-.14.已知函数()()122log 2f x x x t =-+-的定义域是(),8m m +，则函数()f x 的单调增区间为______.【答案】()1,5##[)1,5【解析】【分析】先根据定义域求出,m t 的值，再结合复合函数的单调性求出单调区间.【详解】因为函数()()122log 2f x x x t =-+-的定义域是(),8m m +，所以,8m m +为220x x t -+-=的两个根，所以22401t t ∆=->⇒<则()823815m m m m m t t ++==-⎧⎧⇒⎨⎨⨯+==-⎩⎩，即()()212log 215f x x x =-++，令()12log h x x =，则()h x 在()0,∞+单调递减，令()()22215116g x x x x =-++=--+，则()g x 为开口向下，对称轴为1x =的抛物线，且()035g x x >⇒-<<，所以()3,1x ∈-时，()g x 单调递增；()1,5x ∈时，()g x 单调递减；因为()()()()212log 215f x x x h g x =-++=，所以函数()f x 的单调增区间为()1,5.故答案为：()1,515.已知1x ，2x 分别是关于x 的方程ln 2023x x =，e 2023x x =的根，则12x x =________【答案】2023【解析】【分析】令1232023ln ,e ,xy x y y x ===，画出函数1232023ln ,e ,xy x y y x===的图象，由图象的对称性即可得出答案.【详解】由已知条件有2023ln x x =，2023e x x =，令1232023ln ,e ,x y x y y x ===，画出函数1232023ln ,e ,xy x y y x===的图象，曲线1ln y x =和2e xy =关于直线y x =对称，曲线32023y x =关于32023y x=，设曲线3y 分别与12,y y 交于点121220232023,,,A x B x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点,A B 关于直线y x =对称，而点112023,A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于直线y x =对称点为112023,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即为点222023,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则212023x x =，所以122023x x =.故答案为：2023.16.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数m ，n ，都有()()()2f m n f m n f m -++=，且当0x >时，()0f x <．若()24f =-，2()(42)1f x m a m <-+-对任意[]1,1x ∈-，[)1,m ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】(),1-∞-【解析】【分析】根据题设条件证明函数的单调性和奇偶性确定[]1,1x ∈-内的最大值为(1)2f -=，从而可得22(42)1m a m <-+-，再分离参变量即可求实数a 的取值范围.【详解】取0,m n ==则有()()()000f f f +=，所以()00f =，取0,,m n x ==则有()()()00f x f x f -+==，所以()f x 为奇函数，任意1212,,,x x x x ∈>R 则120x x ->，因为()()()2f m n f m n f m -++=，所以()()()2f m f m n f m n -+=-，令112,22x x m n x ==-，则有()11111222222x x x x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()12120f x f x f x x -=-<，所以()f x 在定义域R 上单调递减，所以()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减，令()()()1,0,1124m n f f f ==+==-，所以()12f =-，所以max ()(1)(1)2f x f f =-=-=，因为2()(42)1f x m a m <-+-对任意[]1,1x ∈-，[)1,m ∈+∞恒成立，所以22(42)1m a m <-+-对任意[)1,m ∈+∞恒成立，分离变量可得342a m m+<-，因为函数3y m m =-对任意[)1,m ∈+∞恒成立，所以min 132y =-=-，所以422a +<-解得1a <-，故答案为:(),1-∞-.四．解答题：本题共6小题.17题10分，18—22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设m 为实数，U =R ，集合{}2log (2)1A xx =-≤∣，{2}B x m x m =≤≤+∣．（1）若1m =，求A B ⋃，()U A B ⋂ð；（2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】17.{|14}x A B x =≤≤⋃，(){|2U A B x x ⋂=≤ð或3}x >18.04m <≤【解析】【分析】（1）先求出集合,A B ，由交集、并集和补集的定义求解即可；（2）由交集的定义求解即可.【小问1详解】由2log (2)1x -≤可得：022x <-≤，则24x <≤，所以{|24}A x x =<≤，当1m =时，{|13}B x x =≤≤，所以{|14}x A B x =≤≤⋃，{|23}A B x x ⋂=<≤(){|2U C A B x x ⋂=≤或3}x >.【小问2详解】易知2m m <+恒成立，A B ⋂≠∅即224m <+≤或24m <≤解得02m <≤或24m <≤所以04m <≤.18.已知点()1,P t 在角θ的终边上，且sin 3θ=-．（1）求t 和cos θ的值；（233的值．【答案】（1）t =cos 3θ=（2【解析】【分析】（1）三角由三角函数的定义即可求解.（2）由三角函数定义、商数关系进行切弦互换即可.【小问1详解】由三角函数的定义知：6sin 3θ==-，则0t <，于是解得t =3cos 3θ==.【小问2详解】已知终边过点(1,得tan θ=(()3333312151+===-.19.杭州亚运会田径比赛于2023年10月5日收官．在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为115km /h ν=的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1114Q v t ∆=⋅（1t 表示该阶段所用时间）．疲劳阶段由于体力消耗过大变为22155v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力222241v t Q t ⋅∆=+．已知该运动员初始体力为010000kJ Q =，不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？【答案】（1）()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩（2）在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ【解析】【分析】（1）先写出速度v 关于时间t 的函数，进而求出剩余体力Q 关于时间t 的函数；（2）分01t <≤和14t <≤两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度v 关于时间t 的函数()()15,011551,14t v t t t <≤⎧=⎨--<≤⎩，代入1ΔQ 与2ΔQ 公式可得()()()1000060415,01601415516400,1411t t Q t t t t t -⋅⋅⨯<≤⎧⎪=⎡⎤-⋅--⎨⎣⎦-<≤⎪-+⎩解得()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩；【小问2详解】①稳定阶段中()Q t 单调递减，此过程中()Q t 最小值min ()(1)6400Q t Q ==；②疲劳阶段4800()4001200(14)Q t t t t=++<≤，则有4()400120040012005200Q t t t ⎛⎫=++≥+⨯ ⎪⎝⎭；当且仅当4t t=，即2t =时，“=”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ ，由于52006400<，因此，在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ ．20.我们知道，函数()y f x =图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图像关于点(),P m n 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x m n =+-为奇函数．已知函数4()42x f x =+．（1）利用上述结论，证明：函数()f x 的图像关于1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称图形；（2）判断函数()f x 的单调性（无需证明），并解关于x 的不等式：()()212f x ax a f x ++++<．【答案】（1）证明见解析（2）4()42x f x =+为减函数，答案见解析【解析】【分析】（1）由题，证明1()()12g x f x =+-为奇函数即可；（2）由题可得4()42x f x =+为减函数，又结合（1）结论可知()()212f x ax a f x ++++<()()()221110f x ax a f x x a x a ⇔+++<-⇔+++>，后分类讨论a 的值解不等式即可.【小问1详解】证明：由题意，只需证明1()()12g x f x =+-为奇函数，又1214414()()11122241424x x xx g x f x +-=+-=-=-=+⋅++，易知函数()g x 定义域为R .R R ，，x x ∀∈-∈1114414()()1144114x x x x x x g x g x ------====-+++，所以()g x 为奇函数，所以()f x 的图像关于1(,1)2成中心对称图形．【小问2详解】易知24x y =+为增函数，且240x +>，对任意的x ∈R 恒成立，所以4()42x f x =+为减函数.又由（1）知，点(,())x f x 与点(1,(1))x f x --关于点1(,1)2成中心对称，即()(1)2f x f x +-=，所以原不等式等价于2(1)2()(1)f x ax a f x f x +++<-=-，所以211x ax a x +++>-，即2(1)0x a x a +++>，由2(1)0x a x a +++=解得121x a x =-=-，，当1a >时，原不等式解集为{|x x a <-或1}x >-；当1a =时，原不等式解集为{|1}x x ≠-；当1a <时，原不等式解集为{|1x x <-或}x a >-．【点睛】关键点点睛：本题涉及函数新定义，以及利用新定义结合函数单调性解决问题.本题关键是读懂信息，第一问将证明函数对称性转化为证明函数奇偶性，第二问则利用所得结论将函数不等式转化为含参二次不等式.21.定义：对于函数()y f x =，当[],x a b ∈时，值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称区间[],a b 为函数()f x 的一个“倒值映射区间”.已知一个定义在[]3,3-上的奇函数()f x ，当(]0,3x ∈时，()1112f x x =--.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]1,3内的“倒值映射区间”；（3）求函数()f x 在定义域内的所有“倒值映射区间”.【答案】21.()111,3020,0111,032x x f x x x x ⎧-++-≤<⎪⎪==⎨⎪⎪--<≤⎩22.[]1,223.[]1,2和[]2,1--【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求得()f x 在[)3,0x ∈-上的解析式，结合()00f =，从而求解函数()f x 的解析式；（2）根据函数()f x 在[]1,3上的单调性建立方程组求解即可；（3）根据区间的定义知0a b ab <⎧⎨>⎩，分03a b <<≤和30a b -≤<<讨论，分析函数()f x 的单调性，建立方程组求解即可.【小问1详解】()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，则()00f =，当[)3,0x ∈-时，则(]()110,3,111122x f x x x -∈-=---=-+，又()f x 是奇函数，则()()1112f x f x x =--=-++，所以()111,3020,0111,032x x f x x x x ⎧-++-≤<⎪⎪==⎨⎪⎪--<≤⎩.【小问2详解】设13a b ≤<≤，函数()3122f x x =-，因为()f x 在[]1,3上递减，且()f x 在[],a b 上的值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()()311223112213f b b b f a a a a b ⎧=-=⎪⎪⎪=-=⎨⎪≤<≤⎪⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，所以函数()f x 在[]1,3内的“倒值映射区间”为[]1,2.【小问3详解】因为()f x 在[],a b 时，函数值()f x 的取值区间恰为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中a b ¹且0,0a b ≠≠，所以11a b b a<⎧⎪⎨<⎪⎩，则0a b ab <⎧⎨>⎩，只考虑03a b <<≤或30a b -≤<<，①当03a b <<≤时，因为函数()f x 在()0,1上单调递增，在[]1,3上单调递减，故当(]0,3x ∈时，()max ()11f x f ==，则11a≤，所以，13a ≤<，则13a b ≤<≤，由（2）知，此时()f x 的“倒值映射区间”为[]1,2；②当30a b -≤<<时，可知因为函数()f x 在[]3,1--上单调递减，()1,0-上单调递增，故当[)3,0x ∈-时，()min ()11f x f =-=-，则11b≥-，所以，31b -<≤-，当[]()133,1,22x f x x ∈--=--在[]3,1--上递减，且()f x 在[],a b 上的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()()131221312231f b b b f a a a a b ⎧=--=⎪⎪⎪=--=⎨⎪-≤<≤-⎪⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以()f x 的“倒值映射区间”为[]2,1--；综上，函数()f x 在定义域内的“倒值映射区间”为[]1,2和[]2,1--.22.已知函数()()3log 31x f x mx =++是偶函数．（1）求m 的值；（2）设函数()()311log 322x g x a a x f x ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭（R a ∈），若()g x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）12-（2）0a >或10a =--【解析】【分析】（1）根据偶函数性质()()f x f x -=代入即可求解；（2）令3x t =，转化为关于t 的一元二次函数，对a 分类讨论即可求解.【小问1详解】依题意，因为()f x 的定义域为R 的偶函数，所以()()f x f x -=，所以()()33log 31log 31x x mx mx -++=+-，所以()()333313log 31log log 31log 33x x x x x mx mx mx ⎛⎫+++=-=+ ⎝⎭--⎪所以3log 3x mx x mxmx --=-=-所以()210m x +=，即12m =-．【小问2详解】由（1）知()()31log 312x f x x =+-所以()()()333111log 3log 3log 31222x x x g x a a x f x a a x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+-=⋅--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0g x =，()333131log 3=log 31log 23x x x x a a x +⎛⎫⋅-+-= ⎪⎝⎭，即1313=23x xx a a +⋅-，整理得()21313102x x a a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，其中1302x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以0a ≠，令3x t =，则得211102at a t ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，①当0a >时，1302x ->，即12t >，所以方程211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有唯一解，则方程对应的二次函数()21112m t at a t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，恒有()010m =-<，13022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，13602m a a⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以当0a >时，方程211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有唯一解．②当0a <时，1302x -<，即102t <<，方程211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一解，因为方程对应的二次函数()21112m t at a t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的开口向下，恒有()010m =-<，13022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以满足恒有2114021112022a a a a ⎧⎛⎫∆=++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪⎪<<⎩，解得10a =--综上所述，当0a >或10a =--时，()g x 有唯一零点．【点睛】方法点睛：（1）利用偶函数的性质()()f x f x -=代入原函数即可求解参数；。

--+=⋅=k k x x x x k 122, 21221212、M x y N x y (,)(,)1122⎩⎪∆=-->⎨⇒≠±⎪-≠⎧k k k k 164(22)01.220222∴、M N -++=k x kx (22)41022y ⎩-=⎨⎧=+y x y kx 221122=+y kx 1l -=y x 2122C a =21a=22223102y -+=x 310y -⎛⎝⎫⎭⎪+=22x 3225452 32,0⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝⎤⎦⎥⋃1,121,2)[t ≤<12t -<≤112t t t -+<⇒<<252321222[2,]5=+x f x x ()1∈x 2[,2]1+10210-∞,0)(高2023届高二上学期测试数学（理科）试题参考答案 1~12 BDADC ACCDA BA13. 2 14. 15. 16. 1417．(本题满分10分)解：(1)∵方程x 23－t ＋y 2t ＋11所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆， ∴3－t>t ＋1>0.解得－1<t<1..…………4分(2)若命题q 是真命题，由得，函数的值域为, 所以有.…………6分 若p 真q 假，则; 若p 假q 真,则…………8分 故实数t 的取值范围是…………10 分18.(本题满分12分)解：(1)由已知三点构成以BC 为斜边的直角三角形，故外接圆圆心是B,C 的中点，半径为BC 长度的一半为， 故三角形ABC 的外接圆M 方程为………6分 （2）.因为D 为AC 的中点，所以易求D （2，1）。

（3）故直线BD 的方程为；易求得相交弦的长度为………12分 19.解: (1)由离心率为,双曲线是等轴双曲线，所以 ,故所求轨迹的方程为.……………………………4分 （2）分直线斜率存在与否两种情形讨论之:(1)设直线的方程为, 则由消去,得到, 直线与双曲线交于两点, ③…….7分设,则有,则有:=+AB y kx b +=x y r 222b k+=2125b k =+2254(1)x x kx b kx b +++=1212()()0x x y y +=12120⊥OA OB k x kbx b +++-=222148440,)(x y +=2241:=+AB y kx b A x y B x y 1122(,),(,)x y +=2241a =24,3,12-⎛⎝⎫⎭⎪xa y a +-=2222310,3](=⎝⎭+ ⎪==⨯-⎛⎫224k 4FF 24119k 212＋＝S S S F MN F F M F F N 11212+==-431x y y k x 122)(21.(本题满分12分)解:(1)以OA 中点为G 坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． ∴可知O （-1,0），A （1,0），设折痕与OA′和AA′分别交于M ，N 两点，则MN 垂直平分AA′，∴|MA′|＝|MA|，又∵|A′O|＝|MO|+|A′M|，∴|MO|+|MA|＝4，∴M 的轨迹是以O ，A 为焦点，4为长轴的椭圆．∴M 的轨迹方程C 为x 24＋y 23＝1 ......5分（2）设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则△F 1MN 的周长为4a ＝8. 当l ⊥x 轴时，l 的方程为x ＝1，|MN|＝3，S=12|MN|×|F 1F 2|＝3， 当l 与x 轴不垂直时，设l ：y ＝k(x －1)(k≠0)，由 ,得(4k 2＋3)y 2＋6ky －9k 2＝0，所以y 1＋y 2＝－6k 4k 2＋3y 1y 2＝－9k 24k 2＋3，…….8分 ＝12|F 1F 2|·|y 1|＋12|F 1F 2|·|y 2|＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2| 4k 2＋3＝t ，则t>3， S ＝3－3⎝⎛⎭⎫1t 2－2⎝⎛⎭⎫1t ＋1＝3－3⎝⎛⎭⎫1t ＋132＋43， 因为t>3，所以0<1t <13，所以0<S<3，综上可知，S 的取值范围是.………….12分22.(本题满分12分)解：（1）设椭圆C 的方程为将点代入椭圆方程有点． 解得（舍）所以椭圆的方程为.......4分 （2） 设，设代入，整理得， 由得即，由韦达定理化简得，即， 设存在圆与直线相切，x y +=2245⊥AB x x y +=2245r =2512+=b k r 则，解得 所以圆的方程为， 又若轴时，检验知满足条件，故存在圆心在原点的圆符合题意 4分（3）由（1）可知A 1(0，1) A 2(0，－1),设P(x 0，y 0),直线PA 1：y －1＝y 0－1x 0，令y ＝0,得x N ＝－x 0y 0－1； 直线PA 2：y ＋1＝y 0＋1x 0，令y ＝0,得x M ＝x 0y 0＋1； 解法一:设圆G 的圆心为(12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)，h), 则r 2＝[12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)－x 0y 0＋1]2＋h 2＝14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2＋h 2． OG 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2． OT 2＝OG 2－r 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－12＋h 2－14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－12－h 2＝x 021－y 02而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OT 2＝4， 所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2.解法二:OM·ON ＝|(－x 0y 0－1)·x 0y 0＋1＝x 021－y 02, 而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OM·ON ＝4． 由切割线定理得OT 2＝OM·ON ＝4．所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. 12分。

2024~2025学年度上期高2025届半期考试高三数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，必须使用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 复数12i34i +-的虚部是（ ）A. 15-B.15C. 25-D.25【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的除法运算化简至i a b +的形式，则虚部可知.【详解】因为()()()()12i 34i 12i 510i 12i 34i 34i 34i 2555+++-+===-+--+，所以虚部为25，故选：D.2. 式子1tan151tan15+-oo的值为（）A.B. 2C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的正切公式来求得正确答案.【详解】()1tan15tan45tan15tan 4515tan 601tan151tan45tan15+°°+°==°+°=°=-°-°°.故选：A3. 设{a n }是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ）A152B.314C.334D.172【答案】B 【解析】【分析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得．【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1，设{a n }的公比为q ，则q ＞0，∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去），∴a 121q ==4，∴S 551413121412æö´-ç÷èø==-故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．4. 在()()()342111n x x x +++++×××++的展开式中，含2x 项的系数是（ ）A. 33C n + B. 23C 1n +- C. 33C 1n +- D. 331C n +-【答案】C 【解析】【分析】求出()1nx +展开式中含2x 的系数为2C n ，再利用组合数的计算性质11C C C m m mnn n -++=求和即可.【详解】解：()1nx +Q 展开式中第1r +项为：1C rrr n T x +=，()()()342111n x x x +\++++×××++中含有2x 项的系数为：22222322234334C C C C C C C 1n n +++++=++++-L L 232244C C C 1n +=+++-L L.33C 1n +=-.故选：C.5. 已知函数()f x 对x R "Î都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x ¢满足当2x ¹时,(2)()0x f x ¢->，则当24a <<时，有（ ）A. ()()22(2)log af f f a << B. ()()2log (2)2af a f f <<C. ()()2log 2(2)af a f f << D. ()()2(2)log 2af f a f <<【答案】D 【解析】【分析】根据导函数()f x ¢满足当2x ¹时,(2)()0x f x ¢->,可得()f x 在(,2)-¥上递减,在(2,)+¥上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)af a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R "Î都有()(4)f x f x =-,所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <,所以()f x 在(,2)-¥上递减,在(2,)+¥上递增,所以2x =时,函数取得最小值,因为24a <<,所以2221log 2log log 42a =<<=,2224a >=,所以224log 3a <-<,所以224log 2aa <-<,所以2(4log )(2)a f a f -<,所以2(log )(2)af a f <,所以()()2(2)log 2af f a f <<.故选:D【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用单调性比较大小,考查了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.6. 若a r ，b r ，c r 满足，||||2||2a b c ===r r r ，则()()a b c b -×-r rr r 的最大值为（ ）A. 10B. 12C. D.【答案】B 【解析】【分析】设OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r ，OC c =uuu r r，表示出a b -vv，-r rc b 利用向量的数量积的定义求出最值.【详解】解：设OA a =uuu r r，OB b =uuu r r ，OC c =uuu r r ，则a b BA -=r r uur ，c b BC-=r r uuu r()()cos a b c b BA BC BA BC ABC\--==×Ðr r r r uuu r uuu r uuu r uuu rg g ||||2||2a b c ===r r r Q 4BA \£uuu r ，3BC £uuu r 当且仅当BA uuu r ，BC uuur 同向时()()a b c b --r r r r g 取最大值12故()()max12a b c b--=r r r rg 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.7. 若对x "ÎR ，函数()2x f x a =+的函数值都不超过函数()2,12,1x x g x x x x ì+<ï=í+³ïî的函数值.则实数a 的取值范围是（ ）A. 2a ³- B. 2a £ C. 22a -££ D. 2a <【答案】C 【解析】【分析】在同一平面直角坐标系中作出()(),y f x y g x ==的图象，然后考虑临界位置：()f x 经过点()0,2以及()f x 与()()21g x x x x=+³相切，分析此时a 的取值，通过平移()y f x =的图象可求解出a的取值范围.【详解】在同一平面直角坐标系中作出()2x f x a =+，()2,12,1x x g x x x x ì+<ï=í+³ïî的图象如下图所示：且()02g =，即()g x 与y 轴交于()0,2，当()f x 位于其对称轴左侧的图象经过()0,2时，此时()0,2在2xy a =--的图象上，所以2a -=，解得2a =-；当()f x 位于其对称轴右侧的图象经过()0,2时，此时()0,2在2xy a =+的图象上，所以2a =，接下来分析当2x y a =+与()()21g x x x x =+³相切时的情况：()221g x x ¢=-，令()12g x ¢=，解得2x =（2x =-舍去），()22232g =+=，所以切点坐标为()2,3，所以232a +=，解得2a =；由上可知，当2a =时，22x y =+经过()0,2且与()()21g x x x x =+³相切，结合图象，通过平移()y f x =的图象可知，当22a -££时，()()f x g x £恒成立，综上所述，实数a 的取值范围是22a -££，故选：C.8. 在三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB CC ==，AB =，1C 在面ABC 的投影为ABC V 的外心，二面角11A CC B --为π3，该三棱柱的侧面积为（ ）A. 3+B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】先由外心性质和1C O ^面ABC 结合三角形全等得111BC AC CC ==，从而得11CBC CAC V V ,均为正三角形；接着取1CC 中点E 得BEA Ð是二面角11A CC B --的平面角，从而得π3BEA Ð=，进而求出12CC =，于是可求出11BCC B S 侧面和11CAA C S 侧面；再求证AB ^平面1CC D 得1AB CC ^，从而得1AB BB ^可求出11AB A B S 侧面，进而得解.【详解】设ABC V 的外心为O ，则由题意可得1C O ^面ABC ，如图，连接11,,,,OA OB OC BC AC ，则OA OB OC ==，所以111Rt Rt Rt OBC OAC OCC V V V ≌≌，故111BC AC CC ==，又1CA CB CC ==，所以11CBC CAC V V ,均为正三角形且11CBC CAC V V ≌，取1CC 中点E ，连接,BE AE ，则11,BE CC AE CC ^^，且BE AE =，1π6C BE Ð=，所以BEA Ð是二面角11A CC B --平面角，故π3BEA Ð=，所以BEA △是正三角形，B B E AE A ===，所以1111π22tan26AA BB C CC E =====，所以11112BCC B CAA C S S ===侧面侧面延长CO 交AB 于点D ，则由O 为ABC V 的外心和CA CB =可得CD AB ^，又由1C O ^面ABC ，AB Ì面ABC 得1C O AB ^，又11,C O C O O D C D C =ÌI 、平面1CC D ，所以AB ^平面1CC D ，因为1CC Ì平面1CC D ，所以1AB CC ^，所以由棱柱性质1AB BB ^，所以112B A AB S ==侧面，所以该三棱柱的侧面积为111111ABB BC B A C CAA C S S S =++=+侧面侧面侧面.故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键点1是由三角形全等得到111BC AC CC ==，从而得11CBC CAC V V ,均为正三角形；关键点2是取1CC 中点E 得BEA Ð是二面角11A CC B --的平面角，且π3BEA Ð=，进而求出12CC =，于是可求出11BCC B S 侧面和11CAA C S 侧面，再求证1AB BB ^求出11AB A B S 侧面即可得解.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 对于样本相关系数，下列说法正确的是（ ）A.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性的B. 样本相关系数可以是正的，也可以是负的C. 样本相关系数越大，成对样本数据的线型相关程度越强D. 样本相关系数[]1,1r Î-【答案】ABD 【解析】【分析】利用相关系数与成对样本数据间的相关关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性，A 对；对于B 选项，样本相关系数可以是正的，也可以是负的，B 对；对于C 选项，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度也越强，C 错.对于D 选项，样本相关系数[]1,1r Î-，D 对；故选：ABD10. 为得到函数π2sin 23y x æö=+ç÷èø的图象，只需要将函数2sin2y x =的图象（ ）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向左平移π3个单位长度C. 向右平移5π6个单位长度D. 向右平移11π3个单位长度【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数图象变换的知识确定正确答案.【详解】ππ2sin 22sin 236y x x éùæöæö=+=+ç÷ç÷êúèøèøëû，所以将函数2sin2y x =的图象向左平移π6个单位长度，得到π2sin 23y x æö=+ç÷èø.故选：A11. 正实数x ，y 满足1x y +=，则下列选项一定成立的是（ ）A. 1410x y+³ B. 22x y +³C. 11254x y x y æöæö++³ç÷ç÷èøèø D.316y x xy+³【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式、函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()141445y x x y x y x y x yæö+=++=++ç÷èø59³+=，当且仅当42,23y x y x x y ===时等号成立，A 选项错误.B 选项，22x y +³==，当且仅当122,2xyx y ===时等号成立，所以B 选项正确.C 选项，111x yx y xy x y xy y xæöæö++=+++ç÷ç÷èøèø，2124x y xy +æö£=ç÷èø，当且仅当12x y ==时等号成立，函数1y x x =+在10,4æùçúèû上单调递减，最小值为117444+=，所以当12x y ==时，1xy xy +有最小值为174，而2x y y x +³=，当且仅当x y y x =，12x y ==时等号成立，所以1111725244x y x y xy x y xy y x æöæö++=+++³+=ç÷ç÷èøèø，当且仅当12x y ==时等号成立，所以C 选项正确.D 选项，313311y y x y y x xy x xy x y x++=+=++342y x y x y y x x y x x y++=++=++26³+=，当且仅当42,23y x x y x y ===时等号成立，D 正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：利用基本不等式进行判断：首先应用基本不等式来分析选项是否成立，并结合等号条件进一步判断，这是判断选项正确与否的基础.函数单调性分析：在选项 C 的判断中，通过函数的单调性来验证不等式的成立条件，这种结合单调性的方法可以更准确地判断不等式的取值情况.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 命题“x "ÎN ，21x >”的否定为______.【答案】x $ÎN ，21x £【解析】【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题，即可得解.【详解】因为全称命题:P x M "Î，()P x ，它否定0:P x M Ø$Î，()0P x Ø.所以命题“x "ÎN ，21x >”的否定为x $ÎN ，21x £.故答案为：x $ÎN ，21x £.【点睛】本题考查了全称命题否定，在否定过程中注意否定规则，易错点为>的否定为£，本题为简单题.13. 若()1,1A --，()3,7B ，()7,5C ，()8,2D 四点在同一个圆上，则该圆方程为_________.【答案】()()223225x y -+-=【解析】【分析】假设圆的一般方程，代入求解即可.【详解】假设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=,将,,A B C 三点的坐标分别代入可得1109493704925750D E F D E F D E F +--+=ìï++++=íï++++=î,解得6,4,12D E F =-=-=-所以圆的方程为：2264120x y x y +---=，即()()223225x y -+-=,故答案为：()()223225x y -+-=.的14. 椭圆()222210+=>>x y a b a b左焦点()1,0F -关于直线y bx =的对称点在椭圆上，则该椭圆离心率为【解析】【分析】先求得()1,0F -关于直线y bx =的对称点，将对称点代入椭圆方程，进而求得离心率.【详解】设()1,0F -关于直线y bx =的对称点为(),A s t ，则12211ts b t b s -+ì=ïïíï´=-ï+î，解得2221121b s b b t b ì-=ïï+í-ï=ï+î，将A 点坐标代入椭圆方程得222222212111b b b b a b æö--æöç÷ç÷++èøèø+=，()()()222222214111b a b b -+=++，而22221a b c b =+=+，所以()2242242446662444441aa a a a a a a a a a--+++=+==´，6440a a --=，64840a a --+=，()()()()24222224220a a a a a -++--+=，()()242220aa a -++=，则2220,2a a-==，a =所以离心率c a ==.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设ABC V 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知3c =，且1sin cos 64C C p æö-=ç÷èø.（1）求角C 的大小；（2）若向量()1,sin m A =u r 与()2,sin n B =r共线，求a ，b 的值.【答案】（1）3C p=；（2）a b ==【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换，得sin 216C p æö-=ç÷èø，结合C 取值范围，即可求解；（2）由m u r 与n r共线，得sin 2sin 0B A -=，得2b a =，再根据余弦定理列出方程，即可求解a ，b 的值.【详解】（1）211sin cos cos cos 624C C C C C p æö-=-=ç÷èøQ 21111cos cos 2cos 2sin(2)22622C C C C C C p -=--=--=，sin(2)16C p \-=，110,2666C C pppp <<\-<-<Q ，262C pp\-=，解得3C p=.（2）m u r Q 与n r共线，sin 2sin 0B A \-=，由正弦定理sin sin a bA B=，得2b a =，3c =Q ，由余弦定理，得22292cos 33a b ab a p=+-=，a b \==.【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.16. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上（含9.50m ）的同学将得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望()E X ．的【答案】（1）25（2）75【解析】【分析】（1）根据古典概型概率的计算公式直接计算概率；（2）直接计算离散型随机变量的概率及期望.【小问1详解】设事件A 为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，其概率为()42105P A ==；【小问2详解】设事件B 为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故()3162P B ==，事件C 为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故()2142P C ==，()()2113011152220P X P ABC æöæöæö===-´-´-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，()()()()211211211211111115225225225P X P ABC P ABC P ABC æöæöæöæöæöæö==++=´-´-+-´´-+-´-´=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøèø，()()()()2112112117211152252252220P X P ABC P ABC P ABC æöæöæö==++=´´-+´-´+-´´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø,()()2111352210P X P ABC ===´´=，所以其分布列为X 0123P32025720110期望()32717012320520105E X =´+´+´+´=.17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ^平面 ,,2ABC AC BC AC BC ^==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱 1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ^；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ（Ⅲ.【解析】【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC uuu r uuu r uuuu r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量1C M uuuur 和1B D uuuu r 的坐标，得出110C M B D ×=uuuur uuuu r，即可证明出11C M B D ^；（Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA uuu r ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n r，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA uuu r 、CB uuu r、1CC uuuu r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =uuuur ，()12,2,2B D =--uuuu r，从而112200C M B D ×=-+=uuuur uuuu r，所以11C M B D ^；（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =uuu r是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB =uuur ，()2,0,1ED =-uuu r．设(),,n x y z =r为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ì×=ïí×=ïîr uuur r uuu r，即2020y z x z +=ìí-=î，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-r．cos ,C A n <=uuu r r，sin ,CA n \<>==uuu r r ．所以，二面角1B B E D --（Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-uuu r．由（Ⅱ）知()1,1,2n =-r为平面1DB E的一个法向量，于是cos,AB n<=uuu r r所以，直线AB与平面1DB E【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.18. 椭圆()2222:10x yE a ba b+=>>左焦点F和(),0A a，()0,B b构成一个面积为)21的FABV，且cos AFBÐ=（1）求椭圆E的标准方程；（2）点P是E在三象限的点，PA与y轴交于M，PB与x轴交于N①求四边形ABNM的面积；②求PMNV面积最大值及相应P点的坐标【答案】（1）22184x y+=；（2）①；②PMNV面积最大值为4-(2,P-.【解析】【分析】（1）根据离心率和三角形面积公式列方程，结合,,a b c关系即可求解.（2）①设点P(x0,y0)，求出直线PA和PB的方程，写出点M和N的坐标，计算AN和BM，即可证明四边形的面积为定值；②要求PMNV面积最大值只需求出PABV面积最大值，结合基本不等式及等号成立的条件可得结果.【小问1详解】设OF c=，由cos AFBÐ=，得45AFBÐ=°，BOFV为等腰直角三角形，∴b c=，由FAB V面积为)21+得，())1212a cb ×+×=+，又∵222a c b -=，∴2,b c a ===，故椭圆标准方程为22184x y +=【小问2详解】①设P (x 0,y 0)，则220028x y +=，由（1）得()A ，()0,2B ，直线PA：y x =-，直线PB ：0022y y x x -=+，故M æççè，002,02x N y æö-ç÷-èø，四边形ABNM 的面积002112222x S AN BM y ææö=×=çç÷ç-èøè2==2===.②由①得PMN PAB S S =-△△PMN V 面积最大值只需求出PABV 面积最大值即可.由()A ，()0,2B 得||AB =，直线AB：0x +-=，∴点P 到AB的距离d∴0012PAB S AB d x =×=-V220028x y +=Q ，∴()20000828x x +=+£，∴()20016x +£，解得0044x -££当04x +=-时，()max 4PAB S =+V，此时000x =<，由002200028xx y ì=<ïí+=ïî得(2,P -，由PAB V 面积最大值为4+得PMN V 面积最大值为4-【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合问题，具体思路如下：（1）当四边形对角线互相垂直时，四边形面积等于两对角线乘积的一半；（2）PMN V 面积不易表达，可借助四边形面积为定值，把求PMN V 面积最大值转化为求PAB V 面积最大值.19. 已知函数()2e 1.xf x ax x =---（其中e 2.71828»）（1）当0a =时，证明：()0f x ³（2）若0x >时，()0f x >，求实数a 的取值范围；（3）记函数()e 12ln x g x x x-=-的最小值为m ，求证：23,e 120m æöÎ-ç÷èø【答案】（1）证明见解析 （2）12a £（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间、最值，从而证得不等式成立.（2）利用多次求导方法来求得a 的取值范围.（3）利用构造函数法，结合多次求导，根据最小值列不等式来求得m 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()e 1xf x x =--，()e 1x f x \=-¢，的当0x >时，e 1x >，f ′(x )>0，()f x 单调递增，当0x <时，e 1x <，f ′(x )<0，()f x 单调递减，()()00f x f \³=，得证.【小问2详解】法一：由()2e 1xf x ax x =---，()e 21xf x ax \=--¢，()e 21e 2x x ax a¢\--=-①当12a £时，0x >，e 1x >，()e 210x ax ¢-->，()f x \¢单调递增，()()00f x f ¢¢>=，∴f (x )单调递增，()()00f x f >=，12a \£成立；②当12a >时，当()0,ln2x a Î，()e 210xax ¢--<，()f x \¢单调递减，()()00f x f ¢¢<=，∴f (x )单调递减，()()00f x f <=，与条件矛盾，12a \>不成立；综上所述：12a £.法二：由()0f x >，即2e 1x x a x--<成立，设()2e 1x x u x x --=()()32e 2x x x u x x -++=¢，设()()2e 2x k x x x =-++，()()1e 1xk x x =-+¢()()1e1e 0xx x x ¢-+=>，()k x \¢单调递增，()()00k x k ¢¢>=，()k x \单调递增()()00k x k >=即()0u x ¢>，()u x \单调递增，()()0u x u >由洛必达法则2000e 1e 1e 1lim lim lim 222x x x x x x x x x ®®®---===，12a \£.【小问3详解】()e 12ln x g x x x -=-，则()2e e 21x x x x g x x --+=¢，设()e e 21xxh x x x =--+，则()e 2xh x x ¢=-，又因()()e 21e 0x x x x ¢-=+>，()e 2x h x x \=-¢在(0,+∞)单调递增，又()()()()012e 20h h ×=-´¢-¢<Q ，()00,1x \$Î，使得()00h x ¢=，即002e xx =①，且x ∈(0,x 0)，ℎ′(x )<0，ℎ(x )单调递减；()0,1x x Î，ℎ′(x )>0，ℎ(x )单调递增，()()00000min e e 21x x h x h x x x \==--+，由①得()()00023200h x x h x =--<=，又()110h =-<Q ，3231e 2022h æö=->ç÷èø，131,2x æö\$Îç÷èø，使得()10h x =，即1111e e 210x x x x --+=，即11121e 1x x x -=-，且()10,x x Î，ℎ(x )<0，()g x 单调递减；()1,x x ¥Î+，ℎ(x )>0，()g x 单调递增，()()1111min11e 112ln 2ln 1x g x g x x x x x -\==-=--，131,2x æöÎç÷èøQ ，()()11e 1g x g \<=-，再设()12ln 1x x x j =--，则φ(x )在()1,¥+单调递减，131,2x æöÎç÷èøQ ，()1x j \也即()1g x 大于3322ln 22j æö=-ç÷èø，要证32322ln 220->，即证317ln 240<，又即证17403e 2>，由（2）问21e 12xx x >++，2174017117484948003e140240320032002æö\>++´=>=ç÷èø，得证.【点睛】思路点睛：通过导数判断单调性：首先对函数求导，并分析导数的符号，确定函数在不同区间的单调性. 这是解题的基础步骤，有助于后续的极值和取值范围的推导.分类讨论与极值点分析：对于不同的区间，通过分析单调性和极值点来确定函数的表现，从而得出函数的取值范围. 这种分类讨论确保了结论的全面性和准确性.利用洛必达法则求极限：在证明极值时，利用洛必达法则简化极限计算，是一个重要的方法，可以确保计算的简洁和准确.。

成都七中2023届高三上期入学考试数学试卷(理科)考试时间：120分钟 总分：150分选择题(每小題5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求,把答案涂在答 题卷上.) 1.已知集合M ={y|y = sin_r,eR} , = |x|x 2-x-2＜o|,则M (]N=()B. [-1,2)2. 设，•为虚数单位，若复数(l + i)(l + "i)是纯虚数，则实数。

=()3. (l-2x)4的展开式中含J 项的系数为()4.己知 A(->/5,O),B(>/I O ),C(O,3),则WBC 外接圆的方程为() A (x-l)2+y 2=2 B. (x-l)2+ y 2=4 C. x z +(y-\)2=2 D. x 2+(y_l)2 =45.己知一个半径为4的扇形圆心角为0(0＜。

＜2力)，面积为2勿，若tan(8 + 0)= 3,则tan°=(C. (一1,1)A. -IB. 0C. ID.A. _24B. 24C. -16D. 16A.0 C. 2D-46.考拉兹猜想是引人注目的数学难题之由德国数学家洛塔尔•考拉兹在20世纪30年代提出，其内容是：任意给定正整数s,如果s 是奇数，则将其乘3加1；如果$是偶数，则将其除 以2,所得的数再次重复上面步骤，最终都能够得到1.下边的程序框图演示了考 拉兹猜想的变换过程.若输入s 的值为5,则输出i 的值为() A.4 B. 5C.6D. 77-莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜 地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以 参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫髙窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫髙窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是( A.D.358. 设/,〃?,〃表示直线，戶表示平面，使“/丄。

2023届四川省成都市第七中学高三上学期12月阶段性测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}13A x N x =∈≤≤{}2650B x x x =-+<A B = A ．B ．C ．D ．∅{}1,2,3(]1,3{}2,3【答案】D【分析】本题考查集合的交集，易错点在于集合A 元素是自然数，集合B 的元素是实数．【详解】∵，，∴．{}{}131,2,3A x N x =∈≤≤={}{}265015B x x x x x =-+<=<<{}2,3A B ⋂=故选：．D 2．在复平面内，复数（为虚数单位），则复数的共轭复数对应的点位于（ ）212i(1i)z +=+i z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】化简复数，求出的共轭复数，即可得到答案.z 【详解】()()212i i 12i 12i 2i 11i (1i)2i 2i i22z +++-+=====-+-则的共轭复数为z 11i2+故选：A.3．设函数，则（ ）()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩()()24log 5f f -+=A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.【详解】因，则，而，23252<<22log 53<<()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩所以.()()2log 5224log 5log (44)2358f f -+=++=+=4．若实数x ､y 满足，则z =x +3y 的最小值为（ ）210104210x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩ A ．-9B ．1C ．D ．232【答案】B【分析】做出可行域，由目标函数的几何意义求得最小值.【详解】有不等式组做出可行域，如图所示：由目标函数z =x +3y 的几何意义知，其在处取得最小值，10（，）此z =1+0=1.故选：B.5．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）6log 2a =sin1b =12c =A ．B ．C ．D ．a c b <<b a c <<c b a <<a b c<<【答案】A【分析】借助中间值比较大小即可.12【详解】，，所以.661log 2log 2a =<=1sin1sin 62b π=>=b c a >>故选：A.6．某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．132223152233【答案】C【分析】根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解．【详解】解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，由图示可知，该空间几何体体积为，3221111152111232322V ⎛⎫=-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭故选：C.7．的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为（ ）4222a x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A ．−32B ．32C ．−64D ．64【答案】C【分析】先根据展开式中各项系数的和为3，求出，进而根据的展开式的通项公式，1a =-42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭求出答案.【详解】令得：，解得：，其中的通项公式为1x =()()42123a --=1a =-42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令得：，所以，则()()414214422rrr r r rr T C x x C x---+=-=-422r -=-3r =()332244232T C x x --=-=-，令，此时，不合题意，综上：该展开式中的常数项为-64.()2223264x x -⋅-=-421r -=32r =8．函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ）()()cos f x A x ωϕ=+0A >0ω>02πϕ<<A ．，B ．是奇函数3πϕ=73πω=()2y f x =+C ．直线是的对称轴D ．函数在上单调递减4x =-()f x ()f x []3,4【答案】C【分析】根据已知函数图象求得的解析式，再根据三角函数的奇偶性、对称性、以及单调性，()f x 对每个选项进行逐一判断，即可选择.【详解】根据的函数图象可知，的最大值为2，又，故；()f x ()()cos f x A x ωϕ=+0A >2A =又，即，则，又，故；()01f =2cos 1ϕ=1cos 2ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3πϕ=又，即，解得，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1cos 023πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭1,232k k Zππωπ+=+∈故可得；又，则，又，故当时，；2,3k k Z πωπ=+∈142T >ωπ<0ω>0k =3πω=故()2cos 33f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对A ：由上述求解可知，，，故A 错误；3πϕ=3πω=对B ：，又，()22cos 2cos 33f x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 33x x ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故是偶函数，故B 错误；()2f x +对C ：当时，，即当时，取得最小值，4x =-()()2cos 2f x π=-=-4x =-()f x 故是的对称轴，故C 正确；4x =-()f x 对D ：当时，，而在不单调，故D 错误.[]3,4x ∈45,3333x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦2cos y x =-45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．在中，，为直角三角形，则“ABC ()()221tan 7π2:sin πcos cos 21tan2Bp B C A B B -⎛⎫-⋅=-+⋅+ ⎪⎝⎭+:q ABC ”是“”的（ ）p q A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用三角恒等变换公式，把中等式化为，从而，p sin2sin 2B C =()()cos sin 0B C B C +-=得或，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断．π2B C +=0B C -=【详解】由，()()221tan 7π2sin πcos cos 21tan2BB C A B B -⎛⎫-⋅=-+⋅+ ⎪⎝⎭+得，()222221π2s o in cos co c s π22sin os si c s 12nBB BC C B B -⎛⎫⋅=--+⋅- ⎪⎝⎭+即，()2222π22s i in cos cos π22cos sin cos s 2n BBB C C BB -⎛⎫⋅=--⋅- ⎪⎝⎭+即，sin2sin 2B C =即，()()()()sin sin B C B C B C B C ++-=+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()sin cos cos sin B C B C B C B C +-++-()()()()sin cos cos sin B C B C B C B C =+--+-整理得，则或，()()cos sin 0B C B C +-=()cos 0B C +=()sin 0B C -=因为，，，，0πB <<0πC <<0πB C <+<ππB C -<-<则或，即或，所以由不能推出；π2B C +=0B C -=π2A =B C =p q 当为直角三角形时，不一定为，也不一定相等，所以由不能推出，ABC A π2,B C q p 故“”是“”的既不充分也不必要条件．p q故选：D ．10．对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红，黑，白，灰四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．13122314【答案】A【分析】根据分步计数原理可计算出1号格子涂灰色的方案总数，再计算1号格子和4号格子同时涂灰色的方案数，即可算出其概率.【详解】由题意可知，整个事件需要分四步，按照格子标号依次涂色即可；若在1号格子涂灰色，则2号格子还有3种选色方案，同时3号格子也有3种选色方案，4号格子还剩2种选色方案，即1号格子涂灰色的方案总数为种；33218⨯⨯=若1号格子和4号格子同时涂灰色，则2号格子还有3种选色方案，3号格子还有2种选色方案，即1号和4号格子同时涂灰色的方案总数为种；326⨯=所以，在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是.61183P ==故选：A.11．双曲线与抛物线有共同的焦点，双曲线左焦点为，点是2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>28y x =2F 1F P 双曲线右支一点，过向的角平分线做垂线，垂足为，则双曲线的离心率是1F 12F PF ∠,1N ON = （ ）A ．2BC ．D 431【答案】A【分析】由抛物线的方程得焦点，延长交的延长线于点，由角平分线的性质得2(2,0)F 1F N 2PF M 且，由中位线的性质得，根据双曲线的定义求得，由双曲线的离1PF PM =1F N NM =22F M =1a =心率公式即可得到答案.【详解】由抛物线的焦点，故，延长交的延长线于点28y x =2(2,0)F 2c =1F N 2PF M是的角平分线，于点，PN 12F PF ∠1F N PN ⊥N 且1PF PM ∴=1F N NM =点是的中点，O 12F F //ON PM∴212ON F M = 1ON =22F M ∴=由双曲线的定义得,122PF PF a-=故12222PF PF a F M -===1a ∴=故双曲线的离心率为221c e a ===故选：A.12．关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）x e 20axx b -- R e ba A ．B ．C ．D ．142e 63e-e 12e -e 25e+【答案】A【分析】由题意可知，原不等式等价为恒成立，即函数的图象恒在函数e 2axx b + e axy =的上方，然后利用两曲线相切的临界位置，得出的表达式构造函数求最大值即可.2y x b =+e ba 【详解】根据题意可知，关于的不等式的解集为，即对任意恒成x e 20axx b -- R e 2ax x b + x ∈R 立；设直线与曲线相切，切点为；2y x m =+()e axf x =00(,e )ax A x 由得，()e axf x =()e ax f x a '=所以，即；0)2(eax f x a =='012ln x a a =此时切线方程为，即00e 2()ax y x x -=-002e 2ax y x x =+-所以；0022=e 21ln ax m x a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭根据题意直线须在的上方或重合，所以;2y x m =+2y x b =+m b 所以，令，则221l e e n e b a m a a a a ⎛=⎝≤⎫- ⎪⎭()20,t a =∈+∞2(1ln )e 2e 221ln a a t t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=记，则()2(1ln )(),0,2et t h t t -=∈+∞()(12ln )(),0,2e t t h t t -'=∈+∞所以，，即函数在上单调递增；((12ln),()02e t t t h t -'∈=>()h t (，即函数在上单调递减；)(12ln),()02e t t t h t -'∈+∞=<()h t )+∞所以，即max 1()()4h t h t h ≤==1()e 4b h t a ≤≤所以的最大值是.e b a 14故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键是将不等式恒成立转化成两函数图象的位置关系的问题，利用导数的几何意义得到切线方程，比较得出在上轴截距的大小，写出的表达式，最后通过构造函数y e ba 求得其最大值.二、填空题13．已知，则__________.()()()1,2,,3,2a b a b aλ==-⊥b =【答案】5【分析】根据求出的值，然后再求()()()1,2,,3,2a b a b aλ==-⊥λb【详解】()()()221,2,32,1a b λλ-=-=-又，()2a b a -⊥220,4λλ∴-+=∴=(5b ∴== 故答案为：514．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，点在上，若为等边三22y x =F l A B l ABF △角形，则的面积为__________.ABF △【分析】先根据为等边三角形得到，再设，表示出点坐标，再根据ABF △AF AB=(A aB ,列出关于的方程，解出，解出三角形边长，利用面积公式即可得到答案.BF AB=a a 【详解】为等边三角形ABF △AF AB∴=由题意得1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭设，则(A a 12B ⎛- ⎝12+解得32a =2AB ∴=是边长为2的等边三角形，∴ABF △122sin 602ABF S ︒∴=⨯⨯⨯=15．在中，斜边为，点在边上，若，则Rt ABC AB D BC tan BAD ∠=1sin sin 3ADC B ∠⋅=__________.22AB AD AB AD +=⋅【分析】由，，结合三角形面积公式证明tan BAD ∠=sin BAD ∠cos BAD ∠，，再根据余弦定理列关系式求即可.BD AC =23AB AD BD ⋅=22AB AD AB AD +⋅【详解】因为，tan BAD ∠=sin cos BAD BAD ∠=∠()()22sin cos 1BAD BAD ∠+∠=，所以，，π0,2BAD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭1sin 3BAD ∠=cos BAD ∠=的面积，ABD 11sin 26S AB AD BAD AB AD=⋅∠=⋅的面积，所以，ABD 12S BD AC =⋅3BD AC AB AD ⋅=⋅因为，所以，故，1sin sin 3ADC B ∠⋅=13AC AC AD AB ⋅=3AC AC AB AD ⋅=⋅所以，故，所以BD AC AC AC ⋅=⋅BD AC =233AB AD AC AC BD⋅=⋅=由余弦定理可得，又，222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=⋅cos BAD ∠=，2222212226AB AD BD AB AD AB AD AB AD AB AD ++=-=-⋅⋅⋅所以22AB AD AB AD +=⋅16．已知正方体的棱长为是空间中任意一点.1111ABCD A B C D -2,P ①若点是正方体表面上的点，则满足的动点轨迹长是；P 12AP =π②若点是线段上的点，则异面直线和所成角的取值范围是；P 1AD BP 1B C ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦③若点是侧面上的点，到直线的距离与到点的距离之和为2，则的轨迹是椭圆；P 11BCC B P BC 1C P④过点的平面与正方体每条棱所成的角都相等，则平面截正方体所得截面的最大面积是P αα⑤设交平面于点，则.1BD 11A C D H 123BH HD =以上说法正确的是__________.（填序号）【答案】④【分析】满足的动点的轨迹是以为圆心，以为半径的3个圆弧,求出动点轨迹长即12AP =P A 1214可判断①，证明面，可得，判断②，若到直线的距离与到点的距1B C ⊥11ABC D 1B C BP ⊥P BC 1C利用，求出，再利用在求出.111111D A DC D D A C V V --=1D H 11BH BD D H =-BH 【详解】对于①，满足的动点的轨迹是以为圆心，以为半径的3个圆弧，因此动12AP =P A 1214点轨迹为.故①正确；11332424ππ⨯⨯⨯=对于②，连接，则,1BC 11B C BC ⊥面,面AB ⊥ 11BCC B 1B C ⊂11BCC B 1AB B C∴⊥，面1AB BC B = 1,AB BC ⊂11ABC D 面1B C ∴⊥11ABC D 点是线段上的点，P 1AD 面BP ∴⊂11ABC D 可得1B C BP⊥故直线和所成角恒为.故②不正确BP 1B C 2π对于③，过点作于点，则到直线的距离与到点的距离之和为，当点在线P PM BC ⊥M P BC 1C P 段上时，1CC 112PM PC PC PC +>+=此时不满足到直线的距离与到点的距离之和为2，所以的轨迹为线段，故③不正确.P BC 1C P 1CC 对于④，过点的平面与正方体每条棱所成的角都相等，只需过同一顶点的三条棱所成的角相等P α即可.,则平面与正方体过点的三条棱所成的角相等，若点分别为111A P A R A Q ==PQR 1A ,,,,,E F G H M N相应棱的中点，则平面面，且六边形//EFGHMN PQR EFGHMN形的面积为故④正确.26=对于⑤1111111111111222323D A DC D D A C A DC V V S D H D H--==⨯⨯⨯⨯==1D H ∴=1BD =11BH BD D H ∴=-=12BH HD ∴=故⑤错误故答案为：④.三、解答题17．已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①，，{}n a ()0d d ≠n n S 1S 2S成等比数列；②；③．请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．4S 416S =()8841S a =+(1)求的通项公式；n a (2)若，且，设数列的前项和，求证．()142n n n b b a n --= 13b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 1132n T ≤≤【答案】(1)21n a n =-(2)证明见详解【分析】（1）选择①②，①③或②③，利用等比中项的性质，等差数列的通项公式和前项和公n 式将已知条件转化为关于和的关系式，求出和的值即可得到的通项公式；（2）由（1）1a d 1a d n a 知，利用累加法求出的通项，再由裂项求和即可证明，再根据即可184n n b b n --=-n b 12n T <1n T T ≥证明．1132n T ≤≤【详解】（1）解：由条件①得，因为，，成等比数列，则，即1S 2S 4S 2214S S S =，又，则，()()2111246a d a a d +=+0d ≠12d a =由条件②得，即，414616S a d =+=1238a d +=由条件③得，可得，即．()8841S a =+()11828471a d a d +=++11a =若选①②，则有，可得，则；112238d a a d =⎧⎨+=⎩112a d =⎧⎨=⎩()1121n a a n d n =+-=-若选①③，则，则；122d a ==()1121n a a n d n =+-=-若选②③，则，可得，所以．123238a d d +=+=2d =()1121n a a n d n =+-=-（2）证明：由，且，()14842n n n b b a n n --==- 13b =所以当时，则有2n ()()()()()()21213218412131220843412n n n n n b b b b b b b b n n --+-=+-+-++-=++++-=+=- ，又也满足，故对任意的，有，13b =241n b n =-*n ∈N 241n b n =-则，()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以，21111112111121233521121n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦ 由于单调递增，所以，21n n T n =+113n T T ≥=综上：．1132n T ≤<18．随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对滑雪运动没有兴34趣．(1)完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？有兴趣没有兴趣合计男女合计(2)该俱乐部拟派甲、乙、丙三人参加滑雪选拔赛，选拔赛共有两轮，两轮都获胜选拔才能通过．已知甲在每轮比赛获胜的概率为，乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，丙在第一轮和第233447二轮获胜的概率分别为p 和，其中（），判断甲，乙，丙三人谁通过选拔的可43p -203p <<p ∈R 能性最大，并说明理由．附：，其中．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0.1000.0500.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【答案】(1)填表见解析；有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关99.9%(2)甲；理由见解析【分析】（1）先求出对滑雪运动有兴趣的人数，结合已知可完成列联表，然后计算可得；2K （2）分别计算三人通过选拔的概率，然后作差比较可知.【详解】（1）由题意，从某中学随机抽取了100人进行调查，可得男生有50人，女生有50人，又由滑雪运动有兴趣的人数占总数的，所以有人，没有兴趣的有25人，343100754⨯=因为女生中有5人对滑雪运动没有兴趣，所以男生中对滑雪无兴趣的有20人，有兴趣的有30人，女生有兴趣的有45人，可得如下2×2列联表：有兴趣没有兴趣合计男302050女45550合计7525100所以，22100(3052045)1210.82875255050K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关．99.9%（2）甲获胜的概率最大，理由如下：甲在两轮中均获胜的概率为；1224339P =⨯=乙在两轮中均获胜的概率为；2343477P =⨯=丙在两轮中均获胜的概率为；2344()33P p p p p =⨯-=-∵；∴．420,01,033p p p ><-<<<1233p <<∵；2213442()393P P p p p -=-+=-∴显然∴，即甲获胜的概率最大．130P P ->120P P ->2113,PP P P >>19．在矩形ABCD 中，AB =2，AD ，E 是DC 中点，连接AE ，将△ADE 沿AE 折起，使得点D 移动至点P ，满足平面PAE ⊥平面ABCE .(1)求证：AE ⊥BP ；(2)求二面角E -CP -B 的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)‒2211.【分析】（1）根据已知条件，可以证明线线垂直来证明线面垂直，,,AE OP AE OB ⊥⊥AE ⊥平面BOP 然后证明；AE BP ⊥（2）结合题目条件，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，即可完成二BCP PCE 面角的求解.【详解】（1）证明：在矩形中，连接，记ABCD BD ,AE BD F ⋂=∴BD =6,AE = 3.//, 2.AF BF ABAB CD FE FD DE∴=== ∴AF =233,FE =33,BF =263,FD =63.222222,,2.AF FD AD FA FB AB AF FE ∴+=+==∴AE ⊥FD ,AE ⊥FB ,AF =2FE 在四棱锥中，线段取点满足P ABCE -AE O 2,AO OE =∵AE ⊥OP ,AE ⊥OB ,OP ∩OB =O ,∴AE ⊥平面BOP .∵BP ⊂平面BOD ,∴AE ⊥BP .（2）,,PO AE APE ABCEAPE ABCE AE ⊥⊥⋂= 平面平面，平面平面.PO ABCE ∴⊥平面如图所示∴以OA 、OB 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,∴A (233,0,0),B (0,263,0),P (0,0,63),E (‒33,0,0).2..AB EC C ⎛⎫⎛⎫∴==∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴BC =(‒23,‒6,0),CP =(23,‒6,6),PE =(‒3,0,‒6),设平面的法向量为BCP ()1,,,n x yz =110,0,0,0.y BC n CP n x y z ⎧=⎪⎧⋅=⎪⎪∴∴⎨⋅=⎪⎩=(1.n ∴=-设平面的法向量PCE ()2,,,n x y z = ∴{PE ⋅n 2=0,CP ⋅n 2=0.∴{‒33x ‒63z =0,233x ‒63y +63z =0.(22,n ∴=-设二面角的大小为E CP B --,θ∴|cosθ|n ⋅n 12=2‒2+41+2+8×4+2+2=2211.的余弦值为E CP B ∴--二面角‒2211.20．已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆上一点，()2222:10x y C a b a b +=>>212,F F A C 且轴，，为垂足，为坐标原点，且．2AF x ⊥1OM AF ⊥M O 225OM AF =(1)求椭圆的标准方程；C (2)过椭圆的右焦点的直线（斜率不为）与椭圆交于两点，为轴正半轴上一点，且C 2F l 0,P Q G x ，求点的坐标．22PGF QGF ∠=∠G 【答案】(1)22143x y +=(2)()4,0G 【分析】（1）利用△∽△构造齐次方程，求出离心率，再利用焦距即可求出椭圆方程；1F MO 12F F A（2）将直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理求出和，利用几何关系可知，12y y +12y y 0GP GQ k k +=即可得，将韦达定理代入化简即可求得点的坐标.1201221my y x y y =++G 【详解】（1）∵椭圆的焦距为，∴，即，222c =1c =轴，∴，则,2AF x ⊥ 22b AF a =22212222b a b AF a AF a a a -=-=-=由，，则△∽△，212AF F F ⊥1OM AF ⊥1F MO 12F F A ∴，即，121OM OF AF AF =22225ac a b=-整理得，即，解得或（舍去）22522ac a c =+22520e e -+=12e =2e =∴，∴，2a =2223b a c =-=则椭圆的标准方程为，C 22143x y +=（2）设直线的方程为，且，l 1x my =+()()()11220,,,0P x y Q x y G x ，，将直线方程与椭圆方程联立得，221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2234690m y my ++-=，()()()22236493414410m m m ∆=-⨯-⨯+=+>则，，122634m y y m -+=+122934y y m -=+∵，∴，22PGF QGF ∠=∠0GP GQ k k +=∴ ,()()()()1202101210201020GP GQ y x x y x x y y k k x x x x x x x x -+-+=+=----0=∴，121021200y x y x y x y x -+-=∴()()122112210121211y my y my y x y x x y y y y ++++==++，121221my y y y =++229218341146634m m m m m m -⨯-+=+=+=--+即.()4,0G21．已知函数.()()()e 21,R ,sin x f x ax a b g x x x=--∈=-(1)当对，求函数的最小值；[)0,x ∈+∞()g x (2)若对恒成立，求实数取值集合；()0f x ≥x ∈R a (3)求证：对，都有*N n ∀∈11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪⎪⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】(1)0(2)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(3)证明见解析【分析】（1）求导，得到函数单调性，从而求出最小值；（2）先根据，得到，再证明出充分性成立，而与均不合要求，()00f =()00f '=12a =12a >12a <从而得到答案；（3）由第一问结论得到，只需证明11sin 11n n k k n n ++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，由（2）可知，，得到111112311111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()e 10xf x x =--≥，结合等比数列求和公式证明出()11e 1,2,3,,1e n kn k k n n ++⎛⎫<=⋯ ⎪+⎝⎭.1111111231e 1111e 1e 1n n n n n n n n n n ++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<<⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【详解】（1）在上单调递增，()()1cos 0,g x x g x =≥'-[)0,x ∈+∞所以.()min ()00g x g ==（2），()e 2x f x a'=-由于，故，()00f =()010e 21202f a a a '=-=-=⇒=下证当时，恒成立，12a =()e 10xf x x =--≥此时令，解得：，()e 10x f x '=->0x >令，解得：，()e 10x f x '=-<0x <故在上单调递增，在上单调递减，()e 1x f x x =--0x >0x <故在处取得极小值，也是最小值，()e 1x f x x =--0x =且，()()0min 0=e 010f f x =--=故对恒成立；()0f x ≥x ∈R 当时，，则，显然不合要求，舍去12a >()1e 21e x x f x ax x =-<---()0010e 0f -<-=当时，令，解得：，12a <()e 20xf x a '=->ln 2x a >令，解得：，其中，()e 20x f x a '=-<ln 2x a <ln 20a <则在上单调递减，在上单调递增，()e 21x f x ax =--ln 2x a <ln 2x a >又，故当时，，不合题意，舍去；()00f =()ln 2,0x a ∈()0f x <综上：实数取值集合为.a 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭（3）由（1）可知，，，11sin 11n n k k n n ++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭*N ,N k n *∈∈所以1111123sin sin sin sin 1111n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111231111n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故只需证明：即可111112311111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由（2）可知，，()e 10x f x x =--≥则，1e xx +≤，()11(1)e n x n x ++∴+≤令，则，()11,2,3,,1kx k n n +==+ ()11e 1,2,3,,1e n kn k k n n ++⎛⎫<=⋯ ⎪+⎝⎭()11112311231e ee e 1111en n n n n n n n n n n +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()11111e 1e 1e e 1e e 1e e e 1e 1e 1n n n n n +++---=⋅==<----.11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.22．已知在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为．4cos 1cos 2θρθ=-(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知过点，倾斜角为的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若M 为线段AB 的三等分点，3,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭α求的值．tan α【答案】(1)22y x=(2)或tan 2α=2tan 3α=【分析】（1）利用二倍角公式化简已知式，两边同乘以，结合极坐标与直角坐标的互化公式即可；ρ（2）写出直线的参数方程，代入曲线的方程，得到关于参数的一元二次方程，由已知结合韦达C t 定理以及参数的几何意义，可得关于的方程，求解得答案.t tan α【详解】（1）由，得，4cos 1cos 2θρθ=-2sin 2cos ρθθ=所以22sin 2cos ρθρθ=所以曲线C 的直角坐标方程为．22y x =（2）设直线l 的参数方程为（t 为参数，），3,21x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=+⎩t ∈R 代入，得，22y x =()()22sin 2cos sin 20t t ααα---=恒成立，0∆>所以，．()22cos sin sin A B t t ααα-+=22sin A B t t α-=由M 为线段AB 的三等分点，且，故．0A B t t <2A B t t =-将代入前式，得2A B t t =-，，()24cos sin sin A t ααα-=()22cos sin sin B t ααα--=所以，()2428cos sin 2sin sin αααα---=，则224(cos sin )sin ααα-=23tan 8tan 40αα-+=解得：或．tan 2α=2tan 3α=23．已知函数．()21f x x x =-++(1)求不等式的解集；()2f x x >+(2)若关于x 的不等式恒成立，求a 的取值范围．()1f x a x x >-+【答案】(1){}13x x x 或(2)(),3-∞【分析】(1)首先分类讨论去绝对值，再求解不等式；（2）首先讨论时，的范围，当时，不等式化简为，利用含绝对值三0x =a 0x ≠2212a x x -++>角不等式求最值，即可求得的取值范围.a 【详解】（1）()21,1,3,12,21,2,x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩不等式等价于或或解得或．()2f x x >+1,212x x x <-⎧⎨-+>+⎩12,32x x -≤<⎧⎨>+⎩2,212,x x x ≥⎧⎨->+⎩1x <3x >故原不等式的解集为．{}13x x x 或（2）当时，不等式恒成立，即．0x =()1f x a x x >-+a R ∈当时，可化为，0x ≠()1f x a x x >-+2212a x x -++>因为，当且仅当时等号成立222212123x x x x -++≥-++=22120x x ⎛⎫⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以，即a 的取值范围为．3a <(),3-∞。