2016秋北师大九年级数学上《图形的相似》章末复习试卷含答案

北师大版九年级数学第四单元《图形的相似》单元练习题（含答案）一、单选题1．如图，在ABC ∆中，点D E F 、、分别在边AB AC BC 、、上， // ,//DE BC DF AC ，则下列结论一定正确的是( )A ．DE CEBF AE = B ．AE CECF BF = C ．AD ABCF AC= D ．DF ADAC AB= 2．如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且CF =3FD ．则图中相似三角形的对数是（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．)43．关于相似的下列说法正确的是（ ） A 、所有直角三角形相似 B 、所有等腰三角形相似C 、有一角是80°的等腰三角形相似D 、所有等腰直角三角形相似4．如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则11AM AN+的值为（ ）A．12B．1 C．23D．325．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（）A．（1，52）B．（43，83）C．（5，25）D．（3，23）6．如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m 外的景物的宽CD为（）A．1?2m B．3m C．32m D．43m7．如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（）A．BC=3DE B．C．△A DE～△ABC D．S△ADE=S△ABC8．下列各组线段中，能成比例的是（）A ．3cm 、6cm 、8cm 、9cmB ．3cm 、5cm 、6cm 、9cmC ．3cm 、6cm 、7cm 、9cmD ．3cm 、6cm 、9cm 、18cm9．若两个相似三角形的面积比为2：3，那么这两个三角形的周长的比为（ ） A ．4：9B ．2：3C ．3：2D ．2：310．ABC ∆和DEF ∆相似,且相似比为32,那么DEF ∆和ABC ∆的相似比为( ) A ．32B ．23C ．49D ．9411．如图，D 、E 分别是ABC 边AB 、BC 上的点，//DE AC ，若BDES ：1CDES=：3，则DEAC的值为()A ．3 B ．12C ．13D ．1412．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE∥BC，如果AD=2cm ，DB=1cm ，AE=1.8cm ，则EC=（ ）A ．0.9cmB ．1cmC ．3.6cmD ．0.2cm二、填空题13．顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形的相似比是_______． 14．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且∠ACB =45°，AE ⊥BD ，垂足为F ，交BC 于点E ．若AB =AE ，AO =2，则BE 的长为______．15．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 为ABC 内部一点，且135APB BPC ∠=∠=︒，则当2PC =时，PA =__________．16．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为 ．17．已知，则的值为 ．18．如图，E ，G ，F ，H 分别是矩形ABCD 四条边上的点，EF⊥GH，若AB ＝2，BC ＝3，则EF ︰GH ＝ ．19．如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是________．20．如图，矩形台球桌ABCD 的尺寸为2.7m 1.6m ，位于AB 中点处的台球E 沿直线向BC 边上的点F 运动，经BC 边反弹后恰好落入点D 处的袋子中，则BF 的长度为 m.三、解答题21．如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE相交于点F（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；（2）如图2，当点E运动到CE：ED＝2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；（3）当点E运动到CE：ED＝n：1时（n是正整数），猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，不要求写过程）．22．如图，图中小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点G为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上．（1）画出位似中心点G；（2）若点A、B在平面直角坐标系中的坐标分别为（﹣6，0），（-3，2），点P（m，n）是线段AC上任意一点，则点P在△A′B′C′上的对应点P′的坐标为．23．已知43a b =，求下列代数式的值：（1）a b b +；（2）232a b a b +-．24．在矩形ABCD 中，AE BD ⊥于点E ，点P 是边AD 上一点，已知PE EC ⊥，（1）求证：AEP DEC ∆∆（2）若3,5AB BC ==，求AP 的长．25．如图，△ABC 中，AB=AC ，且∠BAC=108°，点D 是AB 上一定点，请在BC 边上找一点E ，使以B ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．26．如图，四边形ABCD 内一点E 满足EB EC =，EA ED =，90BEC AED ∠=∠=︒，AC 交DE 于点F ，交BD 于点G ．（1）AGB ∠的度数为__________． （2）若四边形AECD 是平行四边形①求证：AC AB =；②若2AE =，求AF CG ⋅的值．27．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A′B′C′是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．画出位似中心点O ，并直接写出△ABC 与△A′B′C′的位似比．28．如图，在△中，，平分∠，∥．求证：．29．下表中给出了变量x ，与y=ax 2，y=ax 2+bx+c 之间的部分对应值，（表格中的符号“…”表示该项数据已丢失） x ﹣1 0 1 ax 2 … … 1 ax 2+bx+c72…（1）求抛物线y=ax2+bx+c的表达式（2）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，与y轴的交点为A，点M是抛物线对称轴上一点，直线AM交对称轴右侧的抛物线于点B，当△ADM与△BDM的面积比为2：3时，求B点坐标；（3）在（2）的条件下，设线段BD与x轴交于点C，试写出∠BAD和∠DCO的数量关系，并说明理由．参考答案1．B2．C3．D．4．B5．B6．D7．D8．D9．D10．B11．D12．A13．1：214．2215．416．11.8米．17．．18．3：2．19．310 520．0.9．21．（1）45ABFADEFSS=四边形；（2）911；（3）222131n nn n++++22．（2）P′的坐标为（2m,2n）23．（1）73；（2）116.24．（2）95 AP=25．两个26．（1）90︒；（2）②427．如图所示见解析；点O即为位似中心，△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1．29．(1) y=x2﹣4x+2；(2) 点B的坐标为（5，7）；（3）∠BAD和∠DCO互补。

一、选择题1.如图，△ABC中，D为边AB上一点，E是CD的中点，且∠ACD=∠ABE．已知AC=2，设AB=x，AD=y，则y与x满足的关系式为( )A．xy=4B．2xy−y2=4C．xy−y2=4D．x2+xy−2y2=42.如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，连接BD分别交AE，AF于点M，N，下列说法：① ∠EAF=45∘；②连接MG，NG，则△MGN为直角三角形；③ △AMN∽△AFE；√2．④若BE=2，FD=3，则MN的长为52其中正确结论的个数是( )A．4B．3C．2D．13.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F，若DF=6，则线段EF的长为( )A．2B．3C．4D．54.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC，设S△ADE=a，S△BDF=b，S DECF=c，S△ABC=s．有如下对于a，b，c，s的描述：① a+b+c=s；② ab=c2；③ √a+√b=√s；④ 12abc2=s2．上述结论中正确的是( )A．①②③B．①③C．②③④D．①④6.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF 于点G，连接DG．给出以下结论：① DG=DF；②四边形EFDG是菱形；③ EG2=1 2GF×AF；④当AG=6，EG=2√5时，BE的长为125√5，其中正确的结论个数是( )A．1B．2C．3D．47.如图，菱形ABCD的对角线AC=3cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形ENCM的面积之比为( )A．9:4B．12:5C．3:1D．5:28.如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C，D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距( )米．A．1B．2C．3D．59.如图，△ABC中，∠A=78∘，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A．B．C．D．10.如图，在剧场中，坐在小明（AB）前面一排的女士（CD）戴着高帽子（DE=0.2m），此时小明的眼睛B，帽顶E以及舞台上方横梁的某点H在同一条直线上；女士发现帽子挡住了小明的视线，于是摘掉帽子，此时小明的眼睛B，女士头顶D以及舞台下方地面上某点F在同一条直线上．已知舞台的高FG=1m，A，C，F在同一条直线上，F，G，H在同一条直线上，AC= 1m，CF=15m，则舞台横梁到舞台的距离GH为( )A．3.2m B．3m C．2m D．2.2m二、填空题11.网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB的高度）．中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方．在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为．12.在△ABC中，AB=4√2，∠B=45∘，∠C=60∘．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△AʹDE．连接AAʹ，当AʹE⊥AC时，则线段AAʹ的长为．13.如图，在矩形ABCD中，AB=2，CB=1，点E是DC上一点，∠DAE=∠BAC，则EC的长为．14.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为cm．15.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，连接BE，那么BE的长为．16.如图，点A1、A2、A3、⋯，点B1、B2、B3、⋯，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥⋯，如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，⋯．那么A2B2=，A n B n=．（n为正整数）17.如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为10cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE 边射出的光线刚好射到底座B点．若不考虑其它因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为cm．三、解答题18.阅读理解，并解决问题：小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得ab =cd成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若ab =cd，则a−bb=c−dd（分比性质）．已知① ac =bd；② ba=dc．问题解决：(1) 仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式；(2) 证明（1）中的分比性质等式成立．19.书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的A3，A4，A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．(1) 求满足这样条件的长方形的长与宽的比值；(2) 如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件，其中宽AB=2．①点P是AD上一点，将△BPA沿BP折叠得到△BPE，当BE垂直AC时，求AP的长；②若将长方形ABCD绕点B旋转得到长方形A1BC1D1，直线CC1交DD1于点M，N为BC的中点，直接写出MN的最大值：．20.如图，教学楼旁边有一棵大树，课外兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.9 m，同一时刻这棵树落在地上的影长为2.7 m，落在墙上的影长为1.2 m，请你计算树高为多少．21.如图，工地上竖立着两根电线杆AB，CD，它们相距15m，分别从两杆上高出地面4m，6m的A，C处向两侧地面上的E，D和B，F处用钢丝绳拉紧，以固定电线杆．钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为多少米？22.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在边AB上，DE⊥AB，点E在边BC，点F在边AC上，且∠DEF=∠B．(1) 求证△FCE∽△EBD；(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使S△FCE=4S△EBD，如果有可能，那么求出BD的长，如果不可能，请说明理由．23.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，BO=8，如图①，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动．(1) 用含t的代数式表示：CP=，QC=；(2) 在运动过程中，P，Q，C三点是否能构成等腰三角形？若能，请求出点P的坐标；(3) 如图②，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标．24.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．(1) 求证：△AED∽△ADC；(2) 若AB=13，BC=10，求线段DE的长．25.我们把四个顶点都在三角形的三边上的矩形叫做三角形的内接矩形，四个顶点都在三角形的三边上的正方形叫做三角形的内接正方形．(1) 如图①，矩形DEFG，点D在边AB上，点E，F在边BC上，画出一个与矩形DEFG相似的内接矩形（画图工具不限，保留画图痕迹）；(2) 若一个△ABC中恰有两个内接正方形，则这个三角形一定是．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能(3) 如图②，在△ABC中，BC=4，BC边上的高AD=3，AD与△ABC的内接矩形EPQF的EF边相交于点G，以EF为斜边向下作Rt△HEF，使HE=HF，求△EFH与四边形EPQF重合部分的面积的最大值；(4) 若在一个面积为16的三角形内画出一个面积最大的内接正方形，则这个正方形的边长为，若又要使得三角形周长最小，则三角形三边长为．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】过C作CF∥EB交AB的延长线于F，由于E为CD中点，故BF=BD，∠F=∠ABE，而∠ACD=∠ABE，∴∠ACD=∠F，∴在△AFC和△ACD中，∠ACD=∠F，∠A=∠A，∴△AFC∽△ACD，∴ACAD =AFAC，∴AC2=AD⋅AF，又∵BE∥CF，DE=CE，∴DB=BF=x−y，∴22=y(2x−y)，∴2xy−y2=4．【知识点】两角分别相等2. 【答案】A【解析】①在Rt△ABE和Rt△AGE中，{AB=AG, AE=AE,∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)．∴∠BAE=∠GAE，BE=EG，同理，∠GAF=∠DAF，GF=DF，∴∠EAF=12∠BAD=45∘，故①正确；②连将△ADN绕点A顺时针旋转90∘至△ABH位置，得到图②，连接HM，由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90∘，∵∠EAF=45∘，∴∠BAM+∠DAN=45∘，∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45∘，∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，∴△AHM≌△ANM(SAS)，∴MN=MH∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠ABD=45∘由旋转知：∠ABH=∠ADB=45∘，HB=ND，∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90∘，∴MH2=HB2+BM2，∴MN2=ND2+BM2∵Rt△ABE≌Rt△AGE，∴∠BAM=∠GAM．在△ABM和△AGM中，{AB=AG,∠BAM=∠GAM, AM=AM,∴△ABM≌Rt△AGM(SAS)．∴MG=MB，同理NG=ND，∴MN2=NG2+MG2∴△MGN为直角三角形，故②正确；③ ∵∠AEB+∠BME+∠DBC=180∘，∠AEF+∠AFE+∠EAF=180∘∵∠DBC=∠EAF=45∘，∠AEB=∠AEF，∴∠AFE=∠BME，∴∠AFE=∠AMN，∵∠EAF=∠NAM，∴△AMN∽△AFE，故③正确；④ ∵BE=EG，GF=FD，BE=2，FD=3，∴EF=EG+FG=5，设正方形的边长为a，则EC=a−2，FC=a−3，∵EF2=EC2+FC2，∴52=(a−2)2+(a−3)2，解得a=6，∴AB=AD=6，∴BD=6√2，作AH⊥BD于H，则AH=3√2，∵△AMN∼△AFE，∴MNEF =AHAG，∵AG=AB=6，∴MN5=3√26，∴MN=52√2，故④正确．综上正确结论的个数是4个．【知识点】正方形的性质、两角分别相等3. 【答案】B【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴AFBE =ADAE=DFAB，∵DF=6，∴AF=√102−62=8，∴8BE =10AE=63，∴AE=5，∴EF=AF−AE=8−5=3．【知识点】两角分别相等4. 【答案】C【解析】【分析】根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．【解析】解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定以及性质．【知识点】相似三角形的性质5. 【答案】B【解析】作AP⊥DE于点P，DH⊥BF于点H．设AD:DE=1:k，AP=y，FC=x，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴BD:AD=BF:FC，BF=kx，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∵AP⊥DE，DH⊥BF，∴△APD∽△DHB，∴DH=ky，S△ADE=a=12xy，S△BDF=b=12ky⋅kx=12k2xy，S四边形DECF=c=kx−y，S△ABC=s=12(kx+x)(ky+y)=12xy(k+1)2，故①正确；② ab=12xy⋅12k2xy=14k2x2y2，c2=k2x2y2≠ab，故②错误；③ √a+√b=√12xy+√12k2xy=√12xy(k+1)，√s=√12xy(k+1)2=√12xy(k+1)=√a+√b，故③正确；④ 12abc2=12⋅12xy⋅12k2xy−k2x2y2=18k4x4y4，s2=14x2y2(k+1)2≠12abc2，故④错误．【知识点】基本定理、两角分别相等6. 【答案】D【知识点】两角分别相等、菱形的判定7. 【答案】D【知识点】菱形的性质、两角分别相等8. 【答案】A【解析】设两个同学相距x米，∵△ADE∽△ACB，∴DEBC =ADAC，∴1.51.8=6−x6，解得：x=1．【知识点】相似三角形的应用9. 【答案】C【知识点】两角分别相等、两边成比例且夹角相等10. 【答案】D【解析】由题意知，AB，CE，FH都垂直于地面AF，∴DE∥FH，∴△BDE∽△BFH，∴DEFH =BDBF．∵AB∥CD，∴ACAF =BDBF，∴DEFH =ACAF．∵AC=1m，CF=15m，DE=0.2m，FG=1m，∴0.2FH =11+15，∴FH=3.2(m)，∴GH=FH−FG=3.2−1=2.2(m)．【知识点】相似三角形的应用二、填空题11. 【答案】1.95米【解析】如图，由题知：AB∥DE，∴ABDE =CBCD，解得：DE=1.95米．【知识点】相似三角形的应用12. 【答案】2√6【知识点】两角分别相等13. 【答案】1.5【知识点】两角分别相等14. 【答案】16【解析】∵△ABO∽△CDO∴ABCD =4520又∵AB=36∴CD=16．【知识点】相似三角形的应用15. 【答案】1【知识点】两角分别相等16. 【答案】6；n(n+1)【解析】设OA1=1，∴A1A2=2×1=2，A2A3=3×1=3，A3A4=4×1=4，⋯，A n−2A n−1=n−1，A n−1A n=n．∵A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥⋯，∴OA1OA2=A1B1A2B2，∴11+2=2×1A2B2，∴A2B2=6=2×(2+1)，A3B3=12=3×(3+1)，A4B4=20=4×(4+1)，⋯，∴A n B n=n(n+1)．【知识点】平行线分线段成比例定理17. 【答案】100【解析】∵AB⊥BD，AC⊥AB，∴AC∥BD．∴∠ACB=∠DBC．∵∠A=∠BCD=90∘，∴△ABC∽△CDB．∴ACBC =BCBD，∴BC2=AC⋅BD，在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=102+302=1000，∴10BD=1000．∴BD=100(cm)．【知识点】相似三角形的应用三、解答题18. 【答案】(1) ①若ac =bd，则a−cc=b−dd．②若ba =dc，则b−aa=d−cc．(2) ①若ac =bd，则a−cc=b−dd．理由：设ac =bd=k，则a=kc，b=kd，∴a−cc =kc−cc=k−1，b−dd=kd−dd=k−1，∴a−cc =b−dd．同理可证结论②成立．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算19. 【答案】(1) 设长方形的长与宽分别为a，b．由题意：ab =b a2，∴a2=2b2，∴ab=√2．(2) ①如图1中，延长PE，BC交于点G，∵∠PEB=90∘，∴PE⊥BE，∵BE⊥AC，BE⊥PE，∴PG∥AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，AD=BC=2√2，AD∥BG，∠ABC=90∘，∴四边形APGC是平行四边形，∴PG=AC=√AB2+BC2=√22+(2√2)2=2√3，∵AD∥BC，∴∠APB=∠GBP，∵∠APB=∠GPB，∴∠GBP=∠GPB，∴GP=GB=2√3，∴AP=CG=BG=BC=2√3−2√2．② √3+1．【解析】(2) ②如图2中，连接BM，取BD的中点O，连接OM，ON，延长CC1到K，使得C1K=CC1在MK的延长线上取一点J，使得D1J=D1K，连接BD1．∵BC=BC1，∴∠BCC1=∠BC1C，∵∠BC1D1=∠BCD=90∘，∴∠D1C1K+∠BC1C=90∘，∠BCC1+∠DCC1=90∘，∴∠D1C2K=∠DCC1，∵CD=C1D1，CC1=C1K，∴△DCC1≌△D1C1K(SAS)，∴DC1=KD1=JD1，∠CC1D=∠C1KD1，∵∠JKD1+∠C1KD1=180∘，∠CC1D+∠DC1M=180∘，∴∠DC1M=∠D1KJ，∵D1J=D1K，∴∠J=∠D1KJ，∴∠J=∠DC1M，∵∠D1MJ=∠DMC1，∴△D1MJ≌△DMC1(AAS)，∴D1M=DMʹ，∵BD=BD1，∴BM⊥DD1，取BD的中点O，连接OM，ON，∵∠BMD=90∘，BD=√3，∴OM=12∵BO=OD，BN=CN，CD=1，∴ON=12∵MN≤OM+ON，∴MN≤√3+1．∴MN的最大值为√3+1．【知识点】矩形的判定、勾股定理、旋转及其性质、平行四边形的概念、角角边、边角边、比例的性质与比例线段的概念及运算20. 【答案】根据题意画出示意图（如图），延长AD，BE相交于点C．由题意，得△PQR∽△DEC，∴PQDE =QREC，即11.2=0.9CE，∴CE=1.08(m)，∴BC=BE+CE=2.7+1.08=3.78(m)，又∵△PQR∽△ABC，∴PQAB =QRBC，即1AB=0.93.78，∴AB=4.2(m)，即树高为4.2 m．【知识点】相似三角形的应用21. 【答案】过点P作PQ⊥BD于点Q，易得△PQD∽△ABD，△PBQ∽△CBD，可以得到PQAB =DQBD，PQCD=BQBD，则PQAB +PQCD=1，求得PQ=2.4（m）．【知识点】相似三角形的应用22. 【答案】(1) ∵AB=AC=5，DE⊥AB，∴∠B=∠C，∠BDE=90∘，∵∠B=∠DEF，∴∠B+∠BDE=∠DEF+∠FEC，∴∠BDE=∠FEC=90∘，∵在△FCE和△EBD中，∠B=∠C，∠BDE=∠FEC，∴△FCE∽△EBD．(2) 作AG⊥BC，∵AB=AC=5，BC=6，AG⊥BC，∴BG=3，∵S△FCE=4S△EBD，∴S△EBDS△FCE =14，∵△FCE∽△EBD，∴BDCE =12，∵在△BDE和△BGA中，∠B=∠B，∠BDE=∠BGA，∴△BDE∽△BGA，∴BDBG =BEBA，设BD=x，CE=2x，x 3=6−2x5，x=1811，∴BD=1811，CE=2×BD=2×1811=3611，∵△ECF∽△GCA，∴CF3611=53，CF=6011>5，∴不可能在线段AB上存在D点，使S△FCE=4S△EBD．【知识点】面积比等于相似比的平方、两角分别相等23. 【答案】(1) 2t；10−4t(2) 设运动的时间为t秒，当CQ=CP时，2t=10−4t，解得，t=53，此时CP=2×53=103，∴AP=8−103=143，P点坐标为(143,6)；当PC=PQ时，如图①，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10−4t，CP=2t．∵△CEQ ∽△CAO ，∴EQ =35CQ =35(10−4t )=6−125t ，PE =45(10−4t )−2t =8−165t −2t =8−265t ，由勾股定理得，(6−125t)2+(8−265t)2=(2t )2，整理得：36t 2−140t +125=0，解得，t 1=2518，t 2=52（舍去）， 此时，AP =8×2518×2=479，∴P 点坐标为 (479,6)；当 QC =PQ 时，如图②，过点 Q 作 AC 的垂线交 AC 于点 F ， CQ =10−4t ，CP =2t ， ∵△CFQ ∽△CAO ， ∴QF =35(10−4t )=6−125t ，PF =2t −45(10−4t )=265t −8，则 (6−125t)2+(265t −8)2=(10−4t )2，整理得，21t 2−40t =0，解得，t 1=4021，t 2=0（舍去）， 此时，AP =8−4021×2=8821，则 P 点坐标为 (8821,6)．综上所述，P 点坐标为 (143,6)，(479,6)，(8821,6)． (3) 如图③，连接 EG ， 由题意得：△AOE ≌△AFE ， ∴∠EFG =∠OBC =90∘， ∵E 是 OB 的中点， ∴EG =EG ，EF =EB =4， 在 Rt △EFG 和 Rt △EBG 中， {EF =EB,EG =EG,∴Rt △EFG ≌Rt △EBG (HL )，∴∠FEG =∠BEG ，∠AOB =∠AEG =90∘， ∴△AOE ∽△AEG ，∴AE 2=AO ⋅AG ，即 36+16=6×AG ，解得，AG =263，由勾股定理得，CG =√AG 2−AC 2=103，∴BG=6−103=83，G的坐标为(8,83)．【解析】(1) 由Rt△AOC中，根据勾股定理得，OC=10，由运动知CP=2t，OQ=4t，∴QC=10−4t．【知识点】两角分别相等、勾股定理、平面直角坐标系及点的坐标、斜边、直角边24. 【答案】(1) ∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠AED=∠ADC=90∘，∴△AED∽△ADC．(2) ∵AD为BC边上的中线，∴BD=DC=12BC=5，∵在Rt△ADB中，∴AD=√AB2−DB2=12，由（1）得△AED∽△ADC，∴DEDC =ADAC，∴DE5=1213，∴DE=6013．【知识点】两角分别相等、等腰三角形的性质、勾股定理、对应边成比例25. 【答案】(1) 如图①中，矩形EʹFʹGʹDʹ即为所求．(2) B(3) ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC =AGAD，∴x4=AG3，∴AG=34x，①如图②中，当点G在矩形EPQF的内部或边上时，过点H作HT⊥EF于T．∵△EFH是等腰直角三角形，∴HT=12x，∴y=12⋅EF⋅HT=14x2，∵HT≤DG，∴12x≤3−34x，∴0<x≤125，由增减性可知，当x=125时，y最大值=14×(125)2=3625．②如图③中，当点H在矩形外部时，125<x<4．过点H作HT⊥EF于T，交MN于K．∵EF∥BC，∴∠KTG=∠TKD=∠GDK=90∘，∴四边形TKGD是矩形，∴TK=DG=3−34x，∵EF∥BC，∴△HMN∽△HEF，∴HMHE =HNHF，∵△HMN是等腰直角三角形，∴S△HMN=12⋅MN⋅HK=(54x−3)2，∴y=14x2−(2516x2−152x+9)=−2116x2+152x−9=−2116(x−207)2+127，∵−2116<0，∴当x=207时，y最大值=127．综上所述，x=207时，y最大值=127．(4) 2√2；4√2，2√10，2√10【解析】(2) 由题意，锐角三角形有三个内接正方形，直角三角形有两个内接正方形，钝角三角形有一个内接正方形，故选B．(4) 如图④中，正方形EFGH是△ABC的内接正方形，AD是△ABC的高，AD交EH于K，设BC=a，AD=ℎ，正方形的边长为x．由题意：12⋅BC⋅AD=16，∴aℎ=32，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴EHBC =AKAD，∴xa =ℎ−xℎ，整理得x=32a+ℎ，∵a+ℎ≥2√aℎ，∴a+ℎ≥8√2，∴当a=ℎ=4√2时，a+ℎ的最小值为8√2，可得x的最大值=8√2=2√2，∴BC=AD=4√2，设BD=m，则AB+AC=√m2+(4√2)2+√(4√2−m)2+(4√2)2，要使得△ABC的周长最小，只要AB+AC最小即可，欲求AB+AC=√m2+(4√2)2+√(4√2−m)2+(4√2)2的最小值，相当于在x轴上找一点M(m,0)，使得M(m,0)到P(0,4√2)，Q(4√2,4√2)的距离和最小，如图⑤中，作点Q关于x轴的对称点T，连接QT交x轴于M，连接MP，此时MP+MQ的值最小，∴T(0,−4√2)，Q(4√2,4√2)，∴M(2√2,0)，∴m=2√2时，AB+BC的值最小，此时BD=CD=2√2，AB=AC=√BD2+AD2=√(2√2)2+(4√2)2=2√10，∴满足条件的△ABC的边长为4√2，2√10，2√10．【知识点】勾股定理、相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、等腰直角三角形的性质、相似图形的定义、轴对称之最短路径。

一、选择题1.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm2.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则DEEF的值是( )A．12B．2C．35D．253.下列两个三角形不一定相似的是( )A．两条直角边比都是2:3的两个直角三角形B．腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形C．有一个内角为50∘的两个直角三角形D．有一个内角为50∘的两个等腰三角形4.下列各组图形中一定是相似形的是( )A．两个直角三角形B．两个等边三角形C．两个菱形D．两个矩形5.如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E和B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，DF=( )A．7B．7.5C．8D．4.56.下列各组线段的长度成比例的是( )A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，4cm，5cmC．0.3cm，0.6cm，0.5cm，0.9cmD．30cm，20cm，90cm，60cm7.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC<BC)，若AB=4，则AC的长为( )A．(6−2√5)B．(2√5−2)C．(√5−1)D．(3−√5)8.如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形（顶点为网格线的交点），要使△ABC∽△PBD，则点P的位置应落在( )A．点P1上B．点P2上C．点P3上D．点P4上9.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，BE，CD相交于点O，若△DOE的面积与△COB的面积的比为4:25，则AD:AB等于( )A．2:3B．3:2C．2:5D．4:2510.在同一时刻，身高1.6m的小强，在太阳光线下影长是1.2m，旗杆的影长是6m，则旗杆高为( )A．4.5m B．6m C．8m D．9m二、填空题11.△ABC与△AʹBʹCʹ全等记作△ABC△AʹBʹCʹ，△ABC与△AʹBʹCʹ相似记作△ABC△AʹBʹCʹ．12.已知：ab =32，那么3a+2b3a−2b=．13.若a3=b5，则a+bb=．14.据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图所示，木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO为m．15.若yx =23，则x+yx=．16.在△ABC中，AB=6厘米，BC=4厘米，CA=9厘米，△ABC∽△DEF，若△DEF的最短边为8厘米，则它的最长边长度为厘米．17.如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3．点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点Bʹ处，过点Bʹ作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点Bʹ为线段MN的三等分点时，BE的长为．三、解答题18.如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E是AC的中点，过E作MN交AD于M，交BC于N．(1) 求证：AM=CN；(2) 若∠CEN=90∘，EN:AB=2:3，EC=3，求BC的长．19.如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长为3米，落在地面上的影子DH的长为5米．根据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．(1) 该小组的同学在这里利用的是投影的有关知识进行计算的；(2) 试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．20.阳光下，小亮测量“望月阁”的高AB．如图所示，由于观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此他首先在直线BM上点C处固定平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米．然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．21.如图，在正方形网格上画有梯形ABCD，连接BD．(1) 求证：△ABD∽△DCB；(2) 求∠BDC的度数．22.已知x3=y4=z6≠0，求x+y−zx−y+z的值．23.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上的一点，∠EDF=∠B．求证：(1) △BED∽△CDF；(2) BD⋅CD=BE⋅CF．24.如图，在△ABC中，如果D，E分别是边AB，AC的反向延长线上的点，且DE∥BC，若AE=x，AC=x+2，AD=x+1，AB=x+4，求：x的值．25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D在边BC上，且AB⋅AC=BC⋅AD，且∠B=35∘，求∠ADC的度数．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】由折叠的性质可知，△ACD≌△AED，所以AE=AC=6cm，因为AB=√AC2+BC2=10cm，所以BE=AB−AE=4cm，因为∠B=∠B，∠C=∠DEB，所以△BDE∽△BAC，所以DEBE =ACBC，DE=3cm，即CD=3cm．【知识点】勾股定理、两角分别相等、折叠问题2. 【答案】C【解析】∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3．∵直线l1∥l2∥l3，∴DEEF =ABBC=35．【知识点】平行线分线段成比例定理3. 【答案】D【解析】A．两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；B．腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；C．有一个内角为50∘的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；D．有一个内角为50∘的两个等腰三角形，内角是50∘的等腰三角形需要注意的是，这个角是顶角还是底角，情况不一样不一定相似．【知识点】两角分别相等4. 【答案】B【解析】∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形．【知识点】相似图形的定义5. 【答案】D【解析】根据平行线的性质得：ACCE =BDDF，所以DF=BD×CEAC =3×64=4.5．【知识点】平行线分线段成比例定理6. 【答案】D【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算7. 【答案】A【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC<BC，∴BC=√5−12AB=2(√5−1)cm，则AC=4−2(√5−1)=6−2√5．【知识点】黄金分割8. 【答案】B【解析】由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD，则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC，又BA=2，AC=2√2，∴BA:AC=1:√2，∴BP:PD=1:√2或BP:PD=√2:1，只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2．【知识点】两边成比例且夹角相等9. 【答案】C【知识点】相似三角形的性质10. 【答案】C【解析】设旗杆高为x m，则 1.21.6=6x，得x=8．【知识点】相似三角形的应用二、填空题11. 【答案】≌；∽【知识点】相似图形的定义12. 【答案】135【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算13. 【答案】85【解析】设a3=b5=x，则a=3x，b=5x，∴a+bb =3x+5x5x=85．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算14. 【答案】134【解析】据相同时刻的物高与影长成比例，设金字塔的高度BO为x m，则可列比例为：3201=2x，解得：x=134米．【知识点】相似三角形的应用15. 【答案】53【解析】∵yx =23，∴设x=3k，y=2k(k≠0)，∴x+yx =3k+2k3k=53．故答案为：53．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算16. 【答案】18【知识点】相似图形的性质17. 【答案】3√22或3√55【解析】由折叠可知，ABʹ=AB=3，BE=BʹE，∠ABʹE=∠ABE=90∘．∴∠ABʹM+∠EBʹN=90∘，∵∠ABʹM+∠BʹAM=90∘，∴∠BʹAM=∠EBʹN，∵AD∥BC，MN⊥AD，∴∠AMBʹ=∠BʹNE=90∘．∴ △ABʹM ∽△BʹEN ． ∴ BʹEABʹ=BʹN AM．∵ 点 Bʹ 为线段 MN 的三等分点， ∴ 分两种情况．（一）当 BʹNBʹM =21 时， ∵ 四边形 ABNM 为矩形， ∴ MN =AB =3， ∴ BʹM =1，BʹN =2． 在 Rt △ABʹM 中， AM =√32−12=2√2． ∴BʹE 3=2√2． ∴ BʹE =3√22．∴ BE =3√22； （二）当 BʹNBʹM =12 时， ∴ BʹM =2，BʹN =1．在 Rt △ABʹM 中，AM =√32−22=√5． ∴BʹE 3=√5． ∴ BʹE =3√55．∴ BE =3√55． ∴ BE 的长为 3√22或3√55． 【知识点】矩形的性质、图形成轴对称、两角分别相等三、解答题 18. 【答案】(1) ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B =90∘，∴∠MAE =∠NCE ，∠AME =∠CNE ， ∵E 是 AC 的中点， ∴AE =CE ，在 △AME 和 △CNE 中，{∠MAE =∠NCE,∠AME =∠CNE,AE =CE,∴AM=CN．(2) ∵∠CEN=∠B=90∘，∠ECN=∠BCA，∴△CEN∽△CBA，∴CECB =ENAB=23，即3BC =23，解得：BC=4.5．【知识点】两角分别相等、角角边、矩形的性质19. 【答案】(1) 平行(2) 如图，连接CG，AE，过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N，则MB=EF=2米，ND=GH=3米，ME=BF=10米，NG=DH=5米，所以AM=10−2=8米．由平行投影可知AMME =CNNG，即810=CD−35，解得CD=7米，即电线杆的高度为7米．【知识点】相似三角形的应用、平行投影的相关概念20. 【答案】∵AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，∴∠ABC=∠EDC=∠GFH=90∘，由题意得：AF∥GH，∠ACB=∠ECD，∴∠AFB=∠GHF，故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，则ABED =BCDC，ABGF=BFFH，即AB1.5=BC2，AB1.65=BC+182.5，解得：AB=99m，答：“望月阁”的高AB的长度为99m．【知识点】相似三角形的应用21. 【答案】(1) 设小正方形的边长为1，由勾股定理，得AD=1，AB=√2，BD=√5，DC=√10，BC=5．∴ADBD =BDCD=BDBC=√55．∴△ABD∽△DCB．(2) ∵△ABD∽△DCB．∵∠ABD+∠DBC=45∘，∴∠DCB+∠DBC=45∘，∴∠BDC=135∘．【知识点】三边成比例、对应角相等22. 【答案】设x3=y4=z6=k，则x=3k，y=4k，z=6k，∴x+y−zx−y+z =3k+4k−6k3k−4k+6k=15．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算23. 【答案】(1) 提示：证两组角相等．(2) 提示：证两组角相等．【知识点】相似三角形的性质、两角分别相等24. 【答案】2．【知识点】平行线分线段成比例定理25. 【答案】55∘【知识点】两边成比例且夹角相等。

北师大版九年级数学第四单元《图形的相似》单元练习题（含答案）一、单选题1．两个相似三角形的对应边分别是15cm 和25cm ，它们的周长相差40cm ，则这两个三角形的周长分别是（ ）A ．75cm ，115cmB ．60cm ，100cmC ．85cm ，125cmD ．45cm ，85cm2．如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE BC ∥，:1:2AD BD =，那么:DBE CBE S S ∆∆等于（ ）.A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:63．如图，▱ABCD 中，E 为AD 的中点．已知△DEF 的面积为S ，则△DCF 的面积为( )A ．SB ．2SC ．3SD ．4S4．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝2，点M 为边AD 的中点，连接BD 交CM 于点N ，则BN 的长是（ ）A ．1B ．C ．D ．5．三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成的影子如图所示，OA ＝20cm ，OA′＝50cm ，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）A ．5：2B ．2：5C ．4：25D ．25：46．若两个相似三角形的面积比为3∶5，则它们的对应角的角平分线的比为（ ）A ．3∶5B ．3∶5C ．1∶5D ．9∶257．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积比为（ ）A ．1：2B ．1：4C ．2：1D ．4：18．如图，PAQ MBN 30∠∠==，MBN ∠的顶点B 在射线AP 上，射线BM 和射线BN 分别交射线AQ 于点C 、D ，当MBN ∠绕点B 转动时．若AB 23=，则CA CD ⋅的最小值是（ ）A ．3B ．3C ．4D ．12 9．如图，中，，，，点为上的一个动点，过点画于点，于点，当点由向移动时，四边形周长的变化情况是( )A ．逐渐变小B ．逐渐变大C ．先变大后变小D ．不变10．如图，正△ABC 的边长为4，点P 为BC 边上的任意一点（不与点B 、C 重合），且∠APD=60°，PD 交AB 于点D ．设BP=x ，BD=y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D11．在△ABC 中，DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，且AD ∶DB=1∶2，则下列结论正确的是( )A ．BC DE =21 B ．BC DE =31 C ．的周长的周长ABC ADE ∆∆=21 D ．ABC ADE S S ∆∆=31 12．要制作两个形状相同的三角形框架，已知其中一个三角形的三边长分别为3cm ，4cm ，6cm ，另一个三角形的最短边长为4cm ，则它的最长边长为（ ）A ．9cm 2B ．8cmC ．16cm 3D ．12cm二、填空题13．在平面直角坐标系中，已知()6,4A 、()3,0B 两点，以坐标原点O 为位似中心，相似比为13，把线段AB 缩小后得到线段 ''A B ，则''A B 的长度等于________．14．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，▱ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，将△AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，点B 恰好为OE 的中点，DE 与BC 交于点F ．若y =k x（k ≠0）图象经过点C ，且S △BEF ＝1，则k 的值为________．15．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AC、BC、AB上的点，且DE∥AB，DF∥BC，AF：FB=1：4，BC长为20cm，则BE的长为_____．A B C D，它们的面积比为9:4，它们的对应对角线的比为16．四边形ABCD∽四边形1111________，若它们的周长之差为16cm，则四边形ABCD的周长为________．17．已知三角形甲各边的比为3: 4: 6，和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为________cm.18．如图，正方形OABC的边长为3，点P与点Q分别在射线OA与射线OC上，且满足BP＝BQ，若AP＝2，则四边形OPBQ面积的值可能为___________．19．（2015秋•沈阳校级月考）把长为4m的铁丝按黄金分割比例切割后，较短的一段长度是．20．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，则DE∶BC的值是．三、解答题21．（2016•桂林三模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦ED⊥AB于点F，点C是劣弧AD上的动点（不与点A、D重合），连接BC交ED于点G．过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．（1）求证：PC=PG；（2）当点G是BC的中点时，求证：；（3）已知⊙O的半径为5，在满足（2）的条件时，点O到BC的距离为，求此时△CGP的面积．22．如图（a），在平面直角坐标系中，点A坐标为（12，0），点B坐标为（6，8），点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周．（1）点C的坐标是，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是；（2）设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S，并指出t为何值时，S最大；（3）如图（b），另有一点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，若点E与点D 同时出发，问在运动5秒钟内，以点D、A、E为顶点的三角形何时与△OCD相似？（只考虑以点A、O为对应顶点的情况）23．已知：如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），点B（4，0），与y轴的交点为C（1）求二次函数的关系式；（2）已知点M是线段OB上一动点，过点M作平行于y轴的直线l，直线l与抛物线交于点E，与直线BC交于点F，连接CE，若△CEF与△OBC相似，求点M的坐标；（3）已知点M是x轴正半轴上一动点，过点M作平行于y轴的直线l，直线l与抛物线交于P，与直线BC交于点Q，连接CP，将△CPQ沿CP翻折后，是否存在这样的直线l，使得翻折后的点Q刚好落在y轴上？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．在⊙I中，弦AF与DE相交于点Q，则AQ•QF=DQ•QE．你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边BC在x轴上，高AO在y轴的正半轴上，点Q （0，1）是等边△ABC的重心，过点Q的直线分别交边AB、AC于点D、E，直线DE绕点Q 转动，设∠OQD=α（60°＜α＜120°），△ADE的外接圆⊙I交y轴正半轴于点F，连接EF．（1）填空：AB= 2 ；（2）在直线DE绕点Q转动的过程中，猜想：与的值是否相等？试说明理由．（3）①求证：AQ2=AD•AE﹣DQ•QE；②记AD=a，AE=b，DQ=m，QE=m（a、b、m、n均为正数），请直接写出mn的取值范围．25．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AD=3，∠BAE=30°，求BF 的长．（计算结果保留根号）26．如图，等边ABC 中，6AB =，点D 在BC 上，4BD =，点E 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA 方向向点A 运动，CDE △关于DE 的轴对称图形为FDE ．（1）当t 为何值时，点F 在线段AC 上；（2）当04t <<时，求AEF ∠与BDF ∠的数量关系；（3）当点B 、E 、F 三点共线时，求证：点F 为线段BE 的中点．27．如图，已知：D ，E 分别是△ABC 的AB ，AC 边上的点，且△ABC ∽△ADE ，AD ∶DB ＝1∶3，DE ＝2，求BC 的长．28．如图，△ABC 与△ADE 中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；（1）证明：△ABC∽△ADE．（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为： ．29．已知如图所示的两个梯形相似，求出未知的x，y，z的长和∠α，∠β的度数．参考答案1．B2．B3．B4．B5．B6．A7．B8．A9．B10．C11．B12．B13．5 314．2415．4cm16．3:248cm17．518．3，9，1519．6﹣2．20．．21． (3)10.22．（1）C（3，4），D（9，4）；（2），t=6时，S最大，且S max=24；（3）t=或．23．（1）y=34x 2﹣94x ﹣3；（2）点M 的坐标为（119，0）或（3，0）；（3）点M 的坐标为（83，0）或（519，0）． 24．（1）3；②34≤mn ≤2．25．（2）．26．（1）1秒；（2）当0＜t ≤1时，∠BDF ﹣∠AEF ＝120°；当1＜t ＜4时，∠BDF +∠AEF ＝120°；27．BC ＝8.29．x=3，y=3，z=6，∠α=70°，∠β=120°。

一、选择题1.如图，DE∥BC，若S ADE:S ABC=4:25，AD=4，则BD的值为( )A．5B．6C．7D．82.如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，连接BD分别交AE，AF于点M，N，下列说法：① ∠EAF=45∘；②连接MG，NG，则△MGN为直角三角形；③ △AMN∽△AFE；√2．④若BE=2，FD=3，则MN的长为52其中正确结论的个数是( )A．4B．3C．2D．13.如图所示的两个三角形相似，则α与β的度数分别为( )A．α=30∘，β=30∘B．α=105∘，β=30∘C．α=30∘，β=105∘D．α=105∘，β=45∘4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CB=7，AC=9，以C为圆心、3为半径作⊙C，PAP+BP的最小值为( )为⊙C上一动点，连接AP，BP，则13A．7B．5√2C．4+√10D．2√135.如图，在△ABC中，AC和AB上的高BD，CE交于点O，下列结论错误的是( )A．CO⋅CE=CD⋅CA B．OE⋅OC=OD⋅OBC．AD⋅AC=AE⋅AB D．CO⋅DO=BO⋅EO6.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1:√2，点A的坐标为(1,0)，则E点的坐标为A．(√2,0)B．(32,32)C．(√2,√2)D．(2,2)7.如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C；直线DF分别交a，b，c于点D，E，F，若ABBC =23,,则DEDF=( )A．23B．25C．35D．328.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿岀随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示，已知小丽同学的身高是 1.54m，眼睛位置A 距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于( )A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m9.下列四条线段中，不能成比例的是( )A．a=4，b=8，c=5，d=10B．a=2，b=2√5，c=√5，d=5C．a=1，b=2，c=3，d=4D．a=1，b=2，c=2，d=410.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点E是AB中点，将△CAE沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，则线段AD的长等于( )A．4B．165C．245D．5二、填空题11.相似多边形的对应边，对应角．12.如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形的面积之和为．13.如图，△ABC是一块正三角形余料，边长为120mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在边BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是mm．14.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD=2，BD=3，则AC的长为．AB，延长CD到F，使DF=DC，15.如图，在平行四边形ABCD中，延长AB到E，使BE=12连接EF交BC于G，交AD于H，则△BEG与△CFG的面积之比是．16.如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12．在Rt△ABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放，则最多能叠放个．17.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4√5，D为边AB上一动点（不与点B重合），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为．三、解答题18.某矩形场地长20m，宽16m．(1) 如图①，在场地中央建有一矩形草坪，沿草坪四周外围有x m宽的小路，小路内外边缘所成的矩形相似吗？(2) 如果矩形场地中矩形草坪的变化如图②所示，它们相似吗？(3) 如果变化如图③所示，它们能相似吗？若能相似，求x，y满足的关系；(4) 如果变化如图④所示，矩形ABCD与矩形ADEF能否相似？若能相似，求x的值（其中a>b）．19.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90∘，E为AB的中点．(1) 求证：AC2=AB⋅AD．(2) 求证：CE∥AD．的值．(3) 若AD=4，AB=6，求ACAF20.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．(1) 求证：四边形EFDG是菱形；GF⋅AF；(2) 求证：EG2=12(3) 若AG=6，EG=2√5，求BE的长．21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，sinB=4，AC=4；D是BC的延长线上一个动点，5∠EDA=∠B，AE∥BC．(1) 找出图中的相似三角形，并加以证明；(2) 设CD=x，AE=y, 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3) 当△ADE为等腰三角形时，求AE的长．22.如图在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为(3,4)，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与菱形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．(1) 求点B的坐标；AC时，求t的值；(2) 当MN=12(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数表达式，并确定S的最大值．23.如图，铁道口的栏杆AB的短臂OA=1.25m，长臂OB=16.5m，当短臂端点A下降0.85m时，长臂端点B升高多少？下面是小明的解题过程：“如图，连接AAʹ，BBʹ，∵AO=AʹO，BO=BʹO，∴AOBO =AʹOBʹO．又∠1=∠2，∴△AAʹO∽△BBʹO，有AOBO =AAʹBBʹ，∵AO=1.25，BO=16.5，AAʹ=0.85，∴1.2516.5=0.85BBʹ，解得BBʹ=11.22，即长臂端点B升高了11.22m．”你认为小明的解题过程正确吗？如果不正确，请写出你的答案．24.如图，在矩形ABCD中，已知AD>AB．在边AD上取点E，连接CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．(1) 求证：△AEF∽△DCE．(2) 若AB=3，AE=4，DE=6，求线段BF的长．25.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于O．(1) 求证：△COM∽△CBA；(2) 求线段OM的长度．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(ADAB)2=425，∴ADAB =25，∵AD=4，∴AB=10，∴BD=AB−AD=10−4=6．【知识点】相似三角形的性质2. 【答案】A【解析】①在Rt△ABE和Rt△AGE中，{AB=AG, AE=AE,∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)．∴∠BAE=∠GAE，BE=EG，同理，∠GAF=∠DAF，GF=DF，∴∠EAF=12∠BAD=45∘，故①正确；②连将△ADN绕点A顺时针旋转90∘至△ABH位置，得到图②，连接HM，由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90∘，∵∠EAF=45∘，∴∠BAM+∠DAN=45∘，∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45∘，∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，∴△AHM≌△ANM(SAS)，∴MN=MH∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠ABD=45∘由旋转知：∠ABH=∠ADB=45∘，HB=ND，∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90∘，∴MH2=HB2+BM2，∴MN2=ND2+BM2∵Rt△ABE≌Rt△AGE，∴∠BAM=∠GAM．在△ABM和△AGM中，{AB=AG,∠BAM=∠GAM, AM=AM,∴△ABM≌Rt△AGM(SAS)．∴MG=MB，同理NG=ND，∴MN2=NG2+MG2∴△MGN为直角三角形，故②正确；③ ∵∠AEB+∠BME+∠DBC=180∘，∠AEF+∠AFE+∠EAF=180∘∵∠DBC=∠EAF=45∘，∠AEB=∠AEF，∴∠AFE=∠BME，∴∠AFE=∠AMN，∵∠EAF=∠NAM，∴△AMN∽△AFE，故③正确；④ ∵BE=EG，GF=FD，BE=2，FD=3，∴EF=EG+FG=5，设正方形的边长为a，则EC=a−2，FC=a−3，∵EF2=EC2+FC2，∴52=(a−2)2+(a−3)2，解得a=6，∴AB=AD=6，∴BD=6√2，作AH⊥BD于H，则AH=3√2，∵△AMN∼△AFE，∴MNEF =AHAG，∵AG=AB=6，∴MN5=3√26，∴MN=52√2，故④正确．综上正确结论的个数是4个．【知识点】正方形的性质、两角分别相等【知识点】相似三角形的性质4. 【答案】B【解析】如图，在CA上截取CM，使得CM=1，连接PM，PC，BM，∵PC=3，CM=1，CA=9，∴PC2=CM⋅CA，∴PCCA =CMCP，∵∠PCM=∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴PMPA =PCAC=13，∴PM=13PA，∴13AP+BP=PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM=90∘，CM=1，BC=7，∴BM=√12+72=5√2，∴13AP+BP≥5√2，∴13AP+BP的最小值为5√2．故选：B．【知识点】两边成比例且夹角相等【知识点】两角分别相等6. 【答案】C【解析】∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1:√2，∴OA:OD=1:√2．∵点A的坐标为(1,0)，即OA=1，∴OD=√2．∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=√2．∴E点的坐标为(√2,√2)．【知识点】位似7. 【答案】B【解析】因为ABBC =23，所以ABAC =25，因为a∥b∥c，所以DEDF =ABAC=25．【知识点】平行线分线段成比例定理8. 【答案】B【解析】由题意可知AB=1.5m，BC=0.5m，DC=4m，∴△ABC∽△EDC，∴ABED =BDDC，即 1.5ED=0.54，∴DE=12m．【知识点】相似三角形的应用9. 【答案】C【解析】A、4×10=5×8，能成比例；B、2×5=2√5×√5，能成比例；C、1×4≠2×3，不能成比例；D、1×4=2×2，能成比例．故选C．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算10. 【答案】C【解析】如图，延长CE交AD于F，连接BD．∵∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵∠ACB=90∘，CE为中线，∴CE=AE=BE=2.5，∴∠ACF=∠BAC，又∵∠AFC=∠BCA=90∘，∴△ABC∽△CAF，∴CFAC =ACBA，即CF4=45，∴CF=3.2，∴EF=CF−CE=0.7，由折叠可得，AC=DC，AE=DE，∴CE垂直平分AD，又∵E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴BD=2EF=1.4，∵AE=BE=DE，∴∠DAE=∠ADE，∠BDE=∠DBE，又∵∠DAE+∠ADE+∠BDE+∠DBE=180∘，∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90∘，∴Rt△ABD中，AD=√AB2−BD2=√52−1⋅42=245．【知识点】三角形的中位线、两角分别相等、勾股定理、轴对称的性质、对应边成比例二、填空题11. 【答案】成比例；相等【知识点】相似图形的性质12. 【答案】10.5【知识点】两角分别相等、面积比等于相似比的平方13. 【答案】(240√3−360)【解析】如图，作△ABC的高AD，交PN于点E．因为三角形ABC为正三角形，所以BD=12BC=60mm，由勾股定理得AD=√AB2−BD2=√1202−602=60√3(mm)．设正方形的边长为x mm，则PN=PQ=ED=x mm，所以AE=AD−ED=(60√3−x)mm，因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC，所以PNBC =AEAD，即x120=√3−x60√3，解得x=240√3−360，所以加工成的正方形零件的边长是(240√3−360)mm．【知识点】基本定理14. 【答案】√10【解析】因为BC的垂直平分线MN交AB于点D，所以CD=BD=3，所以∠B=∠DCB，AB=AD+BD=5，因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠DCB=∠B，因为∠A=∠A，所以△ACD∽△ABC，所以ACAB =ADAC，所以AC2=AD×AB=2×5=10，所以AC=√10．【知识点】对应边成比例、垂直平分线的性质、两角分别相等15. 【答案】1:16【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△BEG∽△CFG，∴S△BEGS△CFG =(BECF)2，∵BE=12AB，CF=2CD=2AB，∴BECF =14，∴S△BEGS△CFG =116．【知识点】基本定理、面积比等于相似比的平方、平行四边形及其性质16. 【答案】22【解析】作CD⊥AB，垂足为D．∵AC=5，BC=12，∠ACB=90∘．∴AB=13．∴CD=12×5÷13=6013≈4.6．∴可以放4层．由题意结合相似三角形的性质得，第一层可放13×(6013−1)÷6013≈10（个）（取整数部分），第二层可放13×(6013−2)÷6013≈7（个）（取整数部分），第三层可放13×(6013−3)÷6013≈4（个）（取整数部分），第四层可放13×(6013−4)÷6013≈1（个）（取整数部分），故一共可放10+7+4+1=22（个）．【知识点】用代数式表示规律、相似三角形的性质17. 【答案】8【知识点】两角分别相等、二次函数的最值三、解答题18. 【答案】(1) ∵AB=CD=20，AD=BC=16，EF=GH=20−2x，EH=FG=16−2x，∴EFAB =20−2x20=1−x10，EHAD=16−2x16=1−x8．∵1−x10≠1−x8，∴EFAB ≠EHAD．∴小路内外边缘所成的矩形不相似．(2) ∵20>16，∴20−x>16−x，∴EF>FG．如果两个矩形相似，那么有EFAB =FGBC，即20−x20=16−x16，解得x=0，不符合题意．∴两个矩形不相似．(3) 能．当20−x20=16−y16时，解得x=54y(0<y<16)．当20−x16=16−y20时，解得y=54x−9(7.2<x<20)．∴当x=54y(0<y<16)或y=54x−9(7.2<x<20)时，两个矩形相似．(4) 假设矩形ABCD与矩形ADEF相似，则DEBC =ADAB，即a−xb=ba，解得x=a2−b2a．∴矩形ABCD与矩形ADEF能相似，x=a2−b2a．【知识点】相似图形的性质、相似图形的定义19. 【答案】(1) ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90∘，∴△ADC∽△ACB，∴AD:AC=AC:AB，∴AC2=AB⋅AD．(2) ∵E为AB的中点，∴CE=12AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD．(3) ∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD:CE=AF:CF，∵CE=12AB，∴CE=12×6=3，∵AD=4，∴43=AFCF，∴ACAF =74．【知识点】两角分别相等、等腰三角形的性质、基本定理20. 【答案】(1) ∵EG∥DC，∴∠DFA=∠EGF，又∵∠EFA=∠DFA，EG=GD，DF=EF，∴∠EFA=∠EGF，∴EF=EG=FD=GD，∴四边形EFDG是菱形．(2) 连接ED交AF于点H，∵四边形EFDG是菱形，∴DE⊥AF，FH=12GF，∴∠FEH+∠EFH=90∘，∵∠EAF+∠EFA=90∘，∴∠EAF=∠FEH．又∵∠EFH=∠AFE，∴△FEH∽△FAE，∴EFAF =FHEF，即EF2=FH⋅AF，∴EG2=12GF⋅AF．(3) ∵EG2=12GF⋅AF，AG=6，EG=2√5，∴(2√5)2=12GF(6+GF)，∴GF=4，AF=10．∵DF=EG=2√5，∴AD=BC=√AF2−DF2=4√5，DE=2EH=√EG2−(12GF)2=8，∵∠CDE+∠DFA=90∘，∠DAF+∠DFA=90∘，∴∠CDE=∠DAF，∴Rt△ADF∽Rt△DCE，∴ECDF =DEAF，即2√5=810，∴EC=8√55，∴BE=BC−EC=12√55．【知识点】两角分别相等21. 【答案】(1) △ADE∽△DBA．(2) y=x2+16x+3（x>0）．(3) 4或256．【知识点】两角分别相等22. 【答案】(1) 过点C作CH⊥OA于H，如图1所示：∵C(3,4)，∴CH=4，OH=3，∴OC=√42+32=5，∵四边形OABC是菱形，∴CB=OC=5，5+3=8，∴点B的坐标为(8,4)．(2) 分两种情况：①当0≤t≤5时，如图2所示：∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC=5，OC∥AB．∵MN∥AC，∴△OMN∽△OAC，∴MNAC =OMOA．∵MN=12AC，∴OM =12OA ∴OM =52，∴t =52．②当 5≤t ≤10 时，如图 3 所示：设直线 MN 与 OA 交于点 E ，同①可得 AM =52．∵OC ∥AB ，MN ∥AC ，∴∠COA =∠MAE ，∠CAO =∠MEA ， ∴△AEM ∽△OAC ． ∴AE OA=AM OC．∵OC =OA ， ∴AM =AE ， ∴OE =152，∴t =152．综上所述：t =52 或 t =152．(3) 分两种情况：①当 0≤t <5 时（如图 1），S △OAC =12OA ⋅CH =10． ∵△OMN ∽△OAC ， ∴S △OMN S △OAC=(OM OA)2，即S △OMN 10=(t 5)2，∴S =25t 2(0≤t <5)；②当 5≤t ≤10 时，过点 M 作 MT ⊥x 轴于 T ，如图 4 所示： 由 △BMN ∽△AME 可知，MT =45(t −5)，∴S △OMN =S △ONE −S △OME =−25(t −5)2+10． 综上所述：S ={25t 2,0≤t <5−25(t −5)2+10,5≤t ≤10．∴ 当 t =5 时，S 最大值=10．【知识点】两角分别相等、菱形的性质、二次函数的最值、面积比等于相似比的平方、基本定理、平面直角坐标系及点的坐标、对应边成比例23. 【答案】不正确，作AʹC⊥AB，BʹD⊥AB，∴∠AʹCO=∠BʹDO=90∘．又∠1=∠2，∴△OCAʹ∽△ODBʹ，∴AʹCBʹD =AʹOBʹO．∵AʹO=AO=1.25(m)，BʹO=BO=16.5，AʹC=0.85，∴0.85BʹD =1.2516.5，解得BʹD=11.22(m)，即长臂端点B升高了11.22m．【知识点】相似三角形的应用24. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90∘，∴∠AEF+∠F=90∘∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF=180∘−90∘=90∘，∴∠CED=∠F，又∵∠A=∠D=90∘，∴△AFE∽△DEC．(2) ∵△AFE∽△DEC，∴AEDC =AFED，∵AB=CD=3，AE=4，DE=6，∴43=3+BF6，解得BF=5．答：线段BF的长为5．【知识点】两角分别相等、矩形的性质、对应边成比例25. 【答案】(1) ∵A与C关于直线MN对称，∴AC⊥MN，∴∠COM=90∘，在矩形ABCD中，∠B=90∘，∴∠COM=∠B，又∵∠MCO=∠ACB，∴△COM∽△CBA．(2) ∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴由勾股定理得AC=10，∴OC=5，∵△COM∽△CBA，∴OCBC =OMAB，即58=OM6，∴OM=154．【知识点】两角分别相等、对应边成比例。

山东省枣庄市滕州市2022-2023九年级（上）期末数学复习试卷（图形的相似）（解析版）一、选择题1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（）A．2 B．C．D．2．（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，2）4．已知△ABC中，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC的值是（）A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.55．若两个相似三角形的相似比是1：4，则它们的周长比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．1：56．如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠B=60°，则∠C′等于（）A．20°B．40°C．60°D．80°8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（）A．B．C．D．9．如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（）A．B．C．D．10．关于相似的下列说法正确的是（）A．所有直角三角形相似B．所有等腰三角形相似C．有一角是80°的等腰三角形相似D．所有等腰直角三角形相似11．在小孔成像问题中，根据如图所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（）A．3倍B．C．D．2倍12．如图，P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．B．C．∠ABP=∠C D．∠APB=∠ABC二．填空题13．如图，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是______．14．若x：y=2：3，那么x：（x+y）=______．15．如图，AD为△ABC的中线，G为△ABC的重心，若S△BGC =2，则S△ABD=______．16．已知，则=______．17．如图，DE∥BC，AD：DB=3：5，则△ADE与△ABC的面积之比为______．18．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为______米．19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是______．20．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，则窗口底边离地面的高BC=______m．三．解答题21．（•滕州市校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，一动点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动．问：（1）运动几秒时，△CPQ的面积是8cm2？（2）运动几秒时，△CPQ与△ABC相似？22．（•颍泉区一模）如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及△A1B1C1及△A2B2C2；（1）若点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣2，3），请画出平面直角坐标系并指出点B的坐标；（2）画出△ABC关于y轴对称再向上平移1个单位后的图形△A1B1C1；（3）以图中的点D为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．23．（•泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．（•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM•EN．25．（•山西）某中学初三（2）班数学活动小组利用周日开展课外实践活动，他们要在湖面上测量建在地面上某塔AB的高度．如图，在湖面上点C测得塔顶A的仰角为45°，沿直线CD向塔AB方向前进18米到达点D，测得塔顶A的仰角为60度．已知湖面低于地平面1米，请你帮他们计算出塔AB的高度．（结果保留根号）2022-2023山东省枣庄市滕州市九年级（上）期末数学复习试卷（图形的相似）参考答案与试题解析一、选择题1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（）A．2 B．C．D．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据△ABC∽△BDC，利用相似三角形对应边成比例解答即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4∴BC=3∵△ABC∽△BDC∴∴∴CD=．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，还考查了勾股定理．2．（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【考点】相似三角形的判定；平行线的判定．【分析】根据已知先判定线段DE∥BC，再根据相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【解答】解：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC∴DE∥BC∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD∴共4对故选D．【点评】考查了平行线的判定；相似三角形的判定：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．3．如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，2）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（3，2）．故选：A．【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．4．已知△ABC中，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC的值是（）A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5【考点】平行线分线段成比例．【分析】利用平行线分线段成比例的性质得出=，进而求出EC即可得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴=，解得：EC=4.5，故AC=AE+EC=4.5+3=7.5．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出=是解题关键．5．若两个相似三角形的相似比是1：4，则它们的周长比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．1：5【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们对应周长的比为1：4．故选B．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．6．如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】相似三角形的判定．【分析】本题要根据相似三角形的判定方法进行求解．【解答】解：过点P可作PE∥BC或PE∥AC，可得相似三角形；过点P还可作PE⊥AB，可得：∠EPA=∠C=90°，∠A=∠A，∴△APE∽△ACB；所以共有3条．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．7．若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠B=60°，则∠C′等于（）A．20°B．40°C．60°D．80°【考点】相似三角形的性质．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据相似三角形对应角相等可得∠C′=∠C．【解答】解：∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣40°﹣60°=80°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′=∠C=80°．故选D．【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】根据梯形的性质容易证明△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性质即可得到AO：CO的值．【解答】解：∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥CB，∴△AOD∽△COB，∴，∵AD=1，BC=3．∴=．故选B．【点评】此题主要考查了梯形的性质，利用梯形的上下底平行得到三角形相似，然后用相似三角形的性质解决问题．9．如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理．【分析】根据相似三角形的性质，先求出正△A2B2C2，正△A3B3C3的面积，依此类推△A nB nC n的面积是（）n﹣1，从而求出第10个正△A10B10C10的面积．【解答】解：正△A1B1C1的面积是，而△A2B2C2与△A1B1C1相似，并且相似比是1：2，则面积的比是，则正△A2B2C2的面积是×；因而正△A3B3C3与正△A2B2C2的面积的比也是，面积是（）2；依此类推△A n B n C n与△A n﹣1B n﹣1C n﹣1的面积的比是，第n个三角形的面积是（）n﹣1．所以第10个正△A10B10C10的面积是，故选A．【点评】本题考查了相似三角形的性质及应用，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键．10．关于相似的下列说法正确的是（）A．所有直角三角形相似B．所有等腰三角形相似C．有一角是80°的等腰三角形相似D．所有等腰直角三角形相似【考点】相似三角形的判定．【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可知所有直角三角形不一定相似；所有等腰三角形不一定相似；有一角是80°的等腰三角形也比一定相似；只有所有等腰直角三角形相似．【解答】解：A、所有直角三角形不一定相似；故本选项错误；B、所有等腰三角形不一定相似；故本选项错误；C、∵有一角是80°的等腰三角形可能是：80°、80°、20°或80°、50°、50°，∴不一定相似；故本选项错误；D、所有等腰直角三角形相似；故本选项正确．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意有两组角对应相等的两个三角形相似．11．在小孔成像问题中，根据如图所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（）A．3倍B．C．D．2倍【考点】相似三角形的应用．【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据题意得到△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，由题意得，AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴==，∴像CD的长是物体AB长的，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．12．如图，P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．B．C．∠ABP=∠C D．∠APB=∠ABC【考点】相似三角形的判定．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后的答案．【解答】解：A正确，符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；B不正确，不符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；C正确，符合有两组角对应相等的两个三角形相似；D正确，符合有两组角对应相等的两个三角形相似．故选B．【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．二．填空题13．如图，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是DE∥BC（答案不唯一）．【考点】相似三角形的判定．【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．【解答】解：由图可得，∠BAC=∠DAE，根据三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似．可添加条件：DE∥BC，则∠ABC=∠ADE，则△ADE∽△ABC，故答案为：DE∥BC（答案不唯一）．【点评】本题考查了相似三角形的判定，此题为开放性试题，首先要找出已经满足的条件，然后再进一步分析需要添加的条件，熟记相似三角形的各种判定方法是解题关键．14．若x：y=2：3，那么x：（x+y）=2：5．【考点】比例的性质．【分析】利用合比性质计算．【解答】解：∵=，∴==．故答案为2：5．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．15．如图，AD为△ABC的中线，G为△ABC的重心，若S△BGC =2，则S△ABD=3．【考点】三角形的重心．【分析】根据重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍和已知求出△ABC的面积，根据三角形的中心把三角形分成面积相等的两部分解答即可．【解答】解：∵G为△ABC的重心，∴AD=2GD，∵S△BGC=2，∴S△ABC=6，∵AD为△ABC的中线，∴S△ABD=3，故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形的重心的知识，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．16．已知，则=．【考点】比例的性质．【分析】先由已知条件可得a=b，e=f，再把它们代入，计算即可．【解答】解：∵，∴a=b，e=f，∴===．故答案为．【点评】本题考查了比例的计算及性质，比较简单．本题还可以根据等比性质直接求解．17．如图，DE∥BC，AD：DB=3：5，则△ADE与△ABC的面积之比为9：64．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】先证明△ADE与△ABC相似并求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：BD=3：5，∴AD：AB=3：8，∴△ADE与△ABC面积之比=9：64，故答案为9：64．【点评】本题主要考查相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，根据平行得到三角形相似是解题的关键．18．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为 5.6米．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE ∽△CDE ，再根据其相似比解答．【解答】解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB ，则△ABE ∽△CDE ， 则，即，解得：AB=5.6米．故答案为：5.6．【点评】应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．19．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE 平分∠ABC 交CD 于E ，且BE ⊥CD ，CE ：ED=2：1．如果△BEC 的面积为2，那么四边形ABED 的面积是 ．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；梯形．【分析】首先延长BA ，CD 交于点F ，易证得△BEF ≌△BEC ，则可得DF ：FC=1：4，又由△ADF ∽△BCF ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得△ADF 的面积，根据S 四边形ABED =S △BEF ﹣S △ADF 继而求得答案．【解答】解：延长BA ，CD 交于点F ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBF=∠EBC ，∵BE ⊥CD ，∴∠BEF=∠BEC=90°，在△BEF 和△BEC 中，，∴△BEF ≌△BEC （ASA ），∴EC=EF ，S △BEF =S △BEC =2，∴S △BCF =S △BEF +S △BEC =4，∵CE ：ED=2：1∴DF ：FC=1：4，∵AD ∥BC ，∴△ADF ∽△BCF ， ∴=（）2=，∴S △ADF =×S △BCF =，∴S 四边形ABED =S △BEF ﹣S △ADF =2﹣=． 故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m 宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m ，窗口高AB=1.8m ，则窗口底边离地面的高BC= 4 m ．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据题意易证△BCD ∽△ACE ，利用相似三角形的性质，对应线段成比例求解即可．【解答】解：∵光线是平行的，即BD ∥AE 则有∵△BCD ∽△ACE∴∴∴BC=4【点评】主要考查了相似的三角形在实际生活中的应用，利用相似对角线的性质，对应线段成比例解题．三．解答题21．（•滕州市校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，一动点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动．问：（1）运动几秒时，△CPQ的面积是8cm2？（2）运动几秒时，△CPQ与△ABC相似？【考点】一元二次方程的应用；相似三角形的判定．【分析】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6﹣x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为：×2x（6﹣x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）设运动y秒时，△CPQ与△ABC相似，分两种情况讨论：若△CPQ∽△CAB和△CPQ ∽△CBA，根据相似三角形的性质即可得出答案．【解答】解：（1）设x秒后，可使△CPQ的面积为8cm2．由题意得，AP=xcm，PC=（6﹣x）cm，CQ=2xcm，则（6﹣x）•2x=8，整理，得x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4．则P、Q同时出发，2秒或4秒后可使△CPQ的面积为8cm2（2）设运动y秒时，△CPQ与△ABC相似．若△CPQ∽△CAB，则=，即=，解得y=2.4秒；若△CPQ∽△CBA，则=，即=，解得y=秒．综上所述，运动2.4秒或秒时，△CPQ与△ABC相似．【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．22．（•颍泉区一模）如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及△A1B1C1及△A2B2C2；（1）若点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣2，3），请画出平面直角坐标系并指出点B的坐标；（2）画出△ABC关于y轴对称再向上平移1个单位后的图形△A1B1C1；（3）以图中的点D为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．【分析】（1）根据A，C点坐标作出直角坐标系，进而求出B点坐标；（2）根据轴对称的性质结合平移的性质得出答案；（3）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示，B（﹣4，2）；（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；（3）如图所示：△A2B2C2即为所求．【点评】此题主要考查了位似变换、轴对称变换和平移变换，根据题意建立正确的坐标系是解题关键．23．（•泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．（•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM•EN．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出=；（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1）==，从而得出答案．【解答】（1）证明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴=，同理在△ACQ和△APE中，=，∴=．（2）①作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高AQ=，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB=1：3，∴AD=，DE=，∵DE边上的高为，MN：GF=：，∴MN：=：，∴MN=．故答案为：．②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC，∴=，∴DG•EF=CF•BG，又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF•BG，由（1）得==，∴×=•，∴（）2=•，∵GF2=CF•BG，∴MN2=DM•EN．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．25．（•山西）某中学初三（2）班数学活动小组利用周日开展课外实践活动，他们要在湖面上测量建在地面上某塔AB的高度．如图，在湖面上点C测得塔顶A的仰角为45°，沿直线CD向塔AB方向前进18米到达点D，测得塔顶A的仰角为60度．已知湖面低于地平面1米，请你帮他们计算出塔AB的高度．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ACE、△ADE，应利用其公共边AE构造等量关系，借助AB=AE﹣BE构造方程关系式，进而可求出答案．【解答】解：如图，延长CD，交AB的延长线于点E，则∠AEC=90°，∠ACE=45°，∠ADE=60°，CD=18，设线段AE的长为x米，在Rt△ACE中，∵∠ACE=45°，∴CE=x，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=tan60°=，∴DE=x，∵CD=18，且CE﹣DE=CD，∴x﹣x=18，解得：x=27+9，∵BE=1米，∴AB=AE﹣BE=（26+9）（米）．答：塔AB的高度是（26+9）米．【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．。

北师大版九年级上册数学第三章《图形的相似》单元测试卷（含答案）一、选择题(每题3分，共30分)1．用频率估计概率，可以发现抛掷硬币“正面向上”的概率为0．5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是( )A．每两次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上2．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这十个数．从这十张卡片中随机抽取一张，这张卡片上的数恰好能被4整除的概率是( )A．110B．25C．15D．3103．【2020·湘西州】从长度分别为1 cm，3 cm，5 cm，6 cm的四条线段中随机取出三条，则能够围成三角形的概率为( )A．14B．13C．12D．344．【2021·徐州】甲、乙两个不透明的袋子中各有三种颜色的糖果若干，这些糖果除颜色外无其他差别，具体情况如下表所示．若小明从甲、乙两个袋子中各随机摸出一颗糖果，则他从甲袋比从乙袋( ) A．摸到红色糖果的可能性大 B．摸到红色糖果的可能性小C．摸到黄色糖果的可能性大 D．摸到黄色糖果的可能性小5．某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是( )A．12B．13C．14D．166．【2021·河南】现有4张卡片，正面图案分别是“北斗”“天问”“高铁”“九章”，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是( )A．16B．18C．110D．1127．【教材P70随堂练习T2变式】一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，那么估计盒子中球的个数n为( )A．20 B．24 C．28 D．308．【教材P73复习题T5改编】用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色(若指针指在分界线上，则重转)，则配成紫色的概率为( )A．16B．13C．12D．239．【2021·威海】在一个不透明的袋子里装有5个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，5，这些小球除数字不同外其他均相同．从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为( )A．625B．925C．310D．3510．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数“－1”“1”“2”．随机摸出一个小球(不放回)，其数记为p，再随机摸出另一个小球，其数记为q，则满足关于x的方程x2－px＋q＝0有实数根的概率是( )A．12B．13C．23D．56二、填空题(每题3分，共24分)11．【2020·新疆】表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为________(精确到0．1)．12．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是________．13．小明把如图的矩形纸板ABCD挂在墙上，E为AD的中点，并用它玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上)，击中阴影区域的概率是________．14．一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从布袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为________．15．如图，随机闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能使灯泡L1，L2同时发光的概率是________．16．【2021·邵阳】一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一条路径，则它遇到食物的概率是________．17．某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市区学校的A，B，C三个队和县区学校的D，E，F，G，H五个队．如果从A，B，D，E四个队与C，F，G，H四个队中各随机抽取一个队进行首场比赛，那么参加首场比赛的两个队都来自县区学校的概率是________．18．A，B，C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B，C两人中的某一人，以后每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．三次传球后，球恰好在A手中的概率是________．三、解答题(19～22题每题13分，23题14分，共66分)19．【2020·丹东】在一个不透明的口袋中装有4个分别写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．(1)从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是________；(2)若从中随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，请用列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率．20．一个不透明的盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外其余都相同．(1)从盒中随机摸出一个小球，求摸出标号数字为奇数的小球的概率；(2)甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．试判断这个游戏对甲、乙两人是否公平．21．某学校为了提高学生的能力，决定开设以下项目：A．文学院；B．小小数学家；C．小小外交家；D．未来科学家．为了了解学生最喜欢哪一个项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示两幅不完整的统计图，请回答下列问题：(1)这次被调查的学生共有________人；(2)请你将条形统计图补充完整；(3)在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两名同学的概率(用画树状图或列表的方法解答)．22．某小区为了改善生态环境、促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为三类：厨余、可回收和其他，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C．(1)若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；(2)为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共1 000 t生活垃圾，数据统计如下(单位：t)：试估计“厨余垃圾”投放正确的概率．23．【2020·盐城】生活在数字时代的我们，很多场合用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．(1)用画树状图的方法，求图③可表示不同信息的总个数(图中标号1，2表示两个不同位置的小方格，下同)．(2)图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为________．(3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共有492人，则n的最小值为________．答案一、1．B 2．C 3．A 4．C 5．C 6．A 7．D 8．C 9．C10．A 点拨：利用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，注意不放回．选择其中符合Δ≥0的情况，问题得解．二、11．0.9 12．34 13．18 14．13 15．15 16．13 17．38 18．14三、19．解：(1)34(2)列表如下：所有等可能的结果有12种，两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的结果有4种，则P (两次摸出小球上的数字和恰好是偶数)＝412＝13． 20．解：(1)P (标号数字为奇数)＝36＝12． (2)列表如下：由表可知，共有36种等可能的结果，其中摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的结果有18种，摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种，所以P (甲赢)＝1836＝12，P (乙赢)＝1836＝12． 所以这个游戏对甲、乙两人是公平的．21．解：(1)200(2)C 项目对应的人数为200－20－80－40＝60(人)．补充条形统计图如图所示．(3)画树状图如图所示．由树状图可知，共有12种等可能的情况，恰好同时选中甲、乙两名同学的情况有2种，所以P(恰好同时选中甲、乙两名同学)＝212＝16．22．解：(1)三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如图所示．由树状图可知，垃圾投放正确的概率为39＝13．(2)“厨余垃圾”投放正确的概率为400400＋100＋100＝23．23．解：(1)画树状图如图所示．共有4种等可能的结果，∴题图③可表示不同信息的总个数为4．(2)16 (3)3。

一、选择题1.已知2x=3y(y≠0)，则下面结论成立的是( )A．xy =32B．x3=2yC．xy=23D．x2=y32.如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A，B，C，D四个图中的三角形（阴影部分）与△EFG相似的是( )A．B．C．D．3.如果两个相似三角形对应边之比是1:3，那么它们的对应中线之比是( )A．1:3B．1:4C．1:6D．1:94.若点C是线段AB的中点，则CA与BA的比值是( )A．1B．2C．12D．235.如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，下列条件中能够判定DE∥BC的是( )A．ADAB =DEBCB．ADBD=AEACC．BDAB=CEAED．ADAE=ABAC6.如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A，D，F和点B，C，E，如果AD:DF=3:1，BE=10，那么CE等于( )A．103B．203C．52D．1527.如图，BD，CE是△ABC的两条高，BD，CE相交于O，则下列结论不正确的是( )A．△ADE∽△ABC B．△DOE∽△COBC．△BOE∽△COD D．△BOE∽△BDE8.下列各组图形中，一定相似的是( )A．任意两个圆B．任意两个等腰三角形C．任意两个菱形D．任意两个矩形9.如图，点D，E分别在AB，AC上，且∠ABC=∠AED，若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为( )A．6B．8C．10D．1210.如图，在△ABC中，AB=9，BC=18，AC=12，点D在边AC上，且CD=4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是( )A．12B．16C．12或16D．以上都不对二、填空题11.如果a=5cm，b=10cm，且b是a和c的比例中项，则c=cm．12.如果ab =32，那么a+bb=．13.如果ab =23，那么a+ba的值为．14.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则AC的长为．15.如图，l1∥l2∥l3，ABBC =23，EF=6，则DF=．16.如果xy =23，那么4y−xx+y=．17.已知xy =25，那么x+yy的值是．三、解答题18.阅读下面的解题过程，然后回答问题．题目：已知xa−b =yb−c=zc−a（a，b，c互不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b =yb−c=zc−a=k，则x=k(a−b)，y=k(b−c)，z=k(c−a)，于是x+y+z=k(a−b+b−c+c−a)=k⋅0=0．依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx =z+xy=x+yz(x+y+z≠0)，求x−y−zx+y+z的值．19.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于点E．求证：OC2=OA⋅OE．20.在下图中，把互为相似的两图形用直线连起来．21.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上，P为BC与网格线的交点，连接AP．(1) BC的长等于；(2) Q为边BC上一点，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AQ，使∠PAQ=45∘，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）．22.已知x2=y3=z4，且2x+3y−z=18，求4x+y−3z的值．23.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，∠ADE=∠B．(1) 求证：△ABD∽△DCE．(2) 点F在AD上，且AFAE =DECD，求证：EF∥CD．24.根据学过的两个三角形相似的判定方法，试归纳两个等腰三角形相似的判定方法．两个直角三角形呢？25.如图，在△ABC中，已知ABAD =BCDE=ACAE．求证：∠BAD=∠CAE．答案一、选择题1. 【答案】A【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算2. 【答案】B【解析】∵小正方形的边长为1，∴在△EFG中，EG=√2，FG=2，EF=√1+32=√10，A中，一边=3，一边=√2，一边=√1+22=√5，三边与△ABC中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故A错误；B中，一边=1，一边=√2，一边=√22+1=√5，有√21=√2=√10√5△ABC中的三边对应成比例，故两三角形相似．故B正确；C中，一边=1，一边=√5，一边=2√2，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故C错误；D中，一边=2，一边=√5，一边=√32+22=√13，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故D错误．故选：B．【知识点】三边成比例3. 【答案】A【知识点】相似三角形的性质4. 【答案】C【解析】∵点C是线段AB的中点，∴CA与BA的比值是12．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算5. 【答案】D【解析】A．由ADAB =DEBC，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；B．由ADBD =AEAC，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；C．由BDAB =CEAE，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；D．由ADAE =ABAC，能得到DE∥BC，故本选项符合题意．【知识点】平行线分线段成比例定理6. 【答案】C【解析】∵AB∥CD∥EF，∴ADDF =BCCE=3，∴BC=3CE，∵BC+CE=BE，∴3CE+CE=10，∴CE=52．【知识点】平行线分线段成比例定理7. 【答案】D【解析】由BD，CE是△ABC的高，所以∠ADB=∠AEC=90∘，所以∠ABD+∠A=90∘，∠ACE+∠A=90∘，所以∠ABD=∠ACE，所以∠A=∠A，∠ABD=∠ACE，所以△AEC∽△ADB，所以ADAE =ABAC，所以△ADE∽△ABC，A正确．因为∠DBC+∠BCD=90∘，∠DEC+∠AED=90∘，△ADE∽△ABC，所以∠AED=∠BCD，所以∠DBC=∠DEC，因为∠DOE=∠BOC，所以△DOE∽△COB，B正确．因为∠EOB=∠DOC，∠ODC=∠BEO，所以△EOB∽△DOC，C正确．【知识点】两角分别相等8. 【答案】A【解析】A．任意两个圆是相似图形，故此选项正确；B．任意两个等腰三角形不是相似图形，故此选项错误；C．任意两个菱形不是相似图形，故此选项错误；D．任意两个矩形不是相似图形，故此选项错误．【知识点】相似图形的定义9. 【答案】C【解析】在△ABC和△AED中，因为∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD，所以△AED∽△ABC，所以ABAE =BCED，又因为DE=4，AE=5，BC=8，所以AB=10．【知识点】两角分别相等10. 【答案】A【解析】∵∠A=∠A，分为两种情况：① DE∥BC（即∠ADE=∠C），∴△ADE∽△ACB，∴DEBC =ADAC，∴12−412=DE18，∴DE=12；② ∠ADEʹ=∠B，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC =ADAB，∴AE12=12−49，∴AE=323>AB，不合题意．【知识点】两角分别相等二、填空题11. 【答案】20【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算12. 【答案】52【解析】因为ab =32，所以a=32b，所以a+bb =32b+bb=52．故答案为：52．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算13. 【答案】52【解析】∵ab =23，∴设a=2x，则b=3x，那么a+ba =2x+3x2x=52．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算14. 【答案】6【知识点】平行线分线段成比例定理15. 【答案】10【知识点】平行线分线段成比例定理16. 【答案】2【解析】∵xy =23，∴x=23y，∴4y−xx+y =4y−23y23y+y=103y53y=2．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算17. 【答案】75【解析】因为xy =25，所以设x=2a，则y=5a，那么x+yy =2a+5a5a=75．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算三、解答题18. 【答案】设y+zx =z+xy=x+yz=k，则y+z=kx，z+x=ky，x+y=kz，所以2(x+y+z)=k(x+y+z)，因为x+y+z≠0，所以k=2，所以y+z=2x，z+x=2y，x+y=2z，则x−y−zx+y+z =x−(y+z)x+(y+z)=−x3x=−13．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算19. 【答案】OCOA =OBOD，OEOC=OBOD．【知识点】平行线分线段成比例定理20. 【答案】【知识点】相似图形的定义21. 【答案】(1) 2√13(2) 取格点M，N，使得BM∥CN，并且BMCN =32，可找到满足条件的格点M，N，如下图，连接MN交BC于点Q，连接AQ即可．【知识点】全等三角形的性质与判定、平行线分线段成比例定理、旋转及其性质、勾股定理22. 【答案】设x2=y3=z4=k，可得：x=2k，y=3k，z=4k，把x=2k，y=3k，z=4k代入2x+3y−z=18中，可得：4k+9k−4k=18，解得：k=2，所以x=4，y=6，z=8，把x=4，y=6，z=8代入4x+y−3z=16+6−24=−2．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算23. 【答案】(1) 证得∠B=∠C，∠BAD=∠EDC，所以△ABD∽△DCE．(2) 因为△ABD∽△DCE，所以ADDE =ABDC，证得AFAD =AEAC，所以EF∥CD．【知识点】相似三角形的性质、相似三角形的判定24. 【答案】①有一对角对应相等的两个等腰三角形相似；腰长和底边长对应成比例的两个等腰三角形相似．②有一个角对应相等的两个直角三角形相似；任意两边对应成比例的两个直角三角形相似．【知识点】两边成比例且夹角相等25. 【答案】因为ABAD =BCDE=ACAE，所以△ABC∽△ADE，所以∠BAC=∠DAE，所以∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，所以∠BAD=∠CAE．【知识点】三边成比例11。

北师大版九年级数学上册第4章《图形的相似》单元练习题（含答案）一、单选题1．在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR2．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC ，②△ADE ，③△AEF ，④△AFH ，⑤△AHG ，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）A ．②④B ．②⑤C ．③④D ．④⑤ 3．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中b 为2米，则a 约为（ ）A ．1．24米B ．1．38米C ．1．42米D ．1．62米 4．如图，123l l l ∥∥，若23=AB BC ，15DF =，则EF =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．95．如图，点O 是四边形ABCD 内一点，A '、B '、C '、D 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且::::2:1OA A A OB B B OC CC OD D D '''''''====，若四边形A B C D ''''的面积为12cm 2，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．18cm 2B ．27cm 2C ．36cm 2D ．54cm 26．已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：17．如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（ ）A ．0.3cmB ．0.5cmC ．0.7cmD ．1cm8．下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能满足△ADE ∽△ACB 的条件是（ ）A ．∠AED =∠BB ．AD AE AC AB = C ．AD ·BC = DE ·ACD ．DE //BC 10．已知23a b =，那么下列等式中成立的是（ ） A ．23a b = B ．1314a b +=+ C ．53a b b += D ．13a b b -=． 11．如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC △△；②DA 平分BDE ∠；③CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 12．如图，ABC 中，点D 是边BC 上一点，下列条件中，不能判定ABC 与ABD △相似的是（ ）A ．2AB BD BC =⋅B ．BDA BAC ∠=∠ C ．ADC C B ∠=∠+∠D ．AD BC AB AC ⋅=⋅二、填空题13．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF 将矩形窗框ABCD 分为上下两部分，其中E 为边AB 的黄金分割点，即2BE AE AB =⋅．已知AB 为2米，则线段BE 的长为______米．14．为了测量河宽AB ，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD ∥AB ，并使点B ，D ，O 和点A ，C ，O 分别在同一条直线上，量得CD ＝10米，OC ＝15米，OA ＝45米，则河宽AB ＝______米．15．如图，△ABC 与△A B C '''是位似图形，点O 是位似中心，若3OA AA '=，9ABC S =，则A B C S '''=________．16．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，2AO =，4=AD ，6OC =，8BC =，如果DAO CBO ∠=∠，那么ABCD ∶的值是___________．17．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（3，4），点B 的坐标为（7，0），D ，E 分别是线段AO ，AB 上的点，以DE 所在直线为对称轴，把△ADE 作轴对称变换得△A′DE ，点A′恰好在x 轴上，若△OA′D 与△OAB 相似，则OA′的长为________.（结果保留2个有效数字）18．如图所示，在ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =．（1）如图1，四边形DEFG 为ABC 的内接正方形，则正方形DEFG 的边长为_________；（2）如图2，若ABC 内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC ，则正方形的边长为_________．三、解答题19．如图，DA ⊥AB 于A ，EB ⊥AB 于B ，C 是AB 上的动点，若∠DCE =90°．求证：△ACD ∽△BEC20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC 于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求EF DF的值．21．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．22．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足438324a b c+++==，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．23．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．24．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．点M，N分别是BD，CE的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：△CAE≌△BAD；（2）求证：△AMN∽△ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的长．25．如图，小明同学为了测量路灯OP 的高度，先将长2m 的竹竿竖直立在水平地面上的B 处，测得竹竿的影长3m BE =，然后将竹竿向远离路灯的方向移动5m 到D 处，即5m BD =，测得竹竿的影长5m DF =（AB 、CD 为竹竿）．求路灯OP 的高度．26．如图，在ABC 中，90B ，12cm AB =，24cm BC =，动点P 从点A 开始沿着边AB 向点B 以2cm s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着边BC 向点C 以4cm s 的速度移动（不与点C 重合）．若P 、Q 两点同时移动()s t ．(1)当移动几秒时，BPQ 的面积为232cm ．(2)设四边形APQC 的面积为()2cm S ，当移动几秒时，四边形APQC 的面积为2108cm ？(3)当移动几秒时，BPQ与ABC相似？27．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．28．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；EF ，BD＝6．求AD的长．（2）若CE＝5，25参考答案1．A2．A3．A4．D5．B6．C7．B8．D9．C10．C11．D12．D 13．(51)##1514．3015．1616．2317．2.0或3.318．6037602512n+19．证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，∴∠DAC=90°=∠EBC，∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，∵∠DCE=90°，∴∠DCA+∠ECB=90°，∴∠D=∠ECB，∵∠DAC=90°=∠EBC，∴△ACD∽△BEC．20．解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝3在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝3∴BD＝BC－CD＝43∵DE∥CA，∴DECA23 BDBC==，∴DE＝4；（2）解：如图．∵点M 是线段AD 的中点，∴DM ＝AM ，∵DE ∥CA ， ∴DF AG ＝DM AM ． ∴DF ＝AG ．∵DE ∥CA ，∴EF AG ＝BF BG ，BF BG ＝BD BC ． ∴EF AG ＝BD BC ． ∵BD ＝43， BC ＝63， DF ＝AG ， ∴23EF DF =．21．解：∵∠DEF ＝∠BCD ＝90°，∠D ＝∠D ，∴△DEF ∽△DCB ， ∴BC DC EF DE=， ∵DF ＝0.5 m ，EF ＝0.3 m ，AC ＝1.5 m ，CD ＝10 m ，由勾股定理得DE 22DF EF -0.4 m ，∴100.30.4BC =， ∴BC ＝7.5m ，∴AB ＝AC +BC ＝1.5+7.5＝9（m ），答：树高AB 是9m ．22．解：令438324a b c +++===k ， ∴a +4=3k ，b +3=2k ，c +8=4k ，∴a =3k ﹣4，b =2k ﹣3，c =4k ﹣8，又∵a +b +c =12，∴（3k ﹣4）+（2k ﹣3）+（4k ﹣8）=12，∴k =3，∴a =5，b =3，c =4，∵32+42=52，∴△ABC 是直角三角形．23．解：延长OD ，∵DO ⊥BF ，∴∠DOE=90°，∵OD=1m ，OE=1m ，∴∠DEB=45°，∵AB ⊥BF ，∴∠BAE=45°，∴AB=BE ，设AB=EB=x m ，∵AB ⊥BF ，CO ⊥BF ，∴AB ∥CO ，∴△ABF ∽△COF ， ∴ABCOBF OF =，1.51(51)5x x +∴=+-，解得：x=4．经检验：x=4是原方程的解．答：围墙AB 的高度是4m ．24．（1）∵∠BAC=∠AE ，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE ，∴∠EAC=∠DAB ，在△CAE 与△BAD 中，AB AC EAC DAB AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAE ≌△BAD （SAS ）；（2）由（1）得△CAE ≌△BAD ，∴∠ACE=∠ABD ，CE=BD ，∵M 、N 分别是BD ，CE 的中点，∴CN=BM ，在△CAN 与△BAM 中，AC AB ACE ABD CN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAN ≌△BAM （SAS ），∴AN=AM ，∠CAN=∠BAM ，∴∠CAN+∠BAN=∠BAM+∠BAN ，即∠CAB=∠NAM ，∵AC=AB ，AN=AM ， ∴AN AM AC AB=， ∴△AMN ∽△ABC ；（3）取AC 的中点F ，连接FN ，过点点N 作NG ⊥AC 于点G ，∵点N 是CE 的中点，∴NF ∥AE ，NF=12AE=2，∴∠GFN=∠EAC=60°，∴∠FNG=30°，∴FG=12FN=1，∴AG=1+3=4，2221-3在Rt △ANG 中，根据勾股定理可知：1925．解：由已知得，2AB CD ==m ，3BE =m ，5BD =m ，5DF =m ， 90POE ABE CDF ∠=∠=∠=︒，AEB PEO ∠=∠，CFD PFO ∠=∠，∴在EAB ∆和EPO ∆中，AEB PEO ABE POE∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴EAB ∆∽EPO ∆ ∴AB OP BE OE =，即233OP OB =+， ∴263OB OP +=，在FCD ∆和FPO ∆中CFD PFO CDF POF ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴FCD ∆∽FPO ∆， ∴CD OP DF OF =，即2510OP OB =+， ∴2205OB OP +=，∴263OB OP +=，2205OB OP +=，∴7.5OB =，7OP =，即路灯OP 的高度为7m ．26．（1）求出运动时间为t 秒时PB 、BQ 的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ 的面积为32cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）用△ABC 的面积减去△BPQ 的面积即可得出S ，令其等于108即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）分两种情况：①当△BPQ ∽△BAC 时，②当△BPQ ∽△BCA 时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可．（1）解：运动时间为t 秒时（0≤t ＜6），PB ＝12−2t ，BQ ＝4t ，由题意得：S △BPQ ＝12PB ·BQ ＝12（12−2t ）·4t ＝2244t t -＝32， 解得：t 1＝2，t 2＝4，答：当移动2秒或4秒时，△BPQ 的面积为32cm 2；（2） 由题意得：()2212444241441082ABC BPQ S S S AB BC t t t t =-=⋅--=-+=△△， 解得：t ＝3，答：当移动3秒时，四边形APQC 的面积为108cm 2；（3）分两种情况：①当△BPQ ∽△BAC 时， 则BP BQ BA BC=，即12241224t t -=， 解得：3t =，②当△BPQ ∽△BCA 时， 则BP BQ BC BA=，即12242412t t -=， 解得：65t =， 综上，当移动3秒或65秒时，BPQ 与ABC 相似． 27．解：由题意可得：△DEF ∽△DCA ， 则DE EF DC AC=， ∵DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，DG ＝1.5m ，DC ＝20m ， ∴0.50.2520AC=， 解得：AC ＝10，故AB ＝AC+BC ＝10+1.5＝11.5（m ）．答：旗杆的高度为11．5m ．28．（1）证明：90ACB ∠=︒，90ACD BCD ∴∠+∠=︒， CD 为AB 边上的高，90A ACD ∴∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠， BE 是ABC ∠的平分线，ABE CBE ∴∠=∠，AEB CFB ∴∆∆∽．（2）解：如图，作CH EF ⊥于H ．∵∠BFD +∠ABE =90°，∠CEB +∠CBE =90°，∠ABE =∠CBE ， ∴∠BFD =∠CEB ，∵∠BFD =∠CFE ，CEF CFE ∴∠=∠，CEF ∴为等腰三角形，CE CF ∴=，CH EF ⊥，∴点H 为EF 的中点，5EH FH ∴==，22225(5)25CH EC EH ∴--=,90BFD CFH CHF BDF ∠=∠∠=∠=︒，BFD CFH ∴∆∆∽， ∴DF BD HF CH =， ∴5253DF ∴=，8CD CF DF =+=，90ADC CDB ∠==︒，,ECH FCH FBD CBF ∠=∠∠=∠，根据BFD CFH ∆∆∽，即FCH FBD ∠=∠，ACD CBD∴∆∆∽，∴AD CD CD BD=，∴8 86 AD=，323 AD∴=．。

北师大版九年级上册数学第四章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合.设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为（）A. B. C. D.2、如图，下列四个三角形中，与相似的是（）A. B. C. D.3、如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A. B. C.D.4、小明是我校手工社团的一员，他在做折纸手工，如图所示在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC的中点，点F是边CD上的任意一点，△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A.1B.2C.3D.45、如图，点D是△ABC的边BC的中点，且∠CAD＝∠B，若△ABC的周长为10，则△ACD的周长是（）A.5B.5C.D.6、如图，△ABC 内接于⊙ O ，AD 是△ABC 边 BC 上的高，D 为垂足.若 BD = 1，AD = 3，BC = 7，则⊙O 的半径是（）A. B. C. D.7、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝2，BC＝3，则CD的长是( )A. B. C. D.8、如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（）A.1B.2C.3D.49、如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（）A. B. C. D.10、如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边应满足的条件是（）A. B. C. D.11、已知：如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为（）A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm12、在△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，则△DEF最短的一边是（）A.72B.18C.12D.2013、如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是（）A. B.1 C.2 D.314、如图，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，且把三角形ABC分成面积为S1， S2， S3三部分，则S1：S2：S3=（）A.1：2：3B.1：4：9C.1：3：5D.无法确定15、已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6∥l7，且每相邻两条直线的距离相等.若直线l8分别与l1， l2， l5， l7相交于点A，B，C，D，则AB：BC：CD为________.17、在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于M，则AM：BM=________．18、已知，则的值为________.19、把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为________．20、上午某一时刻,身高1.7米的小刚在地面上的影长为3.4米,则影长26米的旗轩高度为________米21、如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD 于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：________．22、如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2 cm，OA=60 cm, OB=15 cm，则火焰的长度为________.23、将矩形纸片ABCD按如下步骤进行操作：（ 1 ）如图1，先将纸片对折，使BC和AD重合，得到折痕EF；（ 2 ）如图2，再将纸片分别沿EC，BD所在直线翻折，折痕EC和BD相交于点O.那么点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是________.24、如图，在直线l上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC ＝CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC∥HG∥DE，GN∥DC∥HF∥AB．设图中三个四边形的面积依次是S1， S2， S3，若S1+S3＝20，则S1＝________，S2＝________．25、如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD=5，BC=8，AE=2，则AF=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程.534%－2x=0.5627、李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．28、如图，两根电线杆相距Lm，分别在高10m的A处和15m的C处用钢索将两杆固定，求钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH．29、如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A ＝∠BPD，△APC 与△BPD相似吗？为什么？30、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C4、D5、B6、C7、D8、D9、D10、B11、C12、B13、C14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。

北师版九年级数学上册 第四章 图形的相似综合测试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30） 1．下面不是相似图形的是( )A B C D2．如图，五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，点O 为位似中心，若OD ＝12OD′，则A′B′∶AB 为( )A ．2∶3B ．3∶2C ．1∶2D ．2∶13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝35，则S △ADE S 梯形DBCE 的值是( ) A.35 B.916 C.53 D.16254．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝12，则下列结论中正确的是( ) A.AE AC ＝12B.DE BC ＝12C.△ADE 的周长△ABC 的周长＝13D.△ADE 的面积△ABC 的面积＝135．点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC>BC.下列说法中正确的有( ) ①AC ＝5－12AB ；②AC ＝3－52AB ；③AB ∶AC ＝AC ∶BC ；④AC≈0.618AB. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．在平面直角坐标系中，点P(m ，n)是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点P 的对应点的坐标为( ) A ．(2m ，2n)B ．(2m ，2n)或(－2m ，－2n)C ．(12m ，12n)D ．(12m ，12n)或(－12m ，－12n)7．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，则CF 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在边BC ，AD 上，且AD 为∠BAC 的平分线．若∠ABE ＝∠C ，AE ∶ED ＝2∶1，则△BDE 与△ABC 的面积比为( ) A ．1∶6 B ．1∶9 C ．2∶13 D ．2∶159．如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE ＝DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于点H ，若AF DF ＝2，则HFBG 的值为( ) A.23 B.712 C.12 D.51210．(2018·达州)如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE ＝CF ＝14AC.连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则S △ADGS △BGH 的值为( ) A.12 B.23 C.34 D ．1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．在△ABC 中，AB ＝12 cm ，BC ＝18 cm ，AC ＝24 cm ，另一个与它相似的△A′B′C′的周长为18 cm ，则△A′B′C′各边长分别为________cm ，________cm ，________cm. 12. 如图，已知AB ∥CD ，若AB CD ＝14，则OAOC＝________.13．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，已知S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，则DE ∶EC ＝________.14．如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心．若AB ＝1.5，则DE ＝________.15．如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED ＝1，BD ＝4，那么AB ＝________.16．如图，阳光通过窗口AB 照到室内，在地面上留下一个亮区ED ，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE ＝2.7 m ，窗高AB ＝0.8 m ，窗口底边离地面的高度BC ＝1 m ，则亮区宽度ED ＝________.17．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BE ∥AD ，且BE 交CD 于点E ，∠AEB ＝∠C.如果AB ＝3，CD ＝8，那么AD 的长是________.18．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝________.三．解答题（共7小题， 46分）19．(6分) 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC ＝DF CG .(1)求证：△ADF ∽△ACG ；(2)若AD AC ＝12，求AFFG的值．20. (6分) 如图，点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．21. (6分) 如图，在△ABC中，AD是中线，且CD2＝BE·BA.求证：ED·AB＝AD·BD.22．(6分) ) 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD.(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．23．(6分) 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是20个平方单位．24．(8分) 如图，为测量山峰AB的高度，在相距50 m的D处和F处分别竖立高均为2 m的标杆DC 和FE，且AB，CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后2 m到G处可以看到山峰A和标杆顶点C 在同一直线上，从标杆FE退后4 m到H处可以看到山峰A和标杆顶点E在同一直线上，求山峰AB 的高度及山峰与标杆CD之间的水平距离BD的长．25．(8分) 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且∠ACD ＝∠B ＝∠BAE. (1)求证：AD BC ＝DEAC；(2)当点E 为CD 的中点时，求证：AE 2CE 2＝ABCD.参考答案1-5 ADBCC 6-10 BBDBC 11. 4，6 ，8 12. 1413. 2∶3 14. 4.5 15. 4 16. 1.2m 17. 15 18. 319. 解：(1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠DAE ，∴∠ADF ＝∠C. 又∵AD AC ＝DFCG ，∴△ADF ∽△ACG(2)∵△ADF ∽△ACG ，∴AD AC ＝AFAG .又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12，∴AF FG＝120. 解：在△ABD 和△ACB 中，∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ， ∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC ＝AD AB ，∵AB ＝6，AD ＝4，∴AC ＝AB 2AD ＝364＝9，则CD ＝AC －AD ＝9－4＝521. 证明：∵AD 是中线，∴BD ＝CD ， 又CD 2＝BE·BA ，∴BD 2＝BE·BA ， 即BE BD ＝BDAB， 又∠B ＝∠B ，∴△BED ∽△BDA ， ∴ED AD ＝BDAB，∴ED·AB ＝AD·BD 22. 解：(1)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∠B ＝∠C ， ∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠ADC ，∴△BDE ∽△CAD (2)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ， 在Rt △ADB 中，AD ＝AB 2－BD 2＝12， ∵12AD·BD ＝12AB·DE ，∴DE ＝601323. 解：(1)如图所示，线段A 1B 1即为所求(2)如图所示，线段A 2B 1即为所求(3)由图可得，四边形AA 1B 1A 2为正方形，∴四边形AA 1B 1A 2的面积是(22＋42)2＝(20)2＝20 24. 解：∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ， ∴CD AB ＝DG DG ＋BD ，EF AB ＝FH FH ＋DF ＋BD. 又∵CD ＝DG ＝EF ＝2 m ，DF ＝50 m ，FH ＝ 4 m ， ∴2AB ＝22＋BD ，2AB ＝450＋4＋BD ， ∴22＋BD ＝44＋50＋BD， 解得BD ＝50 m ， ∴2AB ＝22＋50， 解得AB ＝52 m25. 证明：(1)∵∠ACD ＝∠B ＝∠BAE ，∠BAC ＝∠BAE ＋∠CAE ，∠AED ＝∠ACD ＋∠CAE ， ∴∠AED ＝△BAC.又∵∠DAE ＝∠B ， ∴△AED ∽△BAC ，∴AD BC ＝DEAC(2)∵∠ADE ＝∠CDA ，∠DAE ＝∠ACD ，∴△DAE ∽△DCA ，∴AE AC ＝DEAD .又∵DE ＝EC ，∴AE CE ＝AC AD ，∴AE 2CE 2＝AC 2AD 2.又∵∠DAC ＝∠BAC ，∠ACD ＝∠B ， ∴△ACD ∽△ABC ，∴AC 2＝AD·AB ， ∴AE 2CE 2＝AD·AB AD 2＝ABAD。

初中数学试卷 马鸣风萧萧2015-2016学年9年级数学图形的相似单元测试卷考试时间：45分钟班级： 姓名： 分数：一、选择题（每小题4分，共28分）1．已知2=b a ，那么bb a +的值是 （ ） A 3 B 4 C 5 D 62. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是 （ ）3. 如图3在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,CD⊥AB 于D ， 若AD=1，BD=4，则CD= （ ）A 、2B 、4C 、2D 、34. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，且AP=BQ,则两路灯之间的距离是（ ）A ．24mB ．25mC ．28mD ．30m5. 如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是 （ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:5D ．1:6（第2题）A ．B ．C ．D ． D CBA （第3题） （第4题） （第5题） （第6题）6. 如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD 长0.55m 则梯子的长为 ( )A.3.85mB.4.00mC.4.40mD.4.50m7．如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠； ③AC AB CD BC=；④AB AD AC ∙=2． 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题4分，共12分）8.已知线段a 、b 、c 、d 是成比例线段，且a = 2㎝，b = 0.6㎝，c=4㎝，那么d= ㎝.9. 旗杆的影子长6m ，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10m ，如果此时附近小树的影子长3m ，那么小树的高是 m 。