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第二十四章 24.4.2圆锥的侧面积和全面积知识点1：圆锥的基本概念圆锥的组成:圆锥可以看成由一个直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周而成的图形,这条直线叫做圆锥的轴,垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面,它的底面是一个圆形,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.圆锥的母线:连接圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的高:圆锥的顶点和底面圆心的距离叫做圆锥的高.圆锥的基本特征:①圆锥的轴通过底面的圆心,并且垂直于底面;②圆锥的母线长都相等;③经过圆锥的轴的平面被圆锥截得的图形是等腰三角形.知识点2：圆锥的侧面展开图沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平,其侧面展开图是一个扇形,扇形的半径等于圆锥的母线长,弧长等于圆锥的底面圆周长.知识点3：圆锥的全面积设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则它的侧面积和全面积分别为S侧= l·2πr=πrl;S全=S侧+S 2=πr(l+r).底=πrl+πr关键提醒:(1)圆锥的面积计算,只要分清底面半径和母线,就可直接计算,但要看清是侧面积还是全面积;(2)圆锥的侧面展开图的圆心角的度数n°,可由L==2πr求得,即n=或n=.考点1：圆锥的侧面展开图与圆锥相关概念的综合运用【例1】圆锥底面半径为250px,高为10cm.(1)求圆锥的表面积;(2)若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处,且SM=3AM,求它所走的最短距离.解:(1)圆锥的母线长SA==40(cm),圆锥侧面展开图扇形的弧长l=2π·OA=20π(cm), ∴S侧=l·SA=400π(cm2),S底=πOA2=100π(cm2).∴S表= S底+ S侧= 500π(cm2).(2)沿母线SA将圆锥的侧面展开,得圆锥的侧面展开图,则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离,由(1)知SA=1000px,弧AA'= 20πcm,∠ASM==90°.又SA'=AS=1000px,SM=3A'M,∴SM=SA=750px.在Rt△ASM中, AM===50(cm).所以蚂蚁所走的最短距离是1250px.点拨:利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线长,进而借助扇形面积公式求出表面积;蚂蚁在圆锥表面上行走一圈,而圆锥侧面展开后为扇形,故可在展开图(扇形)上求点A到点M的最短距离(即AM的长).考点2：利用圆锥的侧面展开图解决实际问题【例2】如图,半圆形铁皮半径为225px,小明同学打算用它制作一圆锥形盒子,他先作半径OC,使∠BOC=120°,用扇形OBC作圆锥侧面,再在扇形OAC中剪一最大的圆作底面,你认为小明能做成吗?说说你的理由.若行,请问圆锥的高是多少?解:用圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面,所需要的底面半径是=2πr,所以r=3.在扇形OAC中剪一最大的圆作底面,说明圆O'与各边及弧相切,由切线长定理可知∠O'OE=30°,O'E⊥OA,得到O'O=2O'E,又因为两圆内切,O'O=9- O'E,即2O'E=9- O'E,通过计算可得O'E=3=r,所以小明能做成,此时圆锥的高为=6.点拨:用圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面,关键是看做成侧面的扇形的弧长与底面圆的周长是否吻合.考点3：利用圆锥的知识设计方案【例3】工人师傅要在一边长为1000px的正方形铁皮上裁剪下一块完整的圆和一块完整的扇形,使之恰好做成一个圆锥形模型.(1)请你帮助工人师傅设计三种不同的裁剪方案(画出示意图);(2)哪种设计方案使得正方形铁皮的利用率最高(不用证明)?求出此时圆锥模型底面圆的半径.解:(1)设计方案的示意图如图所示:(2)使得正方形铁皮的利用率最高的裁剪方案为第一种.设圆的半径为r,扇形的半径为R,则由题意知×2R×π=2r×π,故R=4r.∵正方形的边长为1000px,∴BD=40cm.∵☉O与扇形的切点E、圆心O在BD上,∴R+r+r=BD.将R=4r,BD=40代入上式,解得r=cm.故使得正方形铁皮的利用率最高时,圆锥模型底面圆的半径为cm.点拨:本题主要考查勾股定理和圆锥的侧面展开图等知识,此题的关键是正确设计图案,原则上要保证扇形的弧长与底面的周长相等.根据图中的线段长度关系列方程解题是一种常用方法.。
一、学习目标(一)学习知识点1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．(二)能力训练要求1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．(三)情感与价值观要求1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．学习重点1. 经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．学习难点 经历探索圆锥侧面积计算公式．二、知识准备一段长为2的弧所在的圆半径是3 ，则此扇形的圆心角为_________，扇形的面积为_________。
三、学习内容1、圆锥的侧面展开图的形状2、圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为a ，底面圆的半径为r ，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长a ，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr ，根据扇形面积公式可知S ＝21·2πr ·a ＝πra ．因此圆锥的侧面积为S 侧＝πra ．圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为S 全=πr 2+πra ．练习：半径为10的扇形，圆心角为144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的地面半径_____________；圆锥的高_____________（精确到0.1）例1、用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示。
求所需铁皮的面积S(精确到1cm 2)例2、半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为900的扇形（图中阴影部分）（1）求这个扇形的面积（结果保留π）；（2）用所剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求这个扇形的底面圆半径；(3)在被剪掉的3块余料中，能否从中选取一块剪出一个圆作为（2）中所围成的圆锥的底面?四、知识梳理1、———————————————————————叫圆锥的母线。
24.4.2圆锥的侧面积和全面积
一、教学目标
（一）知识与技能：
1.探索圆锥的形成过程，了解圆锥的相关概念。
2.理解圆锥的侧面积计算方法的推导。
3.能够熟练运用公式进行计算、把立体图形的问题转化为平面图形问题.
（二）过程与方法：
1. 经历探索圆锥的形成过程，进而认识圆锥的相关概念，再用直角三角形这一几何模型来解决圆锥的母线、高、和底面圆半径三者之间的关系，能运用勾股定理，扇形面积公式，圆的周长公式来完成相关的计算，培养学生的实践与综合探究能力。
2.通过体验圆锥的形成过程，发展学生的空间观念，培养他们的空间的想象力。
2使学生经历自主探究的过程：即从观察、比较、分析、归纳中，体会类比、转化的思想方法。
（三）情感、态度与价值观：
1.使学生通过探索，观察和操作，发现结论，获得探究经验，从而体验学习的乐趣。
2.使感受数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
3.通过探究与交流，增进合作交流，增强学生学习的自信心，达到敢于探索发现和表述结论，培养创新意识的目的。
教学重点
1.经历探索圆锥的形成过程，进而理解相关几何概念之间的关系，推导出圆锥侧面积的计算公式。
2.理解圆锥侧面积的计算公式。
3.运用公式进行计算。
二、教学难点
1.圆锥与其侧面展开图各元素之间的关系。
2、利用圆锥的侧面积计算公式解决实际问题。
三、教学方法
观察——思考——探究——发现——运用。
四、教学准备
多媒体课件、圆锥模型、扇形纸板。
《圆锥的侧面积和全面积》教学设计教材依据人民教育出版社义务教育教科书《数学》（九年级上册）24.4 弧长和扇形面积（第二课时）．设计思路一、指导思想在教学设计时，我以布鲁纳认知发现学习理论的实质——主动的形成认知结构为指导思想，结合新课标“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．”的教育理念，设计了平方差公式这节课。
二、设计理念基于这种指导思想和教育理念，根据学生的认知特点和所学知识的特征，我在教学过程中重点运用我校的三段两重心教学模式：揭示目标，突破目标，检测目标。
使学生经历数学知识的形成与应用过程，以达到促进学生有效学习的目的。
这就需要我们在教学的过程中，利用教师的智慧，对教材和资源进行重新整合，并根据具体的学生的环境和接受能力，对课堂教学内容进行合理设计，从而提高课堂教学的效率．三、教材分析本节属于《数学课程标准》（2011年）中“图形与几何”领域的内容，是学生在已经学习了弧长和扇形面积的基础上，并能够运用公式去解决一些问题的基础上开展教学的，为学习圆锥的侧面积和全面积做了铺备。
见过生活中大量的圆锥形物体，而且所有同学都经历了圆锥模型的制作，为学习本节打下了坚实的基础。
课标要求：通过观察、操作，认识圆柱和圆锥，认识圆柱和圆锥的展开图。
四、学情分析本课是在学生小学学过圆锥的初步认识和前两节学过的弧长和扇形面积的有关计算及圆柱的侧面展开图的基础上，从圆锥的形成过程描述了圆锥的特征，给出了圆锥的母线、高的概念，指明它的侧面展开图是一个扇形，而该扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，然后通过例题说明圆锥有关面积及计算。
针对初中生探求欲望高，表现欲强的年龄特征，我把此课设计成探索式、互动式的，以期激发学生的主体意识和学习兴趣。
教学目标知识与技能目标：了解圆锥的特征，了解圆锥的侧面、底面、高、母线等概念，并知道圆锥的侧面展开图是扇形。
会计算圆锥的侧面积和全面积。
过程与方法目标：通过探究圆锥的形成过程，让学生理解圆锥侧面积和全面积的计算方法。
24.4.2圆锥的侧面积和全面积一、教材分析《圆锥的侧面积和全面积》是义务教育课程标准实验教科书人教版数学九年级上册第二十四章《圆》的最后一节内容，本节是前面所学知识的继续和发展，在学生已获得一定的关于扇形面积的有关计算探究方法的基础上，进一步探究圆锥的侧面积及全面积的一些问题。
本节内容又是圆的最后部分，我们常常运用它和圆的相关知识来解决生产和生活中的一些实际问题，所以它在教材中处于非常重要的位置。
另外，本节课通过“活动探究”、“动画展示”等途径，进一步培养学生的动手能力、观察能力、分析能力，并且这一部分内容又能进一步发展学生的空间观念。
因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育等方面都有着十分重要的作用。
二、学情分析：优势：初三的学生求知欲强，思维活跃，视野开阔，富有个性，他们的感知能力和思考能力明显提高，比初二时更能自觉而专一地完成学习活动，在教学中为学生留出自由发挥的空间，能有效的提高学生的学习兴趣。
并且学生已经掌握了弧长公式和扇形的面积公式，对圆锥有了形体的了解，对学习本节课有一定的帮助。
所以学生学习这部分知识不会太困难。
劣势：初中学生空间想象能力比较弱，对于圆锥的底面周长是扇形的弧长、圆锥的母线长是扇形的半径理解起来有难度。
三、教学目标（1）知识与技能1．探索圆锥侧面积和全面积计算公式．2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．（2）过程与方法通过学生观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，培养学生的观察、想象、实践能力；了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．（3）情感与价值观通过探索圆锥侧面积公式，培养学生的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．四、教学重难点1．重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式．2．难点：探索两个公式的由来．五、教学方法观察——想象——实践——总结法教具准备一个圆锥模型(纸做)六、教学过程（一）知识回顾上几节课我们知道了弧长公式和扇形面积公式，那么我们来回顾一下所学的知识1、圆的面积公式：2、圆的周长公式：3、弧长的计算公式：4、扇形面积计算公式:或【设计意图】通过回顾所学的知识为探究新课做铺垫。
学校年级九年级学科数学讲课人授课时间教材义务教育课程标准人教版九年级上册课题24.4.2圆锥的侧面积和全面积一、教学目标知识与技能1.理解圆锥的侧面积和表面积的含义2.探索并掌握圆锥的侧面积和表面积的计算方法，会正确地计算圆锥的侧面积和表面积过程与方法1．在教学过程中，引导学生运用类比法，发展空间想象力等去独立思考解题，并养成主动探索的习惯情感、态度与价值观1.形成主动探究意识，培养学生观察、比较、分析、推理的能力，激发学生学习的内在动机2.能灵活运用圆锥侧面积、表面积的相关知识应用到实际生活中去，解决生活中的实际问题二、重点难点及其突破措施重点1、掌握圆锥的侧面积和表面积的计算方法强化措施理解并牢记公式，多做题难点理解圆锥的底面半径（直径）及圆锥的高和侧面的母线之间的联系和侧面展开图的线段之间的关系突破措施把圆锥分解开来，由直观的立体变为学生所熟知的平面图形，再仔细观察、归纳三、教学方法及学法指导教学方法：1.以目标教学为框架，运用观察法、类比法、探究法等教学方法2.学法指导：主要用比较、类推思想教给学生自主观察、探究的方法，发挥学生的空间想象力3.教学手段：把一个圆锥分解开来，形成同学们所熟知的平面图形再进行面积计算四、教具一个扇形和一个圆形的纸片，一把剪刀，一个圆锥五、教学过程教学环节教学内容教师活动学生时间活动分配情景引入夏天就要到了，同学们都会喜欢吃雪糕，雪糕的外形像什么呢？老师向学生展示圆锥学生观察、思考1分钟知识回顾表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面体，常见的曲面体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。
如图，将圆柱的侧面沿AA’展开，得到一个什么图形？圆柱的侧面展开图与圆柱又怎样的关系?展开图是矩形，矩形的两边长分别是圆柱的母线长和底面圆的周长.我们上节课已学了扇形的弧长公式和扇形的面积公式，大家还记得它们的计算公式吗？弧长：180rnlπ=面积：3602rnsπ=向学生展示扇形并让学生回答计算公式观察，回忆，思考，并回答问题3分钟导入新知圆锥的侧面积和表面积指的是什么，它的侧面展开图是什么图形？又该怎样计算它们呢？向学生展示圆锥观察，联想1分钟新授概念：1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底面是一个圆 , 侧面是一个曲面.把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线.连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高图中l是圆锥的母线,而h就是圆锥的高r是底面圆的半径问：把一个圆锥侧面展开，是什么图形？操作演示：把圆锥沿母线展开圆锥的侧面沿AB展开，得到一个扇形，圆锥的侧面展开图与△OAB又怎样的关系?演示小结：圆锥的母线a = 扇形的半径r圆锥的底面周长c = 扇形的弧长l圆锥的母线 a、圆锥的高h 和圆锥的底面半径r 构成一个直角三角形把圆锥沿一条母线展开在黑板上画出圆锥和其侧面的展开图15分钟锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
