2011年西城区高三二模数学(文)试题及答案

北京市西城区2011 年高三一模试卷数学（文科）2011.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分 .在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .1. 已知全集U{1,2,3,4,5} ，会合 A{2,5} ， B{4,5} ，则e U( A B) 等于（ A）{1,2,3,4}（ B）{1,3}（ C）{2,4,5}（ D）{5}2. 函数y2x lg x 的定义域是（ A）0,2（ B）(0, 2)（ C）0,2（ D）1,2 3. 为了获得函数y sin x cos x 的图像，只要把y sin x cos x 的图象上全部的点（ A）向左平移个单位长度（ B）向右平移个单位长度44（ C）向左平移个单位长度（ D）向右平移个单位长度2124. 设a log2 3， b log 4 3 ，c，则2（ A）a c b（ C）b ca[ 来（ D）c b a （ B）c a b源: 学&科&网]5．一个棱锥的三视图如下图，则这个棱锥的体积是（A）6（B）12（C）24（D）363343正 (主 )视图侧(左)视图34俯视图6．关于平面和异面直线 m,n ，以下命题中真命题是（ A）存在平面，使 m， n（ B）存在平面，使 m， n（ C）存在平面，知足 m， n //（ D）存在平面，知足 m //， n //7. 右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5 次综合测评中的甲成绩，此中一个数字被污损. 则甲的均匀成绩超出乙9 8 8 3 3 7乙的均匀成绩的概率为2 1 099（A ）2（B ）7（C ）4（D ）95105108．某次测试成绩满分为150 分，设 n 名学生的得分分别为 a 1 ,a 2 , , a n （ a i N ，1 i n ），b k （ 1 k150 ）为 n 名学生中得分起码为 k 分的人数 . 记 M 为 n 名学生的均匀成绩 . 则 b 1 b 2 b 150 b 1 b 2 b 150（A ） Mn（B ） M 150b 1 b 2b150b 1 b 2b150 （C ） Mn（D ） M150第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分.9. 若复数 (1 i)(1 ai) 是纯虚数，则实数 a 等于 ______.10. 设向量 a(1,sin) ， b (1,cos ) ，若 a b3 ______.，则 sin 2511. 双曲线 C :x 2y21的离心率为 ______；若椭圆x 2y 2 1(a 0) 与双曲线 C 有同样2a 2的 焦点，则 a ______.12. 设不等式组2 x 2,2y 表示的地区为 W ,2圆 C : ( x2)2 y 24 及其内部地区记为D .若向地区 W 内投入一点，则该点落在地区 D内的概率为 _____.13. 阅读右边程序框 图，则输出的数据 S 为 _____.14. 已知数列 { a n } 的各项均为正整数， S n 为其前 n 项和，关于 n 1,2,3,，有3a n 5, a n为奇数，an 1a n,，2k a n 为偶数 . 此中 k 为使 a n 1为奇数的正整数当 a 3 5时， a 1 的最小值为 ______；当 a1 1 时， S1S2S20______.三、解答题：本大题共6小题，共 80 分。

北京市东城区2010-2011学年第二学期高三综合练习（二）数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若复数2()i ix x x z +-=（x ∈R ）为纯虚数，则x 等于（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）0或1 （2）给出下列三个命题：①x ∀∈R ，02>x ；②0x ∃∈R ，使得200x x ≤成立；③对于集合,M N ，若x M N ∈ ，则x M ∈且x N ∈. 其中真命题的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（A ） （B ） （C ） （D ）（4）极坐标方程02sin =θ（0≥ρ）表示的图形是（A ）两条直线 （B ）两条射线 （C ）圆 （D ）一条直线和一条射线（5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为B（7）△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0 ， ||||OA AB =，则CA CB ⋅等于（A ）32（B （C ）3 （D ）（8）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●2011-2013年北京各城区一模二模真题--函数试题汇编2011-2013年北京各城区一模二模真题函数试题分类汇编姓名：__________班级：__________考号：__________△注意事项：1.本试题来自2011至2013年北京市各城区一模二模真题进行的分类汇编2.试题涵盖所有高考必考点，适合学生针对性的训练3.本系列试题涵盖高考所有学科 一 、选择题1.（2011北京东城区高三一模数学(文)）已知函数131()()2xf x x =-，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的为（A ）1(0,)3 （B ）11(,)32（C ）1(,1)2（D ）(1,2)2.（2011北京东城区高三一模数学(文)）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图像为3.（2011北京丰台区高三二模数学(文)）用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设22()max{84,log }f x x x x =-+-，若函数()()g x f x kx =-有2个零点，则k 的取值范围是(A) (0,3) (B) (0,3] (C) (0,4) (D) [0,4]4.（2011北京丰台区高三二模数学(文)）已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，xy a =在同一坐0x >姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●标系中的图象可能是(A) (B)(C)(D)5.（2011北京朝阳区高三二模数学(文)）已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC . 设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S，3S ，记11S Sλ=，22S S λ=，33S Sλ=，定义123()(, , )M P λλλ=．当23λλ⋅取最大值时，则()M P 等于 （A ）111(,,)244 （B ）111(,,)442（C ）111(,,)333 （D ）111(,,)2226.（2011北京海淀区高三二模数学(文)）函数21()log f x x x=-的零点所在区间为 A ．1(0,)2 B.1(,1)2C.(1,2)D.(2,3)7.（2011北京西城区高三二模数学(文)）若2a >，则函数3()33f x x ax =-+在区间(0,2)上零点的个数为（A ）0个 （B ）1个 （C ） 2个 （D ）3个8.（2011北京西城区高三二模数学(文)）已知a b <，则下列不等式正确的是（A ）11a b> （B ）22a b >（C ）22a b ->-（D ）22a b > 9.（2011北京东城区高三二模数学(文)）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）110.（2011北京石景山高三一模数学(文)）定义在R 上的函数满足的导函数,已知的图象如图所示,若两个正数满足的取值范围是( ) A.B.()f x (4)1,()()f f x f x '=为()y f x '=,a b 1(2)1,1b f a b a ++<+则11(,)531(,)(5,)3-∞⋃+∞姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●C. D.11.（2011北京丰台区高三一模数学(文)）若函数()f x 满足条件：当12, [1,1]x x ∈-时，有1212|()()|3||f x f x x x -≤-成立，则称()f x ∈Ω．对于函数3()g x x =，1()2h x x =+，有 (A) ()g x ∈Ω且()h x ∉Ω (B) ()g x ∉Ω且()h x ∈Ω (C)()g x ∈Ω且()h x ∈Ω (D) ()g x ∉Ω且()h x ∉Ω12.（2011北京朝阳区高三一模数学(文)）已知x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，若(0, 1)a ∈，则{}a 与1{}2a +的大小关系是（A ）不确定（与a 的值有关） （B ）{}a <1{}2a + （C ）{}a =1{}2a + （D ）{}a >1{}2a +13.（2011北京朝阳区高三一模数学(文)）已知函数()y f x =是奇函数， 当0x >时，()f x =lg x ，则1(())100f f 的值等于 （A ）1lg 2（B ）1lg 2- （C ）lg 2（D ）lg 2-14.（2011北京朝阳区高三一模数学(文)）函数2cos 1y x =+在下列哪个区间上为增函数（A ）π[0, ]2 （B ）π[, π]2（C ）[]0, π （D ）[]π, 2π 15.（2011北京海淀区高三一模数学(文)）函数1()x f x x+=图象的对称中心为A ． B.(0,1) C. (1,0) D.(1,1)16.（2011北京海淀区高三一模数学(文)）设0.5323, log 2, cos 3a b c π===，则1(,5)3(,3)-∞(0,0)姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D.b c a << 17.（2011北京西城区高三一模数学(文)）设，，，则 （A ）（B ） （C ）（D ）18.（2011北京西城区高三一模数学(文)）函数的定义域是（A ）（B ）（C ）（D ）19.（2012北京丰台区高三二模数学(文)）函数()sin ()f x x x x =+∈R(A) 是偶函数，且在(,+)-∞∞上是减函数(B) 是偶函数，且在(,+)-∞∞上是增函数(C) 是奇函数，且在(,+)-∞∞上是减函数 (D) 是奇函数，且在(,+)-∞∞上是增函数20.（2012北京朝阳区高三二模数学(文)）已知函数22, ,()42, x m f x x x x m>⎧=⎨++≤⎩的图象与直线y x =恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．[1,2)-C ．[1,2]-D ． [2,)+∞21.（2012北京海淀区高三二模数学(文)）函数21,12y x x =-+-≤<的值域是（A ）(3,0]- （B ） (3,1]- （C ）[0,1] （D ）[1,5)22.（2012北京西城区高三二模数学(文)）给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ） （A ）① ②（B ）③ ④（C ）① ③（D ）② ④ 23.（2012北京东城区高三二模数学(文)）已知函数22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++，集合{}()0,S x f x x ==∈R ，{}()0,T x g x x ==∈R ，记card ,card S T 分别为集合,S T 中的元素个数，那么下列结论不可能的是（A ）card 1,card 0S T == （B ）card 1,card 1S T ==（C ）card 2,card 2S T == （D ）card 2,card 3S T ==2log 3a =4log 3b =12c =a cb <<c a b <<b c a <<c b a <<lg y x (]0,2(0,2)[]0,2[]1,2姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●24.（2012北京丰台区高三一模数学(文)）已知定义在R 上的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，当11x -<≤时，3()f x x =．若函数()()log a g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是(A) (1，5)(B)1(0,)[5,)5+∞ (C)1(0,][5,)5+∞ (D)1[,1)(1,5]525.（2012北京丰台区高三一模数学(文)）设a =0.64.2，0.67b =，0.6log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系是(A) c b a << (B) c a b <<(C) a c b <<(D) a b c <<26.（2012北京朝阳区高三一模数学(文)）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为A.n ()n ∈Z B.2n ()n ∈Z C.2n 或124n -()n ∈Z D.n 或14n -()n ∈Z 27.（2012北京朝阳区高三一模数学(文)）某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A.2B. 6.5C.8.8D.1028.（2012北京海淀区高三一模数学(文)）已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 （A ）2a < （B ）2a >（C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-29.（2012北京西城区高三一模数学(文)）若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（ ）（A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a <<（D ）c b a <<30.（2012北京东城区高三一模数学(文)）设集合1[0,)2A =，1[,1]2B =，函数姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●1,,()22(1),.x x A f x x x B ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩若0x A ∈，且0[()]f f x A ∈， 则0x 的取值范围是 （A ）(41,0] （B ） (21,41] （C ）(21,41) （D ） [0，83] 31.（2012北京东城区高三一模数学(文)）已知函数()()()f x x a x b =--(其中)a b >的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ）32.（2013北京石景山区高三一模数学(文)）若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q 关于原点对称.则称点对[P , Q ]是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对[P , Q ]与[Q , P ]看作同一对“友好点对”）. 已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有（ ）对.A. 0B. 1 C. 2D. 333.（2013北京丰台区高三一模数学(文)）如果函数y =f (x )图像上任意一点的坐标（x,y ）都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是 (A) y =f(x)是区间（0，+∞）上的减函数，且x +y 4≤ (B) y =f(x)是区间（1，+∞）上的增函数，且x +y 4≥ (C) y =f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x +y 4≥ (D) y =f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x +y 4≤34.（2013北京丰台区高三二模数学(文)）已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R ∈）. 关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下： ①当a=2，m=0时，直线l 与图象G 恰有3个公共点； ②当a=3,m=14时，直线l 与图象G 恰有6个公共点；姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●③(1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等. 其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③35.（2013北京西城区高三二模数学(文)）已知函数||()e ||x f x x =+．若关于x 的方程()f x k=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）(0,1)（B ）(1,)+∞（C ）(1,0)-（D ）(,1)-∞-36.（2013北京西城区高三二模数学(文)）给定函数：①2y x =；②2x y =；③cos y x =；④3y x =-，其中奇函数是（A ）①（B ）②（C ）③（D ）④37.（2013北京东城区高三二模数学(文)）根据表格中的数据，可以断定函数()3ln f x x x=-的A ．()12，B ．()2e ，C ．()e 3，D ．()35， 38.（2013北京东城区高三二模数学(文)）()2203log 0x f x x x x ⎧-<⎪=⎨⎪+>⎩，，，则()()1f f -等于（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4 39.（2013北京朝阳区高三二模数学(文)）已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题： ①()()F x f x =；②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是A ．②B ．①③C ．②③D ．①②40.（2013北京东城区高三一模数学(文)）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23xf x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（A ）2或7- （B ）2或8- （C ）1或7- （D ）1或8-姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●第Ⅱ卷（共110分）41.（2013北京东城区高三一模数学(文)）对于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列n 满足1，且对任意，点1+n n 都在函数的图象上，则201320124321x x x x x x ++++++ 的值为（A ）9394（B ）9380（C ）9396（D ）940042.（2013北京朝阳区高三一模数学(文)）已知函数.若，使，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个43.（2013北京海淀区高三一模数学(文)）已知，下列函数中，在区间上一定是减函数的是Ａ. B. C. D.44.（2013北京海淀区高三二模数学(文)）已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.b c a << 45.（2013北京海淀区高三二模数学(文)）下列函数中，为偶函数且有最小值的是A.2()f x x x =+B.()|ln |f x x =C.()sin f x x x =D.()e e x x f x -=+ 二 、填空题46.（2011北京丰台区高三二模数学(文)）如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的延长线于P 1，然后以B 为圆心，BP 1长为半径画弧，交CB 的延长线于P 2，再以C 为圆心，CP 2长为半径画弧，交DC 的延长线于P 3，再以D 为圆心，DP 3长为半径画弧，交AD 的延长线于P 4，再以A 为圆心，AP 4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是___，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧长之和为___．*()21,f x x x =+∈N *0,x n ∃∈N 000()(1)()63f x f x f x n +++++= 0(,)x n ()f x ()f x 0a >(0,)a ()f x ax b =+2()21f x x ax =-+()x f x a =()log a f x x =姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●)x47.（2011北京海淀区高三二模数学(文)）已知函数'()f x '()g x 分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 它们在同一坐标系下的图象如图所示: ① (1)1f =，则(1)f -= ；②设函数()()(),h x f x g x =-则(1),(0),(1)h h h -的大小关系为 .（用“<”连接） 48.（2011北京东城区高三二模数学(文)）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且(1)2f -=,那么(0)(1)f f += ．49.（2011北京石景山高三一模数学(文)）已知函数,那么_________,若则的取值范围是_________.50.（2011北京丰台区高三一模数学(文)）用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.8]=1．对于下面关于函数2()([])f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =的定义域为R ，值域为[0,1]； ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称； ③函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1； ④函数()y f x =在(0,1)上是增函数．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）51.（2011北京丰台区高三一模数学(文)）已知函数1,0,()(2),<0.x e x f x f x x ⎧-≥=⎨+⎩则(1)f -=． 52.（2011北京海淀区高三一模数学(文)）如图，线段AB =8，点C在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ，△CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为________；()f x 的最大值为 ________.22,(,1)(),[1,)xx f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩(1)f -=()4f x >x ACP BD姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●53.（2011北京海淀区高三一模数学(文)）已知函数()x f x xe =，则'()f x =________;函数()f x 图象在点(0,(0))f 处的切线方程为_______54.（2011北京东城区高三一模数学(文)）设22,1,()log (1),1,xa a x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩且1f =，则a = ；((2))f f =．55.（2012北京丰台区高三二模数学(文)）在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩的“姐妹点对”的个数为_______．56.（2012北京朝阳区高三二模数学(文)）一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x ()x *∈N 件.当20x ≤时，年销售总收入为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为，该工厂的年产量为件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入-年总投资）57.（2012北京西城区高三二模数学(文)）已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)f x x -<的解集为_____．58.（2012北京东城区高三二模数学(文)）已知函数12()f x x =,给出下列命题：①若1x >，则()1f x >；②若120x x <<，则2121()()f x f x x x ->-； ③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <； ④若120x x <<，则1212()()()22f x f x x xf ++<.其中，所有正确命题的序号是.59.（2012北京石景山高三一模数学(文)）集合{}{},|),(,,|),(a y x y x M R y R x y x U <+=∈∈={},)(|),(x f y y x P ==现给出下列函数：①xa y =，②x y a log =，③()sin y x a =+，④cos y ax =，若10<<a 时，恒有,P M C P U = 则所有满足条件的函数)(x f 的编号是．姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●60.（2012北京石景山高三一模数学(文)）设函数,1,()2,1x x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩的最小值为2，则实数a 的取值范围是．61.（2012北京石景山高三一模数学(文)）在区间[]9,0上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式21log 2x ≤≤的概率为 ．62.（2012北京丰台区高三一模数学(文)）定义在区间[,]a b 上的连续函数()y f x =，如果[,]a b ξ∃∈，使得()()'()()f b f a f b a ξ-=-，则称ξ为区间[,]a b 上的“中值点”．下列函数：①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()ln(1)f x x =+；④31()()2f x x =-中，在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为____．（写出所有．．满足条件的函数的序号） 63.（2012北京丰台区高三一模数学(文)）已知函数3()1+2+(0)f x x x x=>在x =a 时取到最小值，则a =________．64.（2012北京朝阳区高三一模数学(文)）已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为；函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是. 65.（2012北京海淀区高三一模数学(文)）已知函数则()()______f f x =；下面三个命题中，所有真命题的序号是. ①函数()f x 是偶函数；②任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；③存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形.66.（2012北京西城区高三一模数学(文)）已知函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是_____；()f x 的值域是_____．67.（2013北京石景山区高三一模数学(文)）函数()()(+2)f x x a x =- 为偶函数，则实数a =．姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●68.（2013北京丰台区高三一模数学(文)）已知实数1222,1,0,()log ,1,x ax x a f x x x ⎧-≤⎪>=⎨>⎪⎩若方程23()4f x a =-有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2，则实数a 的取值范围是。

北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）高二数学（文科） 2011.1本试卷满分150分 考试时间：120分钟A 卷 [选修 模块1-1] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 下列命题中的真命题是（ ）A ．10x x ∀∈+>R ，B ．21x x ∀∈-R ，≥0C ．||10x x ∃∈+<R ，D ．2x x ∃∈R ，≤02. 设抛物线的焦点为(2,0)F -，则抛物线的标准方程是（ ）A ．28y x =-B ．28x y =-C ．24y x =-D ．24x y =-3. 设函数()ln f x x x =-的导函数为()f x '，那么()f x '=（ ）A ．1e x-B ． 1e x+C ．1x x- D ．1x x+ 4. “0mn <”是“方程221mx ny +=表示双曲线”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5. 函数2()2f x x x =-的极值点为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-6. 已知椭圆的焦距是短轴长的2倍，那么椭圆的离心率为（ ）A B C D 7. 在下列区间中，使函数2()e xf x x =⋅单调递减的区间是（ ）A ．(3,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,3)8. 已知命题“()()p q ⌝∨⌝”是假命题，给出下列四个结论：① 命题“p q ∧”是真命题； ② 命题“p q ∧”是假命题； ③ 命题“p q ∨”是真命题； ④ 命题“p q ∨”是假命题. 其中正确的结论为（ ） A ．①、③ B ．②、③C ．①、④D ．②、④9. 设函数21y ax =+的图象为曲线C ，若直线y x =与曲线C 相切，则实数a =（ ）A ．18B ．14C ．4D ．810. 已知椭圆2215y x +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆上，点A 在x 轴上．如果1F A AP =，那么21PF PF =（ ）A ．14B ．15C ．16D ．19二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11．命题“x ∃∈R ，210x x -->”的否定是：__________________． 12．已知函数()cos f x x =，那么π()6f '=________．13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，两个焦点为1(4,0)F ，2(4,0)F -，那么双曲线的渐近线方程为___________．14．函数32()f x x ax x =++的导函数是()f x '，若()f x '是偶函数，则实数a =________．15．设直线1y x =+与椭圆2212x y +=相交于A ，B 两点，则AB =________. 16．已知两点(00)A ，，(20)B ，．如果椭圆222 1 (0)3x y b b+=>上存在点C ，使得△ABC 为 等边三角形，那么b =_________．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线方程是12x =-. （1）求抛物线的方程；（2）设点P 在抛物线上，且2PF =，若O 为坐标原点，求△OFP 的面积.18．（本小题满分12分）已知函数3()31f x x ax =--在1x =-处取得极值． （1）求实数a 的值；（2）当[2,0]x ∈-时，求函数()f x 的值域.19．（本小题满分12分）已知两点1(2,0)F -，2(2,0)F ，曲线C 上的动点P 满足1212PF PF F +=.（1）求曲线C 的方程；（2）曲线C 上是否存在点M ，使得123MF MF ⋅=？若存在，求出点M 的坐标；若不存在， 说明理由.0.04分数0.030.020.01B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 1．对甲、乙两组青年进行体检，得到如图所示的身高数据（单位：cm ）的茎叶图，那么甲组青年 的平均身高是cm ．若从乙组青年中随机选出一人，他的身高恰为175 cm 的概率为 ．2．期中考试后，学校对高二年级的数学成绩进行统计，全年级500名同学的成绩全部介于60分与100分 之间. 将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图，由图中数据可知，成绩大于或等于80分的学生人数为 ．若要从全体学生中，用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在[90100]，内的学生中抽取的人数应为 ．3．阅读如图所示的程序框图，当输出结果为6时，在处理框中 ① 处的数值应该是 ．4．一个袋中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.现从袋中随机取一个球，记该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，记该球的编号 为n ，那么随机事件“m n ≤1”的概率是 ． 5．已知圆的半径是1，A 为圆周上的一个定点，在该圆周上随机 取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率是 ．6．已知n 次多项式()nin i i S x a x==∑．① 当0x x =时，求0()n S x 的值通常要逐项计算，如：计算22020100()S x a x a x a =++共需要5次运算（3次乘法，2次加法），依此算法计算0()n S x 的值共 需要 次运算．② 我国宋代数学家秦九韶在求0()n S x 的值时采用了一 种简捷的算法，实施该算法的程序框图如图所示， 依此算法计算0()n S x 的值共需要 次运算．二、解答题：本大题共2小题，共26分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 7．（本小题满分13分）已知函数2()()e x f x x ax a =--⋅，其中a ∈R ．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当[2,2]x ∈-时，求函数()f x 的最小值． 8．（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>(2,1)M ．直线112y x =-与椭圆相交于A ，B 两点． （1）求椭圆的方程；（2）求△MAB 的内心的横坐标．北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）高二数学（文科）参考答案及评分标准2011.1A 卷 [选修 模块1-1]一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．D ； 2．A ； 3．C ； 4．C ； 5．A ； 6．B ； 7．B ； 8．A ； 9．B ； 10．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．x ∀∈R ，21x x --≤0； 12．12-； 13．y =；14．0； 15．3； 16．2． 三、解答题：本大题共3小题，共36分．（如有其它方法，仿此给分） 17．（本小题满分12分）解：（1）因为抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， 所以 1p =，所以抛物线的方程为22y x =. ……………… 5分 （2）设点(,)P x y .因为 点P 在抛物线上，且2PF =， 由抛物线的定义得，1()22x --=， 所以 32x =. ……………… 8分将32x =代入22y x =，得y = ……………… 10分所以 △OFP 的面积为12S OF y =⋅=. ……………… 12分18．（本小题满分12分）解：（1）2()33f x x a '=-， (2)分依题意，得(1)0f '-=， 即330a -=， 解得1a =. ……………… 4分（2）由3()31f x x x =--，得2()33f x x '=-. ……………… 5分令2()330f x x '=-=，得1x =±. ……………… 7分列表分析如下：所以 函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．………… 10分从而在区间[2,0]-上，函数()f x 的最大值是(1)f -，最小值是(2)f -和(0)f 中的较小者. 因为 (1)1f -=，(2)3f -=-，(0)1f =-，所以 函数()f x 的值域是[3,1]-. ……………… 12分 19．（本小题满分12分）解：（1）依题意 12PF PF +=124FF =，且12F F <所以 曲线C 是以1(2,0)F -，2(2,0)F 为焦点，长轴长为. ……………… 2分设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其半焦距为(0)c c >.因为 2a =24c =，2224b a c =-=，所以 曲线C 的方程为22184x y +=. ……………… 5分（2）椭圆C 存在点M ，使得123MF MF ⋅=，证明如下： ……………… 6分设(,)M x y ，则1(2,)MF x y =---，2(2,)MF x y =--，所以 22212(2)(2)()4MF MF x x y x y ⋅=---+-=+-. ………………8分因为 22184x y +=， 所以2282x y =-， 从而 2124MF MF y ⋅=-. 令 243y -=，解得1y =±.所以 22826x y =-=，x = ……………… 11分故满足题意的点共有四个：1M ，21)M -，3(M ，4(1)M -. ………… 12分B 卷 [学期综合] 本卷满分50分一、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．1．173，15； 2．350，18； 3．10； 4．58； 5．1π； 6．(3)2n n +，2n ．注：1、2、6题每空2分．二、解答题：本大题共2小题，共26分．（如有其它方法，仿此给分） 7．（本小题满分13分）解：（1）2()(2)e ()e xxf x x a x ax a '=-+--(2)()e xx x a =+-． ………………… 3 分当1a =时，(0)2f '=-，(0)1f =-，所以 曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)2y x --=-，即210x y ++=． ………………… 5 分（2）令()0f x '=，解得2x =-或x a =．① 若a ≥2，则当(2,2)x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 在(2,2)-内单调递减，所以，当2x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为2(2)(43)e f a =-． …………………7分② 若22a -<<，则当()2,2x ∈-时， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，当x a =时，函数()f x 取得最小值，最小值为()e a f a a =-⋅． ………………… 10 分③ 若a ≤2-，则当(2,2)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 在(2,2)-上单调递增，所以，当2x =-时，函数()f x 取得最小值，最小值为2(2)(4)e f a --=+．………………… 12 分综上，当a ≤2-时，()f x 的最小值为2(4)e a -+；当22a -<<时，()f x 的最小值为e aa -⋅； 当a ≥2时，()f x 的最小值为2(43)e a -． ………………… 13 分 8．（本小题满分13分）（1）解：设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ．所以 2222222314c a b b a a a -==-=， 即2a b =． …………………2分由222,411,a b a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得 228,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的方程为22182x y +=． …………………5分 （2）解：由2211,21,82y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y 整理得 2220x x --=． 显然2(2)4(2)0∆=--->． 设点1122(,),(,)A x y B x y则122x x +=，122x x =-． …………………8分设直线MA ，MB 的斜率分别是1k ，2k ，△MAB 内切圆的圆心是I ， 则 12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----， 因为 1221122111(1)(2)(1)(2)(2)(2)(2)(2)22y x y x x x x x --+--=--+--12123()82680x x x x =-++=--+=，…………………11分所以 AMB ∠的平分线MI 垂直于x 轴，因此 △MAB 的内心的横坐标是2． …………………13分。

北京市西城区2011年高三二模试卷文科综合能力测试2011.5本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共300分。

考试时间150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题共140分）本卷共35小题，每小题4分，共计140分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

图1为某年我国部分城市日照时数统计图。

读图1，回答1、2题。

1．图1显示的数据状况，与其成因表述正确的是（）A．哈尔滨市日照时数1月份最少，因其正值极夜期间B．上海市日照时数7月份最多，与副热带高压影响有关C．拉萨市各月日照时数均在200小时以上，因其海拔高D．各城市6月份日照时数差值最小，是海陆位置决定的2．该年3～5月，北京比哈尔滨日照时数明显偏多，主要是因为北京（）A．白昼时间长B．太阳高度大C．降水量较少D．气温变化小我国是个多山的国家，随着山区经济发展，对泥石流减灾提出了更高的要求。

据表，回答3～5题。

3．根据表中参数推测，发生泥石流可能性较大的沟谷是（）A．①B．②C．③D．④4．为了更及时、准确发出泥石流预警，该地区还应密切关注（）A．气温高低B．风力强弱C．光照强度D．降水量大小5．一旦发生泥石流，应先确定灾害位置，并尽快获取受灾地区图像，以便及时评估受灾情况。

这一过程依次用到的现代技术是（）①RS ②GPS ③GISA．②①③B．①②③C．①③②D．③②①读图2，回答6、7题。

6．该地区（）A．地势特征为西北高、东南低B．湖泊面积最小时出现在夏秋C．天然植被主要为落叶阔叶林D．外力作用有流水侵蚀、沉积7．图中（）A．M-N段铁路建设中工程难度最小B．E-F段铁路主要分布在平原地区C．G-H段铁路连接江西的省会城市D．铁路与城市的分布仅受地形影响图3是我国鄂尔多斯（中部某地）地区地质历史时期气候变化与自然地带摆动关系示意图。

据图和所学知识回答8、9题。

西城区高三模拟测试高三数学（文科）2017.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|11}A x x =∈-<<R ，{|(2)0}B x x x =∈⋅-<R ，那么A B = （A ）{|01}x x ∈<<R （B ）{|02}x x ∈<<R （C ）{|10}x x ∈-<<R（D ）{|12}x x ∈-<<R2．设向量(2,1)=a ，(0,2)=-b ．则与2+a b 垂直的向量可以是 （A ）(3,2)（B ）(3,2)-（C ）(4,6)（D ）(4,6)-3．下列函数中，值域为[0,1]的是 （A ）2y x = （B ）sin y x = （C ）211y x =+ （D）y 4．若抛物线2y ax =的焦点到其准线的距离是2，则a =（A ）1± （B ）2± （C ）4± （D ）8±5．设a ，0b ≠，则“a b >”是“11a b<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系中，不等式组,020,0y x y -+⎨⎪⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是（A（B（C ）2 （D）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（A ）43 （B ）2（C ）83（D ）48．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,)+∞（C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z =____．10．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =，a =1b =，则c =____．12．已知圆22:1O x y +=．圆O '与圆O 关于直线20x y +-=对称，则圆O '的方程是____．13．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．14．某班开展一次智力竞赛活动，共a ，b ，c 三个问题，其中题a 满分是20分，题b ，c 满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a 与题b 的人数之和为29，答对题a 与题c 的人数之和为25，答对题b 与题c 的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是____；该班的平均成绩是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设β是锐角，且π()2sin()4f ββ=+，求β的值．16．（本小题满分13分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（Ⅱ）从对B 餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．17．（本小题满分13分）设{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列，{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．记n n n c a b =+，1,2,3,n =．（Ⅰ）若{}n c 是等差数列，求q 的值；B 餐厅分数频数分布表（Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ．18．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，CD EA ⊥，22CD EF ==，ED =M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：ED CD ⊥； （Ⅱ）求证：//AD MN ；（Ⅲ）若AD ED ⊥，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FMFC的值；若不能，说明理由．19．（本小题满分13分）已知函数()ln 2af x x x =+-，其中a ∈R ． （Ⅰ）给出a 的一个取值，使得曲线()y f x =存在斜率为0的切线，并说明理由； （Ⅱ）若()f x 存在极小值和极大值，证明：()f x 的极小值大于极大值．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过点P ．直线y m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．西城区高三模拟测试高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．A 2．A 3．D4．C 5．D6．B7．A8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．12i +10．711．212．22(2)(2)1x y -+-=13．2-；114．4；42注：第13、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． [ 3分] 所以 函数()f x 的定义域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ．[ 4分]（Ⅱ）依题意，得ππtan()2sin()44ββ+=+． [ 5分]所以πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++．① [ 7分] 因为β是锐角，所以 ππ3π444β<+<，[ 8分]所以πsin()04β+>，[ 9分] ①式化简为π1cos()42β+=． [10分]所以 ππ43β+=，[12分] 所以π12β=． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，[ 2分]所以，对A 餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=． [ 3分] （Ⅱ）对B 餐厅评分在[0,10)范围内的有2人，设为12M ,M ；对B 餐厅评分在[10,20)范围内的有3人，设为123N ,N ,N ． 从这5人中随机选出2人的选法为：12(M ,M )，11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，12(N ,N )，13(N ,N )，23(N ,N )，共10种．[ 7分]其中，恰有1人评分在[0,10)范围内的选法为：11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，共6种．[ 9分]故2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率为63105P ==．[10分] （Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：由（Ⅰ）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20， 所以，A 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%． B 餐厅评分低于30的人数为23510++=，所以，B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%．所以会选择B 餐厅用餐． [13分] 注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 21n a n =-．[ 2分]因为 {}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列，所以1n n b q -=．[ 4分]所以121n n n n c a b n q -=+=-+．[ 5分]因为 {}n c 是等差数列， 所以2132c c c =+，[ 6分]即 22(3)25q q +=++，解得 1q =．[ 7分]经检验，1q =时，2n c n =，所以{}n c 是等差数列．[ 8分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知121(1,2,)n n c n qn -=-+=．所以121111111(21)nnnnnnk k n k k k k k k k k k S c a b k qn q --========+=-+=+∑∑∑∑∑∑．[10分]当1q =时，2n S n n =+．[11分]当1q ≠时，211n n q S n q -=+-．[13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥．[ 1分]又因为CD EA ⊥，[ 2分] 所以CD ⊥平面EAD ．[ 3分] 所以ED CD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，[ 5分]所以//AD 平面FBC ．[ 7分] 又因为平面ADMN平面FBC MN =，所以//AD MN ．[ 8分]（Ⅲ）平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下：[ 9分]连接DF ．因为AD ED ⊥，AD CD ⊥， 所以AD ⊥平面CDEF ．[10分] 所以AD DM ⊥．因为//AD MN ，所以DM MN ⊥．[11分] 因为平面ADMN平面BCF MN =，若使平面ADMN ⊥平面BCF ，则DM ⊥平面BCF ，所以DM FC ⊥．[12分]在梯形CDEF 中，因为//EF CD ，ED CD ⊥，22CD EF ==，ED = 所以2DF DC ==．所以若使DM FC ⊥能成立，则M 为FC 的中点． 所以12FM FC =．[14分] 19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0D x x =>，且2}x ≠，且21()(2)a f x xx '=-+-．[ 2分]当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．证明如下：[ 3分] 曲线()y f x =存在斜率为0的切线⇔方程()0f x '=存在D 上的解． 令2110(2)xx -+=-，整理得2540x x -+=， 解得1x =，或4x =．所以当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．[ 5分] 注：本题答案不唯一，只要0a >均符合要求． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 21()(2)a f x xx '=-+-．①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在区间(0,2)和(2,)+∞上单调递增，无极值，不合题意．[ 6分] ②当0a >时，令()0f x '=，整理得2(4)40x a x -++=． 由2[(4)]160a ∆=-+->，所以，上述方程必有两个不相等的实数解1x ，2x ，不妨设12x x <．由121244,4,x x a x x +=+>⎧⎨=⎩得1202x x <<<．[ 8分]()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 存在极大值1()f x ，极小值2()f x ．[10分]2121212121()()(ln )(ln )()(ln ln )2222a a a af x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-----． [11分]因为1202x x <<<，且0a >， 所以21022a a x x ->--，21ln ln 0x x ->， 所以 21()()f x f x >．所以()f x 的极小值大于极大值．[13分]20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的半焦距为c ．因为椭圆C所以 2222222112c a b b a a a -==-=， 即 222a b =．[ 1分] 由22222,211,a b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得 224,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩[ 3分] 所以椭圆C 的方程为22142x y +=．[ 4分]（Ⅱ）将y m =+代入22142x y +=， 消去y整理得2220x m +-=．[ 5分] 令2224(2)0m m ∆=-->，解得22m -<<． 设1122(,),(,)A x y B x y ．则12x x +=，2122x x m =-．所以AB[ 6分]点P到直线0x=的距离为d==．[ 7分] 所以PAB△的面积12S AB d=⋅|m==[ 8分]当且仅当m=S=所以PAB△[ 9分]（Ⅲ）||||PM PN=．证明如下：[10分]设直线PA，PB的斜率分别是1k，2k，则12k k+==．[11分]由（Ⅱ）得1221(1)((1)(y x y x-+-12211)(1)(x m x m x=+--++-1212(2)()1)x m x x m=+-+--22)(2)()1)m m m=-+---=，所以直线PA，PB的倾斜角互补．[13分]所以12∠=∠，所以PMN PNM∠=∠．所以||||PM PN=．[14分]。

中国威望高考信息资源门户北京市西城区2014 年高三二模试卷参照答案及评分标准高三数学（文科）2014.5一、：本大共8小，每小5分，共 40 分.1．D2． A3． C4． D5．B6． A7 ．D8． B二、填空：本大共6小，每小5分，共 30 分.9．2n210．311．212．122214．8{1,2}13．3注：第 9，14第一2分，第二 3 分 .三、解答：本大共6小，共 80 分.其余正确解答程，参照分准分. 15．（本小分13 分）（Ⅰ）解： f ( x) sin x cosx cos2 x11sin 2x 1 cos2x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 422分1sin 2x 1cos 2x12222π1⋯⋯⋯⋯⋯⋯6sin(2 x)，242分因此函数 f (x) 的最小正周期T2ππ.⋯⋯⋯⋯⋯⋯72分（Ⅱ）解：由π≤ 0，得5πππ≤ x4≤ 2x≤-.244π2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯9因此 1≤ sin(2 x) ≤42中国威望高考信息资源门户分因此2 1 2 sin(2 xπ 1 2 1≤ f (x) ≤ 1 .⋯⋯⋯112 ≤2 )≤1，即422分πππ 取到最小f (π2 1当 2x，即 x，函数 f ( x) )2 ；⋯ 124288分π5π πf (π1.⋯⋯⋯⋯ 13当 2x，即 x 2 ，函数 f ( x) 取到最大)442分16．（本小 分 13 分）（Ⅰ） 解：A 班5名学生的 力均匀数x A = 4.3+5.1+4.6+4.14.9=4.6 ， ⋯⋯⋯⋯ 25分B 班 5 名学生的 力均匀数x B = 5.1+4.9+4.0+4.04.5=4.5 .⋯⋯⋯⋯⋯35分从数据 果来看 A 班学生的 力 好 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ） 解：B 班 5名学生 力的方差 大 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（Ⅲ） 解：在 A 班抽取的 5 名学生中， 力大于 4.6 的有 2 名，因此 5 名学生 力大于4.6 的 率 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯115分因此全班40 名学生中 力大于4.6 的大 有40216 名，A165依据数据可推测班有 名学生 力大于4.6⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13．分17．（本小 分14 分）（Ⅰ） 明：在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，因A 1 D 1平面ABB 1 A 1 ，A 1D 1平面A 1 BD 1 ，中国威望高考信息资源门户因此平面 A 1 BD 1 平面 ABB 1 A 1 .分（Ⅱ） 明： 接 BD ， AC ， BDAC G ， 接 OG .因 ABCDA 1B 1C 1D 1 正方体，因此AE // DD 1，且 AE1DD 1 ，且 G 是 BD 的中点，2A 1又因 O 是 BD 1 的中点，因此 OG // DD 1 ，且 OG1DD 1，E2因此 OG // AE ，且 OG AE ，A即四 形 AGOE 是平行四 形， 因此 EO //AG ，又因EO 平面 ABCD ， AG平面 ABCD ，因此 EO // 平面 ABCD .分（Ⅲ） 解： 足条件 OP 2的点 P 有12 个 .分原因以下：因ABCDA 1B 1C 1D 1 正方体， AA 1 2 ，因此 AC 2 2.因此 EO AG 1AC2 .2分在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，因 AA 1平面 ABCD ， AG 平面 ABCD ，因此 AA 1AG ，又因 EO//AG ，因此AA 1 OE ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯4D 1C 1B 1ODCGB⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯9⋯⋯⋯⋯⋯⋯12⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13中国威望高考信息资源门户点O 到棱AA 1 的距离2 ，因此在棱AA 1 上有且只有一个点（即中点E ）到点O 的距离等于2 ，同理，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1 每条棱的中点到点O 的距离都等于2 ，因此在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1 棱上使得OP2的点P有12个 .⋯⋯⋯14分18. （本小 分 13 分）（Ⅰ） 解：函数 f (x)e x 的定 域 { x | x R ，且 x 1} .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1x1分e x ( x1) e xxe x⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分f ( x)(x22.1) ( x 1)令 f ( x)0 ，得 x0 ，当 x 化 ，f ( x) 和 f ( x) 的 化状况以下：( ,1)( 1,0)(0,)xf ( x)f (x)↘ ↘ ↗⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分故 f ( x) 的 减区 ( , 1)， ( 1,0) ； 增区 (0, ) ．因此当 x 0 ，函数f ( x) 有极小 f (0)1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分（Ⅱ） 解： ：函数 g(x) 存在两个零点 .明程以下：e x由意，函数g( x)x2x 11，因 x2x 1 (x 1 )230 ，24因此函数 g( x) 的定域R .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分x2x1)x x1)e (x e (2x 1)ex (x⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7求，得 g (x)( x2x1)2( x2x1) 2，分令 g ( x)0 ，得 x10 ， x2 1 ，当 x 化，g (x)和g (x)的化状况以下：x(, 0)01(1, )(0,1)g ( x)0g ( x)↗↘↗故函数 g( x) 的减区 ( 0,1)；增区 (,0)，(1,)．当x0，函数 g( x)有极大g( 0 )；当x1，函数 g (x) 有极小g(1)e1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 3分因函数 g( x) 在(, 0)增，且 g(0)0，因此于随意 x (, 0)， g(x)0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分因函数 g( x) 在( 0,1)减，且g(0) 0 ，因此于随意x (0,1) ，g (x)0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分因函数 g( x) 在(1,) 增，且e0 ， g (2)e2g (1)1 1 0 ，37因此函数 g(x) 在(1,) 上存在一个x0，使得函数g( x0 )0 ，⋯⋯⋯⋯12分故函数 g( x) 存在两个零点（即0 和 x0）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分19．（本小分14 分）（Ⅰ）解：W的半a 2 ，左焦点F1 ( 1,0) ，右焦点F2 (1,0) ，⋯⋯⋯⋯2分由的定，得|AF1||AF2|2a ，|BF1|| BF2|2a，因此ABF1的周|AF1||AF2||BF1|| BF2|4a4 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）解：因ABF1直角三角形，因此BF1A 90o，或BAF190o，或ABF190o，当 BF1 A 90o，直 AB 的方程y k( x 1) ，A(x1, y1)，B( x2, y2)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分x2y 21,得 (1 2k2 )x24k 2 x 2k 2由2 2 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 y k ( x1),分因此 x1x24k 22， x1 x22k 22⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 2k 1 2k2.1分由 BFA90o，得 F A F B0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 111分因 F1A(x1 1, y1 ) ， F1B ( x21, y2 ) ，因此F1 A F1 B x1x2( x1x2 ) 1 y1 y2x1x2( x1x2 ) 1 k 2 (x1 1)( x21)(1 k 2 ) x1 x2(1 k 2 )( x1 x2 ) 1 k 2(1k 2 )2k22(1 k 2 )4k 2 1 k 20 ，⋯⋯⋯⋯⋯1012k212k 2分7解得 k.⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 7分当BAF190o（与ABF190o同样），点 A 在以段 F1F2直径的 x2y21上，也在W 上，x2y21,，或 A(0,1) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13由2解得 A(0,1)x2y21,分依据两点斜率公式，得 k 1 ，上，直 l 的斜率 k7k1，ABF1直角三角形.⋯⋯⋯⋯⋯14，或7分20．（本小分13 分）（Ⅰ）解： b1， b1， b 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 123分（Ⅱ）解：因 { a n} 等比数列，a1 1， a2 2 ，因此 a2n 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 n分因使得 a n≤m 建立的 n 的最大 b m，中国威望高考信息资源门户因此 b11， b2b3 2 ， b4b5b6b7 3 ， b8 b9b15 4 ，b 16b17b31 5 ， b32b33b50 6 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分因此 b1b2b3b50243 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（Ⅲ）解：由意，得 1a1 a2a3a n，合条件 a n N*，得 a n≥n.⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分又因使得a n≤m 建立的 n 的最大b m，使得 a n≤ m 1 建立的 n 的最大b m 1，因此 b11， b m≤b m 1 (m N *).⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分a2k， k≥ 2 .假 k2，即a2k >2 ，当 n≥2，a n 2 ；当n≥3， a n≥k 1.因此 b21， b k 2 .因 { b n } 等差数列，因此公差 d b2b10 ，因此 b n1，此中n N *.与 b k2(k2)矛盾，因此 a2 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11分又因 a a a an ，123因此 b 2 ，2中国威望高考信息资源门户由 {b n } 等差数列，得b n n ，此中n N *.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分因使得 a n≤m 建立的 n 的最大 b m，因此 a n≤n，由 a n≥n，得 a n n .⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分更多下：（在文字上按住ctrl即可看）高考模：高考各科模【下】年高考：年高考各科【下】高中卷道：高中各年各科卷【下】高考源：各年及学料【下】点此接可看更多高考有关【下】。

北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（文科数学）2013.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数 i (1i)⋅-= （A ）1i + （B ）1i -+ （C ）1i - （D ）1i --2．已知向量(=a ，)=λb ．若a 与b 共线，则实数=λ （A ）1- （B ）1 （C ）3- （D ）33．给定函数：①2y x =；②2xy =；③cos y x =；④3y x =-，其中奇函数是（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④4．若双曲线221y x k+=的离心率是2，则实数k = （A ）3 （B ）3- （C ）13（D ）13-5．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值， 则判断框内可以填入 （A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤ （D ）34k ≤6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是 （A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α （D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知函数||()e ||x f x x =+．若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）(0,1) （B ）(1,)+∞（C ）(1,0)-（D ）(,1)-∞-8．已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P ：当a A ∈时，必有6a A -∈．则具有性质P 的集合A 的个数是 （A ）8 （B ）7（C ）6（D ）5第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知直线1:310l x y -+=，2:210l x my +-=．若1l ∥2l ，则实数m =______．10．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”）11．在△ABC 中，2BC =，AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．12．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是______．13．已知命题:p 函数(1)1y c x =-+在R 上单调递增；命题:q 不等式20x x c -+≤的解集是∅．若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是______．14．在直角坐标系xOy 中，已知两定点(1,0)A ，(1,1)B ．动点(,)P x y 满足01,0 2.OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩则点P 构成的区域的面积是______；点(,)Q x y x y +-构成的区域的面积是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，28a =，3448a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设4log n n b a =．证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．17．（本小题满分14分）如图1，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC 的体积； （Ⅱ）证明：AE ∥平面PFC ； （Ⅲ）证明：平面PFC ⊥平面PCD ．18．（本小题满分13分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中0a >． （Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最小值． 19．（本小题满分14分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(,55，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩ 对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列； （Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,na a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，进行如下操作：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准2013.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．6-； 10．>； 11．3，2； 12．59； 13．(1,)+∞； 14．2，4． 注：11、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意 0q >． ………………1分 因为 28a =，3448a a +=，两式相除得 260q q +-=， ………………3分解得 2q =， 舍去 3q =-． ………………4分所以 214a a q==． ………………6分 所以数列{}n a 的通项公式为 1112n n n a a q -+=⋅=． ………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 41log 2n n n b a +==． ………………9分 因为 1211222n n n n b b +++-=-=， 所以数列{}n b 是首项为1，公差为12d =的等差数列． ………………11分所以 21(1)324n n n n nS nb d -+=+=． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3x π=+α．因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α，所以 sin ==α． ………………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α． （Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α． 所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα． ……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα，整理得 cos20=α． ………………11分因为 62ππ<<α， 所以 23π<<πα， 所以 22π=α， 即 4π=α． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由左视图可得 F 为AB 的中点，所以 △BFC 的面积为 12121=⋅⋅=S ．………………1分 因为⊥PA 平面ABCD ， ………………2分 所以四面体PBFC 的体积为 PA S V BFC BFC P ⋅=∆-31………………3分 322131=⋅⋅=． ………………4分（Ⅱ）证明：取PC 中点Q ，连结EQ ，FQ ． ………………5分由正（主）视图可得 E 为PD 的中点，所以EQ ∥CD ，CD EQ 21=． ………………6分 又因为AF ∥CD ，CD AF 21=， 所以AF ∥EQ ，EQ AF =．所以四边形AFQE 为平行四边形，所以AE ∥FQ ． ………………8分 因为 ⊄AE 平面PFC ，⊂FQ 平面PFC ，所以 直线AE ∥平面PFC ． ………………9分 （Ⅲ）证明：因为 ⊥PA 平面ABCD ，所以 CD PA ⊥．因为面ABCD 为正方形，所以 CD AD ⊥．所以 ⊥CD 平面PAD ． ………………11分 因为 ⊂AE 平面PAD ，所以 AE CD ⊥． 因为 AD PA =，E 为PD 中点，所以 PD AE ⊥．所以 ⊥AE 平面PCD ． ………………12分 因为 AE ∥FQ ，所以⊥FQ 平面PCD ． ………………13分 因为 ⊂FQ 平面PFC ， 所以 平面PFC ⊥平面PCD . ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-． ………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--， 即 6350x y +-=． ………………4分 （Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式80a =>∆， ………………5分令 ()0f x '=，得 112x =-，或212x =+． ………………6分 ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,1-∞，(1)++∞；单调减区间为(1-+．………………9分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增， 所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-． ………………10分 ② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()3f x a =--． ………………12分 ③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-． ………………13分 综上，当02a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -；当28a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是533a --；当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，9(5P ，所以 点M 的坐标为2(5． ………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分 解得 47m =． ………………6分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ① ………………7分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +． ………………8分 因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………9分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………11分 所以00111622(2)82m x x =+≤-++-+， ………………13分 当且仅当02x =-时，上式等号成立． 所以 m的取值范围是1(0,24-． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3-． ………………3分 （Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a '''的生成列是与12,,,nb b b '''． 从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,na a a '''第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=，，11k ka a ++'=，k k a a '≠． 显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k kb b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分 由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a '''中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21k b l k ''=-+．因为 12,,,k a a a 与12,,,ka a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k kb b '≠． 所以排列12,,,n a a a 和12,,,na a a '''的生成列也不同． ………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-． ………………9分依题意进行操作，排列12,,,n a a a 变为排列1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''． ………………10分 所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-22k b =-≥．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．………………13分。

北京市西城区2010—2011学年度高三第一学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{1}A x x =≥-，{3}B x x =<，那么集合A B = （ ）A ．{13}x x -≤<B ．{13}x x -<<C ．{1}x x <-D ．{3}x x >2．下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（ ） A ．lg y x = B ．cos y x =C ．||y x =D ．sin y x = 3．若a b >，则下列不等式正确的是（ ）A ．11a b< B ．33a b > C ．22a b > D ．a b > 4．命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是 （ ）A ．若1a b +≤，则a b >B ．若1a b +<，则a b >C ．若1a b +≤，则a b ≤D ．若1a b +<，则a b <5．设{}n a 是等差数列，若24a =，57a =，则数列{}n a 的前10项和为 （ ）A ．12B ．60C ．75D ．1206．阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，那么输入实数x 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞-B ．[2,1]--C ．[1,2]-D ．[2,)+∞7．如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将四边形ABCD沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平 面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是 （ ）A ．A C BD '⊥B ．90BA C'∠=C ．A DC '∆是正三角形D ．四面体A BCD '-的体积为138．设函数121()log ()2xf x x =-，2121()log ()2xf x x =-的零点分别为12,x x ，则（ ）A ．1201x x <<B ．121x x =C ．1212x x <<D ．122x x ≥第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i 为虚数单位，则22(1i)=+______． 10．已知1==a b ，12⋅=a b ，则平面向量a 与b 夹角的大小为______． 11．若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为______．12．在ABC ∆中，若3a b ==，3B 2π∠=，则c =____． 13．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______．14．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题是____________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()22sin f x x x =-． （Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A均为正方形，90BAC ∠=，D 为BC 中点．（Ⅰ）求证：1//A B 平面1ADC ；（Ⅱ）求证：11C A B C ⊥．17．（本小题满分13分） 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：AB CD C 1A 1B 1（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率．18．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+= （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点,A B ，线段AB的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积．19．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分） 已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1． （Ⅰ） 若1n b n =+，求4a ；（Ⅱ） 若11(2)n n n b b b n +-=≥，且12,(0)b a b b ab ==≠．（ⅰ）当1,2a b ==时，求数列{}n b 的前3n 项和；（ⅱ）当1a =时，求证：数列}{n a 中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A DBC C B B A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．i - 10．6011．412 13．(2,0)±0y ±= 14．①③④注：13题第一问2分，第二问3分；14题①③④选对其中两个命题得2分，选出错误的命题即得0分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()6f π22sin 36ππ- ………………2分 321241=-⨯=． ………………4分（Ⅱ）()f x cos21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-． ………………8分因为[,]62x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以 1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的最大值为1 ，最小值为2-． ………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连结1AC ，设1AC 交1AC 于点O ，连结OD ． ………………2分 因为11ACC A 为正方形，所以O 为1AC 中点， 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC ∆的中位线，所以1//A B OD ． ………………4分 因为OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC ． ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，11C A CA ⊥ ………………7分 因为侧面11ABB A 是正方形，1AB AA ⊥，且90BAC ∠=， 所以AB ⊥平面11ACC A ． 又11//AB A B ，所以11A B ⊥平面11ACC A ． ………………9分 又因为1C A ⊂平面11ACC A ，所以111A B C A ⊥． ………………10分 所以111C A A B C ⊥平面． ………………12分 又1B C ⊂平面11A B C ，所以11C A B C ⊥． ………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =． ………………2分 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =． ………………3分40.1040m p M ===． ………………4分 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯．……………6分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人． ………8分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人， 设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b ．ABCDC 1A 1B 1O则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，………10分而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， ………………12分 所以所求概率为11411515P =-=．（约为0.93） ………………13分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得1,c a ==， ………………2分 又221a b -=，所以21b =，22a =． ………………3分所以椭圆的方程为2212x y +=． ………………4分 （Ⅱ）设(0,1)A ，11(,)B x y ，00(,)P x y ，联立2222,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩消去y 得22(12)40k x kx ++=……（*）， ………………6分解得0x =或2412k x k =-+，所以12412kx k =-+， 所以222412(,)1212k k B k k--++，2221(,)1212k P k k -++， ………………8分 因为直线OP 的斜率为1-，所以112k-=-， 解得12k =（满足（*）式判别式大于零）． ………………10分 O 到直线1:12l y x =+ ………………11分AB ==………………12分所以△OAB 的面积为1223=． ………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知1()2(0)f x x x'=+>， ……………2分 (1)213f '=+=．故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3． ………………4分（Ⅱ）11'()(0)ax f x a x x x+=+=>． ………………5分①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞． ………………6分②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-．在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞．………………8分（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <． ………………9分max ()2g x = ………………10分由（Ⅱ）知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意． （或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意．） ………………11分当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a -+∞上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， ………13分 所以21ln()a >---， 解得31e a <-． ………………14分 20．（本小题满分14分）（Ⅰ） 解：11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+=4336410a a b =+=+=． ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）解：因为11n n n b b b +-=（2n ≥）， 所以，对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====， 即数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6． ………………5分 又数列}{n b 的前6项分别为21,21,1,2,2,1，且这六个数的和为7． 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则，当2()n k k =∈*N 时，36123456()7n k S S k b b b b b b k ==+++++=，当21()n k k =+∈*N 时，363123456616263()n k k k k S S k b b b b b b b b b ++++==++++++++123775k b b b k =+++=+ ， ………………7分所以，当n 为偶数时，372n S n =；当n 为奇数时，3732n n S +=．………………8分 （ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n ∈*N 有6n n b b +=，又数列}{n b 的前6项分别为111,,,1,,b b b b ，且这六个数的和为222b b ++．设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1n n c c +-=66666162636465n i n i n i n i n i n i n i n i a a b b b b b b ++++++++++++++-=+++++222b b =++．所以，数列}{6i n a +均为以222b b ++为公差的等差数列． (10)分因为0b >时，2220b b ++>，0b <时，22220b b ++≤-<， ………………12分所以{6n i a +}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次． 所以数列}{n a 中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次． ………………14分。

北京市西城区抽样测试高三数学（文科）答案及评分标准2001.6一、CCDCB DDABA AB . 二、（13）;)1(1+n n （14）53;（15）36cm ；（16）①③⇒②④；②③⇒①④. 三、解答题：其它解法仿此给分.（17）解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧≤->----分221240124222x x x 设t x =-22则t >0且⎪⎩⎪⎨⎧≤-->-分401201222t t t⎩⎨⎧≤≤--<>⇔分或6.43,3232 t t t ∴分8.432 ≤<t 即.22321423222≤-<⇔≤<-x og x∴43log 2132≤<+x .………………………………………11分 ∴原不等式的解集为}43log 213|{2≤<+x x .……………12分（18）解：（1）证明∵a +c =2b ∴B C A sin 2sin sin =+.………………1分∴2sin 2cos 42cos 2sin 42cos 2sin 2CA C AB BC A C A ++==-+.…4分∵02sin≠+CA . ∴2cos 22cos CA C A +=-.…………………………………………6分 （2）解：C A C A C A sin sin 31sin cos sin cos +-+61)]cos()[cos(212cos 2cos 2--++--+=C A C A C A C A)]cos()[cos(C A C A --+…………………………………………9分 )]cos()cos(2[312cos 42C A C A C A -++-+= ]12cos 2)12cos 2(2[312cos 4222--+-+-+=C A C A C A ………11分 )32cos 82cos 4(312cos 4222-+++-+=CA C A C A=1.…………………………………………………………………12分（19）解：（1）P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，∴PD ⊥CD.故∠PDA 是平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角.…2分 在Rt △P AD 中，P A ⊥AD ，P A =AD ，∴∠PDA =45°.………3分（2）取PD 中点E ，连结AE ，EN ，又M ，N 分别是AB ，PC 的中点，∴ENCD 21AB 21∴AMNE 是平行四边形， ∴MN ∥AE.…………………………………………………………5分 在等腰Rt △P AD 中，AE 是斜边的中线， ∴AE ⊥PD.又CD ⊥AD ，CD ⊥PD ∴CD ⊥平面P AD∴CD ⊥AE ，………………………………………………………7分 又PD ∩CD =D ，∴AE ⊥平面PCD.∴MN ⊥平面PCD.…………………………………………………8分 （3）∵AD ∥BC ，所以∠PCB 为异面直线PC ，AD 所成的角.………………………9分 由三垂线定理知PB ⊥BC ，设AB =x (x >0).∴222)(1axa x a PCB tg +=+=∠.…………………………10分),,0(∞∈ax∴),1(+∞∈∠PCB tg ………………………………11分 又∠PCB 为锐角，∴)2,4(ππ∈∠PCB . 即异面直线PC ，AD 所成的角的范围为)2,4(ππ.……………12分 （20）解：（1）椭圆2C 的两个焦点坐标是)1,3(),1,7(21F F -.离心率752=e .……3分由21121=+e e 可知双曲线1C 的离心率351=e .……………………4分∴16,9,2522222=-===a c b a c .………………………………5分故双曲线1C 的方程为116)1(9)2(22=--+y x .……………………6分（2）∵圆D 经过双曲线的两个焦点，∴圆心D 在直线x = –2上.……7分设圆D 的方程为2222)1(5)()2(-+=-++b b y x .………………8分 整理得：02222422=-+-++b by x y x .令y =0，得022242=-++b x x .……………………………………9分 设圆D 与x 轴的两个交点为（0,1x ），（0,2x ），则222,42121-=-=+b x x x x ..依题意|21x x -|=84)(21221=-+x x x x .即16–4（2b –22）=64，解得b =5.……………………………………12分 所以圆的方程为41)5()2(22=-++y x .……………………………13分（21）解：依题意，价格上涨x %后，销售总金额为：%)1(%)1(kx b x a y -⋅+=……………………………………………2分]10000)1(100[100002+-+-=x k kx ab.………………………………4分（1）取21=k]100005021[100002++-=x x ab y .∴x =50即商品价格上涨50%时，y 最大为ab 89.……………………7分（2）因为]10000)1(100[100002+-+-=x k kx aby . 此二次函数开口向下，对称轴为kk x )1(50-=,……………………………9分在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x |x >0}的一个子集内增大时，y 也增大。

北京市西城区2015年高三二模试卷数 学（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =（ ）A.(1,3)-B.(1,3]C.[1,3)D.[1,3]-2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（ ）A.4B.4-C.8D.8-3. 设命题p ：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则 下列命题中真命题是（ ）A.p q ∧B.()p q ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D.()p q ∧⌝4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，则输出的s 属于（ ）A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,3,9}5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图可以为（ ）A. 答案AB.答案BC.答案CD.答案D6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与 x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）A.3B.4C.5D.67. “3m >”是“曲线22(2)1mx m y --=为双曲线”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB BC AA ===，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则1B P PQ +的最小值为（ ）C.32D.2第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 复数10i3i=+____. 10. 抛物线24C y x =：的准线l 的方程是____；以C 的焦点为圆心，且与直线l 相切的圆的 方程是____.11．设函数,11,1()2,.x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪-⎩≤ 则[(2)]f f =____；函数()f x 的值域是____.12．在ABC ∆中, 角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若a =3b =，2c =， 则A =____；ABC ∆的面积为____.13. 若,x y 满足,2,1,y x y x x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤若z x my =+的最大值为53，则实数m =____. 14. 如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为([0,π])x x ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：○1π()3f○2 函数()f x 在区间π(,π)2上为减函数；○3 任意π[0,]2x ∈，都有()(π)4f x f x +-=.其中所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x+=-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间.16．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*11()n n a S n +=+∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且11b a =，公差为21a a . 当3n ≥时，比较1nb +与121n b b b ++++的大小．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（Ⅰ）求棱锥C A D E -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EF ED的值；若不存在，说明理由.某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（Ⅱ）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a >b 的概率； （Ⅲ）若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值．（只需写出结论） （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，…，n x的平均数）19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆2222 + 1(0)x y E a b a b=>>：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =.（Ⅰ）若椭圆E E 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q . 若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：点P 在直线20x y +-=上.20．（本小题满分13分）已知函数21()1x f x ax -=+，其中a ∈R .（Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，证明：存在实数0m >，使得对任意的x ，都有()m f x m -≤≤成立； （Ⅲ）当2a =时，是否存在实数k ，使得关于x 的方程()()f x k x a =-仅有负实数解？当12a =-时的情形又如何？(只需写出结论)北京市西城区2015年高三二模试卷参考答案及评分标准 高三数学（文科） 2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i + 10．1x =- 22(1)4x y -+= 11．52- [3,)-+∞ 12．π313．2 14．○1 ○3注：第10，11题第一问2分，第二问3分. 第14题多选、漏选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得cos sin 0x x -≠， ……………… 1分即 tan 1x ≠， ……………… 2分解得 ππ4x k ≠+， ……………… 4分 所以函数()f x 的定义域为π{|π,}4x x k k ≠+∈Z . ……………… 5分（Ⅱ）解：cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x +=-22(cos sin )(sin cos )cos sin x x x x x x-+=-……………… 7分(cos sin )(sin cos )x x x x =++sin 21x =+， ……………… 9分 由 ππ2π22π22k x k -++≤≤， 得 ππππ44k x k -++≤≤， ……………… 11分又因为 ππ4x k ≠+，所以函数()f x 的单增区间是ππ(π,π)44k k -++，k ∈Z . （或写成ππ[π,π)44k k -++）……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为11n n a S +=+， ○1 所以当2n ≥时，11n n a S -=+， ○2由 ○1○2两式相减，得1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥， ………………3分 因为当1n =时，2112a a =+=，所以212a a =， ………………4分 所以*12()n na n a +=∈N ． ………………5分 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 12n n a -=． ………………7分 （Ⅱ）解：因为1(1)221n b n n =+-⨯=-， ………………9分所以121n b n +=+，212(121)1112n n n b b b n +-++++=+=+，………………11分 因为2(1)(21)(2)n n n n +-+=-， ………………12分 由3n ≥，得(2)0n n ->，所以当3n ≥时，1121n n b b b b +<++++. ………………13分17．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：在Rt ΔADE中，AE == ………………1分因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C A D E -的体积为Δ11332C ADE ADE AE DEV S CD CD -⋅==⋅⋅=⋅ ………………4分（Ⅱ）证明：因为 CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥. ………………5分 又因为AE D E ⊥，CDDE D =,所以AE ⊥平面C D E . ………………7分 又因为AE ⊂平面ACE ， 所以平面ACE⊥平面CDE . …………………8分（Ⅲ）结论：在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =，使//AF 平面BCE .…………………9分解：设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED=， ………………10分过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则1=3FM CD .因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以//CD AB . 又因为3C D A B = 所以M F AB =，//FM AB ,所以四边形ABMF 是平行四边形，则//AF BM . ………………12分 又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE . ………………14分18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：根据茎叶图， 得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，……2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5. ………………4分（Ⅱ）解：记事件A 为“a >b ”， ………………5分因为乙组数据的平均数为26.7， 所以10182022233132(30)(30)4326.710a b +++++++++++=，解得 8a b +=. ……………7分 所以 a 和b 取值共有9种情况，它们是：(0,8)，(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)， (6,2)，(7,1)，(8,0)， ……………8分 其中a >b 有4种情况，它们是：(5,3)，(6,2)，(7,1)，(8,0)， ……………9分 所以a >b 的概率4()9P A =. ………………10分 （Ⅲ）解：当b =0时，2s 达到最小值． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设c ，由题意，得224a b +=，且c a = ………………2分解得a 1b =，c ………………4分所以椭圆E 的方程为2213x y +=. ………………5分（Ⅱ）解：由题意，得224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a+=-， 则1(,0)F c -，2(,0)F c，c . 设00(,)P x y ，由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率10F P y k x c=+， ………………6分 直线2F P 的斜率200F P y k x c=-， 所以直线2F P 的方程为00()y y x c x c=--， 当0x =时，00y cy x c -=-，即点00(0,)Q y c x c--，所以直线1F Q 的斜率为1F Q y k c x =-， ………………8分 因为以PQ 为直径的圆经过点1F ， 所以11PF FQ ⊥.所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⨯=⨯=-+-， ………………10分 化简，得22200(24)y x a =--， ○1 又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，所以22002214x y a a +=-，00x >，00y >， ○2 由○1○2，解得202a x =，20122y a =-， ………………12分所以002x y +=，即点P 在直线20x y +-=上. ………………14分20．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当14a =-时，函数21()114xf x x -=-， 求导，得22222224(1)3()114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==--， ………………2分因为(1)0f =，(1)43f '=-， ………………3分 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为4340x y +-=.…………4分 （Ⅱ）证明：当0a >时，21()1xf x ax -=+的定义域为R .求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+， ………………5分令()0f x '=，解得110x =<，211x =>， ………………6分当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：………………8分 所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减.又因为(1)0f =，当1x <时，21()01x f x ax -=>+；当1x >时，21()01x f x ax -=<+，所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤.记12max{()|,()|}||M f x f x =，其中12max{()|,()|}||f x f x 为两数1()||f x ， 2()||f x 中最大的数， 综上，当0a >时，存在实数[,)m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式()m f x m -≤≤ 恒成立. ……………10分（Ⅲ）解：当12a =-与2a =时，不存在实数k ，使得关于实数x 的方程()()f x k x a =-仅有负实数解.。

北京市西城区高三二模试卷理数北京市西城区2011年高三二模试卷数学（理科）2011.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A=，{1,0,3}B a=-+，且A B⊆，则a等于（A）1（B）0（C）2-（D）3-2.已知i是虚数单位，则复数23z i+2i3i=+所对应的点落在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3.在ABC∆中，“0AB BC⋅>”是“ABC∆为钝角三角形”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件4.已知六棱锥P ABCDEF-的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不．正确．．的是（A）//CD平面PAF（B）DF⊥平面PAF（C ）//CF 平面PAB （D ）CF ⊥平面PAD 5.双曲线22221x y a b -=的渐近线与圆22(2)1xy +-=相切，则双曲线离心率为（A 2 （B 3 （C ）2 （D ）3 6.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（A ）10 （B ）8（C ）87（D ）477．已知数列{}na 的通项公式为13na n =-，那么满足119102k k k a a a +++++=的整数k （A ）有3个 （B ）有2个 （C ）有1个 （D ）不存在8．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22ab +（A ）最小值为15 （B 5（C ）最大值为15（D ）最大值为55第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.xA B P y O9．在ABC ∆中，若2B A =，:3a b =，则A =_____.10.在521()x x+的展开式中，2x 的系数是_____.11．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD切圆O 于点C .已知圆O 32OP =，则 PC =______；ACD ∠的大小为______. 12.在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_____.13．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(2)f =______；()f x 在区间[2,2]-上的最小值为______. 14.数列{}na 满足11a=，11n nn a a n λ+-=+，其中λ∈R ，⋅⋅⋅=,2,1n ．①当0λ=时，20a =_____；②若存在正整数m ，当n m >时总有0na<，则λ的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出O AB DC •a b ≥开始 输入,a b否结束S b= S a =输出S 是必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数cos 2()sin()4x f x x π=+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若4()3f x =，求sin 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O =.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使32BD =，得到三棱锥B ACD -.（Ⅰ）若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ； （Ⅱ）求二面角A BD O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N 点的位置，使得42CN =，并证明你的结论.M17.（本小题满分13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率. （Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望.18.（本小题满分14分）已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ， 求ABC ∆面积的最大值．20.（本小题满分13分）若,,21A A …mA 为集合,2,1{=A …，n}(n ≥2且)n ∈*N 的子集，且满足两个条件： U U 21A A …A A m=U ；②对任意的A y x ⊆},{，至少存在一个,3,2,1{∈i …,m}，使}{},{x y x A i=⋂或}{y .则称集合组,,21A A …mA 具有性质P .如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨⎧∉∈=)(0)(1llklA k A k a . （Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理11a 12a … ma 121a 22a … ma 2 …………1n a 2n a … nma由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===； 集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===.（Ⅱ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；（Ⅲ）当100n =时，集合组12,,,tA A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及++21A A …+iA 的最小值.（其中||i A 表示集合iA 所含元素的个数）。

北京市西城区2011年高三二模文科数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A =,{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 （A ）1（B ）0（C ）2- （D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数2z 12i+3i =+所对应的点落在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3.已知a b <，则下列不等式正确的是（A ）11a b > （B ）22a b >（C ）22a b ->-（D ）22a b>4.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅= ”是“ABC ∆为直角三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件 5．一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于（A ）2 （B ）1（C ）16（D ）236.函数sin ()y x x =π∈R 的部分图象如图所示，设O 为坐标原点，P 是图象的最高点，B 是图象与x 轴的交点，则tan OPB ∠=xBPyO1正(主)视图 俯视图2 22侧(左)视图21（A ）10 （B ）8（C ）87 （D ）477．若2a >，则函数3()33f x x ax =-+在区间(0,2)上零点的个数为 （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个（D ）3个8．已知点(1,0),(1,0)A B -及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为 （A ）3（B ）2（C ）3（D ）2第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 已知}{n a 为等差数列，341a a +=，则其前6项之和为_____.10．已知向量(1,3)=a ，(0,3)+=a b ，设a 与b 的夹角为θ，则θ=_____. 11.在ABC ∆中，若2B A =，:1:3a b =，则A =_____.12．平面上满足约束条件2,0,60x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点(,)x y 形成的区域为D ，则区域D 的面积为________；设区域D 关于直线21y x =-对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离 最近的两点的距离为________.13.定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示. 则0(1)⊗-=______；设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(1)f =______.14.数列{}n a 满足11a =，11n nn a a n λ+-=+，其中λ∈R ，12n = ，，．给出下列命题：①λ∃∈R ，对于任意i ∈*N ，0i a >；②λ∃∈R ，对于任意2()i i ≥∈*N ，10i i a a +<； a b ≥开始 输入,a b否结束S b= S a =输出S 是③λ∃∈R ，m ∈*N ，当i m >（i ∈*N ）时总有0ia <.其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数12sin()43()sin x f x x π+-=.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若()2f x =，求sin 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC 的中点，32DM =. （Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （Ⅲ）求三棱锥M ABD -的体积.17.（本小题满分13分）由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持 保留 不支持20岁以下800450 200 20岁以上（含20岁） 100150300（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从“支持”态度的人中抽ABABCCDMODO取了45人，求n的值；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.18.（本小题满分14分）设函数()e xf x=，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数()()eg x f x x=-的单调区间；（Ⅱ）记曲线()y f x=在点00(,())P x f x（其中0x<）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值.19.（本小题满分14分）已知椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的焦距为23，离心率为32.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点(0,)B b，斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且,,BD BE DE成等比数列，求2k的值.20.（本小题满分13分）若函数)(xf对任意的x∈R，均有)(2)1()1(xfxfxf≥++-，则称函数)(xf具有性质P.（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由.①(1)xy a a=>；②3y x=.（Ⅱ）若函数)(xf具有性质P，且(0)()0f f n==（2,n>n∈*N），求证：对任意{1,2,3,,1}i n∈-有()0f i≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n∈均有0)(≤xf.若成立给出证明，若不成立给出反例.参考答案及评分标准 2011.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B C AD B B C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 3 10. 120 11. 3012. 1；25 13. 1；1- 14. ①③注：12、13题第一问2分，第二问3分.14题只选出一个正确的命题给2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）解：解：（Ⅰ）由题意，sin 0x ≠， ……………2分 所以，()x k k ≠π∈Z . ……………3分函数()f x 的定义域为{,}x x k k ≠π∈Z . ……………4分（Ⅱ）因为()2f x =，所以12sin()2sin 43x xπ+-=， ……………5分2212(sin cos )2sin 223x x x +-=， ……………7分1cos sin 3x x -=， ……………9分 将上式平方，得11sin 29x -=， ……………12分所以8sin 29x =. ……………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点， 所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . ……………2分 因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ，所以//OM 平面ABD . ……………4分 （Ⅱ）证明：由题意，3OM OD ==,因为32DM =,所以90DOM ∠=，OD OM ⊥. ……………6分又因为菱形ABCD ，所以OD AC ⊥. …………7分 因为OM AC O = ,所以OD ⊥平面ABC ， ……………8分 因为OD ⊂平面MDO ，所以平面ABC ⊥平面MDO . ……………9分（Ⅲ）解：三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥D ABM -的体积. ……………10分 由（Ⅱ）知，OD ⊥平面ABC ，所以3OD =为三棱锥D ABM -的高. ……………11分ABM ∆的面积为11393sin120632222BA BM ⨯⨯=⨯⨯⨯=， ……………12分 所求体积等于19332ABM S OD ∆⨯⨯=. ……………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得80010080045020010015030045n ++++++=， ……………2分ABCMOD所以100n =. ……………3分（Ⅱ）设所选取的人中，有m 人20岁以下，则2002003005m=+，解得2m =.………5分也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为 (A1,B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)，(B1 ,B2)，(B2 ,B3)，(B1 ,B3)共10个. ………7分 其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)， …………8分所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为710. ……………9分 （Ⅲ）总体的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=，………10分那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2， ……………12分所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为81. ……………13分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e e xg x x =-， 所以()e e xg x '=-， ……………2分 由()e e 0x g x '=-=，得1x =， ……………3分 所以，在区间(,1)-∞上，()0g x '<，函数()g x 在区间(,1)-∞上单调递减； ……………4分在区间(1,)+∞上，()0g x '>，函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递增； ……………5分 即函数()g x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞.（Ⅱ）因为()e xf x '=，所以曲线()y f x =在点P 处切线为l ：000e e ()x x y x x -=-. ……………7分 切线l 与x 轴的交点为0(1,0)x -，与y 轴的交点为000(0,e e )x x x -， ……………9分因为00x <，所以002000011(1)(1)e (12)e 22x x S x x x x =--=-+， ……………10分 0201e (1)2x S x '=-， ……………12分在区间(,1)-∞-上，函数0()S x 单调递增，在区间(1,0)-上，函数0()S x 单调递减.……………13分所以，当01x =-时，S 有最大值，此时2e S =，所以，S 的最大值为2e . ……………14分19、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知223c =，32c a=. ……………2分 解得2,3a c ==， ……………4分所以2221b a c =-=， 椭圆的方程为2214x y +=. ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得过B 点的直线为1y kx =+，由221,41,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 得22(41)80k x kx ++=， ……………6分 所以2814D k x k =-+，所以221414D k y k -=+， ……………8分 依题意0k ≠，12k ≠±.因为,,BD BE DE 成等比数列，所以2BE BD DE=， ……………9分所以2(1)D Db y y =-，即(1)1D D y y -=， ……………10分当0D y >时，210D D y y -+=，无解， ……………11分 xy ODB E当0D y <时，210DD y y --=，解得152D y -=， ……………12分所以221415142k k--=+，解得2254k +=， 所以，当,,BD BE DE成等比数列时，2254k +=. ……………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：①函数)1()(>=a a x f x具有性质P . ……………1分 111(1)(1)2()2(2)x x x x f x f x f x a a a a a a -+-++-=+-=+-，因为1>a ，1(2)0x a a a +->， ……………3分即)(2)1()1(x f x f x f ≥++-， 此函数为具有性质P .②函数3)(x x f =不具有性质P . ……………4分例如，当1x =-时，(1)(1)(2)(0)8f x f x f f -++=-+=-，2()2f x =-， ……………5分所以，)1()0()2(-<+-f f f ， 此函数不具有性质P .（Ⅱ）假设)(i f 为(1),(2),,(1)f f f n - 中第一个大于0的值， ……………6分 则0)1()(>--i f i f ， 因为函数()f x 具有性质P ，所以，对于任意n ∈*N ，均有(1)()()(1)f n f n f n f n +-≥--，所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ， 所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+++-+> ，与0)(=n f 矛盾，所以，对任意的{1,2,3,,1}i n ∈- 有()0f i ≤. ……………9分 （Ⅲ）不成立.例如2()()x x n x f x x x -⎧=⎨⎩为有理数，为无理数. ……………10分 证明：当x 为有理数时，1,1x x -+均为有理数，222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=，当x 为无理数时，1,1x x -+均为无理数，22)1()1()(2)1()1(222=-++-=-++-x x x x f x f x f所以，函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，即函数)(x f 具有性质P . ……………12分 而当],0[n x ∈（2n >）且当x 为无理数时，0)(>x f .所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f ”不成立.……………13分 （其他反例仿此给分.如()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为整数为非整数，2()()()x x f x x ⎧=⎨⎩为整数为非整数，等.）。

北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（•西城区二模）复数i•（1﹣i）=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数i•（1﹣i）=1+i．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则及i2=﹣1是解题的关键．2．（5分）（•西城区二模）已知向量=，=．若与共线，则实数λ=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出，解出即可．解答：解：∵，∴，解得λ=﹣1．故答案为A．点评：熟练掌握向量共线定理是解题的关键．3．（5分）（•西城区二模）给定函数：①y=x2；②y=2x；③y=cosx；④y=﹣x3，其中奇函数是（）A．①B．②C．③D．④考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的定义逐项判断即可得到答案．解答：解：：①y=x2是偶函数，故排除A；②y=2x非奇函数也非偶函数，故排除B；③y=cosx为偶函数，故排除C；④令f（x）=﹣x3，定义域为R，且f（﹣x）=﹣（﹣x）3=x3=﹣f（x），所以f（x）是奇函数，故选D．点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．4．（5分）（•西城区二模）若双曲线的离心率是2，则实数k=（）A．3B．﹣3 C．D．考点：程序框图．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程可知a和b，进而求得c的表达式，利用离心率为2求得k的值．解答：解：依题意可知，k＜0，故a=1，b=，∴c=，∴==2，求得k=﹣3．故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生的基础知识．5．（5分）（•石景山区二模）如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）A．k≤10B．k≤16C．k≤22D．k≤34考点：程序框图．专题：图表型．分析：由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．解答：解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k＜33，或者k≤22．故选C．点评：本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果．6．（5分）（•石景山区二模）对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A．m⊥n，n∥αB．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥αD．m⊥n，n⊥β，β⊥α考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可．解答：解：对于A，”m⊥n，n∥α”，如正方体中AB⊥BC，BC∥平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确；1 / 7对于B，“m∥β，β⊥α”，如正方体中A′C′∥面ABCD，面ABCD⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m⊥α，故不正确；对于C，根据m⊥β，n⊥β，得m∥n，又n⊥α，根据线面垂直的判定，可得m⊥α，可知该命题正确；对于D，“m⊥n，n⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB，AB⊥面BCC′B′，面ABCD⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m⊥α，故不正确．故选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．（5分）（•西城区二模）已知函数f（x）=e|x|+|x|．若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：将方程f（x）=k恰有两个不同的实根，转化为方程e|x|=k﹣|x|恰有两个不同的实根，再转化为一个函数y=e|x|的图象与一条折线y=k﹣|x|的位置关系研究．解答：解：方程f（x）=k化为：方程e|x|=k﹣|x|令 y=e|x|，y=k﹣|x|，y=k﹣|x|表示过斜率为1或﹣1的平行折线系，折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时，有k=1，如图，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（1，+∞）．故选B．点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断，解答关键是利用直线与曲线的位置关系．8．（5分）（•西城区二模）已知集合{1，2，3，4，5}的非空子集A具有性质P：当a∈A时，必有6﹣a∈A．则具有性质P的集合A的个数是（）A．8B．7C．6D．5考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，满足当a∈A时，必有6﹣a∈A的有3；1、5；2、4三组，列举满足条件的集合，进而可得答案．解答：解：根据题意，满足题意的子集有{3}、{ 1，5}、{ 2，4}、{3，1，5}、{3，2，4}、{3，1，5，2，4}、{1，5，2，4}，共7个；故选B．点评：本题考查集合的子集，关键是理解题意中“当a∈A时，必有6﹣a∈A”的含义．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（•西城区二模）已知直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．若l1∥l2，则实数m= ﹣6 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：求出已知直线的斜率，利用两条直线的平行斜率相等，求出m的值即可．解答：解：直线l1：x﹣3y+1=0的斜率为：，因为直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．l1∥l2，所以=，解得m=﹣6；故答案为：﹣6．点评：不考查直线与直线平行的充要条件的应用，考查计算能力．10．（5分）（•石景山区二模）如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则＞．（填入：“＞”，“=”，或“＜”）考点：茎叶图．专题：图表型．分析：由茎叶图，分别确定出甲、乙两班同学身高数，通过计算平均数比较出大小．解答：解：由茎叶图，甲班平均身高为（151+153+165+167+170+172）÷6=163乙班平均身高为（150+161+162+163+164+172）÷6=162＜163．则＞．故答案为：＞．点评：本题考查茎叶图和平均数，解题的关键是看清所给的数据的个数，以及准确的读取数据．属于基础题．11．（5分）（•石景山区二模）在△ABC中，BC=2，，，则AB= 3 ；△ABC的面积是．考点：正弦定理；三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，建立关于边AB 的方程，解之即可得到边AB的值，再由正弦定理关于面积的公式，代入题中数据即可求出△ABC的面积．解答：解：∵在△ABC中，BC=2，，，∴由余弦定理，得AC 2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos，即7=AB2+22﹣2×2×ABcos，化简整理得AB2﹣2AB﹣3=0，可得AB=3（舍去﹣1）根据正弦定理，得△ABC的面积为S=BC•ABsinB=×2×3×sin=故答案为：3，点评：本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求第三边的长并求三角形的面积，着重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于基础题．12．（5分）（•西城区二模）设a，b随机取自集合{1，2，3}，则直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；直线与圆相交的性质．专题：概率与统计．分析：由题意可得，直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，化简即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3个，用列举法求得满足条件的（a，b）共有5个，由此求得直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率．解答：解：直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤1，即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3=9个，而满足条件的（a，b）共有：（1，3）、（2，3）、（3，3）、（3，1）、（3，2），共有5个，故直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．还考查了直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．13．（5分）（•西城区二模）已知命题p：函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增；命题q：不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅．若p且q为真命题，则实数c的取值范围是（1，+∞）．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增可得c﹣1＞0可求p为真时c的范围，由不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅可得△=1﹣4c＜0可求q为真时c的范围，然后由p且q为真命题，则p，q都为真命题，可求解答：解：∵函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增∴c﹣1＞0即p：c＞1；∵不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅△=1﹣4c＜0∴c即q：c若p且q为真命题，则p，q都为真命题∴，即c＞1故答案为：（1，+∞）点评：本题主要考查了复合命题真假关系的应用，解题的个关键是命题p，q为真是对应c的范围的确定14．（5分）（•西城区二模）在直角坐标系xOy中，已知两定点A（1，0），B（1，1）．动点P（x，y）满足则点P构成的区域的面积是 2 ；点Q（x+y，x﹣y）构成的区域的面积是 4 ．考点：平面向量数量积的运算；简单线性规划．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得，画出可行域为：直角梯形OABD及其内部区域，数形结合求得直角梯形OABD的面积．设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，可得，点Q的可行域为直角三角形OMN及其内部区域，数形结合求得点Q（s，t）构成的区域的面积．解答：解：由题意可得，即，画出可行域为：平行四边形OABD及其内部区域，其中D（0，2），E（1，0），故点P构成的区域的面积是OD×QE=2×1=2．3 / 7设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，即．再由可得，∴点Q的可行域为平行四边形ORMN及其内部区域，如图所示：M（2，0）、N（0，2），故点Q（s，t）构成的区域的面积是2×S△OMN =2×=2×=4，故答案为2，4．点评：本题主要考查简单的线性规划问题，两个向量的数量积的定义，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（•西城区二模）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4a n．证明：{b n}为等差数列，并求{b n}的前n项和S n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和对数的运算法则进行化简，再计算b n+1﹣b n是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可．解答：（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意 q＞0．∵a2=8，a3+a4=48，∴a1q=8，．两式相除得 q2+q﹣6=0，解得 q=2，舍去 q=﹣3．∴．∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．∵，∴数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列．∴．点评：熟练掌握等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的定义、等差数列的前n项和公式是解题的关键．16．（13分）（•石景山区二模）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数定义，得 x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得 y1=sinα，，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．解答：（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得 y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos +cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．17．（14分）（•西城区二模）如图1，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC的体积；（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）利用左视图可得 F为AB的中点，即可得到三角形BFC的面积，由PA⊥平面ABCD，可知PA是四面体PBFC 的底面BFC上的高，利用三棱锥的体积计算公式即可得到；（II）利用三角形的中位线定理即可得到EQ∥CD，．再利用底面正方形的性质可得AF∥CD，，利用平行四边形的判定和性质定理即可得到AE∥FQ，利用线面平行的判定定理即可证明结论；（III）利用线面垂直的性质定理和判定定理即可得到CD⊥平面PAD，从而得到CD⊥AE，由等腰三角形的性质可得AE⊥PD，利用线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PCD，而FQ∥AE，可得FQ⊥平面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证明结论．解答：（Ⅰ）解：由左视图可得 F为AB的中点，∴△BFC的面积为．∵PA⊥平面ABCD，∴四面体PBFC 的体积为=．（Ⅱ）证明：取PC中点Q，连接EQ，FQ．由正（主）视图可得 E为PD的中点，∴EQ∥CD，．又∵AF∥CD，，∴AF∥EQ，AF=EQ．∴四边形AFQE为平行四边形，∴AE∥FQ．∵AE⊄平面PFC，FQ⊂平面PFC，∴直线AE∥平面PFC．（Ⅲ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD．∴CD⊥平面PAD．∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．∴AE⊥平面PCD．∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD．∵FQ⊂平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD．点评：正确理解三视图，熟练掌握三角形BFC的面积、三棱锥的体积计算公式、三角形的中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理和判定定理、等腰三角形的性质、面面垂直的判定定理是解题的关键．18．（13分）（•西城区二模）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[2，3]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=2代入函数解析时候，求出f（1）及f′（1），利用直线方程的点斜式求切线方程；（Ⅱ）求出原函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判断出原函数在各区间段内的单调性，然后根据a的范围分析原函数在区间[2，3]上的单调性，利用函数单调性求出在a的不同取值范围内函数f（x）在区间[2，3]上的最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且 f'（x）=2x2﹣4x+2﹣a．当a=2时，，f'（1）=2﹣4=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即 6x+3y﹣5=0．（Ⅱ）解：方程f'（x）=0的判别式△=8a＞0，5 / 7令 f'（x）=0，得，或．f（x）和f'（x）的情况如下：x （﹣∞，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗故f（x ）的单调增区间为，；单调减区间为．①当0＜a≤2时，x2≤2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．②当2＜a＜8时，x1＜2＜x2＜3，此时f（x）在区间（2，x2）上单调递减，在区间（x2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．③当a≥8时，x1＜2＜3≤x2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递减，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是f（3）==7﹣3a．综上，当0＜a≤2时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当2＜a＜8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当a≥8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是7﹣3a．点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数判断函数的单调性，训练了利用函数单调性求函数的最值，解答此题的关键是对参数a的分类，考查了分类讨论的数学思想，是中档题．19．（14分）（•石景山区二模）如图，椭圆的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为，求m的值；（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意知M是线段AP的中点，由中点坐标公式可得M坐标，代入椭圆方程即可得到m值；（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标，由OP⊥OM得②，联立①②消去y0，分离出m用基本不等式即可求得m的范围；解答：解：（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，因为A（﹣1，0），，所以点M 的坐标为．由于点M在椭圆C上，所以，解得．（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x0+1，2y0）．因为OP⊥OM，所以，所以，即．②由①，②消去y0，整理得．所以，当且仅当时，上式等号成立．所以m 的取值范围是．点评：本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质，属中档题，垂直问题转化为向量的数量积为0是常用手段，要灵活运用．20．（13分）（•西城区二模）已知集合S n={（x1，x2，…，x n）|x1，x2，…，x n是正整数1，2，3，…，n的一个排列}（n≥2），函数对于（a1，a2，…a n）∈S n，定义：b i=g（a i﹣a1）+g（a i﹣a2）+…+g（a i﹣a i﹣1），i∈{2，3，…，n}，b1=0，称b i为a i的满意指数．排列b1，b2，…，b n为排列a1，a2，…，a n的生成列．（Ⅰ）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列；（Ⅱ）证明：若a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n为S n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于S n中的排列a1，a2，…，a n，进行如下操作：将排列a1，a2，…，a n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据定义直接可求出n=6时的生成列（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，则通过比较可知a k≠a'k，只要证明：b k≠b'k．即可（Ⅲ）先设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，则可得b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．然后进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n，可证解答：（Ⅰ）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，﹣2，1，4，3．（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，即：a n=a'n，a n﹣1=a'n﹣1，…，a k+1=a'k+1，a k≠a'k．显然 b n=b'n，b n﹣1=b'n﹣1，…，b k+1=b'k+1，下面证明：b k≠b'k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i﹣1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k﹣l﹣1项比a k大，而b k=l﹣（k﹣l﹣1）=2l﹣k+1．同理，设排列a'1，a'2，…，a'n中有l'项比a'k小，则有k﹣l'﹣1项比a'k大，从而b'k=2l'﹣k+1．因为 a1，a2，…，a k与a'1，a'2，…，a'k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a'k，所以l≠l'，从而 b k≠b'k．所以排列a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n的生成列也不同．（Ⅲ）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．依题意进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n．所以（b'1+b'2+…+b'n）﹣（b1+b2+…+b n）=[g（a1﹣a k）+g（a2﹣a k）+…+g（a k﹣1﹣a k）]﹣[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2b k≥2．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．点评：本题以新定义为载体，主要考查了数列知识的综合应用及一定的逻辑推理与运算的能力．7 / 7。

北京市西城区（北区）2010 — 2011学年度第二学期学业测试高二数学（文科） 2011.7试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{,}A a b =，则满足{,,}A B a b c =的不同集合B 共有（ ）（A ）1 个 （B ）2个（C ）3个（D ）4个2．“0a b >>”是“11a b<”的（ ） （A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不是充分条件也不是必要条件3．已知函数10xy =的反函数为()y f x =，那么1()100f =（ ） （A ）2 （B ）2-（C ）1（D ）1-4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且50S >，那么下列结论中一定正确的是（ ） （A ）30a < （B ）30S < （C ）30a > （D ）30S >5．设c ∈R ，函数2()2f x x x c =-+．关于函数()f x 的下述四个命题中，真命题为（ ） （A ）(0)(2)f f > （B ）(0)(2)f f < （C ）()1f x c ≥- （D ）()1f x c ≤-6．已知数列{}n a 的前n 项和3(2)2n n S a =-，1,2,3,n =，那么n a =（ ）（A ）33n- （B ）23n⋅ （C ）123n -⋅（D ）133n +-7．函数21()log f x x x=-+的零点所在的区间是（ ） （A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2 （C ）3(1,)2（D ）3(,2)28．设集合A ⊆R ，如果实数0x 满足：对0r ∀>，总x A ∃∈，使得00||x x r <-<，则称0x 为集合A 的聚点．给定下列四个集合： ① Z ； ② {|0}x x ∈≠R ； ③ {|1n n n ∈+Z ，0}n ≥； ④ 1{|n n∈Z ，0}n ≠． 上述四个集合中，以0为聚点的集合是（ ） （A ）①、③（B ）②、③（C ）①、④（D ）②、④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．已知函数21,0,()2,0,x x f x x x -<⎧=⎨->⎩ 那么(1)(1)f f -+=_________.10．若幂函数y x α=的图象经过点1(2,)4，则α=_________.11．已知等差数列{}n a 的公差是2，其前4项和是20-，则2a =_________.12．已知()f x 是周期为2的偶函数．当01x ≤≤时，()f x 的图象是右图中的线段AB ，那么4()3f =_________.13．当[1,1]x ∈-时，函数2()ex x f x =的值域是_________.14．在数列{}n a 中，121a a ==，11(1)(1)n n n a n a n a +-+-=+，2,3,4,n =. 关于数列{}n a 给出下列四个结论：① 数列1{}n n a na +-是常数列； ② 对于任意正整数n ，有1n n a a +≤成立； ③ 数列{}n a 中的任意连续3项都不会成等比数列； ④ 121nk k k a na n =+=+∑． 其中全部正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分13分）已知全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，{|26}Q x a x a =<<+. （Ⅰ）求集合U P ð；（Ⅱ）若U P Q ⊆ð，求实数a 的取值范围.16．（本小题满分13分）已知函数32()6f x x ax =-，其中0a ≥.（Ⅰ）当1a =时，求曲线)(x f y =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．17．（本小题满分13分）已知等比数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．12a =，314S =． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分13分）如图，设计建造一个面积为24840m 的矩形蔬菜温室，其长与宽的比为(1)λλ>．沿温室的左、右两侧各留8m 宽的空道，上、下两侧各留5m 宽的空道．试确定温室的长和宽，使其占地（包括蔬菜温室及空道）面积最小．19．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x x a x =-+不是单调函数，且无最小值． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设0x 是函数()f x 的极值点，证明：0()0f x <.20．（本小题满分14分）已知n 次多项式()(12)(14)(18)(12)n n S x x x x x =++++，其中n 是正整数.记()n S x 的展开式中x 的系数是n a ，2x 的系数是n b .（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）证明：12142n n n n b b +++-=-；（Ⅲ）是否存在等比数列{}n c 和正数c ，使得1()()n n n b c c c c +=--对任意正整数n 成立？若存在，求出通项n c 和正数c ；若不存在，说明理由.北京市西城区（北区）2010 — 2011学年度第二学期学业测试高二数学（文科）参考答案及评分标准 2011.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. D ；2. A ；3. B ；4. C ；5. C ；6. B ；7. D ；8. D .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 4-； 10. 2-； 11. 6-； 12.53； 13. [0,e]； 14. ①、②、③、④. 注：14题少解不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.（如有其他方法，仿此给分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，所以 {|(2)0}U P x x x =-<ð， ………………………… 4分即集合{|02}U P x x =<<ð. ………………………… 6分 （Ⅱ）因为 U P Q ⊆ð，所以 0,262,a a ≤⎧⎨+≥⎩ ………………………… 10分解得 0,2.a a ≤⎧⎨≥-⎩所以 [2,0]a ∈-. ………………………… 13分 注：第（Ⅱ）小问没有等号扣2分. 16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，32()6f x x x =-，2()312f x x x '=-． ………………………… 2分所以 曲线)(x f y =在点(1,(1))f 处的切线斜率是(1)9f '=-． ………………………… 3分 因为 (1)5f =-，所以 曲线)(x f y =在点(1,(1))f 处的切线方程是59(1)y x +=--，即940x y +-=. ………… 5分（Ⅱ）令2()3123(4)0f x x ax x x a '=-=-=，得10x =，24x a =. ………………………… 7分 ① 当0a =时，2()30f x x '=≥，故()f x 在R 上为增函数. ………………………… 9分 ② 当40a >，即0a >时，列表分析如下：所以函数()f x 在(,0)-∞和(4,)a +∞内单调递增，在(0,4)a 内单调递减．………………………… 13分综上，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(,0)-∞和(4,)a +∞内单调递增，在(0,4)a 内单调递减.17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列}{n a 的公比是q ，依题意 0q >． ………………………… 1分 由314S =，得 21(1)14a q q ++=，整理得 260q q +-=． ………………………… 3分 解得 2q =，舍去3q =-． ………………………… 5分所以数列}{n a 的通项公式为112n n n a a q -=⋅=． ………………………… 6分 （Ⅱ）由2n n n b n a n =⋅=⋅， ………………………… 7分 得 231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，所以 234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅． ………………………… 10分 两式相减，得 231(2222)2n n n T n +=-+++++⋅， ………………………… 12分所以 1(1)22n n T n +=-+． ………………………… 13分18.（本小题满分13分）解：设矩形温室宽为m x ，则长为m x λ，依题意有24840x λ=． ………………………… 2分 记矩形温室的占地面积为S ，则2(16)(10)(1016)160S x x x x λλλ=++=+++． ………………………… 5分 将24840x λ=代入上式，整理得3025500016()S x x =++． ………………………… 8分 根据均值定理，当3025x x =时，即55x =（此时815λ=>）时，S 取得最小值． …………… 11分此时，温室的长为85588m 5x λ=⨯=． ………………………… 12分答：矩形温室的长为88m ，宽为55m 时，温室的占地面积最小． ………………………… 13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0}x x >. ………………………… 1分对()f x 求导数，得222()22a x x a f x x x x-+'=-+=. ………………………… 3分显然，方程2()0220f x x x a '=⇔-+= (0)x >.若()f x 不是单调函数，且无最小值，则方程2220x x a -+=必有2个不相等的正根. …………… 5分所以 480,0,2a a ∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩ 解得102a <<. ………………………… 7分（Ⅱ）设方程2220x x a -+=的2个不相等的正根是1x ，2x ，其中12x x <.所以2122()()22()x x x x x x a f x x x---+'==. ………………………… 9分列表分析如下：所以，1x 是极大值点，2x 是极小值点，12()()f x f x >.故只需证明1()0f x <. ………………………… 11分 由 120x x <<，且121x x +=，得1102x <<. ………………………… 12分 因为 102a <<，1102x <<， 所以 1111()(2)ln 0f x x x a x =-+<.从而0()0f x <. ………………………… 14分20.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由 242n n a =+++， ………………………… 2分得 12(12)2212n n n a +-==--. ………………………… 3分 （Ⅱ）由()(12)(14)(12)n n S x x x x =+++，得 11()(12)()n n n S x x S x ++=+⋅. ………………………… 6分 所以 12122(21)n n n n n n n b b a b +++=+⋅=+-，即 21212(21)42n n n n n n b b ++++-=-=-. ………………………… 8分 （Ⅲ）由1()12S x x =+，得10b =. ………………………… 9分 当2n ≥时， 由 2211122222222()2(21)4[]4(22)(1)14123n n n nnk k nn kk k k b bb +--==--+=-=-=-=----∑∑，得 18(21)(21)3n n n b -=--. 当1n =时，10b =也适合上式，故18(21)(21)3n n n b -=--，*n ∈N . ………………………… 12分因此，存在正数c ==122n n n c c -=⋅=，使得1()()n n n b c c c c +=--对于任意 正整数n 成立. ………………………… 14分。