同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作a 或AB u u u r模向量a 的模记作a和差单位向量0a ≠，则a a e a=方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos点乘（数量积）θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b的夹角叉乘（向量积）θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==平面 直线法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M 方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式一般式点法式点向式 三点式参数式截距式两点式面面垂直线线垂直面面平行线线平行线面垂直线面平行点面距离 面面距离面面夹角 线线夹角 线面夹角空间曲线Γ切向量切“线”方程：)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-法平“面”方程：切向量切“线”方程：)()(100000x z z x y y x x ψϕ'-='-=-第十章重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分平面薄片的质量质量=面密（1）利用直角坐标系X—型⎰⎰⎰⎰=Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(φφY—型⎰⎰⎰⎰=d c y yDdxyxfdydxdyyxf)()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3：法平“面”方程：空间曲面∑：法向量切平“面”方程：法“线“方程：或切平“面”方程：法“线“方程：度⨯面积（2）利用极坐标系使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x yα+, α为实数 )P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）P141—例2应用该性质更方便计算步骤及注意事项1．画出积分区域2．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4．确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5．计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分空间立体物的质量质量=密度⨯面积(1)利用直角坐标⎩⎨⎧截面法投影法投影⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩbayxzyxzxyxyzzyxfyxVzyxf),(),()()(2121d),,(ddd),,(P159—例1P160—例2（2）利用柱面坐标cossinx ry rz zθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如2222()()f x y f x z++P161—例3（3）利用球面坐标cos sin cossin sin sincosx ry rz rρθϕθρθϕθϕ==⎧⎪==⎨⎪=⎩适用范围:○1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，222()f x y z++P165—10-(1)（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分曲形构件的参数法（转化为定积分）（1）:()L y xϕ=dtttttfI⎰+=βαψϕϕϕ)(')('))(),((22P189-例1P190－3质量质量=线密度⨯弧长（2）():()()x tL ty tϕαβφ=⎧≤≤⎨=⎩dxxyxyxfI ba⎰+=)('1))(,(2（3）()()r rθαθβ=≤≤()cos:()sinx rLy rθθθθ=⎧⎨=⎩平面第二类曲线积分变力沿曲线所做的功（1）参数法（转化为定积分）P196-例1、例2、例3、例4（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）②P，Q具有一阶连续偏导数结论：dydxyPxQQdyPdxDL⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+)(应用：⎪⎩⎪⎨⎧助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞满足条件直接应用P205－例4P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特殊路径法）P211-例5、等价条件：①yP xQ∂∂=∂∂ ②0=+⎰LQdy Pdx③⎰+LQdy Pdx 与路径无关，与起点、终点有关④Qdy Pdx +具有原函数),(y x u（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）例6、例7（4）两类曲线积分的联系空间第二类曲线积分变力沿曲线所做的功（1）参数法（转化为定积分） （2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）条件：①L 封闭，分段光滑，有向②P ，Q ，R 具有一阶连续偏导数结论：dxdyy p x Q dzdx x Rz P dydz z Q y R RdzQdy Pdx L)()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=++⎰⎰⎰∑应用：⎩⎨⎧助线不是封闭曲线，添加辅满足条件直接应用P240-例1第一类曲面积分dvz y x f I ⎰⎰∑=),,(曲面薄片的质量质量=面密度⨯面积投影法 ∑：),(y x z z = 投影到xoy 面类似的还有投影到yoz 面和zox 面的公式 P217-例1、例2第二类曲面积分流体流向曲面一侧的流量（1）投影法 ∑：),(y x z z =，γ为∑的法向量与x 轴的夹角前侧取“+”，cos 0γ>；后侧取“-”，cos 0γ<∑：),(z x y y =，β为∑的法向量与y 轴的夹角右侧取“+”，cos 0β>；左侧取“-”，cos 0β<∑：),(z y x x =，α为∑的法向量与x 轴的夹角上侧取“+”， cos 0α>；下侧取“-”，cos 0α<P226-例2（2）高斯公式 右手法则取定∑的侧条件：①∑封闭，分片光滑，是所围空间闭区域Ω的外侧②P ，Q ，R 具有一阶连续偏导数结论：⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂+∂∂+∂∂=++)(zR y Q x P Rdxdy Qdzdz Pdydz 应用：⎩⎨⎧助面不是封闭曲面，添加辅满足条件直接应用P231-例1、例2（3）两类曲面积分之间的联系转换投影法：()()zzdydz dxdy dzdx dxdy xy∂∂=-=-∂∂ P228-例3所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、以不变代变、求和、取极限； ○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性； ○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

高等数学下册习题常见类型题型1 求向量的坐标、模、方向角、方向余弦、数量积、向量积 题型2 由已知条件求平面与直线方程 题型3 计算一阶偏导数及高阶偏导数 题型4 求多元复合函数的偏导数 题型5 求方程所确定的隐函数的偏导数题型6 求方向导数、梯度、曲线的切线、曲面的切平面 题型7 求极值、利用拉格郎日乘数法求最值 题型8 利用直角坐标计算二重积分 题型9 利用极坐标计算二重积分 题型10 计算带绝对值的二重积分 题型11 利用二重积分证明恒等式 题型12 利用对称性质计算二重积分 题型13 只有一种积分次序可计算的积分 例1、求24212xdx dx +⎰⎰解：（将二次积分交换顺序）12212242122211sin sin sin sin (1)sin cos1sin1xD D y y D D y y dx dx dxdy dxdyy y yy dxdy dy dx y ydy y y πππππ+=+===-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰题型14 利用投影法计算三重积分 题型15 利用柱坐标计算三重积分 题型16 利用球坐标计算三重积分 题型17 利用切片法计算三重积分 题型18 利用三重积分计算立体的体积 题型19 计算对弧长的曲线积分 题型20 计算对面积的曲面积分 题型21 计算对坐标的曲线积分题型22 利用格林公式计算对坐标的曲线积分 题型23 曲线积分与路径无关及全微分求积 题型24 计算对坐标的曲面积分题型25 利用高斯公式计算对坐标的曲面积分 题型26 可分离变量的微分方程、齐次方程 题型27一阶线性微分方程 题型29 可降阶方程题型30二阶常系数非齐次线性方程第八章向量与解析几何=－c a b第十章 重积分2()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤ （3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）0(,)f x y x ⎧对于是奇函数，第十一章曲线积分与曲面积分所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第八章1、向量在轴上的投影：性质：ϕcos )(a a u =（即Prj u ϕcos a a=），其中ϕ为向量a 与u 轴的夹角；u u u b a b a )()()(+=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(aPrj u a ）.2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x++=，k b j b i b b z y x ++=，则=⨯b ax x b a iyy b a j z z b a k=11)1(+-yy b az z b a i +21)1(+-x x b azzb a j +31)1(+- x x b a yyb a k=k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y)()()(-+-+-注：a b b a⨯-=⨯3、二次曲面（1） 椭圆锥面：22222z by a x =+；（2） 椭圆抛物面：z by a x =+2222； （旋转抛物面：z a y x =+222（把把xOz 面上的抛物线z ax =22绕z 轴旋转））（3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122222=++cz a y x （把xOz 面上的椭圆12222=+cz a x 绕z 轴旋转））（4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122222=-+cz a y x （把xOz 面上的双曲线12222=-cz a x 绕z 轴旋转））（5） 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x ； （旋转双叶双曲面：122222=+-c z y a x （把xOy 面上的双曲线12222=-cz a x 绕x 轴旋转）） （6） 双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222；（7） 椭圆柱面：12222=+b y a x ； 双曲柱面：12222=-by a x ； 抛物柱面：ay x =24、平面方程（1） 平面的点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，其中),,(0000z y x M 是平面上一点，),,(C B A n =为平面的一个法向量.（2） 平面的一般方程：0=+++D Cz By Ax ，其中),,(C B A n =为平面的一个法向量.注：由平面的一般方程可得平面的一个法向量),,(C B A n =若D =0，则平面过原点；若⎩⎨⎧≠==轴，则平面平行于轴则平面过x D x D A 0,0,0若⎩⎨⎧≠===面，则平面平行于面，则平面表示，xOy D xOy D B A 000 （3） 平面的截距式方程：1=++czb y a x ，其中c b a ,,分别叫做平面在z y x ,,轴上的截距.5、两平面的夹角：222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ特殊：0212121=++⇔C C B B A A 两平面互相垂直 212121C C B B A A ==⇔两平面互相平行或重合 6、点),,000z y x P （到平面0=+++D Cz By Ax 的距离公式：222000CB A DCz By Ax d +++++=7、空间直线方程（1） 空间直线的一般方程：⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A（2） 空间直线的对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=-，其中),,(p n m s =为直线的一个方向向量，),,(000z y x M 为直线上一点（3） 空间直线的参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y m t x x 0008、两直线的夹角：222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ特殊：0212121=++⇔p p n n m m 两直线互相垂直 212121p p n n m m ==⇔两直线互相平行或重合 9、直线与平面的夹角：222222sin pn m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ特殊：pC n B m A ==⇔直线与平面垂直 直线与平面平行或在平面内：0=++Cp Bn Am 10、平面束的方程：设直线L 由方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 所确定，其中222111,,,,C B A C B A 与不成比例，则平面0)(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ为通过直线L 的所有平面（不包含平面02222=+++D z C y B x A ）第九章1、内点一定是聚点；边界点不一定是聚点2、二重极限存在是指),(y x P 以任何方式趋于),(000y x P 时，),(y x f 都无限接近于A ，因此当),(y x P 以不同方式趋于),(000y x P 时，),(y x f 趋于不同的值，那么这个函数的极限不存在3、偏导数：求x f∂∂时，只要把其他量),,( z y 看作常量而对x 求导数；求yf∂∂时，只要把其他量),,( z x 看作常量而对y 求导数； 注意：（1）偏导数都存在并不一定连续；（2）xz∂∂为整体，不可拆分；（3）分界点，不连续点处求偏导数要用定义求4、若函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，则该函数在点),(y x 的偏导数x z ∂∂、yz∂∂必定存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=5、若函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂、yz∂∂在点),(y x 连续，则函数在该点可微分 6、),(y x f 连续,偏导数不一定存在，偏导数存在,),(y x f 不一定连续； ),(y x f 连续,不一定可微，但可微,),(y x f 一定连续； 可微,偏导数一定存在，偏导数存在, ),(y x f 不一定可微； 可微,偏导数不一定都连续；偏导数都连续, ),(y x f 一定可微 7、多元复合函数的求导法则：（1）一元函数与多元函数符合的情形：若函数)(t u ϕ=及)(t v ψ=都在点t 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),([t t f z ψϕ=在点t 可导，且有dtdvv z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= （2）多元函数与多元函数复合的情形：若函数),(y x u ϕ=及),(y x v ψ=都在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂；yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ （3）其他情形：若函数),(y x u ϕ=在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数，函数)(y v ψ=在点y 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),,([y y x f z ψϕ=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且xu u z x z ∂∂∂∂=∂∂；yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 8、隐函数求导公式： （1）函数),(y x F ：yx F F dx dy-= （2）函数),,(z y x F ：z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂9、空间曲线的切线与法平面：设空间曲线Γ的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z t y t x ωψϕ ],[βα∈t ),,(000z y x M 为曲线上一点假定上式的三个函数都在],[βα上可导，且三个导数不同时为零则向量=T ))('),('),('()('0000t t t t f ωψϕ=为曲线Γ在点M 处的一个切向量，曲线Γ在点M 处的切线方程为：)(')(')('000000t z z t y y t x x ωψϕ-=-=-，法平面方程为：0))(('))(('))(('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωψϕ如果空间曲线Γ的方程以⎩⎨⎧==),(),(x z x y ψϕ的形式给出，则Γ在点M 处的切线方程为：)(')('100000x z z x y y x x ψϕ-=-=-， 法平面方程为：0))(('))((')(00000=-+-+-z z x y y x x x ψϕ如果空间曲线Γ的方程以⎩⎨⎧==,0),,(,0),,(z y x G z y x F 的形式给出，则Γ在点M 处的切线方程为：Myyx x M x x z z M z z y y G F G F z z G F G F y y G F G F x x 000-=-=-法平面方程为：0)()()(000=-+-+-z z F F G F y y G F G F x x G F G F yy x x Mxx z z Mzz y y10、曲面的切平面与法线：设曲面方程为0),,(=z y x F ，),,(000z y x M 为曲面上一点，则曲面在点M 处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ，法线方程为：),,(),,(),,(0000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x o z o y x -=-=- 11、方向导数：若函数),(y x f 在点),(000y x P 可微，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在，且 βαcos ),(cos ),(000o y x y x f y x f lf+=∂∂，其中βαcos ,cos 是方向l 的方向余弦 12、梯度：j y x f i y x f y x),(),(0000+称为函数),(y x f 在点),(000y x P 的梯度，记作),(),(000y x f y x gradf o ∇或，即),(),(000y x f y x gradf o ∇==j y x f i y x f y o x),(),(000+13、设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则0),(,0),(0000==y x f y x f y x14、设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域里连续且有一阶及二阶偏导数，又0),(,0),(000==y x f y x f y o x ，令C y x f B y x f A y x f yy xy o xx ===),(,),(,),(00000，则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值； （2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值，也有可能没有极值 15、具有二阶连续偏导数的函数),(y x f z =的极值求法：第一步：解方程组0),(,0),(==y x f y x f y x ，求得一切实数解，即可求得一切驻点；第二步：对每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值B A ,和C ； 第三步：定出2B AC -的符号，按14的结论判定),(00y x f 是不是极值，是极大值还是极小值注：上述步骤是求具有二阶连续偏导数的函数得情况下，那．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．么在考虑函数．．．．．．极值时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．也要考虑．．．．16、拉格朗日乘数法：要找函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=，其中λ为参数.求其对x 及y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程0),(=y x ϕ联立起来：⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ，由这方程组解出y x ,及λ，这样得到的),(y x 就是函数),(y x f 在附加条件0),(=y x ϕ下的可能极值点第十章1、二重积分的性质性质1：设βα、为常数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDd y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([.性质2：如果闭区域D 被有限曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分之和.（二重积分对于积分区域具有可加性）性质3：如果在D 上，1),(=y x f ，σ为D 的面积，则⎰⎰⎰⎰=⋅=DDd d σσσ1性质4：如果在D 上，),,(),(y x y x f ϕ≤则有：⎰⎰⎰⎰≤DDd y x d y x f .),(),((σϕσ特殊地，由于,),(),(),(y x f y x f y x f ≤≤-则⎰⎰⎰⎰≤DDd y x f d y x f σσ),(),(.性质5：设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有⎰⎰≤≤DM d y x f m σσσ),(.性质6（二重积分的中值定理）：设函数),(y x f 在闭区域D 连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ,使得⎰⎰⋅=Df d y x f σηξσ),(),(.2、二重积分直角坐标的计算法：（1）若积分区域D 可用不等式)()(21x y x ϕϕ≤≤，b x a ≤≤（X 型）来表示，其中)(1x ϕ、)(2x ϕ在区间],[b a 上连续.则⎰⎰⎰⎰=Dx x ba dy y x f dx d y x f )()(21.),(),(ϕϕσ（2）若积分区域D 可用不等式)()(21x x x φφ≤≤，b y a ≤≤（Y 型）来表示，其中)(1x φ、)(2x φ在区间],[d c 上连续.则⎰⎰⎰⎰=Dx x dc dx y x f dyd y x f )()(21.),(),(φφσ注：确定次序原则：（1） 函数原则：内层积分可以积出； （2） 区域原则； （3） 少分块原则.3、二重积分极坐标的计算法：（极坐标系中的面积元素：θρρd d ）若积分区域D 可用不等式)()(21x x ϕρϕ≤≤，βθα≤≤来表示，其中)(1x ϕ、)(2x ϕ在区间],[βα上连续.则：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθϕθϕρρθρθρθθρρθρθρσ)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (),(d f d d d f d y x f DD（详见P145,146）4、确定上下限原则：（1）每层下限小于上限；（2）内层一般是与外层积分变量的有关的函数，也可以是常数； （3）外层一定为常数.5、利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性简化： （1）若积分区域D 关于0=x 对称，则：⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=DD y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f 1),(),(,),(2),(),(,0),(当当，其中}{0,),(),(1≥∈=x D y x y x D（2）若积分区域D 关于0=y 对称，则：⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=DD y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f 1),(),(,),(2),(),(,0),(当当，其中}{0,),(),(2≥∈=y D y x y x D 6、直角坐标三重积分的计算：（1）先一后二：若}{xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω),(),,(),(),,(21，闭区域}{b x a x y y x y y x D xy ≤≤≤≤=),()(),(21，则：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),(2221),,(),,(y x z y x z y y badz z y x f dy dx dv z y x f （详见P158,159）（2）先二后一（截面法）：S1：将Ω向某轴投影，如z 轴，],[21c c z ∈；S2：对],[21c c z ∈，用平行于xoy 面的平面截Ω，截出部分记为z D ；S3：计算⎰⎰zD dxdy z f )(；S4：计算⎰21),(c c dz y x F若空间区域{}21,),(),,(c z c D y x z y x z ≤≤∈=Ω，其中z D 是竖坐标为z 的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域，则：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω21),,(),,(c c D zdxdy z y x f dz dv z y x f注：适用于被积函数只有一个变量或为常数 7、柱面坐标三重积分的计算：+∞<≤ρ0；πθ20≤≤；+∞<<∞-zρ=常数，即以z 轴为轴的圆柱面；θ=常数，即过z 轴的半平面；z =常数，即与xoy 面平行的平面⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos 柱面坐标系中的体积元素：dz d d dv θρρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z F dxdydz z y x f θρρθρ),,(),,(，其中),sin ,cos (),,(z f z F θρθρθρ=再化为三次积分计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),(212121),,(),,(θρθρϕϕθθθρρρθz z dz z F d d dxdydz z y x f ，其中),(1θρz ，),(2θρz 为沿z轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）8、球面坐标三重积分的计算：+∞<≤r 0，πϕ≤≤0，πθ20≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 球面坐标系中的体积元素：θϕϕd drd r dv sin 2=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=θϕϕθϕd drd r r F dxdydz z y x f sin ),,(),,(2， 其中)cos ,sin sin ,cos sin (),,(ϕθϕθϕθϕr r r f r F =，再化为三次积分计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω212121sin ),,(),,(2),(),(θθϕϕθϕθϕϕθϕϕθdr r r F d d dxdydz z y x f r r ，其中),(1θϕr ，),(2θϕr 为沿z 轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）典例：求由曲面a z y x 2222≤++与22y x z +≥所围成立体体积（利用三种坐标系求解）解：a z y x 2222≤++表示球心在原点，半径为a 2的球体，22y x z +≥表示xoy 上半面圆锥体 直角坐标：32222020)12(34)2(11a dz z a dz z dxdy dz dxdy dz dv V aaaaa D a D -=-+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπππ柱面坐标：⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Ω==aa dz d d v d V 022022ρρπρρθ球面坐标：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ω402220sin ππϕϕθaodr r d d v d V十一章1、对弧长的曲线积分的计算法：设(,)f x y 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩ ，()t αβ≤≤，其中(t ϕ），)t φ（在[,]αβ上具有一阶连续导数，且22'()'()0t t ϕφ+≠，则曲线积分(,)Lf x y ds ⎰存在，且(,)[(),(Lf x y ds f t t βαϕφ=⎰⎰ ()αβ<同理：空间曲线Γ：()()()x t y t z t ϕφω=⎧⎪=⎨⎪=⎩(,,)[(),(),(f x y z ds f t t t βαϕφωΓ=⎰⎰2、对坐标的曲线积分的计算方法：设(,)P x y 、(,)Q x y 在有向曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩，当参数t 单调地由α变到β时，点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 运动到终点B ，(t ϕ），)t φ（在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且22'()'()0t t ϕφ+≠，则曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰存在，且(,)(,){[(),()]'()[(),()]'()}LLP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt ϕφϕϕφφ+=+⎰⎰（下限α对应于L 的起点，上限β对应于L 的终点）同理：空间曲线Γ：()()()x t y t z t ϕφω=⎧⎪=⎨⎪=⎩(,,)(,,)(,,){[(),(),()]'()[(),(),()]'()[(),(),()]}LLP x y z dx Q x y z dy R x y z dzP t t t t Q t t t t R t t t dtϕφωϕϕφωφϕφω++=++⎰⎰3、平面曲线L 上两类曲线积分的联系：(cos cos )LLPdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰，其中(,,),(,,)x y z x y z αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y处的切向量方向角cos α=，cos α=同理：空间曲线Γ上两类曲线积分的联系：(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R ds αβγΓΓ++=++⎰⎰4、格林公式：设闭区域D 由分段光滑曲线L 围城，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则有()L DQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰，其中L 是D 的取正向的边界曲线注：取,P y Q x =-=，则2LDdxdy xdy ydx =-⎰⎰⎰，左端表示闭区D 的面积A 的两倍，因此，12LA xdy ydx =-⎰5、设D 为单连通区域，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则下列四个命题等价：（1）沿D 内任一条光滑曲线有(,)(,)0LP x y dx Q x y dy +=⎰（2）对D 内任一条分段光滑曲线L 曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关（3）存在(,)u x y D ∈，使得(,)(,)du P x y dx Q x y dy =+ （4）在D 内没一点都有Q Px y∂∂=∂∂6、对面积的曲面积分的计算法：(,,)[,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰(,,)[,(,),xzD f x y z dS f x y x z z ∑=⎰⎰⎰⎰(,,)[(,),,yzD f x y z dS f x y z y z ∑=⎰⎰⎰⎰7、对坐标的区面积分的计算法：(,,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰，等式右端符号取决于积分曲面上下侧(,,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰，等式右端符号取决于积分曲面左右侧(,,)[(,),,]xyD P x y z dydz P x x y y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰，等式右端符号取决于积分曲面前后侧8、两类曲面积分之间的联系：cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰，其中cos ,cos ,cos αβγ时有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦9、高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围城的，函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有：()(cos cos cos )P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dSx y zαβγΩ∑∑∂∂∂++=++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰10、斯托克斯公式：设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在曲面∑（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有：()()()R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz y z z x x yΓ∑∂∂∂∂∂∂-+-+-=++∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰。

高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后属类型的相应解法求出其通解.一阶微分方程的解法小结：二阶微分方程的解法小结：非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解*y 的形式为：主要:一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法1、显函数的偏导数的求法 在求xz∂∂时，应将y 看作常量，对x 求导，在求z y ∂∂时，应将x 看作常量，对y 求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法设()v ,u f z =，()y ,x u ϕ=，()y ,x v ψ=，则x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，yvv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 几种特殊情况：1）()v ,u f z =，()x u ϕ=，()x v ψ=，则dxdv v z x u du dz dx dz ⋅∂∂+∂∂⋅= 2）(),z fx v =，()y ,x v ψ=，则x v v f x f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂，yvu f y z ∂∂⋅∂∂=∂∂ 3）()u f z =，()y ,x u ϕ=则x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂，yudu dz y z ∂∂⋅=∂∂3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况设()y ,x z z =是由方程()0=z ,y ,x F 唯一确定的隐函数，则()0≠-=∂∂z zx F F F x z， ()0≠-=∂∂zzy F F F y z或者视()y ,x z z =，由方程()0=z ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出()z zx y∂∂∂∂或. 2）方程组的情况 由方程组()()⎩⎨⎧==00v ,u ,y ,x G v ,u ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出()z zx y ∂∂∂∂或即可.二、全微分的求法 方法1：利用公式dz zudy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=方法2：直接两边同时求微分，解出du 即可.其中要注意应用微分形式的不变性：zz du dv uv dz z z dx dyxy ∂∂⎧+⎪∂∂⎪=⎨∂∂⎪+∂∂⎪⎩三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法1）设空间曲线Г的参数方程为 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x ωψϕ，则当0t t =时，在曲线上对应点()0000z ,y ,x P 处的切线方向向量为()()(){}000t ,t ,t T '''ωψϕ=，切线方程为()()()000000t z z t y y t x x '''ωψϕ-=-=- 法平面方程为 ()()()()()()0000000=-+-+-z z t y y t x x t '''ωψϕ2）若曲面∑的方程为()0=z ,y ,x F ，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量{}P z y x F ,F ,F n =，切平面方程为()()()()()()0000000000000=-+-+-z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z ,y ,x F z y x 法线方程为()()()000000000000z ,y ,x F z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z y x -=-=- 若曲面∑的方程为()y ,x f z =，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量()(){}10000-=,y ,x f ,y ,x f n y x，切平面方程为()()()()()00000000=---+-z z y y y ,x f x x y ,x f y x 法线方程为()()1000000--=-=-z z y ,x f y y y ,x f x x y x 四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数()y ,x f z =在点()000y ,x P 的某邻域内具有二阶连续偏导数，由(),0x f x y =，(),0y f x y =，解出驻点()00,x y ，记()00y ,x f A xx =，()00y ,x f B xy =，()00y ,x f C yy =.1）若20AC B ->，则()y ,x f 在点()00,x y 处取得极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值.2） 若20AC B -<，则()y ,x f 在点()00,x y 处无极值.3） 若02=-B AC ，不能判定()y ,x f 在点()00,x y 处是否取得极值.2 条件极值的求法函数()y ,x f z =在满足条件()0=y ,x ϕ下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件()0=y ,x ϕ解出y 代入()y ,x f 中，则使函数(,)z z x y =成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数()()()y x y x f y x F ,,,λϕ+=，其中λ为参数，解方程组求出驻点坐标()y ,x ，则驻点()y ,x 可能是条件极值点.3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要:1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：*定积分的几何应用定积分应用的常用公式： (1)面积()()[]⎰-=dx x g x f S b a（X -型区域的面积）(2)体积()⎰=dx x A V b a （横截面面积已知的立体体积）()2b xx a V f x dx π=⎰ （(),,,0y f x x a x b y ====所围图形绕x 轴旋转所得的立体体积）()xy 2b a V x f x dx π=⋅⎰ （(),,,0y f x x a x b y ====所围图形绕y 轴旋转的立体体积）()2()b y c a V f x c dx π==-⎰ （(),,,y f x x a x b y c ====所围图形绕轴y c =旋转的立体体积）(3)弧长()()()b a b S βαθ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰直角坐标形式参数方程形式极坐标形式 计算时注意：（1）正确选择恰当的公式；（2）正确的给出积分上下限；（3）注意对称性使问题简化；（4）注意选择恰当的积分变量以使问题简化．计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算： 1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量x 对称，则当被积函数关于x 为奇函数时，该积分为0，当被积函数关于变量x 为偶函数时，则该积分为相应一半区域积分的二倍.2）、对第二类的线面积分，关于积分变量的对称性理论与上相同，关于非积分变量的对称性理论与上相反.3）、若积分区域,x y的地位平等（即将表示区域的方程,x y互换不变），则将被积函数中,x y互换积分不变.此称之为轮换对称性.所以：()() ()()()()()()01()1() z z p x p yp y p x p y z u p x z ux y u uϕϕ∂∂-''+=+=''∂∂--。

高数同济版下高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解. 一阶微分方程的解法小结：高数同济版下二阶微分方程的解法小结：非齐次方程的特解的形式为：高数同济版下主要一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式2、复合函数的偏导数的求法设，，，则，几种特殊情况： 1），，，则2），，则 3），则3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况，设是由方程唯一确定的隐函数，则，高数同济版下或者视，由方程两边同时对 2）方程组的情况由方程组 . 两边同时对求导解出即可二、全微分的求法方法1：利用公式方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性：三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 1）设空间曲线Г的参数方程为，则当时，在曲线上对应处的切线方向向量为，切线方程为法平面方程为2）若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为高数同济版下若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，由，解出驻点，记， 1）若时有极小值 2）若，则在点处无极值 3）若，不能判定在点处是否取得极值，则在点处取得极值，且当时有极大值，当2 条件极值的求法函数在满足条件下极值的方法如下： 1）化为无条件极值：若能从条件解出代入中，则使函数成为一元函数无条件的极值问题 2）拉格朗日乘数法作辅助函数，其中为参数，解方程组高数同济版下求出驻点坐标，则驻点可能是条件极值点 3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：高数同济版下高数同济版下*定积分的几何应用定积分应用的常用公式： (1)面积 (2)体积（型区域的面积）（横截面面积已知的立体体积）（所围图形绕的立体体积）（所围图形绕体体积）（所围图形绕轴的立体体积）。

高等数学同济第六版（下册）（第10章）第10章重积分10.1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质1 性质 1 设、为常数，则2 性质 2 如果闭区域被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。

(可加性)3 性质 3 如果在上，，为的面积，则4 性质 4 如果在上，，则有特殊地，由于又有5 性质 5 设、为分别是在闭区域上的最大值和最小值，是的面积，则有6 性质 6(二重积分的中值定理) 设函数在闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点，使得10.2 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分7 型(先后)型(先后)例 4 求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积。

解设这两个圆柱面的方程分别为及由对称性，将其分为8部分在第一卦限中，所求立体的顶为柱面又积分区域则即所求立体的体积为二、利用极坐标计算二重积分8例 5 计算其中是由中心在原点、半径为的圆周所围成的闭区域。

解在极坐标系中，闭区域则例 6 求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分) 立体的体积。

解由对称性，有在极坐标系中，闭区域则*三、二重积分的换元法10.3 三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的计算1 利用直角坐标计算三重积分9 (先一后二)其中，例 1 计算三重积分其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域。

解闭区域则(先二后一)其中，是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域。

例 2 计算三重积分其中是由椭球面所围成的空间闭区域。

解闭区域则2 利用柱面坐标计算三重积分10 点的直角坐标与柱面坐标的关系为例 3 利用柱面坐标计算三重积分其中是由曲面与平面所围成的闭区域。

解闭区域则*3 利用球面坐标计算三重积分11 点的直角坐标与球面坐标的关系为例 4 求半径为的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积。

解设球面通过原点，球心在轴上，又内接锥面的顶点在原点，其轴与轴重合，则球面方程为，锥面方程为。

注：数字都是书的页数！基础公式和方法，不用说，肯定得记得差不多，才有信心考好，千万别以60分为目标。

1.向量积公式19（对物理计算也有好处）模长公式9 方向余弦10 单位向量112.全微分表达式733.隐函数求导也有公式854.计算曲线的切线和法平面方程需要求什么【切线的方向向量（即要求法平面的法向量）+一点】94例题计算曲面的切平面和法线方程需要求什么【切平面的法向量（即要求法线的方向向量）+一点】99例题当然你写完了方程要知道哪个是直线哪个是平面所以要熟悉直线和平面方程形式！5.极值公式（做题流程）110 111例题当然重要的是偏导公式高数上册中的一些常见求导公式牢记！上册书956.多元复合函数求导（画出关系图）+隐函数高阶求导易错！注意计算细心多检查多动笔计算！7.二重积分几何意义就是以D是底，f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积（直角坐标法138 极坐标法144）更换积分次序8.三重积分需要投影（直角坐标法158 柱面坐标法161 球面坐标法162）注意：能画出图的尽量画图直观清晰！再可以把D xoy或者Ω各个量的取值范围写出来极坐标系中的面积元素代换柱面坐标系和球面坐标系中的体积元素代换9.对弧长的曲线积分计算法187 公式！！！记好三种形式188 其实就一种因为方法都一样（定积分的下限一定要小于上限）10.对坐标的曲线积分计算法194 （L是有向曲线，定积分的下限不一定小于上限，根据终点与起点）11.两类曲线积分的联系转化公式！19912.格林公式202 曲线积分与二重积分的转化联系！（公式到底是P,Q对x求导还是对y，记清楚！）使用条件：1.具有一阶连续偏导（一般都有）2. D是闭区域，L必须封闭（所以有一类题，补充曲线变成封闭，才能使用格林公式，然后再减去补充的曲线的积分205例题）L是D的取正向的边界曲线，正向是逆时针方向13.曲线与路径无关14.全微分求积210 211例题或者复习试卷上5，6题（验证...是某一函数的全微分，并求出函数这种题！）15.对面积的曲面积分计算法217 公式！！！记好16.对坐标的曲面积分计算法224 （Σ是有向曲面，曲面的法向量与相应坐标轴的夹角，cosα>0取正号 ,cosα<0取负号）考试或许它只考第一卦限，或者cosα>0的情况，但是还是多多了解一点！17.两类曲面积分的联系转化联系！22718.高斯公式229 曲面积分和三重积分的转化联系！（注意P,Q,R是对x,y,z进行求导！一一对应）使用条件：1.具有连续一阶偏导（一般都有）2.Ω是闭区域，Σ是闭曲面（当然也有一类题，补充曲面变成封闭，才能使用高斯公式，然后再减去补充的曲面的积分231例题2 复习题中没有这类型题目，或许考试不会考这个吧，但万一它考了呢？！了解一下~）19.对于面积曲面积分：Σ是围成闭区域Ω的闭曲面对于坐标曲面积分：Σ是Ω的整个边界曲面外侧（第一类不分内外侧）曲线积分和曲面积分最终都会转化成二重积分计算，可见二重积分的重要性！然后又可能会运用到各种积分公式，高数上册203代换205 公式可以复习复习！21.等比数列的求和公式22.各种级数的审敛法常用几种：p级数257 p>1 收敛p≤1 发散比较审敛法极限形式258（去记常用的等价无穷小公式！）比值审敛法（达朗贝尔判别法）259ρ<1 收敛ρ>1 发散ρ=1 可能收敛也可能发散莱布尼茨定理（交错级数）262满足两个条件，交错级数才收敛23.绝对级数和条件级数263定理8 如果一个级数绝对收敛，则它必定收敛。