中山市第二中学2014届高三第2次月考理科数学模拟试卷

中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U 是实数集,R {}22,M x x x =><-或{}2430N x x x =-+> 则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <3．已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ， 则a +b 等于( ) A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．定义某种运算a S b =⊗，运算原理如上图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．4B ．8C ．11D ．135．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面⊥ABD平面CBD ，形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）（第2题图）（第4题图）A B C D ． 6．下列四个命题中，正确的有①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题p ：“R ∈∃0x ，01020>--x x ”的否定p ⌝：“R ∈∀x ，012<--x x ”；③用相关指数2R 来刻画回归效果，若2R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若23.0=a ，3.02=b ，2log 3.0=c ，则b a c <<． A ．①③④B ．①④C ．③④D ．②③7．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中不恒成立的是（ ） ⑴a b a b a b =+⊗+⊕ ⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶B ． ⑵、⑷C ．⑴、⑵、⑶D ．⑴、⑵、⑶、⑷8. 已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当[10,10]x ∈-时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( ) A ．13B ．12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分9．已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f 10．如图，一不规则区域内，有一边长为1区域内随机地撒1000（含边界）的黄豆数为 375 平方米.（用分数作答）11．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是 ．12．已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos . 13．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++= .14．如图, //AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+，（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界） 时，21y x x +++的取值范围是 .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，31(,)2b =，函数()1f x a b =⋅+. （Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （Ⅱ）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值. 16．（本题满分12分）某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数； （Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ， 2==AB PA ，4=BC . E 是PD 的中点，（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值 18．（本小题满分14分）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈． （Ⅰ）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；PBEDCA（Ⅲ）若1n n n b c b =-，数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：n T <53． 19．（本小题满分14分）已知函数()x f x e kx =-，.（Ⅰ）若0k >，且对于任意0)(,>∈x f R x 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅱ）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：1ln (1)ln (2)ln ()ln(2)()2n nF F F n e n N +*+++>+∈20．（本题满分14分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）； （Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（Ⅱ）设0a >，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．DAAD BCBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9.14 ; 10. 8311. 10;12.； 13. 45； 14. 4[,4]3三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，)21,23(=b ，函数1)(+⋅=b a x f 。

2014年广东省中山市高考数学模拟试卷（四）（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.已知集合M={x∈R|x2+2x-3≤0}，N={x∈R|x+1＜0}，那么M∩N=（）A.{-1，0，1}B.{-3，-2，-1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|-3≤x＜-1}【答案】D【解析】解：由M中的不等式变形得：（x-1）（x+3）≤0，解得：-3≤x≤1，即M={x|-3≤x≤1}，由N中的不等式解得：x＜-1，即B={x|x＜-1}，则M∩N={x|-3≤x＜-1}．故选D分别求出M与N中不等式的解集确定出两集合，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.复数=（）A. B. C.- D.-【答案】C【解析】解：=．故选：C．把分子分母同时乘以1+i，直接利用复数的除法运算求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础的计算题．3.已知向量=（x，1），=（4，x），则“x=2”是“∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵∥，向量=（x，1），=（4，x），∴x2-4=0，即x=±2，根据充分必要条件的定义可判断：“x=2”是“∥”的充分不必要条件，故选：A根据∥，条件，得出x=±2，根据充分必要条件的定义可判断．本题考查向量与充分必要条件的定义，属于中档题．4.已知等比数列{a n}前n项和为S n且S5=2，S10=6，则a16+a17+a18+a19+a20等于（）A.12B.16C.32D.54【答案】B【解析】解：∵S5=2，S10=6，∴a6+a7+a8+a9+a10=6-2=4，∵a1+a2+a3+a4+a5=2，∴q5=2，∴a16+a17+a18+a19+a20=（a1+a2+a3+a4+a5）q15=2×23=16，故选B．根据题目所给的条件可知，第六项到第十项的和是4，再与前五项的值相比，得到公比的五次方，要求的结果可以有前五项乘以公比的15次方得到．等比数列可以通过每隔相同个数的项取一个构造新数列，构造出一个新的等比数列数列，从而求出数列的通项公式．这类问题考查学生的灵活性，考查学生分析问题及运用知识解决问题的能力．5.执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为（）A.3B.126C.127D.128【答案】C【解析】解：当输出的x=2时，执行循环体后，x=3，不满足退出循环的条件，当x=3时，执行循环体后，x=7，不满足退出循环的条件，当x=7时，执行循环体后，x=127，满足退出循环的条件，故输出的x值为127故选：C分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算x值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．6.在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分的面积为==，∴正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=，故选B．欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．7.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324B.328C.360D.648【答案】B【解析】解：由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选B本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A.[2，6]B.[2，18]C.[3，18]D.[3，6]【答案】D【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，∴正方体的对角线长为6，∵x∈[1，5]，∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得，∴t=，∴y min=；x=2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2，∴y max=6．∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为[3，6]．故选D．求出正方体的对角线长，根据x∈[1，5]，可得x=1或5时，三角形的周长最小；x=2或4时，三角形的周长最大，从而可得结论．本题考查正方体的截面问题，考查学生分析解决问题的能力，确定三角形周长取最大、最小时的位置是关键．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)9.已知（1+2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1-2a2+3a3-4a4= ______ ．【答案】-8【解析】解：对二项式的展开式求导得到8（1+2x）3=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3令x=-1得到-8═a1-2a2+3a3-4a4故答案为-8．先对二项展开式求导函数，对求导后的式子中的x赋值-1，求出代数式的值．本题考查复合函数的求导法则、利用赋值法解决代数式的系数和问题．10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=6，c=4，cos B=，则b= ______ ．【答案】6【解析】解：∵a=6，c=4，cos B=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accos B=36+16-16=36，则b=6．故答案为：6利用余弦定理列出关系式，将a，c，cos B的值代入即可求出b的值．此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．11.若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为______ ．【答案】4【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=-x+z，由图可知，当直线y=-x+z过C（1，3）时，目标函数有最大值，为z=1+3=4．故答案为：4．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l，若直线EF的倾斜角为120°，则|PF|= ______ ．【答案】4【解析】解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=-1．∵直线EF的倾斜角为120°，∴k l=tan120°=-．∴直线EF的方程为：y=-（x-1），联立，解得y=2．∴E（-1，2）．∵PE⊥l于E，∴y P=2，代入抛物线的方程可得=4x p，解得x P=3．∴|PF|=|PE|=x P+1=4．故答案为：4．由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=-1．由直线EF的倾斜角为120°，可得k l=tan120°=-．进而得到直线EF的方程为：y=-（x-1），与抛物线方程联立，可得解得y E．由于PE⊥l于E，可得y P=y E，代入抛物线的方程可解得x P．再利用|PF|=|PE|=x P+1即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．13.所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．如：6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248．已经证明：若2n-1是质数，则2n-1（2n-1）是完全数，n∈N*．请写出一个四位完全数______ ；又6=2×3，所以6的所有正约数之和可表示为（1+2）•（1+3）；28=22×7，所以28的所有正约数之和可表示为（1+2+22）•（1+7）；按此规律，496的所有正约数之和可表示为______ ．【答案】8128；（1+2+22+23+24）•（1+31）【解析】解：∵2n-1是质数，2n-1（2n-1）是完全数，∴令n=7，可得一个四位完全数为64×（127-1）=8128；∵496=24×31，∴496的所有正约数之和可表示为（1+2+22+23+24）•（1+31）．故答案为：8128；（1+2+22+23+24）•（1+31）．利用2n-1是质数，2n-1（2n-1）是完全数，令n=7，可得结论；由496=24×31，可得496的所有正约数之和．本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．14.在平面直角坐标系x O y中，已知直线l的参数方程为（参数t∈R），以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，则圆心C到直线l的距离为______ ．【答案】【解析】解：直线l的参数方程为（参数t∈R），即x+y-3=0，∵圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，∴圆C的普通方程为x2+y2=4x，（x-2）2+y2=4，故圆心（2，0），则圆心C到直线l的距离为=，故答案为．把直线的参数方程化为普通方程，再把圆C的极坐标方程化为普通方程，求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离．本题考查把参数方程、极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想．15.如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD 并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°，则AE= ______ ．【答案】【解析】解：连接OA，过O作OF⊥AE，过A作AM⊥PC，如图所示，∵PA为圆O的切线，∴∠PAO=90°，又PA=2，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，∴OA=PA tan30°=2×=2，又D为OC中点，故OD=1，根据余弦定理得：AD2=OA2+OD2-2OA•OD cos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=，∵在R t△APM中，∠APM=30°，且AP=2，∴AM=AP=，故三角形AOD的面积S=OD•AM=，则S=AD•OF=OF=，∴OF=，在R t△AOF中，根据勾股定理得：AF==，则AE=2AF=．故答案为：连接OA，由AP为圆的切线，得到∠PAO=90°，过A作AM垂直于AC，过O作OF 垂直于AE，根据垂径定理得到F为AE的中点，在直角三角形APO中，由AP的长及∠APO的度数，利用正切函数定义及特殊角的三角函数值求出半径OA的长，由D为OC的中点，可求出OD的长，同时得到∠AOD的度数，在三角形AOD中，根据余弦定理求出AD的长，再由OD及边上的高AM求出三角形AOD的面积，此三角形的面积还可以用AD及边上的高OF表示，进而求出OF的长，在直角三角形AOF中，由OA和OF的长，利用勾股定理求出AF的长，进而求出AE的长．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有锐角三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，以及垂径定理，利用了数形结合的思想，直线与圆相切时，常常连接圆心与切点，构造直角三角形解决问题，直线与圆相交时，常常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形解决问题，学生做此类题应注意辅助线的作法．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x+1．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）求函数在[-，]上的最小值，并写出取最小值时相应的x值．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=1+2sin（2x），令2k，解得，k≤x≤k，所以函数f（x）的单调递增区间为[k，k]（k∈Z）．（Ⅱ）因为≤x≤，则-，即有-，即有0≤1+2sin（2x）≤3，所以当2x=-，即x=-时，函数f（x）取得最小值0．【解析】（Ⅰ）运用二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式，即可得到f（x），再由正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到；（Ⅱ）由x的范围，求得2x的范围，再由正弦函数的性质，即可得到最小值．本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的单调性和值域的运用，考查运算能力，属于中档题．17.北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85，100]之间为体质优秀；在[75，85]之间为体质良好；在[60，75]之间为体质合格；在[0，60]之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取X名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上X名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X为在选出的X名学生中体质为良好的人数，求X的分布列及数学期望．【答案】解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有人．（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为15：10=3：2．所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为，从体质为优秀的学生中抽取的人数为．（ⅰ）设“在选出的3名学生中至少有名体质为优秀”为事件A，则．故在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率为．（ⅱ）解：随机变量X的所有取值为1，2，3.，，．所以，随机变量X的分布列为：．【解析】（Ⅰ）根据抽样的定义和条件即可估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）求出随机变量的分布列以及数学期望公式进行计算即可．本题主要考查茎叶图的应用以及随机变量的分布列和数学期望的计算，考查学生的计算能力．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E为PD的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；（Ⅲ）在线段AB上是否存在一点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求出AF的长；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．…（1分）取AD的中点G，连结GC，因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，且AB=BC=1，所以四边形ABCG为正方形，所以CG⊥AD，且，所以∠ACD=90°，即AC⊥CD．…（3分）又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．…（4分）（Ⅱ）解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz．…（5分）则A（0，0，0），C（1，1，0），E（0，1，1），P（0，0，2），所以，，，，，，，，．因为PA⊥平面ABCD，所以，，为平面ACD的一个法向量．…（6分）设平面EAC的法向量为，，，由，得，令x=1，则y=-1，z=1，所以，，是平面EAC的一个法向量．…（8分）所以＜，＞因为二面角E-AC-D为锐角，所以二面角E-AC-D的余弦值为．…（9分）（Ⅲ）解：假设在线段AB上存在点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF．设F（a，0，0），则，，，，，．设平面PCF的法向量为，，，由，得，令x=1，则y=a-1，，所以，，是平面PCF的一个法向量．…（12分）因为AE∥平面PCF，所以，即，…（13分）解得，所以在线段AB上存在一点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF，且．…（14分）【解析】（Ⅰ）取AD的中点G，连结GC，证明PA⊥CD，AC⊥CD，利用线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAC；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ACD、平面EAC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角E-AC-D的余弦值；（Ⅲ）假设在线段AB上存在点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF．设F（a，0，0），求出，，是平面PCF的一个法向量，根据AE∥平面PCF，可得，即，从而可得结论．本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查线面平行，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求出平面的法向量是关键．19.已知函数f（x）=e x-ax（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知函数f（x）在x=0处取得极小值，不等式f（x）＜mx的解集为P，若，且M∩P≠∅，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=e x-2x，f（0）=1，f′（x）=e x-2，得f′（0）=-1，所以曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1．（Ⅱ）f′（x）=e x-a．当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；当a＞0时，x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（-∞，lna）．（Ⅲ）由函数f（x）在x=0处取得极小值，则f′（0）=0得a=1，经检验此时f（x）在x=0处取得极小值．因为M∩P≠∅，所以f（x）＜mx在，上有解，即，使f（x）＜mx成立，即，使＞成立，所以＞．令，′，所以g（x）在，上单调递减，在[1，2]上单调递增，则g（x）min=g（1）=e-1，所以m∈（e-1，+∞）．【解析】（Ⅰ）a=2时，f（x）=e x-2x，f（0）=1，f′（x）=e x-2，得f′（0）=-1，由此能求出曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程．（Ⅱ）由函数f（x）=e x-ax得到f′（x）=e x-a，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅲ）由题意知，f′（0）=0，再由M∩P≠∅，得到不等式f（x）＜mx在，上有解，分离参数，求得函数最值，即可得到实数m的取值范围．本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的单调性的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．20.已知圆（x+1）2+y2=8的圆心为M，N（t，0），t＞0且t≠2-1，设Q为圆上任一点，线段QN的垂直平分线交直线MQ于点P．（1）试讨论动点P的轨迹类型；（2）当t=1时，设动点P的轨迹为曲线C，过C上任一点P作直线l，l与曲线C有且只有一个交点，l与圆M交于点AB，若△ABN的面积是，求直线l的方程．【答案】解：（1）由题|PN|=|PQ|，当＜＜时，点N在圆M内，点P在线段MQ内，∴＞∴动点P的轨迹是以M，N为焦点，为长轴的椭圆，…2分当＞时，点N在圆M外，点P在线段MQ的延长线上，∴＜∴动点P的轨迹是以M，N为焦点，为实轴长的双曲线．…5分（2）由（1）知t=1时，动点P的轨迹是以M（-1，0），N（1，0）为焦点，为长轴长的椭圆∴，，∴b=1∴曲线C的方程是…6分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m由消y并整理成（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0（*）∵l与曲线C有且只有一个交点，∴（*）方程有且只有一个实数解，∴△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=0，即有m2=1+2k2…7分∵圆心M（-1，0）到直线l的距离为，∴弦长，…9分点N（1，0）到直线l的距离为，∴△ABN的面积为，∴S====，∵△ABN的面积是，∴=，解得得2mk=3+k2∴4m2k2=（3+k2）2⇒4（1+2k2）k2=9+6k2+k4⇒（k2+1）（7k2-9）=0∴，当时，代入2mk=3+k2得当时，代入2mk=3+k2得…12分当直线的斜率不存在时，直线l方程为或经检验不满足条件综上所求直线方程为或．…13分．【解析】（1）由题|PN|=|PQ|，当＜＜时，动点P的轨迹是以M，N为焦点，为长轴的椭圆；当＞时，动点P的轨迹是以M，N为焦点，为实轴长的双曲线．（2）t=1时，曲线C的方程是，设直线l的方程为y=kx+m，由消，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由此利用圆心M（-1，0）到直线l的距离、弦长公式结合已知条件能求出直线l的方程．本题考查点的轨迹类型的讨论，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和弦长公式的合理运用．21.已知数列{a n}、{b n}满足：a1=，a n+b n=1，b n+1=．（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4；（Ⅱ）设C n=，求证数列{C n}是等差数列，并求b n的通项公式；（Ⅲ）设S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，不等式4a S n＜b n恒成立时，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵a n+b n=1，∴a n=1-b n，∴b n+1==．∵a1=，∴，，，；（Ⅱ）∵，∴，∴数列{C n}是以-4为首项，-1为公差的等差数列，∴c n=-4+（n-1）（-1）=-n-3．于是，；（Ⅲ），S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1==．∴4a S n-b n=．由条件可知（a-1）n2+（3a-6）n-8＜0恒成立即可满足条件，设f（n）=（a-1）n2+（3a-6）n-8．当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立，当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立，当a＜1时，对称轴＜，f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．则f（1）=（a-1）n2+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0，∴＜，∴a≤1时，4a S n＜b n恒成立．【解析】（Ⅰ）直接由数列递推式求b1，b2，b3，b4；（Ⅱ）把数列递推式变形，得到数列{C n}是以-4为首项，-1为公差的等差数列，求得数列{C n}的通项公式后代入C n=求b n的通项公式；（Ⅲ）求出数列{a n}的通项公式，代入S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1利用裂项相消法求出S n，把不等式4a S n＜b n恒成立转化为（a-1）n2+（3a-6）n-8＜0恒成立，构造二次函数后分离参数n得答案．本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．。

中山二中2014届高三理科数学第一次月考（2013年9 月5日）命题人：邹远雄老师 审题人：黄全顺老师 时间：120分钟 满分：150分注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、学号填写在答题卷上.2、选择题涂卡.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，不准使用铅笔和涂改液.3、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卷交回，试卷不用上交.4、不可以使用计算器.参考公式)1()2)(1(+---=m n n n n A mn 或)!(!m n n A mn -=（其中m≤n m,n ∈Z ）或 )!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1、设集合U={0,1,2,3,4,5}，集合M={0,3,5}，N={1,4,5}，则)(N C M U =（ ）A ．{5}B ．{0，3}C ．{0，2，3，5}D ．{0，1，3，4，5}2．复数i z a b =+(),a b ∈R 的虚部记作()Im z b =，则1Im 2i ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A ．13 B ．25C ．13-D ．15-3．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为（ ）A ．73 B ．53C ．5D ．3 4．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为21，则=++543a a a （ ）A ．33B ．72C ．84D ．1895．函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．31 B ．34 C ．2 D ．386．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（ ）A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件8．函数)(x f 满足882)1()1(2+-=++-x x x f x f ，)2(4)1()1(-=--+x x f x f ， 且)(,21),1(x f x f -- 成等差数列，则x 的值是（ ）A. 2B. 3C. 2或3D. 2或-3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9.设集合，则＝ ．10. 已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是 ． 11. 记函数()y f x =的反函数为1().y f x -=如果函数()y f x =的图像过点(1,0),那么函数1()1y f x -=+的图像过点 ．12．如图1为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象，则该质点运动的总路程s = ．13.已知函数求f{f[f(a)]} (a<0)的值是 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，曲线3=ρ截直线1)4cos(=+πθρ所得的弦长为 ．图215．（几何证明选讲选做题）如图2，PAB 、PCD 是圆的两条割线，已知PA ＝6，AB ＝2，PC ＝21CD ．则PD ＝________．图1三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、(1) 求函数y ＝log 0.5(4x 2－3x )+0)1(-x 的定义域(2)设１且≠>a a 0，解关于x 的不等式22232223x x xx a a -++-> （6+8＝14分）17、（12分）已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．18．（1）已知幂函数的图象与轴都无交点，且关于轴对称，求函数解析式.（2）已知函数y ＝42215x x －－．求函数的单调区间和奇偶性 （6+9＝15分）19．（13分）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；（Ⅱ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望.20．（14分）已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-．（Ⅰ） 求函数()y f x =的表达式；（Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间和极值；（Ⅲ）若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-，试求m 、n 应满足的条件。

中山市2014届高三数学综合试题（五）理科注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设{}1,2,3,4,5U =-,{}1,5A =-,{}2,4B =,则()UBA =?（ ）A. {2}B. {1,3,4,5}C. {2,3,4}D. {2,4} 2. 复数231ii--（i 是虚数单位）的实部和虚部的和是（ ） A ．4 B ．6 C ．2 D ．33. 已知x 、y 满足0020350x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪-+≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64. 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）5. 已知2(3,log 15)a →=，2(2,log 3)b →=,2(2,log )c m →=,若()a b →-c →,则m 的值为（ ）A ．25B ．C ．10D ．1256. 甲乙等5个人站成一排，若甲乙两人之间恰有1个人，则不同站法有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．48种7. 曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．2ln 2B ．2ln 2-C ．4ln 2-D ．42ln 2-8.把已知正整数n 表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n 的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，1，4）为12的相同等差分拆．正整数27的不同等差分拆有( )个. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.9. 4(1)x -的展开式中2x 的系数是10. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B两点，则||AB =11. 已知(,0)2πα∈-，sin α=tan α的值为12.如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 是CD 的中点，则AE AB 的值为 13．下列命题：①函数在上是减函数； ②点(1,1),(2,7)A B 在直线两侧；③数列为递减的等差数列，，设数列的前n 项和为，则当时，取得最大值；④若已知回归直线的斜率的估计值和样本点中心，则一定可求出回归直线方程。

第Ⅰ卷(共40分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}1,2,3M =，{}14N x Z x =∈<<，则 ( )A.N M ⊆ B 。

N M = C.{}2,3M N =D.()1,4MN =2。

等差数列{}na 中，“13aa <”是“1n n a a +<"的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点：充分必要条件3.化简21sin 352sin 20-=（ )A.12B 。

12-C.1-D.14。

已知等比数列{}na 的首项11a=，公比2=q ，则=+++1122212log log log a a a （ ）A.50B 。

35C 。

55D 。

465.已知平面向量()1,2a =-，()4,b m =，且a b ⊥，则向量53a b -= ( ）A.()7,16--B.()7,34-- C 。

()7,4-- D.()7,14-【解析】6.命题,:p α∃、R β∈，使()tan tan tan αβαβ+=+；命题:q x R ⌝∀∈，210x x ++≥．则下列命题中真命题为（ ）A 。

q p ∧B 。

()p q ⌝∧ C.()()p q ⌝⌝∧D.()p q ⌝∧7。

奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则()2012f +()()20132014f f +的值为（ )A.2B.4C 。

6 D.8【解析】8.如下图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC =xOA yOB +,则（ ）A 。

01x y <+<B 。

1x y +> C.1x y +<-D 。

10x y -<+<考点：1。

中山市2014届高三上学期期末统一考试数学（理科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U 是实数集,R {}22,M x x x =><-或{}2430N x x x =-+> 则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <3．已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ， 则a +b 等于( ) A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．定义某种运算a S b =⊗，运算原理如上图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．4B ．8C ．11D ．135．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面⊥ABD平面CBD ，形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）（第2题图）（第4题图）A B C D ．6．下列四个命题中，正确的有①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题p ：“R ∈∃0x ，01020>--x x ”的否定p ⌝：“R ∈∀x ，012<--x x ”；③用相关指数2R 来刻画回归效果，若2R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若23.0=a ，3.02=b ，2log 3.0=c ，则b a c <<． A ．①③④B ．①④C ．③④D ．②③7．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中不恒成立的是（ ） ⑴a b a b a b =+⊗+⊕ ⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶B ． ⑵、⑷C ．⑴、⑵、⑶D ．⑴、⑵、⑶、⑷8. 已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当[10,10]x ∈-时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( ) A ．13B ．12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分9．已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f 10．如图，一不规则区域内，有一边长为1区域内随机地撒1000（含边界）的黄豆数为 375 积为 平方米.（用分数作答）11．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是 ．12．已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos . 13．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++= .14．如图, //AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+，（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界） 时，21y x x +++的取值范围是 .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，1()22b = ，函数()1f x a b =⋅+ . （Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （Ⅱ）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值. 16．（本题满分12分）某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数； （Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 17．（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PEDAPA ⊥平面ABCD ， 2==AB PA ，4=BC .E 是PD 的中点，（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值 18．（本小题满分14分）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈． （Ⅰ）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ； （Ⅲ）若1n n n b c b =-，数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：n T <53． 19．（本小题满分14分）已知函数()xf x e kx =-，.（Ⅰ）若0k >，且对于任意0)(,>∈x f R x 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅱ）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：1ln (1)ln (2)ln ()ln(2)()2n nF F F n e n N +*+++>+∈20．（本题满分14分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）； （Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（Ⅱ）设0a >，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．DAAD BCBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9.14 ; 10. 8311. 10;12.； 13. 45； 14. 4[,4]3三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x =，)21,23(=，函数1)(+⋅=x f 。

中山市高二级2013—2014学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷共4页，21小题， 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交. 参考公式：回归直线ˆybx a =+，其中1122211()(),()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b a y bx xx xnx====---===---∑∑∑∑.参考临界值表：()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n = a + b + c + d ．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在复平面内，复数22iz i=-对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数相同的概率是A.16B.112C.136D.133. 展开式3631(2)2x x -中的常数项为 A. 0 B. 20- C. 20 D. 404. 在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件，至少有1件是次品的抽法种数为A. 12299C C B. 12298C CC. 3310098C C - D. 1221298298C C C C ⨯5. 下列计算错误的是A. 13014x dx =⎰B. 1b a dx b a =-⎰C. 4π=⎰ D. 0sin 2xdx π-=⎰6. 如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 抛物线2y x =在(1,1)A 处的切线与x 轴及该抛物线所围成的图形面积为A.112 B. 16 C. 13D. 12 8. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”. 若2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是A. [1，4]B. [2，3]C. [3，4]D. [2，4]二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上） （一）必做题（9～13题）9. 已知复数2(1)z i =-，则z 的共轭复数z = . 10. 一离散型随机变量的分布列如下：则均值EX = .11. 商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布2(10,0.1)N （单位：kg ）. 任选一袋大米，根 据2~(,)X N μσ时的性质()0.6826P X u μσσ-<≤+=，(22)0.9544P X u μσσ-<≤+=，(33)0.9974P X u μσσ-<≤+=，由此可计算这袋大米质量在10.2 kg 以上的概率是 .（保留小数点后四位）12. 若等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}nS n为等差数列，且通项为112n S n a d n -=+．类似地，若各项均为正数的等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则数列为等比数列，通项为________ . 13. 某同学计算出“22sin 30cos 60sin30cos60︒+︒+︒︒”结果为34之后，尝试利用TI-NspireO DCBA PCAS图形计算器对结论进行拓展研究，进行了如下图1、图2所示的三角求值的探究：图1 图2根据上面的探究，可以得出结论拓展的等式为.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，若两题都做，取14题为最后得分）14．（坐标系与参数方程选做题）曲线2sinsinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与直线y=x+2的交点坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图，AB是半径为3的⊙O的直径，CD是弦，BA、CD的延长线交于点P，4,5PA PD==，则CBD∠=.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）16.（13分）学校游园活动有这样一个项目：甲箱子里装有3个红球，2个黑球；乙箱子里装有2个红球，2个黑球. 现在从两个箱子里分别摸出一个球，如果它们都是红球则获奖.（1）试问获奖的概率是否大于0.5？请说明理由.（2）从两个箱子里分别摸出一个球，记所摸出的两个球中红球的个数为Y，试求Y的分布列与均值.17.（13分）已知sinθ与cosθ的等差中项是sin x，等比中项是sin y.（1）试用综合法证明：2cos2cos2x y=；（2）试用分析法证明：cos434cos4y x=+.18.（13分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.（1）大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病. 为了解某市心肺疾病是否与性别有关，问有多大的把握认为是否患心肺疾病与性别有关?（2）空气质量指数PM2.5（单位：μg/3m ）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重. 某市在2014年年初着手治理环境污染，改善空气质试根据上表数据，求月份x 与PM2.5指数y 的线性回归直线方程ˆybx a =+，并预测2014年8月份的日平均PM2.5指数(保留小数点后一位).19. （13分）数列{}n a 中，已知114a =，11(2,*)(32)(31)n n a a n n N n n -=+≥∈-+. （1）计算234,,a a a 的值，并归纳猜想出数列{}n a 的通项公式； （2）试用数学归纳法证明你归纳猜想出的结论.20. （14分）已知函数2()()f x x x c =-在2x =处有极小值，且函数 32()542ln g x x x x x a =-+++，其中a 、c 为实常数.（1）求实数c 的值；（2）若(0,)x ∈+∞时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若对于任意121,[,2]2x x ∈，都有211()()x f x g x e -≥恒成立，求实数a 的取值范围.21. （14分）有如下结论：“圆222x y r +=上一点00(,)P x y 处的切线方程为200x x y y r +=类比也有结论：“椭圆2200221(0)(,)x y a b P x y a b +=>>上一点处的切线方程为00221x x y y a b +=”,我们又把两条直线2a x c =±定义为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的准线.过椭圆C ：22143x y+=的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B .（1）求椭圆22143x y +=的准线方程；（2）直线AB 是否恒过某定点，如果是，求出此定点坐标，如果不是，请说明理由；（3）当点M 的纵坐标为34时，求直线AB 与以椭圆C 的右顶点为焦点，顶点在坐标原点的抛物线所围成图形的面积S .中山市高二级2013—2014学年度第二学期期末统一考试高二数学试卷（理科）参考答案一、选择题： BABC DCAB 二、填空题：9. 2i ； 10. 1.65； 11. 0.0228； 12.121n b q-=；13. sin 2α+cos 2(α＋30︒)+sinαcos(α＋30︒)=34； 14. (1,1)-； 15. 30︒. 三、解答题： 16. 解：（1）记获奖为事件A ，则323()322210P A =⨯=++. ……（3分） ∴获奖的概率小于0.5. ……（4分） （2）Y =0，1，2. ……（5分）221(0)545P Y ==⨯=，22321(1)54542P Y ==⨯+⨯=，323(2)5410P Y ==⨯=. ……（8分）所以，Y 的分布列为 ……（10分）均值012521010EY =⨯+⨯+⨯=. ……（13分）17. 证明：（1）∵ sin θ与cos θ的等差中项是sin x ，等比中项是sin y ，∴ sin cos 2sin x θθ+=， ①2sin cos sin y θθ=， ② ……（3分）①2－②×2，可得 222(sin cos )2sin cos 4sin 2sin x y θθθθ+-=-， 即224sin 2sin 1x y -=. ……（5分）∴ 1cos21cos242122x y--⨯-⨯=， 即22cos2(1cos2)1x y ---=. 故证得2cos2cos2x y =. ……（7分）（2）要证cos434cos4y x =+，只需证222cos 2134(2cos 21)y x -=+-， ……（9分） 即证222cos 28cos 2y x =，即证22cos 24cos 2y x =， ……（11分） 由（1）的结论，22cos 24cos 2y x =显然成立. 所以，cos434cos4y x =+. ……（13分）18. 解：（1）()()()()()22250(2015105)258.3337.879302025253n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯……（3分）查表得2(7.879)0.005P K ≥=，所以，有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关. ……（5分） （2）1234535x ++++==，7976757372755y ++++==. ……（7分）121()()()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑(2)4(1)1001(2)2(3)1.741014-⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-==-++++. ……（9分）75( 1.7)380.1a y bx ∴=-=--⨯=， ……（10分） ˆ 1.780.1yx ∴=-+. ……（11分） 当8x =时，ˆ 1.7880.166.5y=-⨯+=， 所以，预测2014年8月份的日平均PM2.5指数为66.5. ……（13分）19．解：（1）当n =2时，211112474477a a =+=+=⨯⨯； ……（2分）当n =3时，321213710771010a a =+=+=⨯⨯； ……（3分）当n =4时，431314101310101313a a =+=+=⨯⨯. ……（4分）由1234,,,471013，猜想： 31n n a n =+ . ……（6分） （2）用数学归纳法证明如下：当1n =时，易知猜测成立. ……（7分）假设当*()n k k N =∈时猜测成立，即31k ka k =+. ……（8分）当1n k =+时，11(31)(34)k k a a k k +=+++131(31)(34)k k k k =++++2341(31)(34)k k k k ++=++(31)(1)11(31)(34)343(1)1k k k k k k k k ++++===+++++.即1n k =+时猜测成立. ……（12分）综上所述，可知猜测对任何*n N ∈都成立. ……（13分）20. 解：（1）32222'()(2)'34f x x cx c x x cx c =-+=-+. ……（1分） ∵ ()f x 在2x =处有极大值，∴ 2'(2)1280f c c =-+=，解得2c =或6c =. ……（2分） 当2c =时，2'()384(32)(2)f x x x x x =-+=--.2(,2)3x ∈时，'()0f x <；(2,)x ∈+∞时，'()0f x >.所以2x =处为极小值，符合题意. ……（3分）当6c =时，2'()32436(36)(6)f x x x x x =-+=--. (,2)x ∈-∞时，'()0f x >；(2,6)x ∈时，'()0f x <. 所以2x =处为极大值，不符合题意. ∴ 2c =. ……（4分） （2）由（1）知，232()(2)44f x x x x x x =-=-+.设32322()()()(44)(542ln )2ln h x f x g x x x x x x x x a x x a =-=-+--+++=--.则22(1)(1)'()2x x h x x x x-+=-=. ……（6分） 令'()0h x =，解得1x =.当(0,1)x ∈时，'()0h x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，所以1x =时，min ()(1)12ln11h x h a a ==--=-. ……（9分）∵ (0,)x ∈+∞时，不等式()()f x g x ≥恒成立，即()()()0h x f x g x =-≥恒成立， ∴ 10a -≥，解得1a ≤.所以，实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……（10分）（3）由（2）知，()()()h x f x g x =-在1[,2]2的最小值为1a -，因为函数x y e =在1[,2]2是增函数，所以在1[,2]2上，x e 的最大值为2e ，……（12分）∴ 21a e -≥，解得21a e ≤-.所以，实数a 的取值范围为2(,1]e -∞-. ……（14分）21. 解：（1）椭圆22143x y +=中，2a =，b =1c =. ……（2分）所以，准线方程为221x =±，即4x =±. ……（4分）（2）设M 111,122(4,)(),(),(,),143x x y yt t R A x y B x y MA ∈+=则的方程为. ……（5分）∵点M 在MA 上，∴1113tx y += ①， ……（6分） 同理可得2213tx y +=②. ……（7分） 由①②知AB 的方程为1,3303tx y x ty +=--=即. ③ ……（8分）易知右焦点F （1,0）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （1,0）. ……（9分） （3）当点M 的纵坐标为34时，直线AB 的方程为33304x y +-=，即44y x =-+. 抛物线的焦点为(2,0)，则22p=，得4p =，所以，抛物线方程为28y x =. ……（10分）联立方程组2448y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得11122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，2224x y =⎧⎨=-⎩. ……（11分） 由28y x =得y =±结合图形，知直线AB 与抛物线方程为28y x =所围成图形的面积为 解法一（对x 求积分）1221022[(44)2)]S d x x x dx =+-+-⎰⎰ ……（12分）=31322222012212|(44)|323x x x x +-⨯++=4199362+=. ……（14分） 解法二（对y 求积分）22449()482y y S dy --=-=⎰ ……（14分）1. 教材《选修2-2》P125 第5(1)小题 改编 3. 教材《选修2-3》P37 第5(2)小题 改编 4. 教材《选修2-3》P24 例4 改编 5. 教材《选修2-2》P52-P55改编9. 教材《选修2-2》P124 第2(2)小题 改编 10. 教材《选修2-3》P49 A 组第4题 改编 11. 教材《选修2-3》P75 A 组第2题 改编 16. 教材《选修2-3》P60 B 组第2题 改编17. 教材《选修2-2》P99 例3及 P111 B 组第3题 改编 19. 教材《选修2-2》P107 例2 改编 20. 教材《选修2-2》P73 第7题 改编。

一．基础题组1.【广东省中山市一中2014届高三第二次统测】奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则(2012)(2013)(2014)f f f ++的值为 （ ）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 82.【广东省佛山市石门中学2014届高三第二次月考】函数()412x x f x +=的图象（ ）A.关于原点对称B.关于直线y x =对称C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称3.【广东省增城市2014届高三调研考试】下列函数中与函数()f x x =相同的是（ ） A.()2f x =B.()f x =C.()f x =D.()2x f x x=4.【广东省增城市2014届高三调研考试】=（ ）A.6B.C. D.35.【广东省深圳市宝安区2014届高三调研考试】下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（ ）. A.()f x = B.()22x x f x -=- C.()tan f x x =-D.()1f x x=6.【广东省百所高中2014届高三11月联考】下列函数中，在()0,+∞上为增函数的是（ ）A.()21y x =- B.2y x = C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.3y x=7.【广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三10月期中联考】若函数()y f x =的图象与函数xy 4=的图象关于直线y x =对称，则函数()y f x =的解析式为 .8.【广东省惠州市2014届高三第二次调研考试】已知奇函数()()()()300x a x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，则()2g -的值为 .二．能力题组1.【广东省佛山市石门中学2014届高三第二次月考】函数()2s i n 5f x x x π=-的零点个数是（ ）A.4B.6C.7D.82.【广东省增城市2014届高三调研考试】已知函数()()22log 1f x x ax =++的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）A.()0,2B.()2,2-C.[]2,2-D.()()22,-∞-+∞3.【广东省执信中学2014届高三上学期期中考试】当10<<x 时，下列大小关系正确的是 （ ）A.x x x 33log 3<<B.x x x 3log 33<<C.x x x 33log 3<<D.333log x x x <<4.【广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三10月期中联考】】已知定义在R 上的周期为2的偶函数()f x ，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =-，则()f x 在区间[]0,2014内零点的个数为（ ） A.3019 B.2020 C.3021D.30225.【广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三10月期中联考】函数46y x x =-+-的最小值为 .6.【广东省百所高中2014届高三11月联考】函数()()13f x x x x R =-+-∈的值域为 .三．拔高题组1.【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中2014届高三第一次联考】设函数()y f x =在(),-∞+∞内有意义．对于给定的正数k ，已知函数()()()(),,k f x f x kf x k f x k ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，取函数()3x f x x e -=--．若对任意的(),x ∈-∞+∞，恒有()()k f x f x =，则k 的最小值为 .2.【广东省执信中学2014届高三上学期期中考试】已知函数2()2f x x x =-，()()20g x ax a =+>，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ） A.1(0,]2B.1[,3]2C.(0,3]D.[3,)+∞3.【广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二】若a 、b 是方程lg 4x x +=，104xx +=的解，函数()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =的解的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.44.【广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三10月期中联考】定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是。

中山市2014届高三数学综合试题（一）理科一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.)1.若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是 A . ()2,4 B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,22. 已知直线,l m 和平面α， 则下列命题正确的是A ．若//,l m m α⊂，则//l αB ．若//,l m αα⊂，则//l mC ．若,l m l α⊥⊥，则//m αD ．若,l m αα⊥⊂，则l m ⊥ 3. 已知,a b 是实数，则”2a >且3b >”是“5a b +>”的（ ）4.，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ） A.12 B.13 C.14 D.155．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与 俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）A.B .C .2D . 46．已知集合{}|4||1|5M x x x =-+-<，{}6N x a x =<< , 且 ()2,MN b =,则a b +=A ．6B ．7C ．8D ．97．已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B ．12+ C D ．12+8．将边长为2的等边三角形PAB 沿x 轴滚动，某时刻P 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =有下列说法：①()f x 的值域为[0,2]； ②()f x 是周期函数； ③( 1.9)()(2013)f f f π-<<； ④69()2f x dx π=⎰.其中正确的说法个数为:A.1B.2C.3D. 4二、填空题：(本大题共6小题,每小题5分,满分30分．) （一）必做题（8～13题）9．二项式61(2)x x-的展开式中常数项是 。

U AB图1图22013～2014学年度 高三第二次联考理 科 数 学命题人: 宝安中学 胡士军 南海中学 钱耀周★祝同学们考试顺利★本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生务必填写好答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ,集合{}09,A x x x =<<∈R 和{}44,B x x x =-<<∈Z关系的韦恩图如图1所示,则阴影部分所示集合中的元素共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无穷多个2. 若复数()()2321iaa a -++-是纯虚数,则实数a 的值为( ) A ．2B ．1C ．2-D ．1或23. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24S =,420S =,则该数列的公差d =( )A ．2B ．3C ．6D ．74. 已知抛物线22y px =(0p >)的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．45. 如图2,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落 在椭圆外的黄豆数为96颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的 面积约为( )A ．16.32 B. 15.32宝安中学 潮阳一中 桂城中学南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学2 3 1 正视图侧视图图3C ．8.68 D. 7.686. 已知平面α、β和直线m ,给出条件:①//m α；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤//αβ.能推导出//m β的是( )A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤7. 若变量,x y 满足约束条件02143y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则35z x y =+的取值范围是( )A ．(],9-∞ B ．[)3,+∞ C ．[]8,9- D ．[]8,3-8. 对任意实数,x y ,定义运算x y ax by cxy ⊗=++,其中,,a b c 是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知123⊗=,234⊗=,并且有一个非零常数m ,使得x ∀∈R ,都有x m x ⊗=,则34⊗的值是( )A. 4-B. 4C. 3-D. 3二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分） (一)必做题(9～13题)9. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图3所示(均为直角三角形),则 该三棱锥的俯视图的面积为 .10.二项式5的展开式中常数项为_______. 11．不等式215x x ++-≤的解集为___________．12. 已知函数()cos ,01,0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩,则()22d f x x π-⎰的值等于 .13. 已知ABC ∆的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,且120c b B ===︒,则ABC ∆的面积等于________.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选做题)若直线πsin 4ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭与直线31x ky +=垂直,则常数k = ．15.(几何证明选讲选做题)如图4,在ABC ∆中,//DE BC ,//EF CD , 若3BC =,2DE =,1DF =,则AB 的长为________．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本题满分12分)设函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω,R ∈x ． (Ⅰ) 若21＝ω,求)(x f 的最大值及相应的x 的取值集合； （Ⅱ）若8π=x 是)(x f 的一个零点,且100<<ω,求ω的值和)(x f 的最小正周期.17．(本题满分12分)某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测.（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.18.(本题满分14分)如图5,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面图5PABCDEFABCD ,且PA PD AD ==,E 、F 分别为PC 、BD 的中点.(Ⅰ) 求证://EF 平面PAD ； (Ⅱ) 求证:面PAB ⊥平面PDC ；(Ⅲ) 在线段AB 上是否存在点G ,使得二面角C PD G --的余弦值为13?说明理由.19.(本题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且有111,1n n a S a +=+=(*n ∈N ).(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项n a ；(Ⅱ) 若n n a nb 4=,求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）是否存在最小正整数m ,使得不等式()121nk k kk m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立,若存在,求出m 的值；若不存在,说明理由.20.(本题满分14分)已知定点()11,0F -,()21,0F ,动点(),P x y ,且满足1122,,PF F F PF 成等差数列.(Ⅰ) 求点P 的轨迹1C 的方程； (Ⅱ) 若曲线2C 的方程为()()22222x t y t t -+=+(0t <≤),过点()0,2-A 的直线l与曲线2C 相切,求直线l 被曲线1C 截得的线段长的最小值.21.(本题满分14分)已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中a ∈R ).(Ⅰ) 若0x =为()f x 的极值点,求a 的值；(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭； (Ⅲ) 若函数()f x 在区间()1,2上单调递增,求实数a 的取值范围.2013～2014学年度 高三第二次联考理 科 数 学 参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分9．1； 10．40； 11．[]3,2-； 12．3；； 14．3-； 15.92三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算宝安中学 潮阳一中 桂城中学南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学步骤.16．【解析】(Ⅰ)xx x x x f ωωωωcos sin 2sin sin )(-=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+=…………………………2分当21＝ω时,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42sin 22cos 2sin )(πx x x x f ＝－， 而142sin 1≤⎪⎭⎫⎝⎛π-≤-x ,所以)(x f 的最大值为2, …………………………4分 此时π+π=π-k x 2242,k ∈Z ,即π+π=k x 423,Z ∈k , 相应的x 的集合为},423|{Z ∈π+π=k k x x . …………………………6分 （Ⅱ）依题意048sin 8=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππωf ,即π=π-πk 48ω,Z ∈k , (8)分整理,得28+=k ω, …………………………9分又100<<ω,所以10280<+<k ,141<<-k , …………………………10分而Z ∈k ,所以0=k ,2=ω,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ,)(x f 的最小正周期为π.…………12分17.【解析】(Ⅰ)依题意,甲、乙两组的学生人数之比为()()35:222:1++=， (1)分所以,从甲组抽取的学生人数为2323⨯=；从乙组抽取的学生人数为1313⨯=． (2)分设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A ，则113528C C 15()C 28P A ⋅==，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为1528．………4分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,2,3,且 ………5分21522184C C 5(0)C C 28P X ⋅===⋅， 111213525221218484C C C C C 25(1)C C C C 56P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 211113235221218484C C C C C 9(2)C C C C 28P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 21322184C C 3(3)C C 56P X ⋅===⋅．……………9分所以,X 的分布列为………………10分G z yxO P FEDC B A 5259350123285628564EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………12分18.【解析】(Ⅰ)证明:连结AC BD F =,ABCD 为正方形,F 为AC 中点,E 为PC 中点.所以在CPA ∆中,EF //PA .……2分又PA ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD , 所以//EF 平面PAD ……………3分(Ⅱ)证明:因为平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD 面ABCD AD =ABCD 为正方形,CD AD ⊥,CD ⊂平面ABCD ,所以CD ⊥平面PAD . (4)分又PA ⊂平面PAD ,所以CD PA ⊥.又PA PD AD ==,所以PAD ∆是等腰直角三角形,且2APD π∠=,即PA PD ⊥.………5分又CD PD D =,且CD 、PD ⊂面PDC ,所以PA ⊥面PDC .………6分 又PA ⊂面PAB , 所以面PAB ⊥面PDC ……………………7分(Ⅲ) 如图,取AD 的中点O ,连结OP ,OF ,因为PA PD =,所以PO AD ⊥.又侧面PAD ⊥底面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =, 所以PO ⊥平面ABCD ,而,O F 分别为,AD BD 的中点,所以//OF AB ,又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥, 以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz-如图所示, ……………………………………………8分 则有(1,0,0)A ,()1,2,0C -,(0,1,0)F ,(1,0,0)D -,(0,0,1)P , (9)分若在AB 上存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为13,连结,PG DG ,设(1,,0)(02)G a a ≤≤,则(1,0,1),(2,,0)DP GD a ==--,由(Ⅱ)知平面PDC 的法向量为(1,0,1)PA =-,………………10分设平面PGD 的法向量为(,,)n x y z =.则00n DP n GD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即020x z x ay +=⎧⎨--=⎩,解得22a z y a x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 令2y =-,得(),2,n a a =--,……………………………………………………………………11分所以1cos ,32n PA n PA n PA⋅<>===,解得12a =(舍去12-).………………13分所以,在线段AB 上存在点11,,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭(此时14AG AB=),使得二面角C PD G --的余弦值为13.…14分19.【解析】(Ⅰ) 当1n =时,211112a S a =+=+=；……………………………1分当2n ≥时,11n n S a ++=,11n n S a -+=,相减得12n n a a +=……………………………2分又212a a =, 所以{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,所以12-=n n a ……………………4分(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知12-=n n a ,所以112244+-=⋅==n n n n n n a n b所以23411232222n n n T +=++++ 12n T = 34121212222n n n n ++-++++ 两式相减得2341211111222222n n n n T ++=++++-=2221111222122212n n n n n ++⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=--,所以1212n n n T ++=-(或写成11122n n n T ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭,11122n n n n T +=--均可给至8分) …………8分（Ⅲ）()()()11221211211121122k kk k k k k k k S T k k ++++==+⋅++⎛⎫⎛⎫-⋅-++-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()111211221212121k k k k k +++⎛⎫==-⎪---⋅-⎝⎭ …………11分所以()1111211122121212121nnk k n k k k k k S T k ++==+⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⋅++---⎝⎭⎝⎭∑∑若不等式()121nk k kk m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立,则2≥m ，所以存在最小正整数2m =,使不等式()121nk k k k m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立…………14分 20.【解析】(Ⅰ)由()11,0F -,()21,0F ,421=+PF PF 12F F >…………………1分根据椭圆定义知P 的轨迹为以21,F F 为焦点的椭圆,其长轴42=a ,焦距22=c ,短半轴322=-=c a b ,故1C 的方程为13422=+y x . ……4分(Ⅱ)设l:()2y k x=+,由过点()0,2-A的直线l与曲线2C相切得()()2122+=++t tktk,化简得⎥⎦⎤⎝⎛∈+=22,12，tkkt(注:本处也可由几何意义求k与t的关系)…………6分由0t<=≤,解得201k<≤…………7分联立()⎪⎩⎪⎨⎧=++=134222yxxky,消去y整理得()0121616342222=-+++kxkxk,…………………8分直线l被曲线1C截得的线段一端点为()0,2-A,设另一端点为B,解方程可得()22224312,4343k kBk k⎛⎫--⎪⎪++⎝⎭,所以AB==……………………11分(注：本处也可由弦长公式结合韦达定理求得)令nk=+12,则21212,1414nAB nn nn==∈--,考查函数nny14-=的性质知nny14-=在区间上是增函数,所以n=时,nny14-=取最大值,从而minAB==. ……………… 14分21.(本题满分14分)已知函数()()()22211xf x ax a x a a e⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中a∈R).(Ⅰ) 若0x=为()f x的极值点,求a的值；(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式()()21112f x x x x⎛⎫>-++⎪⎝⎭；(Ⅲ) 若函数()f x在区间()1,2上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(Ⅰ)因为()()()22211xf x ax a x a a e⎡⎤=+-+--⎣⎦所以()()()()()22222221111x x xf x a x a e a x a x a a e a x⎡⎤⎡⎤⎡⎤'=+-++-+--=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦…2分因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae '==,解得0a =……………3分检验,当0a =时,()xf x xe '=,当0x <时,()0f x '<,当x >时,()0f x '>.所以0x =为()f x 的极值点,故0a =.……………4分(Ⅱ)当a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭,整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++>⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩…6分令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,()()()1x h x g x e x '==-+,()1x h x e '=-,当0x >时,()10x h x e '=->；当0x <时,()10x h x e '=-<,所以()h x 在(),0-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增,所以()()00h x h >=,即()0g x '>,所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =；故211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔> ⎪⎝⎭；211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭,所以原不等式的解集为{}01x x x <>或；………………………………………………………………9分(Ⅲ) 当0a ≥时,()()221x f x ax a x a e ⎡⎤'=+++⋅⎣⎦因为()1,2x ∈,所以()0f x '>,所以()f x 在()1,2上是增函数. ……………………11分当0a <时,()()1xf x a x a x e a ⎛⎫'=++⋅ ⎪⎝⎭, ()1,2x ∈时,()f x 是增函数,()0f x '>. ① 若1a <-,则()()110,x f x a x a x e x a a a ⎛⎫⎛⎫'=++>⇒∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()11,2,a a ⎛⎫⊆-- ⎪⎝⎭得2a ≤-；② 若10a -<<,则()()110,x f x a x a x e x a a a ⎛⎫⎛⎫'=++⋅>⇒∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()11,2,a a ⎛⎫⊆-- ⎪⎝⎭得102a -≤<.③ 若1a =-,()()210xf x x e '=--⋅≤,不合题意,舍去.综上可得,实数a 的取值范围是(]1,2,2⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭ ………………………………………14分 (亦可用参变分离或者图像求解).。

广东省中山市第二中学2008届高三模拟考试数学试题（理科卷）区顺林第一部分 选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{}(1)0P x x x =-≥，{})1ln(|-=x y x ，则P Q 等于（ ） Ａ、∅ Ｂ、{}1x x >Ｃ、{}1x x ≥ Ｄ、{}1x x x <0或≥2．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是A ．30B ．60C ．70D ．80 3．在二项式6(1)x -的展开式中，含3x 的项的系数是A . 15-B . 15C .20-D .204．已知命题P ：[)+∞∈∀,0b ，c bx x x f ++=2)(在[)+∞,0上为增函数,命题Q ：{},|0Z x x x ∈∈∃ 使 0log 02>x ，则下列结论成立的是（ ）A ．﹁P ∨﹁QB ．﹁P ∧﹁QC ．P ∧﹁QD ． P ∨﹁Q 5．如图，一个空间多面体的主视图、左 视图、俯视图为全等的等腰直角三角 形，如果直角三角形的直角边长为1， 好那么这个几何体的体积为（ ）A ．61B ．31C ．21D ．16．下图给出了下一个算法流程图，该算法流程图的功能是（ ） A ．求a,b,c 三数的最大数 B ．求a,b,c 三数的最小数 C ．将a,b,c 按从小到大排列 D ．将a,b,c 按从大到小排列7．直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线周长(cm)与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是（ ） A ．直线与圆相切 B ．直线与圆相交但不过圆心C ．直线与圆相离D ．直线过圆心8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(,0)0(,ln )(x x x x f ，则方程0)()(2=-x f x f 的不相等的实根共有（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个第二部分 非选择题(共110分)二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9. 若复数21(1)z a a i =-++是纯虚数，则z =_________.10．向量a =（－2,3），b =（1,m ），若a 、b 夹角为钝角，则实数m 的范围是_________.11.已知实数x 、y 满足约束条件y x z y x y x 42,622+=⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥则的最大值为_________.12.下表给出一个“直角三角形数阵”，记第i 行， 41第j 列的数为a ij ,则a 83=_________. 21 414383163 1 21 41 81……13．（几何证明选讲选做题）如图，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ，则-+AD FGBC EF . 14．（不等式选讲选做题）已知222436,x y kz ++=(其中0)k >且t x y z =++ 的最大值是7,则k =15．（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别为θρθρsin cos 2==和的两个圆的圆心距为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx＋ϕ) (x∈R, A>0, ω>0, |ϕ| < π2)的部分图象如图所示,(1)试确定f(x)的解析式;(2)若f(a2π) =12, 求cos(2π3－a)的值17.( 本小题满分12分)在一次数学考试中, 第14题和第15题为选做题。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1.已知集合2{0,1,2,3,4},{|20}U A x x x ==-=，则U A ð=（ ） A ．{1,2,3} B ．{0,1,3,4} C ．{1,3,4} D ．{0,3,4}2. 复数32i1i+等于（ ） A.1i - B. 1i -+ C. 1i + D.1i -- 3.已知1sin cos 3αα+=，则22cos ()14πα--=（ ）A.89 B. 1718 C. -89 D. 23- 4．已知数列{n a ｝是各项均为正数的等比数列，若2342,216a a a =+=，则5a =（ ）A.4B.8C.16D.325. 关于函数3()31f x x x =-+，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数且x=-1处取得极小值 B ．()f x 是奇函数且x=1处取得极小值 C ．()f x 是非奇非偶函数且x=-1处取得极小值 D ．()f x 是非奇非偶函数且x=1处取得极小值6.一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示，则该组合体的体积是（ ）A. 76B. 80C. 96D. 1127.已知不共线的平面向量a ，b ，c ，两两所成的角相等，且｜a ｜＝1，｜b ｜＝1，｜c ｜＝3，则｜a ＋b ＋c ｜等于（ ）A ．2 B.5 C.2或5 8.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同OCBAD的填报专业志愿的方法有（ ）A.210种B. 180种C.120种D.95种二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

(一）必做题（9-13题）9.在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =． 则角B 的大小为 ；10．由曲线1,1,===y x e y x 所围成的图形面积是 .11. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 .12. 下图是某算法的程序框图，当输出的结果100>T 时，整数s 的最小值是 .13. 已知O 是坐标原点，点()1,0A -，若()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x上的一个动点，则 OA OM +的最小值是 . （二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14．(几何证明选做题)如下图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ， 使2AB BC =，且2BC =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ， 则CD =________，DAB ∠=________．15.（极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则AB ＝ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

2014年广东省中山市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.若集合A={x|x2-4x-5=0}，B={x|x2=1}，则A∩B=（）A.-1B.{-1}C.{5，-1}D.{1，-1}【答案】B【解析】解：由集合A中的方程x2-4x-5=0，变形得：（x-5）（x+1）=0，解得：x=5或x=-1，∴集合A={-1，5}，由集合B中的方程x2=1，解得：x=1或x=-1，∴集合B={-1，1}，则A∩B={-1}．故选B分别求出集合A和B中一元二次方程的解，确定出两集合，找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集．此题属于以一元二次方程的解法为平台，考查了交集及其运算，是高考中常考的基本题型．2.已知i为虚数单位，复数的实部与虚部相等，则实数a=（）A.-1B.1C.-2D.2【答案】A【解析】解：复数==，因为复数的实部与虚部相等，所以a=-1．故选：A．化简复数为a+bi的形式，利用复数的实部与虚部相等，即可求出a．本题开采方式的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．3.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2014=3S2013+2，a2013=3S2012+2，则公比q=（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】解：∵a2014=3S2013+2，a2013=3S2012+2，∴a2014-a2013=3a2013，即a2014=4a2013．∴公比q=4．故选：C．由a2014=3S2013+2，a2013=3S2012+2，两式相减即可得出．本题考查了等比数列的定义、递推式的意义，属于基础题．4.已知α、β是两个不同的平面，a、b、c是三条不同的直线，则下列命题正确的（）A.若a⊂α，b∥a，则b∥αB.若a⊂α，b⊂α，c⊂β，a∥c，b∥c，则α∥βC.若a⊂α，b⊂α，c⊂β，c⊥a，c⊥b，则α⊥βD.若a⊂α，b⊂α，a∩b≠ϕ，c⊥a，c⊥b，c∥β，则α⊥β【答案】D【解析】解：对于A，根据线面平行的判定，b⊄α，a∥b，a⊂α，则a∥α，故A不正确；对于B，根据面面平行的判定，若a⊂α，b⊂α，c⊂β，a∥c，b∥c，α∥β，或相交，故B不正确；对于C，根据面面垂直的性质，当若a⊂α，b⊂α，c⊂β，c⊥a，c⊥b，当a，b相交时，则a⊥β，故C不正确；对于D，若a⊂α，b⊂α，a∩b≠ϕ，c⊥a，则c⊥α，又c∥β，则α⊥β，故D正确，故选D．对于A，根据线面平行的判定，可得结论，对于B，根据面面平行的判定，可得结论，对于C，根据面面垂直的判定，可得结论，对于D，根据线面垂直的判定和面面垂直的判定，可得结论，本题考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5.函数y=（sinx+cosx）（sinx-cosx）是（）A.奇函数且在，上单调递增B.奇函数且在，上单调递增C.偶函数且在，上单调递增 D.偶函数且在，上单调递增【答案】C【解析】解：由于函数y=（sinx+cosx）（sinx-cosx）=sin2x-cos2x=-cos2x，故函数为偶函数，故排除A、B．令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得kπ-≤x≤kπ，k∈z，故函数的减区间为[kπ-，kπ]，k∈z．令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得kπ≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为[kπ，kπ+]，k∈z，故选C．利用二倍角公式化简函数的解析式为-cos2x，可得函数为偶函数，再求出函数的单调区间，从而得出结论．本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的奇偶性以及单调性，属于中档题．6.执行如图所示的程序框图，则该程序运行后输出的k的值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】解：执行程序框图，可得：b=0，k=1，a=，不满足条件＞，k=2，b=，a=，不满足条件＞，k=3，b=，a=，不满足条件＞，k=4，b=，a=，满足添加剂＞，退出循环，输出k的值为4．故选：B．执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，b，a的值，当b=，a=时满足添加剂＞，退出循环，输出k的值为4．本题主要考察了程序框图和算法，正确得到每次循环k，a，b的值是解题的关键，属于基础题．7.将A，B，C，D，E五种不同的文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屈至多放一种文件，则文件A，B被放在相邻的抽屉内且文件C，D被放在不相邻的抽屉内的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：将A，B，C，D，E五种不同的文件随机地放入七个抽屉内，每个抽屈至多放一种文件，共有种方法；文件A，B被放在相邻的抽屉内，∴A，B看成一个元素，相应的抽屉看成6个，则有4个元素在6个位置排列，∴有=720种方法；文件A，B被放在相邻的抽屉内且文件C，D被放在相邻的抽屉内，有A22A22A53=240种方法，∴文件A，B被放在相邻的抽屉内且文件C，D被放在不相邻的抽屉内，有720-240=480种方法．∴文件A，B被放在相邻的抽屉内且文件C，D被放在不相邻的抽屉内的概率为=．故选：B．先用捆绑法，将A，B看成一个元素，相应的抽屉看成6个，把4个元素在6个位置排列，由排列数公式可得其排列数目；再求A，B和C，D也相邻的排列数目，用间接法求得A，B被放在相邻的抽屉内且文件C，D被放在不相邻的抽屉内的排列数目；根据将A，B，C，D，E五种不同的文件随机地放入七个抽屉内，每个抽屈至多放一种文件，共种方法，代入古典概型概率公式计算．本题考查了排列、组合的运用，本题采用了解排列组合的常用方法间接法与捆绑法，两个元素相邻的问题，一般把这两个元素看成一个元素进行排列，注意这两个元素内部还有一个排列．8.（理）若函数f（x）在给定区间M上存在正数t，使得对任意x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t级类增函数．给出下列命题：①函数f（x）=3x是R上的1级类增函数；②若函数f（x）=sinx+ax为[，+∞）上的级类增函数，则实数a的最小值为2；③若函数f（x）=x2-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，则实数t的取值范围为[1，+∞）．其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】解：对于①，函数f（x）=3x，∴f（x+1）-f（x）=3x+1-3x=2•3x，∴3x≥0在（-∞，+∞）上恒成立，∴①正确；对于②，f（x）=sinx+ax为[，+∞]上的级类增函数，∴sin（x+）+a（x+）≥sinx+ax，即sinxcos+cosxsin+ax+a≥sinx+ax，∴cosx+a≥sinx，当x=时，a≥，a≥，∴则实数a的最小值为，∴②不正确；对于③，∵f（x）=x2-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，∴（x+t）2-3（x+t）≥x2-3x，∴2tx+t2-3t≥0，t≥3-2x，由于x∈[1，+∞），则3-2x≤1，故实数t的取值范围为[1，+∞），∴③正确．故正确命题的个数为2个，故选：C①f（x+1）-f（x）=3x+1-3x=2•3x；②函数f（x）=sinx+ax为[，+∞]上的级类增函数，故运用参数分离，求出最大值，只要a不小于最大值即可；③由f（x）=x2-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，能导出实数t的取值范围为[1，+∞）．本题考查命题的真假判断，考查新定义，同时考查函数的性质及应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)9.不等式|2x+1|-|x-4|＞2的解集为______ ．【答案】∞，，∞【解析】解：①当x＞4时，|2x+1|-|x-4|=2x+1-（x-4）=x+5，∴x+5＞2，解得x＞-3，又x＞4，∴x＞4；②当时，原不等式可化为2x+1+x-4＞2，解得＞，又，∴＜；③当＜时，原不等式可化为-2x-1+x-4＞2，解得x＜-7，又＜，∴x＜-7．综上可知：原不等式的解集为∞，，∞．故答案为∞，，∞．通过对x分类讨论①当x＞4时，②当时，③当＜时，去掉绝对值符号即可得出．熟练掌握分类讨论思想方法是解含绝对值的不等式的常用方法之一．10.若二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为______ ．【答案】7【解析】解：展开式的通项公式T r+1==，令3n-=0，即有n=，由于n为正整数，r为非负整数，则当r=6时，n最小值为7．故答案为：7．运用二项式的通项公式求出二项式的通项，化简整理，再令x的指数为0，即可得到n 的最小值．本题考查二项式定理及运用，考查二项式的通项的运用，考查运算能力，属于基础题．11.已知a＞0，x，y满足若z=2x+y的最小值为1，则a= ______ ．【答案】【解析】解：由题意可得：若可行域不是空集，则直线y=a（x-3）的斜率为正数时．因此a＞0，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，2），B（1，-2a），C（3，0）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，观察x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（1，-2a）=1，即2-2a=1，解得a=故答案为：由题意得a＞0，作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=1且y=-2a时z取得最小值，由此建立关于a的等式，解之即可得到实数a的值．本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数的最小值情况下求参数a的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．12.如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为______ ．【答案】【解析】解：此几何体为一个正六棱锥，其顶点在底面的投影是底面的中心由于正视图中△ABC是边长为2的正三角形，其高为=，即侧视图中三角形的高为，又中心到边为的距离为，故侧视图中三角形的底边长为，故侧视图的面积S=××=，故答案为：由三视图及题设条件知，此几何体为一个正六棱锥，其标点在底面的投影是底面的中心，底面是一个正六边形，欲求侧视图的面积，由于其是一个等腰三角形，其高为棱锥的高，底面边长是六边形相对边长的距离，求出此两量的长度，即可求其面积．本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是正六棱锥的侧视图的面积，由三角形面积公式直接求即可．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．13.设F1，F2为双曲线＞，＞的左右焦点，P为双曲线右支上任一点，当最小值为8a时，该双曲线离心率e的取值范围是______ ．【答案】（1，3]【解析】解：由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，∴|PF2|=2a+|PF1|，∴=．当且仅当，即||PF1|=2a时取得等号．设P（x0，y0），（x0≤-a）依焦半径公式得：|PF1|=-e×x0-a=2a，∴，又∵e＞1，故e∈（1，3]答案：（1，3]．由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，∴|PF2|=2a+|PF1|，∴=．当且仅当，即||PF1|=2a时取得等号．然后利用焦半径公式可以导出该双曲线离心率e的取值范围．本题考查双曲线的定义、焦半径、离心率、均值不等式，解题时要注意公式的合理选用．14.已知点A是圆ρ=2上的点，点B是直线为参数的点，则线段AB长度的最小值为______ ．【答案】3【解析】解：∵圆的极坐标方程为：ρ=2∴，∴ρ=2cosθ-2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ，∴x2+y2=2x-2y，即（x-1）2+（y+1）2=2，圆心坐标为：（1，-1），半径为：r=．∵直线的参数方程为：为参数，∴x-y+6=0．∴圆心到直线距离为：．∴d-r=3．∴点A是圆上的点，点B是直线上的点，则线段AB长度的最小值为：3．故答案为：3．本题先题目中的参数方程化成普通方程，极坐标方程化成普通方程，再利用点到直线的距离公式研究线段AB的长度最小值，得到本题结论．本题考查了参数方程和极坐标方程，本题难度不大，属于基础题．15.已知P是圆O外一点，PE切圆O于点E，B、F是圆O上一点，PB交圆O于A点，EF∥AP，BE：BF=3：4，PE=4，则AB= ______ ．【答案】【解析】解：∵EF∥AP，∴BF=AE．∵BE：BF=3：4，∴BE：AE=3：4，∵PE切圆O于点E，∴△PEB∽△PAE，∴，∵PE=4，∴PA=，PB=3，∴AB=PA-PB=．故答案为：．由于EF∥AP，可得BF=AE．利用BE：BF=3：4，可得BE：AE=3：4，由于PE切圆O于点E，可得△PEB∽△PAE，因此，由于PE=4，可得PA=，PB=3，即可得出．本题考查了圆的性质、切线的性质、相似三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sin2A+sin2C=B．（1）求B的值；（2）若sin A=，，求△ABC的面积．【答案】解：（1）由正弦定理得，（2分）∴由余弦定理得，∴．（6分）（2）∵＜，∴A＜B．又，∴A＜B，∴．（9分）又，∴由正弦定理得．故．（12分）【解析】（1）由正弦定理化简已知可得从而由由余弦定理得，故可求得B的值；（2）由＜可得A＜B从而求得，再求出a的值，即可求出△ABC的面积．本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，属于中档题．17.甲、乙两台机床生产同一型号零件．记生产的零件的尺寸为t（cm），相关行业质检部门规定：若t∈（2.9，3.1]，则该零件为优等品；若t∈（2.8，2.9]∪（3.1，3.2]，则该零件为中等品；其余零件为次品．现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件，经质量检测得到下表数据：（Ⅰ）设生产每件产品的利润为：优等品3元，中等品1元，次品亏本1元．试根据样本估计总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的平均值；（Ⅱ）对于这两台机床生产的零件，在排除其它因素影响的情况下，试根据样本估计总体的思想，估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”，并说明理由．参考公式：K2=．参考数据：【答案】解：（Ⅰ）设甲机床生产一件零件获得的利润为X元，则有X=[40×3+7×1+3×（-1）]÷50=2.48元所以，甲机床生产一件零件的利润的平均值为2.48元．（Ⅱ）由表中数据可知：甲机床优等品40个，非优等品10个；乙机床优等品30个，非优等品20个．制作2×2列联表如下：计算K2==≈4.762．考察参考数据并注意到3.841＜4.762＜5.024，可知：对于这两台机床生产的零件，在排除其它因素影响的情况下，根据样本估计总体的思想，约有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”．【解析】（I）求出随机抽取50件样本的总利润，然后将总利润除以50即可求出甲机床生产一件零件的利润的平均值；（Ⅱ）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的数值代入公式K2=，同临界值进行比较，得到有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”．本题考查考查列联表，独立性检验的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．18.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD．（Ⅰ）从下列①②③三个条件中选择一个做为AC⊥BD1的充分条件，并给予证明；①AB⊥BC，②AC⊥BD；③ABCD是平行四边形．（Ⅱ）设四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠BAD为锐角，求平面BDD1与平面BC1D1所成锐二面角θ的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）条件②AC⊥BD，可作为AC⊥BD1的充分条件．证明如下：∵AA1⊥平面ABCD，AA1∥DD1，∴DD1⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC．若条件②成立，即AC⊥BD，∵DD1∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1，又BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．（Ⅱ）由已知，得ABCD是菱形，∴AC⊥BD．设AC∩BD=0，O1为B1D1的中点，则OO1⊥平面ABCD，∴OO1、AC、BD交于同一点O且两两垂直．以OB，OC，OO1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示．设OA=m，OB=n，其中m＞0，n＞0，m2+n2=1，则A（0，-m，0），B（n，0，0），C（0，m，0），C1（0，m，1），D1（-n，0，1），=（-n，m，1），=（-2n，0，1），设=（x，y，z）是平面BC1D1的一个法向量，由得，令x=m，则y=-n，z=2mn，∴=（m，-n，2mn），又=（0，2m，0）是平面BDD1的一个法向量，∴cosθ===，令t=n2，则m2=1-t，∵∠BAD为锐角，∴0＜n＜，则0＜t＜，cosθ==，因为函数y=-4t在（0，）上单调递减，∴y=＞0，所以0＜cosθ＜，又0＜θ＜，∴＜＜，即平面BDD1与平面BC1D1所成角的取值范围为（，）．【解析】（Ⅰ）要使AC⊥BD1，只需AC⊥平面BDD1，易知DD1⊥AC．故只需满足条件②即可；（Ⅱ）设AC∩BD=0，O1为B1D1的中点，易证OO1、AC、BD交于同一点O且两两垂直．以OB，OC，OO1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，设OA=m，OB=n，其中m＞0，n＞0，m2+n2=1，根据法向量的性质求出平面BC1D1的一个法向量，又=（0，2m，0）是平面BDD1的一个法向量，则cosθ=，利用向量的数量积运算表示出来，然后借助函数的性质即可求得其范围；本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等．19.已知数列{a n}，（n∈N）满足a1=1，且对任意非负整数m，n（m≥n）均有：a m+n+a m-n+m-n-1=．（1）求a0，a2；（2）求证：数列{a m+1-a m}（m∈N*）是等差数列，并求a n（n∈N*）的通项；（3）令c n=a n+3n-1（n∈N*），求证：＜．【答案】（1）解：令m=n，得a0=1，…（1分）令n=0，得a2m=4a m+2m-3，∴a2=3；…（3分）（2）证明：令n=1，得：，∴a m+1-a m=a m-a m-1+2，又a2-a1=2，∴数列{a m+1-a m}是以2为首项，2为公差的等差数列．∴．∴．∴；…（9分）（3）证明：∵，∴，∴＜．…（13分）【解析】（1）令m=n，得a0；令n=0，得a2m，从而可求a2；（2）令n=1，可得a m+1-a m=a m-a m-1+2，从而数列{a m+1-a m}是以2为首项，2为公差的等差数列，利用叠加法可求a n（n∈N*）的通项；（3）确定数列的通项，利用裂项法求和，即可得出结论．本题考查数列的通项与求和，考查等差数列的证明，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（-，），且离心率为e=，过椭圆中心两条弦PR与QS互相垂直，圆C1：x2+y2=．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P为椭圆上任意一点，试探讨四边形PQRS与圆C1的位置关系；（3）在（2）条件下，求四边形PQRS面积的取值范围．【答案】解：（1）由题意可知，，所以，则，a=，b=1，所以椭圆方程为+ y2=1．（4分）（2）因过椭圆中心两条弦PR与QS互相垂直，所以由图形的对称性可知四边形PQRS 为菱形，即研究椭圆的任意内接菱形PQRS与圆C1的位置关系，只需求原点O到它每的每一条边距离d．当PR的斜率不存在或斜率为0时，菱形的四个顶点分别椭圆的顶点，原点O到每条边的距离都是=，此时菱形与圆相切．若当SQ的斜率存在或且不为0时，设SQ的斜率为k，不妨设k＞0，直线SQ的方程为y=kx，代入椭圆方程为+ y2=1得．菱形PQRS的四个顶点必然分别在四个象限中，不妨设S、P、Q、R依次在第一二三四象限，则有S（），将点S坐标中的k换成，则可得P（）．菱形的四个顶点分别椭圆的顶点，原点O到每条边的距离都是=，此时菱形与圆相切．则，又，，记原点到SP的距离为d，则，即．同理可求得原点O到PQ、QR、RS的距离都是，所以四边形PQRS与圆C1相切．（9分）（3）记菱形PQRS的面积为S，当SQ的斜率不存在或斜率为0时，菱形的四个顶点分别椭圆的顶点，；若当SQ的斜率存在或且不为0时，设SQ的斜率为k，不妨设k＞0，直线SQ的方程为y=kx，代入椭圆方程为+ y2=1得．由（2）知，，S=2OS•OP，∴，分子分母同时间除以得=，记，则，，则，显然S2在t∈[2，+∞）上是单调递增函数，，，，，则，，又当SQ的斜率不存在或斜率为0时，菱形的四个顶点分别椭圆的顶点，；所以四边形PQRS面积的取值范围，．（14分）【解析】（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（-，），且离心率为e=，通过联立方程组求得a、b的值，即可求出椭圆的标准方程．（2）设直线QS的方程为y=kx，利用已知条件建立k的等式，财利用方程的基础知识进行化简．（3）在（2）的基础上求内接菱形PQRS的面积的取值范围，当QS的斜率存在且不为0时，先求出=，记k+=t，由此能求出四边形PQRS面积的取值范围．本题考查椭圆的方程求法，试探讨四边形PQRS与圆C1的位置关系，考查四边形PQRS 面积的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用，属于难题．21.已知函数f（x）=a（x-）-2lnx（a∈R）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=-，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）∵函数f（x）=a（x-）-2lnx，其定义域为x＞0∴f′（x）=a（1+）-=，令a（1+x2）-2x=ax2-2x+a=0，∴△=4-4a2≥0，解得：-1≤a≤1∵x＞0，∴0＜a≤1时f′（x）=0有解，①当a≤0时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在定义域内单调递减；②当0＜a＜1时，令a（1+x2）-2x=0，解得：x=，x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，③当a≥1时，f′（x）≥0，函数f（x）在定义域内单调增，综上：当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在定义域内单调递减，当0＜a＜1时，x∈（0，）时，函数f（x）单调递增；，x∈（，+∞）时，函数f（x）单调递减；当a≥1时，函数f（x）在定义域内单调增．（2）至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，否定是∀x∈[1，e]，有f（x）≤g（x）成立，∵f（x）-g（x）=ax-2lnx，令ax-lnx≤0，解得：a≤，令h（x）=（x∈[1，e]），∴h′（x）=＞0，∴h（x）在[1，e]递增，∴h（x）min=h（1）=0，∴a≤0，故若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则只需a＞0即可．【解析】（1）先求出函数的导数，通过讨论①当a≤0时②当0＜a＜1时③当a≥1时，从而得出函数的单调区间；（2）将问题至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，转化为否定是∀x∈[1，e]，有f（x）≤g（x）成立，从而求出a的范围．本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道综合题．。

90t ≤？开始1k = 1t =是 t t t k =+⋅1k k =+否输出t结束第6题图中山市2014届高三数学综合试题（三）理科一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数3212i Z i-=-Z 对应的点在 （ ）A ．第一象限或第三象限B ．第二象限或第四象限C ．x 轴正半轴上D ．y 轴负半轴上 （2）已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率21=e ，则椭圆的标准方程为（ ）A.122=+y x 2B.1222=+y xC.14=+3y x 22D.13=+4y x 22(3) ,a b 为非零向量，“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥”的（ ） （A ） 充分但不必要条件 （B ） 必要但不充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件（4）如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）（A ）52 （B ）107 （C ）54 （D ）109 （5）已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+301,094y y x y x ，则x －3y 的最大值是（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2（6）如果执行右面的程序框图，那么输出的t =（ ）A ．96B ．120C ．144D ．300(7)已知二项式2(2n x x（n N +∈）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为 （ ） A ．45256 B ．47256C ．49256D ．51256甲 8 99 8 0 1 2 3 3 79 乙•BCP(8)函数的定义域为D ，若满足：①()x f 在D 内是单调函数；②存在],[b a 使得()x f 在],[b a 上的值域为2,2[ba ，那么就称函数()x f y =为“成功函数”,若函数()()()1,0log ≠>+=c c t c x f x c 是“成功函数”，则t 的取值范围为（ ）A.()∞+，0 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, C.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,41 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

中山市2014届高三数学综合试题（四）理科一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合{}2230M x x x =∈+-≤R ，{}10N x x =∈+<R ，那么MN =（ ）A ．{101}-，，B ．{321}---，，C ．{11}x x -≤≤D ．{31}x x -≤<-2．复数1ii =-（ ） A ．122i + B ．122i -C ．122i-+ D ．122i -- 3．已知向量(1)x =，a ，(4)x =，b ，则“2x =”是“a ∥b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,6,2105==S S ,则=++++2019181716a a a a a（ ）A ．54B ．48C ．32D ．165．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2， 则输出的x 的值为（ ） A ．3 B ．126 C ．127D ．1286． 在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好落在正方形与曲线y =(阴影部分)A ．12B ．23C ．34D ．457．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．6488. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形 （含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（） （A ）（B ） （C ） （D ）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．已知42340123412x a a x a x a x a x +=++++()，则1234234a a a a -+-= ．10．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若=6a ，4c =，1cos =3B ，则b =______． 11． 若x ，y 满足约束条件1020x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，，，则z x y =+的最大值为 ．12．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o 150，则||PF =______．13．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数． 如：6=123++；OCy =AB28=124714++++；496=1248163162124248++++++++．已经证明：若21n-是质数，则12(21)n n --是完全数，n *∈N .请写出一个四位完全数 ；又623=⨯，所以6的所有正约数之和可表示为(12)(13)+⋅+；22827=⨯，所以28的所有正约数之和可表示为2(122)(17)++⋅+；按此规律，496的所有正约数之和可表示为 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{21,42.x t y t =-=-（参数t ∈R ），以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图4，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于B 、C 两点，D 是OC 的中点，连结AD 并延长交⊙O 于点E ．若PA =30APB ∠=︒，则AE = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()cos cos21f x x x x =++． （Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的x 值．17．（本小题满分13分）北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85100]，之间为体质优秀；在[7585)，之间为体质良好；在[6075)，之间为体质合格；在[060)，之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：9 1 3 5 68 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 97 0 5 6 6 7 9 6 4 5 85 6（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X 为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X 的分布列及数学期望．18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，o 90ABC ∠=，AD ∥BC ，且2PA AD ==，1AB BC ==，E 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ?若存在，求出AF 的长；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分13分）已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，不等式()f x mx <的解集为P ，若A PEDCPABOC DE∙4图1{|2}2M x x =≤≤，且M P ≠∅，求实数m 的取值范围.20、（本小题满分14分）已知圆22(1)8x y ++=的圆心为M , ()t,0,0N t >且1t ≠，设Q 为圆上任一点,线段QN 的垂直平分线交直线MQ 于点P .（1）试讨论动点P 的轨迹类型；（2）当1t =时，设动点P 的轨迹为曲线C ,过C 上任一点P 作直线l ，l 与曲线C 有且只有一个交点，l 与圆M 交于点AB ，若ABNl 的方程.21.（本小题满分14分）已知数列{n a }、{n b }满足：111,1,4(1)(1)n n n n n n b a a b b a a +=+==-+．（Ⅰ）求1234,,,b b b b ；（Ⅱ）设11n n c b =-，求证数列{}n c 是等差数列，并求n b 的通项公式； （Ⅲ）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，不等式4n n aS b <恒成立时，求实数a 的取值范围中山市2014届高三数学综合试题（四）理科答案二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(两空的题目第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分． 16．（本小题共12分）解：（Ⅰ）()f x 2cos2+1x x + …………2分2sin2+16x π=+（）， ……………3分222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ， 36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ………5分所以函数)(x f 的单调递增区间为[]36k k ππππ-+，()k ∈Z ． ……………6分（Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，22363x πππ-≤+≤， ……………8分sin(2)16x π≤+≤， 12sin2+136x π≤+≤（）， ……………10分 所以当2=63x ππ+-，即=4x π-时，函数)(x f 取得最小值1．………12分则 3335C 9()1C 10P A =-=． 故在选出的3名学生中至少有名体质为优秀的概率为910．…（ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为123，，．123235C C 3(1)C 10P X ⋅===， 3235C C 6(2)C 10P X ⋅===，335C 1(3)C 10P X ===． …………12分 所以，随机变量X 的分布列为:36191231010105EX =⨯+⨯+⨯=． ……………13分 18．（本小题共14分） （Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. ……………1分 取AD 的中点G ，连结GC ，因为底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，o90ABC ∠=，且1AB BC ==，所以四边形ABCG 为正方形，所以CG AD ⊥，且1=2CG AD ， APEB DCG所以o=90ACD ∠，即AC CD ⊥. ……………3分又PA AC A =，所以CD ⊥平面PAC . ……………4分（Ⅱ）解：如图，以A 为坐标原点，AB AD AP ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系xyz A -．………5分则(000)A ，，，(110)C ，，，(011)E ，，，(002)P ，，， 所以(002)AP =，，，(110)AC =，，，(011)AE =，，．因为PA ⊥平面ABCD ，所以(002)AP =，，为平面ACD 的一个法向量． ……6分设平面EAC 的法向量为1()n x y z =，，，由10n AC ⋅=，10n AE ⋅=得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，，令1x =，则1y =-，1z =，所以1(111)n =-，，是平面EAC 的一个法向量． ………8分所以1cos n AP <>==，因为二面角E A C D --为锐角， 所以二面角E AC D --的余弦值为． ………9分 （Ⅲ）解：假设在线段AB 上存在点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ．设(00)F a ，，，则(110)CF a =--，，，(112)CP =--，，．设平面PCF 的法向量为2()n x y z =，，，由20n CF ⋅=，20n CP ⋅=得(1)020a x y x y z --=⎧⎨--+=⎩，，令1x =，则1y a =-，2a z =， 所以2(11)2an a =-，，是平面PCF 的一个法向量．…12分 因为AE ∥平面PCF ，所以20AE n ⋅=，即(1)02aa -+=， ……………13分 解得23a =， 所以在线段AB 上存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面P C F ，且2=3AF ．……14分19.（本小题共13分）2a =时，()2x f x e x =-，(0)1f =，()2x f x e '=-，得(0)1f '=-，………2()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1y x =-+. ……………3分 ()x f x e a '=-. 0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()-∞+∞，，无单调递减区间；………5分当0a >时，(ln )x a ∈-∞，时，()0f x '<，(ln )x a ∈+∞，时，()0f x '>， 此时()f x 的单调递增区间为(ln )a +∞，，单调递减区间为(ln )a -∞，.……7分 （Ⅲ）由题意知(0)0f '=得1a =，经检验此时()f x 在0x =处取得极小值. ………8分因为M P ≠∅，所以()f x mx <在1[2]2，上有解，即1[2]2x ∃∈，使()f x mx <成立， (9)分1[2]2∈，使x e x m x->成立， …………10分 min ()x e xm x ->.令()1x e g x x =-，2(1)()x x e g x x-'=，所以()g x 在1[1]2，上单调递减，在[12]，上单调递增， 则min ()(1)1g x g e ==-， ……………12分 所以(1)m e ∈-∞，+. ……………13分 20．（本小题共14分） 解：（1）由题PN PQ =当01t <<时，点N 在圆M 内，点P 在线段MQ 内∴1PM PN PM PQ t +=+=+∴动点P 的轨迹是以,M N为焦点，2分当1t >时，点N 在圆M 外，点P 在线段MQ 的延长线上∴1PM PN PM PQ t -=-=+∴动点P 的轨迹是以,M N为焦点，5分（2）由（1）知1t =时，动点P 的轨迹是以()()1,0,1,0M N -为焦点，∴1,1a c b =∴=∴曲线C 的方程是2212x y +=…………………6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 并整理成()222124220k x kmx m +++-=（*） ∵l 与曲线C 有且只有一个交点∴（*）方程有且只有一个实数解 ∴()()222216412220k m km∆=-+-=即有2212m k =+…………………7分∵圆心(1,0)M -到直线l∴弦长AB =9分 点()1,0N 到直线l的距离为d∴ABN 的面积为12S AB d =⨯即()2212S mk ====+=代得223mk k =+∴()()()()222222242243412961790m k k k k k k k k =+⇒+=++⇒+-=∴29,7k k ==当k =时，代入223mk k =+得m =当k =时，代入223mk k =+得m=…………………12分 当直线的斜率不存在时，直线l方程为xx =综上所求直线方程为y =+y =…………………13分 21．（本小题共14分）由条件可知08)63()1(2<--+-n a n a 恒成立即可满足条件，设8)63()1()(2--+-=n a n a n f当1=a 时，()380f n n =--<恒成立 当1>a 时，由二次函数的性质知不可能成立 当1<a 时，对称轴 0)111(231223<---=--⋅-=a a a n ， )(n f 在(1,)+∞为单调递减函数．2(1)(1)(36)8(1)(36)84150f a n a n a a a =-+--=-+--=-<，∴154a < ∴1<a 时 4n n aSb <恒成立。