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空间几何体的投影与展开教案
一、引言
本节课程将讲授空间几何体的投影与展开。
由于我们生活的世界是三维的，因此理解和掌握空间几何体的投影与展开是非常重要的。
二、授课内容
1. 空间几何体的投影
1.1 投影的定义
1.2 正交投影
1.3 斜投影
1.4 投影的性质
2. 空间几何体的展开
2.1 展开的定义
2.2 展开的方法
2.3 展开的应用
三、教学方法
1. 结合实例
本节课程主要讲解投影与展开的理论知识，结合实际应用场景进行讲解，如建筑设计、机械制造等。
2. 基于应用
采用以问题为主导的教学模式，让学生通过解决具体问题来掌握其理论知识。
3. 实践操作
通过示范演示和学生亲自操作的方式来加深对空间几何体投影与展开的理解。
四、教学评估
1. 期中考试
通过期中考试，检测学生对投影与展开的掌握程度。
2. 实践操作与作品展示
让学生结合实际应用场景，进行展开图的绘制和投影的计算。
最终进行作品展示评选，让学生在实践中巩固所学知识。
五、总结
本节课程通过理论讲解与实践操作相结合的方式，让学生了解和掌握空间几何体投影与展开的基本概念与方法。
这对于学生今后的学习和实践应用具有非常重要的意义。
A B CP NM 江苏省泰兴中学高一数学教学案(134)必修 2 空间几何体的表面积（一）班级 姓名目标要求1、 了解多面体的平面展开图；2、 理解并掌握直棱柱、正棱柱的概念和侧面积公式;3、 理解并掌握正棱锥、正棱台的概念和侧面积公式;4、 领悟正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系．重点难点重点：正棱柱、正棱锥、正棱台的概念和侧面积公式;难点：正棱柱、正棱锥、正棱台的概念和侧面展开图．典例剖析例1、(1) 判断下列命题是否正确:①侧棱长相等的三棱锥是正三棱锥 ( ) ②有两个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱 ( ) ③底面是正三角形,且侧棱长相等的三棱锥是正三棱锥 ( ) ④有两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱 ( )(2)设集合{},{},{}A B C ===直四棱柱正四棱柱长方体, 则,,A B C 之间的包含关系是 ．(3)侧面为直角三角形的正三棱锥, 侧面与底面所成角为θ, 则cos θ= ．例2、（1）正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为对角线1AC 长为13，则此正四棱柱的侧面积为 ．(2)正三棱台上、下底面面积之比为1:9, 上底边长为a , 侧棱与底面成060, 它的全面积是 ．例3、如图，长方体交于点A 的三条棱长分别为14,3,5AD AA AB ===, 则从点A 沿表面到1C 的最短距离为多少？例4、已知正三棱锥P —ABC 的侧棱长为1，∠APB=40°，D 1C 1B 1A 1D CB AN、N分别是棱PB、PC上的点，求ΔAMN的周长的最小值。
学习反思1、简单的多面体可以沿多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的．2、侧棱与底面垂直的棱柱叫做，直棱柱的侧面展开图是，S直棱柱侧＝．3、如果一个棱锥的底面是，并且顶点在底面内的正投影是，这样的棱锥＝．为，正棱锥的侧棱长都，S正棱锥侧4、正棱锥被于底面的平面所截，之间的部分叫做正棱台，S正棱台侧＝．5、正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系可以图示为a b c，则其对角线长为．6、长方体的长、宽、高分别为,,课堂练习1、底面边长为10，高为5的正四棱锥的侧面积是．2、一个正三棱锥的侧面展开图的顶角为平角，侧面积为_____．3、已知正四棱柱的底面边长为3，侧面的对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为____________．60,则棱台的高为______________.4、正四棱台两底面边长分别是2和6,侧面和下底面成︒30,求该正四棱锥的侧面积和5、已知正四棱锥底面正方形的边长是4,高与斜高的夹角为︒表面积.江苏省泰兴中学高一数学作业(134)班级姓名得分1、长方体的高为1，底面积为2，过相对侧棱的截面面积为3，则此长方体的侧面积为______.2、将一个边长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了____________.3、侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该三棱锥的侧面积为___________.4、正六棱柱的高为5cm，最长的对角线为13cm，则它的侧面积为_____________.5、底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别是9和15，高是5，则这个棱柱的侧面积是___________________.6、已知直四棱柱的底面是菱形，过其不相邻的两对侧棱的截面面积分别是1S 和2S ，则该四棱柱的侧面积是 ．7、已知正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比是43：，则此三棱锥的高与斜高之比为 ．8、正方体1111ABCD A B C D 的棱长为a ,将正方体沿对角面BB 1D 1D 切成两块.(1)将两块拼接成一个不是正方体的四棱柱求所得四棱柱的全面积;(2)若两块拼接成一个三棱锥,求所得三棱锥的全面积.9、一个正三棱锥的高和底面边长都为a ，求它的侧棱和底面所成角的余弦值．10、一个长方体的全面积为220cm ，所有棱长的和为24cm ，求长方体的对角线长．11、已知正三棱台的上、下底面边长分别是3cm 和6cm ，高是32cm 。
1.1.1柱、锥、台、球的结构特征（一） 几何体1. 多面体:若干个平面多边形围成的几何体。
(1) 面----围成多面体的各个多边形。
棱----相邻两个面的公共边。
顶点-----棱与棱的公共点。
(2) 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
底面：棱柱中，两个互相平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。
侧面：棱柱中除底面的各个面。
侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 斜棱柱:侧棱与底面不垂直的棱柱 直棱柱:侧棱与底面垂直的棱柱 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱 平行六面体:底面是平行四边形的棱柱 直平行六面体:侧棱与底面垂直的平行六面体棱柱斜棱柱直正棱柱；四棱柱平行六面体直平行六面体 长方体正四棱柱正方体。
(3) 棱锥：如果一个多面体一个面是多边形,其他各面的交于一个顶点的三角形. 底面：棱锥中的多边形叫做棱锥的底面或底。
侧面：有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
顶点：各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
棱锥的高: 顶点到底面的距离.底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫三棱锥，四棱锥，五棱锥…… 正棱锥:如果棱锥的底面是正多边形,且他的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上. 棱锥的斜高:正棱锥侧面上的高(4) 棱台：棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分 下底面和上底面：原棱锥的底面和截面侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面（截后剩余部分）。
侧棱：原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱（截后剩余部分）。
顶点：上底面和侧面,下底面和侧面的公共点叫做棱台的顶点。
棱台的高:两地面之间的距离 正棱台:正棱锥截得棱台 棱台的斜高:正棱台侧面上的高底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别叫三棱台、四棱台、五棱台……棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是正多边形侧棱垂直于底面侧棱不垂直于底面（5）正多面体：②欧拉公式：（为简单多面体的顶点数，为面数，为棱数） (6)正四面体：对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题。
关于空间几何体的表面积和体积数学教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算方法，能够熟练运用这些方法解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新精神和合作意识。
二、教学内容：1. 立方体的表面积和体积计算。
2. 圆柱体的表面积和体积计算。
3. 圆锥体的表面积和体积计算。
4. 球的表面积和体积计算。
5. 空间几何体表面积和体积的综合应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间几何体的表面积和体积的计算方法。
2. 教学难点：空间几何体表面积和体积的综合应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间几何体的表面积和体积计算方法。
2. 利用实物模型和多媒体辅助教学，帮助学生直观理解空间几何体的特点和计算方法。
3. 组织小组讨论和动手实践，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示各种空间几何体模型，引导学生观察和思考空间几何体的特点。
2. 讲解与示范：讲解立方体、圆柱体、圆锥体、球体的表面积和体积计算方法，并进行示范。
3. 练习与讨论：学生独立完成练习题，小组内讨论解题思路和方法。
4. 拓展与应用：引导学生运用所学知识解决实际问题，如计算实际物体的表面积和体积。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与情况，包括提问、回答问题、小组讨论等。
2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，评估学生对知识点的理解和掌握程度。
3. 作业质量：评估学生作业的完成质量，包括解题的正确性、步骤的清晰性等。
4. 学生互评：组织学生进行互相评价，鼓励学生相互学习、相互帮助。
七、教学反思：2. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解学生的学习需求和困惑。
3. 教学内容：评估教学内容的难易程度，根据学生的实际情况进行调整。
7.1空间几何体【高考目标定位】一、空间几何体的结构及其三视图和直观图1、考纲点击（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。
2、热点提示1、高考考查的热点是三视图和几何体的结构特征，借以考查空间想象能力；2、以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。
二、空间几何体的表面积与体积1、考纲点击了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；2、热点提示（1）通过考查几何体的表面积和体积，借以考查空间想象能力和计算能力；（2）多与三视图、简单组合体相联系；（3）以选择、填空的形式考查，属容易题。
【考纲知识梳理】一、空间几何体的结构及其三视图和直观图1、多面体的结构特征（1）棱柱（以三棱柱为例）如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等。
各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C。
（2）棱锥（以四棱锥为例）如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形。
（3）棱台棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台。
2、旋转体的结构特征旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴。
3、空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。
4、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x’轴、y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行。
空间几何体的三视图教案空间几何体的三视图教案作为一位不辞辛劳的人民教师，时常会需要准备好教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。
教案应该怎么写呢？以下是小编为大家整理的空间几何体的三视图教案，欢迎阅读与收藏。
教学目标（1）了解两种投影方法，中心投影与平行投影。
（2）掌握三视图的画法规则，能画出简单空间几何体的三视图，能由三视图还原成实物图。
过程与方法通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象能力、几何直观能力，培养学生的应用意识。
◆情感态度与价值观欣赏空间图形反映的数学美，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。
教学重点画出空间几何体的三视图。
教学难点识别三视图所表示的空间几何体。
教学方法问题探索和启发引导式相结合教具准备多媒体教学设备教学过程（一）创设情境，引入新课活动1．（多媒体播放手影表演图片，组织学生欣赏）1．导入：同学们在感受这些形象逼真的图形时，是否思考一下，这些图形是怎样形成的呢？它们形成的原理又是什么呢？这就是我们本节课所要探讨的第一个问题——中心投影和平行投影．设计意图引入生活情境，激发学生的学习欲望，自然导入新课，同时又弘扬了中国传统文化，增强文化意识．活动2．多媒体播放演示中心投影和平行投影的相关知识．1．投影的概念①投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，光线叫做投影线，屏幕叫做投②中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．③平行投影：把在一束平行光线照射下形成的投影称为平行投影．平行投影分为斜投影与正投影．讲解原则：配以多媒体动画，让学生思考，抽象或概括出相应定义，教师加以修正．设计意图通过动画演示投影的形成过程，使学生直观、生动地感悟，使抽象问题具体化，加速学生对概念的理解．2．中心投影和平行投影的区别和用途中心投影的投影线交于一点，形成的投影图能非常逼真地反映原来的物体，主要运用于绘画领域．平行投影的投影线相互平行，形成的投影图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征．因此更多应用于工程制图或技术图样．活动3．直观感知形成概念－－三视图①欣赏图片；图片说明从不同的角度看同一物体视觉的'效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这就是本节课我们要探讨的第二个问题——空间几何体的三视图．②欣赏飞机、轿车的三视图图片；设计意图引入生活情境激发学生的学习欲望，自然引入新课，同时与其它学科相联系，拓宽学生思维，发展他们联想、类比能力．（二）动手作图掌握技能在初中，我们已经学习了长方体、正方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），下面我们就以长方体为例，结合刚刚学过的投影知识，进一步了解空间几何体的三视图。
【最新整理，下载后即可编辑】第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。
概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
立体几何的综合应用教案一、教学目标本教案旨在帮助学生掌握立体几何的基本概念、基本运算及其在现实生活中的应用。
二、教学内容1. 空间几何体的概念及性质：点、线、面、体的概念和三视图的绘制方法。
2. 空间几何体的参数方程：直线、平面、圆锥、球的参数方程。
3. 空间几何体的运算：点、线、面、体之间的关系和平移、旋转、对称等运算的实现方法。
4. 立体几何的应用：空间图形的表达和计算、工程实例的应用。
三、教学过程1. 概念讲解首先，我们要讲解空间几何体的概念及其性质，包括点、线、面、体的概念和三视图的绘制方法。
通过画图和实例讲解，让学生更好地掌握这些几何体的概念和性质。
2. 参数方程接着，我们要教授空间几何体的参数方程，包括直线、平面、圆锥、球的参数方程。
通过解题和实例讲解，让学生掌握参数方程的计算方法和实际应用。
3. 运算然后，我们要讲解几何体的运算，包括点、线、面、体之间的关系和平移、旋转、对称等运算的实现方法。
通过画图和实例讲解，让学生了解几何体之间的关系以及这些运算的实际应用场景。
4. 应用最后，我们要让学生了解立体几何在现实生活中的应用，包括空间图形的表达和计算、工程实例的应用等。
通过实践任务和案例分析，让学生掌握立体几何在实际工程领域中的应用方法和技巧。
四、教学方法1. 课堂讲授：通过黑板、幻灯片等方式，向学生介绍各种概念、方程和方法。
2. 实践演练：通过解题、画图等实践任务，让学生巩固理论知识，提高实际操作技能。
3. 案例分析：通过分析工程实例，让学生了解立体几何在实际工程中的应用场景和技术要点。
五、教学评估我们将对学生的学习进行多角度、全面性的评估，包括测试、考试、课堂表现、实践任务等多个方面。
评估结果将反馈给学生和家长，及时帮助学生针对自身问题进行学习调整和提高。
六、教学资源1. 课本资料、教学课件等。
2. 工程案例、解题实例等。
3. 计算机软件、绘图工具等。
七、教学反思经过本次教学，我们发现学生在空间几何体的概念理解和应用方向上，还存在着一些薄弱之处。
7.3.2空间几何体的体积（教案）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（人教版2021·基础模块下册）教学目标：1. 能够掌握空间几何体的定义和常用公式。
2. 能够计算球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥的体积。
3. 能够应用体积公式解决实际问题。
教学重点：1. 球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥的体积公式的掌握和应用。
2. 应用题的解答能力的培养。
教学难点：1. 解决实际问题和公式之间的应用。
2. 对于某些特殊情况应用公式的灵活运用。
教学准备：1. ppt课件和相应的课堂演示。
2. 模型或示意图的准备。
3. 班级带来的旋转体或其他几何体的集合。
教学过程：一、引入（5分钟）1. 教师介绍本课将要学习的内容：空间几何体的体积问题。
2. 教师展示一个球、一个圆柱、一个圆锥、一个棱柱和一个棱锥的形状，并介绍这些几何体的名称。
3. 教师提出问题：如何快速准确的计算这些几何体的体积呢？二、讲解（25分钟）1. 球的体积公式教师展示球的形状和体积公式V=4/3πr³并解释。
2. 圆柱的体积公式教师展示圆柱的形状和体积公式V=πr²h并解释。
3. 圆锥的体积公式教师展示圆锥的形状和体积公式V=1/3πr²h并解释。
4. 棱柱的体积公式教师展示棱柱的形状和体积公式V=底面积×高，并解释。
5. 棱锥的体积公式教师展示棱锥的形状和体积公式V=1/3×底面积×高，并解释。
6. 教师引导学生思考如何判断几何体的形状，并呈现几何体的特定角度下的图像，例如：四棱锥、四棱柱、三棱锥等。
三、练习（25分钟）1. 布置练习题，让学生自主完成并批改。
2. 学生按照现场制作的各种空间几何体展示出自己设计的几何体，做出来的作品可以在课后召开学生作品展，互相评判。
四、总结归纳（5分钟）教师对上节课所讲的课程内容进行总结，并帮助学生总结掌握本节课所讲的几何体的体积公式。
五、作业布置（5分钟）要求学生完成一定数量的练习题并作出自己的创作作品，在课后可以通过学生作品展来展示展示自己的作品。
空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
【教学重点难点】【教学重点】：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算【教学难点】：台体体积公式的推导【学前准备】：多媒体，预习例题（3）初中时，我们已经学习了计算特殊的柱体——正方体、长方体以及圆柱的体积公式：如图，把正方体截去四个角，得到一个体比2a和积此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥底面半径，且圆柱的全面积：圆锥的底面积3:2=．）求圆锥母线与底面多成的角的正切值；（2）圆锥的侧面积参考答案：1. B 2. C 3. 1 , 3 4. A 5. B 6. B 7. 1:3 3a π或32aπ9．已知圆锥有一个内接圆柱此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱. 三棱锥的外接球问题【教学目标】⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
【教学重难点】【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
【教学难点】：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【学前准备】：多媒体，预习例题4：如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为.类型四：一条测棱垂直底面，底面为非直角三角形的四面体的外接球问题5已知点A,B,C,D,四点在同一个球面上，DA⊥平面ABC,DA=AB=AC=3,∠ABC=60，则球半径是类型五：正三棱锥的外接球问题6：已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，求外接球半径。
空间几何体的切割问题教案一、教学目标：1. 理解与辨认空间几何体的基本概念和性质；2. 掌握不同空间几何体的切割方法；3. 能够解决空间几何体的切割问题。
二、教学重点与难点：1. 空间几何体的基本概念与性质；2. 不同空间几何体的切割方法；3. 解决空间几何体的切割问题的思维能力。
三、教学内容与过程：1. 导入（约5分钟）通过展示一些日常生活中的立体物体，如饼干、蛋糕、水果等，引导学生思考它们的形状和特征，并引发对空间几何体的切割问题的兴趣。
2. 概念讲解（约10分钟）介绍空间几何体的基本概念，如立方体、圆柱体、圆锥体等，并讲解它们各自的性质和特点。
重点强调每个几何体的形状、边和面的个数等。
3. 切割方法示范（约15分钟）针对不同的空间几何体，分别进行切割方法的示范。
以立方体为例，演示如何将一个立方体切割成两个相等的部分，并解释切割的原理和步骤。
然后通过实物或图示演示其他几何体的切割方法。
4. 切割问题解决（约25分钟）提供一些具体的切割问题，让学生运用所学知识解决。
问题可以根据学生的学习情况逐渐增加难度。
例如：将一个圆柱体切割成两个底面积相等的部分，请给出切割的方法和过程。
5. 总结归纳（约5分钟）学生回顾所学内容，总结不同空间几何体的切割方法与切割问题的解决思路。
教师进行必要的点评和提醒。
四、教学资源：1. 展示用的不同空间几何体实物或图片；2. 黑板或白板；3. 切割问题的练习题。
五、教学评价与反馈：1. 教师在教学过程中观察学生的学习情况，及时给予指导和帮助；2. 结合课堂练习和作业，对学生的掌握程度进行评价；3. 收集学生的反馈和问题，及时进行解答和澄清。
六、拓展延伸：1. 鼓励学生自主寻找更多的切割问题，并提出解决方案；2. 引导学生运用空间想象力，探索更复杂的几何体切割问题；3. 扩展到实际生活中的应用，如蛋糕的切割、纸板的折叠等。
通过以上教学设计，学生将能够逐步掌握空间几何体的切割方法，培养解决切割问题的思维能力，提高空间想象能力。
高中数学空间几何视图教案
教学目标：
1. 理解空间中的平行、垂直、相交关系；
2. 掌握投影、射影和平面图形的关系；
3. 能够应用空间几何视图解决实际问题。
教学重点：
1. 空间几何图形的投影和射影；
2. 空间几何图形的关系；
3. 空间几何视图解决实际问题。
教学准备：
1. 教材《高中数学》；
2. 多媒体教学设备；
3. 教学实验器材。
教学过程：
1.导入（10分钟）
教师通过引入一幅空间几何图形，让学生讨论图形中的平行、垂直和相交关系，引出空间几何视图的概念。
2.概念讲解（15分钟）
教师讲解空间几何图形的投影、射影与平面图形之间的关系，引导学生理解这三者之间的联系。
3.例题演练（20分钟）
教师以几个实际例题为例，让学生通过画出空间几何图形的投影、射影和平面图形，解决问题，加深对概念的理解。
4.实验操作（30分钟）
学生分组进行空间几何实验，尝试通过调整位置、角度等因素，观察图形的投影、射影变化，探究空间几何视图的规律。
5.课堂讨论（15分钟）
学生展示实验结果，互相学习交流，讨论空间几何视图的应用及解决问题的方法。
6.作业布置（5分钟）
布置相关练习作业，巩固空间几何视图的概念和应用能力。
教学反思：
本节课通过引入实际问题和实验操作，引导学生理解空间几何视图的概念，并通过实践探究其规律和应用。
学生在实验操作中能够积极探索，提高了对空间几何视图的理解和应用能力。
在以后的教学中，可以继续注重学生的实践操作，加深对空间几何视图的掌握和应用。
空间几何体的表面积和体积
4．圆柱．
把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
5．圆锥．
把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
6．圆台．
把圆台的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间有什么联系与区别？
四、点燃智慧之炬〔研究性学习的小课题、知识的自主串联、直击高考、自主编题等〕
1．例题．
例1 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0．85m，底面的边长是1．5m，制造这种塔顶需要多少平方米的铁板？〔保留两位有效数字〕
例2 边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，那么从点E沿圆柱的侧面到G点的最短距离是
例3 有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，那么铁丝的最短长度为多少厘米？(精确到 0．1cm〕
分析: 可以把圆柱沿这条母线展开,将问题转化为平面几何的问题．2．练习．
〔1〕如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC,CD的中点,沿图中虚线折起。
小学空间几何数学教案
主题：立体图形的认识与分类
教学目标：
1.认识常见的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等；
2.掌握各种立体图形的特点及分类方法；
3.能够在日常生活中观察和辨认各种立体图形。
教学重点：
1.认识和辨认常见的立体图形；
2.掌握立体图形的特点及分类方法。
教学难点：
1.理解立体图形的三维空间特点；
2.能够准确分类不同的立体图形。
教学准备：
1.课件：包含各种立体图形的图片及相关解释；
2.教学工具：球体、立方体、长方体、圆柱体、圆锥体等模型。
教学过程：
一、导入（5分钟）
老师出示不同的立体图形模型，让学生观察并简单描述这些图形的特点。
二、学习（15分钟）
1.讲解不同的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等，并分别介绍它们的特点；
2.让学生观察教师展示的各种立体图形模型，搞清楚它们的形状和特点。
三、活动（20分钟）
1.学生分组，每组给出不同的几何图形模型，让学生观察并辨认；
2.让学生找出每种几何图形的相同之处并进行分类。
四、总结（5分钟）
请学生总结今天所学的内容，掌握不同立体图形的特点并能准确分类。
五、作业（5分钟）
布置作业：观察周围环境，找出不同的立体图形并描述其特点。
教学反思：
通过这堂课的教学，学生对各种立体图形的认识有了较大提升，能够熟练区分不同的立体图形，并且能在日常生活中观察到这些图形的存在。
在教学中，要注重通过实物模型等教具的展示，帮助学生更好地理解立体图形的空间特点。
空间几何体与斜二测画法教案引入生活中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑一个物体占有空间的形状和大小，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体. 观察图中的建筑物，它们可抽象为哪些几何体？长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥都是学生们熟悉的几何体，同时借助学生熟悉的建筑和场景，建立对结构几何体的辨识，引导学生学会观察和发现，体会身边的几何美.新课一、空间图形的直观图立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，称为空间图形的直观图.为了使直观图具有立体感，人们经常使用斜二测画法来做直观图.引导学生用平面表达空间图形，如何体现图形的例1 用斜二测画法作出红十字的的直观图.（1）（2）（3）例2 用斜二测画法，画小亭子的直观图.按照图片的比例测量，亭子底面是一个正方形，边长为4，亭子的立柱高3，上方四棱锥的高为1.（1）（2）（3）例3 利用斜二测画法作圆形的直观图（1）取圆心为原点，取一条直径作为x轴建立平面直角坐标系，在x轴上等距的截取一些点，过这些点作x轴的垂线，这样就得到了圆的一些平行于y轴的弦；（2）在新的坐标系x’O’y’中按照之前的规定，与x 轴重合的线段长度不变，因此在x’轴上相对原点也相同的等距截取一些点，然后过这些点，作出垂直于x’轴方向的那些弦在新系中的对应线段，即与y’轴平行，长度为原长度的一半.（3）这些线段的端点都是直观图中的圆上点，我们用光滑曲线连接，即可得到圆形的直观图了.正如我们所见，圆形的直观图是一个椭圆.有了这些关于斜二测画法的直观图的认识，我们在一起来看一下这道题目:如图所示△C B A '''是用斜二测画法作出的水平放置的△ABC 的直观图，已知M 为AB 的中点，设M 在B A ''对应的点为M '，在图中标出M '的位置，并求出M B M A '''':的值.解：M’应是A’B’的中点，A’M’:B’M’=1.时，应首先正确地画出这些点，即结合画法规则，尽可能地将关键的点放到坐标轴上或平行于坐标轴的直线上，可适当添加平行于坐标轴的直线为辅助线帮助确定点的位置.用斜二测画法画出图片中几何体的直观图.。
高二数学立体几何教案【篇一：高中立体几何新课教案】第1章立体几何初步1.1.1 空间几何体得结构重难点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征；柱、锥、台、球的结构特征的概括．考纲要求：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．棱柱的结构特点：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边的都互相平行，由这些面说围成的几何体叫做棱柱。
棱锥的结构特点：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱体。
圆锥，棱台，圆台经典例题：如图,长方体abcd-a1b1c1d1的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从a到c1点，沿着表面爬行的最短距离是多少．当堂练习：1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是（）a．六棱锥 b．六棱台 c．六棱柱 d．非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体 2下列说法中，正确的是（）a．棱柱的侧面可以是三角形 b．由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图c．正方体的各条棱都相等 d．棱柱的各条棱都相等3．一个骰子由1~6六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的数字,推出“？”处的数字是（）a． 6b． 3 c． 1d． 24．有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是（）a．棱柱 b．棱锥 c．棱台 d．可能是棱台, 也可能不是棱台, 但一定不是棱柱或棱锥5．构成多面体的面最少是（）a．三个 b．四个 c．五个 d．六个6．用一个平面去截棱锥, 得到两个几何体, 下列说法正确的是（） a．一个几何体是棱锥, 另一个几何体是棱台b．一个几何体是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台c．一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体是棱台d．一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台7．甲：“用一个平面去截一个长方体, 截面一定是长方形”；乙：“有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥”.这两种说法（）a．甲正确乙不正确 b．甲不正确乙正确 c．甲正确乙正确 d．不正确乙不正确8．圆锥的侧面展开图是（）a．三角形 b．长方形 c． d．形9．将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是（） a．圆锥b．圆柱 c．圆台 d．上均不正确10．下列说法中正确的是（）a．半圆可以分割成若干个扇形b．面是八边形的棱柱共有8个面 c．直角梯形绕它的一条腰旋转一周形成的几何体是圆台d．截面是圆的几何体，不是圆柱，就是圆锥11．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）a．圆锥 b．圆柱c．球体 d．以上都可能12．a、b为球面上相异两点, 则通过a、b可作球的大圆有（）a．一个 b．无穷多个 c．零个 d．一个或无穷多个13．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是（）a． b． c． d．14．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 得到两个几何体, 一个是________，另一个是．15. 如右图, 四面体p-abc中, pa=pb=pc=2,∠apb=∠bpc=∠apc=300. 一只蚂蚁从a点出发沿四面体的表面绕一周, 再回到a点, 问蚂蚁经过的最短路程是_________．16．如右图将直角梯形abcd绕ab边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体是___________________．17．边长为5cm的正方形efgh是圆柱的轴截面, 则从e点沿圆柱的侧面到相对顶点g的最短距离是_______________．18．只有3个面的几何体能构成多面体吗？4面体的棱台吗？棱台至少几个面．19．棱柱的特点是：(1)两个底面是全等的多边形，(2)多边形的对应边互相平行，(3)棱柱的侧面都是平行四边形．反过来，若一个几何体，具备上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？20．如下图几何体是由哪些简单几何体构成的？21．(1)圆柱、圆锥、圆台可以看成以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形旋转一周而形成的曲面围成的几何体，三个图形之间的什么联系？(2)一个含有300的直角三角板绕其一条边旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以底边上的高所在直线为轴旋转1800得到什么几何体？旋转3600又如何？1.1.2 空间几何体的三视图和直观图重难点：理解中心投影、平行投影的概念，掌握三视图的画法规则及能画空间几何体的三视图并能根据三视图判断空间几何体的形状和结构，了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积公式的推理过程．三视图包含正视图，测试图和俯视图。
空间几何体教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1. 多面体与旋转体：（1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.（2）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.2. 棱柱：（1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（2）侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否则斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按侧棱与底面的关系分为直棱柱和斜棱柱。
（4）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体；底面为矩形的直平行六面体叫长方体；底面为正方形的长方体叫正四棱柱；棱长都相等的正四棱柱叫正方体。
（5）棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形；③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
3. 棱锥：（1）有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.（2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥叫正棱柱。
正棱柱顶点与底面中心的连线段叫正棱锥的高；正棱锥侧面等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高。
（3）棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等.（4）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.（5）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
②正棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高，侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。
③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。
④正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。
4. 圆柱与圆锥：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.在圆柱中，旋转的轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.5. 棱台与圆台：（1）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.（2）棱台的性质：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.（3）圆台的性质：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.（4）棱台与圆台统称为台体.6.球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体，简称球.在球中，半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径. 7. 简单组合体：由简单几何体（如柱、锥、台、球等）组合而成的几何体叫简单组合体. 【常见题型】1．给出如下四个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个共同的公共点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.其中正确的命题个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解】D ．2．圆锥底面半径为１cm，高为，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．【解】分析：画出轴截面图，设正方体的棱长为x ，利用相似列关系求解. 过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面CDD 1C 1，如图所示.设正方体棱长为x ，则CC 1=x ，C 1D1=. 作SO ⊥EF 于O ，则SO OE =1，1~ECC EOS ∆∆， ∴11CC EC SO EO ==. ∴x =，cm 1.2 空间几何体的三视图和直观图1. 中心投影与平行投影：1（1）光由一点向外散射形成的投影称为中心投影.（2）在一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影.（3）平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种.2. 柱、锥、台、球的三视图：（1）三视图的定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．（2）三视图的几何作用：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度.3. 直观图：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1）建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系xoy，直观图中画成斜坐标系'''x o y，两轴夹角为45 .（2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段.（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.注意：1. “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的图形称为“俯视图”. 用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为“三视图”.2. 画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧（和右侧）、正上方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来．3. 三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”．4. 空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）. 直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象．【常见题型】1．如图，图（1）是常见的六角螺帽，试画出它的三视图. 【解】分析：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从三个不同的角度进行观察. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线 都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来. 图（1）为圆柱和正六棱柱的组合体. 从三个方向观察，得到三个平面图形，绘制的三视图如下图所示.2．画棱长为4cm 的正方体的直观图.【解】分析：按照斜二测画法的步骤画正方体的直观图，先画下底面，再画棱，再画上底面.（1）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在已知的直角三角形ABC 中取直角边CB 所在的直线为x 轴，与BC 垂直的直线为y 轴，画出对应的x '轴和y '轴，使45x O y '''∠=.第二步，在x '轴上取''O C BC =，过'C 作'y 轴的平行线，取1''2C A CA =.第三步，连接''A O ，即得到该直角三角形的直观图. （2）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，作水平放置的正方形的直观图ABCD ，使45,BAD ∠=4,2AB cm AD cm ==.第二步，过A 作z '轴，使90BAz '∠=. 分别过点,,B C D 作z '轴的平行线，在z '轴及这组平行线上分别截取4AA BB CC DD cm ''''====.第三步，连接,,,A B B C C D D A ''''''''，所得图形就是正方体的直观图.1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1. 圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长；2V Sh r h π==圆柱.2. 圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为0360r lθ=⨯，S 圆锥侧=rl π， S 圆锥表=()r r l π+，其中为r 圆锥底面半径，l 为母线长.13V Sh =锥 S 为底面面积，h 为高）3. 圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为0360R rlθ-=⨯，S 圆台侧=()r R l π+，S 圆台表=22()r rl Rl R π+++. '1()3V S S h =台 （S ，'S 分别上、下底面积，h 为高）→'2211()()33V S S h r rR R h π==++圆台 （r 、R 分别为圆台上底、下底半径）4．柱、锥、台的表面积与体积的计算公式的关系棱柱 V S h =底高 圆柱 2V r h π= 棱台 1('')3V S S S S h =++ 棱锥13V S h =底高圆锥 213V r h π=圆台 221('')3V r r r r h π=++5．柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：13V S h =锥 '0S =←−−− 1('')3V S S S S h =+台 'S S=−−−→ V S h =柱.【常见题型】1．已知圆台的上下底面半径分别是2，5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.【解】设圆台的母线长为l ，则，圆台的上底面面积为224S ππ=⋅=上，圆台的上底面面积为2525S ππ=⋅=下，所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上.又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧，于是729l ππ=，即297l =为所求. 2．一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则长方体的体积是 . 【解】解析：长方体的长宽高分别为,,a b c ，求出,,a b c 的值，再求体积.设长方体的长宽高分别为,,a b c ，则2,3,6ab ac bc ===，三式相乘得2()36abc =. 所以，长方体的体积为61.3.2 球的体积和表面积1. 球的体积是对球体所占空间大小的度量，它是球半径的函数，设球的半径为R ，则球的体积343V R π=球2. 球的表面积是对球的表面大小的度量，它也是球半径的函数，设球的半径为R ，则球的表面积为24S R π=球面，它是球的大圆面积的4倍3. 用一个平面去截球，所得到的截面是一个圆. 【常见题型】1．如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V-=，则球O的表面积是 A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π【解】如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D在球O 的同一个大圆上，点P在球面上，PO 与平面ABCD 垂直，是棱锥的高，PO =R ，22ABCD S R =，163P ABCD V -=，所以2116233R R ⋅⋅=，解得R =2，则球O 的表面积是16π，选D. 2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积．【解】分析：作出轴截面，利用勾股定理求解.作轴截面如图所示，CC '=，AC == 设球半径为R ，则222R OC CC '=+229=+=∴3R =，∴2436S R ππ==球，34363V R ππ==球．。
