2016四川卷高考数学(理)试题下载_2016高考真题精编版

2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设集合A={x|-2≤x ≤2}，Z 为整数集，则A ∩Z 中元素的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6解析：∵A={x|-2≤x ≤2}，Z 为整数集，∴A ∩Z={-2，-1，0，1，2}，则A ∩Z 中元素的个数是5. 答案：C.2.设i 为虚数单位，则(x+i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.-15x 4 B.15x 4 C.-20ix 4 D.20ix 4解析：(x+i)6的展开式中含x 4的项为46C x 4·i 2=-15x 4. 答案：A3.为了得到函数y=sin(2x-3π)的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点( ) A.向左平行移动3π个单位长度 B.向右平行移动3π个单位长度C.向左平行移动6π个单位长度D.向右平行移动6π个单位长度 解析：把函数y=sin2x 的图象向右平移6π个单位长度，可得函数y=sin2(x-6π)=sin(2x-3π)的图象. 答案：D.4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A.24 B.48 C.60 D.72解析：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有44A =24种排法.由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个. 答案：D5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年解析：设第n 年开始超过200万元， 则130×(1+12%)n-2015＞200，化为：(n-2015)lg1.12＞lg2-lg1.3，n-2015＞0.300.110.05=3.8.取n=2019.因此开始超过200万元的年份是2019年.答案：B.6.秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为( )A.9B.18C.20D.35解析：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下所示：v=1i=2 v=1×2+2=4i=1 v=4×2+1=9i=0 v=9×2+0=18i=-1 跳出循环，输出v的值为18.答案：B7.设p：实数x，y满足(x-1)2+(y-1)2≤2，q：实数x，y满足111y xy xy≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，，则p是q的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：(x-1)2+(y-1)2≤2表示以(1，1)为圆心，以2为半径的圆内区域(包括边界)；满足111y xy xy≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，，的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件.答案：A8.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )A.3B.2 3C.2D.1解析：由题意可得F(2p，0)，设P(202y p ，y0)，显然当y 0＜0，k OM ＜0；当y 0＞0，k OM ＞0. 要求k OM 的最大值，设y 0＞0，则()1133OM OF FM OF FP OF OP OF =+=+=+-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =1233OP OF +u u u r u u u r =(2063y p p +，03y) 可得k OM=02000232632y y p y pp y p =≤=++， 当且仅当y 02=2p 2，取得等号. 答案：C9.设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=ln 01ln 1x x x x -⎧⎨⎩，＜＜，，＞，图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0，1) B.(0，2) C.(0，+∞) D.(1，+∞)解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(0＜x 1＜1＜x 2)， 当0＜x ＜1时，f ′(x)=-1x ，当x ＞1时，f ′(x)=1x， ∴l 1的斜率k 1=-11x ，l 2的斜率k 2=21x ， ∵l 1与l 2垂直，且x 2＞x 1＞0，∴k 1·k 2=-11x ·21x =-1，即x 1x 2=1. 直线l 1：y=-11x (x-x 1)-lnx 1，l 2：y=21x (x-x 2)+lnx 2. 取x=0分别得到A(0，1-lnx 1)，B(0，-1+lnx 2)，|AB|=|1-lnx 1-(-1+lnx 2)|=|2-(lnx 1+lnx 2)|=|2-lnx 1x 2|=2. 联立两直线方程可得交点P 的横坐标为x=12122x x x x +， ∴S △PAB =12|AB|·|x P |=12×2×12122x x x x +=122x x +=1121x x +.∵函数y=x+1x在(0，1)上为减函数，且0＜x 1＜1， ∴111x x +＞1+1=2，则0＜1111x x +＜12，∴0＜1121x x +＜1.∴△PAB 的面积的取值范围是(0，1). 答案：A.10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA DB DC ==u u u r u u u r u u u r ，DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =-2，动点P ，M 满足|AP|=1，PM MC =u u u u r u u u u r ，则|BM u u u u r |2的最大值是( )A.434B.494D.374+ 解析：由DA DB DC ==u u u r u u u r u u u r，可得D 为△ABC 的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得()0DB DA DC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，()DC DB DA ⋅-u u u r u u u r u u u r，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，即有DB ⊥AC ，DC ⊥AB ，可得D 为△ABC 的垂心， 则D 为△ABC 的中心，即△ABC 为正三角形.由DA DB ⋅u u u r u u u r=-2，即有DA DA ⋅u u u r u u u r cos120°=-2，解得DA u u u r =2，△ABC 的边长为4cos30°以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B(3，，C(3，D(2，0)，由|AP u u u r|=1，可设P(cos θ，sin θ)，(0≤θ＜2π)，由PM MC =u u u u r u u u u r ，可得M 为PC 的中点，即有M(3cos 2θ+，cos 2θ)，则2223cos sin 3()(22BM θθ+=-++u u u u r = ()()22sin 3cos 44θθ-+==3712sin()64πθ+-， 当sin(θ-6π)=1，即θ=23π时，取得最大值，且为494.答案：B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.cos28π-sin 28π= .解析：cos 28π-sin 28π=cos(2×8π)=cos 42π=.答案：212.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 .解析：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，∴这次试验成功的概率p=1-(12)2=34， ∴在2次试验中成功次数X ～B(2，34)，∴在2次试验中成功次数X 的均值E(X)=2×34=32. 答案：32.13.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .解析：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为1，棱锥的高为1，故棱锥的体积V=13×(12×1)×1=3.答案：314.已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f(x)=4x ，则f(-52)+f(1)= . 解析：∵f(x)是定义在R 上周期为2的奇函数，∴f(-52)=f(-2-12)=f(-12)=-f(12)， ∵x ∈(0，1)时，f(x)=4x ，∴f(-52)=-2，∵f(x)是定义在R 上周期为2的奇函数， ∴f(-1)=f(1)，f(-1)=-f(1)，∴f(1)=0，∴f(-52)+f(1)=-2. 答案：-215.在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′(22yx y +，22xx y-+)；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是 (写出所有真命题的序列). 解析：①若点A(x ，y)的“伴随点”是点A ′(22y x y +，22x x y -+)，则点A ′(22yx y+，22xx y -+)的“伴随点”是点(-x ，-y)，故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C 关于x 轴对称，点A(x ，y)关于x 轴的对称点为(x ，-y)，“伴随点”是点A ′(22y x y -+，22xx y-+)，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称，故正确； ④设直线方程为y=kx+b(b ≠0)，点A(x ，y)的“伴随点”是点A ′(m ，n)，则 ∵点A(x ，y)的“伴随点”是点A ′(22y x y +，22x x y -+)，∴n x m y =-，∴x=-bnkn m+，y=bmkn m+，∵m=22y x y +，∴代入整理可得221k m n n b+--=0表示圆，故不正确. 答案：②③.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求直方图中a 的值；(Ⅱ)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； (Ⅲ)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x 的值，并说明理由.解析：(Ⅰ)根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a 值；(Ⅱ)由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；(Ⅱ)由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x 值.答案：(Ⅰ)∵0.5×(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1， ∴a=0.3；(Ⅱ)由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×(0.12+0.08+0.04)=0.12，由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；(Ⅱ)由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52)=0.73＜85%；月均用水量低于3吨的频率为：0.5×(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3)=0.88＞85%；则x=2.5+0.5×0.850.730.30.5-⨯=2.9吨.17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos cos sinA B Ca b c+=.(Ⅰ)证明：sinAsinB=sinC；(Ⅱ)若b2+c2-a2=65bc，求tanB.解析：(Ⅰ)将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明.(Ⅱ)由余弦定理求出A的余弦函数值，利用(Ⅰ)的条件，求解B的正切函数值即可.答案：(Ⅰ)在△ABC中，∵cos cos sinA B Ca b c+=，∴由正弦定理得：cos cos sinsin sin sinA B CA B C+=，∴()sincos sin cos sin1 sin sin sin sinA BA B B AA B A B++==，∵sin(A+B)=sinC.∴整理可得：sinAsinB=sinC，(Ⅱ)b2+c2-a2=65bc，由余弦定理可得cosA=35.sinA= 45，cossi4n3AA=，cos cos sinsin sin sinA B CA B C+==1，cossi4n1BB=，tanB=4.18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12 AD.(I)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；(Ⅱ)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.解析：(I)延长AB 交直线CD 于点M ，由点E 为AD 的中点，可得AE=ED=12AD ，由BC=CD=12AD ，可得ED=BC ，已知ED ∥BC.可得四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥CD.利用线面平行的判定定理证明得直线CM ∥平面PBE 即可.(II)如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA 与CD 所成的角为90°AB ∩CD=M ，可得AP ⊥平面ABCD.由CD ⊥PD ，PA ⊥AD.因此∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面角，大小为45°.PA=AD.不妨设AD=2，则BC=CD=12AD=1.可得P(0，0，2)，E(0，1，0)，C(-1，2，0)，利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出. 答案：(I)延长AB 交直线CD 于点M ，∵点E 为AD 的中点，∴AE=ED=12AD ， ∵BC=CD=12AD ，∴ED=BC ， ∵AD ∥BC ，即ED ∥BC.∴四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥CD.∵AB ∩CD=M ，∴M ∈CD ，∴CM ∥BE ，∵BE ⊂平面PBE ，∴CM ∥平面PBE ，∵M ∈AB ，AB ⊂平面PAB ，∴M ∈平面PAB ，故在平面PAB 内可以找到一点M(M=AB ∩CD)，使得直线CM ∥平面PBE. (II)如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA 与CD 所成的角为90°，AB ∩CD=M ，∴AP ⊥平面ABCD.∴CD ⊥PD ，PA ⊥AD.因此∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面角，大小为45°.∴PA=AD.不妨设AD=2，则BC=CD=12AD=1.∴P(0，0，2)，E(0，1，0)，C(-1，2，0)， ∴EC uuu r =(-1，1，0)，PE u u u r =(0，1，-2)，AP u u u r =(0，0，2)，设平面PCE 的法向量为n r =(x ，y ，z)，则00n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，，可得：200y z x y -=-+=⎧⎨⎩，．令y=2，则x=2，z=1，∴n r =(2，2，1).设直线PA 与平面PCE 所成角为θ，则sin θ=|cos ＜AP u u u r ，n r ＞|=13AP n AP n⋅==u u u r r u u u r r . 19.已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n+1=qS n+1，其中q ＞0，n ∈N *. (Ⅰ)若2a 2，a 3，a 2+2成等差数列，求a n 的通项公式；(Ⅱ)设双曲线222n y x a -=1的离心率为e n ，且e 2=53，证明：e 1+e 2+...+e n ＞1433n n n --. 解析：(Ⅰ)由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{an}为首项等于1、公比为q 的等比数列，再根据2a 2，a 3，a 2+2成等差数列求得公比q 的值，可得{a n }的通项公式.(Ⅱ)利用双曲线的定义和简单性质求得e n根据e 2=53=，求得q 的值，可得{a n }的解析式，再利用放缩法可得∴e n(43)n-1，从而证得不等式成立. 答案：(Ⅰ)∵S n+1=qS n+1①，∴当n ≥2时，S n =qS n-1+1 ②，两式相加你可得a n+1=q ·a n ， 即从第二项开始，数列{a n }为等比数列，公比为q.当n=1时，∵数列{a n }的首项为1，∴a 1+a 2=S 2=q ·a 1+1，∴a 2=q=a 1·q ，∴数列{a n }为等比数列，公比为q.∵2a 2，a 3，a 2+2成等差数列，∴2q+q+2=2q 2，求得q=2，或 q=-12. 根据q ＞0，故取q=2，∴a n =2n-1，n ∈N *.(Ⅱ)设双曲线222ny x a -=1的离心率为e n ，∴e n=由于数列{a n }为首项等于1、公比为q 的等比数列，∴e 2=53=，q=43， ∴a n =(43)n-1，∴e n143n -=. ∴e 1+e 2+...+e n ＞1+43+(43)2+…+(43)n-1=1143314343n n n n ---=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，原不等式得证.20.已知椭圆E ：2222x y a b+=1(a ＞b ＞0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l ：y=-x+3与椭圆E 有且只有一个公共点T.(Ⅰ)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(Ⅱ)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.解析：(Ⅰ)根据椭圆的短轴端点C 与左右焦点F 1、F 2构成等腰直角三角形，结合直线l 与椭圆E 只有一个交点，利用判别式△=0，即可求出椭圆E 的方程和点T 的坐标；(Ⅱ)设出点P 的坐标，根据l ′∥OT 写出l ′的参数方程，代人椭圆E 的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA|·|PB|求出λ的值. 答案：(Ⅰ)设短轴一端点为C(0，b)，左右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＞0，则c 2+b 2=a 2；由题意，△F 1F 2C 为直角三角形，∴|F 1F 2|2=|F 1C|2+|F 2C|2，解得b=c=2a ，∴椭圆E 的方程为22222x y b b +=1； 代人直线l ：y=-x+3，可得3x 2-12x+18-2b 2=0，又直线l 与椭圆E 只有一个交点，则△=122-4×3(18-2b 2)=0，解得b 2=3， ∴椭圆E 的方程为2263x y +=1； 由b 2=3，解得x=2，则y=-x+3=1，所以点T 的坐标为(2，1)；(Ⅱ)设P(x 0，3-x 0)在l 上，由k OT =12，l ′平行OT ， 得l ′的参数方程为0023x x t y x t =+=-+⎧⎨⎩，，代人椭圆E 中，得(x 0+2t)2+2(3-x 0+t)2=6，整理得2t 2+4t+x 02-4x 0+4=0；设两根为t A ，t B ，则有t A ·t B =()2022x -；而|PT|2)2=2(x 0-2)2，A|，B|，且|PT|2=λ|PA|·|PB|，∴λ=2PTPA PB⋅=()()222245522xx-=-，即存在满足题意的λ值.21.设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)确定a的所有可能取值，使得f(x)＞1x-e1-x在区间(1，+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).解析：(I)利用导数的运算法则得出f′(x)，通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；(Ⅱ)令g(x)=f(x)-1x-e1-x=ax2-lnx-1x+e1-x-a，可得g(1)=0，从而g′(1)≥0，解得a≥12，当a≥12时，F′(x)=3112331222x xx xa e ex x x--+-+-+≥+，可得F′(x)在a≥12时恒大于0，即F(x)在x∈(1，+∞)单调递增.由F(x)＞F(1)=2a-1≥0，可得g(x)也在x∈(1，+∞)单调递增，进而利用g(x)＞g(1)=0，可得g(x)在x∈(1，+∞)上恒大于0，综合可得a所有可能取值.答案：(Ⅰ)由题意，f′(x)=21212axaxx x--=，x＞0，①当a≤0时，2ax2-1≤0，f′(x)≤0，f(x)在(0，+∞)上单调递减.②当a＞0时，f′(x)=2a x xx⎛⎝⎭⎝⎭，当x∈(0)时，f′(x)＜0，当x∈，+∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，12a)上单调递减，在+∞)上单调递增.(Ⅱ)原不等式等价于f(x)-1x+e1-x＞0在x∈(1.+∞)上恒成立，一方面，令g(x)=f(x)-1x+e1-x=ax2-lnx-1x+e1-x-a，只需g(x)在x∈(1.+∞)上恒大于0即可，又∵g(1)=0，故g′(x)在x=1处必大于等于0.令F(x)=g′(x)=2ax-1x+21x-e1-x，g′(1)≥0，可得a≥12.另一方面，当a≥12时，F′(x)=3111232331212221x x xx xa e e ex x x x x---+-+-+≥+-+=+，∵x∈(1，+∞)，故x3+x-2＞0，又e1-x＞0，故F′(x)在a≥12时恒大于0.∴当a≥12时，F(x)在x∈(1，+∞)单调递增.∴F(x)＞F(1)=2a-1≥0，故g(x)也在x∈(1，+∞)单调递增. ∴g(x)＞g(1)=0，即g(x)在x∈(1，+∞)上恒大于0.综上，a≥12.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

2016年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix43．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．725．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．357．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．19．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞）10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）﹣=．12．（5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是．13．（5分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=．15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值，并说明理由．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．2016年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2016秋•游仙区校级月考）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由A与Z，求出两集合的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，∴A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩Z中元素的个数是5，故选：C．2．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix4【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4，故选：A．3．（5分）（2016•自贡校级模拟）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．4．（5分）（2016秋•通渭县期末）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有=24种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．故选：D．5．（5分）（2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选：B．6．（5分）（2016春•平罗县校级期末）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．35【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为18．【解答】解：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下表所示：v=1i=2 v=1×2+2=4i=1 v=4×2+1=9i=0 v=9×2+0=18i=﹣1 跳出循环，输出v的值为18．故选：B．7．（5分）（2016秋•湘桥区校级月考）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM==≤=，当且仅当y02=2p2，取得等号．故选：C．9．（5分）（2016•四川）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞）【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．10．（5分）（2016秋•汕头期末）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013秋•南开区期末）﹣=．【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．【解答】解：cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案为：12．（5分）（2016秋•大连月考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是．【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数X～B（2，），由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E（X）．【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，∴这次试验成功的概率p=1﹣（）2=，∴在2次试验中成功次数X～B（2，），∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）==．故答案为：．13．（5分）（2016秋•汕头期末）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．【分析】由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，进而得到答案．【解答】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，故棱锥的体积V=×（×2×1）×1=，故答案为：14．（5分）（2016春•陕西校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=﹣2．【分析】根据f（x）是周期为2的奇函数即可得到f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（），利用当0＜x＜1时，f（x）=4x，求出f（﹣），再求出f（1），即可求得答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，∴f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（）∵x∈（0，1）时，f（x）=4x，∴f（﹣）=﹣2，∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，∴f（﹣1）=f（1），f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∴f（﹣）+f（1）=﹣2．故答案为：﹣215．（5分）（2016秋•江西月考）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是②③（写出所有真命题的序列）．【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2016秋•博野县校级期中）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值，并说明理由．【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，∴a=0.3；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；则x=2.5+0.5×=2.9吨17．（12分）（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．18．（12分）（2016秋•杨浦区校级月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD ﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM ∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB ∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．【分析】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据2a2，a3，a2+2成等差数列求得公比q的值，可得{a n}的通项公式．（Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得e n=，根据e2==，求得q的值，可得{a n}的解析式，再利用放缩法可得∴e n=＞，从而证得不等式成立．=qS n+1 ①，∴当n≥2时，S n=qS n﹣1+1 ②，两式相减可【解答】解：（Ⅰ）∵S n+1得a n=q•a n，+1即从第二项开始，数列{a n}为等比数列，公比为q．当n=1时，∵数列{a n}的首项为1，∴a1+a2=S2=q•a1+1，∴a2 =a1•q，∴数列{a n}为等比数列，公比为q．∵2a2，a3，a2+2成等差数列，∴2a3 =2a2+a2+2，∴2q2=2q+q+2，求得q=2，或q=﹣．根据q＞0，故取q=2，∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）证明：设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，∴e n==．由于数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列，∴e2===，q=，∴a n=，∴e n==＞=．∴e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞1+++…+==，原不等式得证．20．（13分）（2016秋•路南区校级月考）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E 有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点，利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标；（Ⅱ）设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代入椭圆E的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA|•|PB|求出λ的值．【解答】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，则c2+b2=a2；由题意，△F1F2C为直角三角形，∴=+，解得b=c=a，∴椭圆E的方程为+=1；代入直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，∴椭圆E的方程为+=1；由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；（Ⅱ）设P（x0，3﹣x0）在l上，由k OT=，l′平行OT，得l′的参数方程为，代入椭圆E中，得+2=6，整理得2t2+4t+﹣4x0+4=0；设两根为t A，t B，则有t A•t B=；而|PT|2==2，|PA|==|t A|，|PB|==|t B|，且|PT|2=λ|PA|•|PB|，∴λ===，即存在满足题意的λ值．21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．【分析】（I）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a，可得g（1）=0，从而g′（1）≥0，解得得a，又，当a时，F′（x）=2a+≥+e1﹣x，可得F′（x）在a时恒大于0，即F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．由F（x）＞F（1）=2a ﹣1≥0，可得g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增，进而利用g（x）＞g（1）=0，可得g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0，综合可得a所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=2ax﹣=，x＞0，①当a≤0时，2ax2﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，f′（x）=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）原不等式等价于f（x）﹣+e1﹣x＞0在x∈（1．+∞）上恒成立，一方面，令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a，只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可，又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1处必大于等于0．令F（x）=g′（x）=2ax﹣+﹣e1﹣x，g′（1）≥0，可得a．另一方面，当a时，F′（x）=2a+≥1+=+e1﹣x，∵x∈（1，+∞），故x3+x﹣2＞0，又e1﹣x＞0，故F′（x）在a时恒大于0．∴当a时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．综上，a．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A I Z 中元素的个数是（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（ ）（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（ ）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ）（A 3（B ）23（C 2（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ,DA u u u r g DB u u u r =DB u u u r g DC u u u r =DC u u u r g DA u u u r=-2，动点P ，M满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u uu r ，则2BM u u u u u r 的最大值是（ ）（A ）434（B ）494（C 3763+D 37233+第II 卷（非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试四川理科数学1.(2016四川,理1)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6答案C由题意,A∩Z={-2,-1,0,1,2},故其中的元素个数为5,选C.2.(2016四川,理2)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20i x4D.20i x4答案A二项式(x+i)6展开的通项T r+1=C x6-r i r,则其展开式中含x4是当6-r=4,即r=2,则展开式中含x4的项为C62x4i2=-15x4,故选A.3.(2016四川,理3)为了得到函数y=sin(2x-π3)的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度答案D由题意,为得到函数y=sin(2x-π3)=sin[2(x-π6)],只需把函数y=sin 2x的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度,故选D.4.(2016四川,理4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72答案D由题意,要组成没有重复的五位奇数,则个位数应该为1,3,5,其他位置共有A44种排法,所以其中奇数的个数为3A44=72,故选D.5.(2016四川,理5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年答案B设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得130×(1+12%)n>200,∴1.12n>200130,两边取常用对数得n lg 1.12>lg200130,∴n>lg2-lg1.3lg1.12≈0.30-0.110.05=3.8.∴n ≥4,故选B .6.(2016四川,理6)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n ,x 的值分别为3,2,则输出v 的值为( )A.9B.18C.20D.35答案B 程序运行如下n=3,x=2→v=1,i=2≥0→v= 1×2+2=4,i=1≥0→v=4×2+1=9,i=0≥0→v=9×2+ 0=18,i=-1<0 ,结束循环,输出v=18,故选B .7.(2016四川,理7)设p :实数x ,y 满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q :实数x ,y 满足{y ≥x -1,y ≥1-x ,y ≤1,则p 是q 的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A 画出可行域 (如图所示),可知命题q 中不等式组表示的平面区域△ABC 在命题p 中不等式表示的圆盘内,即p q ,q ⇒p ,所以p 是q 的必要不充分条件.故选A .8.(2016四川,理8)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线y 2=2px (p>0)上任意一点,M 是线段PF 上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.√33B.23C.√22D.1答案C 设P (2pt 2,2pt ),M (x ,y )(不妨设t>0),F (p2,0),则FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2pt 2-p 2,2pt),FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x -p 2,y). ∵FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13FP ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴{x -p2=2p3t 2-p6,y =2pt 3,∴{x =2p3t 2+p3,y =2pt3.∴k OM =2t2t 2+1=1t+12t ≤12√12=√22, 当且仅当t=√22时等号成立.∴(k OM )max =√22 ,故选C .9.(2016四川,理9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )={-lnx ,0<x <1,lnx ,x >1图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案A 设P 1(x 1,ln x 1),P 2(x 2,-ln x 2)(不妨设x 1>1,0<x 2<1),则由导数的几何意义 易得切线l 1,l 2的斜率分别为k 1=1x 1,k 2=-1x 2.由已知得k 1k 2=-1,所以x 1x 2=1. 所以x 2=1x 1.所以切线l 1的方程分别为y-ln x 1=1x 1(x-x 1),切线l 2的方程为y+ln x 2=-1x 2(x-x 2),即y-ln x 1=-x 1(x -1x 1).分别令x=0得A (0,-1+ln x 1),B (0,1+ln x 1). 又l 1与l 2的交点为P (2x11+x 12,ln x 1+1-x 121+x 12). ∵x 1>1,∴S △PAB =12|y A -y B |·|x P |=2x11+x 12<1+x 121+x 12=1. ∴0<S △PAB <1,故选A .10.(2016四川,理10)在平面内,定点A ,B ,C ,D 满足|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,动点P ,M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是 ( )A.434B.494C.37+6√34D.37+2√334答案B 由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°,|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.以D 为原点,直线DA 为x 轴,过D 的DA 垂线为y 轴 建立平面直角坐标系 ,如图,则A (2,0),B (-1,-√3),C (-1,√3).设P (x ,y ),由已知|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,得(x-2)2+y 2=1, ∵PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴M (x -12,y+√32). ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+12,y+3√32). ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(x+1)2+(y+3√3)24,它表示圆(x-2)2+y 2=1上点(x ,y )与点(-1,-3√3)距离平方的14, ∴(|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2)max =14(√32+(0+3√3)2+1)2=494,故选B .11.(2016四川,理11)cos 2π8-sin 2π8= . 答案√22解析由三角函数二倍角公式 得,cos 2π8-sin 2π8=cos π4=√22.12.(2016四川,理12)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X 的均值是 . 答案32解析同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果 有(正正),(正反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为1-(12)2=34.所以在2次试验中成功次数X 的取值为0,1,2,其中P (X=0)=(14)2=116,P (X=1)=C 21×34×14=38,P (X=2)=34×34=916, 所以在2次试验中成功次数X 的均值是EX=0×116+1×38+2×916=32.13.(2016四川,理13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是 . 答案√33解析由三棱锥的正视图知,三棱锥的高为1,底面边长分 别为2√3 ,2,2,所以底面三角形的高为√22-(√3)2=1,所以,三棱锥的体积为V=13×12×2√3×1×1=√33.14.(2016四川,理14)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f (x )=4x ,则f (-52)+f (1)= .答案-2解析因为函数f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数,所以f (-1)+f (1)=0,f (-1)=f (-1+2)=f (1) . 所以f (1)=0,f (-52)=f (-12-2)=f (-12)=-f (12)=-412=-2,所以f (-52)+f (1)=-2.15.(2016四川,理15)在平面直角坐标系中,当P (x ,y )不是原点时,定义P 的“伴随点”为P'(yx 2+y 2,-xx 2+y 2);当P 是原点时,定义P 的“伴随点”为它自身.平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C'定义为曲线C 的“伴随曲线.”现有下列命题:①若点A 的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A ; ②单位圆的“伴随曲线”是它自身;③若曲线C 关于x 轴对称,则其“伴随曲线”C'关于y 轴对称; ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是 (写出所有真命题的序号). 答案②③解析对于①,若令P (1,1),则其伴随点 为P'(12,-12),而P'(12,-12)的伴随点为(-1,-1),而不是P ,故①错误;对于②,令单位圆上点的坐标为P (cos x ,sin x ),其伴随点为P'(sin x ,-cos x )仍在单位圆 上,故②正确;对于③,设A (x ,y )与B (x ,-y )为关于x 轴对称的两点,则A 的“伴随点”为A'(y x 2+y 2,-xx 2+y 2),B 点的伴随点为B'(-y x 2+y 2,-xx 2+y 2),A'与B'关于y 轴对称,故③正确; 对于④,取直线l :y=1.设其“伴随曲线”为C ,其上任一点M (x ,y ), 与其对应的直线l 上的点为N (t ,1).则由定义可知{x =1t 2+1,y =-tt 2+1,①②①2+②2得x 2+y 2=1+(-t )2(t 2+1)2=11+t 2=x , 整理得x 2+y 2-x=0,显然不是一条直线.故④错误; 所以正确的序号为②③.16.(2016四川,理16)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x (吨),一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费,超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a 的值;(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由; (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨).估计x 的值,并说明理由. 解(1)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04,同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02. 由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.(2)由(1),100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85, 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3. 由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准. 17.(2016四川,理17)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cosAa +cosBb =sinCc . (1)证明:sin A sin B=sin C ; (2)若b 2+c 2-a 2=65bc ,求tan B. 解(1)根据正弦定理,可设a sinA =b sinB =c sinC=k (k>0).则a=k sin A ,b=k sin B ,c=k sin C.代入cosA a +cosB b =sinC c 中,有cosA ksinA +cosB ksinB =sinCksinC ,变形可得sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B= sin(A+B ).在△ABC 中,由A+B+C=π,有sin(A+B )=sin(π-C )=sin C ,所以sin A sin B=sin C. (2)由已知,b 2+c 2-a 2=65bc , 根据余弦定理,有cos A=b 2+c 2-a 22bc =35,所以sin A=√1-cos 2A =45.由(1),sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B , 所以45sin B=45cos B+35sin B ,故tan B=sinBcosB=4. 18.(2016四川,理18)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AD ∥BC ,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12AD ,E 为棱AD 的中点,异面直线PA 与CD 所成的角为90°.(1)在平面PAB 内找一点M ,使得直线CM ∥平面PBE ,并说明理由;(2)若二面角P-CD-A 的大小为45°,求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.解(1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下: 由已知,BC∥ED,且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE,CM⊄平面PBE,所以CM∥平面PBE.(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)方法一:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角,所以∠PDA=45°.设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH.易知PA⊥平面ABCD,从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中,∠AEH=45°,AE=1,所以AH=√22.在Rt△PAH中,PH=√PA2+AH2=3√22,所以sin∠APH=AHPH =13.方法二:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.由PA ⊥AB ,可得PA ⊥平面ABCD. 设BC=1,则在Rt △PAD 中,PA=AD=2.作Ay ⊥AD ,以A 为原点,以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ,则A (0,0,0),P (0,0,2),C (2,1,0),E (1,0,0).所以PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2). 设平面PCE 的法向量为n =(x ,y ,z ). 由{n ·PE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{x -2z =0,x +y =0.设x=2,解得n =(2,-2,1).设直线PA 与平面PCE 所成角为α, 则sin α=|n ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×√2+(-2)+1=13.所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.19.(2016四川,理19)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *. (1)若2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,求数列{a n }的通项公式; (2)设双曲线x 2-y 2a n2=1的离心率为e n ,且e 2=53,证明:e 1+e 2+…+e n >4n -3n 3n -1.解(1),S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n ≥1. 又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1, 故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立.所以,数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而a n =q n-1.由2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,可得2a 3=3a 2+2, 即2q 2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0, 由已知,q>0,故q=2. 所以a n =2n-1(n ∈N *). (2)由(1)可知,a n =q n-1.所以双曲线x 2-y 2a n2=1的离心率e n =√1+a n2=√1+q 2(n -1). 由e 2=√1+q 2=53,解得q=43.因为1+q 2(k-1)>q 2(k-1),所以√1+q 2(k -1)>q k-1(k ∈N *). 于是e 1+e 2+…+e n >1+q+…+q n-1=q n -1q -1, 故e 1+e 2+…+e n >4n -3n 3n -1.20.(2016四川,理20)已知椭圆E :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l :y=-x+3与椭圆E 有且只有一个公共点T. (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标;(2)设O 是坐标原点,直线l'平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A ,B ,且与直线l 交于点P ,证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值. 解(1)由已知,a=√2b ,则椭圆E 的方程为x 22b2+y 2b2=1.由方程组{x 22b 2+y 2b2=1,y =-x +3,得3x 2-12x+(18-2b 2)=0. ① 方程①的判别式为Δ=24(b 2-3),由Δ=0,得b 2=3,此时方程①的解为x=2, 所以椭圆E 的方程为x 26+y 23=1,点T 坐标为(2,1). (2)由已知可设直线l'的方程为y=12x+m (m ≠0),由方程组{y =12x +m ,y =-x +3,可得{x =2-2m3,y =1+2m3.所以P 点坐标为(2-2m 3,1+2m 3),|PT|2=89m 2. 设点A ,B 的坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由方程组{x 26+y 23=1,y =12x +m , 可得3x 2+4mx+(4m 2-12)=0. ②方程②的判别式为Δ=16(9-2m 2), 由Δ>0,解得-3√22<m<3√22. 由②得x 1+x 2=-4m 3,x 1x 2=4m 2-123.所以|PA|=√(2-2m 3-x 1)2+(1+2m3-y 1)2=√52|2-2m3-x 1|, 同理|PB|=√52|2-2m3-x 2|. 所以|PA|·|PB|=54|(2-2m 3-x 1)(2-2m 3-x 2)| =54|(2-2m 3)2-(2-2m 3)(x 1+x 2)+x 1x 2| =54|(2-2m 3)2-(2-2m 3)(-4m 3)+4m 2-123| =109m 2.故存在常数λ=45,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.21.(2016四川,理21)设函数f (x )=ax 2-a-ln x ,其中a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性;(2)确定a 的所有可能取值,使得f (x )>1x -e 1-x 在区间(1,+∞)内恒成立(e =2.718…为自然对数的底数). 解(1)f'(x )=2ax-1x =2ax 2-1x(x>0). 当a ≤0时,f'(x )<0,f (x )在(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x )=0,有x=√2a. 此时,当x ∈(0,1√2a )时,f'(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈(1√2a,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增. (2)令g (x )=1x −1e x -1,s (x )=e x-1-x. 则s'(x )=e x-1-1.而当x>1时,s'(x )>0,所以s (x )在区间(1,+∞)内单调递增.又由s (1)=0,有s (x )>0,从而当x>1时,g (x )>0.当a ≤0,x>1时,f (x )=a (x 2-1)-ln x<0. 故当f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<12时,√2a >1. 由(1)有f (√2a )<f (1)=0,而g (√2a)>0, 所以此时f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内不恒成立.当a ≥12时,令h (x )=f (x )-g (x )(x ≥1).当x>1时,h'(x )=2ax-1x +1x 2-e 1-x >x-1x +1x 2−1x =x 3-2x+1x 2>x 2-2x+1x 2>0. 因此,h (x )在区间(1,+∞)单调递增. 又因为h (1)=0,所以当x>1时,h (x )=f (x )-g (x )>0,即f (x )>g (x )恒成立. 综上,a ∈[12,+∞).。

2016年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2},Z为整数集,则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（5分）设i为虚数单位,则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix43．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度4．（5分）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．725．（5分）某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．357．（5分）设p:实数x,y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2,q:实数x,y满足,则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点,M 是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．19．（5分）设直线l1,l2分别是函数f（x）=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0,1）B．（0,2）C．（0,+∞）D．（1,+∞）10．（5分）在平面内,定点A,B,C,D满足==,•=•=•=﹣2,动点P,M满足=1,=,则||2的最大值是（）A．B．C． D．二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分．11．（5分）﹣=．12．（5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是．13．（5分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f （x）=4x,则f（﹣）+f（1）=．15．（5分）在平面直角坐标系中,当P（x,y）不是原点时,定义P的“伴随点”为P′（,）；当P是原点时,定义P的“伴随点“为它自身,平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题:①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称,则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．三、解答题:本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）,一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位:吨）,将数据按照[0,0.5）,[0.5,1）,…,[4,4.5）分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）,估计x的值,并说明理由．17．（12分）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=．（Ⅰ）证明:sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc,求tanB．18．（12分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD．E 为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q＞0,n∈N*．（Ⅰ）若2a2,a3,a2+2成等差数列,求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．20．（13分）已知椭圆E:+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l:y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P．证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|•|PB|,并求λ的值．21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx,其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值,使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1,+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．2016年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2016秋•游仙区校级月考）设集合A={x|﹣2≤x≤2},Z为整数集,则A ∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由A与Z,求出两集合的交集,即可作出判断．【解答】解:∵A={x|﹣2≤x≤2},Z为整数集,∴A∩Z={﹣2,﹣1,0,1,2},则A∩Z中元素的个数是5,故选:C．【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2017•甘肃一模）设i为虚数单位,则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix4【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【解答】解:（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4,故选:A．【点评】本题考查二项式定理,深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键,属于中档题．3．（5分）（2016•自贡校级模拟）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律,可得结论．【解答】解:把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度,可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象,故选:D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律,属于基础题．4．（5分）（2016秋•通渭县期末）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数,可以看作是填5个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从3个奇数中任选1个填入,其它4个数在4个位置上全排列即可．【解答】解:要组成无重复数字的五位奇数,则个位只能排1,3,5中的一个数,共有3种排法,然后还剩4个数,剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列,共有=24种排法．由分步乘法计数原理得,由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．故选:D．【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题,此题是有条件限制排列,解答的关键是做到合理的分布,是基础题．5．（5分）（2016•四川）某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【分析】设第n年开始超过200万元,可得130×（1+12%）n﹣2015＞200,两边取对数即可得出．【解答】解:设第n年开始超过200万元,则130×（1+12%）n﹣2015＞200,化为:（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3,n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选:B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．6．（5分）（2016春•平罗县校级期末）秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．35【分析】由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的i,v的值,当i=﹣1时,不满足条件i≥0,跳出循环,输出v的值为18．【解答】解:初始值n=3,x=2,程序运行过程如下表所示:v=1i=2 v=1×2+2=4i=1 v=4×2+1=9i=0 v=9×2+0=18i=﹣1 跳出循环,输出v的值为18．故选:B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的i,v的值是解题的关键,属于基础题．7．（5分）（2017•甘肃一模）设p:实数x,y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2,q:实数x,y满足,则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】画出p,q表示的平面区域,进而根据充要条件的定义,可得答案．【解答】解:（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1,1）为圆心,以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示,故p是q的必要不充分条件,故选:A【点评】本题考查的知识是线性规划的应用,圆的标准方程,充要条件,难度中档．8．（5分）（2017•甘肃一模）设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px （p＞0）上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【分析】由题意可得F（,0）,设P（,y0）,要求k OM的最大值,设y0＞0,运用向量的加减运算可得=+=（+,）,再由直线的斜率公式,结合基本不等式,可得最大值．【解答】解:由题意可得F（,0）,设P（,y0）,显然当y0＜0,k OM＜0；当y0＞0,k OM＞0．要求k OM的最大值,设y0＞0,则=+=+=+（﹣）=+=（+,）,可得k OM==≤=,当且仅当y02=2p2,取得等号．故选:C．【点评】本题考查抛物线的方程及运用,考查直线的斜率的最大值,注意运用基本不等式和向量的加减运算,考查运算能力,属于中档题．9．（5分）（2016•四川）设直线l1,l2分别是函数f（x）=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB 的面积的取值范围是（）A．（0,1）B．（0,2）C．（0,+∞）D．（1,+∞）【分析】设出点P1,P2的坐标,求出原分段函数的导函数,得到直线l1与l2的斜率,由两直线垂直求得P1,P2的横坐标的乘积为1,再分别写出两直线的点斜式方程,求得A,B两点的纵坐标,得到|AB|,联立两直线方程求得P的横坐标,然后代入三角形面积公式,利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解:设P1（x1,y1）,P2（x2,y2）（0＜x1＜1＜x2）,当0＜x＜1时,f′（x）=,当x＞1时,f′（x）=,∴l1的斜率,l2的斜率,∵l1与l2垂直,且x2＞x1＞0,∴,即x1x2=1．直线l1:,l2:．取x=0分别得到A（0,1﹣lnx1）,B（0,﹣1+lnx2）,|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=,∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0,1）上为减函数,且0＜x1＜1,∴,则,∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0,1）．故选:A．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,训练了利用基本不等式求函数的最值,考查了数学转化思想方法,属中档题．10．（5分）（2016秋•汕头期末）在平面内,定点A,B,C,D满足==,•=•=•=﹣2,动点P,M满足=1,=,则||2的最大值是（）A．B．C． D．【分析】由==,可得D为△ABC的外心,又•=•=•,可得可得D为△ABC的垂心,则D为△ABC的中心,即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长,以A为坐标原点,AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,求得B,C的坐标,再设P（cosθ,sinθ）,（0≤θ＜2π）,由中点坐标公式可得M的坐标,运用两点的距离公式可得BM的长,运用三角函数的恒等变换公式,结合正弦函数的值域,即可得到最大值．【解答】解:由==,可得D为△ABC的外心,又•=•=•,可得•（﹣）=0,•（﹣）=0,即•=•=0,即有⊥,⊥,可得D为△ABC的垂心,则D为△ABC的中心,即△ABC为正三角形．由•=﹣2,即有||•||cos120°=﹣2,解得||=2,△ABC的边长为4cos30°=2,以A为坐标原点,AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,可得B（3,﹣）,C（3,）,D（2,0）,由=1,可设P（cosθ,sinθ）,（0≤θ＜2π）,由=,可得M为PC的中点,即有M（,）,则||2=（3﹣）2+（+）2=+==,当sin（θ﹣）=1,即θ=时,取得最大值,且为．故选:B．【点评】本题考查向量的定义和性质,以及模的最值的求法,注意运用坐标法,转化为三角函数的最值的求法,考查化简整理的运算能力,属于中档题．二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分．11．（5分）（2013秋•南开区期末）﹣=．【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用特殊角的三角函数值,即可得到所求式子的值．【解答】解:cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案为:【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2016秋•大连月考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是．【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率,从而得到在2次试验中成功次数X～B（2,）,由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E（X）．【解答】解:∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,∴这次试验成功的概率p=1﹣（）2=,∴在2次试验中成功次数X～B（2,）,∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）==．故答案为:．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对立事件概率计算公式的合理运用．13．（5分）（2016秋•汕头期末）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是．【分析】由已知结合给定的三棱锥的正视图,可得:三棱锥的底面是底为2,高为1,棱锥的高为1,进而得到答案．【解答】解:∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,结合给定的三棱锥的正视图,可得:三棱锥的底面是底为2,高为1,棱锥的高为1,故棱锥的体积V=×（×2×1）×1=,故答案为:【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键．14．（5分）（2016秋•红塔区校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f（x）=4x,则f（﹣）+f（1）=﹣2．【分析】根据f（x）是周期为2的奇函数即可得到f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（）,利用当0＜x＜1时,f（x）=4x,求出f（﹣）,再求出f（1）,即可求得答案．【解答】解:∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数,∴f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（）∵x∈（0,1）时,f（x）=4x,∴f（﹣）=﹣2,∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数,∴f（﹣1）=f（1）,f（﹣1）=﹣f（1）,∴f（1）=0,∴f（﹣）+f（1）=﹣2．故答案为:﹣2【点评】考查周期函数的定义,奇函数的定义,学会这种将自变量的值转化到函数解析式f（x）所在区间上的方法．15．（5分）（2016秋•江西月考）在平面直角坐标系中,当P（x,y）不是原点时,定义P的“伴随点”为P′（,）；当P是原点时,定义P的“伴随点“为它自身,平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题:①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称,则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是②③（写出所有真命题的序列）．【分析】利用新定义,对4个命题分别进行判断,即可得出结论．【解答】解:①若点A（x,y）的“伴随点”是点A′（,）,则点A′（,）的“伴随点”是点（﹣x,﹣y）,故不正确；②由①可知,单位圆的“伴随曲线”是它自身,故正确；③若曲线C关于x轴对称,点A（x,y）关于x轴的对称点为（x,﹣y）,“伴随点”是点A′（﹣,）,则其“伴随曲线”C′关于y轴对称,故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0）,点A（x,y）的“伴随点”是点A′（m,n）,则∵点A（x,y）的“伴随点”是点A′（,）,∴,∴x=﹣,y=∵m=,∴代入整理可得n﹣1=0表示圆,故不正确．故答案为:②③．【点评】此题考查点的坐标规律,读懂题目信息,理解“伴随点”的定义是解题的关键．三、解答题:本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2016秋•江岸区校级期末）我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）,一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位:吨）,将数据按照[0,0.5）,[0.5,1）,…,[4,4.5）分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）,估计x的值,并说明理由．【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1,构造方程,可得a值；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率,进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率,进而可得x值．【解答】解:（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1,∴a=0.3；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为:0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12,由30×0.12=3.6得:全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为:0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；月均用水量低于3吨的频率为:0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；则x=2.5+0.5×=2.9吨【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,用样本估计总体,难度不大,属于基础题．17．（12分）（2016•四川）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=．（Ⅰ）证明:sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc,求tanB．【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理,利用正弦定理,即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值,利用（Ⅰ）的条件,求解B的正切函数值即可．【解答】（Ⅰ）证明:在△ABC中,∵+=,∴由正弦定理得:,∴=,∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得:sinAsinB=sinC,（Ⅱ）解:b2+c2﹣a2=bc,由余弦定理可得cosA=．sinA=,=+==1,=,tanB=4．【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,三角形面积公式的应用,考查了转化思想,属于中档题．18．（12分）（2017•甘肃一模）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD．E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（I）延长AB交直线CD于点M,由点E为AD的中点,可得AE=ED=AD,由BC=CD=AD,可得ED=BC,已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形,即EB ∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示,由∠ADC=∠PAB=90°,异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M,可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD,PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角,大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2,则BC=CD=AD=1．可得P（0,0,2）,E（0,1,0）,C （﹣1,2,0）,利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解:（I）延长AB交直线CD于点M,∵点E为AD的中点,∴AE=ED=AD,∵BC=CD=AD,∴ED=BC,∵AD∥BC,即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形,即EB∥CD．∵AB∩CD=M,∴M∈CD,∴CM∥BE,∵BE⊂平面PBE,∴CM∥平面PBE,∵M∈AB,AB⊂平面PAB,∴M∈平面PAB,故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD）,使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示,∵∠ADC=∠PAB=90°,异面直线PA与CD所成的角为90°,AB∩CD=M,∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD,PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角,大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2,则BC=CD=AD=1．∴P（0,0,2）,E（0,1,0）,C（﹣1,2,0）,∴=（﹣1,1,0）,=（0,1,﹣2）,=（0,0,2）,设平面PCE的法向量为=（x,y,z）,则,可得:．令y=2,则x=2,z=1,∴=（2,2,1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ,则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q ＞0,n∈N*．（Ⅰ）若2a2,a3,a2+2成等差数列,求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．【分析】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质,求得数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列,再根据2a2,a3,a2+2成等差数列求得公比q的值,可得{a n}的通项公式．（Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得e n=,根据e2==,求得q 的值,可得{a n}的解析式,再利用放缩法可得∴e n=＞,从而证得不等式成立．=qS n+1 ①,∴当n≥2时,S n=qS n﹣1+1 ②,两式相减可得【解答】解:（Ⅰ）∵S n+1a n+1=q•a n,即从第二项开始,数列{a n}为等比数列,公比为q．当n=1时,∵数列{a n}的首项为1,∴a1+a2=S2=q•a1+1,∴a2 =a1•q,∴数列{a n}为等比数列,公比为q．∵2a2,a3,a2+2成等差数列,∴2a3 =2a2+a2+2,∴2q2=2q+q+2,求得q=2,或q=﹣．根据q＞0,故取q=2,∴a n=2n﹣1,n∈N*．（Ⅱ）证明:设双曲线x2﹣=1的离心率为e n,∴e n==．由于数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列,∴e2===,q=,∴a n=,∴e n==＞=．∴e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞1+++…+==,原不等式得证．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,用放缩法进行数列求和,数曲线的简单性质,属于难题．20．（13分）（2016秋•路南区校级月考）已知椭圆E:+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l:y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P．证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|•|PB|,并求λ的值．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形,结合直线l与椭圆E只有一个交点,利用判别式△=0,即可求出椭圆E的方程和点T的坐标；（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换,令x′=x,y′=y,把椭圆E变为圆E′,利用圆幂定理求出λ的值,从而证明命题成立．【解法二】设出点P的坐标,根据l′∥OT写出l′的参数方程,代入椭圆E的方程中,整理得出方程,再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|,由|PT|2=λ|PA|•|PB|求出λ的值．【解答】解:（Ⅰ）设短轴一端点为C（0,b）,左右焦点分别为F1（﹣c,0）,F2（c,0）,其中c＞0,则c2+b2=a2；由题意,△F1F2C为直角三角形,∴=+,解得b=c=a,∴椭圆E的方程为+=1；代入直线l:y=﹣x+3,可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0,又直线l与椭圆E只有一个交点,则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0,解得b2=3,∴椭圆E的方程为+=1；由b2=3,解得x=2,则y=﹣x+3=1,所以点T的坐标为（2,1）；（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换,令x′=x,y′=y,则椭圆E变为圆E′:x′2+y′2=6,设此时P、A、B、T对应的点分别为P′、A′、B′、T′,如图所示；则==,==,两式相比,得:=,由圆幂定理得,|P′T′|2=|P′A′|•|P′B′|,所以=,即λ=,原命题成立．【解法二】设P（x0,3﹣x0）在l上,由k OT=,l′平行OT,得l′的参数方程为,代入椭圆E中,得+2=6,整理得2t2+4t+﹣4x0+4=0；设两根为t A,t B,则有t A•t B=；而|PT|2==2,|PA|==|t A|, |PB|==|t B|,且|PT|2=λ|PA|•|PB|,∴λ===,即存在满足题意的λ值．【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题,也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题,考查了参数方程的应用问题,是难题．21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx,其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值,使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1,+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．【分析】（I）利用导数的运算法则得出f′（x）,通过对a分类讨论,利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a,可得g（1）=0,从而g′（1）≥0,解得得a,又,当a时,F′（x）=2a+≥+e1﹣x,可得F′（x）在a时恒大于0,即F（x）在x∈（1,+∞）单调递增．由F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0,可得g （x）也在x∈（1,+∞）单调递增,进而利用g（x）＞g（1）=0,可得g（x）在x ∈（1,+∞）上恒大于0,综合可得a所有可能取值．【解答】解:（Ⅰ）由题意,f′（x）=2ax﹣=,x＞0,①当a≤0时,2ax2﹣1≤0,f′（x）≤0,f（x）在（0,+∞）上单调递减．②当a＞0时,f′（x）=,当x∈（0,）时,f′（x）＜0,当x∈（,+∞）时,f′（x）＞0,故f（x）在（0,）上单调递减,在（,+∞）上单调递增．（Ⅱ）原不等式等价于f（x）﹣+e1﹣x＞0在x∈（1．+∞）上恒成立,一方面,令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a,只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可,又∵g（1）=0,故g′（x）在x=1处必大于等于0．令F（x）=g′（x）=2ax﹣+﹣e1﹣x,g′（1）≥0,可得a．另一方面,当a时,F′（x）=2a+≥1+=+e1﹣x,∵x∈（1,+∞）,故x3+x﹣2＞0,又e1﹣x＞0,故F′（x）在a时恒大于0．∴当a时,F（x）在x∈（1,+∞）单调递增．∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0,故g（x）也在x∈（1,+∞）单调递增．∴g（x）＞g（1）=0,即g（x）在x∈（1,+∞）上恒大于0．综上,a．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用,考查了计算能力和转化思想,熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn；wfy814；caoqz；lcb001；沂蒙松；w3239003；豫汝王世崇；双曲线；sxs123；zlzhan；qiss；742048（排名不分先后）菁优网2017年3月17日。

3. 为了得到函数 y = sin 2x - ⎪ 的图象，只需把函数 y = sin 2x 的图象上所有的点（）⎨ y ≥ 1 - x, 则p 是q 的（ ）⎪ y ≤ 1, P2016四川高考理科数学真题及答案本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页， 共4页，满分150分，考试时间120分钟. 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、 草稿上答题无效. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的.1. 设集合 A = {x | -2 ≤ x ≤ 2} ，Z 为整数集，则集合 A I Z 中元素的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2. 设 i 为虚数单位，则 ( x + i)6 的展开式中含 x 4 的项为（ ）A ． -15x 4B ．15x 4C ． -20ix 4D ． 20ix 4⎛π ⎫ ⎝3 ⎭ π πA ．向左平行移动 个单位长度B ．向右平行移动 个单位长度3 3 π πC ．向左平行移动 个单位长度D ．向右平行移动 个单位长度6 64. 用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）A ．24B ．48C ．60D ．725. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发 资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据： lg1.12 ≈ 0.05 ， lg1.3 ≈ 0.11 ， lg2 = 0.30 ）A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶 算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出 了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年四川，理1，5分】设集合，Z为整数集，则集合中元素的个数是（）（A）3 （B）4（C）5 （D）6【答案】C【解析】由题可知，，则中元素的个数为5，故选C．【点评】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答．（2）【2016年四川，理2，5分】设为虚数单位，则的展开式中含的项为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由题可知，含的项为，故选A．【点评】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式的展开式可以改为，则其通项为，即含的项为．（3）【2016年四川，理3，5分】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】由题可知，，则只需把的图象向右平移个单位，故选D．【点评】本题考查三角函数的图象平移，在函数的图象平移变换中要注意人“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，向左平移个单位得的图象．（4）【2016年四川，理4，5分】用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）（A）24 （B）48 （C）60 （D）72【答案】D【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有，再将剩下的4个数字排列得到，则满足条件的五位数有，故选D．【点评】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．（5）【2016年四川，理5，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：，，）（A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年【答案】B【解析】设年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，，解得，因资金需超过200万，则取4，即2019年，故选B．【点评】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论．（6）【2016年四川，理6，5分】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。

2016年四川高考理科数学试题（带答案）2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设集合，Z为整数集，则中元素的个数是（A）3（B）4（C）5（D）6 2.设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为（A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4 3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24（B）48（C）60（D）72 5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（ A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年 6.秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（A）9 （B）18 （C）20 （D）35 7.设p：实数x，y满足(x�C1)2�C(y�C1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 8.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且 =2 ,则直线OM的斜率的最大值为（A）（B）（C）（D）1 9.设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P¬2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞) 10.在平面内，定点A，B，C，D满足 = = , �q = �q = �q =-2，动点P，M满足 =1，= ，则的最大值是（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。