人教版高中数学必修一第一章 1.1.2 集合间的基本关系1.1.2集合间的基本关系[学习目标] 1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，并能正确判断.2.了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系.3.了解空集的含义及其性质.知识点一Venn图(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法.(2)适用范围：元素个数较少的集合.(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部.知识点二子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个A⊆B(或B⊇A)集合有包含关系，称集合A是集合B的子集思考符号“∈”与“⊆”有什么区别？答(1)“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.(2)“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}.(3)“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合.知识点三集合相等如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.思考(1)集合{0,1}与集合{(0,1)}相等吗？(2)集合{x∈R|－1<x<2}与集合{y∈R|－1<y<2}相等吗？答(1)不相等.前者是数集，有两个元素：0和1；后者是点集，只有一个元素：数对(0,1). (2)相等.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于－1且小于2的所有实数，所以这两个集合相等.知识点四真子集的概念定义符号表示图形表示真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集A B(或B A)知识点五空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集.(2)用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集.思考{0}，∅与{∅}之间有什么区别与联系？答{0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，因此有∅⊆{0}，而{∅}是含有一个元素∅的集合，因此有∅∈{∅}.知识点六子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.题型一有限集合的子集确定问题例1(1)写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；(2)已知集合A满足{a，b}⊆A{a，b，c，d}，求满足条件的集合A.解(1)子集为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}.真子集为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.(2)由题意可知，A中一定有a，b，对于c，d可能没有，也可能有1个，故满足{a，b}⊆A{a，b，c，d}的A有：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}.反思与感悟 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.跟踪训练1已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数.解当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.题型二集合间关系的判定例2指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.解(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N M.例3已知集合A＝{x|x＝(2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝k±，k∈Z}，则集合A，B之间的关系为() A.A B B.B AC.A＝BD.A≠B答案 C解析设x1∈A，则x1＝(2k1＋1)，k1∈Z.当k1＝2n，n∈Z时，x1＝(4n＋1)＝n＋，∴x1∈B；当k1＝2n－1，n∈Z时，x1＝(4n－1)＝n－，∴x1∈B.∴A⊆B.设x2∈B，则x2＝k2±＝(4k2±1)，k2∈Z.由于4k2＋1＝2×2k2＋1,4k2－1＝2(2k2－1)＋1，且2k2表示所有的偶数，2k2－1表示所有的奇数，∴4k2±1与2k＋1(k∈Z)一样，都表示所有奇数.∴x2＝(4k2±1)＝(2k＋1)，k∈Z.∴x2∈A.∴B⊆A.故A＝B.故选C.反思与感悟判断集合与集合关系的常用方法：(1)一一列举观察.(2)集合元素特征法：首先确定“集合的元素是什么”，弄清元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.①若p(x)推出q(x)，则A⊆B；②若q(x)推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn图判断.若A⊆B和A B同时成立，则A B更能准确表达集合A，B之间的关系.跟踪训练2集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}，则M，P，S之间的关系为()A.S P MB.S＝P MC.S P＝MD.S P＝M答案 C解析对于M：x＝3k－2＝3(k－1)＋1，k∈Z，对于P：y＝3n＋1，n∈Z，∴M＝P.而z＝6m＋1＝3·(2m)＋1，m∈Z，∴S P＝M，故选C.题型三集合相等例4已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，若M＝N，求a与b的值.解由题意得或解得或或又a＝0，b＝0时，M＝{2,0,0}与集合的互异性矛盾，故舍去.∴a＝0，b＝1或a＝，b＝.反思与感悟由A＝B(或A⊆B)求字母的值时，要注意检验所求出的值是否满足集合中元素的互异性.跟踪训练3设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则b－a等于()A.1B.－1C.2D.－2答案 C解析因为a≠0，所以a＋b＝0，所以＝－1，所以b＝1，a＝－1.故b－a＝2.题型四由集合间的关系求参数范围问题例5已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围.解∵B⊆A，(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B≠∅时，有解得－1≤m＜2，综上得{m|m≥－1}.反思与感悟 1.求解集合中参数问题，应先分析，简化每个集合，然后应用数形结合思想与分类讨论思想求解；2.利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，其中特别要注意端点值的检验；3.注意空集的特殊性，遇到“B⊆A”时，若B为含字母参数的集合，一定要分“B＝∅”和“B ≠∅”两种情形讨论.跟踪训练4已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围.解(1)若A B，由图可知a＞2.(2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2.忽略空集的特殊性致误例6设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的a的取值集合. 错解由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，得N＝{－1}或{3}.当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.当N＝{3}时，由＝3，得a＝.故满足条件的a的取值集合为{－1，}.正解由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，得N＝∅或N＝{－1}或N＝{3}.当N＝∅时，ax－1＝0无解，即a＝0.当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.当N＝{3}时，由＝3，得a＝.故满足条件的a的取值集合为{－1,0，}.易错警示错误原因纠错心得错解忽略了N＝∅这种情况.空集是任何集合的子集.解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则.跟踪训练5设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围.解因为A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，B⊆A，所以B可能为∅，{0}，{－4}，{0，－4}.①当B＝∅时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解.所以Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，所以a<－1.②当B＝{0}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根0，由根与系数的关系，得解得a＝－1.③当B＝{－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根－4，由根与系数的关系，得该方程组无解.④当B＝{0，－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个不相等的实数根0和－4，由根与系数的关系，得解得a＝1.综上可得a≤－1或a＝1.1.集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为()A.4B.7C.8D.16答案 B解析可知A＝{0,1,2}，其真子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，即共有23－1＝7(个).2.设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是()A.{0}⊆MB.{0}∈MC.∅∈MD.0⊆M答案 A解析选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误.3.若集合P＝{x|x≤3}，则()A.－1⊆PB.{－1}∈PC.∅∈PD.{－1}⊆P答案 D解析∵P＝{x|x≤3}，∴－1∈P，故{－1}⊆P，故答案为D.4.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N*}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 D解析A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{1,2}，B＝{x|0<x<5，x∈N*}＝{1,2,3,4}.因为A⊆C⊆B，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，所以集合C的个数为22＝4.故选D.5.设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则实数x＝________，y＝________.答案10解析因为A＝B，所以x＝0或y＝0.若x＝0，则x2＝0，此时集合B中的元素不满足互异性，舍去；若y＝0，则x＝x2，得x＝0(舍去)或x＝1，此时A＝B＝{0,1}.所以x＝1，y＝0.1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法.(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.3.涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.一、选择题1.已知集合A＝{－1,1}，则下列式子表示正确的有()①1∈A；②{－1}∈A；③∅⊆A；④{1，－1}⊆A.A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析正确的是①③④，故选C.2.已知集合P和Q的关系如图所示，则()A.P>QB.Q⊆PC.P＝QD.P⊆Q答案 B解析由图可知Q中的元素都是P中的元素，所以Q是P的子集，故选B.3.已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则()A.A⊆BB.C⊆BC.D⊆CD.A⊆D答案 B解析选项A错，应当是B⊆A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形.选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形.选项D错，应是D⊆A.4.若集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，集合N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则()A.M＝NB.M⊆NC.M ND.以上均不对答案 C解析由＋＝，k∈Z，＋＝，k∈Z，可知选C.5.已知集合A＝{x|0<x<1}，B＝{x|0<x<c}，若A⊆B，则实数c的取值范围是()A.{c|0<c≤1}B.{c|c≥1}C.{c|0<c<1}D.{c|c>1}答案 B6.已知集合M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是()A.M>NB.M NC.N MD.M⊆N答案 C解析因为y＝(x－1)2－2≥－2，所以M＝{y|y≥－2}，所以N M.7.若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且B⊆A，则满足条件的实数x的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 C解析由B⊆A，知x2＝3，或x2＝x，解得x＝±，或x＝0，或x＝1，当x＝1时，集合A，B都不满足元素的互异性，故x＝1舍去.二、填空题8.集合{－1,0,1}共有________个子集.答案8解析由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8个子集.9.设集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，集合N＝{x|mx＝1}，若N⊆M，则实数m的取值集合为________.答案{－2,0，}.解析集合M＝{3，－}.若N⊆M，则N＝{3}或{－}或∅.于是当N＝{3}时，m＝；当N＝{－}时，m＝－2；当N＝∅时，m＝0.所以m的取值集合为{－2,0，}.10.设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B，则实数a的取值范围是________.答案{a|a≥2}解析因为A B，所以a≥2，即a的取值范围是{a|a≥2}.三、解答题11.设集合A＝{1，a，b}，集合B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2 016＋b2 016.解方法一∵A＝B，∴或解方程组，得或或a＝1，b为任意实数.由集合元素的互异性得a≠1，∴a＝－1，b＝0，故a2 016＋b2 016＝1.方法二由A＝B，可得即因为集合中的元素互异，所以a≠0，a≠1.解方程组，得a＝－1，b＝0.故a2 016＋b2 016＝1.12.已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围.解当B＝∅时，只需2a＞a＋3, 即a＞3.当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或解得a＜－4或2＜a≤3.综上，实数a的取值范围为{a|a＜－4或a＞2}.13.已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足B A，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b所有的值；若不存在，请说明理由. 解A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，∵B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，∴1∈B.又∵B A，∴a－1＝1，即a＝2.∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A，∴C＝∅或{1}或{2}或{1,2}.当C＝{1,2}时，b＝3；当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2，此时x＝±(舍去)；当C＝∅时，Δ＝b2－8<0，即－2<b<2.综上可知，存在a＝2，b＝3或－2<b<2满足要求.。
