《推理与证明》变式题

第二章 推理与证明2.3数学归纳法一、学习目标1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题.【重点、难点】重点是数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题，难点是数学归纳法的第二步.二、学习过程【导入新课】多米诺骨牌实验:要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（ 1）第一张牌被推倒 （奠基作用）（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。

数学归纳法步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如10=n 或2等）时结论正确；（2）假设当k n =（*N k ∈，且0n k ≥）时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确。

根据（1）和（2），可知命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确例1、用数学归纳法证明：2462(1)n n n +++=+ ()n N +∈例2：用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=【变式拓展】在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)． (1)试求：a 2，a 3，a 4的值；(2)由此猜想数列{a n }的通项公式a n ；(3)用数学归纳法加以证明．三、总结反思①两个步骤，缺一不可，其中第一步是递推的基础，第二步是递推的依据；②两个步骤中关键是第二步，即当n ＝k ＋1时命题为什么成立．在证n ＝k ＋1命题时成立时，必须利用归纳假设当n ＝k 时成立这一条件，再根据有关定理、定义、公式、性质等推证出当n ＝k ＋1时成立．切忌直接代入，否则当n ＝k ＋1时成立也是假设了，命题并没有得到证明.四、随堂检测1.用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－q q －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n ＝1等式成立时，等式左边式子是( ) A ．1 B ．1＋q C ．1＋q ＋q 2 D ．1＋q ＋q 2＋q 32．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，左边需增添的代数式是( )A ．(2k ＋1)＋(2k ＋2)B ．(2k －1)＋(2k ＋1)C ．(2k ＋2)＋(2k ＋3)D ．(2k ＋2)＋(2k ＋4)3.已知数列{}n a 的前n 项和2 (2)n n S n a n =≥，而11a =，通过计算234,,a a a ，猜想n a =( ) A.22(1)n + B. 2(1)n n + C. 221n - D. 221n -4.用数学归纳法证明：1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=++。

合情推理与演绎推理一、归纳推理 例1．（1）观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？变式1.设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?(2)猜想:圆内两两相交的n (n ≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .2.由107＞85,119＞108,2513＞219,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则m a m b ++与a b 之间的大小关系为 .3.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2，猜想出椭圆2222b y a x +=1的面积S =πab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 .二、类比推理（一）数列中的类比例1.在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式 成立.强化练习1.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

智汇好题目小学生的思维具有直观性和形象性等特点，借助现实可见的实物学具、模型、几何图形等可为学生提供丰富的学材，将抽象的推理内容变得具体形象，为复杂推理问题提供解决的路径和方法。

在数与代数领域中如何借助几何直观，开展数学观察、对比、分析、推理等活动，是发展学生逻辑思维的关键切入口。

我们尝试设计一组图形推理题目，运用几何直观打通数与形之间的关联，引导学生在逐步深入的观察、思考和探究中，发现变与不变的规律，建构数量关系的模型，并在此过程中发展推理意识。

【题目】第1题 静态转化中的推理数学课上，李老师让同学们探索一类特殊分数之和的计算方法。

爱思考的轩轩总有不同的想法，借助图形（如图1）巧算它们的和。

1 2+14+18+116=22-116=151613+16+112+124=23-124=152414+18+116+132=24-1=…… (1)2141818116116131611212414132图1（1）仔细观察轩轩的做法，把第三道算式的计算过程补充完整。

（2）轩轩的想法让大家眼前一亮，不禁跃跃欲试。

请你填一填：15+110+120+140=-；17+114+128+…+1224=-。

第2题 动态关联中的推理聪聪用1cm2的正方形纸片摆出不同的图形（如图2）并进行研究，你能帮帮他吗？图2（1）观察图2，填写表1。

表1 层数与面积关系统计表层数1234…8…n 面积/cm2149……（2）利用发现的规律，佳佳制作了图3所示“方阵”。

照这样排下去，排在（5，1）位置的数是（ ），排在（8，2）位置的数是（ ），当n大于2时，排在（n，3）位置的数是（ ）。

……………10111213…56714…23815…14916…5432112345图3巧用几何直观，明晰推理路径——图形推理题目一组华 松 陈维花76智慧教学 2024年2月第3题 联想操作中的推理数学中有些证明和推理是不需要文字的，仅凭图形就能清楚解释数学公式或道理，这种以图代字、不证自明的“无字证明”比严谨的文字证明更为优雅和有条理。

说理与证明一、命题与定理1、在下列空格内填上正确或错误：（1）在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个正确．（2）在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个错误．（3）三角形三条角平分线交于一点正确．（4）等腰三角形底边中点到两腰的距离相等正确．（5）三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形错误．2、下列命题中，属于真命题的是（）A、若一个角的补角大于这个角B、若a∥b，b∥c，则a∥cC、若a⊥c，b⊥c，则a∥bD、互补的两角必有一条公共边3、已知命题①一个命题是真命题，它的逆命题也是真命题．②如果ab=0，那么a=0，b=0．③三角形三条边的垂直平分线的交点到三条边的距离相等．④等腰三角形两底角的平分线相等．真命题有（）A、1B、2C、3D、44、（2010•芜湖）下列命题中是真命题的是（）A、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B、有两边和一角对应相等的两个三角形全等C、两条对角线相等的平行四边形是矩形D、两边相等的平行四边形是菱形5、（2010•泰州）下列命题：①正多边形都是轴对称图形；②通过对足球迷健康状况的调查可以了解我国公民的健康状况；③方程的解是x=0；④如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等．其中真命题的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个6、（2010•广州）下列命题中，是真命题的是（）A、若a•b＞0，则a＞0，b＞0B、若a•b＜0，则a＜0，b＜0C、若a•b=0，则a=0，且b=0D、若a•b=0，则a=0，或b=07、（2010•巴中）下列命题是真命题的是（）A、若a2=b2，则a=bB、若x=y，则2﹣3x＞2﹣3yC、若x2=2，则x=±D、若x3=8，则x=±28、（2008•漳州）下列命题是假命题的是（）A、等角的补角相等B、内错角相等C、两点之间，线段最短D、两点确定一条直线9、任何命题都有逆命题．√10、写出你熟悉的一个定理：两直线平行，同位角相等，写出这个定理的逆定理：同位角相等，两直线平行．．11、命题“如果∠1与∠2是邻补角，那么∠1+∠2=180°”．它的逆命题是如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2是邻补角．．12、写出定理“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的逆定理是到角的两边距离相等的点在角平分线上．13、在四边形ABCD中，给出下列论断：①AB∥DC；②AD=BC；③∠A=∠C，以其中两个作为题设，另外一个作为结论，用“如果…那么…”的形式，写出一个你认为正确的结论：如果AB∥DC，∠A=∠C，那么AD=BC．14、（1）如图1，矩形ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边AD和CD上，且AF⊥BE于O，求的值；（2）在上面的问题中，若=k，通过变式，我们可以得到如下的两个命题：①若将AF沿直线AB方向平移到PQ，将BE沿直线AD方向平移到RS，然后将PQ与RS同时绕点O旋转（保持PQ 与RS垂直），则=k；②设P、R、Q、S依次是矩形的边AB、BC、CD、DA上的点，若=k，则PQ⊥RS．（Ⅰ）判断命题的真假性：①真命题；②假命题；（在横线上填“真命题”或“假命题”）（Ⅱ）若其中有假命题，请你在图3中，用画图的方法举反例进行说明；若以上两个命题都是真命题，请选择其中一个给予证明．二、推理与论证15、（2009•防城港）如图，点A1，A2，A3，A4是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们都位于同一对角线上．某人从点A1出发，规定向右或向下行走，那么到达点A3的走法共有（）A、4种B、6种C、8种D、10种16、（2007•台湾）小华和小明到同一早餐店买馒头和米浆．已知小华买了5个馒头和5杯米浆；小明买了7个馒头和3杯米浆，且小华花的钱比小明少10元．关于馒头与米浆的价钱，下列叙述何者正确（）A、2个馒头比2杯米浆多10元B、2个馒头比2杯米浆少10元C、12个馒头比8杯米浆多10元D、12个馒头比8杯米浆少10元17、（2006•厦门）唐寅点秋香的故事家喻户晓了，现在我们来玩个游戏：“唐伯虎点秋香”．【规则】下面有四个人，其中一个人是秋香，请你通过下面提示辨别出谁是秋香．友情提示：这四个人分别是：春香、夏香、秋香、冬香．【所给人物】A，B，C，D①A不是秋香，也不是夏香；②B不是冬香，也不是春香；③如果A不是冬香，那么C不是夏香；④D既不是夏香，也不是春香；⑤C不是春香，也不是冬香．若上面的命题都是真命题，问谁是秋香（）A、AB、BC、CD、D18、（2006•嘉峪关）某超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总得有甲作从犯；（3）乙不会开车．在此案中，能肯定的作案对象是（）A、嫌疑犯乙B、嫌疑犯丙C、嫌疑犯甲D、嫌疑犯甲和丙19、（2006•南宁）图是小李发明的填图游戏，游戏规则是：把5，6，7，8四个数分别填入图中的空格内，使得网格中每行、每列的数字从左至右和从上到下都按从小到大的顺序排列．那么一共有6种不同的填法．20、（2006•茂名）甲、乙、丙、丁四人参加某校招聘教师考试，试后甲、乙两人去询问成绩．请你根据下面回答者对甲、乙两人回答的内容进行分析，则这四人的名次排列共可能有4种不同情况．21、某车间新调来三名青年工人，车间赵主任问他们三人的年龄：①小刘说：“我比小陈小2岁．”②小陈说：“小李和我差三岁．”③小李说：“我比小刘年岁小，小刘23岁．”那么他们三人的岁数分别是小刘23岁，小陈25岁，小李22岁．三、反证法22、（2010•通化）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A、有一个内角大于60°B、有一个内角小于60°C、每一个内角都大于60°D、每一个内角都小于60°23、用反证法证明“若a∥c，b∥c，则a∥b”，第一步应假设（）A、a∥bB、a与b垂直C、a与b不一定平行D、a与b相交24、已知：如图，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2，求证：a不平行b．证明：假设a平行b，则∠1=∠2，（两直线平行，同位角相等）这与∠1≠∠2相矛盾，所以假设不成立，所以a不平行b．25、用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C”的过程中，第一步应是假设∠B=∠C．26、用反证方法证明“任意三角形中不能有两个内角是钝角”的第一步是假设：任意三角形中能有两个钝角．27、已知a，b是整数，a2+b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．28、如图，四边形PQMN是平行四边形ABCD的内接四边形，（1）若MP∥BC或NQ∥AB，求证：S四边形PQMN=S ABCD（2）若S四边形PQMN=S ABCD，问是否能推出MP∥BC或QN∥AB？证明你的结论．答案与评分标准一、（共28小题）1、在下列空格内填上正确或错误：（1）在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个正确．（2）在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个错误．（3）三角形三条角平分线交于一点正确．（4）等腰三角形底边中点到两腰的距离相等正确．（5）三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形错误．考点：命题与定理。

初中数学知识点总结：推理与证明 知识点总结 【一】公理、定理、推论、逆定理： 1.公认的真命题叫做公理。

2.其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。

3.由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。

4.如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理。

【二】类比推理： 一道数学题是由条件、解决办法、欲证结论三个要素组成，这此要求可以看作是数学试题的属性。

如果两道数学题是在一系列属性上相似，或一道是由另一道题来的，这时，就可以运用类比推理的方法，推测其中一道题的属性在另一道题中也存在相同或相似的属性。

【三】证明： 1.对某个命题进行推理的过程称为证明，证明的过程包括、求证、证明 2.证明的一般步骤： (1)审清题意，明确条件和结论; (2)根据题意，画出图形; (3)根据条件、结论，结合图形，写出求证; (4)对条件与结论进行分析; (5)根据分析，写出证明过程 3.证明常用的方法：综合法、分析法和反证法。

【四】辅助线在证明中的应用： 在几何题的证明中，有时了为证明需要，在原题的图形上添加一些线度，这些线段叫做辅助线，常用虚线表示。

并在证明的开始，写出添加过程，在证明中添加的辅助线可作为条件参与证明。

常见考法 (1)灵活运用基础知识进行推理，运用综合法、分析法，从条件和结论两方面出发进行证明;(2)在中考中，考查类比推理，先设计一个条件、结论明确的问题，以此作为类比对象，然后再对其改造。

比如，图形的变式，添加某些新的属性或改变某些属性，通过与原有问题的比较，推测新问题的结论与解决方法。

误区提醒 (1)不能准确把握几何公理、定理的内容; (2)数学语言、符号语言、文字语言在相互转化中出现表述错误。

考点五十九 推理与证明知识梳理1．推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理．(1)归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确． 3．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.4．归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同特征；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题． (2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． 5．合情推理与演绎推理的区别：归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．6．平面到空间中的常见类比7．直接证明有两种基本方法：综合法和分析法．(1) 综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．(2) 分析法：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．8．间接证明间接证明的一种基本方法是反证法．(1)反证法：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．(2)反证法的证题步骤是：①反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)②归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)③立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)典例剖析题型一 归纳推理 例1 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为_________________________________． 答案 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 解析 由于1＝12， 2＋3＋4＝9＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝25＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. 变式训练 （2015陕西文）观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为_______________________________． 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .解题要点 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的； (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用． 题型二 类比推理例2 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 变式训练 在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ， 于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.解题要点 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等． 题型三 演绎推理例3 如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 答案332解析 由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.题型四 综合法和分析法的应用例4 在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， 同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .变式训练 设a 、b 、c 均为大于1的正数，且ab ＝10，求证：log a c ＋log b c ≥4lgc.证明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要证明log a c ＋log b c ≥4lgc ，只要证明lgc lga ＋lgclgb ≥4lgc ，即lga ＋lgb lga ·lgb≥4，因为ab ＝10，故lga ＋lgb ＝1.只要证明1lgalgb ≥4，由于a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0<lgalgb ≤⎝⎛⎭⎫lga ＋lgb 22＝⎝⎛⎭⎫122＝14，即1lgalgb ≥4成立．所以原不等式成立．解题要点 1.综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．分析法是“由果执因”，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。

《命题与证明》知识讲解(总5页) --本页仅作预览文档封面，使用时请删除本页--《命题与证明》知识讲解宋老师【学习目标】1．了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会判断一个命题的真假；2．了解综合法的证明步骤和书写格式.3．运用平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及其推论去解决一些简单的问题，用几何语言进行简单的推理论证.4.了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立.会判断一个命题的逆命题的真假.【要点梳理】要点一、定义、命题、真命题、假命题定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们的定义.命题：判断一件事情的句子叫命题．真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题.假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题.要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性.要点二、证明根据已知真命题，确定某个命题的真实性的过程，叫做证明．经过证明的真命题称为定理.证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质.证明的步骤：1.根据题意，画出图形；2.根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；3.写出证明过程.要点诠释：推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理.要点三、三角形的内角和定理及其推论三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.要点诠释：(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．(2)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．(3)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（4）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（5）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．要点四、互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.把一个命题的条件与结论互换，就得到它的逆命题，我们能够判断一个命题及其它的逆命题的真假.证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就可以了.要点诠释：每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可.【典型例题】类型一、逆命题与逆定理1. 下列命题是真命题的是（）A．如果|a|=1，那么a=1B．有两条边相等的三角形是等腰三角形C．如果a为实数，那么a是有理数D．相等的角是对顶角.；【答案】B.【解析】如果|a|=1，那么a=±1，故A错误；如果a为有理数，那么a是实数，故C错误；两个直角三角形中的两个直角相等，但不是对顶角，故D错误；而B根据等腰三角形的定义可判断正确；【总结升华】主要考查命题的真假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义.举一反三：【变式】（2016春•东平县期中）下列句子中，不是命题的是（）A．三角形的内角和等于180°B．对顶角相等C．过一点作已知直线的平行线D．两点确定一条直线【答案】C．C不是可以判断真假的陈述句，不是命题；A、B、D均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句，都是命题．故选C．2.下列命题中，逆命题正确的是（）A.对顶角相等B.直角三角形两锐角互余C.全等三角形面积相等D.全等三角形对应角相等【答案】B.【解析】A选项逆命题是相等的角是对顶角，不对；B选项逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，对的；C选项逆命题是面积相等的三角形是全等三角形显然不对；D选项的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，不一定，也可能是相似三角形.【总结升华】判断逆命题是否正确，能举出反例即可.举一反三：【变式】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒，得到新的命题，并判断这些命题的真假．(1)对顶角相等；(2)两直线平行，同位角相等；(3)若a=0，则ab=0；(4)两条直线不平行，则一定相交；【答案】(1)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；(2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)；(3)若a=0，则ab=0(真)；若ab=0，则a=0(假)；(4)两条直线不平行，则一定相交(假)；两条直线相交，则一定不平行(真)；3. 对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，请你以其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果…，那么…”的形式，写出两个正确的命题．【思路点拨】同一平面内，根据垂直于同一直线的两直线平行；平行于同一直线的两直线平行，则可由③⑤得到②；由①②得到④．【答案与解析】解：如果③a⊥b，⑤a⊥c，那么②b∥c；如果①a∥b，②b∥c，那么④a∥c．【总结升华】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题，正确的命题叫真命题，错误的命题为假命题；命题分为题设与结论两部分．也考查了平行线的性质．类型二、证明举例（1）平行线的性质与判定进行几何证明：4.（2015春•姜堰市期末）如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截．已知AB⊥ BC、CD⊥ BC，BE∥ CF，，求证：∠ 1=∠ 2．【思路点拨】由于AB⊥ BC、CD⊥ BC得到AB∥ CD，利用平行线的性质得到∠ ABC=∠DCB，又BE∥CF，则∠ EBC=∠ FCB，可得到∠ ABC﹣∠ EBC=∠ DCB﹣∠ FCB，即有∠ 1=∠ 2．【答案与解析】证明：∵ AB⊥ BC、CD⊥ BC，∴AB∥ CD，∴∠ ABC=∠ CB，又∵ BE∥ CF，∴∠ EBC=∠ FCB，∴∠ ABC﹣∠ EBC=∠ DCB﹣∠ FCB，∴∠ 1=∠ 2．【总结升华】本题考查的是平行线的判定和性质的综合应用.举一反三：【变式】如图所示，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由．【答案】∠A=∠F．证明：∵∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF，∴∠DGF=∠EHF，∴BD∥CE；∴∠C=∠ABD，又∵∠C=∠D，∴∠D=∠ABD，∴DF∥AC；∴∠A=∠F．（2）与三角形有关的几何证明：5.如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°．又因为∠BAD+∠ABI=∠BID，90°-∠HCI=∠CIH，所以∠BID=∠CIH．【答案与解析】证明：∵AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，∴∠BAD=12∠BAC，∠ABI=12∠ABC，∠HCI=12∠ACB．∴∠BAD+∠ABI+∠HCI=12∠BAC+12∠ABC+12∠ACB=12（∠BAC+∠ABC+∠ACB）=12×180°=90°．∴∠BAD+∠ABI=90°-∠HCI．∵IH⊥BC，∴∠IHC=90°∴90°-∠HCI=∠CIH，∴∠CIH=∠BAD+∠ABI∵∠BID=∠BAD+∠ABI（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和）∴∠BID=∠CIH．【总结升华】考查了角平分线的定义及三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，在推导角的关系时，一定不要忘记与三角形有关的角中还有一个特别重要的性质：三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和.(3)文字命题的证明：6、求证：等边三角形内部任一点到三边的距离之和为定值. 【思路点拨】先画图，设等边三角形的边长为a,高为h,再利用三角形的面积公式来求，原三角形分成三个大小不等的三个三角形，三个三角形的面积和与原三角形的面积相等，即S △AB C =S △PA B +S △P BC +S △PA C ；可得h=PE+PF+PD.【答案与解析】已知：如图，△ABC 是等边三角形，P 是三角形内任一点，PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC．垂足分别为E 、G 、F ，求证：PE+PG+PF 为定值.证明：设等边三角形△ABC 的边长为a ，面积为S ． 连结PA 、PB 、PC ，则PG ，S △APB =12a •PE ，S △CPB =12a •PF ，S △APC =12a •于是S △APB +S △CPB +S △APC =12a •PE+12a •PF+12a •PG ， 即12a •PE+12a •PF+12a •PG=S ， PE+PF+PG=2S a ，为定值．【总结升华】对于文字命题的证明,要根据文字所描述的内容写出已知和求证，然后证明.。

平行线的证明章末重难点突破【北师大版】【考点1 推理与论证】【例1】（2021秋•嵊州市期中）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是．【变式1-1】（2021秋•呼和浩特月考）小强是个自理能力很强的孝顺的好孩子，他每天下午放学都要帮父母煮饭．具体操作时间如下：淘米（3分钟），煮饭（25分钟），洗菜（7分钟），切菜（4分钟），炒菜（10分钟）．如果煮饭和炒菜用不同锅和炉子，小强要把饭菜都烧好至少需要分钟．【变式1-2】（2021春•海淀区校级期中）一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”据此可判断李四是（填“老实人”或“骗子”）．【变式1-3】（2021春•海淀区校级期末）为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一（9）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（a ＞b＞c且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，小奕同学第三轮的得分为分．第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮最后得分小恩a a27小地a b c11小奕c b10【考点2 命题与定理】【例2】（2021秋•信都区校级月考）下列命题是假命题的是（）A．同位角相等，两直线平行B．对顶角相等C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D．两直线平行，同旁内角相等【变式2-1】（2021春•西城区校级期中）举例说明命题“如果ac＞bc，那么a＞b”是假命题，a＝1，b＝，c＝．【变式2-2】（2021秋•安徽期中）对于命题“若a＜b，则a2＜b2”，小明想举一个反例说明它是假命题，则下列符合要求的反例是（）A．a＝0，b＝1B．a＝﹣2，b＝﹣1C．a=13，b=12D．a＝1，b＝2【变式2-3】（2021秋•安徽期中）如图，有如下四个论断：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED．若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个作为结论，构成一个数学命题，则真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点3 平行公理与推论】【例3】（2021春•雨花区校级期末）下列说法中可能错误的是（）A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两条直线相交，有且只有一个交点D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直【变式3-1】（2021•滨州模拟）如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P、C、Q在一条直线上．理由是：．【变式3-2】（2021春•宜昌校级期中）探索与发现：（1）若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是，请说明理由．（2）若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是（直接填结论，不需要证明）（3）现在有2011条直线a1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2011的位置关系．【变式3-3】（2021春•忻州期中）已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数；请补全下列解法中的空缺部分．解：过点P作PG∥AB交AC于点G．∵AB∥CD（），∴+∠ACD＝180°（），∵PG∥AB（），∴∠BAP＝（），且PG∥（平行于同一直线的两直线也互相平行），∴∠GPC＝（两直线平行，内错角相等），∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD．∴∠BAP=12∠，∠PCD=12∠．（），∴∠BAP+∠PCD=12∠BAC+12∠ACD＝90°（），∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线．【考点4 平行线的判定与性质】【例4】（2021春•樟树市期末）如图，BE平分∠ABC交CD的延长线于E，∠ABC＝2∠E，∠ADE＝∠BCD．（1）请说明AB∥EF的理由；（2）若AF平分∠BAD交DC的延长线于F，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．【变式4-1】（2021春•覃塘区期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．（1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝°；（2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA；②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系．【变式4-2】（2021春•顺平县期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，得到下列结论：①∠2＝∠3；②如果∠3＝60°，那么AC∥DE；③如果BC∥AD，那么∠2＝45°；④如果∠CAD＝150°，那么∠4＝∠C．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式4-3】（2021春•重庆期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．（1）如图1，求证：EF∥GH；（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出∠GQH的值．∠MPN【考点5平行线的判定与性质与三角形内角和综合】【例5】（2021春•镇海区期中）如图，已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°，下列结论正确的有（）①AB∥CD；②∠ABE+∠CDF＝180°；③AC∥BD；④若∠ACD＝2∠E，则∠CAB＝2∠F．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-1】（2021•路南区二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）A．过C作EF∥BCB．延长AC到F，过C作CE∥ABC．作CD⊥AB于点DD．过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC【变式5-2】（2021春•济南期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【变式5-3】（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，延长△ABC的边AC到点E，过点E作DE∥BC，BG平分∠ABC，EF平分∠AED交BG的反向延长找于点F．已知3∠A＝4∠F，则∠A的大小为（）A．75°B．74°C．72°D．70°【考点6 三角形的外角与内角和】【例6】（2021春•临城县期末）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．（1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．对BF∥OD进行说理．【变式6-1】（2021春•铅山县校级月考）如图（1）所示，已知l1∥l2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D．点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．∠PDB＝α，∠PCA ＝β，∠CPD＝γ．（1）探究：若点P在A、B两点之间运动时，α、β、γ之间有何数量关系？请说明理由．（2）拓展：如图（2），过C点作CF∥AB，易证：∠ACD＝∠BAC+∠ABC．（不必证明）发现结论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．应用：若图（1）点P在A、B两点外侧运动时，利用图（2）中的结论再探究α、β、γ之间有何数量关系？请说明理由．【变式6-2】（2021秋•蚌埠期中）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F=1 2（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确的是．【变式6-3】（2021秋•开江县期末）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝82°，则∠BEC＝；若∠A＝a°，则∠BEC＝．【探究】（1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝a°，则∠BEC＝；（2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；（3）如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．【考点7 平行线的判定与性质的应用】【例7】（2021春•零陵区期末）某市为了美化亮化某景点，在两条笔直的景观道MN、QP上，分别放置了A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动a度，B灯每秒转动b度，且满足|a ﹣4b|+（a+b﹣5）2＝0，若这两条景观道的道路是平行的，即MN∥QP．（1）求a、b的值；（2）B灯先转动15秒，A灯才开始转动，当A灯转动5秒时，两灯的光束AM′和BP′到达如图①所示的位置，试问AM′和BP′是否平行？请说明理由；（3）在（2）的情况下，当B灯光束第一次达到BQ之前，两灯的光束是否还能互相平行，如果还能互相平行，那么此时A灯旋转的时间为秒．（不要求写出解答过程）【变式7-1】（2021秋•香坊区校级期中）如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，唯另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中，潜望镜常用于潜水艇，坑道和坦克内用以观察敌情．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，已知AB∥CD，∠1＝∠2，请问进入潜望镜光线EA和出潜望镜光线DF是否平行？并说明理由．【变式7-2】（2021春•海珠区校级期中）钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ 于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【变式7-3】（2021春•莱山区期末）我区正在打造某河流夜间景观带，计划在河两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定河两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．（1）∠BAN＝度．（2）灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN需要秒；（3）若灯B射线BD（交MN于点D）先转动30秒，灯A射线AC（交PQ于点C）才开始转动．设AC 转动时间为t秒，当AC到达AN之前时，如图2所示．①∠PBD＝度，∠MAC＝度（用含有t的代数式表示）；②求当AC转动几秒时，两灯的光束射线AC∥BD？（4）在BD到达BQ之前，是否还存在某一时刻，使两灯的光束射线AC∥BD？若存在，直接写出转动时间，若不存在，请说明理由．【考点8 平行线中的动点问题】【例8】（2021春•太和县期末）已知：△ABC和同一平面内的点D．（1）如图1，点D在BC边上，过D作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．①依题意，在图1中补全图形；②判断∠EDF与∠A的数量关系，并直接写出结论（不需证明）．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A．判断DE与BA的位置关系，并证明．（3）如图3，点D是△ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．【变式8-1】（2021春•汉阳区期中）如图：MN∥HP，直线L交MN于A，交HP于B，点C为线段AB上一定点，点D为直线HP上一动点．（1）当点D在射线BH上运动时（B点除外），∠BCD+∠BDC与∠MAB有何数量关系？猜想出结论并说明理由；（2）当点D在射线BP上运动时（B点除外），∠BCD+∠BDC与∠MAB又有何数量关系？画出图形，猜想出结论（无需说明理由）．【变式8-2】（2021春•罗湖区校级期末）如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．（1）求证：AB∥DE；（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE 三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．【变式8-3】（2021春•饶平县校级期中）已知：如图，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．（ⅰ）求∠EOC的度数；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB＝∠OCA．此时∠OCA度数等于．（在横线上填上答案即可）【考点9 外角在坐标系中的运用】【例9】（2021秋•绥阳县期中）如图所示，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点A 在y 轴上，端点B 在x 轴上，BF 平分∠ABO 并与△ABO 的外角平分线AE 所在的直线交于点F ．∠ABO ＝60°，求∠F 的大小．【变式9-1】（2021春•番禺区期末）（1）如图1，点D 在射线BC 上，求证：∠ACD ＝∠A +∠B ．（2）如图2，在直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，点F 是线段AC 上一点，满足∠FOC ＝∠FCO ，点E 是线段OA 上一动点（不与A ，O 重合），连接CE 交OF 于点H ．当点E 在线段OA 上运动的过程中，∠OHC+∠ACE ∠OEC 的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．【变式9-2】（2021春•建昌县期末）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为x轴负半轴上一点C （0，﹣2），D（﹣3，﹣2）．（1）求△BCD的面积；（2）若AC⊥BC于C，作∠CBA的平分线交CO于P，交CA于Q，求证：∠CQP＝∠CPQ（3）若点B为x轴正半轴上的动点，∠ACB的平分线CE交DA的延长线于E点，设∠ADC＝∠DAC＝α，∠ACE＝β，请你用含α、β的式子表示∠E的大小；（4）在（3）的条件下，∠E∠ABC的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．【变式9-3】（2021春•汉阳区期中）如图：在直角坐标系中，已知B （b ，0），C （0，c ），且|b +3|+（2c ﹣8）2＝0．（1）求B 、C 的坐标；（2）点A 、D 是第二象限内的点，点M 、N 分别是x 轴和y 轴负半轴上的点，∠ABM ＝∠CBO ，CD ∥AB ，MC 、NB 所在直线分别交AB 、CD 于E 、F ，若∠MEA ＝70°，∠CFB ＝30°．求∠CMB ﹣∠CNB 的值；（3）如图：AB ∥CD ，Q 是CD 上一动点，CP 平分∠DCB ，BQ 与CP 交于点P ，给出下列两个结论：①∠DQB+∠QBC ∠QPC 的值不变；②∠DQB+∠QBC ∠QPC 的值改变．其中有且只有一个是正确的，请你找出这个正确的结论并求其定值．【考点10 外角中的动点问题】【例10】（2021秋•安次区校级月考）（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为什么？（必须写推理过程）（2）如图2，如果点B向右移动到AC上，那么还能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程）（3）如图，当点B向右移动到AC的另一侧时，上面的结论还成立吗？（4）如图4，当点B、E移动到∠CAD的内部时，结论又如何？根据图3或图4，说明你计算的理由．【变式10-1】（2021秋•蓟县期中）如图，已知∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动，BE 是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C．试问∠ACB的大小是否变化？若不变，请给出证明，若随点A，B的移动发生变化，请求出变化范围．【变式10-2】（2021春•江都区期末）某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B＝90°，∠A＝30°；图②中，∠D＝90°，∠F＝45°．图③是该同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，该同学发现：F、C两点间的距离逐渐；连接FC，∠FCE 的度数逐渐．（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）△DEF在移动的过程中，∠FCE与∠CFE度数之和是否为定值，请加以说明．（3）能否将△DEF移动至某位置，使F、C的连线与AB平行？请求出∠CFE的度数．【变式10-3】（2021春•海口期末）如图1，直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B 在直线n上运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．（1）∠ACB＝；（2）如图2，若BD是△AOB的外角∠OBE的角平分线，BD与AC相交于点D，点A、B在运动的过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（3）如图3，过C作直线与AB交于F，且满足∠AGO﹣∠BCF＝45°，求证：CF∥OB。

七年级数学平行线的性质专项练习题【例1】如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且DDDD∥BBBB，∠1＝∠2．(1)求证：DDBB∥EEEE；(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．【变式1-1】已知：如图，AAEE⊥BBBB,EEDD⊥BBBB，∠BBEEAA=∠EEDDBB，∠DD=∠AABBBB+50°，∠BBBBDD= 70°．(1)求证：AABB∥BBDD；(2)求∠BB的度数．【变式1-2】如图，△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，点F在BA的延长线上，点E 在线段CD上，EF与AC相交于点G，且∠BBDDAA+∠BBEEDD=180°．(1)求证：AADD∥EEEE；(2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F与∠H相等吗？请说明理由．【变式1-3】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）如图，已知AADD⊥BBBB，EEEE⊥BBBB，∠1=∠2．(1)求证：EEEE∥AADD；(2)求证：∠BBAABB+∠AADDDD=180°．【例2】如图，∠1=∠2，∠AA=∠DD．求证：∠BB=∠BB．（请把下面证明过程补充完整）证明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（____________）∴∠2=∠3（____________）∴AAEE∥EEDD（_____________）∴∠AA=∠_____（______________）∵∠AA=∠DD（已知）∴∠DD=∠BBEEDD（等量代换）∴_____∥BBDD（__________________）∴∠BB=∠BB（____________）【变式2-1】阅读并完成下面的证明过程：已知：如图，AABB∥EEEE，∠1=∠2，BBEE、BBEE分别平分∠AABBBB和∠BBBBDD，求证：BBEE⊥BBEE．证明：∵BBEE、BBEE分别平分∠AABBBB和∠BBBBDD．∴∠AABBEE=∠EEBBBB=12∠AABBBB∠2=________=12∠BBBBDD（角平分线定义）又∵∠1=∠2，∴∠1=∠EEBBDD（）∴EEEE∥BBDD（）又∵AABB∥EEEE（已知）∴________________（）∴∠AABBBB+∠BBBBDD=180°（）∴∠AABBEE+∠2=12(∠AABBBB+∠BBBBDD)=90°，又∵AABB∥EEEE，∴∠AABBEE=∠BBEEEE（）∴∠BBEEEE+∠1=90°，∴∠BBEEBB=90°，∴BBEE⊥BBEE（）【变式2-2】完成下面证明过程并写出推理根据：已知：如图所示，∠BBAABB与∠AABBDD互补，∠1=∠2．求证：∠EE=∠EE．证明：∵∠BBAABB与∠AABBDD互补（已知），即∠BBAABB+∠AABBDD=180°，∴____________∥_____________（_____________________），∴∠BBAABB=∠AABBBB（_____________________）．又∵∠1=∠2，∴∠BBAABB-∠1=∠AABBBB-∠2（等式的性质），即∠3=∠4，∴____________∥_____________（_____________________），∴∠EE=∠EE（_____________________）．【变式2-3】推理填空：完成下面的证明过程.如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF，求证：.DE∥BC证明：∵∠1+∠2=180°（）∠2=∠3（_______________________________）∴∠1+∠3=180°∴______∥______（_____________________________）∴∠B=______（________________________________）∵∠B=∠DEF（已知）∴∠DEF=_______ （_______________________）∴DE∥BC（）【例3】如图，含有30°角的直角三角板的两个顶点EE、EE放在一个长方形的对边上，点EE为直角顶点，∠EEEEDD=30°，延长EEDD交BBDD于点BB，如果∠3=65°，那么∠2的度数是（）A．100°B．105°C．115°D．120°【变式3-1】将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠2；（3）∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-2】将一块直角三角板AABBBB∠AABBBB=30°，AA，BB两点分别落在直线mm、nn上，∠1=20°，添加下列哪一个条件可使直线mm∥nn（）A．∠2=20°B．∠2=30°C．∠2=45°D．∠2=50°【变式3-3】小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边DDEE∥BBBB，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠CFB的度数是（）A．95° B．115° C．105° D．125°【例4】如图，aa∥bb，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1=58°54′，则∠2的度数为（）A．103°6′B．104°6′C．103°54′D．104°54′【变式4-1】用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若∠1= 50°，则∠2的度数为（）A．25° B．22.5° C．20° D．15°【变式4-2】如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的是_______．【变式4-3】如图所示，将一直角三角板放在AB，CD两条平行线之间：(1)图甲中，容易求得∠1+∠2=90°，请直接写出图乙中∠1，∠2的数量关系；(2)请问图丙中∠1，∠2的数量关系是什么？并加以说明；(3)请直接写出图丁中∠1，∠2的数量关系．【例5】如图①，AB∥CD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．(1)如图②，AB∥CD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．(2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．【变式5-1】（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．(1)如图1，求证：MN∥PQ；(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AG∥CH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB 的度数．（直接写出答案）【变式5-2】（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）如图，∠1=∠2，∠DD=∠BBCCDD．(1)求证：AADD∥NNDD；(2)若∠AA+∠DDDDDD=180°，试探索：∠AANNBB，∠NNBBDD，∠1的数量关系；(3)在（2）的条件下，若∠AANNBB:∠BBNNDD=2:1，∠1=100°，∠NNBBDD=130°，求∠AA的度数．【变式5-3】（2022·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学七年级期中）如图1，AB∥CD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P．(1)若点F是线段AE上一点，且BF⊥AE，求∠P的度数；(2)若点F是直线AE上一动点(点F与点A不重合)，请写出∠P与∠AFB之间的数量关系并证明．【例6】实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．(1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝°，∠3＝°．(2)请你猜想：当射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行时，两平面镜a、b间的夹角∠3的大小是否为定值？若是定值，请求出∠3，若不是定值，请说明理由．(3)如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90），进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系，并说明理由．【变式6-1】如图，直线AB∥CD，点M，N分别在直线AABB,BBDD上，H为直线BBDD下方一点．(1)如图1，CCDD和NNDD相交于点H，求证：∠CCDDNN=∠AACCDD−∠BBNNDD．（温馨提示：可过点H作AABB的平行线）(2)延长DDNN至点G，∠BBCCDD的平分线CCEE和∠DDNNDD的平分线NNEE相交于点E，DDCC与BBDD相交于点F．①如图2，若∠BBCCEE=50°,∠EENNDD=30°，求∠CCDDNN的度数；②如图2，当点F在点N左侧时，若∠BBCCEE的度数为xx°，∠EENNDD的度数为yy°，且xx+yy的值是一个定值，请问∠CCDDNN的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，求出∠CCDDNN的度数；若变化，请说明理由．③如图3，当点N在点F左侧时，②中其他条件不变，请问∠CCDDNN的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，直接写出．．．．∠CCDDNN的度数；若变化，请说明理由．【变式6-2】如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM⊥BC于点B，AE 平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°．(1)求证：AE⊥ED；(2)求证：DE平分∠ADC；(3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．【变式6-3】直线CCNN与直线AABB、BBDD分别相交于点EE、EE，∠CCEEBB与∠BBEECC互补(1)如图1，试判断直线AABB与直线BBDD的位置关系，并说明理由．(2)如图2，∠BBEEEE与∠EEEEDD的平分线交于点BB，EEBB的延长线与BBDD交于点DD，DD是CCNN上一点，且DDDD⊥EEDD，求证：PF∥GH．(3)如图3，在（2）的条件下，连接BBDD，KK是DDDD上一点，使∠BBDDKK=∠DDBBKK，作BBPP平分∠EEBBKK，求证：∠DDBBPP的大小是定值．【例7】如图，已知AABB//BBDD，若按图中规律继续划分下去，则∠1+∠2+⋯+∠nn等于（）A．nn•1800B．2nn•1800C．(nn−1)•1800D．(nn−1)2•1800【变式7-1】如图，已知直线AAEE，BBEE被直线AABB所截，且AAEE//BBEE，AABB1，BBBB1分别平分∠EEAABB，∠EEBBAA；AABB2，BBBB2分别平分∠BBAABB1和∠AABBBB1；AABB3，BBBB3分别平分∠BBAABB2，∠AABBBB2…依次规律，得点BB nn，则∠BB nn的度数为（）A．90−902nn B．180−902nn−1C．902nn−1D．1802nn【变式7-2】如图（1）（2）（3）中，都满足AB∥CD．试求：（1）图（1）中∠A＋∠C的度数，并说明理由．（2）图（2）中∠A＋∠APC＋∠C的度数，并说明理由．（3）图（3）中∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C的度数，并简要说明理由．（4）按上述规律，∠A＋……＋∠C（共有n个角相加）的和为【变式7-3】阅读并探究下列问题.（1）如图①，将长方形纸片剪两刀，其中AABB∥BBDD，则∠2与∠1、∠3有何关系？请进行证明.（2）如图②，将长方形纸片剪四刀，其中AABB∥BBDD，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系为 .（3）如图③，将长方形纸片剪2016刀，其中AABB∥BBDD，则共剪出个角.若将剪出的角（∠A、∠C除外）分别用∠E1、∠E2、∠E3…表示，则被剪出的这些角的关系为 .（4）如图④，直线AABB∥BBDD，∠EF=∠HMN=x°，∠FGH=3x°，∠CNP=y°|2xx+yy−102|+�xx+yy−72=0由上述结论求∠GHM的度数.【例8】综合与实践：折纸中的数学知识背景我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．知识初探(1)如图1，长方形纸条ABGH中，AABB∥DDDD,AADD∥BBDD，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝90°，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝70°，则∠CDE＝；类比再探(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由．【变式8-1】如图，已知四边形纸片AABBBBDD，∠BB=∠DD=90°，点EE在AADD边上，把纸片按图中所示的方式折叠，使点DD落在BBBB边上的点EE处，折痕为BBEE．（1）试判定AABB与EEEE的位置关系，并说明理由；（2）如果∠AA=100°，求∠DDEEBB的度数．【变式8-2】学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图1所示的纸片，其中AADD//BBBB，先按如图2所示的方法折叠，折痕为CCNN；（CCBB′与AADD相交于点BB）然后按如图3的方法折叠，折痕为BBPP（AA′BB与BB′CC落在一条直线上）．（1）在图2的折叠过程中，若∠1=130°，求∠2的度数（2）如图3，小明认为在折叠过程中，产生的折痕CCNN与BBPP平行，请把小明的思考步骤补充完整．由折叠可知，∠BB′CCNN=∠BBCCNN=12∠BBCCBB′；∠AA′BBPP=∠AABBPP=12∠AABBAA′；∵AABB//BBBB∴∠AABBAA′=∠BBCCBB′；（①）∴② ＝③ （等量代换）∴BBPP//CCNN．（内错角相等，两直线平行）【变式8-3】（2022·广东佛山·七年级期末）某公司技术人员用“沿直线AB折叠检验塑胶带两条边缘线a、b是否互相平行”．（1）如图1，测得∠1=∠2，可判定a∥b吗？请说明理由；（2）如图2，测得∠1=∠2，且∠3=∠4，可判定a∥b吗？请说明理由；（3）如图3，若要使a∥b，则∠1与∠2应该满足什么关系式？请说明理由．【例9】一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，在与原方向相反的方向上平行行驶，则这两次拐弯的角度应为（）A．第一次向右拐38°，第二次向左拐142°B．第一次向左拐38°，第二次向右拐38°C．第一次向左拐38°，第二次向左拐142°D．第一次向右拐38°，第二次向右拐40°【变式9-1】一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（）A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°【变式9-2】如图，防城港市的一条公路修到海边时，需要拐弯绕海而过，如果第一次拐角是∠AA=130°，第二次拐的角是∠BB=160°，第三次拐的角是∠BB，这时的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，则∠BB度数为______．【变式9-3】如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠AA=110°，第二次拐的角∠B=145°，则第三次拐的角∠BB=__________时，道路BBEE才能恰好与AADD平行．【例10】结合“爱市西，爱生活，会创新”的主题，某同学设计了一款“地面霓虹探测灯”，增加美观的同时也为行人的夜间行路带去了方便．他的构想如下：在平面内，如图1所示，灯AA射线从AACC开始顺时针旋转至AANN便立即回转，灯BB射线从BBBB开始顺时针旋转至BBPP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯AA转动的速度是每秒2度，灯BB转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即BBPP//CCNN∠BBAACC:∠BBAANN=2:1．（1）填空：∠AABBBB=______°；（2）若灯BB射线先转动60秒，灯AA射线才开始转动，在灯BB射线到达BBPP之前，AA灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯AA射线到达AANN之前，若射出的光束交于点BB，过BB作∠AABBDD 交BBPP于点DD，且∠AABBDD=120°，则在转动过程中，请探究∠BBAABB与∠BBBBDD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【变式10-1】（1）如图1，将一副直角三角板按照如图方式放置，其中点C、D、A、F在同一条直线上，两条直角边所在的直线分别为CCNN、BBPP，∠BBAABB=30°，∠DDEEEE=45°．AABB与DDEE相交于点O，则∠BBBBEE的度数是__________；（2）将图1中的三角板AABBBB和三角板DDEEEE分别绕点B、F按各自的方向旋转至如图2所示位置，其中BBAA平分∠CCBBBB，求∠BBEEAA的度数；（3）将如图1位置的三角板AABBBB绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒10°，在此过程中，经过_________秒边AABB与边DDEE互相平行．【变式10-2】嘉嘉和琪琪在用一副三角尺研究数学问题：一副三角尺分别有一个角为直角，其余角度如图1所示，AB=DE，经研究发现（1）如图2，当AB与DE重合时，∠CDF=°；（2）如图3，将图2中△ABC绕B点顺时针旋转一定度使得∠CEF=156°，则∠AED=°；拓展（3）如图4，继续旋转使得AC垂直DE于点G，此时AC与EF位置关系，此时∠AED=°；探究（4）如图5，图6∥DF图5中此时∠AED=°，图6中此时∠AED=°．【变式10-3】如图1，PQ∥MN，点A，B分别在MN，QP上，∠BAM=2∠BAN，射线AM绕A点顺时针旋转至AN便立即逆时针回转，射线BP绕B点顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转．射线AM转动的速度是每秒2度，射线BP转动的速度是每秒1度．（1）直接写出∠PPBBAA的大小为_______；（2）射线AM、BP转动后对应的射线分别为AE、BF，射线BF交直线MN于点F，若射线BP比射线AM先转动30秒，设射线AM转动的时间为t（0＜t＜180）秒，求t为多少时，直线BF∥直线AE？（3）如图2，若射线BP、AM同时转动m（0＜m＜90）秒，转动的两条射线交于点C，作∠ACD=120°，点D在BP上，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系．。

第七章 不等式、推理与证明 学案33 不等式的概念与性质导学目标： 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.理解不等式的性质，会应用不等式的性质解决与范围有关的问题．自主梳理 1．不等关系不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在．不等关系可分为常量与________间的不等关系(如3>0)，变量与________间的不等关系(如x>5)，函数与________之间的不等关系(如x 2＋1≥2x)等．2．不等式用________(如“<”“>”“≤”“≥”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式，其中用“<”或“>”连接的不等式叫做严格不等式；用“≤”“≥”连接的不等式叫做非严格不等式．不等式可分为绝对不等式(不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都能成立)、条件不等式(只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立)、矛盾不等式(不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立)．3．两个实数大小的比较(1)作差法：设a ，b ∈R ，则a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，这是比较两个实数大小和运用比较法的依据．(2)作商法：依据：设a >0，b >0，则a >b ⇔__________，a <b ⇔a b<1.4．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔________；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒________； (3)加法性质：a >b ⇔________； 推论：a >b ，c >d ⇒________；(4)乘法性质：a >b ，c >0⇒________； 推论：a >b >0，c >d >0⇒________；(5)乘方性质：a >b >0⇒________________________； (6)开方性质：a >b >0⇒________________________； (7)倒数性质：a >b ，ab >0⇒________________. 自我检测 1．(2011·大纲全国)下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 32．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则( )A ．a 2>b 2 B.ba<1C ．lg(a －b )>0 D.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b3．(2011·青岛模拟)设a >0，b >0，则以下不等式中不一定成立的是( )A ．a b ＋b a≥2B ．ln(ab ＋1)>0C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2bD ．a 3＋b 3≥2ab 2 4．(2011·上海)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 5．(2010·安徽)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.探究点一 数与式的大小比较例1 (1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小；(2)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较c n 与a n ＋b n 的大小．变式迁移1 已知a >2，b >2，试比较a ＋b 与ab 的大小．探究点二 不等式性质的简单应用例2 下面的推理过程⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒ac >bc c >d ⇒bc >bd ⇒ac >bd ⇒a d >bc ，其中错误之处的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3变式迁移2 (2011·许昌月考)若a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A.1a >1b B.1a －b >1a C ．|a |>|b | D ．a 2>b 2 探究点三 求字母或代数式范围问题例3 (1)已知12<a <60,15<b <36，求a －b 及ab的取值范围．(2)设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1) ≤4，求f (－2)的取值范围．变式迁移3 (1)已知－π2≤α≤π2，0≤β≤π，则2α－β2的范围为________．(2)(2010·辽宁)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围为________．(答案用区间表示)1．数或式的大小比较常见的思路：一是采用作差(或作商)比较法；二是直接应用不等式的性质或基本不等式；三是利用函数的单调性．在不等关系的判断及数或式的大小比较过程中等价转化是关键．2．由M 1<f 1(a ，b )<N 1和M 2<f 2(a ，b )<N 2，求g (a ，b )的取值范围，固然要将已知两个不等式相加，但不等式相加的次数应尽可能少，以免将取值范围扩大．这时可以用所谓的“线性相关值”，令g (a ，b )＝pf 1(a ，b )＋qf 2(a ，b )，用恒等关系求出待定系数p ，q ，于是一次相加，便可求到所需要的范围．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·开封调研)已知a 、b 、c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>02．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( )A ．b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1a D.2a ＋b a ＋2b >a b3．(2011·金华模拟)已知a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．lg a >lg b B ．a 2>b 2 C.1a <1bD ．2a >2b 4．(2011·舟山七校联考)若a <b <0，则下列结论中正确的是( ) A.1a >1b 和1|a |>1|b |均不能成立 B.1a －b >1b 和1|a |>1|b |均不能成立 C ．不等式1a －b >1a 和⎝⎛⎭⎫a ＋1b 2>⎝⎛⎭⎫b ＋1a 2均不能成立D ．不等式1|a |>1|b |和⎝⎛⎭⎫a ＋1b 2<⎝⎛⎭⎫b ＋1a 2均不能成立 5．已知三个不等式：ab >0，bc －ad >0，c a －db>0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题(每小题4分，共12分)6．若x >y >1，且0<a <1，则①a x <a y ；②log a x >log a y ；③x －a >y －a ；④log x a <log y a . 其中不成立的个数是________．7．(2011·东莞月考)当a >0>b ，c <d <0时，给出以下三个结论：①ad <bc ；②a ＋c 2>b ＋d 2；③b －c >d －c .其中正确命题的序号是________．8．已知－π2≤α<β≤π2，则α＋β2的取值范围是________；α－β2的取值范围是______________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·阳江月考)已知a ＋b >0，试比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b.10．(12分)比较a a b b 与a b b a (a ，b 为不相等的正数)的大小．11．(14分)已知a >0，a 2－2ab ＋c 2＝0，bc >a 2.试比较a ，b ，c 的大小．学案33 不等式的概念与性质自主梳理1．常量 常量 函数 2.不等号 3.(2)ab >1 4.(1)b<a (2)a>c (3)a ＋c>b ＋c a ＋c>b＋d (4)ac>bc ac>bd (5)a n >b n (n ∈N 且n ≥2) (6)n a >nb (n ∈N 且n ≥2)(7)1a <1b 自我检测1．A 2.D 3.D 4.D5．①③⑤ 课堂活动区例1 解题导引 比较大小有两种基本方法：(1)作差法步骤：作差——变形——判断差的符号．作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小．(2)两种方法的关键是变形．常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的．解 (1)方法一 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )， ∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0. ∴－2xy (x －y )>0.∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )． 方法二 ∵x <y <0， ∴x －y <0，x 2>y 2，x ＋y <0.∴(x 2＋y 2)(x －y )<0，(x 2－y 2)(x ＋y )<0. ∴0<(x 2＋y 2)(x －y )(x 2－y 2)(x ＋y )＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy <1.∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )． (2)∵a ，b ，c ∈{正实数}，∴a n ，b n ，c n >0. 而a n ＋b n cn ＝⎝⎛⎭⎫a c n ＋⎝⎛⎭⎫b c n .∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝1，∴0<a c <1,0<b c <1.∵n ∈N ，n >2，∴⎝⎛⎭⎫a c n <⎝⎛⎭⎫a c 2，⎝⎛⎭⎫b c n <⎝⎛⎭⎫b c 2.∴a n ＋b n c n ＝⎝⎛⎭⎫a c n＋⎝⎛⎭⎫b c n <a 2＋b 2c2＝1.∴a n ＋b n <c n .变式迁移1 解 方法一 (作差法) ab －(a ＋b )＝(a －1)(b －1)－1， ∵a >2，b >2，∴a －1>1，b －1>1. ∴(a －1)(b －1)－1>0. ∴ab －(a ＋b )>0. ∴ab >a ＋b .方法二 (作商法)∵a ＋b ab ＝1b ＋1a ，且a >2，b >2，∴1a <12，1b <12.∴1b ＋1a <12＋12＝1. ∴a ＋b ab<1.又∵ab >4>0，∴a ＋b <ab .例2 D [由a >b ⇒ac >bc ，c >d ⇒bc >bd 都是对不等式两边同乘一实数，只有当该实数为正数时，不等号才不改变方向，故这两步都错误；由于不等式具有传递性，所以得出ac >bd是正确的，由ac >bd ⇒a d >bc 是对不等式ac >bd 两边同除cd ，由于不知cd 的正、负，故这一步也是错误的．]变式迁移2 B [∵a <b <0，∴ab >0.取倒数，则有1a >1b，选项A 正确．∵a <b <0，∴|a |>|b |和a 2>b 2两个不等式均成立，选项C 、D 正确．对于B ，1a －b －1a ＝ba (a －b )，又∵a <b <0，∴a －b <0.∴ba (a －b )<0，即1a －b <1a.∴选项B 不成立．] 例3 解题导引 第(2)题中，由于f (x )＝ax 2＋bx ，所以f (－2)、f (－1)和f (1)都是关于a ，b 的代数式，由于已知f (－1)、f (1)的范围，因此利用待定系数法表示出f (－2)，通过等式两边a 、b 系数相等求出待定系数，然后通过f (－1)、f (1)的范围求出f (－2)的范围．本题也可用线性规划求解，即已知条件可化为⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，求的是z ＝4a －2b 的范围．解 (1)∵15<b <36，∴－36<－b <－15. ∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45.又136<1b <115，∴1236<a b <6015. ∴13<a b<4. (2)方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －bf (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10.方法二 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)， ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10，∴f (－2)的取值范围是[5,10]．变式迁移3 (1)[－3π2，π] (2)(3,8)解析 (1)由－π2≤α≤π2⇒－π≤2α≤π， 由0≤β≤π⇒－π2≤－β2≤0，两不等式相加得：－3π2≤2α－β2≤π.所以2α－β2的范围为⎣⎡⎦⎤－3π2，π. (2)设2x －3y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，对应系数相等，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2λ－μ＝－3⇒⎩⎨⎧λ＝－12，μ＝52，从而2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )∈(3,8)．课后练习区1．A [由c <b <a ，且ac <0，知a >0，c <0，但b 的符号不确定，b 可能为0，故C 错误． 由b >c ⇒ab >ac ，b 可能为0，故A 正确．⎭⎪⎬⎪⎫b <a ⇒b －a <0又c <0⇒c (b －a )>0，故B 错误．⎭⎪⎬⎪⎫a >c ⇒a －c >0又ac <0⇒ac (a －c )<0，故D 错误．]2．C [∵a >b >0，∴ab >0，∴1b >1a.∴a ＋1b >b ＋1a.故选C.]3．D [只有指数函数y ＝2x 在R 上为增函数，所以D 正确．而A 、C 显然不是对于一切实数都成立的，B 的等价条件是|a |>|b |，显然也错误．]4．D [∵a <b <0，∴a －b <0.1a －b －1b ＝2b －a (a －b )b ，2b －a 的正负不确定，即1a －b >1b有可能成立；又∵a <b <0，∴|a |>|b |>0，则有1|a |<1|b |，即1|a |>1|b |不成立．]5．D [①由ab >0，bc －ad >0，即bc >ad ，得c a >d b ，即c a －db>0； ②由ab >0，c a －d b >0，即c a >db，得bc >ad ，即bc －ad >0；③由bc －ad >0，c a －db >0，即bc －adab>0，得ab >0； 故可组成3个正确的命题．] 6．3解析 ∵x >y >1,0<a <1，∴a x <a y ，log a x <log a y ， 故①成立，②不成立．∵x a >y a >0，∴x －a <y －a ，③不成立．又log a x <log a y <0，∴1log a x >1log a y .即log x a >log y a ，∴④也不成立． 7．①②解析 ∵ad <0，bc >0，∴ad <bc ，故①正确； 又∵c <d <0，∴c 2>d 2>0.由已知a >b ，同向不等式相加得a ＋c 2>b ＋d 2，故②正确； 对于结论③，d －c >0，b －c 的正、负不确定，故③不正确．8.⎝⎛⎭⎫－π2，π2 ⎣⎡⎭⎫－π2，0 解析 ∵－π2≤α<π2，－π2<β≤π2，∴－π<α＋β<π，∴－π2<α＋β2<π2.∵－π2≤－β<π2，∴－π≤α－β<π，∴－π2≤α－β2<π2.又∵α－β<0，∴－π2≤α－β2<0.9．解 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －aa2＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.(6分) ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b.(12分) 10．解 a a b ba b ba ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ，(4分) 当a >b >0时，ab>1，a －b >0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1；(8分)当0<a <b 时，ab<1，a －b <0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1.(11分)综上所述，当a ，b 为不相等的正数时，总有a a b b >a b b a . (12分)11．解 ∵bc >a 2>0，∴b ，c 同号．(2分) 又a 2＋c 2>0，a >0，∴b ＝a 2＋c 22a>0. ∴c >0.(4分)由(a －c )2＝2ab －2ac ＝2a (b －c )≥0， ∴b －c ≥0.(6分) 当b －c >0，即b >c 时， 由⎭⎪⎬⎪⎫b ＝a 2＋c 22a bc >a 2⇒a 2＋c 22a ·c >a 2⇒(a －c )(2a 2＋ac ＋c 2)<0.∵a >0，b >0，c >0，∴2a 2＋ac ＋c 2>0. ∴a －c <0，即a <c ，则a <c <b .(10分) 当b －c ＝0，即b ＝c 时， ∵bc >a 2，∴b 2>a 2，即b ≠a .又∵a 2－2ab ＋c 2＝(a －b )2＝0⇒a ＝b 与a ≠b 矛盾， ∴b －c ≠0.综上，可知a <c <b .(14分)。