上海市2019年高考数学压轴卷

历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分)已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34a =-时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na =+*,ab ∈N ，求223a b -的值.四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。

(1)设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；(2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；(3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．已知函数l (n )f x x =.（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln2f x f x +>-； （Ⅱ）若34ln2a <-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018年高考数学江苏卷：(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围；(Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N ,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).七、2017年高考数学上海卷：（本小题满分18分）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ≤. （1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，g()x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g()x 的最大值.函数()()()h x f x g x =.证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.八、2017年高考数学浙江卷：(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈. 证明：当*N n ∈时， (I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤； (III )1-21122n n n x -≤≤.高考压轴题答案一、2019年上海卷： 解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．当120,3a d π==，集合22S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭． （2）12a π=，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．∴④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，S =⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．二、2019年浙江卷：解：（1）当34a =-时，()3ln 4f x x =-()0,∞+，且：()3'4f x x =-==， 因此函数()f x 的单调递增区间是12ω=,单调递减区间是()0,3.（2）由1(1)2f a ≤，得04a ＜当0a ＜()f x 2ln 0x -≥，令1t a=，则t ≥设()22ln g t t x =，t ≥则2()2ln g t t x=-，（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()(22)2ln g x g x =，记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p x x '===∴p(x)≥p(1)=0，∴g(t)≥g(2√2)=2p(x)≥0（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q x'=+>，故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()f x ≤综上所述，所求的a 的取值范围是⎛ ⎝⎦．三、2019年江苏卷：解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．四、2018年上海卷：解：（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+， 则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈， 可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列， 可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =， 可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，， M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（）， ①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈，可得11101n n b b n n +-=->+， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意； ④若2d-，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+，11111n n n a b a +++-+， 可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．五、2018年浙江卷：解：（Ⅰ）函数()f x的导函数1()f x x'=-， 由12()()f x f x ''=1211x x -=-， 因为12x x ≠12+=．= 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x ++=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=，所以()g x 在[256,)+∞上单调递增， 故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-． （Ⅱ）令()e a k m -+=，211a n k ⎛+⎫=+ ⎪⎝⎭，则 ()?0f m km a a k k a -->+-≥，(0)f n kn a a n k n ⎫----<⎪⎭<， 所以，存在0(,)x m n ∈）使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点． 由()f x kx a =+得k =．设()h x =，则22ln 1()12()x a g x a h x x x +--+'==，其中()ln g x x =-． 由（Ⅰ）可知()(16)g x g ≥，又34ln2a -≤，故–11613420g x a g a ln a -+-+=-++（）≤（）-≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在（0，+∞）上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018江苏卷：解：（Ⅰ）由题意得||1n n a b -≤对任意1,2,3,4n =均成立 故当10a =，121q b ==时可得|01|1|2|1|24|1|38|1d d d -⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≤≤≤≤即1335227532d d d ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤所以7532d ≤≤（Ⅱ）因为110a b =>，1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…均能成立把n a ，n b 代入可得1111|(1)|(2,3,1n b n d b q b n m -+--=+≤…,) 化简后可得11111112(22)(222)0(2,3,1)111n n n m b q b b b q n n n m n n n ----=-+=-+=+---≤…, 因为q ∈，所以122n m -≤，22(2,3,1)n n m -=+≤…,而110(2,3,,11nb q n m n->=+-…） 所以存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立 当1m =时，112)b d ≤当2m ≥时，设111n n b q c n -=-，则111111(1)(2,3,)1(1)n n n n n b q b q q n q c c b q n m nn n n --+---=-==--… 设()(1)f n q n q =--，因为10q ->，所以()f n 单调递增，又因为q ∈所以11()(1)(1)2(1)2111m m m f m q m q m m m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫=----=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭≤ 设111,0,2x x x m m ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，且设1()21x g x x =+-，那么'21()2ln 2(1)x g x x =-- 因为2ln 22ln 2x ≤，214(1)x -≥所以'21(x)2ln 20(1)x g x =-<-在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即()f x 单调递增。

（全国卷Ⅱ）2019年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}06M x x =≤≤， {}232x N x =≤，则M N ⋃=（ ） A. (],6-∞ B. (],5-∞ C. []0,6 D. []0,53.已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ）A.65 B.611 C. 35 D. 310 5.若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x n+=的离心率是（ ）A ．32 B ．5 C ．32或52 D ．32或5 【答案】D6． 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A ．4B ．642+C ．442+D ．27.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 1sin 2B C =，()2213cos2a b B BA BC-=⋅u u u v u u u v，则角C=（）A.6πB.3πC.2πD.3π或2π8. 如图为函数()y f x=的图象，则该函数可能为()A．sin xyx=B．cos xyx=C．sin||xyx=D．|sin|xyx=9．执行如图所示程序框图，若输出的S值为20-，在条件框内应填写（）A．3?i>B．4?i<C．4?i>D．5?i< 10．已知抛物线()220y px p=>的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点P在抛物线上，点P到准线l的距离为d，点O关于准线l的对称点为点B，BP交y轴于点M，若BP a BM=，23OM d=，则实数a的值是（）A.34B.12C.23D.3211．已知不等式组2024x yx yyx y m-≥+≤≥⎧⎪+⎨≤⎪⎪⎪⎩表示的平面区域为M，若m是整数，且平面区域M内的整点(),x y恰有3个（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则m的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 412．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()32123f x x ax bx =+++， ()()24f x f x +='-'，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（ ）A. [)64ln3,++∞B. [)5ln5,++∞C. [)66ln6,++∞D. [)4ln2,++∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为_______．14．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，则点P 横坐标的取值范围为 ． 15．已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为94的球O 中（且球心O 在该棱锥内部），底面ABCD 的边长为2，则点A 到平面PBC 的距离是__________．16．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上存在一点P 满足以OP 为边长的正三角形的内切圆的面积等于236c π（其中O 为坐标原点， c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小满分题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1110,910n n a a S +==+. （1）求证：{lg }n a 是等差数列； （2）设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21(5)4n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值.18.（本小题满分12分）进入11月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加自主招生考试，若已知6名同学中有4名理科生，2名文科生，试求这2人中含文科生的概率．19.（本题满分12分）如图，在三棱锥P ADE -中， 4AD =， 22AP =， AP ⊥底面ADE ，以AD 为直径的圆经过点E .（1）求证： DE ⊥平面PAE ；（2）若60DAE ∠=︒，过直线AD 作三棱锥P ADE -的截面ADF 交PE 于点F ，且45FAE ∠=︒，求截面ADF 分三棱锥P ADE -所成的两部分的体积之比.20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，且椭圆C 过点P (3，2)． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）与直线OP 平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为2-．（1）求a 的值及函数()f x 的单调区间；（2）设()231g x x x =-+，证明：当0x >时，()()f x g x >恒成立． 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+=+⎧⎨⎩（ϕ为参数），过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．（1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求OA OB +的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】设复数i z a b =+，(),a b ∈R ，则i z a b =-，因为11i 12z z -=+，所以()()211i z z -=-，所以2(1)2i a b --()1i a b =+-，所以可得2221a bb a -=-⎧⎨-=+⎩，解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以54i 33z =-，所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫-⎪⎝⎭在第四象限上．故选D ．2【答案】A【解析】 因为{}06M x x =≤≤， {}232{|5}x N x x x =≤=≤， 所以{|6}M N x x ⋃=≤，故选A. 3.【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒．4.【答案】C【解析】分析：根据已知条件，设等差数列的公差为，将已知条件转化为等式，求出等差数列的首项和公差，再得出答案。

2019年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝．3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝．7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝．9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A 在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝．10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1 B．2 C．4 D．815．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD ＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（18分）数列{a n}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．2019年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝（2，3）．【分析】根据交集的概念可得．【解答】解：根据交集的概念可得A∩B＝（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝5﹣i．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．故答案为：5﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．【分析】直接利用向量的夹角公式的应用求出结果．【解答】解：向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则，，所以：cos＝，故：与的夹角为．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为40 ．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含x2项的系数值．【解答】解：二项式（2x﹣1）5的展开式的通项公式为T r+1＝C5r•25﹣r•x5﹣r，令5﹣r＝2，求得r＝3，可得展开式中含x2项的系数值为C53•22＝40，故答案为：40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为﹣6 ．【分析】画出不等式组表示的平面区域，由目标函数的几何意义，结合平移直线，可得所求最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x﹣3y即y＝，表示直线在y轴上的截距的相反数的倍，平移直线2x﹣3y＝0，当经过点（0，2）时，z＝2x﹣3y取得最小值﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划的运用，考查平移法求最值的方法，数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝﹣1 ．【分析】由题意知函数f（x）周期为1，所以化简f（）再代入即可．【解答】解：因为函数f（x）周期为1，所以f（）＝f（），因为当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，所以f（）＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的周期性，属于简单题．7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．【分析】根据基本不等式可得．【解答】解：3＝+2y≥2，∴≤（）2＝；故答案为：【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝．【分析】由已知数列递推式可得数列{a n}是等比数列，且，再由等比数列的前n项和公式求解．【解答】解：由S n+a n＝2，①得2a1＝2，即a1＝1，且S n﹣1+a n﹣1＝2（n≥2），②①﹣②得：（n≥2）．∴数列{a n}是等比数列，且．∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A 在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝ 3 ．【分析】直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标，进一步利用向量的运算求出结果．【解答】解：过y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与y2＝4x交于A，B，A在B 上方，依题意：得到：A（1，2）B（1，﹣2），设点M（x，y），所以：M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则：（x，y）＝λ（1，2）+（λ﹣2）（1，﹣2）＝（2λ﹣2，4），代入y2＝4x，得到：λ＝3．故答案为：3【点评】本题考查的知识要点：直线和抛物线的位置关系的应用，向量的坐标运算的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．【分析】分别运用直接法和排除法，结合古典概率的公式，以及计数的基本原理：分类和分步，计算可得所求值．【解答】解：方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中恰有两位数字相同的个数为C C＝270，则其中恰有两位数字相同的概率是＝；方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10＝730，可得其中恰有两位数字相同的概率是1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查古典型概率的求法，注意运用直接法和排除法，考查排列组合数的求法，以及运算能力，属于基础题．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．【分析】法一：根据两点之间的距离和极限即可求出，法二：根据向量法，当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，即可求出．【解答】解：法一：由﹣＝1，可得a n＝，∴P n（n，），∴P n+1（n+1，），∴|P n P n+1|＝＝∴求解极限可得|P n P n+1|＝，方法二：当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，故P n P n+1＝＝故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的简单性质和点与点的距离公式，极限的思想，向量的投影，属于中档题．12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝．【分析】本题根据题意对函数f（x）分析之后可画出f（x）大致图象，然后结合图象可不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，联立直线与曲线的方程可得P点坐标，同理可得Q点坐标．再分别算出|AP|、|AQ|，再根据|AP|＝|AQ|及k的任意性可解得a的值．【解答】解：由题意，可知：令f（x）＝|﹣a|＝0，解得：x＝+1，∴点A的坐标为：（+1，0）．则f（x）＝．∴f（x）大致图象如下：由题意，很明显P、Q两点分别在两个分段曲线上，不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，则l AP：y＝k（x﹣﹣1）．联立方程：，整理，得：kx2+[a﹣k（+2）]x+k（+1）﹣a﹣2＝0．∴x P+x A＝﹣＝+2﹣．∵x A＝+1，∴x P＝+2﹣﹣x A＝1﹣．再将x P＝1﹣代入第一个方程，可得：y P＝﹣a﹣．∴点P的坐标为：（1﹣，﹣a﹣）．∴|AP|＝＝＝．∵AP⊥AQ，∴直线AQ的斜率为﹣，则l AQ：y＝﹣（x﹣﹣1）．同理类似求点P的坐标的过程，可得：点Q的坐标为：（1﹣ak，a+）．∴|AQ|＝＝＝∵|AP|＝|AQ|，及k的任意性，可知：＝a2，解得：a＝．故答案为：．【点评】本题主要考查对函数分析能力，根据平移对称画出符合函数的图象，采用数形结合法分析问题，以及用平面解析几何的方法进行计算，以及设而不求法的应用．本题是一道较难的中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量．【解答】解：依题意，（2，﹣1）为直线的一个法向量，∴方向向量为（1，2），故选：D．【点评】本题考查了直线的方向向量，空间直线的向量，属基础题．14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】直接利用圆锥的体积公式求得两个圆锥的体积，作比得答案．【解答】解：如图，则，，∴两个圆锥的体积之比为．故选：B．【点评】本题考查圆锥的定义，考查圆锥体积的求法，是基础题．15．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．【解答】解：由于函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，f（x+a）为偶函数，则：f（x+a）＝（x+a﹣6）2•sin[ω（x+a）]，由于函数为偶函数，故：a＝6，所以：，当k＝1时．ω＝故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对【分析】考虑运用二次方程的实根的分布，结合导数判断单调性可判断①；运用特殊值法，令tanα＝﹣，结合两角和的正切公式，计算可得所求结论，可判断②．【解答】解：由tanα•tanβ＝tan（α+β），即为tanα•tanβ＝，设m＝tanα，n＝tanβ，可得n2m2+n（1﹣m）+m＝0，若m＞0，可得上式关于n的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得n＞0，即有m＞1，考虑△＝f（m）＝（1﹣m）2﹣4m3，f′（m）＝2m﹣2﹣8m2＝﹣8（m﹣）2﹣，当m＞1时，f（m）递减，可得f（m）＜f（1）＝﹣4＜0，则方程无解，β在第三象限不可能，故①错；可令tanα＝﹣，由tanα•tanβ＝tan（α+β），即为tanα•tanβ＝，可得﹣tanβ＝，解得tanβ＝﹣6±，存在β在第四象限，故②对．故选：D．【点评】本题考查三角函数的正切公式，以及方程思想、运算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD ＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．【分析】（1）由题意可得A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，判断△A1CA为等腰三角形，即可求出，（2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点A到平面A1MC的距离d＝，求出法向量即可求出．【解答】解：（1）依题意：AA1⊥平面ABCD，连接AC，则A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，∵AA1＝5，AC＝＝5，∴△A1CA为等腰三角形，∴∠A1CA＝，∴直线A1C和平面ABCD的夹角为，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A（0，0，0），C（3，0，0），A1（0，0，5），M（3，0，2），∴＝（3，4，0），＝（3，4，﹣5），＝（0，4．﹣2），设平面A1MC的法向量＝（x，y，z），由，可得＝（2，1，2），∴点A到平面A1MC的距离d＝＝＝．【点评】本题考查了线面角的求法和点到平面的距离，考查了运算求解能力和转化与化归能力，空间想象能力，属于中档题．18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，解分式不等式即可．（2）利用分离参数法和函数的值域的应用求出参数的范围．【解答】解：（1）f（x）＝ax+（a∈R）．当a＝1时，f（x）＝x+．所以：f（x）+1＜f（x+1）转换为：x++1，即：，解得：﹣2＜x＜﹣1．故：{x|﹣2＜x＜﹣1}．（2）函数f（x）＝ax+在x∈[1，2]时，f（x）有零点，即函数在该区间上有解，即：，即求函数g（x）在x∈[1，2]上的值域，由于：x（x+1）在x∈[1，2]上单调，故：x（x+1）∈[2，6]，所以：，故：【点评】本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用，分离参数法的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）【分析】（1）由题意可求BC，及弧BC所在的圆的半径R，然后根据弧长公式可求；（2）根据正弦定理可得，，可求sin A，进而可求A，进而可求∠ABD，根据三角函数即可求解．【解答】解：（1）由题意可得，BC＝BD sin22°，弧BC所在的圆的半径R＝BC sin＝，弧BC的长度为＝＝＝16.310km；（2）根据正弦定理可得，，∴sin A＝＝0.831，A＝56.2°，∴∠ABD＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°，∴DH＝BD×sin∠ABD＝35.750km＜CD＝36.346km∴D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离为35.750km【点评】本题主要考查了利用三角函数，正弦定理求解三角形，还考查了基本运算．20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得A，B的坐标，则|AB|可求；（2）设A（x1，y1），由∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），利用数量积为0求得x1与y1的方程，再由A在椭圆上，得x1与y1的另一方程，联立即可求得A的坐标．得到直线AB 的方程，与椭圆方程联立即可求得B的坐标；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2（斜率不存在时不满足题意），联立直线方程与椭圆方程，结合S＝S，得2|y 1﹣y2|＝|y3﹣y4|，再由直线AF1的方程：，得M纵坐标，由直线BF1的方程：，得N的纵坐标，结合根与系数的关系，得||＝4，解得m值，从而得到直线方程．【解答】解：（1）依题意，F2（2，0），当AB⊥x轴时，则A（2，），B（2，﹣），得|AB|＝2；（2）设A（x1，y1），∵∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），∴＝，又A在椭圆上，满足，即，∴，解得x1＝0，即A（0，2）．直线AB：y＝﹣x+2，联立，解得B（，﹣）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2（斜率不存在时不满足题意），则，．联立，得（m2+2）y2+4my﹣4＝0．则，．由直线AF1的方程：，得M纵坐标；由直线BF1的方程：，得N的纵坐标．若S＝S，即2|y 1﹣y2|＝|y3﹣y4|，|y3﹣y4|＝||＝||＝||＝2|y1﹣y2|，∴|（my1+4）（my2+4）|＝4，|m2y1y2+4m（y1+y2）+16|＝4，代入根与系数的关系，得||＝4，解得m＝．∴存在直线x+或满足题意．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．21．（18分）数列{a n}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．【分析】（1）根据a1＝1，d＝2逐一求出a2，a3，a4即可；（2）{a n}不为等差数列，数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，根据题意进一步推理即可证明结论；（3）去除具有性质P的数列{a n}中的前三项后，数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，求a1+a2+…+a100即可．【解答】解：（1）∵数列{a n}有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，∴若a1＝1，d＝2，则当n＝2时，a2＝a1+d＝3，当n＝3时，i∈[1，2]，则a3＝a1+d＝3或a3＝a2+d＝5，当n＝4时，i∈[1，3]，则a4＝a1+d＝3或a4＝a2+d＝5或a4＝a3+d＝（a1+d）+d ＝5或a4＝a3+d＝（a2+d）+d＝7∴a4的所有可能的值为：3，5，7；（2）∵{a n}不为等差数列，∴数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，∵对任意n∈[2，10]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]；∴存在p∈[1，n﹣2]，使a m＝a p+d，则对于a m﹣q＝a i+d，i∈[1，n﹣q﹣1]，存在p＝i，使得a m﹣q＝a m，因此{a n}中存在具有性质P的项；（3）由（2）知，去除具有性质P的数列{a n}中的前三项，则数列{a n}的剩余项均不相等，∵对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，则一定能将数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，∴a1+a2+…+a100＝＝97a+4656d+c．【点评】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，考查了逻辑推理能力和计算能力，关键是对新定义的理解，属难题．。

数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，则AB = ．2．计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．不等式|1|5x +<的解集为 ． 4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为6．已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．在6x ⎛⎝的展开式中，常数项等于 ．8．在ABC △中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ． 9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．11．在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅，则1F P与2F Q 的夹角范围为 ．12．已知集合[,1]U[4,9]A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0,)+∞的是（ ） A ．2xy =B ．12y x = C ．tan y x =D ．cos y x = 14．已知,a b R ∈，则“22a b ＞”是“||||a b ＞”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．以()1,0a ，()20,a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()1,0y ，()2,0y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211,a a ⎛⎫⎪⎝⎭的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC ====== （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）18．已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞＜，求公比q 的取值范围．19．改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年—2015年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份之间拟合函数6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =．（1）当81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断()()13d P d P +与()22d P 的关系．21．已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．t数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学答案解析1.【答案】{3,5}【解析】解：集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，{3,5}A B ∴=．故答案为：{3,5}． 2．【答案】2【解析】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+． 故答案为：2． 3．【答案】{6,4}-【解析】解：由15x +<得515x -<+<，即64x -<<. 故答案为：{6,4}-．4．【答案】1()0)f x x -> 【解析】解：由2(0)y x x =>解得x1()0)f x x -∴=>故答案为1()0)f x x -∴=> 5．【答案】【解析】解：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴=故答案为： 6．【答案】2-【解析】解：由题意，可知： 方程有无穷多解，∴可对①，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-．故答案为：2-． 7．【答案】15【解析】解：6x ⎛ ⎝展开式的通项为36216r rr T C x -+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15． 8．【解析】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cosC 4=，∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯，∴解得：AB9．【答案】24【解析】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24．10．【解析】解：由题意得：点坐标为a ⎫⎪⎪⎭，点坐标为a ⎛ ⎝，11||||23AQ CP a +=，当且仅当a =时，取最小值，11．【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】解：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y+=的焦点坐标为(，(，2⨯P Q数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）121F P F P ⋅，2221x y ∴-+≤，结合22142x y +=可得：2[1,2]y ∈故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：(2221222122381cos 31,223F P F Qy y y F P F Q x θ⋅-⎡⎤====-+∈--⎢⎥++⎣⎦⋅故1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．【答案】1或3-【解析】解：当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t aλ∈++，当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得=1t ．当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则[,1]t t aλ∈+．当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，的值为1或3-． 故答案为：1或3-．13．【答案】B【解析】解：A ，2xy =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y [0,)+∞，值域也是[0,)+∞，故B 正确C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1,1]-+，故D错故选：B 14．【答案】C【解析】解：22a b >等价，22|||a b >，得“||||a b >”，∴“22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C 15．【答案】B【解析】解：如图1，可得,,a b c 可能两两垂直； 如图2，可得,,a b c 可能两两相交；t数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）如图3，可得,,a b c 可能两两异面；故选：B 16．【答案】A【解析】解：因为111r a =-21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为12ln ln 0y y +=， 所以121y y =，则()()1212121a a --=， 即12122a a a a =+， 则12112a a +=， 设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A17．【答案】解：（1）,M N 分别为,PB BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角， 在PAC △中，由2,PA PC AC ===可得222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠===⋅AC ∴与MN的夹角为； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心， 连接AO 并延长，交BC 于N ，则32123AN AO AN ===，．PO ∴==11333224P ABC V -∴=⨯=．18．【答案】解：（1）4133315,4a a d d d =+=+=∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+； （2）()31,lim 1n n n n q S S q →∞-=-存在，11q ∴-<<，lim n n S →∞∴存在，11q ∴-<<且0q ≠，()313lim lim11n n n n q S qq→∞→∞-∴==--， 3121q ∴<-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<， ∴公比q 的取值范围为3(1,0)0,4⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭．19．【答案】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增， 令 6.4200.1136357876.60531200001t e->+，解得50.68t >，数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．【答案】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点8(1,0),1,3F P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，84323PF k ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得103PF =， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设()1,P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-， 联立1x my =+和24y x=，可得2440y my --=，2Q y m ==+，2()||22P P Q y d P PF y -==22=-=，则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+； （3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()132132242d P d p d P PFP F P F ⎡+⎤-=+-=⎣⎦=由()2213131628y y y y ⎡⎤-++=-⎣⎦，()()()()(22222213131313134444840y y y yy y y y y y ++-+=+-=->，则()()()1322d P d P d P +>．21．【答案】解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．当120,3a d π==，集合S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭． （2）12a π=，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，22S =⎨⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =∴∴∴数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．。

⎨ ⎩f ( ) n →∞绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）考生注意1. 本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4. 用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、选择题：（本大题共 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分，共 54 分） 1. 已知集合 A = (-∞, 3)、B = (2, +∞) ，则 A B =.2. 已知 z ∈ C 且满足 1- 5 = i ，求 z = .z 3. 已知向量a = (1,0,2) ， b = (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为 . 4. 已知二项式(2x +1)5，则展开式中含 x 2 项的系数为. ⎧ 5. 已知 x 、y 满足⎪x ≥ 0 y ≥ 0 ，求 z = 2x - 3y 的最小值为.⎪x + y ≤ 2 6. 已知函数 f (x ) 周期为1，且当0 < x ≤ 1， f ( x ) = - log 2x ，则 3= .27. 若 x 、y ∈ R + ，且 1+ 2 y = 3 ，则 yx x的最大值为.8. 已知数列{a n }前 n 项和为 S n ，且满足 S n + a n = 2 ，则 S 5 =.9. 过 y 2 = 4x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与 y 2 = 4x 交于 A 、B ， A 在 B 上方， M 为抛物线上一点， OM = λOA + (λ - 2)OB ，则λ =.10. 某三位数密码锁，每位数字在0 - 9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是.11. 已知数列{a n } 满足a n < a n +1 （ n ∈ N *）， P n (n , a n ) 在双曲线 x 2 - y 2 = 上，则lim P n P n +1 6 2= .12. 已知 f (x ) = - a ( x > 1, a > 0) ，若a = a 0 ， f ( x ) 与 x 轴交点为 A ， f ( x ) 为曲线 L ，在 L 上任意一点 P ，总存在一点Q （ P 异于 A ）使得 AP ⊥ AQ 且 AP = a 0 =.AQ ，则 2 x -11二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 已知直线方程2x - y + c = 0 的一个方向向量d 可以是（ ） A. (2,-1)B. (2,1)C. (-1,2)D. (1,2)14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ） A. 1B. 2C. 4D. 815. 已知ω ∈ R ，函数 f (x ) = ( x - 6)2⋅sin (ωx ) ，存在常数 a ∈ R ，使得 f ( x + a ) 为偶函数，则ω 可能的值为（ ）A.πB.2πC. 3πD. π4516. 已知tan α ⋅ tan β = tan(α + β ) . ①存在α 在第一象限，角 β 在第三象限； ②存在α 在第二象限，角 β 在第四象限； A. ①②均正确；B. ①②均错误；C. ①对，②错；D. ①错，②对；三.解答题（本大题共 5 题，共 76 分）17. （本题满分 14 分）如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， M 为 BB 1 上一点，已知BM = 2 ， AD = 4 ， CD = 3 ， AA 1 = 5 .（1） 求直线 A 1C 与平面 ABCD 的夹角； （2） 求点 A 到平面 A 1MC 的距离.18.（本题满分 14 分）已知 f ( x ) = ax +1x +1(a ∈ R ) . （1） 当a = 1 时，求不等式 f (x ) +1 < f ( x +1) 的解集； （2） 若 x ∈[1, 2]时， f ( x ) 有零点，求a 的范围.19.（本题满分 14 分）如图， A - B - C 为海岸线， AB 为线段， BC 为四分之一圆弧，BD = 39.2km ， ∠BDC = 22， ∠CBD = 68， ∠BDA = 58.（1） 求 BC 长度；2 （2） 若 AB = 40km ，求 D 到海岸线 A - B - C 的最短距离.（精确到0.001km ）20.（本题满分 16 分）已知椭圆 x+ y 8 4= 1， F 1 , F 2 为左、右焦点，直线l 过 F 2 交椭圆于 A 、B 两点.（1） 若 AB 垂直于 x 轴时，求 AB ；（2） 当∠F 1 AB = 90 时， A 在 x 轴上方时，求 A , B 的坐标；（3） 若直线 AF 1 交 y 轴于 M ，直线 BF 1 交 y 轴于 N ，是否存在直线l ，使 S △F AB = S △F MN ，11若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题满分 18 分）数列{a n } 有100 项，a 1 = a ，对任意n ∈[2,100] ，存在a n = a i + d , i ∈[1, n -1]，若a k与前n 项中某一项相等，则称 a k 具有性质 P .（1） 若a 1 = 1，求a 4 可能的值；（2） 若{a n } 不为等差数列，求证：{a n } 中存在满足性质 P ；（3） 若{a n } 中恰有三项具有性质 P ，这三项和为C ，使用a , d , c 表示 a 1 + a 2 ++ a 100 .25 ⎨ ⎩3上海市 2019 届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分，共 54 分）1. 已知集合 A =(-∞, 3)、B = (2, +∞) ，则 A B =.【思路分析】然后根据交集定义得结果． 【解析】：根据交集概念，得出： (2,3) .【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2. 已知 z ∈ C 且满足 1- 5 = i ，求 z = .z 【思路分析】解复数方程即可求解结果．【解析】： 1 = 5 + i ， z =z1 5 + i = 5 - i (5 + i )(5 - i ) = 5 - 26 1 i . 26 【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．3. 已知向量a = (1,0,2) ， b = (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为.【思路分析】根据夹角运算公式cos θ 求解．【解析】： cos θ a ⋅ b = = 2 .5【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础．4. 已知二项式(2x +1)5，则展开式中含 x 2 项的系数为.【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含 x 2项的的项，再求系数．【解析】： T = C r ⋅ (2x )5-r ⋅1r = C r ⋅ 25-r ⋅ x 5-rr +155令5 - r = 2 ，则r = 3 ， x 2 系数为C 3 ⋅ 22 = 40 .【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．⎧ 5. 已知 x 、y 满足⎪x ≥ 0y ≥ 0 ，求 z = 2x - 3y 的最小值为.⎪x + y ≤ 2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当 x = 0 ，y = 2 时， z min = -6 .【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6. 已知函数 f( x ) 周期为1，且当0 < x ≤ 1， f ( x ) = - log 2 x ，则 f ( 2) =.【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转 3 到已知范围0 < x ≤ 1内，代入函数解析式即2a ⋅b a ⋅ ba ⋅ b2 5 ⋅ 51⋅ 2 y x S n →∞3 可．【解析】：f ( ) = 21 f ( ) 2= -log1 = 1 .2 2【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题．7. 若 x 、y ∈ R + ，且1 +2 y =3 ，则 yx x的最大值为 .y 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有x的式子求解1y ⎛ 3 ⎫2 9 【解析】：法一： 3 = + 2 y ≥ 2 x ，∴ ≤ ⎪ = ；x ⎝ 2 2 ⎭ 8 法二：由 1 = 3 - 2 y ， y = (3 - 2 y ) ⋅ y = -2 y 2+ 3y （ 0 < y < 3 ），求二次最值⎛ y ⎫ = 9 .⎪x x 2 ⎝ x ⎭max 8【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题．8. 已知数列{a n }前 n 项和为 S n ，且满足 S n + a n = 2 ，则 S 5 =.【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列. 【解析】：由⎧S n + a n = 2 得： a = 1a （ n ≥ 2 ） ⎨ ⎩ n -1{ } + a n -1 = 2(n ≥ 2)1n 2 n -1 1⋅[1 -( 1 )5] 231 ∴ a n 为等比数列，且a 1 = 1 ， q = 2 ，∴ S 5 == . 1 -1 16 29. 过 y 2 = 4x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与 y 2= 4x 交于 A 、B ，A 在 B 上方，M 为抛物线上一点， OM = λOA + (λ - 2)OB ，则λ = .【思路分析】根据等式建立坐标方程求解【解析】：依题意求得： A (1,2) ， B (1,-2) ，设 M 坐标 M (x , y )有： (x , y ) = λ(1,2) + (λ - 2) ⋅ (1,-2) = (2λ - 2,4) ，代入 y 2 = 4x 有：16 = 4 ⋅ (2λ - 2) 即： λ = 3 .【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10 某三位数密码锁，每位数字在0 - 9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是.【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.C 1 ⋅ C 2 ⋅ C 1 27【解析】：法一： P = 10 3 9 = 103100 （分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字） C 1 + P 3 27 法二： P = 1 - 10 10= 103100 （分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同） 【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．11. 已知数列{a n } 满足a n < a n +1 （ n ∈ N * ）， P n (n , a n ) 在双曲线 x 2 - y2= 上，则lim P n P n +1 6 2= .1n →∞ 2 2【思路分析】利用点在曲线上得到 P n P n +1 关于 n 的表达式，再求极限.【解析】：法一：由 n 8 a 2 - n = 1 得： a n = 2 n 2 2( 6-1) ，∴ P n (n , 2( n -1)) ， 6 P n +1 (n +1, (n +1)2 2(61) ) ，利用两点间距离公式求解极限。

历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷：已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。

1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。

2.2019年高考数学浙江卷：已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\ln x+x+1$，$x>0$。

1) 当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。

3.2019年高考数学江苏卷：设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\in N^*$，已知$a_3=2a_2a_4$。

1) 求$n$的值；2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\in N^*$，求$a^2-3b^2$的值。

4.2018年高考数学上海卷：给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。

1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为：$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个数$m$；3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in N^*$，判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数，求$d$的取值范围。

2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学文科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．12i2i+=-+（ ） A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i2．设1i2i 1iz +=+-，则z =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，972S =，则10a =（ ） A ．20B ．23C ．24D ．284．若πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） AB． CD．5．设x ，y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥-⎧+≥--≤⎪⎨⎪⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．16C ．20D ．226．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．2π D．7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知()13ln2a =，()13ln3b=，2log 0.7c=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<9．过圆2216x y +=上一点P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线，切点分别为A 、B ，若2π3AOB ∠=，则实数m =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．910．执行如图所示程序框图，输出的S =（ ）A ．25B ．9C ．17D ．2011．已知1F ，2F 分别是椭圆22:14x y C m +=的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P ，使得12PF F △则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A．12⎛ ⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．⎫⎪⎪⎝⎭12．在边长为2的等边ABC △中，D 是BC 的中点，点P 是线段AD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围是（ ）A ．3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,0-D ．[]1,1-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________． 14．若x ，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______．15．设函数()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若()1f m >，则实数m 的取值范围是______．16．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若3AB =，4AC =，5BC =，12AA =，则此球的表面积等于______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 02AA +=． （1）求角A 的大小；（2）已知ABC △外接圆半径R =AC =，求ABC △的周长．18．(本小题满分12分）某中学为了丰富学生的课外文体活动，分别开设了阅读、书法、绘画等文化活动；跑步、游泳、健身操等体育活动．该中学共有高一学生300名，要求每位学生必须选择参加其中一项活动，现对高一学生的性别、学习积极性及选择参加的文体活动情况进行统计，得到数据如下：（1）在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解家庭情况，求2人中至少有1名女生的概率；（2）是否有99.9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关?请说明你的理由． 附：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．(本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形，π3BCD ∠=，四边形BDEF 是正方形，且DE ⊥平面ABCD ．（1）求证：CF ∥平面AED ；（2）若AE ，求多面体ABCDEF 的体积V ．20．(本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且右焦点)2F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx =与椭圆E 交于A ，B 两点，当AB 最大时，求直线l 的方程． 21．(本小题满分12分）已知()()2ln ln a x xf x x+=．求()f x 在()1,0处的切线方程；求证：当1a ≥时，()10f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标． （2）∵圆心O 到曲线2C：20x +=的距离112d r ===，23．(本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】若0a >，0b >，且(1a b +=． （1）求3311a b +的最小值； （2）是否存在a ，b ，使得1123a b+2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学文科（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ． 2．【答案】B 【解析】()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+，则3i z =，故3z =，故选B ． 3．【答案】D【解析】由于数列是等差数列，故41913493672a a d S a d =+==+=⎧⎨⎩，解得18a =-，4d =，故101983628a a d =+=-+=．故选D ． 4．【答案】D【解析】由题意可得πππππcos sin sin sin 42444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D ． 5.【答案】B【解析】由题可知，再画出约束条件所表示的可行域，如图所示，结合图象可知当:20l x y +=平移到过点A 时，目标函数取得最大值，又由10240x y x y -+=--=⎧⎨⎩，解得()5,6A ，此时目标函数的最大值为max 16z =，故选B ．【解析】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，圆锥的底面半径1r =，高2h =，所以该几何体的体积为()214π2π1233V =⨯⨯⨯⨯=，故选B ．7．【解析】在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线有：1AD ，AC ，11D B ，1B C ，共4条．故选B ． 8．【答案】B【解析】22log 0.7log 10c =<=，()()11330ln21ln3a b <=<<=，故c a b <<，故选B ． 9．【答案】A 【解析】如图所示，取圆2216x y +=上一点()4,0P ，过P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线PA 、PB ， 当2π3AOB ∠=时，π3AOP ∠=，且OA AP ⊥，4OP =；122OA OP ==，则实数2m OA ==．故选A ．10．【答案】C【解析】按照程序框图依次执行为1S =，0n =，0T =；9S =，2n =，044T =+=；17S =，4n =，41620T S =+=>，退出循环，输出17S =．故选C ．11．【答案】A【解析】由题知2a =，b =c ，设椭圆的右顶点为)A，12AF F △的面积为1212F F∴12PF F △的面积的最大值时为12AF F △，>，13m <<解，∴1c <<12c e a ⎛=∈ ⎝⎭，故选A ．【解析】画出图像如下图所示，以DC ，DA 分别为x ，y轴建立平面直角坐标系，故(A ，()1,0C ，设()()0,P t t ⎡∈⎣，所以(()20,1,AP CP t t t ⋅=⋅-=，根据二次函数的性质可知，对称轴t =， 故当0t =或t 0，当t =时取得最小值为234=-⎝⎭，故A P C P ⋅的取值范围是3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】6【解析】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组， 抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号．故答案为6． 14．【答案】1【解析】由x ，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图，联立010y x y =⎧⎨+-=⎩，解得()1,0A ，函数2z x y =-为22x z y =-，由图可知，当直线22x zy =-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 的最大值为1．故答案为1． 15．【答案】()(),0e,-∞+∞【解析】如图所示：可得()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的图像与1y =的交点分别为()0,1，()e,1，∴()1f m >，则实数m 的取值范围是()(),0e,-∞+∞，可得答案()(),0e,-∞+∞．16．【答案】29π【解析】如图，在ABC △中，3AB =，4AC =，5BC =，由勾股定理可得90BAC ∠=︒，可得ABC △外接圆半径52r =，设此圆圆心为O '，球心为O ，在Rt OBO '△中，可得球半径R =∴此球的表面积为2294π4π29π4R =⨯=．故答案为29π． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）【答案】（1）π3A =；（2）3+【解析】（1）223sin sin 02A A +=，1cos sin 02A A -∴+，即sin 0A A =，tan A ∴=， 又0πA <<，π3A ∴=．（2）2sin a R A =，2sin π33a R A ∴===，3AC b ==，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，293c =+，∴260c -=，∵0c >，所以得c =3a b c ++=+18．(本小题满分12分） 【答案】（1）35；（2）见解析．【解析】（1）由题意知参加体育活动的学生中，男生人数为60人，女生人数为30人， 按性别分层抽取6名，则男生被抽取的人数为60646030⨯=+，女生被抽取的人数为30626030⨯=+，记4名男生分别为a ，b ，c ，d ，2名女生为A ，B ，则从这6名学生中抽取2人的情况有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b d ，(),b A ，(),b B ，(),c d ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),A B ，一共15种情况，2人中至少有1名女生共有9种情况，概率为93155=． （2）列联表为：()()()()()()22230018030603010014.28610.82824060210907n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯， ∴有99.9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关．19．(本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：∵ABCD 是菱形，∴BC AD ∥， 又BC ⊄平面ADE ，AD ⊂平面，∴BC ∥平面ADE ．又BDEF 是正方形，∴BF DE ∥．∵BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴BF ∥平面ADE ， ∵BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，BCBF B =，∴平面BCF ∥平面AED ，∴CF ∥平面AED ． （2）解：连接AC ，记ACBD O =．∵ABCD 是菱形，AC BD ⊥，且AO BO =．由DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DE AC ⊥． ∵DE ⊂平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ，DEBD D =，∴AC ⊥平面BDEF 于O ，即AO 为四棱锥A BDEF -的高． 由ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒，则ABD △为等边三角形，由AE ，则1AD DE ==，AO =，1BDEF S =，13BDEF BDEF V S AO =⋅=2BDEF V V ==． 20．(本小题满分12分）【答案】（1）2214x y +=；（2）y =+【解析】（1）设椭圆E 的左焦点()1F ，则12242a PF PF a =+=⇒=，又2221c b a c ⇒=-=，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）由()2222144044y kx k x x y ⎧⎪⎨⎪=⇒+++=+=⎩，设()11,A x y ，()22,B x y ，由()2221128161404Δk k k =-+>⇒>，且12214x x k +=-+，122414x x k =+，AB =设2114t k =+，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，AB ==，当112t =，即k =AB :l y x =21．(本小题满分12分）【答案】（1）10x y --=；（2）见解析．【解析】（1）()()()222ln 1ln ln 'a x a x x f x x ⎡⎤+-+⎣⎦=，故()11f '=，故切线方程是10x y --=．（2）令()ln 1g x x x =--，()11g x x'=-， 令()0g x '>，解得1x >，令()0g x '<，解得01x <<，故()g x 在()0,1递减，在()1,+∞，故()()min 10g x g ==，故ln 1x x ≥+，∵1a ≥，∴()()()()()2222ln ln ln ln ln ln ln 1ln 110a x x xx x x x x x x f x x x x x +++++++++=≥≥≥≥，故1a ≥时，()10f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1）224x y +=，20x +=；（2）2π2,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π2,6C ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α得224x y +=，即曲线1C 的普通方程为224x y +=， 又由πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得ππsin cos cos sin 166ρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即为20x -+=，即曲线2C的平面直角坐标方程为20x +=．（2）∵圆心O 到曲线2C：20x +=的距离112d r ===， 如图所示，∴直线40x +=与圆的切点A 以及直线0x-=与圆的两个交点B ，C 即为所求．∵OA BC ⊥，则OA k =OA l 的倾斜角为2π3， 即A 点的极角为2π3，∴B 点的极角为2πππ326-=，C 点的极角为2ππ7π326+=， ∴三个点的极坐标为2π2,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π2,6C ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 23．(本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】【答案】（1）（2）不存在a ，b ，使得1123a b +．【解析】（1）()1a b +=，()a b∴+，0a >，0b >，()a b ∴+≥a b =时取等号，≥12ab ∴≤．3311a b ∴+≥=≥3311a b ∴+≥a b =时取等号．（2）0a >，0b >，1123a b ∴+≥≥，62<，∴不存在a ，b ，使得1123a b +。

上海2019高考压轴题-数学（文）上海文科数学试卷考生注意：1、本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2、答题前，务必在答题纸上填写准考证号和姓名，并将核对后的条形码贴在指定位置上。

3、答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

4、本试卷共有23道试题，总分值150分、考试时间120分钟、【一】填空题〔56分〕本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分、 1、z C ∈，且z 为z 的共轭复数，假设100110z z iz =(i 是虚数单位)，那么z =、2、在ABC ∆中，22sin 3cos 0A A -=，那么角A 的大小为.3、两条直线1l ：230ax y --=，2l ：0164=-+y x 、假设1l 的一个法向量恰为2l的一个方向向量，那么=a 、 4、集合7|03x A x x -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，函数2lg(68)y x x =-+-的定义域为集合B ，那么A B ⋂=. 5、某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下： 那么总体标准差的点估计值是.〔精确到0.01〕6、假设函数)(x g y =图像与函数)1()1(2≤-=x x y 的图像关于 直线x y =对称，那么(4)g =＿＿＿＿＿＿＿＿.7、假设biia-=-11，其中b a ,都是实数，i 是虚数单位，那么bia +=.8、2531()x x+的二项展开式中，常数项的值是.9、数列{}n a *()n N ∈是公差为2的等差数列，那么li m21n n a n →∞-=、 10、如图：三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，过顶点1A 作底面ABC 的垂线，假设垂足为BC 的中点，那么 AA 1BCC 11第10题异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为.11、5名学生报名参加两项社会实践活动，每个学生都要报名且只报一项，那么每项活动都至少有两名学生报名的概率为___________.〔结果用最简分数表示〕 12、点(0,2)A ,抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作准线l 的垂线，垂足为M ，假设AM MF ⊥,那么p =. 13、O 为坐标原点，点()1,1A -，假设点(),M x y 为平面区域213x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩内的一个动点，那么OA OM ⋅的最大值与最小值之差为______________. 14、假设函数()y f x =〔x R ∈〕满足()()2f x f x -=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()lg(1)11001x x g x x x x ->⎧⎪⎪=-<⎨⎪⎪≤≤⎩，那么函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,6-内的零点的个数为_______.【二】选择题〔20分〕本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否那么一律得零分. 15、空间三条直线a b m 、、及平面α，且a 、b ≠⊂α、条件甲：,m a m b ⊥⊥；条件乙：m ⊥α，那么“条件乙成立”是“条件甲成立”的…………………………………………〔〕A 、充分非必要条件、B 、必要非充分条件、C 、充要条件、D 、既非充分也非必要条件、16、以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为〔〕 〔A 〕2220x y x ++=〔B 〕220x y x ++= 〔C 〕220x y x +-=〔D 〕2220x y x +-=17、设(,1)(2,)(4,5)A a B b C 、、为坐标平面上三点，O 为坐标原点.假设OA uu r 与OB uu u r 在OCuuu r上的投影相同，那么a 与b 满足的关系式为〔〕〔A 〕453a b -=〔B 〕543a b -=〔C 〕4514a b +=〔D 〕5414a b += 18、16、执行如下图的程序框图，输出的S 值为〔〕()A 1.()B 1-.()C 2-.()D 0.【三】解答题〔此题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸的规定区域〔对应的题号〕内写出必要的步骤、 19、〔此题总分值12分〕第〔1〕小题总分值4分，第〔2〕小题总分值8分.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且32,35,6π===B b a .〔1〕求A sin ；〔2〕求A C B 2cos )cos(++的值.20、〔此题总分值14分〕第〔1〕小题总分值6分，第〔2〕小题总分值8分.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下图的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10. 〔1〕求棱1A A 的长；〔2〕求此几何体的表面积，并画出此几何体的主视图和俯视图〔写出各顶点字母〕. 21、〔此题总分值14分〕第〔1〕小题总分值6分，第〔2〕小题总分值8分. 函数22()32log ,()log f x x g x x =-=.〔1〕当[]1,4x ∈时，求函数[]()()1()h x f x g x =+⋅的值域；〔2〕如果对任意的[]1,4x ∈，不等式2()()f x f k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围. 22、〔此题总分值16分〕第〔1〕小题总分值4分，第〔2〕小题总分值6分，第〔3〕小题总分值6分.点12,F F 为双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线于点M ，且01230MF F ∠=，圆O 的方程为222x y b +=.〔1〕求双曲线C 的方程；〔2〕假设双曲线C 上的点到两条渐近线的距离分别为12,d d ，求12d d ⋅的值；〔3〕过圆O 上任意一点00(,)P x y 作切线l 交双曲线C 于,A B 两个不同点，求OA OB ⋅uu r uu u r的值.23、〔此题总分值18分〕第〔1〕小题总分值4分，第〔2〕小题总分值6分，第〔3〕小题总分值8分.如果存在常数a 使得数列{}n a 满足：假设x 是数列{}n a 中的一项，那么a x -也是数列{}n a 中的一项，称数列{}n a 为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”.ABCD 1A 11D〔1〕假设数列：1,2,4,(4)m m >是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值； 〔2〕假设有穷递增数列．．．．．．{}n b 是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求证：数列{}n b 的前n 项和2n n S a=⋅；〔3〕有穷等差数列．．．．．．{}n c 的项数是00(3)n n ≥，所有项之和是B ，试判断数列{}n c 是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用0n 和B 表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由.文科试卷参考答案及评分标准一． 填空题：1、0z z i ==-或2、3π3、34.()3,45、17.646、1-7、109、110、3411、581213、814、9二、选择题：15、A16、D17、A18、D 三、解答题: 19、解：〔1〕在ABC ∆中，由正弦定理得Bb A a sin sin =将32,35,6π===B b a 代入上式得，32sin35sin 6π=A…………………2分 解得53sin =A ；………………………………………………4分〔2〕ABC ∆中，π=++C B A ,且B 为钝角，所以54cos =A …………………6分54cos )cos(-=-=+A C B ……………………………………………8分257sin 212cos 2=-=A A ……………………………………………10分 所以2513257542cos )cos(-=+-=++A C B …………………………………12分20、解：〔1〕设1AA h=，那么111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=--------------------2’1110222210323h h h ∴⨯⋅-⨯⨯⨯⨯==，解得：3h =-----------------------6’ 〔2〕13=2232232222S ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+表24=---------------------------10’主视图与俯视图各得2分. 21、解：〔1〕222()(42log )log 2(log h x x x x =-⋅=-因为[]1,4x ∈，所以[]2log 0,2x ∈，…………………故函数()h x 的值域为[]0,2…………………6分〔2〕由2()()f x f k g x ⋅>⋅得222(34log )(3log )log x x k x -->⋅令2log t x =，因为[]1,4x ∈，所以[]2log 0,2t x =∈所以(34)(3)t t k t -->⋅对一切的[]0,2t ∈恒成立…………………8分① 当0t =时，k R ∈；…………………9分② 当(]0,2t ∈时，(34)(3)t t k t--<恒成立，即9415k t t<+-…………………11分 因为9412t t +≥，当且仅当94t t =，即32t =时取等号…………………12分所以9415t t +-的最小值为3-…………………13分 综上，(),3k ∈-∞-…………………14分22、解：〔1〕设2,F M 的坐标分别为0)y -------------------1分因为点M 在双曲线C 上，所以220211y b b+-=，即20y b =±，所以22M F b=------------2分在21Rt MF F ∆中，01230MF F ∠=，22MF b =，所以212MF b =------------3分 由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==故双曲线C 的方程为：2212y x -=-------------------4分〔2〕由条件可知：两条渐近线分别为120;0l y l y -=+=-------------------5分设双曲线C 上的点00(,)Q x y ，那么点Q到两条渐近线的距离分别为12d d ==-------------------7分所以22001223x y d d -⋅==-------------------8分因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上，所以220022x y -=-------------------9分故2200122233x y d d -⋅==-------------------10分〔3〕解一：因为00(,)P x y 为圆O ：222x y +=上任意一点，设00,x y αα 所以切线l的方程为：cos sin x y αα+=分代入双曲线C ：22222(cos sin )x y x y αα-==+ 两边除以2x ，得222(1sin )()2sin cos ()cos 20y y x xαααα+++-=-------------------13分 设1122(,),(,)A x y B x y ，那么1212,y y x x 是上述方程的两个根 由韦达定理知：212212cos 21sin 1y y x x αα-==-+，即12120x x y y +=-------------------15分所以12120OA OB x x y y ⋅=+=-------------------16分解二：设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y +=-------------------12分①当00y ≠时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=所以：2001212222200004(24),(2)(2)x y x x x x y x y x ++=-=----------------------13分又22010201201201222200000(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦-所以222200001212222222000000(24)8242()(2)22y x x y OA OB x x y y y x y x y x +--+⋅=+=-+==--------------15分②当00y =时，易知上述结论也成立。

（全国卷Ⅰ）2019年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2- C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5．若221m n >>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ，b，满足(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭UB ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦UC ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin)1lg()(2++-+=xxxxf若21)(=αf则=-)(αf14．在()311nx xx⎛⎫++⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为256，则x项的系数是__________．15.知变量x，y满足条件236y xx yy x≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数223x yzx y-=+的最大值为16．如图，在ABC△中，3sin23ABC∠=，点D在线段AC上，且2AD DC=，433BD=，则ABC△的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a和等比数列{}n b满足：113a b==，24b a=，且1a，4a，13a成等比数列．（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；（2）令nnnacb=，求数列{}n c的前n项和n S．18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =u u u r u u u r，ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分） 设函数()(2ln 1f x x x x =-++． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB⋅u u u r u u u r的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2A B =-I ，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1ia +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>， 因为0m n >>，所以可排除选项A ，B ；32m =，1n =时，可排除选项C ， 由指数函数的性质可判断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面向量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 第二次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018，故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．， 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()2sin22cos212sin 4π21f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确； 当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确；当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==， 令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()()()2222223,1,32cos 31x y x y z x yx y θ-⋅-===++-⋅+，其中θ为向量)3,1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π， 目标函数223x y z x y-=+3C ．16．【答案】32 【解析】由3sin2ABC ∠=可得：6cos 2ABC ∠=， 则22sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由32sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =． （2）由（1）可知213n nn c +=， 所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =． 【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=， 在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人， 分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人． （3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分） 【答案】（1）见解析（2）13（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥． ∵BD DE D =I ， ∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直， ∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴3EDDB=， 由3AD =，可知32BD =36DE =6AF =则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,6)BF =-u u u r ，(3,0,26)EF =-u u u r．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即360,360,y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,6)n =r．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA u u u r为平面BDE 的一个法向量， ∴(3,3,0)CA =-u u u r ， ∴||13cos ,13||||3226n CA n CA n CA ⋅<>===⋅⨯r u u u rr u u u r r u u u r ． ∵二面角F BE D --为锐角， ∴二面角F BE D --的余弦值为1313． 20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =u u u r u u u r，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，根据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==，()()224223BC p p =-，1223832ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x yy kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---， 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫⎪⎝⎭，12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥．21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ． 由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=--， 则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--， 则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤． （ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >；（iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >， 综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+u u u r u u u r【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-u u u r u u u r．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++u u u r u u u r ．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+u u u r u u u r23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。

2019上海高考压轴卷数 学一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 已知A ，B 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为−49，则E 的离心率为( ) A. √23B. √33C. 23D. √532. 已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a ＜1”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3. 已知三棱锥S -ABC ，△ABC 是直角三角形，其斜边AB =8，SC ⊥平面ABC ，SC =6，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 64π B. 68π C. 72π D. 100π 4. 定义：若整数m 满足：m −12<x ≤m +12，称m 为离实数x 最近的整数，记作{x}=m ．给出函数f(x)=x −{x}的四个命题：①函数f(x)的定义域为R ，值域为(−12,12)； ②函数f(x)是周期函数，最小正周期为1； ③函数f(x)在(−12,12)上是增函数；④函数f(x)的图象关于直线x =k2(k ∈Z)对称.其中所有的正确命题的序号为（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①②④ D. ①②③二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 若∣∣∣4x 22x1∣∣∣=0，则x =______． 6. 已知双曲线x 2m+2−y 2m+1=1的离心率为√72，则m =______． 7. （2x -√x ）6的展开式中常数项为______ ．8. 函数f （x ）=4x -2x +2（-1≤x ≤2）的最小值为______ ．9. 已知复数z =（1+i ）（1+2i ），其中i 是虚数单位，则z 的模是______． 10. 若数列{a n }满足a 11=152，1an+1-1a n=5（n ∈N *），则a 1= ______ ．11. 已知f(x)={(a +2)x −2a ，(x ＜1)log a x ，(x ≥1)是R 上的增函数，则a 的取值范围是______ ．12. 已知圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9，P （2，2）是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是______ ．13. 口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为______．14. 已知各项为正的等比数列{a n }中，a 2a 3=16，则数列{log 2a n }的前四项和等于______．15. 已知a >0，函数f(x)={x 2+2ax +a, x ≤0,−x 2+2ax −2a,x >0.若关于x 的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 16. 函数f （x ）=lgx 2+1|x|（x ≠0，x ∈R ），有下列命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称； ②f （x ）的最小值是2；③f （x ）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数； ④f （x ）没有最大值．其中正确命题的序号是______ ．（请填上所有正确命题的序号） 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，直线y =k （x +1）与C 相切于点A ，|AF |=2．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 交C 于M ，N 两点，T 是MN 的中点，若|MN |=8，求点T 到y 轴距离的最小值及此时直线l 的方程．18. 函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的一个零点为π3，其图象距离该零点最近的一条对称轴为x =π12．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）+log 2k =0在x ∈[π4，2π3]上恒有实数解，求实数k 的取值范围．19. 某网店经营的一种商品进行进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销售量P(件)与单价x(元)之间的关系如下图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元．(1)根据周销售量图写出P(件)与单价x(元)之间的函数关系式；(2)写出利润y(元)与单价x(元)之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．21.各项均为正数的数列{a n}中，前n项和S n=(a n+12)2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若1a1a2+1a2a3+⋯+1a n a n+1<k恒成立，求k的取值范围；(3)是否存在正整数m，k，使得a m，a m+5，a k成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】由题意方程可知，A（-a，0），B（a，0），设M（x0，y0），∴，则，整理得：，①又，得，即，②联立①②，得，即，解得e=．故选D．2.【答案】A【解析】a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．3.【答案】D【解析】如图所示，直角三角形ABC的外接圆的圆心为AB中点D，过D作面ABC的垂线，球心O在该垂线上，过O作球的弦SC的垂线，垂足为E，则E为SC中点，球半径R=OS=∵，SE=3，∴R=5棱锥的外接球的表面积为4πR2=100π，故选：D．4.【答案】B【解析】∵①中，由题意知，{x}-{x}+，则得到f（x）=x-{x}∈（-]，故①错误；②中，由题意知函数f（x）=x-{x}∈（-]的最小正周期为1，，故②正确；③中，由于{x}-{x}+则得f（x）=x-{x}为分段函数，且在上是增函数，，故命题③正确；④中，由题意得，所以函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）不对称，故命题④错误；由此可选择②③，故选B.5.【答案】1【解析】=4x-2×2x=0，设2x=t，t＞0，则t2-2t=0，解得：t=2，或t=0（舍去）则2x=t=2，则x=1，故答案为：1．6.【答案】2或-5【解析】双曲线-=1，当焦点在x轴时，a2=m+2，b2=m+1，可得c2=a2+b2=3+2m，∵双曲线-=1的离心率为，∴，即，解得m=2，当焦点在y轴时，a2=-m-1，b2=-m-2，可得c2=a2+b2=-3-2m，∵双曲线-=1的离心率为，∴，可得，即12+8m=7m+7，可得m=-5．故答案为2或-5．7.【答案】60【解析】（-）6的展开式中的通项公式：T r+1==（-1）r26-r，令-6=0，解得r=4．∴（-）6的展开式中常数项==60．故答案为60．8.【答案】-4【解析】f(x)=(2x)2-4•2x，令t=2x，∵-1≤x≤2，∴t∈[，4]，则y=t2-4t=(t-2)2-4，y在t∈[，2]上递减，在t∈[2，4]上递增，所以当t=2时函数取得最小值-4．故答案为-4．9.【答案】√10【解析】复数z=（1+i）（1+2i）=1-2+3i=-1+3i，∴|z|==．故答案为：．10.【答案】12【解析】-=5，∴{}是以5为公差的等差数列，∴=+5（n-1），∵a11=，∴=+5（11-1）=52，即=2，∴a1=.故答案为．11.【答案】[2，+∞）【解析】首先，y=log a x在区间[1，+∞）上是增函数且函数y=（a+2）x-2a区间（-∞，1）上也是增函数∴a＞1 (1)其次在x=1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即（a+2）-2a≤log a1⇒a≥2 (2)联解（1）、（2）得a≥2．故答案为[2，+∞）．12.【答案】6√7【解析】∵圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=9，∴圆心坐标为M（1，1），半径r=3．∵P（2，2）是该圆内一点，∴经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．∵|PM|==，∴由垂径定理，得|BD|=2．因此，四边形ABCD的面积是S=|AC|•|BD|=×6×2=6．故答案为613.【答案】23【解析】口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=．故答案为：．从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，利用列举法求出摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件个数，由此能求出摸出的2个球的编号之和大于4的概率．14.【答案】8【解析】各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，可得a1a4=a2a3=16，即有log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2（a1a2a3a4）=log2256=8．故答案为：8．15.【答案】（4，8）【解析】当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=-x2，得a=-，设g（x）=-，则g′（x）=-=-，由g′（x）＞0得-2＜x＜-1或-1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜-2，此时递减，即当x=-2时，g（x）取得极小值为g（-2）=4，当x＞0时，由f（x）=ax得-x2+2ax-2a=ax，得x2-ax+2a=0，得a（x-2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为（4，8）16.【答案】①④【解析】①f（-x）=lg=f（x），∴函数f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故①正确；②2，∴f（x）=lg≥lg2，∴f（x）的最小值是lg2，故②不正确；③函数g（x）=在（-∞，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+∞）上是增函数，故函数f（x）=lg在（-∞，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+∞）上是增函数，故③不正确；④由③知，f（x）没有最大值，故④正确故答案为：①④．17.【答案】（Ⅰ）设A（x0，y0），直线y=k（x+1）代入y2=2px，可得k2x2+（2k2-2p）x+k2=0，由△=（2k2-2p）2-4k4=0，解得p=2k2，解得x0=1，由|AF|=1+p2=2，即p=2，可得抛物线方程为y2=4x；（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程可得y2-4my-4n=0，△=16m2+16n＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，|AB|=√1+m2•√16m2+16n=8，可得n=41+m2-m2，y1+y2 2=2m，x1+x22=m(y1+y2)+2n2=2m2+n=41+m2+m2=4 1+m2+m2+1-1≥2√(1+m2)(41+m2)-1=3，当且仅当41+m2=m2+1，即m2=1，即m=±1，T到y轴的距离的最小值为3，此时n=1，直线的方程为x±y-1=0..【解析】（Ⅰ）设A（x0，y0），联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，结合抛物线的定义，可得抛物线方程；（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合中点坐标公式和基本不等式可得所求直线方程．本题考查抛物线的方程的求法，注意运用直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．18.【答案】（Ⅰ）由题意，f（π3）=2sin（π3•ω+φ）=0，即π3•ω+φ=kπ，k∈Z①T 4=π3−π12=π4，即T=2πω=π，得ω=2，代入①得φ=kπ−2π3，k∈Z，取k=1，得φ=π3，∴f（x）=2sin（2x+π3）；（Ⅱ）∵x∈[π4，2π3]，∴2x+π3∈[5π6，5π3]，，得f（x）∈[-2，1]，由f（x）+log2k=0，得log2k=-f（x）∈[-1，2]，∴k∈[12，4]．【解析】本题考查函数与方程的应用，三角函数的最值，周期及解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．（Ⅰ）由函数的零点列式得到•ω+φ=kπ，，再由已知求得周期，进一步求得ω，则φ可求，函数解析式可求；（Ⅱ）由x 的范围求得相位的范围，进一步求出函数值域，再由方程f （x ）+log 2k=0在x ∈[，]上恒有实数解即可求得k 的范围．19. 【答案】（1）由题设知，当12≤x ≤20时，设p =ax +b ， 则{12a +b =2620a +b =10, 解得a =-2，b =50. ∴p =-2x +50，同理得，当20＜x ≤28时，p =-x +30， 所以p ={−2x +50,12≤x ≤20−x +30,20<x ≤28; （2）当12≤x ≤20时，销售利润y =(x −10)(−2x +50)−25=−2(x −352)2+1752,因此当x =352时,y max =1752;当20＜x ≤28时，销售利润y =(x −10)(−x +30)−25=−(x −20)2+75, ∵函数在（20,28]上单调递减，∴y <75，∴该消费品销售价格为352时，周利润最大，最大周利润为1752.【解析】本题考查了函数的表示方法,分段函数,待定系数法和一次函数、二次函数模型.（1）利用函数图象,结合分段函数的概念,运用待定系数法计算得结论; （2）利用二次函数模型，分段求最值得结论.20. 【答案】（1）由题意可知：椭圆的离心率e =c a =12，则a =2c ，① 椭圆的准线方程x =±a 2c，由2×a 2c=8，②由①②解得：a =2，c =1， 则b 2=a 2-c 2=3， ∴椭圆的标准方程：x 24+y 23=1；（2）方法一：设P （x 0，y 0），则直线PF 2的斜率k PF 2=y 0x 0−1， 则直线l 2的斜率k 2=-x 0−1y 0，直线l 2的方程y =-x 0−1y 0（x -1），直线PF 1的斜率k PF 1=y 0x 0+1， 则直线l 2的斜率k 1=-x 0+1y 0，直线l 1的方程y =-x 0+1y 0（x +1），联立{y =−x 0−1y 0(x −1)y =−x 0+1y 0(x +1)，解得：{x =−x 0y =x 02−1y 0，则Q （-x 0，x 02−1y 0）， 由P ，Q 在椭圆上，P ，Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y 0=x 02−1y 0，∴y 02=x 02-1，则{x 024+y 023=1y 02=x 02−1，解得：{x 02=167y 02=97，则{x 0=±4√77y 0=±3√77， 又P 在第一象限，所以P 的坐标为： P （4√77，3√77）．方法二：设P （m ，n ），由P 在第一象限，则m ＞0，n ＞0，当m =1时，k PF 2不存在，解得：Q 与F 1重合，不满足题意， 当m ≠1时，k PF 2=nm−1，k PF 1=nm+1， 由l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，则k l 1=-m+1n，k l 2=-m−1n，直线l 1的方程y =-m+1n（x +1），①直线l 2的方程y =-m−1n（x -1），②联立解得：x =-m ，则Q （-m ，m 2−1n），由Q 在椭圆方程，由对称性可得：m 2−1n=±n 2，即m 2-n 2=1，或m 2+n 2=1，由P （m ，n ），在椭圆方程，{m 2−1=n 2m 24+n 23=1，解得：{m 2=167n 2=97，或{1−m 2=n 2m 24+n 23=1，无解， 又P 在第一象限，所以P 的坐标为： P （4√77，3√77）．【解析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c ，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a 和c 的值，则b 2=a 2-c 2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P 点坐标，分别求得直线PF 2的斜率及直线PF 1的斜率，则即可求得l 2及l 1的斜率及方程，联立求得Q 点坐标，由Q 在椭圆方程，求得y 02=x 02-1，联立即可求得P 点坐标； 方法二：设P （m ，n ），当m≠1时，=，=，求得直线l 1及l 1的方程，联立求得Q 点坐标，根据对称性可得=±n 2，联立椭圆方程，即可求得P 点坐标．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题． 21. 【答案】（1）∵S n =(a n +12)2，∴S n−1=(a n−1+12)2，n ≥2，两式相减得a n =(a n +12)2−(a n−1+12)2，n ≥2，整理得（a n +a n -1）（a n -a n -1-2）=0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n -a n -1=2，n ≥2， ∴{a n }是公差为2的等差数列， 又S 1=(a 1+12)2得a 1=1，∴a n =2n -1；（2）由题意得k ＞(1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n+1)max， ∵1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴1a1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n+1=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)＜12， ∴k ≥12；（3）∵a n =2n -1．假设存在正整数m ，k ，使得a m ，a m +5，a k 成等比数列，即a m+52=a m ⋅a k 即（2m +9）2=（2m -1）•（2k -1）， ∵（2m -1）≠0，∴2k −1=(2m+9)22m−1=2m +19+1002m−1，∵2k -1∈Z ，∴2m -1为100的约数， ∴当2m -1=1，m =1，k =61, 当2m -1=5 , m =3 , k =23, 当2m -1=25, m =13, k =25. 故存在. 【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（1）利用递推关系得（a n +a n-1）（a n -a n-1-2）=0，数列{a n }的各项均为正数，可得a n -a n-1=2，n≥2，利用等差数列的通项公式即可得出； （2）由题意得，利用，“裂项求和”方法即可得出；（3）a n =2n-1．假设存在正整数m ，k ，使得a m ，a m+5，a k 成等比数列，即．可得，进而得出．。

2019年上海市高考数学试卷试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）已知集合A=（-∞.3）.B=（2.+∞）.则A∩B=___ ． 2.（填空题.4分）已知z∈C .且满足 1z−5 =i.求z=___ ．3.（填空题.4分）已知向量 a ⃗ =（1.0.2）. b ⃗⃗ =（2.1.0）.则 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为___ ．4.（填空题.4分）已知二项式（2x+1）5.则展开式中含x 2项的系数为___ ． 5.（填空题.4分）已知x.y 满足 {x ≥0y ≥0x +y ≤2.则z=2x-3y 的最小值为___ ．6.（填空题.4分）已知函数f （x ）周期为1.且当0＜x≤1时.f （x ）=log 2x.则f （ 32 ）=___ ． 7.（填空题.5分）若x.y∈R +.且 1x +2y=3.则 yx 的最大值为___ ．8.（填空题.5分）已知数列{a n }前n 项和为S n .且满足S n +a n =2.则S 5=___ ．9.（填空题.5分）过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A.B.A 在B 上方.M 为抛物线上一点. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（λ-2） OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则λ=___ ．10.（填空题.5分）某三位数密码.每位数字可在0-9这10个数字中任选一个.则该三位数密码中.恰有两位数字相同的概率是___ ．11.（填空题.5分）已知数列{a n }满足a n ＜a n+1（n∈N*）.P n （n.a n ）（n≥3）均在双曲线 x 26 - y 22 =1上.则 lim n→∞|P n P n+1|=___ ．12.（填空题.5分）已知f （x ）=| 2x−1 -a|（x ＞1.a ＞0）.f （x ）与x 轴交点为A.若对于f （x ）图象上任意一点P.在其图象上总存在另一点Q （P 、Q 异于A ）.满足AP⊥AQ .且|AP|=|AQ|.则a=___ ．13.（单选题.5分）已知直线方程2x-y+c=0的一个方向向量 d ⃗ 可以是（ ） A.（2.-1） B.（2.1） C.（-1.2） D.（1.2）14.（单选题.5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2.将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ） A.1B.2C.4D.815.（单选题.5分）已知ω∈R.函数f（x）=（x-6）2•sin（ωx）.存在常数a∈R.使f（x+a）为偶函数.则ω的值可能为（）A. π2B. π3C. π4D. π516.（单选题.5分）已知tanα•tanβ=tan（α+β）．有下列两个结论：① 存在α在第一象限.β在第三象限；② 存在α在第二象限.β在第四象限；则（）A. ① ② 均正确B. ① ② 均错误C. ① 对② 错D. ① 错② 对17.（问答题.14分）如图.在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M为BB1上一点.已知BM=2.CD=3.AD=4.AA1=5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．18.（问答题.14分）已知f（x）=ax+ 1x+1.a∈R．（1）当a=1时.求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1.2]时有零点.求a的取值范围．19.（问答题.14分）如图.A-B-C为海岸线.AB为线段. BĈ为四分之一圆弧.BD=39.2km.∠BDC=22°.∠CBD=68°.∠BDA=58°．（1）求BĈ的长度；（2）若AB=40km.求D到海岸线A-B-C的最短距离．（精确到0.001km）20.（问答题.16分）已知椭圆x28 + y24=1.F1.F2为左、右焦点.直线l过F2交椭圆于A.B两点．（1）若直线l垂直于x轴.求|AB|；（2）当∠F1AB=90°时.A在x轴上方时.求A、B的坐标；（3）若直线AF1交y轴于M.直线BF1交y轴于N.是否存在直线l.使得S △F1AB =S △F1MN.若存在.求出直线l的方程；若不存在.请说明理由．21.（问答题.18分）数列{a n}（n∈N*）有100项.a1=a.对任意n∈[2.100].存在a n=a i+d.i∈[1.n-1].若a k与前n项中某一项相等.则称a k具有性质P．（1）若a1=1.d=2.求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列.求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P.这三项和为c.使用a.d.c表示a1+a2+…+a100．2019年上海市高考数学试卷 参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）已知集合A=（-∞.3）.B=（2.+∞）.则A∩B=___ ． 【正确答案】：[1]（2.3） 【解析】：根据交集的概念可得．【解答】：解：根据交集的概念可得A∩B=（2.3）． 故答案为：（2.3）．【点评】：本题考查了交集及其运算.属基础题． 2.（填空题.4分）已知z∈C .且满足 1z−5 =i.求z=___ ． 【正确答案】：[1]5-i【解析】：把已知等式变形.再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：由 1z−5 =i.得z-5= 1i .即z=5+ 1i =5-i ． 故答案为：5-i ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.是基础的计算题．3.（填空题.4分）已知向量 a ⃗ =（1.0.2）. b ⃗⃗ =（2.1.0）.则 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为___ ． 【正确答案】：[1] arccos 25【解析】：直接利用向量的夹角公式的应用求出结果．【解答】：解：向量 a ⃗ =（1.0.2）. b ⃗⃗ =（2.1.0）. 则 |a ⃗|=√5 . |b ⃗⃗|=√5 . 所以：cos θ=a ⃗⃗•b ⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗| = 25 . 故： a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 arccos 25．故答案为： arccos 25 ．【点评】：本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题型．4.（填空题.4分）已知二项式（2x+1）5.则展开式中含x 2项的系数为___ ． 【正确答案】：[1]40【解析】：先求得二项式展开式的通项公式.再令x 的幂指数等于2.求得r 的值.即可求得含x 2项的系数值．【解答】：解：二项式（2x+1）5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r •25-r •x 5-r . 令5-r=2.求得 r=3.可得展开式中含x 2项的系数值为C 53•22=40. 故答案为：40．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.二项式展开式的通项公式.求展开式中某项的系数.属于基础题．5.（填空题.4分）已知x.y 满足 {x ≥0y ≥0x +y ≤2 .则z=2x-3y 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]-6【解析】：画出不等式组表示的平面区域.由目标函数的几何意义.结合平移直线.可得所求最小值．【解答】：解：作出不等式组 {x ≥0y ≥0x +y ≤2 表示的平面区域.由z=2x-3y 即y=2x−z3.表示直线在y 轴上的截距的相反数的 13 倍.平移直线2x-3y=0.当经过点（0.2）时.z=2x-3y 取得最小值-6. 故答案为：-6．【点评】：本题考查线性规划的运用.考查平移法求最值的方法.数形结合思想.考查运算能力.属于基础题．6.（填空题.4分）已知函数f（x）周期为1.且当0＜x≤1时.f（x）=log2x.则f（32）=___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：由题意知函数f（x）周期为1.所以化简f（32）再代入即可．【解答】：解：因为函数f（x）周期为1.所以f（32）=f（12）.因为当0＜x≤1时.f（x）=log2x.所以f（12）=-1. 故答案为：-1．【点评】：本题考查函数的周期性.属于简单题．7.（填空题.5分）若x.y∈R+.且1x +2y=3.则yx的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 98【解析】：根据基本不等式可得．【解答】：解：3= 1x +2y≥2 √1x•2y .∴ yx≤2√2）2= 98；故答案为：98【点评】：本题考查了基本不等式及其应用.属基础题．8.（填空题.5分）已知数列{a n}前n项和为S n.且满足S n+a n=2.则S5=___ ．【正确答案】：[1] 3116【解析】：由已知数列递推式可得数列{a n }是等比数列.且 a 1=1，q =12 .再由等比数列的前n 项和公式求解．【解答】：解：由S n +a n =2. ① 得2a 1=2.即a 1=1.且S n-1+a n-1=2（n≥2）. ②① - ② 得： a n =12a n−1 （n≥2）． ∴数列{a n }是等比数列.且 a 1=1，q =12 ． ∴ S 5=1×[1−(12)5]1−12=3116 ．故答案为： 3116．【点评】：本题考查数列递推式.考查等比关系的确定.训练了等比数列前n 项和的求法.是中档题．9.（填空题.5分）过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A.B.A 在B 上方.M 为抛物线上一点. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（λ-2） OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则λ=___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标.进一步利用向量的运算求出结果．【解答】：解：过y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与y 2=4x 交于A.B.A 在B 上方. 依题意：得到：A （1.2）B （1.-2）. 设点M （x.y ）.所以：M 为抛物线上一点. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（λ-2） OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 则：（x.y ）=λ（1.2）+（λ-2）（1.-2）=（2λ-2.4）. 代入y 2=4x. 得到：λ=3． 故答案为：3【点评】：本题考查的知识要点：直线和抛物线的位置关系的应用.向量的坐标运算的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题型．10.（填空题.5分）某三位数密码.每位数字可在0-9这10个数字中任选一个.则该三位数密码中.恰有两位数字相同的概率是___ ． 【正确答案】：[1]27100【解析】：分别运用直接法和排除法.结合古典概率的公式.以及计数的基本原理：分类和分步.计算可得所求值．【解答】：解：方法一、（直接法）某三位数密码锁.每位数字在0-9数字中选取. 总的基本事件个数为1000.其中恰有两位数字相同的个数为 C 101 C 32 C 91=270.则其中恰有两位数字相同的概率是2701000 = 27100； 方法二、（排除法）某三位数密码锁.每位数字在0-9数字中选取. 总的基本事件个数为1000.其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10=730. 可得其中恰有两位数字相同的概率是1- 7301000 = 27100． 故答案为： 27100 ．【点评】：本题考查古典型概率的求法.注意运用直接法和排除法.考查排列组合数的求法.以及运算能力.属于基础题．11.（填空题.5分）已知数列{a n }满足a n ＜a n+1（n∈N*）.P n （n.a n ）（n≥3）均在双曲线 x 26 - y 22=1上.则 lim n→∞|P n P n+1|=___ ．【正确答案】：[1]2√33【解析】：法一：根据两点之间的距离和极限即可求出.法二：根据向量法.当n→+∞时.P n P n+1与渐近线平行.P n P n+1在x 轴的投影为1.渐近线倾斜角为θ.则tanθ= √33.即可求出．【解答】：解：法一：由 n 26- a n 22=1.可得a n = √2(n 26−1) .∴P n （n. √2(n 26−1) ）. ∴P n+1（n+1. √2((n+1)26−1) ）.∴|P n P n+1|=. √(n +1−n )2+[√2(n+16)2−1−√2(n 26−1)]2=√2n2+2n−113−4√((n+1)26−1)(n 26−1)∴求解极限可得 lim n→∞|P n P n+1|=2√33. 方法二：当n→+∞时.P n P n+1与渐近线平行.P n P n+1在x 轴的投影为1.渐近线倾斜角为θ.则tanθ= √33. 故P n P n+1=1cosπ6=2√33故答案为： 2√33．【点评】：本题考查了双曲线的简单性质和点与点的距离公式.极限的思想.向量的投影.属于中档题．12.（填空题.5分）已知f （x ）=| 2x−1 -a|（x ＞1.a ＞0）.f （x ）与x 轴交点为A.若对于f （x ）图象上任意一点P.在其图象上总存在另一点Q （P 、Q 异于A ）.满足AP⊥AQ .且|AP|=|AQ|.则a=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：本题根据题意对函数f （x ）分析之后可画出f （x ）大致图象.然后结合图象可不妨设点P 在左边曲线上.点Q 在右边曲线上．设直线AP 的斜率为k.联立直线与曲线的方程可得P 点坐标.同理可得Q 点坐标．再分别算出|AP|、|AQ|.再根据|AP|=|AQ|及k 的任意性可解得a 的值．【解答】：解：由题意.可知： 令f （x ）=| 2x−1 -a|=0.解得：x= 2a +1. ∴点A 的坐标为：（ 2a +1.0）． 则f （x ）= {2x−1−a ，1＜x ≤x A −2x−1+a ，x ＞x A．∴f （x ）大致图象如下：由题意.很明显P 、Q 两点分别在两个分段曲线上.不妨设点P 在左边曲线上.点Q 在右边曲线上．设直线AP 的斜率为k.则l AP ：y=k （x- 2a -1）．联立方程： {y =k (x −2a −1)y =2x−1−a. 整理.得：kx 2+[a-k （ 2a +2）]x+k （ 2a +1）-a-2=0．∴x P +x A =-a−k(2a +2)k = 2a +2- a k ． ∵x A = 2a +1.∴x P = 2a +2- a k -x A =1- a k．再将x P =1- a k 代入第一个方程.可得：y P =-a- 2k a ．∴点P 的坐标为：（1- a k .-a- 2k a ）．∴|AP|= √(x P −x A )2+(y P −y A )2= √(1−a k −2a −1)2+(−a −2k a )2 = √4a 2•k 2+4k +a 2•1k 2+4•1k +a 2+4a 2． ∵AP⊥AQ .∴直线AQ 的斜率为- 1k .则l AQ ：y=- 1k （x- 2a -1）．同理类似求点P 的坐标的过程.可得：点Q 的坐标为：（1-ak.a+ 2ak ）．∴|AQ|= √(x Q −x A )2+(y Q −y A )2= √(1−ak−2a −1)2+(a+2ak)2= √a2•k2+4k+4a2•1k2+4•1k+a2+4a2∵|AP|=|AQ|.及k的任意性.可知：4a2=a2.解得：a= √2．故答案为：√2．【点评】：本题主要考查对函数分析能力.根据平移对称画出符合函数的图象.采用数形结合法分析问题.以及用平面解析几何的方法进行计算.以及设而不求法的应用．本题是一道较难的中档题．13.（单选题.5分）已知直线方程2x-y+c=0的一个方向向量d⃗可以是（）A.（2.-1）B.（2.1）C.（-1.2）D.（1.2）【正确答案】：D【解析】：先根据直线方程得直线的一个法向量.再根据法向量可得直线的方向向量．【解答】：解：依题意.（2.-1）为直线的一个法向量.∴方向向量为（1.2）.故选：D．【点评】：本题考查了直线的方向向量.空间直线的向量.属基础题．14.（单选题.5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2.将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A.1B.2C.4D.8【正确答案】：B【解析】：直接利用圆锥的体积公式求得两个圆锥的体积.作比得答案．【解答】：解：如图.则V1=13π×22×1=43π . V2=13π×12×2=23π .∴两个圆锥的体积之比为43π23π=2．故选：B．【点评】：本题考查圆锥的定义.考查圆锥体积的求法.是基础题．15.（单选题.5分）已知ω∈R.函数f（x）=（x-6）2•sin（ωx）.存在常数a∈R.使f（x+a）为偶函数.则ω的值可能为（）A. π2B. π3C. π4D. π5【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．【解答】：解：由于函数f（x）=（x-6）2•sin（ωx）.存在常数a∈R.f（x+a）为偶函数.则：f（x+a）=（x+a-6）2•sin[ω（x+a）].由于函数为偶函数.故：a=6.所以：6ω=π2+kπ .当k=1时．ω= π4故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题型．16.（单选题.5分）已知tanα•tanβ=tan（α+β）．有下列两个结论：① 存在α在第一象限.β在第三象限；② 存在α在第二象限.β在第四象限；则（）A. ① ② 均正确B. ① ② 均错误C. ① 对② 错D. ① 错② 对【正确答案】：D【解析】：考虑运用二次方程的实根的分布.结合导数判断单调性可判断① ；运用特殊值法.令tanα=- 13.结合两角和的正切公式.计算可得所求结论.可判断② ．【解答】：解：由tanα•tanβ=tan（α+β）.即为tanα•tanβ= tanα+tanβ1−tanαtanβ.设m=tanα.n=tanβ.可得n2m2+n（1-m）+m=0.若m＞0.可得上式关于n的方程有两个同号的根.若为两个正根.可得n＞0.即有m＞1.考虑△=f（m）=（1-m）2-4m3.f′（m）=2m-2-12m2=-12（m- 112）2- 2312.当m＞1时.f（m）递减.可得f（m）＜f（1）=-4＜0.则方程无解. β在第三象限不可能.故① 错；可令tanα=- 13.由tanα•tanβ=tan（α+β）.即为tanα•tanβ= tanα+tanβ1−tanαtanβ.可得- 13tanβ= tanβ−131+13tanβ.解得tanβ=-6± √39 .存在β在第四象限.故② 对．故选：D．【点评】：本题考查三角函数的正切公式.以及方程思想、运算能力.属于基础题．17.（问答题.14分）如图.在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M为BB1上一点.已知BM=2.CD=3.AD=4.AA1=5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA.判断△A1CA为等腰三角形.即可求出..求出法向量即（2）如图建立坐标系.根据向量的关系可得点A到平面A1MC的距离d= |AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n⃗⃗||n⃗⃗|可求出．【解答】：解：（1）依题意：AA1⊥平面ABCD.连接AC.则A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA.∵AA1=5.AC= √32+42 =5.∴△A1CA为等腰三角形..∴∠A1CA= π4∴直线A1C和平面ABCD的夹角为π.4（2）（空间向量）.如图建立坐标系.则A （0.0.0）.C （3.4.0）.A 1（0.0.5）.M （3.0.2）.∴ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3.4.0）. A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3.4.-5）. MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.4．-2）.设平面A 1MC 的法向量 n ⃗⃗ =（x.y.z ）.由 {n ⃗⃗•A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3x +4y −5z =0n ⃗⃗•MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4y −2z =0.可得 n ⃗⃗ =（2.1.2）. ∴点A 到平面A 1MC 的距离d=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗||n ⃗⃗| = √22+12+22 = 103 ．【点评】：本题考查了线面角的求法和点到平面的距离.考查了运算求解能力和转化与化归能力.空间想象能力.属于中档题．18.（问答题.14分）已知f （x ）=ax+ 1x+1.a∈R ． （1）当a=1时.求不等式f （x ）+1＜f （x+1）的解集；（2）若f （x ）在x∈[1.2]时有零点.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用转换关系.解分式不等式即可．（2）利用分离参数法和函数的值域的应用求出参数的范围．【解答】：解：（1）f （x ）=ax+ 1x+1 （a∈R ）．当a=1时.f （x ）=x+ 1x+1 ．所以：f （x ）+1＜f （x+1）转换为：x+ 1x+1 +1 ＜x +1+1x+2 .即：1x+1＜1x+2.解得：-2＜x＜-1．故：{x|-2＜x＜-1}．（2）函数f（x）=ax+ 1x+1在x∈[1.2]时.f（x）有零点. 即函数在该区间上有解.即：a=−1x(x+1).即求函数g（x）在x∈[1.2]上的值域.由于：x（x+1）在x∈[1.2]上单调递减.故：x（x+1）∈[2.6].所以：−1x(x+1)∈[−12，−16] .故：a∈[−12，−16]【点评】：本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用.分离参数法的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题．19.（问答题.14分）如图.A-B-C为海岸线.AB为线段. BĈ为四分之一圆弧.BD=39.2km.∠BDC=22°.∠CBD=68°.∠BDA=58°．（1）求BĈ的长度；（2）若AB=40km.求D到海岸线A-B-C的最短距离．（精确到0.001km）【正确答案】：【解析】：（1）由题意可求BC.及弧BC所在的圆的半径R.然后根据弧长公式可求；（2）根据正弦定理可得. BDsinA =ABsin58°.可求sinA.进而可求A.进而可求∠ABD.根据三角函数即可求解．【解答】：解：（1）由题意可得.BC=BDsin22°.弧BC 所在的圆的半径R=BCsin π4 = √22BC . 弧BC 的长度为 12πR = 12π•BC •√22 = √24×3.141×39.2×sin22° =16.310km ； （2）根据正弦定理可得. BD sinA =AB sin58° .∴sinA= 39.240×sin58° =0.831.A=56.2°.∴∠ABD=180°-56.2°-58°=65.8°.∴DH=BD×sin∠ABD=35.750km ＜CD=36.346km∴D 到海岸线A-B-C 的最短距离为35.750km【点评】：本题主要考查了利用三角函数.正弦定理求解三角形.还考查了基本运算．20.（问答题.16分）已知椭圆 x 28 + y 24 =1.F 1.F 2为左、右焦点.直线l 过F 2交椭圆于A.B 两点．（1）若直线l 垂直于x 轴.求|AB|；（2）当∠F 1AB=90°时.A 在x 轴上方时.求A 、B 的坐标；（3）若直线AF 1交y 轴于M.直线BF 1交y 轴于N.是否存在直线l.使得S △F 1AB =S △F 1MN .若存在.求出直线l 的方程；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意方程求得右焦点坐标.进一步求得A.B 的坐标.则|AB|可求；（2）设A （x 1.y 1）.由∠F 1AB=90°（∠F 1AF 2=90°）.利用数量积为0求得x 1与y 1的方程.再由A 在椭圆上.得x 1与y 1的另一方程.联立即可求得A 的坐标．得到直线AB 的方程.与椭圆方程联立即可求得B 的坐标；（3）设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.M （0.y 3）.N （0.y 4）.直线l ：x=my+2.联立直线方程与椭圆方程.结合S △F 1AB =S △F 1MN .得2|y 1-y 2|=|y 3-y 4|.再由直线AF 1 的方程： y =y 1x 1+2(x +2) .得M 纵坐标 y 3=2y 1x 1+2 .由直线BF 1 的方程： y =y 2x 2+2(x +2) .得N 的纵坐标 y 4=2y 2x 2+2.结合根与系数的关系.得| −4m 2m 2+2+4m •−4mm 2+2+16 |=4.解得m 值.从而得到直线方程．【解答】：解：（1）依题意.F 2（2.0）.当AB⊥x 轴时.则A （2. √2 ）.B （2.- √2 ）.得|AB|=2 √2 ；（2）设A （x 1.y 1）.∵∠F 1AB=90°（∠F 1AF 2=90°）.∴ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1+2，y 1)•(x 1−2，y 1) = x 12−4+y 12=0 .又A 在椭圆上.满足x 128+y 124=1 .即 y 12=4(1−x 128) . ∴ x 12−4+4(1−x 128)=0 .解得x 1=0.即A （0.2）．直线AB ：y=-x+2.联立 {y =−x +2x 28+y 24=1 .解得B （ 83 .- 23 ）； （3）设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.M （0.y 3）.N （0.y 4）.直线l ：x=my+2.则 S △F 1AB =12|F 1F 2|•|y 1−y 2|=2|y 1−y 2| .S △F 1MN =12|F 1O |•|y 3−y 4|=|y 3−y 4| ．联立 {x =my +2x 28+y 24=1 .得（m 2+2）y 2+4my-4=0． 则 y 1+y 2=−4m m 2+2 . y 1y 2=−4m 2+2 ．由直线AF 1 的方程： y =y 1x1+2(x +2) .得M 纵坐标 y 3=2y 1x 1+2 ； 由直线BF 1 的方程： y =y 2x 2+2(x +2) .得N 的纵坐标 y 4=2y 2x2+2 ． 若S △F 1AB =S △F 1MN .即2|y 1-y 2|=|y 3-y 4|.|y 3-y 4|=| 2y 1x 1+2−2y 2x 2+2 |=| 2y 1my 1+4−2y 2my 2+4 |=| 8(y 1−y 2)(my 1+4)(my 2+4) |=2|y 1-y 2|. ∴|（my 1+4）（my 2+4）|=4.|m 2y 1y 2+4m （y 1+y 2）+16|=4.代入根与系数的关系.得| −4m 2m 2+2+4m •−4m m 2+2+16 |=4.解得m= ±√3 ．∴存在直线x+ √3y −2=0 或 x −√3y −2=0 满足题意．【点评】：本题考查椭圆的简单性质.考查直线与椭圆位置关系的应用.考查计算能力.属难题．21.（问答题.18分）数列{a n}（n∈N*）有100项.a1=a.对任意n∈[2.100].存在a n=a i+d.i∈[1.n-1].若a k与前n项中某一项相等.则称a k具有性质P．（1）若a1=1.d=2.求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列.求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P.这三项和为c.使用a.d.c表示a1+a2+…+a100．【正确答案】：【解析】：（1）根据a1=1.d=2逐一求出a2.a3.a4即可；（2）{a n}不为等差数列.数列{a n}存在a m使得a m=a m-1+d不成立.根据题意进一步推理即可证明结论；（3）去除具有性质P的数列{a n}中的前三项后.数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列.且该数列的首项为a.公差为d.求a1+a2+…+a100即可．【解答】：解：（1）∵数列{a n}有100项.a1=a.对任意n∈[2.100].存在a n=a i+d.i∈[1.n-1].∴若a1=1.d=2.则当n=2时.a2=a1+d=3.当n=3时.i∈[1.2].则a3=a1+d=3或a3=a2+d=5.当n=4时.i∈[1.3].则a4=a1+d=3或a4=a2+d=5或a4=a3+d=（a1+d）+d=5或a4=a3+d=（a2+d）+d=7∴a4的所有可能的值为：3.5.7；（2）∵{a n}不为等差数列.∴数列{a n}存在a m使得a m=a m-1+d不成立.∵对任意n∈[2.10].存在a n=a i+d.i∈[1.n-1]；∴存在p∈[1.n-2].使a m=a p+d.则对于a m-q=a i+d.i∈[1.n-q-1].存在p=i.使得a m-q=a m.因此{a n}中存在具有性质P的项；（3）由（2）知.去除具有性质P的数列{a n}中的前三项.则数列{a n}的剩余项均不相等.∵对任意n∈[2.100].存在a n=a i+d.i∈[1.n-1].则一定能将数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列.且该数列的首项为a.公差为d.∴a1+a2+…+a100= 97a+97×(97−1)d+c=97a+4656d+c．2【点评】：本题考查了等差数列的性质和前n项和公式.考查了逻辑推理能力和计算能力.关键是对新定义的理解.属难题．。

2019高三压轴题汇总1、2019奉贤2、2019宝山3、2019虹口4、2019杨浦5、2019长宁（嘉定）6、2019徐汇7、2019崇明8、2019金山9、2019浦东10、2019黄埔11、2019松江（闵行）12、2019普陀13、2019青浦奉贤11．实系数一元二次方程012=++bx ax ()0≠ab 的两个虚根21,z z ，1z 的实部()0e 1<z R ，则2120202920202120z z mm m --+的模等于1，则实数=m ___2_____． 12．设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含B 、C 两个端点），π32=∠BAC ，且AC y AB x AP +=，xy y x ++的取值范围为_______[1,3]__．20．已知两点()()0,2,0,221F F -，动点P 在y 轴上的射影是H ，且22121PH PF PF =⋅， （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设直线21,PF PF 的两个斜率存在，分别记为21,k k ，若121=k k ，求点P 的坐标； （3）若经过点()0,1-N 的直线l 与动点P 的轨迹有两个交点为T 、Q ，74=-时，求直线l 的方程. 解：（1）设(,)P x y ，则(0,)H y又12(2,0),(2,0),(0,0)PF x y PF x y PH x =---=--=-·21212PF PF PH ⋅=，222142x y x ∴-+=所以动点P 的轨迹方程为22184x y += （2）由题意得：1200,22y yk k x x --==--- 所以212214y k k x ⋅==-，即224y x =- · 又由（1）可得22184x y +=，所以解得22164,33x y ==即点(,33P 或(33P -或(,33P -或(33P -- （3）方法1：设直线方程(1)y k x =+，联立方程组 22(1)28y k x x y =+⎧⇒⎨+=⎩2222(12)4280k x k x k +++-= 计算0∆>恒成立·········1分设1122(,),Q(,)P x y x y ，所以22121222428,1212k k x x x x k k--+=⋅=++所以121241|1|2)7NP NQ x x x x -==++=++22442)127kk-+==+，解得k=直线l的方程为1)y x=+·········2分方法2：设,P Q两个点的坐标分别为1cos0siniix ty tθθ=-+⋅⎧⎨=+⋅⎩，其中1,2,i=（[0,2)θπ∈为参数）将,P Q坐标代入22184x y+=得：22(1sin)2cos70t tθθ+-⋅-=计算0∆>恒成立···1分又12||||,||||t NP t NQ==，所以1212242cos||||||||71sint t t tθθ=-=+=+,27cos[22(1cos)]θθ=±+-，即22cos7cos40θθ±-=解得：1cos2θ=±，2,33ππθ=直线l的方程为1)y x=+·21．统计学中将()*,2Nnnn∈≥个数nxxx,,,21的和记作∑=niix1（1）设133-=nbn()*Nn∈，求∑=101iib；（2）是否存在互不相等的非负整数naaaa,,,,321，naaaa<<<≤3210,使得201921=∑=nia i成立，若存在，请写出推理的过程；若不存在请证明；（3）设nxxxx,,,,321()3≥n是不同的正实数，ax=1，对任意的()3*≥∈nNn，都有2122212111221xxxxxxxxxnni iin--=∑-=+，判断nxxxx,,,,321是否为一个等比数列，请说明理由.解：（1）因为*|313|,nb n n N=-∈，所以*133,4,313,5nn nb n Nn n-≤⎧=∈⎨-≥⎩·所以10123456101()()79iib b b b b b b b==++++++⋅⋅⋅+=∑（2）因为0na≥，20na>又11220482019=>，所以na中最大可能是10，因为012341022222220472019+++++⋅⋅⋅+=>，012349102222222110232019+++++⋅⋅⋅+=-=<所以max()10na=又0123810922222221102415352019++++⋅⋅⋅++=-+=<，所以必有19na-=·又因为01234102222222047+++++⋅⋅⋅+=，所以2019204728=-所以必然存在某几项5282p q r a a a ++=<，其中14p q r ≤<<≤， 只有23422228++=，所以存在这样互不相等的非负整数n a a a a ,,,,321 ，n a a a a <<<≤ 3210， 使得015678910222222222019+++++++=成立。

2019高考数学压轴小题及答案解析题组一10.设函数$f(x)$为定义域为$\mathbb{R}$的奇函数，且$f(x)=f(-2x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\sin x$，则函数$g(x)=\cos(\pi x)-f(x)$上的所有零点的和为（）在区间$[-2,2]$。

11.已知函数$f(x)=\frac{2}{1+x^2}+\sin x$，其中$f'(x)$为函数$f(x)$的导数，求$f(2018)+f(-2018)+f'(2019)+f'(-2019)$的值。

12.已知直线$l:y=ax+1-a(a\in\mathbb{R})$，若存在实数$a$使得一条曲线与直线$l$有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于$|a|$，则称此曲线为直线$l$的“绝对曲线”。

下面给出的四条曲线方程：$y=-2x-12$，$(x-1)^2+(y-1)^2=1$，$y=4x$，$x+3y=4$。

其中直线$l$的“绝对曲线”的条数为（）。

15.若平面向量$\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$，$\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$，$\vec{c}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$，满足$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，$\vec{b}\cdot\vec{c}=0$，则$\vec{1}$在$\vec{2}$方向上投影的最大值是（）。

16.观察下列各式：$3=3^1$，$6=3+5$，$9=7+9+11$，$12=13+15+17+19$，$\cdots$，$3m=m^2+(m+1)^2+(m+2)^2+\cdots+(2m-1)^2$。

按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则$m$的值为（）。

2019上海高考压轴卷数学一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为()A. 3B. 3C. 23D. 3【答案】D【解析】【分析】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ，利用斜率公式以及直线,AM BM 的斜率之积为49-列式并化简得:2022049y x a =-- ，①,再根据M 在椭圆上可得2202220y b x a a =-- ，②,联立①②可解得. 【详解】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+- 则000049y y x a x a ⋅=-+- ,，整理得：2022049y x a =--，① 又2200221x y a b+=，得2222002()b y a x a =-，即2202220y b x a a =--，② 联立①②，得2249b a -=-，即22249a c a -=，解得e =． 故选D ．【点睛】本题考查了斜率公式,椭圆的几何性质,属中档题.2.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】 “a＞1”⇒“11a ＜”，“11a ＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a∈R ，则“a ＞1”⇒“11a ＜”， “11a ＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．3.已知三棱锥S ABC -，ABC △是直角三角形，其斜边8AB =，SC ⊥平面ABC ,6SC =,则三棱锥的外接球的表面积为( )A. 100πB. 68πC. 72πD. 64π 【答案】A【解析】如图所示，直角三角形ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点D ，过D 作面ABC 的垂线，球心O 在该垂线上，过O 作球的弦SC 的垂线，垂足为E ，则E 为SC 的中点，球半径R OS =114,3,522CD AB SE SC R ====∴=，棱锥的外接球的表面积为24100R ππ=，故选A. 【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.4.定义：若整数m 满足：1122m x m -<≤+，称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =．给出函数(){}f x x x =-的四个命题：①函数()f x 的定义域为R ，值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②函数()f x 是周期函数，最小正周期为1；③函数()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数； ④函数()f x 的图象关于直线()2k x k Z =∈对称. 其中所有的正确命题的序号为（）A. ①③B. ②③C. ①②④D. ①②③【答案】B【解析】【分析】①中,根据题意易得11(){}(,]22f x x x =-∈-,故①错误; ②中,由(1)()f x f x +=可知小正周期为1，故②正确, ③中，()f x 在11(,]22-和13(,)22上是增函数, 故命题③正确, ④中,()()f k x f x -≠, 故命题④错误. 【详解】∵①中，显然(){}f x x x =- 的定义域为R,由题意知，11{}{}22x x x -<≤+，则得到(){}f x x x =-11(,]22∈-，故①错误； ②中，由题意知:(1)(1){1}1{}1f x x x x x +=+-+=+--={}()x x f x -=,所以(){}f x x x =-的最小正周期为1，，故②正确；③中，由于11{}{}22x x x -<≤+,则得(){}f x x x =-为分段函数，且在1113,,,2222⎛⎤⎛⎫- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭上是增函数，，故命题③正确；④中，由题意得，()(){}(){}()f k x k x k x x x f x -=---=---=-()f x ≠所以函数y =f （x ）的图象关于直线x =2k （k ∈Z ）不对称，故命题④错误； 由此可选择②③，故选B .【点睛】本题考查了函数的值域,周期性,对称轴,属难题.二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.若42021xx =，则x =___ 【答案】1【解析】4221xx =422022,1x x x x -⋅=∴==6.已知双曲线22121x y m m -=++m = ______. 【答案】2或5-【解析】 双曲线22121x y m m -=++，当焦点在x 轴时，a 2=m+2，b 2=m+1，可得c 2=a 2+b 2=3+2m ，双曲线22121x y m m -=++的离心率为2，所以327224m m m +=∴=+ 当焦点在y 轴时，a 2=-m-1，b 2=-m-2，可得c 2=a 2+b 2=-3-2m ，所以327514m m m --=∴=--- 故答案为2或-5． 点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，因为没有指出焦点在哪个轴上，所以讨论两种情况，要抓住双曲线方程的特征得出22,a b ，2c 即可得解7.62(x -的展开式中常数项为______ ．【答案】60【解析】【分析】先求出展开式的通项公式,再令x 的指数为0,解出r ,进而可求出常数项.【详解】62(x 的展开式中的通项公式：366621662()((1)2r r r r r r r r T C C x x ---+==-. 令32r -6=0，解得r =4．∴62(x的展开式中常数项为:4246(1)2C -⨯=60． 故答案为60．【点睛】本题考查了二项式定理,属基础题.8.函数2()42x x f x +=- (12)x -≤≤的最小值为______ ．【答案】-4【解析】分析】 换元,令2x t =,则1[,4]2t ∈,24y t t =-,再利用二次函数的单调性可求最小值. 【详解】2()(2)42x x f x =-⋅ ,令2x t =, 因为12x -≤≤ ,所以1[,4]2t ∈,则224(2)4y t t t =-=--, y 在1[,2]2t ∈上递减，在[2,4]t ∈上递增， 所以当t =2时函数取得最小值-4．故答案为-4．【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值,属中档题.9.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z|==．【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭复数为a bi -．【10.若数列{a n }满足a 11=152，11n a +-1na =5（n ∈N *），则a 1=______ ． 【答案】12【解析】【分析】 根据111n na a +-5=,可得1{}n a 是以5为公差的等差数列,由等差数列的通项公式可得. 【详解】因为111n na a +-5=,所以1{}n a 是以5为公差的等差数列, 所以1115(1)n n a a =+-, 所以111115(111)a a =+-, 所以111115052502a a =-=-=, 所以112a =. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,属基础题.11.已知()()()()2211a a x a x f x log x x ⎧+-⎪=⎨≥⎪⎩，＜，是R 上的增函数，则a 的取值范围是______ ． 【答案】[2，+∞）【解析】【分析】因为分段函数为R 上的增函数,所以分段函数在两段上也是增函数,且1x < 时的函数值恒小于等于1x ≥ 时的函数值.【详解】首先，y =log a x 在区间[1，+∞）上是增函数且函数(2)2y a x a =+-在区间（-∞，1）上也是增函数∴a ＞1 ①其次在x =1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即（a +2）-2a ≤log a 1⇒a ≥2 ②联解（1）、（2）得a ≥2．故答案为[2，+∞）．【点睛】本题考查了分段函数的单调性,属中档题.12.已知圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9，P （2，2）是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是______ ．【答案】【解析】【分析】因为经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦,根据垂径定理可求得最短弦长,由此可求得四边形的面积.【详解】∵圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9，∴圆心坐标为M （1，1），半径r =3．∵P （2，2）是该圆内一点，∴经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得AC 是经过P 点的直径，BD 是与AC 垂直的弦．∵|PM =∴由垂径定理，得|BD ．因此，四边形ABCD 的面积是S =12|AC |•|BD |=12．故答案 【点睛】本题考查了圆中的垂径定理,属中档题.13.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________． 【答案】23【解析】从袋中一次随机摸出2个球,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) 6种基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4的事件为 (1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，四种基本事件数，因此概率为4263=14.已知各项为正数的等比数列{}n a 中，2316a a =，则数列{}2log n a 的前四项和等于_____．【答案】8.【解析】各项为正的等比数列{a n }中，a 2a 3=16，可得a 1a 4=a 2a 3=16，即有log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4=log 2（a 1a 2a 3a 4）=log 2256=8．故答案为：8．点睛：这个题目考查是等比数列的性质和应用；解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律。

2019年上海市高考冲刺数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知直线a，如果直线b同时满足条件①a与b异面；②a与b成定角；③a与b的距离为定值．则这样的直线b（）A. 唯一确定B. 有2条C. 有4条D. 有无数条2.已知函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）•f（y）并且f（1）=1，那么：的值为（）A. 2019B. 1010C. 4038D. 30303.对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）-f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．判断下列函如①f（x）=2x+1；②f（x）=x2+2x+1；③f（x）=2x；④中是“位差奇函数”的有（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知等比数列{a n}的首项为2，公比为-，其前n项和记为S n，若对任意的n∈N*，均有A≤3S n-≤B恒成立，则B-A的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=______．6.抛物线y2=4x的焦点坐标是______．7.若向量，满足且与的夹角为，则=______．8.已知sin（α-π）=3cosα，则tan（π-α）=______9.一堆零件中任取5个，称得它们的质量如下（单位：克）：126，125，122，124，128，则该样本的标准差S=______克．10.已知△ABC周长为4，sin A+sin B=3sin C，则AB=______．11.已知直线l1：（a-3）x+（4-a）y+1=0与l2：2（a-3）x-2y+3=0平行，则a=______．12.已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为______．13.已知S n是公比为q的等比数列{a n}的前n项和，若对任意的k∈N*，都有成立，则q=______．14.若实数x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值是-9，则实数k=______15.在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是______．16.设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）-lg x=0的解的个数是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1-ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18.已知复数z 1=sin2x+λi，，且z1=z2．（1）若λ=0且0＜x＜π，求x的值；（2）设λ=f（x），已知当x=α时，，试求的值．19.某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示：年份201420152016201720182019人数/千人208221352203227623392385（1）根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量，并描述该地人口数量的变化趋势；（2）研究人员用函数拟合该地的人口数量，其中t的单位是年，2014年初对应时刻t=0，P（t）P）的单位是干人，设P（t）的反函数为T（x），求T（2400）的值（精确到0.1），并解释其实际意义．20.双曲线（b＞0）．（1）若Γ的一条渐近线方程为y=2x，求Γ的方程；（2）设F1、F2是Γ的两个焦点，P为Γ上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为9，求b的值；（3）斜率为2的直线与Γ交于A、B两点，试根据常数b的不同取值范围，求线段AB中点的轨迹方程．21.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n2=S n+S n-1（n∈N*，n≥2），数列{b n}满足（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，T n是{c n}的前n项和，求正整数m，使得对任意的n∈N*，均有T m≥T n；（3）设B={x|x=k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{-1，1}}（n∈N*，n≥2），求集合B中所有元素的和．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意作图如右图，其中α∥β，a⊂α，b⊂β，a，b异面则平面β内任一条与b平行的直线都满足要求．故选：D．由题设条件，可作出两个平面，两异面直线分别在两个平面上，以保证两异面直线等距离，由图可知，平面β内所有与b平行的线都满足题设中的三个条件，由此选出正确选项本题老点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查异面直线的定义、夹角、距离等基本概念解题的关键是理解题意中的三个条件，构造出如图的图形辅助判断，本题考查了空间想象能力及推理判断的能力，全面考查了对异面直线的定义的理解2.【答案】B【解析】解：由意题f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=1，可得令x=n，y=1，可得f（n+1）=f（n），可得f（1）=f（2）=f（3）=…=f（n）=1，那么=f2（1）+f2（2）+…+f2（1010）=1010．故选：B．根据f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=1，可得令x=n，y=1，可得f（n+1）=f（n），可得f（1）=f（2）=f（3）=…=f（n）=1，即可求解．本题考查了抽象函数的性质的应用，赋值法的计算，属于中档题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析4个函数：对于①，f（x）=2x+1，有f（x+m）-f（m）=2（x+m）+1-（2m+1）=2x，则对任意实数m，f（x+m）-f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于②，f（x）=x2+2x+1=（x+1）2，则f（x+m）-f（m）=x2+2（m+1）x，设h（x）=x2+2（m+1）x，不会是奇函数，则f（x）=x2+2x+1不是“位差奇函数”；对于③，f（x）=2x，记h（x）=f（x+m）-f（m）=2x+m-2m=2m（2x-1），由h（x）+h（-x）=2m（2x-1）+2m（2-x-1）=0，当且仅当x=0等式成立，则对任意实数m，f（x+m）-f（m）都不是奇函数，则f（x）不是“位差奇函数”；对于④，，f（x+m）-f（m）=sin（x+m+）-sin（m+）=2cos（+m+）sin，可取m=，可得2cos（+π）sin=-sinx为奇函数，则f（x）是“位差奇函数”．故选：B．根据题意，结合““位差奇函数”的定义依次分析4个函数是否是“位差奇函数”，综合即可得答案．本题考查了函数中的新定义，关键是要弄清新定义的本质含义，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：Sn==-•，①n为奇数时，Sn =+•，可知：Sn单调递减，且=，∴＜S n ≤S1=2；②n为偶数时，Sn =-•，可知：Sn单调递增，且=，∴=S2≤Sn＜．∴Sn的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y=3t-在（0，+∞）上单调递增，∴A≤=-=．B≥==．∴B-A的最小值=-=．故选：B．S n =-•，①n为奇数时，Sn=+•，根据单调性可得：＜S n ≤S1=2；②n为偶数时，Sn=-•，根据单调性可得：=S2≤Sn＜．可得Sn的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y=3t-在（0，+∞）上单调递增，即可得出．本题考查了等比数列的求和公式、单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】3【解析】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，A∪B={1，2，3，5}，∴a=3．故答案为：3．利用并集定义直接求解．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．6.【答案】（1，0）【解析】解：根据题意，抛物线y2=4x的开口向右，其焦点在x轴正半轴上，且p=2，则抛物线的焦点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）．根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的点在x轴正半轴上，且p=2，由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案．本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向．7.【答案】【解析】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：根据可得答案．本题主要考查向量的数量积运算，属基础题．8.【答案】3【解析】解：由sin（α-π）=3cosα，得-sinα=3cosα，∴tanα=-3，则tan（π-α）=-tanα=3．故答案为：3．直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．9.【答案】2【解析】解：一堆零件中任取5个，称得它们的质量如下（单位：克）：126，125，122，124，128，∴该样本的平均数为=（126+125+122+124+128）=125，该数据的方差为S2=[（126-125）2+（125-125）2+（122-125）2+（124-125）2+（128-125）2]=4，则该样本的标准差S=2．故答案为：2．先求出该样本的平均数，再求出该数据的方差，由此能求出该样本的标准差．本题考查样本的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】1【解析】解：∵sinA+sinB=3sinC，∴由正弦定理可得a+b=3c，又△ABC的周长为4，∴a+b+c=4c=4，解得c=1，即AB=1．故答案为：1．由正弦定理可得a+b=3c，结合周长为4可得c值，即得答案．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属基础题．11.【答案】3或5【解析】解：当a=3时两条直线平行，当a≠3时有故答案为：3或5．考查题意，不难发现x=3为所求，然后利用直线平行的条件解答即可．本题考查直线与直线平行的条件，是基础题．12.【答案】2π【解析】解：∵圆锥的体积为，母线与底面所成角为，∴如图，设圆锥底面半径AO=OB=r，则母线长l=SA=2r，高SO=r，∴V=πr2•r=，解得r=1，∴l=SA=2，SO=，∴该圆锥的侧面积为S=πrl=2π=2π．故答案为：2π．设圆锥底面半径AO=OB=r，则母线长l=SA=2r，高SO=r，利用体积，求出r=1，l=SA=2，该圆锥的侧面积为S=πrl，由此能求出结果．本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】【解析】解，①当q=1时，=[na1-（k+1）a1]，极限不存在．②q≠1时，==，若q＞1或q＜0，则极限不存在．故0＜q＜1，上式可化为：===，即q2+q-1=0，解得q=或q=＞1（舍去）．故填：．先分q是否为1进行讨论，排除q=1的情况，然后将等比数列的前n项和公式代入，求极限即可．本题考查了数列极限，讨论q的情况，以确定极限是否存在，是解决问题的突破口，本题主要考查极限的计算，等比数列的前n项和公式，属中档题．14.【答案】-3【解析】解：由实数x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（k，k），化z=2x+y为y=-2x+z，由图可知，当直线y=-2x+z过A（k，k）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3k=-9，即k=-3．故答案为：-3．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】[0，1+]【解析】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，-1），P是曲线y=上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），=cosα+sinα+1=，∴•的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出•的取值范围．本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用．16.【答案】8【解析】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点，且除了（1，0），其他交点横坐标均为无理数；即方程f（x）-lgx=0的解的个数是8，故答案为：8由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．17.【答案】解：（1）∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA 1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A 1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4，∴四棱锥A1-ABCD的体积：V===．（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A 1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A 1BD =arccos ．∴异面直线A 1B 与B 1D 1所成角是arccos ．【解析】（1）推导出AA 1⊥平面ABCD ，从而∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角，进而∠A 1CA=60°，AA 1=AC •tan60°=2，由此能求出四棱锥A 1-ABCD 的体积．（2）由BD ∥B 1D 1，得∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A 1B 与B 1D 1所成角．本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 18.【答案】解：（1）∵z 1=z 2∴∴（2分）若λ=0则得（4分）∵0＜x ＜π， ∴0＜2x ＜2π ∴，或∴或（6分）（2）∵==（8分）∵当x =α时，∴，，（9分）∵==--（11分）∴=．（12分）【解析】（1）把λ=0代入复数z1=sin2x+λi，利用z1=z2．实部等于实部，虚部等于虚部，得到方程组，结合0＜x＜π，求x的值；（2）表示出λ=f（x），化简为一个角的一个三角函数的形式，当x=α时，，代入表达式，化简后即可求的值．本题是中档题，借助复数相等的条件，确定变量的值，通过三角函数的化简，方程思想的应用确定三角函数数值，考查学生对所学知识的灵活应用能力，分析问题解决问题的能力，是好题．19.【答案】解：（1）2014年至2019年每年该地人口的增长数量为2385-2082=303千人，3135-2082=53，2203-2135=68，2276-2203=73，2339-2276=63，2385-2339=46，由上述数据可得从2014年到2019年每年人口增长数量呈先增加后减少的变化趋势，每一年人口总数呈逐渐递增的变化趋势，（2）由，∵P（t）的反函数为T（x），∴2400=2000+，∴4.4878e-0.6554t+1=，∴4.4878e-0.6554t=，两边取对数可得ln4.4878-0.6554t=-ln8，∴t==≈5.5，∴T（2400）=5.5．其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效数据，即经过半年时间，该地人口数量人数即增长到2400千人．【解析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019人后增加的数量，逐年增多，从2007后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年在增加的，（2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可．本题考查了函数模型在实际生活中的应用，考查了运算求解能力，属于中档题20.【答案】解：（1）由渐近线方程为y=±bx，又Γ的一条渐近线方程为y=2x，可得b=2，可得双曲线的方程为；（2）可设|PF1|=m，|PF2|=n，即有|m-n|=2a，PF1⊥PF2，可得m2+n2=4c2，则4c2-2mn=4a2，即mn=2b2，△PF1F2的面积为9，即为mn=b2=9，解得b=3；（3）设斜率为2的直线方程设为y=2x+t，代入双曲线方程可得（b2-4）x2-4tx-t2-b2=0，△=16t2+4（b2-4）（t2+b2）＞0，化为t2+b2-4＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，AB中点坐标为（，），消去t，可得中点的轨迹方程为y=x，当b＞2时，△＞0恒成立，即有（x∈R）；当0＜b＜2时，即有（x＞或x＜-）．【解析】（1）由双曲线的渐近线方程可得b；（2）可设|PF1|=m，|PF2|=n，运用双曲线的定义和勾股定理，三角形的面积公式，可得所求值；（3）设斜率为2的直线方程设为y=2x+t，代入双曲线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及判别式大于0，即可得到所求轨迹方程．本题考查双曲线的定义和方程、性质，主要是渐近线方程，考查直线和双曲线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）①a1=1，a n2=S n+S n-1（n∈N*，n≥2），∴=S n+1+S n，相减可得：-=a n+1+a n，化为：（a n+1+a n）（a n+1-a n-1）=0，∵a n+1+a n＞0，∴a n+1-a n=1，又=S 2+S1，可得-a2-2=0，a2＞0，解得：a2=2，∴a2-a1=1，∴数列{a n}设等差数列，a n=1+n-1=n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b 1b2•…b n-1=，∴．（2）c n==-=-，∴T n=-（1-+…+）=-+．T n+1-T n=-+-（-+）=-．n≤3时，T n+1≥T n．n≥4时，T n+1≤T n．当m=4时，使得对任意的n∈N*，均有T m≥T n．（3）x=k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{-1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n=1．其它k1，k2，…，k n-1∈{-1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，-1．证明：若k n=-1，则x=k1•2+k2•22+…+k n-1•2n-1-k n•2n≤2+22+……+2n-1-2n=-2n=-2＜0，此时x恒为负数，不成立．∴k n=1．此时：x≥-2-22-……-2n-1+2n=-+2n=2＞0，故k1，k2，…，k n-1∈{-1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，-1．②其它k1，k2，…，k n-1∈{-1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，-1．此时集合内的元素x共有2n-1个互不相同的正数．证明：k1，k2，…，k n-1∈{-1，1}（n∈N*，n≥2），利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n-1个．下面证明这2n-1个式子所表示的x互不相等，具体如下：证明：假如这2n-1个式子所表示的x存在相等的数，x 1=2n+k n-1•2n-1+……+k2•22+k1•2=x2=2n+•2n-1+……+•22+•2．k i，∈{-1，1}（i∈N*，n-1≥i≥2），即满足k i≠∈{-1，1}（i∈N*，n-1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．则•2m=•2m-1+（）•2m-2+……+（）•2，而|•2m-1+（）•2m-2+……+（）•2|≤2•2m-1+2•2m-2+……+2×2=2m+1-4＜|•2m|＜2m+1．因此，假设不成立，即这2n-1个式子所表示的x互不相等．③这2n-1个x互不相等的正数x（每个均喊k n b n=2n）．由k i=1或-1（i=1，2，……，n-1）等可能出现，因此所有k i b i（i=1，2，……，n-1）部分的和为0．故集合B中所有元素的和为所有k n b n=2n的和，即2n•2n-1=22n-1．【解析】（1）①a1=1，an2=Sn+Sn-1（n∈N*，n≥2），=Sn+1+Sn，相减可得：-=an+1+an，化简利用已知条件及其等差数列的通项公式可得an．②数列{bn }满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…bn-1=，相除可得bn．（2）cn==-=-，利用求和公式与裂项求和方法可得：Tn =-+．作差Tn+1-Tn，利用其单调性即可得出．（3）x=k1b1+k2b2+…+knbn，且x＞0，其中k1，k2，…，kn∈{-1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须kn =1．其它k1，k2，…，kn-1∈{-1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，-1．通过放缩及其求和公式即可证明．另外kn=1．此时：x≥-2-22-……-2n-1+2n＞0．②其它k1，k2，…，kn-1∈{-1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，-1．此时集合内的元素x共有2n-1个互不相同的正数．利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n-1个．下面证明这2n-1个式子所表示的x互不相等，具体如下：假如这2n-1个式子所表示的x存在相等的数，x 1=2n+kn-1•2n-1+……+k2•22+k1•2=x2=2n+•2n-1+……+•22+•2．ki，∈{-1，1}（i∈N*，n-1≥i≥2），即满足ki≠∈{-1，1}（i∈N*，n-1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．可得•2m=•2m-1+（）•2m-2+……+（）•2，右边通过去绝对值即可得出矛盾．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数学归纳法、方程与不等式的解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

1拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

2答题顺序：从卷首依次开始一般来讲，全卷大致是先易后难的排列。

所以，正确的做法是从卷首开始依次做题，先易后难，最后攻坚。

但也不是坚决地“依次”做题，虽然考卷大致是先易后难，但试卷前部特别是中间出现难题也是常见的，执着程度适当，才能绕过难题，先做好有保证的题，才能尽量多得分。

3答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

4学会分段得分会做的题目要特别注意表达准确、书写规范、语言科学，防止被“分段扣点分”。

不会做的题目我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。

如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。

如果题目有多个问题，也可以跳步作答，先回答自己会的问题。

5立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

6确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

7要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。