数系的扩充和复数的概念课时练习-新人教A版高中数学选修2-2

第一章 3.1 3.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．(2018·泉州高二检测)如果复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数,那么实数a 的值为( A ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．1或－2[解析] 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0a 2－3a ＋2≠0解得a ＝－2,故选A ．2．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a ＝( A ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3[解析] 由题意知(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ∴a －2＝2a ＋1,解得a ＝－3．故选A ．3．(2018·西安高二检测)设a,b ∈R,i 是虚数单位,则“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a ＋b i ＝a ＋bii2＝a －bi 为纯虚数,则a ＝0,b≠0,故选B ．4．(2017·潍坊高二检测)若复数z ＝(m ＋2)＋(m 2－9)i(m ∈R)是正实数,则实数m 的值为( B ) A ．－2 B ．3 C ．－3D ．±3[解析] 由题知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0m ＋2>0解得m ＝3．故选B ．5．(2017·上海高二检测)设x,y 均是实数,i 是虚数单位,复数(x －2y)＋(5－2x －y)i 的实部大于0,虚部不小于0,则复数z ＝x ＋yi 在复平面上的点集用阴影表示为图中的( A )[解析] 由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2y>05－2x －y≥0,可行域如A 所示,故选A ．6．若复数z 1＝sin2θ＋icosθ,z 2＝cosθ＋i 3sinθ(θ∈R),z 1＝z 2,则θ等于( D ) A ．kπ(k∈Z) B ．2kπ＋π3(k ∈Z)C ．2kπ±π6(k ∈Z)D ．2kπ＋π6(k ∈Z)[解析] 由复数相等的定义可知,⎩⎨⎧sin2θ＝cosθ，cosθ＝3sinθ.∴cosθ＝32,sinθ＝12． ∴θ＝π6＋2kπ,k ∈Z,故选D ．二、填空题7．如果x －1＋yi 与i －3x 为相等复数,x,y 为实数,则x ＝14,y ＝1．[解析] 由复数相等可知,⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.8．(2018·广元模拟)已知a 是实数,i 是虚数单位,若z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数,则a ＝1． [解析] ∵z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0a ＋1≠0,解得a ＝1．故答案为1． 三、解答题9．已知z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cosα－45＋i ⎝ ⎛⎭⎪⎫sinα－35,z 2＝cosβ＋isinβ,且z 1＝z 2,求cos(α－β)的值．[解析] 由复数相等的充要条件,知 ⎩⎪⎨⎪⎧cosα－45＝cosβ，sinα－35＝sinβ.即⎩⎪⎨⎪⎧cosα－cosβ＝45， ①sinα－sinβ＝35. ②①2＋②2得2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝1, 即2－2cos(α－β)＝1,所以cos(α－β)＝12．10．(2017·会宁期中)设复数z ＝(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i,试求实数m 的取值,使得(1)z 是纯虚数；(2)z 对应的点位于复平面的第二象限．[解析] (1)复数是一个纯虚数,实部等于零而虚部不等于0由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0m 2＋3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝3m≠－1且m≠－2,得m ＝3．(2)当复数对应的点在第二象限时,由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0m 2＋3m ＋2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m<3m>－1或m<－2,得－1＜m ＜3．B 级 素养提升一、选择题1．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R),z 2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ,θ∈R),并且z 1＝z 2,则λ的取值范围为( D )A ．－7≤λ≤916B ．916≤λ≤7 C ．－1≤λ≤1D ．－916≤λ≤7[解析] 由z 1＝z 2,得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cosθ，4－m 2＝λ＋3sinθ，消去m,得λ＝4sin 2θ－3sinθ ＝4(sinθ－38)2－916．由于－1≤sinθ≤1,故－916≤λ≤7．2．(2018·哈尔滨高二检测)若复数z ＝(sinθ－35)＋(cosθ－45)i(θ∈R)是纯虚数,则tan(θ－π4)的值为( A )A ．－7B ．－17C ．7D ．－7或－17[解析] 因为复数z 是纯虚数,所以满足实部为零且虚部不为零,即⎩⎪⎨⎪⎧sinθ＝35，cosθ≠45，因为sinθ＝35且cosθ≠45,所以cosθ＝－45,所以tanθ＝－34,所以tan(θ－π4)＝tanθ－11＋tanθ＝－34－11－34＝－7．二、填空题3．(2018·和平区一模)设i 是虚数单位,a 为实数,若复数a ＋103＋i是纯虚数,则a ＝－3． [解析] a 为实数,若复数a ＋103＋i ＝a ＋103－i 3＋i 3－i＝a ＋3－i 是纯虚数, 则a ＋3＝0,解得a ＝－3． 故答案为－3．4．若复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数,则x 的值为4__． [解析] ∵复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0x －3＝1,解得：x ＝4．三、解答题5．若不等式m 2－(m 2－3m)i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立,求实数m 的值． [解析] 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10，∴⎩⎨⎧m＝0或m ＝3，m ＝3或m ＝1，|m|<10.∴当m ＝3时,原不等式成立．6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc,如果(x ＋y)＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1,求实数x,y 的值．[解析] 由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋yi,故有(x ＋y)＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋yi ． 因为x,y 为实数,所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1,y ＝2．C 级 能力拔高已知z ＝sinA ＋(ksinA ＋cosA －1)i,A 为△ABC 的一内角．若不论A 为何值,z 总是虚数,求实数k 的取值范围．[解析] 若z 总是虚数,则对任意的A,ksinA ＋cosA －1≠0恒成立,则只需k 不在1－cosA sinA 的值域内即可．解法一：1－cosAsinA ＝2sin2A 22sin A 2cosA 2＝tan A 2, 其中A ∈(0,π)．∵当A 2∈(0,π2)时,tan A2∈(0,＋∞),∴1－cosAsinA的值域为(0,＋∞)． ∴当k≤0时,1－cosAsinA ≠k 恒成立,即当k≤0时,不论A 为何值,ksinA ＋cosA －1≠0恒成立,z 总是虚数．解法二：∵1－cosA sinA ＝－1sinAcosA －1,而sinAcosA －1表示点(cosA,sinA)与点(1,0)连线的斜率,又(cosA,sinA),A ∈(0,π)在除去端点的半圆上,如图所示,利用数形结合,有sinAcosA －1∈(－∞,0),∴1－cosAsinA∈(0,＋∞)． 以下同解法一．。

3．1 数系的扩充和复数的概念3．1.1 数系的扩充和复数的相关概念1．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．基础梳理1．复数的概念及代数表示(1)复数的定义：把集合C＝{a＋b i|a，b∈R|}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．(3)复数集全体复数所构成的集合叫做复数集．记作C＝{a＋b i|a，b∈R}．想一想：为了解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题？解析：设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i ·i ＝－1，那么方程x 2＋1＝0就有解x ＝i 了．2．两个复数相等的充要条件(1)在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R}中任取两个复数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，规定a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d ．(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．想一想：由3>2能否推出3＋i>2＋i ？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？解析：由3>2不能推出3＋i>2＋i ，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．3．复数的分类：(1)复数a ＋b i(a ，b ∈R)⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0），非纯虚数（a ≠0）. (2)集合表示：想一想：(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，当b ＝0时，z 是什么数？(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，当a ＝0且b ≠0时，z 是什么数？(1)解析：当b＝0时，z＝a为实数．(2)解析：当a＝0，b≠0时，z＝bi为纯虚数．自测自评1．复数a＋b i(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a＋b i(a，b∈R)为纯虚数，则a＝0，b≠0.∴a＋b i(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的充分不必要条件．2．下列说法正确的是(A)A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B．若a，b∈R且a＞b，则a i＞b iC．如果复数x＋y i是实数，则x＝0，y＝0D．复数a＋b i不是实数解析：由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.故选A.3．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(D)A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}C．R＝C∩I D．R∩I＝∅基础巩固1．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是(D)A．A∪B＝C B．∁U A＝BC．A∩∁U B＝∅D．B∪∁U B＝C2．以2i－5的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是(A) A．2－2i B．2＋iC．－5＋5i D.5＋5i解析：2i－5的虚部为2，5i＋2i2＝－2＋5i的实部为－2，所以新复数为2－2i.3．下列说法正确的是(A)A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B．若a，b∈R且a＞b，则a i＞b iC．如果复数x＋y i是实数，则x＝0，y＝0D．复数a＋b i不是实数解析：由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.4．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0，∴m ＝0或1. 答案：0或1 能力提升5．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a (D )A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析：因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i ，故选D.6．已知集合M ＝{1，2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1，3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为(B )A ．4B ．－1C ．－1或4D ．－1或6解析：由M ∩N ＝{3}得3∈M ，故(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i ＝3，因此得⎩⎨⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得⎩⎨⎧m ＝4或m ＝－1，m ＝6或m ＝－1.所以m 的值为－1，故选B.7．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的取值范围是________．解析：∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎨⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，∴x ＝－2. 答案：－28．复数z ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θi ，且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，若z 是实数，则θ的值为________；若z 为纯虚数，则θ的值为________．解析：z ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋θi ＝－sin θ＋icos θ.当z 是实数时，cos θ＝0.∵θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，∴θ＝±π2；当z 为纯虚数时⎩⎨⎧－sin θ＝0cos θ≠0，又θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，∴θ＝0. 答案：±π20 9．已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值．解析：由(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i 得⎩⎨⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得x ＝52，y ＝4. 由2x ＋ay －(4x －y ＋b )i ＝9－8i ，得⎩⎨⎧2x ＋ay ＝9，4x －y ＋b ＝8， 即⎩⎨⎧5＋4a ＝9，10－4＋b ＝8.解得a ＝1，b ＝2.10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)，试求实数a 分别取什么值时，z 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析：(1)由题意得即⎩⎨⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，即⎩⎨⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，故当a ＝6时，z 为实数． (2)依题意有⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，所以⎩⎨⎧a ≠－1，a ≠±1且a ≠6， 所以a ≠±1且a ≠6.故当a ∈R 且a ≠±1，6时，z 为虚数．(3)依题意有⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0， 所以⎩⎨⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6.所以不存在实数a 使z 为纯虚数．。

人教A 版选修2-2 数系的扩充与复数的引入 课时作业1．(2018三明5月)若复数满足(3＋4i)z ＝1－i(i 是虚数单位是，则复数的共轭复数z －＝( )(A)15－75i (B)－15＋75i(C)－125－725i (D)－125＋725i D 解析：由题意可得：z ＝1－i 3＋4i ＝（1－i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝－1－7i 25＝－125－725i ， 结合共轭复数的定义可知： z －＝－125＋725i ，故选D.2．(2018昆明二模)已知a ，b ∈R ，复数a ＋b i ＝2i1＋i ，则a ＋b ( )(A)2 (B)1 (C)0(D)－2A 解析：由题意得a ＋b i ＝2i （1－i ）2＝1＋i ，所以a ＝b ＝1，a ＋b ＝2，故选A.3．已知（1－i ）2z＝1＋i ，则复数z ＝( )(A)1＋i (B)1－i (C)－1＋i (D)－1－i答案：D4．i 2017的共轭复数为( ) (A)i (B)－i (C)1 (D)1答案：A5．复数i 3－2i ＝( )(A)－i (B)－3i (C)i (D)3i答案：C6．给出下列四个命题：①满足：z ＝1z的复数有±1，±i ；②若a ，b ∈R 且a ＝b ，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数；③复数z ∈R 的充要条件是z ＝z ；④在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数．其中正确结论的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3答案：B7．复数z ＝1－i ，则1z＋z 对应的点所在的象限为( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限D 解析：∵z ＝1－i ，∴1z ＋z ＝32－i2，∴1z＋z 对应的点所在的象限是第四象限．8．已知i 是虚数单位，且复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为( ) (A)6 (B)－6 (C)0(D)16A 解析：∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝3＋2b 5＋（6－b ）i 5，当6－b 5＝0时，z 1z 2是实数，∴b ＝6.9．若复数z 满足z1－i ＝i ，则z ＝( )(A)1－i (B)1＋i (C)－1－i(D)－1＋iA 解析：∵z1－i ＝i ，∴z ＝i(1－i)＝1＋i∴z ＝1－i.故选A.10．在复平面内，复数21－i 对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是( )(A)22(B) 2(C)2(D)2 2A 解析：21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ，所以该复数对应的点为(1，1)，该点到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝|1－1＋1|12＋（－1）2＝22，故选A.11．在复平面内，复数z ＝2i －1＋2i 的共轭复数的虚部为( )(A)－25(B)25 (C)25i (D)－25iB 解析：由题意知z ＝2i －1＋2i ＝2i （－1－2i ）5＝45－25i ，∴z ＝45＋25i ，其虚部为25，故选B.12．(2018黄冈模拟)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝3，z －z ＝3i(i 为虚数单位)，z 的实部与虚部之和为( )(A)0 (B)3 (C)－3(D)2B 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ＋z ＝3，z －z ＝3i ，得⎩⎨⎧a ＋b i ＋a －b i ＝3，a ＋b i －（a －b i ）＝3i ， 所以a ＝b ＝32.所以a ＋b ＝3.13．复数z 满足z i ＝3－i ，则在复平面内，复数z 对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限C 解析：由z i ＝3－i 得z ＝3－ii＝－1－3i ，对应点为(－1，－3)，位于第三象限，故选C.14．设z 1，z 2∈C ，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数是“z 1－z 2是虚数”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件B 解析：若z 1，z 2皆是实数，则z 1－z 2一定不是虚数，因此当z 1－z 2是虚数时，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当z 1，z 2中至少有一个数是虚数，z 1，z 2不一定是虚数时，如z 1＝z 2＝i ，即充分性不成立，故选B.15．若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 答案：－216．若复数z 满足3z ＋z ＝1＋i ，则z ＝________． 答案：14＋12i17．设复数z 满足z 2＝3＋4i ，则|z |＝________． 答案： 518．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________．解析：由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.答案：319．(2018厦门模拟)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若复数z ＝3－i ，则z ·z ＝________．解析：由z ＝3－i ，得z ·z ＝|z |2＝(32＋（－1）2)2＝10. 答案：1020．复数z ＝1＋i i (i 是虚数单位)在复平面上对应的点到原点的距离为________．解析：复数z ＝1＋i i ＝－i(1＋i)＝1－i.复数z ＝1＋ii (i 是虚数单位)在复平面上对应的点(1，－1)到原点的距离为 2.答案： 2能力提升练(时间：15分钟)21．下面是关于复数z ＝21－i 的四个命题：p 1：|z |＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为－1＋i ；p 4：z 的虚部为1.其中真命题为( )(A)p 2，p 3 (B)p 1，p 2 (C)p 2，p 4(D)p 3，p 4C 解析：∵z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ，∴|z |＝2，z 2＝2i ，z 的共轭复数为1－i ，z 的虚部为1.故p 1，p 3错，p 2，p 4正确． 22．对任意复数z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则下列结论正确的是( ) (A)|z －z |＝2y (B)z 2＝x 2＋y 2 (C)|z －z |≥2x (D)|z |≤|x |＋|y |答案：D23．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋m i ＝0有实数根，则实数m 的值为( ) (A)2 2(B)－2 2 (C)－22或2 2(D)2C 解析：设x ＝k (k ∈R )是方程的实数根，则k 2＋(m ＋2i)k ＋2＋m i ＝0， 即(k 2＋km ＋2)＋(2k ＋m )i ＝0. 根据复数相等的定义得⎩⎨⎧k 2＋km ＋2＝0，2k ＋m ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，m ＝－22，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，m ＝2 2.24．(2017泸州模拟)如果复数z ＝2－1＋i (i 是虚数单位)，则复数z 的虚部为________．解析：因为z ＝2－1＋i＝2（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝2（－1－i ）2＝－1－i ，所以复数z 的虚部为－1.答案：－125．(2017福州一模)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若a －i ＝2＋b i ，则(a ＋b i)2＝________． 解析：由a －i ＝2＋b i ，得a ＝2，b ＝－1，所以(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i. 答案：3－4i26．已知x ，y 为共轭复数，且( x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y . 解：设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2， 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，根据复数相等得⎩⎨⎧4a 2＝4－3（a 2＋b 2）＝－6 解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝1或⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－1.故所求复数为⎩⎨⎧x ＝1＋i y ＝1－i 或⎩⎨⎧x ＝1－i y ＝1＋i 或⎩⎨⎧x ＝－1＋i y ＝－1－i 或⎩⎨⎧x ＝－1－i y ＝－1＋i.。

第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2iB ．2＋iC ．－5＋5iD ．5＋5i解析 ∵2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2，∴新复数为2－2i.故选A ． 2．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝( D ) A ．0B ．2C ．52D ．5解析 ∵2＋a i ＝b －i ，a ，b ∈R ，∴b ＝2，a ＝－1，∴a 2＋b 2＝5.故选D ． 3．已知复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( D ) A ．π4B ．π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，得θ＝k π＋π4(k ∈Z )，故选D ．4．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( C ) A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4解析 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.5．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( C ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 (a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≠0，a －b ＝0⇔a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0是该复数为纯虚数的充要条件，所以a ＝b 是该复数为纯虚数的必要不充分条件．6．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( B )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 二、填空题7．复数1－i 的虚部的平方是__1__. 解析 1－i 的虚部为－1，虚部的平方为1.8．已知复数z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为__±1__；若z 是虚数，则m 的取值范围是__(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)__；若z 是纯虚数，则m 的值为__0__.解析 z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i ，若z 是实数，则m 2－1＝0，解得m ＝±1； 若z 是虚数，则m 2－1≠0，解得m ≠±1；若z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m 2－1≠0，解得m ＝0.9．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1＞z 2，则a 的值为__0__.解析 由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a ＜16，解得a ＝0.三、解答题10．若方程x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 有实根，求实数m 的值，并求出此实根．解析 设实根为x 0，代入方程，并由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，消去m ，得x 0＝±1，所以m ＝±2.因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1； 当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1.11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0，m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)若z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数． (3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m ＋3≠0，m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．如果log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，求自然数m ，n 的值． 解析 ∵log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(m ＋n )<1，m 2－3m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n <2，m ＝0或m ＝3，∵m ，n 是自然数，∴m ＝0，n ＝1.由Ruize收集整理。

⾼中数学选修2-2（⼈教A版）第三章数系的扩充与复数的导⼊3.1知识点总结含同步练习及答案描述：⾼中数学选修2-2(⼈教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章数系的扩充与复数的引⼊ 3.1 数系的扩充和复数的概念⼀、学习任务1. 了解数系的扩充过程．2. 理解复数的基本概念、代数表⽰法以及复数相等的充要条件．⼆、知识清单复数的概念复数的⼏何意义三、知识讲解1.复数的概念复数的概念为了把数的范围进⼀步扩充，⼈们引⼊了⼀个新的数，叫虚数单位，且规定：①；②可与实数进⾏四则运算，且原有的加、乘运算律仍成⽴．我们把集合中的数，即形如（，）的数叫做复数（complex number），其中叫做虚数单位（imaginary unit）．全体复数所成的集合叫做复数集（set of complex numbers）．复数通常⽤字母表⽰，即（，），这⼀表⽰形式叫做复数的代数形式（algebraic form of complex number）．对于复数，都有，，其中的与分别叫做复数的实部（real part）与虚部（imaginary part）．对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数．复数相等的充要条件在复数集中任取两个数，（，，，），与相等的充要条件是且．复数的分类复数（，）可以分类如下： i =?1i 2 i C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i a b ∈R i C z z =a +b i a b ∈R z =a +b i a b ∈R a b z a +b i b =0 a =b =0 0 b ≠0 a =0 b ≠0 C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i c +d i a b c d ∈R a +b i c +d ia =cb =d z =a +b i a b ∈R 复数a +b i(a ,b ∈R )实数(b =0)虚数(b ≠0){纯虚数(a =0)⾮纯虚数(a ≠0)例题：描述：2.复数的⼏何意义根据复数相等的定义，任何⼀个复数，都可以由⼀个有序实数对唯⼀确定．因为有序实数对与平⾯直⾓坐标系中的点⼀⼀对应，所以复数集与平⾯直⾓坐标系中的点集之间可以建⽴⼀⼀对应．点的横坐标是，纵坐标是，复数可⽤点表⽰，这个建⽴了直⾓坐标系来表⽰复数的平⾯叫做复平⾯，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表⽰实数；除了原点外，虚轴上的点都表⽰纯虚数．设复平⾯内的点表⽰复数，连结，显然向量由点唯⼀确定；反过下列命题中，正确的个数是（）①若，则的充要条件是；②若，则；③若，则，．A． B． C． D．解：A①由于，所以不⼀定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故①不正确；②由于两个虚数不能⽐较⼤⼩，所以②不正确；③当，时，成⽴，所以③不正确．x ,y ∈C x +y i =1+i x =y =1a ,b ∈R a +i >b +i +=0x 2y 2x =0y =00123x ,y ∈C x +y i x =1y =i +=0x 2y 2已知，，若，则______．解：根据复数相等的充要条件，得整理得，所以，将其代⼊，得，所以，所以．=?3?4i z 1=(?3m ?1)+(?m ?6)i (m ,n ∈R )z 2n 2n 2=z 1z 2=n m 4{?3m ?1=?3,n 2?m ?6=?4,n 22m =4m =2?3m ?1=?3n 2=4n 2n =±2=(±2=4n m )2实数为何值时，复数分别是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零．解：由题复数可整理为．（1）当时，，即或．（2）当时，是虚数，即且．（3）当时，是纯虚数，解得．（4）当时，，解得．k (1+i)?(3+5i)k ?2(2+3i)k 2z z =(?3k ?4)+(?5k ?6)i k 2k 2?5k ?6=0k 2z ∈R k =6k =?1?5k ?6≠0k 2z k ≠6k ≠?1{?3k ?4=0,k 2?5k ?6≠0,k 2z k =4{?3k ?4=0,k 2?5k ?6=0,k 2z =0k =?1 z =a +b i (a ,b ) (a ,b ) Z a b z =a +b i Z (a ,b ) x y Z z =a +b i OZ OZ ?→Z →OZ说成向量，并且规定，相等的向量表⽰同⼀个复数．。

A.-2B.C.-D.2解析:复数2-b i的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),所以b=2.答案:D2.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A.B.2 C.0 D. 1解析:由复数相等的充要条件知,解得故x+y=0.故2x+y=20=1.答案:D3.设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则()A.M∪R=IB.(∁I M)∪R=IC.(∁I M)∩R=RD.M∩(∁I R)=⌀解析:根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断.依题意,I,R,M三个集合之间的关系如下图所示.所以应有:M∪R⫋I,(∁ I M)∪R=∁I M,M∩(∁I R)≠⌀,故A,B,D三项均错,只有C项正确.答案:C4.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为()A.4B.-1C.-1或4D.-1或6解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以得m=-1.答案:B5.若复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则点(x,y)的轨迹是()A.以原点为圆心,以2为半径的圆B.两个点,其坐标为(2,2),(-2,-2)C.以原点为圆心,以2为半径的圆和过原点的一条直线D.以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(),(-,-)解析:因为复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则即x2+y2=4且x≠y.由可解得故点(x,y)的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(),(-,-).答案:D6.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isin π,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号).解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sin π=0·i=0为实数,其余为虚数.答案:②③④7.满足x2+2x+3i=m+x i(x,m∈R)的m的值为.解析:由已知可得所以m=15.答案:158.设复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i,(1)当实数m为何值时,z是纯虚数?(2)当实数m为何值时,z是实数?解:(1)因为复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是纯虚数,所以解得m=1±,所以当m=1±时,z是纯虚数.(2)因为复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是实数,所以解得m=-2,所以当m=-2时,z是实数.9.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.解:由定义运算=ad-bc,可得=3x+2y+y i.即(x+y)+(x+3)i=(3x+2y)+y i.由复数相等的充要条件得解得B组1.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为()A.-2B.3C.-3D.±3解析:依题意应有解得m=3.答案:B2.若复数z=cos θ+(m-sin θ-cos θ)i为虚数,则实数m的取值范围是. 解析:∵z为虚数,∴m-sin θ-cos θ≠0,即m≠sin θ+cos θ.∵sin θ+cos θ=sin∈[-],∴m∈(-∞,-)∪(,+∞).答案:(-∞,-)∪(,+∞)3.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a的值为. 解析:由z1>z2,得解得a=0.答案:04.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是.解析:若复数为纯虚数,则有即故a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1.答案:{a|a≠-1}5.如果lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,求自然数m,n的值.解:因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,所以lo(m+n)-(m2-3m)i是实数.从而有由①,得m=0或m=3.当m=0时,代入②,得0<n<2,又m+n>0,所以n=1;当m=3时,代入②,得n<-1,与n是自然数矛盾.综上可得,m=0,n=1.6.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.解:∵M∪P=P,∴M⊆P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解得m=2.综上可知m=1或m=2.。

【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 3.1.1 数系的扩大与复数的概念练习 新人教 A 版选修 2-2一、选择题1．以下命题中：①若 a ∈ R ，则 (a ＋ 1)i 是纯虚数；3 2②若 a 、 b ∈ R 且 a>b ，则 a ＋ i >b ＋ i ；③若 (x 2－ 1)＋ (x 2＋ 3x ＋ 2)i 是纯虚数，则实数 x ＝ ±1； ④两个虚数不可以比较大小． 此中，正确命题的序号是 ()A ．①B ．②C ．③D ．④[答案 ] D[剖析 ]由复数的相关观点逐一判断．[分析 ] 对于复数 a ＋ bi( a ，b ∈ R )，当 a ＝ 0，且 b ≠0时为纯虚数．在①中，若 a ＝－ 1，则( a ＋ 1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若 x ＝－ 1，也不是纯虚数，故③错误； a ＋ i 3＝ a －i ， b ＋ i 2＝b － 1，复数 a － i 与实数 b － 1 不可以比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2．若 sin2θ－ 1＋ i( 2cos θ＋ 1)是纯虚数，则 θ的值为 ()ππA ． 2k π－ 4B ． 2k π＋4πD ． k π πC ．2k π±＋ (以上 k ∈ Z )42 4[答案 ]Bπ[分析 ]sin2θ－ 1＝ 02θ＝2k π＋ 2 ，(k ∈ Z )．由2cos θ＋ 1≠0得π，θ≠2k π＋ π±4π∴ θ＝2k π＋ .选 B.43．复数 4－ 3a － a 2 i 与复数 a 2＋ 4ai 相等，则实数 a 的值为 ()A ． 1B ．1 或－ 4C ．－ 4D ．0 或－ 4[答案 ]C4－ 2[分析 ]3a ＝ a ，由复数相等的充要条件得－ a 2＝4a.解得： a＝－ 4.故应选 C.4．已知复数z＝ cosα＋ icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α 的取值会合为()A ． { π，2π 4ππ 5π，3}B．{ ，3} 33C．{ π，π 11ππ5π，6}D． { ，π，3} 63[答案 ]D[分析 ]由条件知， cosα＋ cos2α＝ 0，∴2cos2α＋ cosα－ 1＝ 0，∴cosα＝－ 1 或1，2π 5π∵ 0<α<2π，∴ α＝π，3或3，应选 D.5．若复数 (a A ． a＝－ 1 C．a≠－ 12－ a－ 2)＋ (|a－ 1|－ 1)i( a∈R)不是纯虚数，则()B． a≠－ 1 且 a≠2D． a≠2[答案 ]C[分析 ]若复数 (a2－a－ 2)＋ (|a－ 1|－1)i 不是纯虚数，则有a2－ a－ 2≠0或 |a－1|－ 1＝0，解得 a≠－1.故应选 C.6．复数 z＝ a2－ b2＋ (a＋ |a|)i(a、b∈R) 为实数的充要条件是()A ． |a|＝ |b|B． a<0 且 a＝－ bC．a>0 且 a≠b D． a≤0[答案 ]D[分析 ]复数 z 为实数的充要条件是a＋ |a|＝ 0，故 a≤ 0.二、填空题7．假如 x－ 1＋ yi 与 i － 3x 为相等复数， x， y 为实数，则x＝ ______________ ， y＝______________[答案 ]11 4[分析 ]由复数相等可知，1x－ 1＝－ 3x，∴ x＝4，y＝ 1，y＝ 1.8．方程 (2x2－ 3x－ 2)＋ (x2－ 5x＋ 6)i＝ 0 的实数解x＝________________. [答案]222x － 3x － 2＝ 0，[分析 ]方程可化为 x 2－ 5x ＋ 6＝0.解得 x ＝2.9．假如 z ＝ a 2＋ a － 2＋(a 2－3a ＋ 2)i 为纯虚数，那么实数 a 的值为 ________________ ．[答案 ] － 2[分析 ]a 2＋ a － 2＝ 0，，解之得 a ＝－ 2.假如 z 为纯虚数，需a 2－ 3a ＋ 2≠0.三、解答题10．已知 z 1＝ cos α－4 ＋ i sin α－3， z 2＝ cos β＋ isin β，且 z 1＝ z 2，求 cos(α－ β)的值．55[分析 ]由复数相等的充要条件，知cos α－4＝ cos β，cos α－cos β＝ 4，①55即sin α－ sin β＝ 3.sin α－ 3＝sin β.②55① 2＋② 2 得 2－ 2(cos α·cos β＋ sin α·sin β)＝ 1，即 2－2cos(α－ β)＝ 1，因此 cos(α－ β)＝12.一、选择题11．若复数 z 1＝ sin2θ＋ icos θ， z 2＝ cos θ＋ i 3sin θ(θ∈ R )， z 1＝ z 2，则 θ等于 ( )πA ． k π(k ∈ Z )B ． 2k π＋3(k ∈ Z )πD ． 2k π＋ πC ．2k π±(k ∈ Z )6 (k ∈ Z )6[答案 ] D[分析 ]sin2θ＝ cos θ，由复数相等的定义可知，cos θ＝ 3sin θ.31 π ，应选 D.∴ cos θ＝ ， sin θ＝ .∴ θ＝ ＋ 2k π， k ∈Z22612．(2014 江·西临川十中期中 )若 (m 2－ 3m － 4)＋ (m 2－ 5m － 6)i 是纯虚数，则实数 m 的值为()A ．－ 1B ． 4C ．－1或 4D ．不存在[答案 ]B2m － 3m－ 4＝0，m＝－ 1或 4，∴∴ m＝ 4.m≠－1或 m≠6，13．已知对于x 的方程 x2＋ (m＋ 2i)x＋ 2＋ 2i＝ 0(m∈R) 有实数根n，且 z＝ m＋ ni，则复数 z 等于 ()A ． 3＋ i B． 3－ iC．－ 3－ i D．－ 3＋ i[答案 ]B[分析 ]由题意知 n2＋ (m＋ 2i)n＋ 2＋ 2i＝ 0，n2＋ mn＋ 2＝ 0，m＝3，即，解得2n＋ 2＝ 0.n＝－ 1.∴ z＝ 3－i ，故应选 B.14．已知会合 A＝ { x||x| ≤2，x∈Z} ，在会合 A 中任取一个元素a，则复数 z＝(a2－1)＋ (a2－a－ 2)i 为实数的概率为p1， z 为虚数的概率为p2， z＝ 0 的概率为 p3， z 为纯虚数的概率为p4，则 ()A ． p3<p1<p4<p2B． p4<p2<p3<p1C．p3<p4<p1 <p2D． p3＝ p4<p1<p2[答案 ]D[分析 ]由条件知 A＝ { － 2，－ 1,0,1,2} ，若 z∈R，则 a2－a－ 2＝ 0，∴ a＝－ 1 或 2，∴ p1＝2； 5a2－ 1＝0，1；若 z＝ 0，则∴ a＝－ 1，∴ p3＝a2－ a－2＝ 0，5若 z 为虚数，则 a2－ a－ 2≠0，∴ a≠－ 1 且 a≠2，∴ p ＝3；25若 z 为纯虚数，则a2－ 1＝0，1∴ a＝ 1，∴ p4＝ .a2－ a－2≠0，5∴ p3＝ p4<p1<p2.二、填空题15．若 cosθ＋ (1＋ sinθ)i 是纯虚数，则θ＝________________.π[答案 ]2kπ＋2(k∈Z )cosθ＝0，[分析 ]由cosθ＋(1＋sinθ)i是纯虚数知，1＋ sinθ≠ 0.π因此θ＝ 2kπ＋2(k∈Z )．16．若 x 是实数， y 是纯虚数，且知足2x－ 1＋ 2i ＝y，则x＝ ________________ ， y＝________________.[答案 ]12i 2[分析 ]设 y＝bi( b∈R,且 b≠ 0)，则 2x－ 1＋ 2i＝ bi ，再利用复数相等的充要条件得1，∴ x＝1， y＝ 2i.2x－1＝ 0，解得 x＝22＝ b.b＝ 2.2三、解答题17．若不等式 m2－ (m2－ 3m)i<( m2－ 4m＋ 3)i ＋10建立，务实数m 的值．m2－ 3m＝ 0，m＝0或 m＝ 3，[分析 ]由题意，得 m2－ 4m＋ 3＝0，∴ m＝3或 m＝ 1，m2<10 ，|m|<10.∴当 m＝ 3 时，原不等式建立．18．当实数 m 为什么值时，复数m2＋m－ 62z＝＋ (m － 2m)i 为m(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[分析 ]m2－ 2m＝ 0，(1)当m≠0，即 m＝ 2 时，复数z 是实数；(2)当 m2－ 2m≠0，且 m≠0，即 m≠0且 m≠2时，复数z 是虚数；m2＋m－ 6＝0，(3)当m2即 m＝－ 3 时，复数z 是纯虚数．。

课时提升卷(二十)数系的扩充和复数的概念（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.已知a,b∈R,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.满足x2+2x+3i=m+xi(x,m∈R)的m的值为( )A.15B.3C.9D.123.若复数a+2i的实部和复数2+(a2-a-3)i的虚部相等,则实数a的值为( )A.3B.-1C.3或-1D.-3或14.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z等于( )A.3+iB.3-iC.-3-iD.-3+i5.若复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则点(x,y)的轨迹是( )A.以原点为圆心,以2为半径的圆B.两个点,其坐标为(2,2),(-2,-2)C.以原点为圆心,以2为半径的圆和过原点的一条直线D.以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(,),(-,-)二、填空题(每小题8分,共24分)6.若纯虚数(m2-3m+2)i的虚部小于2,则实数m的取值范围是.7.若复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i是虚数,则实数m满足.8.复数cos2θ+2isin2θ的实部与虚部的和等于.三、解答题(9～10题各14分,11题18分)9.设复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i,(1)当实数m为何值时,z是纯虚数?(2)当实数m为何值时,z是实数?10.若sin2θ-1+i(cosθ+1)是纯虚数(其中i是虚数单位),且θ∈[0,2π),求θ的值.11.(能力挑战题)已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实数根,求这个实数根以及实数k的值.答案解析1.【解析】选C.若(a-b)+(a+b)i为纯虚数,则即a=b,且a≠-b.又若a=b=0,则(a-b)+(a+b)i不是纯虚数,故“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的必要不充分条件.2.【解析】选A.由复数相等的充要条件可知:解得m=15. 【变式备选】下列复数可能与复数+i(a∈R)相等的复数是( ) A.-2i B.a2+i C.3-a2i D.3+a2i【解析】选B.由于+i不可能是纯虚数,而-2i是纯虚数,故-2i和+i 不可能相等;当a2=,即a=1时,a2+i和+i相等;因为复数3-a2i的虚部-a2≤0,而+i的虚部为1,故二者不可能相等;若3+a2i和+i相等,则而此方程组无解,故二者不相等.3.【解析】选C.根据题意有a2-a-3=a,即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.4.【解题指南】解答本题的关键点是将方程左边转化为复数的代数形式,然后利用复数相等的充要条件求解.【解析】选B.由题意知n2+(m+2i) n+2+2i=0,即n2+mn+2+(2n+2)i=0.所以解得所以z=3-i.5.【解析】选D.因为复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则即x2+y2=4且x≠y.由可解得或故点(x,y)的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(,),(-,-).6.【解析】根据题意可知解得0<m<3,且m≠1,且m≠2,即实数m的取值范围是(0,1)∪(1,2)∪(2,3).答案:(0,1)∪(1,2)∪(2,3)7.【解析】因为m2-3m-4+(m2-5m-6)i是虚数,所以m2-5m-6≠0,所以m≠-1且m≠6.答案:m≠-1且m≠6【误区警示】在解不等式m2-5m-6≠0时,易将结果错解为m≠-1或m≠6.8.【解题指南】找到复数的实部和虚部,利用三角函数公式中的二倍角公式可求其和.【解析】复数cos2θ+2isin2θ的实部和虚部分别为cos2θ和2sin2θ,故cos2θ+2sin2θ=1-2sin2θ+2sin2θ=1.答案:19.【解析】(1)因为复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是纯虚数, 所以解得m=1±,所以当m=1±时,z是纯虚数.(2)因为复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是实数,所以解得m=-2,所以当m=-2时,z是实数.【举一反三】若题中的复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是虚数,求实数m的取值范围.【解析】因为z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是虚数,所以解得m>3或m<-1,且m≠-2,故所求实数m的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(3,+∞).10.【解析】因为sin2θ-1+i(cosθ+1)是纯虚数,所以所以即又θ∈[0,2π),所以θ=.11.【解析】设关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0的实数根为x=x0,代入方程并整理得(+kx 0+2) +(2x0+k)i=0,由复数相等的条件得解得或所以方程的实数根为x=或x=-,相应的k的值为k=-2或k=2.【拓展提升】虚系数一元二次方程问题的求解策略(1)对于虚系数一元二次方程来说,应用实系数一元二次方程的判别式来判断根的情况已经不再可行,要注意判别式的使用范围.(2)解虚系数一元二次方程问题,一般都是把已知方程的根代入方程,利用复数相等的充要条件求解.(3)求解虚系数一元二次方程的问题一般是把复数问题实数化,体现了转化与化归的数学思想.。

3.1数系的扩充与复数的概念（人教实验A 版选修2-2）一、选择题（本大题共5小题，每小题6分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列说法正确的是（ ） A ．0i 是纯虚数B ．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C ．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数 D ．i 2是虚数 2已知12121z z z z ==-=,则12z z +等于()A.13．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋||)i(a ，b ∈R )为实数的充要条件是( ) A ．||＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a ≤04．若复数(a 2−a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠25．下列命题中哪个是真命题( ) A ．－1的平方根只有一个 B ．i 是1的四次方根 C ．i 是－1的立方根D ．i 是方程x 6－1＝0的根二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）6.如果35a <<,复数22(815)(514)i z a a a a =-++--在复平面上的对应点Z 在第__________象限7若复数sin 2i(1cos 2)z θθ=--是纯虚数,则θ=__________.8.222log (33)i log (3)(z m m m m =--+⋅-∈R ),若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是__________.9．已知复数z ＝√3x −1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，则实数x ＝__________.三、解答题（本大题共5小题，共50分） 10．（8分）若log 2(m 2－3－3)＋i ∙log 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值．11．（10分）计算：i ＋i 2＋i 3+…+i 2005.12.（11分）当m 为何实数时，复数z ＝222-3-2-25m m m +(m 2+3m －10)i ； （1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．13.（10分）已知z =x ＋y i(x ，y ∈R )，且222i log 8(1log )ix y x y ++-=-，求z ．14.（11分）已知复数1z ，2z满足11z =+，21z =，且124z z -=，求12z z 与12z z +的值.3.1数系的扩充与复数的概念答题纸得分：一、选择题二、填空题6． 7． 8． 9． 三、解答题 10. 11.12.13.14.3.1数系的扩充与复数的概念答案一、选择题1.C 解析：0i=0∈R 故A 错；原点对应复数为0∈R 故B 错；i 2=-1∈R ，故D 错；实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数是正确的，C 正确，故选C ．2.C 解析：2222121212122()3,z z z z z z z z +=+--=+=3.D 解析：复数z 为实数的充要条件是a ＋||＝0，而||＝－a ，∴a ≤0，故应选D.4.C 解析：若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.5.B 解析：∵＝－1，∴－1的平方根有两个，故A 错；∵－i ≠－1，∴i 不是－1的立方根，∴C 错；∵＝i 2＝－1，∴1≠0，故i 不是方程x 6－1＝0的根，故D 错；∵i 4＝1，∴i 是1的四次方根，故选B. 二、填空题6.三解析：35,a <<22815(3)(5)0,514(2)(7)0.a a a a a a a a -+=--<--=+-<7.ππ, 2k k +∈Z 解析：πsin 20,1cos 20,22ππ,π,.2k k k θθθθ=-≠=+=+∈Z2222222233331log (33)2log (3)10,log 1,,(3)(3)2:m m m m mm m m m m --------+==-==--解析3,m m >=而所以9.1解析：复数z 能与0比较大小，则复数一定是实数，由题意知{√3x −1－x >0,x 2－4x ＋3=0,解得x ＝1.三、解答题10.解：∵(m 2－3－3)＋i ∙log 2(m －2)为纯虚数， ∴∴＝4.故当m ＝4时，log 2(m 2－3－3)＋i ∙log 2(m －2)是纯虚数．11.解：i ＋i 2＋i 3+⋯+i 2005=(i+i 2+i 3+i 4)+⋯+(i 2001+i 2002+i2003＋i2004)＋i2005=(i －1－i+1)+(i －1－i+1)+⋯+(i －1－i+1)+i＝0＋0＋⋯＋0+i ＝i.12.解：（1）z 为实数，则虚部m 2+3m －10=0，即22+3-10=0,-250,m m m ⎧⎨≠⎩解得m =2，∴m =2时，z 为实数.（2）z 为虚数，则虚部m 2+3m －10≠0，即22+3-100,-250,m m m ⎧≠⎨≠⎩ 解得m ≠2且m ≠±5.当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数.（3）z 为纯虚数，则2222-3-2=0,+3-100,-250,m m m m m ⎧⎪≠⎨⎪≠⎩解得m =－12,∴当m =－12时，z 为纯虚数． 13.解：222i log 8(1log )i x yx y ++-=-Q ，22280,log 1log ,x y x y +⎧-=⎨=-∴⎩3,2,∴+=⎧⎨=⎩x y xy2,1解得=⎧⎨=⎩x y 1,2,x y =⎧⎨=⎩或∴z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ．14.解：设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z .由于2221)1)4+=，故2221212z z z z +=-，故以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r ，则12z =z =；12124z z z z +=-=．。