浙江省金华市武义县第三中学2020届高三下学期4月模拟考试数学试卷

金华十校2020年4月高三模拟考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟，试卷总分为150分。

请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 ()()()P A B P B P A =++如果事件A 、B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式()1213V S S h =++ 其中12,S S 表示台体的上、下底面积，h 表示棱台的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(1)(2)0},{|12}A x x x B x x =+-<=<，则A ∩B = A ．{|12}x x <<B ．{|12}x x <≤C ．{|12}x x -<≤D ．{|12}x x -≤<2．若复数2()1aia i+∈-R 是纯虚数（ i 是虚数单位），则a 的值为 A ．-2B ．-1C ．1D ．23．若x ，y 满足约束条件,4,2,y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩则2z x y =+的最大值是A ．8B ．6C ．4D ．24．设a ∈R ，则“a >2”是“方程22220x y ax y ++-+=的曲线是圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在下面四个[,]x ππ∈-的函数图象中，函数||cos2y x x =的图象可能是6．已知在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点，EF 分别为BC ，B 1B 的中点，则直线MN 与直线EF 、平面ABB 1A 1的位置关系分别为A ．平行、平行B ．异面、平行C ．平行、相交D ．异面、相交7．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n =3时取出黑球的数目，η表示当n =4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是A ．()(),()()E E D D ξηξη<<B ．()(),()()E E D D ξηξη><C ．()(),()()E ED D ξηξη<>D ．()(),()()E E D D ξηξη>>8．已知函数21,0,()ln ,0,ax x f x x x ⎧+=⎨>⎩下列关于函数() ()y f x m =+的零点个数的判断，正确的是A ．当a =0，m ∈R 时，有且只有1个B ．当a >0，m ≤-1时，都有3个C ．当a <0，m <-1时，都有4个D ．当a <0，-1<m <0时，都有4个9．设三棱锥V-ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA ⊥底面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），记WM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A VC B --为γ则A ．,2παββγ<+>B ．,2παββγ<+<C ．,2παββγ>+>D ．,2παββγ>+<10．设a ∈R ，数列{a n }满足()311,2n n n a a a a a +==--，则 A ．当4a =时，10102a >B ．当2a =时，102a >C ．当13a =时，10102a >D ．当165a =时，102a > 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．若双曲线221x y a -=的一渐近线方程是x +2y =0，则a = ▲ ；离心率是▲ 。

浙江省高考模拟试卷〔4月份〕数学一、选择题〔共10小题〕.1．集合A ＝{x |y ＝1x -}，B ＝{x |x 〔x ﹣2〕＜0}，那么〔∁R A 〕∪B ＝〔 〕 A ．〔1，2〕 B ．〔0，1〕 C ．〔0，+∞〕D ．〔﹣∞，2〕2．设复数z 的共轭复数为z ．假设z ＝1﹣i 〔i 为虚数〕，那么2z z z+的值为〔 〕 A ．iB ．﹣iC ．0D ．3i3．a ，b ∈R ，那么“|a |+|b |＜2〞是“|ab |＜1〞的〔 〕 A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件4．设平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点P ∈α，且P ∉l A ．过点P 且垂直于α的直线平行于l B ．过点P 且垂直于α的直线平行于β C ．过点P 且垂直于α的平面平行于lD ．过点P 且垂直于α的平面平行于β5．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，16]，当a 变动时，函数b ＝g 〔a 〕的图象可以是〔 〕A ．B ．C ．D ．6．等差数列{a n }前n 项和为S n ，且4813S S =，那么816S S 等于〔 〕 A ．18 B ．19 C ．13 D ．3107．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事．某电视台方案在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，那么不同的播放方式有〔〕A．120种B．48种C．36种D．18种8．实数x，y满足不等式组1023610x yx yy-+⎧⎪+⎨⎪+⎩．设z＝2|x|﹣y，那么z的取值范围为〔〕A．[﹣1，10] B．[﹣1，1] C．[﹣10，1] D．[﹣1，5]9．如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1与C2在第二、四象限的公共点，假设AF1⊥BF1，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，那么8e1+e2的最小值为〔〕A．6+322B．643C510D5510．三棱锥D﹣ABC中，∠ACD＝2∠ACB＝120°，CD＝2BC，那么异面直线AC与BD所成的角可能是〔〕A．30°B．45°C．60°D．75°二、填空题〔共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分〕11．我国古代书籍《九章算术》第七章“盈缺乏〞专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为：“今有〔人〕共买物，〔每〕人出八〔钱〕，盈〔余〕三钱，人出七〔钱〕，缺乏四〔钱〕，问人数、物价各几何〞，请你答复此题中的人数是，物价是〔钱〕．12．某几何体的三视图〔：cm〕如图，那么这个几何体的外表积为cm2，其体积为cm3．13．bx n +1＝a 0+a 1〔x ﹣1〕+a 2〔x ﹣1〕2+…+a n 〔x ﹣1〕n 对任意x ∈R 恒成立，且a 1＝9，a 2＝36，那么b ＝ ；a 1+2a 2+…+na n ＝ ．14．由1，2，3，4，5组成的可重复数字的三位数构成的集合记为M ，现从M 中任取一个数．设组成此三位数的数字中不同的偶数字的个数为ξ，例如：假设取出的数为212，即ξ＝1；假设取出的数为214，即ξ＝2．那么概率P 〔ξ＝0〕＝ ，数学期望E 〔ξ〕＝ ． 15．实数x ，y 满足x 2+xy ＝1，那么y 2﹣2xy 的最小值为 ．16．点O 是△ABC 的外心，∠BAC ＝60°，设AO mAB AC =+，且实数m ，n 满足m +4n ＝2，那么mn 的值是 ．17．设圆O ：x 2+y 2＝1上两点A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕满足12OA OB ⋅=-，那么|x 1﹣2y 1|+|x 2﹣2y 2|的取值范围是 ．三、解答题〔本大题共5小题，共74分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且b tan A ＝〔2c ﹣b 〕tan B ． 〔Ⅰ〕求角A ；〔Ⅱ〕假设向量m ＝〔cos B ，2cos A 〕，n ＝〔0，cos 22C〕，求|m ﹣2n |的取值范围． 19．如图，三棱锥P ﹣ABC 中，底面ABC 为正三角形，PA ⊥平面ABC ，AG ⊥平面PBC ，垂足为G ． 〔Ⅰ〕问G 是否可能是△PBC 的垂心？说明你的理由；〔Ⅱ〕假设G 恰是△PBC 的重心，求直线BC 与平面ABG 所成的角．20．数列{a n }前n 项和为S n 满足S 1＝2，S n +1＝3S n +2〔n ∈N *〕． 〔Ⅰ〕求通项公式a n ； 〔Ⅱ〕设b n ＝n na S 〔n ∈N *〕，求证：13≤b 1+b 2+…+b n ﹣23n ≤12．21．点P 〔2，1〕到抛物线C ：y 2＝ax 〔a ＞0〕的准线的距离为52，设过点P 的直线与C 相交于两点A ，B 〔异于坐标原点O 〕． 〔Ⅰ〕求实数a 的值；〔Ⅱ〕求cos ∠AOB 的取值范围．22．设函数f 〔x 〕＝alnx ﹣1ax 2+x +b 〔a ，b ∈R 〕． 〔Ⅰ〕求f 〔x 〕的极值；〔Ⅱ〕a ＞0．假设存在实数b ，使得e ≤af 〔x 〕≤e 2+1对x ∈[1，e ]恒成立，求a 的取值范围．〔其中e 是自然对数的底数〕参考答案一、选择题〔共10小题〕.1．解：∵A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |0＜x ＜2}， ∴∁R A ＝{x |x ＞1}，∴〔∁R A 〕∪B ＝〔0，+∞〕． 应选：C ．2．解：因为z ＝1﹣i 〔i 为虚数〕，所以2z z z +＝11i i +-+〔1﹣i 〕2＝2(1)(1)(1)i i i +-+﹣2i ＝22i ＝i ﹣2i ＝﹣i ，应选：B ．3．解：由“|a |+|b |＜2〞，得||ab ≤||||2a b +＜1，所以|ab |＜1，充分性成立； 由|ab |＜1，不能得出|a |+|b |＜2成立， 例如：15,6a b ==时，满足|ab |＜1，但|a |+|b |＝516＞2，所以必要性不成立； 是充分不必要条件． 应选：B ．4．解：对于A ：过点P 且垂直于α的直线垂直于α内的所有直线，那么垂直于l ，故A 错； 对于B ：在β内作一直线l 1垂直于l ，由平面α⊥平面β，α∩β＝l ，可得l 1⊥α， 从而有过点P 且垂直于α的直线平行于l 1，进而平行于β，故B 正确；对于C ，D ，过点P 且垂直于α的平面可以围绕过点P 且垂直于α的直线旋转， 那么过点P 且垂直于α的平面与l 不一定平行，与β也不一定平行，故C ，D 均错误． 应选：B ．5．解：根据选项可知a ≤0a 变动时，函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，16]，∴2|b |＝16，b ＝4 应选：B ．6．解：等差数列{a n }前n 项和为S n ，且41814613828S a d S a d+==+，∴a 1＝52d ，那么8116158288283251612010161202dd s a d d S a d d ⨯++===+⨯+，应选：D ．7．解：根据题意，分3步进行分析：①先将一条奥运宣传广告放在最后，有2种情况，②将3个商业广告全排列，安排在奥运宣传广告之前，有336A =种情况， ③另一奥运广告插入3个商业广告之间，有3种情况， 那么有2×3×6＝36种播放方式， 应选：C ．8．解：由z ＝2|x |﹣y 得y ＝2|x |﹣z ，画出y ＝2|x |的折线图象，当该折线图像沿y 轴向上平移经过点B 〔0，1〕时，﹣z 取最大值为1；当该折线图像沿y 轴向下平移经过点9,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，﹣z 取最小值为﹣10， 即﹣10≤﹣z ≤1，即﹣1≤z ≤10， 应选：A ．9．解：连接AF 2，BF 2，那么由对称性及AF 1⊥BF 1，得矩形AF 1BF 1， 故22212(2)AF AF c +=． 由1122ce AF AF =+,2212c e AF AF =-，得2212112e e +=．令21(1)e t t e =>，那么2112t e t +=，2121(8)18(8)2t t e e t e t +++=+=． 设2(8)1()2t t f t t++=，由3228()021t f t tt -'==+，得t ＝2，当1＜t ＜2时，f ′〔t 〕＜0，函数是减函数，t ＞2时，f ′〔t 〕＞0，函数是增函数， t ＝2时，函数取得最小值， 故min 510()(2)2f t f ==， 应选：C ．10．解：设CD ＝2BC ＝2m ．3()||||cos 60||||cos 60||2AC BD AC BC CD AC BC AC CD m AC ⋅=⋅+=⋅︒+⋅︒=． 由于∠ACB +∠ACD ＝180°，将侧面ACD 沿AC 展开到平面ABC ， 那么三点B 、C 、D 共线，又此三棱锥可看成将△ACD 沿直线AC 3||3m BD m <<．设异面直线AC与BD所成的角为θ，那么||313 cos,22||||2||AC BD mAC BD BDθ⎛⎫⋅==∈ ⎪⎪⎝⎭，即θ∈〔30°，60°〕，应选：B．二、填空题〔本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分〕11．7，5．解：人数是x，物价是y〔钱〕，那么由题意，得8374x yy x-=⎧⎨-=⎩，解得753xy=⎧⎨=⎩，所以人数是7，物价是53钱．故答案为：7，53．12.1223+cm2，23cm3．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面边长为2的为等边三角形，高为2的三棱柱体；如下列图：所以该几何体的体积为：V＝1222⨯=，该几何体的外表积为：1S 222222222=⨯⨯⨯+⨯+⨯＝故答案为：12+此几何体为侧面水平放置的棱长均为2的正三棱柱． 13． 1； 2304．解：设x ﹣1＝t ，那么20121(1)1n n n n bx b t a a t a t a t +=++=++++，由此得11229,36,n n a bC a bC ⎧==⎨==⎩，解得1,9.b n =⎧⎨=⎩ 另一方面，等式两边对t 求导，得112(1)2n n n bn t a a t na t --+=+++，再令t ＝1，得181222922304n n a a na bn -+++==⋅=．故答案为：1；2304． 14．27125， 122125． 解：M 中元素有53＝125个，这125个三位数〔可重复数字〕可分以下三类： ①ξ＝0，即全有奇数字组成的三位数〔可重复数字〕有33＝27个；P 〔ξ＝0〕＝27125， ②ξ＝1即只有一个不同的偶数字的三位数〔可重复数字〕有3×3×2×3+3×3×2+2＝74个，P 〔ξ＝1〕＝74125， 〔注意不要遗漏形如252，344，222等三位数〕；③ξ＝2即只有两个不同的偶数字的三位数〔可重复数字〕有13333324C A ⨯++=个，P 〔ξ＝2〕＝24125， 〔注意不要遗漏形如242，244等三位数〕． 所以ξ的分布列如下：所以()2125125125E ξ=+⨯=． 故答案为：27125，122125．15．4．解：由x 2+xy ＝1，得1y x x=-， 所以，2222211234234234y xy x x x x -=+--=-，这里等号能成立． 故答案为：234-． 16． 0．解：由AO mAB nAC =+，得22221||,21|,|2AB AO AB mAB AC AB AC AO AC mAB AC nAC ⎧=⋅=+⋅⎪⎪⎨⎪=⋅=⋅+⎪⎩又∠BAC ＝60°，即有11,2211,22c cm bn b cm bn ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得2,332.33b m cc n b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩101424233b c m n c b ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭， 由取等号条件知b ＝2c ，从而10,2m n ==．mn ＝0． 故答案为：0．17． 15,152⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 解：由12OA OB ⋅=-，得∠AOB ＝120°． 设11222255x y x y h --=+表示两点A ，B 分别到直线x ﹣2y ＝0的距离之和．取直线x ﹣2y ＝0为x 轴重新建立直角坐标系后，那么h 表示两点A ，B 分别到x 轴的距离之和． 在新的直角坐标系下，设A 〔cos θ，sin θ〕，B 〔cos 〔θ+120°〕，sin 〔θ+120°〕〕，那么有h ＝|sin θ|+|sin 〔θ+120°〕|，由对称性，不妨设点B 在x 轴上或上方，即﹣120°≤θ≤60°． 所以()()sin sin 120,060sin sin 120,00,12h θθθθθθ++︒︒⎧⎪=⎨-++︒︒︒︒-<⎪⎩①当0°≤θ≤60°时，h ＝sin θ+sin 〔θ+120°〕＝sin 〔θ+60°〕，∵0°≤θ≤60°，∴60°≤θ+60°≤120°，∴sin 〔θ+60°〕∈，1]，∴h ∈，1]，②当﹣120°≤θ＜0°时，h ＝﹣sin θ+sin 〔θ+120°〔θ+60°〕， ∵﹣120°≤θ＜0°，∴﹣60°≤θ+60°＜60°，∴cos 〔θ+60°〕∈[12，1]，∴h ∈，综上得32h ，从而得112222x y x y -+-=∈⎣．故答案为：⎣． 三、解答题〔本大题共5小题，共74分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．解：〔I 〕由b tan A ＝〔2c ﹣b 〕tan B ，及正弦定理，得sin sin sin (2sin sin )cos cos A BBC B A B=-， 即sin A cos B +cos A sin B ＝2sin C cos A ，即sin 〔A +B 〕＝2sin C cos A ， 所以1cos 2A =，A ＝60°． 〔II 〕()(22cos ,12cos (cos ,cos )cos ,cos 1202C m n B B C B B ⎛⎫-=-==︒- ⎪⎝⎭， 可得2cos m n -=所以，()()()2221cos 24021cos 212cos cos 1201sin 230222B B m n B B B +︒-+-=+︒-=+=--︒． 由于0°＜B ＜120°，得()1sin 230,12B ⎛⎤-∈- ⎝︒⎥⎦，所以22,22m n ⎡-∈⎢⎣⎭． 19．解：〔I 〕设G 是△PBC 的垂心，那么BG ⊥PC ，由AG ⊥平面PBC ，得AG ⊥PC ，所以PC ⊥平面ABG ， 即PC ⊥AB ，又由PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥AB ，所以，AB ⊥平面PAC ，从而AB ⊥AC ，这与正三角形ABC 矛盾． 所以，G 不可能是△PBC 的垂心．〔II 〕延长BG 交PC 于E ，连AE ，那么E 是PC 中点．延长PG 交BC 于F ，连AF ，那么F 是BC 中点，由G 恰是△PBC 的重心，得PG ＝2GF ．不妨设AB ＝2． 正三角形ABC 中，3AF =，BC ⊥AF ． 由AG ⊥平面PBC ，可得AG ⊥PF ，AG ⊥BE ．由PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥AF ．在RT △PAF 中，由AF 2＝FG ⋅FP ＝3FG 2，得FG ＝1， 进而3,2,6PF AG PA ==2210PB PC PA AB =+在△PBC 中，由2〔BE 2+CE 2〕＝PB 2+BC 2，得322BE =． 设BC 与平面ABG 所成的角为θ，点C 到平面ABG 的距离为h ，那么sin h BCθ=． 由E 是PC 中点，可得12C ABE P ABC V V --=，即有12h AG BE PA AF BC ⋅⋅=⋅⋅， 所以1632223222h ==⋅2sin 452θθ==︒， 即BC 与平面ABG 所成的角为45°．20．【解答】〔I 〕解：由S n +1＝3S n +2〔n ∈N *〕，得S n ＝3S n ﹣1+2〔n ≥2〕，两式相减，得a n +1＝3a n 〔n ≥2〕． 由S 2＝3S 1+2＝a 1+a 2，S 1＝a 1＝2，得a 2＝6＝3a 1，所以，()*13n n a a n N +=∈，即数列{a n }是以2为首项，公比为3的等比数列，从而有123n n a -=⋅．〔II 〕证明：由〔I 〕知31n n S =-，从而122222322333133138331n n n n n n b ---⋅==+=+--⋅+-， 所以，当n ≥2时，212222133383343n n n b --+=+⋅⋅， 从而有11211112322211(1)1(1)1333213n n n b b b n n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+++-++-； 当n ＝1时，不等式显然成立． 综上，有12121332n b b b n +++-成立．21．解：〔I 〕抛物线C ：y 2＝ax 〔a ＞0〕的准线方程为4ax =-， 所以点P 到准线的距离为5242a +=，得a ＝2．………… 〔II 〕设221212,,,22y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并设AB 方程为t 〔y ﹣1〕＝x ﹣2，将x ＝ty +2﹣t 代入抛物线方程y 2＝2x ，得y 2﹣2ty +2t ﹣4＝0，进而有y 1+y 2＝2t ，y 1y 2＝2t ﹣4． 由于A ，B 异于坐标原点O ，所以y 1y 2＝2t ﹣4≠0，即t ≠2．所以，()2121214cos y y y y y y y y AOB ++∠==2)t ≠，①当t 〔t ﹣2〕＞0，即t ＞2或t ＜0时，cosAOB ∠==，由t ＞2或t ＜0，得1110, 0 2tt <<<或，所以10cos , cos 2AOB AOB <∠∠≠且；②当t 〔t ﹣2〕＝0〔t ≠2〕，即t ＝0时，cos ∠AOB ＝0；③当t 〔t ﹣2〕＜0，即0＜t ＜2时cos AOB ∠==由0＜t ＜2，得12t >，所以cos 0AOB <∠<； 综上，cos ∠AOB的取值范围12⎛⎤⋃ ⎥ ⎝⎭⎝⎦． 22．解：〔I 〕a ≠0，x ＞0，()(2)()x a x a f x ax--+'=，①当a ＞0时，当0＜x ＜a 时，f '〔x 〕＞0；当x ＞a 时，f '〔x 〕＜0． 所以f 〔x 〕的增区间为〔0，a ]，减区间为[a ，+∞〕， 所以f 〔x 〕有极大值为f 〔a 〕＝alna +b ，无极小值； ②当a ＜0时， 当02a x <<-时，f '〔x 〕＞0；当x ＞﹣2a时，f '〔x 〕＜0． 所以f 〔x 〕的增区间为0,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦，减区间为,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，所以f 〔x 〕有极大值为3aln 224a a f ab ⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极小值． 综上可知，当a ＞0时，f 〔x 〕的极大值为f 〔a 〕＝alna +b ，无极小值； 当a ＜0时，f 〔x 〕的极大值为3aln 224a a f ab ⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极小值． 〔II 〕假设0＜a ≤1，那么由〔I 〕知f 〔x 〕在[1，e ]上单调递减， 故要使得e ≤af 〔x 〕≤e 2+1对[1，e ]恒成立，只要存在实数b ，使得2211(1)1()e f b a ae ef e a e b a a ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩成立， 即要2221e e e a e b a a ++---，从而只要2221e e e a e a a++---，又0＜a ≤1，解得112e a -+．假设1＜a ＜e ，那么由小题〔I 〕知f 〔x 〕在[1，a ]上单调递增，在[a ，e ]上单调递减， 故要使得e ≤af 〔x 〕≤e 2+1对[1，e ]恒成立，只要存在实数b ，使得221()ln 1(1)1()e f a a a b a e f b a a e e f e a e b a a ⎧+=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-++⎪⎩成立，即要122211ln 1ln e e b a a a ae e e a e b a a aa +⎧+--⎪⎪⎨++⎪---⎪⎩， 从而只要2222ln l 1n e a e a e a aea a a--⎧---⎪⎨⎪⎩， 即222ln 0(*)(1ln )(1)10(**)e e a a a a a a e ⎧-+-⎨-+-+⎩ 由于1＜a ＜e ，可知e 2﹣e +a ﹣a 2lna ≥e 2﹣e +a ﹣a 2＝〔e ﹣a 〕〔e +a ﹣1〕≥0成立，从而〔*〕式成立； 由于1＜a ＜e ，可知〔**〕式显然成立． 所以，当1＜a ＜e 时，符合题意．假设a ≥e ，那么由〔I 〕知f 〔x 〕在[1，e ]上递增，故要使得e ≤af 〔x 〕≤e 2+1对[1，e ]恒成立，只要存在实数b ，使得221(1)11()e f b a ae ef e a e ba a ⎧=-+⎪⎪⎨+⎪=-++⎪⎩成立， 即要21211e e b a e a a ++---，从而只要21211e e a e a a++---， 解得1﹣2e ≤a ≤e ，又a ≥e ，所以a ＝e ；综上所述，a a e ．。

浙江省金华十校2022-2023学年高三下学期4月模拟考试预演数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若向量，，且，则（ ）(),2a x = ()1,2b =- a b ⊥a =A ．B ．4C ．D ．2．已知集合满足，那么这样的集合M 的个数为（ ）M {}{}2,31,2,3,4,5M ⊆⊆A ．6B ．7C ．8D ．93．已知，则的值为（ ）()()523456012345611x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++3a A ．B ．0C ．1D ．21-4．若复数，则的最大值为（ ）23i i i i n z =+++⋅⋅⋅+*N n ∈zA ．1B C D ．25．已知等比数列的公比的平方不为，则“是等比数列”是“是等差{}n a *1,N n b ∈{}n b a {}n b 数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为R O AB αB BCD △αR 的正三角形，线段分别与球面交于点，那么三棱锥的体积是,AC AD ,M N A OMN -（ ）A B C D 33337．设函数（）（为自然对数的底数），若恰好存在()2e =-+xf x ax ax R a ∈e 2.718= 两个正整数，使得，，则实数的取值范围是（ ）m n ()0f m <()0f n <a A ．B ．24e e ,212⎛⎤ ⎥⎝⎦34e e ,612⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．D ．32e e ,62⎛⎤ ⎥⎝⎦24e e ,212⎡⎫⎪⎢⎣⎭它们的公共点，且都在圆上，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线222x y c +=2C交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为、，若椭圆1k 2k 1C 12k k ⋅的值为（ ）A ．2B ．C ．3D ．452二、多选题9．已知 ，，则（ ）1sin cos 5θθ+=()0,πθ∈A ． B ． 12sin cos 25θθ=-sin cos 1225θθ-=C ． D ．7sin cos 5θθ-=4tan 3θ=-10．如图，在正方体中，，点P 在侧面及其边界上运动，1111ABCD A B C D -1AB =11BCC B 并且总是保持，则下列结论正确的是（ ）1AP BD ⊥A ．113P AA D V -=B ．点P 在线段上1BC C ．平面1BD ⊥11A C DD ．直线AP 与侧面所成角的正弦值的范围为11BCC B ⎫⎪⎪⎭11．设，为椭圆的左，右焦点，直线过交椭圆于A ，B 两点，则以1F 2F 22143x y +=l 1F 下说法正确的是（ ）A ．的周长为定值8B ．的面积最大值为2ABF △2ABF △C ．的最小值为8D ．存在直线l 使得的重心为2212AF AF +2ABF △11,64⎛⎫⎪⎝⎭12．已知各项均为正数的数列满足为其前项和，{}n a ()1*111,e cos ,n a n n n a a a n S ++==-∈N n 则（ ）A ．B ．1n n a a +>211n n n a a a ++<+C ．D ．n a ≤n S <三、填空题13．已知、，直线上有且只有一个点满足，写出满足条件()0,0O ()3,0A l P 2PA PO =的其中一条直线的方程__________．l 14．在2021年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学()98,100X N 成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是______．附:若,()2~,X N μσ则，.()0.6826P X μσμσ-<<+=(22)0.9544P X μσμσ-<<+=15．已知矩形在平面的同一侧，顶点在平面上，，ABCD αA 4AB =BC =，与平面所成的角的大小分别为30°，45°，则矩形与平面所成角的AB BC αABCD α正切值为______．16．定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.如果20支球队参加单循环比赛，则友好组个数的最大值为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，M 为的111ABC A B C 2CA CB ==AB =13AA =AB(1)证明：平面；1//AC 1B CM (2)求点A 到平面的距离.1B CM 18．记为数列的前项和，已知.n S {}n a n 1111,2n n n n S S a a a +=-=-(1)求的通项公式；{}n a (2)令，记数列的前项和为，试求除以3的余数.2n an b ={}n b n n T 21n T -19．甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球1-或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的12概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．1213(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；(2)求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．20．记的内角的对边分别为.已知.ABC ,,A B C ,,a b c sin cos tan A B C ==(1)求；2A C +(2)证明：.25c b a >>21．已知抛物线，圆是上的一点.21:C x y =222:(4)1,C x y P +-=1C (1)设是上的一点，求的最小值；Q 2C PQ (2)过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标.P 2C 1C ,A B P PA PB =P 22．已知函数.()()11ln ,2f x x g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭(1)证明：当时，；1x ≥()()f x g x ≤(2)设为正实数且.,a b a b（i ）若；b a a b =e >（ii ）若，证明：.1a b +=b a a b a b a b +<+参考答案：1．D【分析】根据向量垂直的坐标表示求，再由向量的模的坐标表示即得.x 【详解】由，可得，a b ⊥220x -+⨯=所以，，4x =()2,2a =||a ===故选：D.2．C【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.【详解】因为，{}{}2,31,2,3,4,5M ⊆⊆所以集合可以为：，M {}{}{}{}{}2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5共8个，{}{}{}1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5故选：C.3．B【分析】根据，结合二项式定理求解即可.()()()()5551111x x x x x =--+--【详解】因为，展开式第项()()()()5551111x x x x x =--+--()51x -1r +，当时，，当时，55155C (1)C (1)r r r rr r r T x x --+=-=-3r =33235C (1)10x x x ⋅-=-2r =，故，即.22335C (1)10x x -=333310100a x x x -+==30a =故选：B 4．B【分析】分、、、四种情()*4N n k k =∈()41N n k k =+∈()42N n k k =+∈43n k =+()N k ∈况讨论，分别求出，即可得到，从而得解.z z 【详解】解：因为，，，，，1i i =2i 1=-3i i =-41i = ，，，，，且，41i i k +=42i 1k +=-43i i k +=-4i 1k =N k ∈234i i i i 0+++=所以当，时，则，4n k =()*N k ∈0z =0z =当，时，则，41n k =+()N k ∈i z =1z =当，时42n k =+()N k ∈1i z =-+=当，时，则，43n k =+()N k ∈1z =-1z =所以的最大值为z 故选：B 5．C【分析】利用等差数列和等比数列的递推关系进行证明即可.【详解】设等比数列的公比为，若是等比数列，则为常数，{}n a q {}n b a 1111111n n n n n nb b b b b b a a q q a a q+++---==由为常数，所以是等差数列；211n n q b b +≠⇒-{}n b 若是等差数列，设的公差为，则为常数，所以是{}n b {}n b d 1111111n n n n n nb b b b d b b a a q q q a a q+++---==={}n b a 等比数列.综上，“是等比数列”是“是等差数列”的充要条件.{}n b a {}n b 故选：C 6．A【分析】作出辅助线，根据三角形相似表达出各边长，利用三角形面积公式求出的面AOP 积及三棱锥的体积.【详解】连接，因为为直径，,,,BM MN OM ON AB 所以，在Rt 中，，BM AM ⊥ABC Rt BCM RtACB 所以，即，BC CMAC BC=2CB CM AC=⋅其中，所以，AC ==,CM AM ==易证，所以，AMN ACD ∽4455MN CD R ==取的中点的中点，连接，MN ,P CD Q AQ 则必过点，于是，AQ P ()2122ABQ S R ⎫=⨯⨯=⎪⎪⎭又，14,25AO AB AP AQ ==所以1114sin sin 2225AOP S AO AP OAP AB AQ OAP∠∠⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 141sin 252AB AQ AOP ∠⎛⎫=⨯⋅⋅ ⎪⎝⎭，2214142525ABQ S R ⎫=⨯=⨯⨯=⎪⎪⎭于是.23114335A OMNAOP V S MN R -⎫⎛⎫=⋅=⋅⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭故选：A 7．A【分析】根据给定条件，只需考查当时，成立的正整数有且只有两个，再构1x >2e xa x x >-造函数，探讨其性质即可作答.【详解】函数中，，而恰好存在两个正整数使得()2e =-+xf x ax ax (1)e>0f =,m n ，则，()()00,f m f n <<1,1m n >>当时，，因此有且只有两个大于1的正整数使得成立，1x >2e ()0x f x a x x <⇔>-2e xa x x>-令，求导得：，由得，由2e (),1x g x x x x =>-222(31e ()())x x x x g x x -+'=-()0g x '<1x <<得()0g x '>x >因此函数在上单调递减，在上单调递增，而，()g x )+∞23<<则必有，又，因此符合题意的正整数只有2和3两2e (2)2a g >=322e e e e (3)(2)6232g g ==⋅<=个，于是得，所以实数的取值范围是.4e (4)12a g ≤=a 24e e 212a <≤故选：A【点睛】关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键.8．D【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为，根据椭圆离心率得到22221x y a b +=22221x y s t-=，故椭圆方程为，联立求出点坐标，从而由对称性得2225b a =222252x y a +=222x y c +=A到点坐标，表达出，将点代入双曲线方程，结合,,B C P :CP y x ⎫=⎪⎪⎭A 得到，，得到双曲线方程，联立2222232s t a b b +=-=222b s =22t b =222221x y b b-=，得到两根之和，两根之积，表达出，从而求出，:CP y x ⎫=⎪⎪⎭,Q 12,k k 得到乘积.【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，22221x y a b +=22221x y s t -=则，22222a b s t c -=+=由，c a =2235a c =因为，所以，222c a b =-2225b a =故椭圆方程为，222252x y a +=联立可得：，，222x y c +=22222223253236x c b b b b =-=-=2223b y =则，A ⎫⎪⎪⎭由对称性可知A 、C 两点关于原点对称，A 、B 两点关于轴对称，x则，，,B ⎫⎪⎪⎭,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，故,0P ⎫⎪⎪⎭CP k =直线，:CP y x ⎫=⎪⎪⎭代入中得，①，A ⎫⎪⎪⎭22221x y s t -=222252163b b s t -=又②，22222225322s t a b b b b +=-=-=②①结合得到或，2252b s =222b s =因为，显然，故，所以，2252a b =s a <222b s =2222322b t b b =-=故双曲线方程为，222221x y b b-=联立与得：，:CP y x ⎫=⎪⎪⎭222221x y b b -=2297056x b -=设，()11,Qx y 则，解得：，217569b =-⋅1x =故1y ⎫==⎪⎪⎭所以，,Q 所以，其中2k ==1k =故.124k k ==故选：D【点睛】椭圆和双曲线共焦点时，焦距成为联系两个曲线的桥梁，要根据题目条件列出方程，寻找到椭圆中长半轴，短半轴，和双曲线中实半轴，虚半轴的关系，再求解离心率或其他相关问题，共焦点的椭圆和双曲线的重要结论：①具有公共焦点的椭圆和双曲线离心率分别为，为它们的一个交点，且，12,e e P 122F PF θ∠=则；2212sin cos 1e e θθ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②若点是椭圆与双曲线的一()00,P x y ()22122:10x y C a b a b +=>>()2222210,0:x y C m n m n -=>>个公共点，且它们在处的切线互相垂直，则椭圆与双曲线有公共焦点.()00,P x y 1C 2C 9．ACD【分析】根据同角基本关系，结合完全平方公式可判断各项.【详解】对于A ：因为所以1sin cos ,5θθ+=21(sin cos )12sin cos ,25θθθθ+=+=即，所以A 正确;12sin cos 25θθ=-对于B 、C ：因为，且，249(sin cos )12sin cos ,25θθθθ-=-=()0,πθ∈12sin cos 025θθ=-<所以，即，所以所以B 错误，C 正确;sin 0cos 0θθ><，sin θcos θ0->7sin cos ,5θθ-=对于D ：联立，解得所以，所以D 正确.1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩43sin ,cos ,55θθ==-4tan 3θ=-故选：ACD.10．BC【分析】对A ，由面面平行说明；1113P AA D AA D V S CD -=⋅对B ，以D 为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，由向量法说明，C ，P 三点共线；1B 对C ，由向量法证，再由线线垂直证平面；1111,DA BD DC BD ⊥⊥1BD ⊥11A C D 对D ，由向量法求线面角，进而讨论范围.【详解】对于A ，点P 在平面内，平面平面，所以点P 到平面11BCC B 11BCC B ∥1AA D 1AA D 的距离即为点C 到平面的距离，即正方体的棱长，1AA D 所以，A 错误；1111111113326P AA D AA D V S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯= 对于B ，以D 为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，且，，()1,0,0A (),1,P x z ()1,1,0B ()10,0,1D ()11,1,1B ()0,1,0C 01x ≤≤01z ≤≤所以，，．()1,1,AP x z =- ()11,1,1BD =--()11,0,1B C =-- 因为，所以，所以，即，所以，1AP BD ⊥1110AP BD x z ⋅=--+=x z =(),1,P x x (),0,CP x x = 所以，即，C ，P 三点共线，故点P 在线段上，B 正确；1CP xB C =-1B 1B C 对于C ，，，，，，()11,0,1A ()10,1,1C ()11,0,1DA = ()10,1,1DC = ()11,1,1BD =--由，111111110,0,DA BD DC BD DA BD DC BD ⋅=⋅=⇒⊥⊥因为，，平面，所以平面，C 正确；11DA DC D ⋂=1DA 1DC ⊂11A C D 1BD ⊥11A C D 对于D ，，，平面的一个法向量为．()1,1,AP x x =- 01x ≤≤11BCC B ()0,1,0m = 设与平面的夹角为，为锐角，AP11BCC B θθ其正弦值为sin m APm APθ⋅===由，D 错误．01x ≤≤sin θ≤≤故选：BC ．11．ACD【分析】利用椭圆的定义可判断A ，根据基本不等式结合椭圆的定义可判断C ，设直线的l 方程为，联立椭圆方程利用韦达定理法，可表示出的面积，的重心1x my =-2ABF △2ABF △进而判断BD.【详解】由椭圆，可得，22143x y +=2,1a b c ===所以为，故A 正确；2ABF △121248AF AF BF BF a +++==因为，所以，当且仅当取等号，124AF AF +=()221122282AF AF AF AF +≥+=12AF AF =故C 正确；由题可设直线的方程为，由，l 1x my =-221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得，()2234690m y my +--=设，则，()()1122,,,A x y B xy 12122269,3434m y y y y m m +==-++所以1y-==所以的面积为，2ABF △12112S F F y =-令，，t =1t ≥221m t =-所以，212121313t S t t t ===++因为，由对勾函数的性质可知，1t ≥134t t+≥所以，当，即取等号，故B 错误；2121231313t S t t t===≤++1t =0m =由上可知122634my y m +=+所以，又，()212122268223434m x x m y y m m +=+-=-=-++()21,0F 所以的重心为，2ABF △221821,33434m m m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令，解得，221811334621344m m m ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪+⎝⎭⎨⎪=⎪+⎩2m =所以当直线的方程为时的重心为，故D 正确.l 21x y =-2ABF △11,64⎛⎫⎪⎝⎭故选：ACD.12．ACD【分析】A 选项，先构造函数，并研究其单调性，利用()()e cos >0=-xf x x x ()e 1>0>+x x x 进行放缩，利用数学归纳法可证明；B 选项，构造函数，判断其单调性即可；()()2e cos >0=---xf x x x x x C 选项，利用数学归纳法和假设法可证明；D 选项，结合C 选项结论对进行放缩即可证明.n a 【详解】设函数，则，故在上单调()()e cos >0=-xf x x x ()e sin 0x f x x '=+>()f x ()0,∞+递增.用数学归纳法下证.01n a <≤当时，有；1n =1011a <=≤假设当时，有，n k =01k a <≤由于，()()()1001e cos e 1+-=≤=<=<k k f a f f a 所以根据在上单调递增可知，()f x ()0,∞+101+<≤k a 即当时，有.1n k =+101+<≤k a 综上可知，.101+<≤k a 对于A ，令，()e 1,>0=--xg x x x 因为，故在上单调递增，故，()e 10xg x '=->()g x ()0,∞+()()00g x g >=即，即.e 1>0--x x ()e 1>0>+xx x ，故A 正确.11111e cos 1cos +++++=->+->n a n n n n n a a a a a 对于B ，令，，()2e cos ,>0=---x h x x x x x ()e sin 12x h x x x '=+--令，()()m x h x '=()e cos 2xm x x '=+-令，则>0，所以，即在上单调递增，()()n x m x '=()e sin xn x x '=-()n x ()m x '()0,∞+所以，所以即 在上单调递增，()()00m x m '>='()m x ()h x '()0,∞+所以，所以在上单调递增，()()00h x h ''>=()h x ()0,∞+所以，即，即.()()00h x h >=2e cos >0---x x x x 2e cos >-+x x x x 故，故选项B 错误；()12111e cos *++++=->+n a n n n n a a a a对于C ，可用数学归纳法证明：.n a ≤当时，有1n =1110=≤=<a假设当时，有，n k =)0∈<k a k *N若1+k a则由可知()*21111++=>>+>+>k k k k a a a与假设k a ≤1+≤k a故，故C 正确.n a ≤对于D ，当时，，1n ≥2==<=n a故D 正确.112==<==∑∑nnk k k n S a 故选：ACD.【点睛】与数列相关的不等式问题证明方法点睛：（1）可以利用数学归纳法来进行证明；（2）可以构造函数，利用导数进行证明，通过求导得到函数的单调性并结合不等式进行放缩得到结果.13．（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）1x =l ()2214x y ++=【分析】设点，由，求出点的轨迹方程，可知点的轨迹为圆，且圆(),P x y 2PA PO =P P 心为，半径，分析可知直线与圆相切即可.()1,0C -2r =l C【详解】设点，由可得，(),P x y 2PA PO ==整理可得，即点的轨迹为圆，且圆心为，半径，()2214x y ++=P ()1,0C -2r =直线上有且只有一个点满足，所以，直线与圆相切，l P 2PA PO =l C 所以，直线的方程可为.l 1x =故答案为：（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）.1x =l ()2214x y ++=14．1500【分析】根据正态分布特点，则，再乘以总人数即可.()1080.1587P ξ≥=【详解】因为考试的成绩服从正态分布，X ()98,100N 根据，，则，98μ=10σ=1089810μσ=+=+得，()10.68261080.15872P ξ-≥==即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.87%，由，可知这位学生的数学成绩108分大约排在该区的名次是1500．945015.87%1500⨯≈故答案为：1500.15【分析】如图，过，分别做平面的垂线，垂足分别为，，连接，，通过B D αE F AE AF几何关系可得到，，过作满足，过2BE DF AF ===AE =EF BD ==A l //l EF E做垂直于点，连接，则即为所求，通过等面积法计算出EP l P BP BPE ∠PE =解【详解】如图，过，分别做平面的垂线，垂足分别为，，连接，，B D αE F AE AF 由，所以，,,DF BE αα⊥⊥,AE AF α⊂,DF AF BE AE ⊥⊥因为，与平面所成的角的大小分别为30°,45°,且，，AB BC α//BC AD =BC AD所以，，得，30BAE ∠=︒45DAF ∠=︒2BE DF AF ===AE =因为所以，,,DF BE αα⊥⊥//DF BE 又，所以四边形是平行四边形，2BE DF ==DFEB所以，因为，所以，所以//BD EF ,BD EF αα⊄⊂BD α∥EF BD ==过作满足，则即为矩形与平面的交线，A l //l EF l ABCD α过做垂直于点，连接，则即为所求，E EP l P BP BPE ∠在中，AEF △cos FAE ∠==由可得，22cos sin 1,0πFAE FAE FAE ∠+∠=<∠<sin FAE ∠=所以，解得11222AEF S FAE EP =⨯⨯∠= PE =所以矩形与平面所成角的正切值为.ABCD αtan BEBPE PE∠==.16．330【分析】从反面考虑非友好组的个数的最小值，后者可用逐步调整法来处理.【详解】当为偶数时，令，则总共有场比赛.m 2m n =22C n 不妨设有个友好组，考虑其反面，若甲乙丙三对为非友好组，不妨设甲队赢了乙队和丙队，x 此时，记甲队为非友好组的组长.对甲队而言，可以在赢的所有队伍中任意选择两队构成非友好组.因此，若队在比赛中赢了场，则，且以为组长的非友好组有()1,2,,2i A i n = i k 2221C ni n i k ==∑i A 个（补充定义：，于是所有非友好组的个数为.2C ik )2201C C 0==221C i nk i =∑下求最小值.221C i nk i =∑若在中，有.122,,,n k k k 2j i k k -≥则令，其余且，**1,1i i j j k k k k =+=-*(12j i k k l n =≤≤,)l i j ≠，**2222222211C 11C C C C C C C i j i j i j ijk k k k k k i j k k k k +-+-=+-=-+--≤-故调整后的总和变小.重复上述操作，直至任意两个数的差最多为1.221C i nk i =∑不妨设有个个，则有y ,2a n y -1a +()()()222121,n ya n y a C n n +-+==-整理有.()1122y a n n -=--由于，故.由等式两边对应相等可知，，121y n ≤≤-()0,12yn∈1,a n y n =-=即调整后有个个.此时的值为，n 1,n n -n 221C i nk i =∑2(1)n n -则，()()32211(1)3C n n n n x n n -+≤--=故友好组个数的最大值为，即.()()113n n n -+()()2224m m m -+下面为取到最大值的例子：设在.共支球队中，当时，队胜122,,,n A A A 2n 1i n ≤≤i A ；当时，队胜，下标均是在模的意义下.12,,i i i n A A A +++ 12n i n +≤≤i A 121,,,i i i n A A A +++- 2n 综上所述，当为偶数时，友好组个数的最大值为.故如果20支球队参加m ()()2224m m m -+单循环比赛，友好组个数的最大值为330.故答案为：33017．(1)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)利用等体积法求解.【详解】（1）连接交于点，连接，1BC 1B C N MN 则有为的中点，M 为的中点，N 1BC AB 所以，1//AC MN 且平面，平面，1AC ⊄1B CM MN ⊂1B CM 所以平面.1//AC 1B CM （2）连接,因为，所以,1AB 2CA CB ==CM A B ⊥又因为平面，平面，1AA ⊥ABC CM ⊂ABC所以，,所以平面,1AA CM ⊥1AB AA A ⋂=CM ⊥11ABB A 又因为平面,所以,1MB ⊂11ABB A 1CM MB ⊥又，所以是等腰直角三角形，222CA CB AB +=ABC,112CM AB MB ====所以1112CMB S CM MB =⋅=△,1111222ACM ACB S S CA CB ==⨯⋅=△△设点A 到平面的距离为，1B CM d 因为,所以,11A B CM B ACM V V --=111133B CM ACM S d S AA⨯⨯=⨯⨯ 所以11ACM B CM S AA d S ⨯== 18．(1)n a n =(2)2【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式求出，再根据12n n S n a +=11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出；n a n =（2）利用等比数列前n 项和公式求出，然后应用二项式展开式求余数21n T -【详解】（1）由有，即，112n n n n S S a a +-=-11112n n n n n S a S a a +++--=-1112n n n n S S a a ++-=又，故，11a =111S a =所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12所以，即，12n n S n a +=12n n n S a +=故，两式相减得，即，1122n n n S a +++=112122n n n n n a a a ++++=-1122n n n n a a ++=所以，11111n n a a a n n +====+因此的通项公式为.{}n a n a n =（2）由（1）及，有，所以，2n a n b =2n n b =2212242n nn T -=-=-又，011114(31)C 3C 3C 31n n n n n n n n --=+=++++ 因为均为正整数，所以存在正整数使得，11C ,C ,,C n n n n - k 431n k =+故，221224231n nn T k -=-=-=-所以除以3的余数为2.21n T -19．(1)分布列见解析；期望为112(2)79192【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算.【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立，由题意得：，，()1111233P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭()1111224P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭甲的得分X 的可能取值为，1,0,1-，()()()()11111346P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭()()()()()()()11117011343412P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯+-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()11111344P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭所以X 的分布列为：X 1-01p1671214.()1711101612412E X =-⨯+⨯+⨯=（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分；甲3轮中有1轮得1分，21-轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为，3111464P ⎛⎫==⎪⎝⎭甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为，2223177C 41264P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分的概率为，1-2233111C 4632P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为，21431749C 412192P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率.1714979646432192192P =+++=20．(1)；3π2(2)证明见解析.【分析】（1）根据，由诱导公式逆推可得，再由，可得sin cos A B =π2A B =±π2A B +≠，再代入计算即可；π2A B =+2A C +（2）根据（1）可得，再通过二倍角公式化简计算可得3πcos 2sin tan tan 22sin 2AA C A A⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，换元后构造新函数，322cos 2cos 2cos 10A A A +--=()()32222110f x x x x x =+---<<求解导函数从而判断函数单调性，从而可得，再结合正弦函数的平方关系与12cos 25A -<<商式关系，判断三角函数的范围，由正弦定理边角互化即可证明.【详解】（1）由，得，由题意可知，存在，sin cos A B =π2A B =±tan C 所以，即，所以，π2C ≠π2A B +≠π2A B =+所以.()π3π22π2π22A C A A B A A A ⎡⎤⎛⎫+=+--=+---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）由，3πcos 2sin tan tan 22sin 2AA C A A⎛⎫==-= ⎪⎝⎭得，()222221cos cos sin 22sin cos 1sin cos 22cos 12cos 1A A A A A A A A A -=⋅==--故，322cos 2cos 2cos 10A A A +--=令，则，()cos 10A x x =-<<()()32222110f x x x x x =+---<<，()()()26422311f x x x x x '=+-=-+当时，；当时，；1x <-()0f x '>10x -<<()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x (),1-∞-()1,0-又，所以，120,025f f ⎛⎫⎛⎫->-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 25A -<<，sin cos tan A B C <==<12sin 25B -<<可得，所以.π6B C <<b c <而，故.sin sin 2tan sin cos 5b B B B a A B ===>>25b a >所以.25c b a >>【点睛】求解本题的关键是根据题目等式关系结合二倍角公式化简得，然后利用换元法构造新函数，求解导函数判断单调性，从322cos 2cos 2cos 10A A A +--=而得的范围，再利用三角函数平方关系与商式关系判断其他三角函数值，结合正弦定cos A 理边角互化证明边的关系.21．1(2)或235⎫⎪⎪⎭235⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可；（2）根据圆的切线性质，结合等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1）设，圆心，半径为，2(,)P t t 2(0,4)C 1，=所以当时，有最小值t =2PC所以的最小值；PQ 1（2）由题设，切线斜率一定存在，设切线的斜率为，k 所以切线的方程为：，()220y t k x t kx y t kt -=-⇒-+-=由圆的切线性质可知：，()()()()22222124410t k t t k t ⇒-+-+--=*设，()()22112212,,,,,A x x B x x x x t ≠，是方程的两个不相等实根，2112220x k ty x x k t kx y t kt =-⎧⎧=⇒⎨⎨=--+-=⎩⎩12,k k *因此，即，且，210t -≠()2122241t t k k t -+=-PA PB =所以由圆的切线性质知：，2AB PC ⊥()()22222221212212444411211t t x x t t t x x t x x t t t t ⎡⎤-----⎢⎥⋅=-⇒+⋅=-⇒-⋅=---⎢⎥⎣⎦，2235t t ⇒=⇒=所以的坐标为或.P 235⎫⎪⎪⎭235⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：根据圆的切线长定理、一元二次方程根与系数关系是解题的关键.22．(1)证明见解析(2)（i ）证明见解析（ii ）证明见解析【分析】（1）构造并利用导数研究其在单调性，即可证结论；11()ln 2h x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭[1,)+∞（2）（i ）问题化为，设且，利用0,0,,y x x y x y x y >>=≠e>x y >11x y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，构造研究其值域范围，即可证结论；y x x y =1211n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1211n f n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（ii ）设，令研究其单调性可得，再构造1012b a <<<<()ln 1x f x x =-01b a b a <<<研究单调性得，最后构造研究()ln (01)xh x x x=<<ln ln b a a a b b >()()1x x x a b b x a ϕ-=+≤≤单调性比较函数值大小即可证结论.【详解】（1）令且，则，11()ln 2h x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1x ≥222111(1)()1022x h x x x x -⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'所以在上递减，故，即，()h x [1,)+∞()(1)0h x h ≤=11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭所以时.1x ≥()()f x g x ≤（2）（i ）设，0,0,,y x x y x y x y >>=≠e >不妨设，且，则，x y >11x y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭111[1]y y n y y n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭.1111111n n y y y n n +⎛⎫⇒+=⇒=+ ⎪⎝⎭11111n n y x n n +⎛⎫⎛⎫⇒=+⇒=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1211n n +⎛⎫⇒=+ ⎪⎝⎭设，则，.()1211n f n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()11ln ln 12f n n n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()111ln 1212f n f n n n n ⎛⎫=+-- ⎪+⎭'⎝设，则.()()111ln 1212g n n n n ⎛⎫=+-- ⎪+⎝⎭()()221111[]2(1)1g n n n n n =+-'++22102(1)n n =>+于是，在内单调递增，当趋向于时，趋向于，故.()g n ()0,∞+n +∞()g n 0()0gn <由得：，则在内单调递减，当趋向于时，趋向于()0f n >()0f n '<()f n ()0,∞+n +∞()f n e ，故.()e f n >.e >（ii ）证明：，其中，b a a b a b a b +<<+0,0,1a b a b >>+=由对称性知：不妨设，令，此时，1012b a <<<<()ln 1xf x x =-()211ln (1)x x f x x --'+=令且，则，即递减，11ln y x x=-+01x <<221110x y x x x -=-=<'y 所以，即，故，则单调递增，1|0x y y =>=1ln 1x x>-()0f x '>()f x 则，于是，()()ln ln ln ln 11a b a b a bf a f b a b a b b a>⇒>⇔>⇔>--01b a b a <<<令，此时，单调递增，()ln (01)x h x x x=<<()21ln 0xh x x '-=>()h x则ln ln ln ln ()()a b baa b ab a b a a b bh b h a a b a b⇔⇔>11ln ln ln ln a b b a a a b b a a b b --⇔>⇔>令，此时，()()1x x x a b b x a ϕ-=+<<()1ln ln x xx a a b b ϕ--'=令，则，()1ln ln x x x a a b b μ-=-()212(ln )(ln )0x x x a a b b μ-=+>'所以递增，即递增，则，()x μ()x ϕ'()min ()ln ln 0b ax b a a b b ϕϕ''==->于是，单调递增，则.()0x ϕ'>()x ϕ()()12b a a bb a a b a b ϕϕϕ⎛⎫<<⇔+<<+ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：第二问，（i ）注意令且，结合得到x y >11x y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x x y =为关键；（ii ）依次构造函数证明、，最后构造1211n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭01b a b a <<<ln ln b a a a b b >证结论.()()1x x x a b b x a ϕ-=+<<。

绝密★启用前金华十校2020年4月高三模拟考试数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|(x+1)(x-2)<0},B={x|1<x≤2},则A∩B=A. {x|1<x<2}B.{x|1<x≤2}C. {x|-1<x≤2}D. {x|-1≤x<2}2.若复数21aii+-(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位),则a的值为A. -2B. -1C.1D.23. 若x,y满足约束条件42y xx yy⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…,则z=x+2y的最大值是A.8B.6C.4D.24.设a∈R,则“a>2”是“方程22220x y ax y++-+=的曲线是圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在下面四个[,]xππ∈-的函数图象中,函数y=|x|cos2x的图象可能是6. 已知在三棱柱111ABC A B C-中,M,N分别为11,AC B C的中点,E,F分别为1,BC B B的中点,则直线MN与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为A.平行､平行B.异面､平行C.平行､相交D.异面､相交7. 口袋中有相同的黑色小球n个,红､白､蓝色的小球各一个,从中任取4个小球5表示当n=3时取出黑球的数目,n表示当n=4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是A. E(ξ)<E(η), D(ξ)<D(η))B. E(ξ)>E(η), D(ξ)<D(η)C. E(ξ)<E(η), D(ξ)>D(η)D. E(ξ)>E(η), D(ξ)>D(η)3. 已知函数21,0()ln,0,ax xf xx x⎧+≤=⎨>⎩下列关于函数y=f(f(x))+m 的零点个数的判断,正确的是A.当a=0, m∈R时,有且只有1个B.当a>0,m≤-1时,都有3个C.当a<0,m<-1时,都有4个D.当a<0,-1<m<0时,都有4个9.设三棱锥V-ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形,VA ⊥底面ABC,M 是线段BC 上的点(端点除外),记VM 与AB 所成角为α, VM 与底面ABC 所成角为β,二面角A-VC-B 为γ,则.,2A παββγ<+>.,2B παββγ<+<.,2C παββγ>+>.,2D παββγ>+<10. 设a ∈R ,数列{}n a 满足a 3112,(2),n n n a a a a a +-==--A.当a=4时,a 10>210B.当2a =时,a 10>2C.当13a=时,a 10>210D.当165a =时,a 10>2 非选择题部分(共110分)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分｡11. 若双曲线221x y a-=的一渐近线方程是x+2y=0,则a=____ ;离心率是_____. 12. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是____，休积是___.13.已知a ∈R ,若二项式(1)nx 的展开式中二项式系数和是16,所有项系数和是81,则n=____，含x 项的系数是_____.14.已知△ABC 的内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,且,,2A π≠2acosA,则ba=_____内角B 的取值范围是_____.15.已知椭圆22:1,97x y C +=F 为其左焦点,过原点O 的直线1交椭圆于A,B 两点,点A 在第二象限,且∠FAB=∠BFO,则直线1的斜率为____.16. 已知非零平面向量a ,b ,c , 满足a ·b =a 2, 3c =2a +b ,则||||⋅⋅b cb c 的最小值是___.17. 设a, b ∈R ,若函数3221()(1)32f x ax bx a x =++-在区间[-1,1]上单调递增,则a+b 的最大值为______.三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 18. (本题满分14 分)已知函数f(x)=sinx+acosx(a>0)满足22[()][()] 4.2f x f x π++=(I)求实数a 的值; (II)设0,2a π<<且2()(),23f f παα⋅+=求sin2α.19. (本小题满分15分)6,MB =如图,在四棱锥C-ABNM 中,四边形ABNM 的边长均为2,△ABC 为正三角形,MB=6，MB ⊥NC,E,F 分别为MN,AC 中点｡( I )证明:MB ⊥AC;(II)求直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值｡20. (本小题满分15分)设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知: a 5= 2a 2+3且92,a S a 14成等比数列.(I )求数列{}n a 的通项公式;(II)设正项数列{}n b 满足2112,n n n b S s ++=+求证:12 1.n b b b n +++<+L21.(本小题满分15分)如图,已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F(0,1), 过F 的两条动直线AB, CD 与抛物线交出A ､B ､C ､D 四点,直线AB, CD 的斜率存在且分别是112(0),.k k k >(I )若直线BD 过点(0,3),求直线AC 与y 轴的交点坐标 (II)若k 1 -k 2=2, 求四边形ACBD 面积的最小值.22. (本小题满分15分)已知函数3()ln .f x ax ax x x =--其中a ∈R . (I)若1,2a =证明: f(x)≥0; (II)若11()xxef x -≥-在x ∈(1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围.。

高三数学本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求.在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效.参考公式：若事件,A B 互斥，则 柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =若事件,A B 相互独立，则 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 13V Sh =独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=L 球的表面积公式台体的体积公式 24S R π=()1213V h S S =+ 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 343V R π=h 表示台体的高 其中R 表示球的半径第 Ⅰ 卷 (选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合[]0,4A =，{}R |1B x x =∈≤，则()R A B =I ðA ．[)1,0- B.[]1,0- C ．[]0,1 D. (]1,42.椭圆的离心率是C.3. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体 的体积（单位：cm 3）是A ．323 B ． 163C ． 4D ．8 4.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

浙江省金华十校2020届高三4月模拟考试数学试题一、选择题.1．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，B ＝{x |1＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |1＜x ≤2} C ．{x |﹣1＜x ≤2} D ．{x |﹣1≤x ＜2}2．若复数2+ai 1−i（a ∈R ）是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．若x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≤4y ≥−2，则z ＝x +2y 的最大值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．24．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2+y 2+ax ﹣2y +2＝0的曲线是圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在下面四个x ∈[﹣π，π]的函数图象中，函数y ＝|x |cos2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点，E ，F 分别为BC ，B 1B 的中点，则直线MN 与直线EF 、平面ABB 1A 1的位置关系分别为（ ） A ．平行、平行B ．异面、平行C ．平行、相交D ．异面、相交7．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n ＝3时取出黑球的数目，η表示当n ＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）A ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＜D （η）B ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＜D （η）C ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＞D （η）D ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＞D （η）8．已知函数f(x)={ax 2+1，x ≤0lnx ，x ＞0，，下列关于函数y ＝f （f （x ））+m 的零点个数的判断，正确的是（ ）A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个9．设三棱锥V ﹣ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA ⊥底面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A ﹣VC ﹣B 为γ，则（ ）A ．α＜β，β+γ＞π2 B ．α＜β，β+γ＜π2 C ．α＞β，β+γ＞π2 D ．α＞β，β+γ＜π2 10．设a ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n +1＝a n ﹣（a n ﹣2）3，则（ ） A ．当a ＝4时，a 10＞210 B ．当a =√2时，a 10＞2 C ．当a =13时，a 10＞210D ．当a =165时，a 10＞2 二、填空题:共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题6分,共36分｡11．若双曲线x 2a−y 2=1的一渐近线方程是x +2y ＝0，则a ＝ ；离心率是 ．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是，休积是．13．已知a∈R，若二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n＝，含x项的系数是．14．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，A≠π2，c+b cos A﹣a cos B=√2a cos A，则ba=内角B的取值范围是．15．已知椭圆C：x29+y27=1，F为其左焦点，过原点O的直线1交椭圆于A，B两点，点A在第二象限，且∠FAB＝∠BFO，则直线1的斜率为．16．已知非零平面向量a→，b→，c→，满足a→•b→=a→2，3c→=2a→+b→，则b→⋅c→|b→|⋅|c→|的最小值是．17．设a，b∈R，若函数f(x)=23ax3+12bx2+(1−a)x在区间[﹣1，1]上单调递增，则a+b的最大值为．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知函数f（x）＝sin x+a cos x（a＞0）满足[f(x)]2+[f(x+π2)]2=4．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设0＜α＜π2，且f（α）•f（α+π2）=23，求sin2α．19．如图，在四棱锥C﹣ABNM中，四边形ABNM的边长均为2，△ABC为正三角形，MB=√6，MB⊥NC，E，F分别为MN，AC中点．（Ⅰ）证明：MB⊥AC；（Ⅱ）求直线EF与平面MBC所成角的正弦值．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知：a5＝2a2+3且a2，√S9，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设正项数列{b n}满足b n2S n+1＝s n+1+2，求证：b1+b2+…+b n＜n+1．21．如图，已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过F的两条动直线AB，CD 与抛物线交出A、B、C、D四点，直线AB，CD的斜率存在且分别是k1（k1＞0），k2．（Ⅰ）若直线BD过点（0，3），求直线AC与y轴的交点坐标（Ⅱ）若k1﹣k2＝2，求四边形ACBD面积的最小值．22．已知函数f（x）＝ax3﹣ax﹣xlnx．其中a∈R．（Ⅰ）若a=12，证明：f（x）≥0；（Ⅱ）若xe1﹣x≥1﹣f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，B ＝{x |1＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |﹣1＜x ≤2}D ．{x |﹣1≤x ＜2}【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}． 故选：A ．2．若复数2+ai 1−i（a ∈R ）是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．解：∵2+ai 1−i=(2+ai)(1+i)(1−i)(1+i)=2−a 2+2+a 2i 是纯虚数，∴{2−a =02+a ≠0，即a ＝2． 故选：D ．3．若x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≤4y ≥−2，则z ＝x +2y 的最大值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．解：作出不等式对应的平面区域： 由z ＝x +2y ，得y =−12x +z 2，平移直线y =−12x +z 2，由图象可知当直线y =−12x +z 2经过点A 时，直线y =−12x +z 2的截距最大，此时z 最大． 由{x +y =4x =y ，得A （2，2）， 此时z 的最大值为z ＝2+4＝6， 故选：B ．4．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2+y 2+ax ﹣2y +2＝0的曲线是圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】先化简，再判断．解：方程x 2+y 2+ax ﹣2y +2＝0的曲线是圆，则有D 2+E 2﹣4F ＝a 2+4﹣8＞0，解之得a ＞2或a ＜﹣2，则“a ＞2”是“a ＞2或a ＜﹣2”的充分不必要条件， 故选：A ．5．在下面四个x∈[﹣π，π]的函数图象中，函数y＝|x|cos2x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，可排除AC，由f（π）＞0，可排除B，进而得出正确选项．解：f（﹣x）＝|﹣x|cos（﹣2x）＝|x|cos2x＝f（x），即f（x）为偶函数，可排除AC；又f（π）＝πcos2π＝π＞0，可排除B．故选：D．6．已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B 的中点，则直线MN与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为（）A．平行、平行B．异面、平行C．平行、相交D．异面、相交【分析】推导出EF⊂平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N∉EF，由异面直线判定宣理得直线MN与直线EF是异面直线．取A1C1中点P，连结PN，PM，则PN∥B1A1，PM∥A1A，从而平面PMN∥平面ABB1A1，由此得到直线MN与平面ABB1A1平行．解：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B的中点，∴EF⊂平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N∉EF，∴由异面直线判定宣理得直线MN与直线EF是异面直线．取A1C1中点P，连结PN，PM，则PN∥B1A1，PM∥A1A，∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面ABB1A1，∵MN⊂平面PMN，∴直线MN与平面ABB1A1平行．故选：B．7．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）【分析】当n＝3时，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）＝2，D（ξ）=25，当n＝4时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出E（η）=167，D（η）=2449，从而求出E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）．解：当n＝3时，ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ＝1）=C31C64=15，P（ξ＝2）=C32C32C64=35，P（ξ＝3）=C31C64=15，∴E（ξ）=15+2×35+3×15=2，D（ξ）=15+15=25，当n＝4时，η可取1，2，3，4，P（η＝1）=C41C74=435，P（η＝2）=C42C32C74=1835，P（η＝3）=C43C31C74=1235，P（η＝4）=1C74=135，∴E（η）=435+2×1835+3×1235+4×135=167，D（η）=435（1−167）2+1835（2−167）2+1235（3−167）2+135（4−167）2=2449，∴E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）．故选：A．8．已知函数f(x)={ax2+1，x≤0lnx，x＞0，，下列关于函数y＝f（f（x））+m的零点个数的判断，正确的是（）A．当a＝0，m∈R时，有且只有1个B．当a＞0，m≤﹣1时，都有3个C．当a＜0，m＜﹣1时，都有4个D．当a＜0，﹣1＜m＜0时，都有4个【分析】分别画出a＝0，a＞0，a＜0时，y＝f（x）的图象，结合t＝f（x），f（t）+m ＝0的解的情况，数形结合可得所求零点个数．解：画出a＝0时，y＝f（x）的图象，可令t＝f（x），则f（t）+m＝0，即y＝f（t）和y＝﹣m的交点个数即为零点的个数．若m＝﹣1，则t≤0或t＝e，即0＜x≤1或x＝e e，即当a＝0，m∈R时，不只1个零点，故A错；当a＞0时，m≤﹣1时，可得t≤0或t＝e﹣m≥e，可得x的个数为1+2＝3个，即B正确；当a＜0，m＜﹣1或﹣1＜m＜0时，y＝f（x）的图象如右图：（y轴左边红色的和y轴右边的图象）．由﹣m＞0，且﹣m≠1，可得零点的个数为1个或3个，故C，D错误．故选：B．9．设三棱锥V﹣ABC的底面是A为直角顶点的等腰直角三角形，VA⊥底面ABC，M是线段BC上的点（端点除外），记VM与AB所成角为α，VM与底面ABC所成角为β，二面角A﹣VC﹣B为γ，则（）A．α＜β，β+γ＞π2B．α＜β，β+γ＜π2C．α＞β，β+γ＞π2D．α＞β，β+γ＜π2【分析】由最小角定理得α＞β，由已知条件得AB⊥平面VAC，过A作AN⊥VC，连结BN，得γ＝∠BNA，推导出γ＞∠BVA，由VA⊥平面ABC，得β＝∠VMA，推导出γ＞∠MVA，从而β+γ＞π2．解：设三棱锥V﹣ABC的底面是A为直角顶点的等腰直角三角形，VA⊥底面ABC，M是线段BC上的点（端点除外），记VM与AB所成角为α，VM与底面ABC所成角为β，二面角A﹣VC﹣B为γ，由最小角定理得α＞β，排除A和B，由已知条件得AB⊥平面VAC，过A作AN⊥VC，连结BN，得γ＝∠BNA，∴tanγ=tan∠BNA=AB AN，而tan∠BVA=ABAV，AN＜AV，∴tan∠BNA＞tan∠BVA，∴γ＞∠BVA，∵VA⊥平面ABC，∴β＝∠VMA，∴β+∠MVA=π2，∵tan∠MVA=AMAV，AB＞AM，∴tan∠MVA，∴γ＞∠MVA，∴β+γ＞π2．故选：C．10．设a∈R，数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝a n﹣（a n﹣2）3，则（）A．当a＝4时，a10＞210B．当a=√2时，a10＞2C．当a=13时，a10＞210D．当a=165时，a10＞2【分析】令b n＝a n﹣2，则b n+1=b n−b n3，令f（x）＝x﹣x3，则f′（x）＝1﹣3x2，则f（x）在（﹣∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递减，在（−√33，√33）上单调递增，分别取a=√2和a=165，利用函数的单调性推导出B，D错误；令g（x）＝x3﹣x，则g′（x）＝3x2﹣1，g（x）在（−∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递增，在（−√33，√33）上单调递减，当a＝4时，利用函数的单调性推导出A错；当a=13时，利用函数的单调性推导出C正确．解：令b n＝a n﹣2，即b n+1=b n−b n3，令f（x）＝x﹣x3，则f′（x）＝1﹣3x2，由f′（x）＞0，得−√33＜x＜√33，由f′（x）＜0，得x＜−√33或x＞√33，则f（x）在（﹣∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递减，在（−√33，√33）上单调递增，当a =√2时，b 1=√2−2＜−√33，0＞b 2＝18﹣13√2＞−√33，由数学归纳法得到−√33＜b n+1=b n (1−b n 2)＜0，当a =165时，b 1=65，0＞b 2=−66125＞−√33， 由数学归纳法知−√33＜b n+1=b n (1−b n 2)＜0，故B ，D 错误；令g （x ）＝x 3﹣x ，则g ′（x ）＝3x 2﹣1，由g ′（x ）＞0，得x ＜−√33或x ＞√33，由g ′（x ）＜0，得−√33＜x ＜√33，∴g （x ）在（−∞，−√33）和（√33，+∞）上单调递增，在（−√33，√33）上单调递减，当a ＝4时，|b 1|＝2，|b 2|＝6，由题意得|b n |≥2，|b n+1b n|＝|1−b n 2|＞1，则b n+1b n⋅b n b n−1=（1−b n 2）（1−b n−12）＞0，∴b 10=|b 1|π9i=1(b i 2−1|＞2×39＞210，∵b 2与b 10同号，则A 错； 当a =13时，|b 1|=53，|b 2|=8027， 由题意知|b n |≥53，|b n+1b n|＝|1−b n 2|＞1，则b n+1b n⋅b n b n−1=（1−b n 2）（1−b n−12）＞0，∴b 2与b 10同号，∴b 10=|b 1|π9i=1(b i 2−1|＞8027⋅38＞210，故C 正确． 故选：C ．二、填空题:共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题6分,共36分｡11．若双曲线x 2a−y 2=1的一渐近线方程是x +2y ＝0，则a ＝ 4 ；离心率是√52． 【分析】由题意双曲线的方程和渐近线的方程求出a ，进而求出双曲线的离心率．解：由双曲线x 2a−y 2=1的方程可得渐近线的方程为：y =√a ，而由题意可得√a=12，所以a ＝4， 离心率e =√4+1√4=√52，故答案分别为：4，√52． 12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 16+6√2 ，休积是 6 ．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积． 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为三棱柱， 如图所示：所以该几何体的表面积为：S =2×3+2×3+2√2×3+2×12×2×2=16+6√2．该几何体的体积为：V=12×2×2×3=6．故答案为：16+6√2；6．13．已知a∈R，若二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n＝4，含x项的系数是24或96．【分析】二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，可得2n＝16，解得n．所有项系数和是81，令x＝1，可得：（a+1）4＝81，解得a．利用通项公式即可得出．解：二项式(a√x+1)n的展开式中二项式系数和是16，∴2n＝16，解得n＝4．所有项系数和是81，令x＝1，可得：（a+1）4＝81，解得a＝2，或﹣4．a＝2时，T3=∁42(2√x)2=24x，a＝﹣4时，T3=∁42(−4√x)2=96x，含x项的系数是24或96．故答案为：4，24或96．14．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，A≠π2，c+b cos A﹣a cos B=√2a cos A，则ba =√22内角B的取值范围是（0，π4）．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sin B cos A=√2sin A cos A，结合A≠π2，可得2sin B=√2sin A，由正弦定理可得ba=√22，kd sin B=√2sinA2，且b＜a，B为锐角，即可求解范围B．解：∵c+b cos A﹣a cos B=√2a cos A，∴由正弦定理可得：sin C+sin B cos A﹣sin A cos B=√2sin A cos A，∵sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin A cos B+cos A sin B+sin B cos A﹣sin A cos B=√2sin A cos A，可得2sin B cos A=√2sin A cos A，∵A ≠π2，∴可得2sin B =√2sin A ，由正弦定理可得2b =√2a ，可得b a=√22，∵sin B =√2sinA 2∈（0，√22），且b ＜a ，B 为锐角，∴B ∈（0，π4）．故答案为：√22，（0，π4）．15．已知椭圆C ：x 29+y 27=1，F 为其左焦点，过原点O 的直线1交椭圆于A ，B 两点，点A 在第二象限，且∠FAB ＝∠BFO ，则直线1的斜率为 −√73．【分析】先设点A 的坐标，再把需要的线的斜率表示出，利用到角公式解出点的坐标，从而求出斜率．解：设A （x 0，y 0 ），则B （﹣x 0，﹣y 0），x 0＜0，y 0＞0且x 029+y 027=1．∵F 为其左焦点，∴F （−√2，0），tan ∠BFO =0−x 0+2，直线AB 的斜率k 1=yx 0．经分析直线AF 的斜率必存在，设为k 2=y 0x0+√2．又由到角公式可得：tan ∠FAB =k 1−k 21+k 1k 2=√2y 0x 02+2x 0+y 02．又∠FAB ＝∠BFO ，∴√2y 0x 2+√2x +y 2=0−x +√2． ∴x 02+2√2x 0+y 02=2，又x 029+y 027=1，x 0∈（﹣3，0），可解得：x 0=−3√22，y 0=√142，∴直线l 的斜率为y 0x 0=−√73．故答案为：−√73．16．已知非零平面向量a →，b →，c →，满足a →•b →=a →2，3c →=2a →+b →，则b →⋅c→|b →|⋅|c →|的最小值是 √32．【分析】根据已知条件可以得出向量a →，b →，c →之间的关系，然后利用坐标法、特殊化将向量b →，c →的坐标表示出来，最后将问题转化为一个基本不等式问题．解：由a →•b →=a →2得|a →||b →|cosθ=|a →|2（θ是a →，b →的夹角）．∴|b →|cosθ=|a →|，所以不妨设a →=(1，0)，b →=(1，tanθ)(θ是零角或锐角)，（∵求得是比值，所以为了简化计算，在不影响结果前提下设a →=(1，0)．）∴c →=23a →+13b →=(1，13tanθ)．再令t ＝tan θ∈[0，+∞）．则b →⋅c→|b →|⋅|c →|=1+13t 2√1+t 2√1+9t 2=√(1+t )(1+19t )(1+13t 2)2 对于分母，再令m ＝t 2≥0，则分母可化为：y =√1+49m1+23m+19m2=√1+4923+19m+1m．∵23+19m +1m≥23+2√19m ×1m=43，（当且仅当m ＝3时取等号）∴上式≤√1+4943=3．∴b →⋅c→|b →|⋅|c →|≥12√3=√32． 故答案为：√32．17．设a ，b ∈R ，若函数f(x)=23ax 3+12bx 2+(1−a)x 在区间[﹣1，1]上单调递增，则a +b的最大值为 2 ．【分析】求导得f ′（x ）＝2ax 2+bx +1﹣a ，依题意，（2x 2﹣1）a +xb +1≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，先根据系数比例，令2x 2﹣1＝x ，可得a +b ≤2，即a +b 的最大值为2，再证明充分性，即当a +b ＝2时，（2x 2﹣1）a +xb +1≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，综合即可得出结论．解：f ′（x ）＝2ax 2+bx +1﹣a ，∵函数f （x ）在区间[﹣1，1]上单调递增，∴f ′（x ）≥0在[﹣1，1]上恒成立，亦即（2x 2﹣1）a +xb +1≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立， 令2x 2﹣1＝x ，解得x ＝1或x =−12，将x =−12代入可得−12a −12b +1≥0，即a +b ≤2，则a +b 的最大值为2，下面证明a +b ＝2可以取到，令g （x ）＝f ′（x ）＝2ax 2+bx +1﹣a ，则g ′（x ）＝4ax +b ，且g(x)≥0，g(−12)=0，则g′(−12)=−2a +b =0，解得a =23，b =43，当a =23，b =43时，g(x)=f′(x)=43x 2+43x +13=13(2x +1)2≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，故a +b ＝2可以取到， 综上，a +b 的最大值为2．故答案为：2．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知函数f（x）＝sin x+a cos x（a＞0）满足[f(x)]2+[f(x+π2)]2=4．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设0＜α＜π2，且f（α）•f（α+π2）=23，求sin2α．【分析】（Ⅰ）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得a的值．（Ⅱ）由题意利用三角恒等变换求得cos（2α+π6）的值，再利用同角三角函数的基本关系求出sin（2α+π6）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin2α＝sin[（2α+π6）−π6]的值．解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝sin x+a cos x（a＞0），∴f（x+π2）＝sin（x+π2）+a cos（x+π2）＝cos x﹣a sin x，∵满足[f(x)]2+[f(x+π2)]2=4，即（sin x+a cos x）2+（cos x﹣a sin x）2＝4，即1+a2＝4，故a=√3．（Ⅱ）设0＜a＜π2，且f(α)⋅f(α+π2)=23=（sinα+√3cosα）•（cosα−√3sinα）＝sinαcosα−√3sin2α+√3cos2α﹣3sinαcosα＝﹣2sinαcosα+√3cos2α=√3cos2α﹣sin2α＝2cos（2α+π6）∴cos（2α+π6）=13．∵0＜α＜π2，∴2α+π6∈（π6，7π6），∴sin（2α+π6）=√1−cos2(2α+π6)=2√23．故sin2α＝sin[（2α+π6）−π6]＝sin（2α+π6）cosπ6−cos（2α+π6）sinπ6=2√23×√32−13⋅12=2√6−16．19．如图，在四棱锥C﹣ABNM中，四边形ABNM的边长均为2，△ABC为正三角形，MB=√6，MB⊥NC，E，F分别为MN，AC中点．（Ⅰ）证明：MB⊥AC；（Ⅱ）求直线EF与平面MBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接AN，由题意可得MB⊥AN，结合MB⊥NC，利用线面存在着的判定可得MB⊥平面NAC，则MB⊥AC；（Ⅱ）取BC的中点G，连接FG，NG，MG，证明MG与EF相交，记交点为O，则O 为MG与EF的中点．则直线EF与平面MBC所成角，就是FO与平面MBC所成角，记为θ．由已知求解三角形可得OF．记F到平面MBC的距离为h，利用等体积法求得h，则sinθ=ℎOF=√155．【解答】（Ⅰ）证明：连接AN，∵四边形ABNM的边长均为2，∴MB⊥AN，∵MB⊥NC，且AN∩NC＝N，∴MB⊥平面NAC，∵AC⊂平面NAC，∴MB⊥AC；（Ⅱ）解：取BC的中点G，连接FG，NG，MG，显然FG∥MN，且FG=12MN，即FG∥ME，FG＝ME，∴MG与EF相交，记交点为O，则O为MG与EF的中点．∴直线EF与平面MBC所成角，就是FO与平面MBC所成角，记为θ．由（Ⅰ）知，MB⊥AC，又△ABC为正三角形，∴BF⊥AC，且BF=√3．∵MB∩BF＝B，∴AC⊥平面MBF，则MF⊥AC，得MF=√3．∵MB=√6，∴MF⊥BF，得OF=12EF=12√3+1=1．记F到平面MBC的距离为h，∵MF⊥BF，MF⊥AC，且AC∩BF＝F，∴MF⊥平面ABC，V M−BCF=13S△BCF⋅MF=13⋅12⋅1⋅√3⋅√3=12．在△MBC中，∵MC＝BC＝2，MB=√6，∴S△MBC=√152．∴V F−MBC=13S△MBC⋅h=13⋅√152⋅h=12，得h=√155．故sinθ=ℎOF=√155．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知：a5＝2a2+3且a2，√S9，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设正项数列{b n}满足b n2S n+1＝s n+1+2，求证：b1+b2+…+b n＜n+1．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，注意9a 1+36d ≥0，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得S n ＝n 2，求得b n ，并推得b n ＜√1+1n 2+1(n+1)2=√[n(n+1)+1]2n 2(n+1)2=1+1n(n+1)=1+1n −1n+1，再由数列的分组求和以及裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 5＝2a 2+3可得a 1+4d ＝2（a 1+d ）+3， 又a 2，√S 9，a 14成等比数列，可得S 9＝a 2a 14， 即9a 1+36d ＝（a 1+d ）（a 1+13d ），且9a 1+36d ≥0， 解得a 1＝1，d ＝2，或a 1=−115，d =25（舍去）， 则a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得S n =12（1+2n ﹣1）n ＝n 2，由b n 2S n +1＝S n +1+2，可得b n =√1+2(n+1)2，由b n ＜√1+1n 2+1(n+1)2=√n 2(n+1)2+(n+1)2+n 2n 2(n+1)2 =√[n(n+1)+1]2n 2(n+1)2=1+1n(n+1)=1+1n −1n+1，故b 1+b 2+…+b n ＜n +（1−12+12−13+⋯+1n −1n+1） ＝n +1−1n+1＜n +1．21．如图，已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过F的两条动直线AB，CD 与抛物线交出A、B、C、D四点，直线AB，CD的斜率存在且分别是k1（k1＞0），k2．（Ⅰ）若直线BD过点（0，3），求直线AC与y轴的交点坐标（Ⅱ）若k1﹣k2＝2，求四边形ACBD面积的最小值．【分析】（Ⅰ）抛物线方程为x2＝4y，设设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），x3＞x4，直线y＝kx+t代入抛物线方程，当t＝1时，得x1x2，x3x4，当t＝3时，得x2x4，进而可得x1x3值为−43，写出直线AC方程，令x＝0得y=−x1x34=13，进而得出结论．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），x3＞x4，设直线l的方程是y＝kx+1，联立抛物线方程，由韦达定理可得，|AB|＝|y1+1+y2+1|＝4（k12+1），再求出点C到AB的距离d1点D到AB的距离d2，S=12|AB|（d1+d2），化简得S＝16√(1+k12)(k12−4k1+5)，设f（x）＝（1+x2）（x2﹣4x+5），x＞0，求导，分析单调性，进而得出S min．解：（Ⅰ）由题意可得抛物线方程为x2＝4y，设直线y＝kx+t代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4t＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），x3＞x4，当t＝1时，得x1x2＝﹣4，x3x4＝﹣4，当t＝3时，x2x4＝﹣12，所以x 1x 3=−4x 2•−4x 4=−43，直线AC 方程是y ﹣y 1=x 1+x 34(x −x 1)， 令x ＝0得y =−x 1x 34=13， 故直线AC 与y 轴交点坐标是（0，13）．（Ⅱ）F （0，1）设直线l 的方程是y ＝kx +1，代入x 2＝4y 得x 2﹣4kx ﹣4＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），x 3＞x 4， 则{x 1+x 2=4k 1x 1x 2=−4，{x 3+x 4=4k 2x 3x 4=−4， |AB |＝|y 1+1+y 2+1|＝|k 1x 1+k 1x 2+4|＝4（k 12+1）， 点C 到AB 的距离d 1=133√1+k 1=133√1+k 1，点D 到AB 的距离d 2=144√1+k 1=144√1+k 1，S =12|AB |（d 1+d 2）＝2（k 12+1）•13443√1+k 12=2√1+k 12•（k 1﹣k 2）（x 3﹣x 4）＝4√1+k 12√16k 22+16=16√(1+k 12)(k 12−4k 1+5)， 设f （x ）＝（1+x 2）（x 2﹣4x +5），x ＞0 则f ′（x ）＝4（x 3﹣3x 2+3x ﹣1）＝4（x ﹣1）3，所以f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以在（0，+∞）内f （x ）最小值f （1）＝4． 故当k 1＝1，k 2＝﹣1时，S min ＝32．22．已知函数f （x ）＝ax 3﹣ax ﹣xlnx ．其中a ∈一、选择题． （Ⅰ）若a =12，证明：f （x ）≥0；（Ⅱ）若xe 1﹣x ≥1﹣f （x ）在x ∈（1，+∞）上恒成立，求a 的取值范围．【分析】（I ）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求f （x ）的范围，可证；（II ）由已知代入整理可得，ax 2﹣a ﹣lnx ≥﹣e 1﹣x +1x，构造函数m （x ）＝ax 2﹣a ﹣lnx ，n （x ）＝﹣e 1﹣x +1x =1x −1e x−1，x ＞1，然后结合导数分别分析函数的特征性质，可求．【解答】证：（I ）函数f （x ）的定义域（0，+∞），f （x ）=12x 3−12x ﹣xlnx ＝x（12x 2−12−lnx ）， 令g （x ）=12x 2−12−lnx ，则g′(x)=x −1x =x 2−1x，当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增，故g （x ）≥g （1）＝0， 又x ＞0，所以f （x ）≥0；解：（II ）若xe 1﹣x ≥1﹣f （x ）＝1﹣（ax 3﹣ax ﹣xlnx ）在x ∈（1，+∞）上恒成立，则e 1﹣x ≥1x−（ax 2﹣a ﹣lnx ）在x ∈（1，+∞）上恒成立， 即ax 2﹣a ﹣lnx ≥﹣e 1﹣x +1x，令m （x ）＝ax 2﹣a ﹣lnx ，n （x ）＝﹣e 1﹣x +1x=1x −1ex−1，x ＞1， 由e x ﹣1＞x （x ＞1）可得n （x ）＞0，∵m′(x)=2ax −1x =2ax 2−1x，（i ）当a ≤0时，m ′（x ）＜0，m （x ）在∈（1，+∞）上单调递减，故m （x ）＜m （1）＝0，此时m （x ）≥n （x ）不成立，（ii ）当a ＞0时，由m ′（x ）＝0可得x =√12a，x =−√12a（舍），当√12a ＞1即0＜a ＜12时，m （x ）在（1，√12a ）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增，∴m （√12a）＜m （1）＝0，则在（1，√12a）m （x ）≥n （x ）不成立，当√12a≤1即a ≥12时，m （x ）在（1，√12a）上单调递减，在（√12a，+∞）上单调递增，令F （x ）＝m （x ）﹣n （x ）＝a （x 2﹣1）﹣lnx −1x+1e x−1，则F （x ）≥12(x 2−1)−lnx −1x +1e x−1，令G （x ）=12(x 2−1)−lnx −1x+1e x−1，即F （x ）≥G （x ），∵G′(x)=x −1x +1x 2−1e x−1≥x −1x +1x 2−1=(x+1)(x−1)2x 2＞0，故G （x ）在（1，+∞）上单调递增，G （x ）＞G （1）＝0，则F （x ）≥G （x ）＞0，综上，a 的范围[12，+∞）．。

2020年浙江省高考数学模拟试卷（4月份）一．选择题（共10小题）1．设集合A＝{x∈N||x|＜4}，B＝{x|2x≤4}，则A∩B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|﹣4＜x≤2}C．{0，1，2}D．{1，2}2．设复数z满足i•z＝2+3i，其中i为虚数单位，在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知q是等比数列{a n}的公比，首项a1＜0，则“0＜q＜1”是“数列{a n}是递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设x，y满足，则|x+4y|的最大值为（）A．0B．1C．2D．55．函数y＝﹣cos x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．6．随机变量X满足P（X＝p）＝p，P（X＝1﹣p）＝1﹣p，随机变量Y＝1﹣X，则（）A．E（X）≥E（Y），D（X）≥D（Y）B．E（X）≥E（Y），D（X）＝D（Y C．E（X）≤E（Y），D（X）≥D（Y）D．E（X）≤E（Y），D（X）＝D（Y）7．已知正四面体ABCD中，E，F分别是线段BC，BD的中点，P是线段EF上的动点（含端点）．P A与平面BCD所成的角为θ1，二面角A﹣EF﹣D的平面角为θ2，二面角A﹣CD﹣B的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ3≤θ2B．θ3≤θ1≤θ2C．θ1≤θ2，θ1≤θ3D．θ1≤θ3，θ2≤θ38．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，满足|PF1|＝|F1F2|，PF2与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．39．已知a∈R，函数f（x）＝，则函数y＝f（x）的零点个数不可能为（）A．0B．1C．2D．310．已知数列{a n}满足：a1＝1，．（1）数列{a n}是单调递减数列；（2）对任意的n∈N*，都有；（3）数列是单调递减数列；（4）对任意的n∈N*，都有．则上述结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共7小题）11．若log3m＝2，则m＝9；＝6．12．《九章算术》中有这样的描述：“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤四丈”，其中“广”是东西走向的意思，“袤”是南北走向的意思．若有几何体的三视图如图，则该几何体的体积为60，表面积为54+8（不需填单位）．13．已知多项式（2x+a）5＝a0+a1x+…+a5x5+（1+x）2，若a0＝0，则a＝1；若a2＝﹣41，则a1+a2+…+a5＝﹣1．14．在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，AB＝AD＝1，AC＝2，则BC＝；若O是△ABD的外接圆圆心，则BO＝．15．设点P（1，y0），若圆O：x2+y2＝1上存在点Q，使得，则y0的取值范围是[﹣，]．16．地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库，当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有336种．17．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，圆O是△BCD的内切圆，P是圆O上的动点，M为AB的中点，N为边AD上的动点（包含端点），则的最大值为+4．三．解答题（共5小题）18．已知函数．（Ⅰ）若f（x+φ）为偶函数，且φ∈（0，π），求φ；（Ⅱ）在△ABC中，角A满足f（A）＝1，sin B＝2sin C，a＝2，求△ABC的面积．19．如图，已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1，BB1，CC1，DD1均垂直于平面ABCD，AD ∥BC，AB＝BC＝CD＝AA1＝CC1＝2，BB1＝1，AD＝DD1＝4．（Ⅰ）证明：A1C1⊥平面CDD1C1；（Ⅱ）求直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值．20．已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}的前n项和T n＝1﹣b n．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，试比较R n与T n的大小．21.如图，椭圆：的上顶点A恰为抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，B，C是抛物线上的两个动点．（Ⅰ）若点P（2，1），且满足PC⊥CB，求点B横坐标的取值范围；（Ⅱ）若A，B，C三点共线，过坐标原点O的直线l平分BC，且与椭圆交于M，N两点，求△BMN面积的最大值．22．已知函数f（x）＝ax+lnx，g（x）＝f（x）（x﹣lnx）﹣x2，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a∈Z，且函数g（x）只有一个零点，求a的最小值．。

浙江省金华市武义第三中学2025届高考数学全真模拟密押卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④2．设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]5,3-B ．[]2,3C ．[)2,+∞D ．(],3-∞3．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2 B ．3C ．2D ．34．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．5．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a bc-=（ ） A ．32B ．12C ．14D ．186．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c，已知3,1,30a b B===，则A 为( )A ．60B ．120C ．60或150D ．60或1207．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//mB ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥8．已知3ln 3a =，1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<10．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知直线l ：320x y ++=与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB 与OMN 的面积相等，给出下列直线1l ：①3230x y +-=，②320x y +-=，③320x y -+=，④3230x y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ） A ．①②B ．①④C ．②③D ．①②④12．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．423 C 2D 23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届浙江省金华十校高三下学期4月模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合()(){}|120A x x x =++<，{}|12B x x =<≤，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |﹣1＜x ≤2}D ．{x |﹣1≤x ＜2}【答案】A【解析】先求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】∵()(){}{}12012A x x x x x =+-<=-<<，{}12B x x =<≤， ∴{}{}{}121212A B x x x x x x ⋂=-<<⋂<≤=<<. 故选：A ． 【点睛】本题考查了集合的运算与一元二次不等式的求解，属于基础题. 2．若复数21aii+-(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－2 B ．2C ．1D ．－1【答案】B【解析】试题分析：()()()()()()2122222111222ai i a a i a ai a i i i i ++-++++-===+--+为纯虚数，故有202a -=，()202a +≠即2a =. 【考点】复数的运算，分类.3．若x ，y 满足约束条件42y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．6【答案】D【解析】先根据约束条件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题. 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图所示：由4y xx y =⎧⎨+=⎩，解得(2,2)A ，由2z x y =+，得122z y x =-+，平移直线122zy x =-+，由图象可知当直线经过点A ，直线的截距最大，此时z 最大，此时6z =， 故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.4．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2+y 2+ax ﹣2y +2＝0的曲线是圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程22220x y ax y ++-+=的曲线是圆，则有2224480D E F a +-=+->，解之得2a >或2a <-，再利用充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】方程22220x y ax y ++-+=的曲线是圆，则有2224480D E F a +-=+->， 解之得2a >或2a <-，则“2a >”是“2a >或2a <-”的充分不必要条件，所以“2a >”是“方程22220x y ax y ++-+=的曲线是圆”的充分不必要条件.故选：A ． 【点睛】本题考查了圆的一般方程的应用及充分条件、必要条件的概念，属于基础题. 5．在下面四个x ∈[﹣π，π]的函数图象中，函数y ＝|x |cos2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由函数为偶函数，可排除A 、C ；由()0f π>，可排除B ；进而得出正确选项． 【详解】()cos(2)cos2()f x x x x x f x -=--==，即()f x 为偶函数，可排除A 、C ；又()(2)2cos220f k k k k k Z ππππ==≥∈，可排除B ． 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性的应用和三角函数的性质，属于基础题. 6．已知在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点，E ，F 分别为BC ，B 1B 的中点，则直线MN 与直线EF 、平面ABB 1A 1的位置关系分别为（ ） A ．平行、平行 B ．异面、平行C ．平行、相交D ．异面、相交【答案】B【解析】推导出EF ⊂平面11BCC B ，MN I 平面11BCC B N =，N EF ∉，由异面直线判定定理得直线MN 与直线EF 是异面直线；取11A C 中点P ，连结PM ，PN ，则11//PN B A ，1//PM A A ，从而平面//PMN 平面11ABB A ，由此得到直线MN 与平面11ABB A 平行． 【详解】∵在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AC ，11B C 的中点，E ，F 分别为BC ，1B B 的中点，∴EF ⊂平面11BCC B ，MN I 平面11BCC B N =，N EF ∉， ∴由异面直线判定定理得直线MN 与直线EF 是异面直线； 取11A C 中点P ，连结PM ，PN ，则11//PN B A ，1//PM A A ，∵1111AA A B A =I ，PM PN P ⋂=， ∴平面//PMN 平面11ABB A ，∵MN ⊂平面PMN ，∴直线MN 与平面11ABB A 平行． 故选：B ．【点睛】本题考查了棱柱的几何特征及异面直线、线面平行的判定，属于中档题.7．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n ＝3时取出黑球的数目，η表示当n ＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）A ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＜D （η）B ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＜D （η）C ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＞D （η） D ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＞D （η）【答案】A【解析】当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出()2E ξ=， ()25D ξ=；当4n =时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出()167E η=， ()2449D η=，即可得解．【详解】当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3，()134336115C C P C ξ⋅===，()342236325C C P C ξ⋅===，()343136135C C P C ξ⋅===， ∴()131232555E ξ=+⨯+⨯=，()112555D ξ=+=；当4n =时，η可取1，2，3，4，()1434374135C C P C η⋅===，()22437418235C P C C η==⋅=， ()31437412335C P C C η==⋅=，()4404375143C C P C η⋅===， ∴()41812116234353535357E η=+⨯+⨯+⨯=， ()22224161816121611612343573573575494372D η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ∴()()E E ξη<，()()D D ξη<． 故选：A ． 【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.8．已知函数()2100ax x f x lnx x ⎧+≤=⎨⎩，，＞，，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判断，正确的是（ ）A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个 【答案】B【解析】分别画出0a =，0a >，0a <时，()y f x =的图象，结合()t f x =，()0f t m +=的解的情况，数形结合可得所求零点个数．【详解】令()t f x =，则()0f t m +=，当0a =时， 若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =， 即当0a =，m R ∈时，不是有且只有1个零点，故A 错误；当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确；当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误． 故选：B ．【点睛】本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.9．设三棱锥V ﹣ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA ⊥底面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A ﹣VC ﹣B 为γ，则（ ） A ．2παββγ+＜，＞B ．2παββγ+＜，＜C ．2παββγ+＞，＞D ．2παββγ+＞，＜【答案】C【解析】由最小角定理得αβ>，由已知条件得AB ⊥平面VAC ，过A 作AN VC ⊥，连结BN ，得BNA γ=∠，推导出BVA γ>∠，由VA ⊥平面ABC ，得VMA β=∠，推导出MVA γ>∠，从而2πβγ+>，即可得解.【详解】由三棱锥V ABC -的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形， VA ⊥平面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外）， 记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A VC B --为γ， 由最小角定理得αβ>，排除A 和B ； 由已知条件得AB ⊥平面VAC ，过A 作AN VC ⊥，连结BN ，得BNA γ=∠，∴tan tan ABBNA ANγ=∠=， 而tan ABBVA AV∠=，AN AV <，∴tan tan BNA BVA ∠>∠， ∴BVA γ>∠，∵VA ⊥平面ABC ，∴VMA β=∠， ∴2MVA πβ+∠=，∵tan AMMVA AV∠=，AB AM >，∴tan tan BVA MVA ∠>∠，∴MVA γ>∠，∴2πβγ+>．故选：C ．【点睛】本题查了线线角、线面角、二面角的关系与求解，考查了空间思维能力，属于中档题. 10．设a ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n +1＝a n ﹣（a n ﹣2）3，则（ ） A ．当a ＝4时，a 10＞210 B ．当2a =a 10＞2C ．当13a =时，a 10＞210 D ．当165a =时，a 10＞2 【答案】C【解析】令2n n b a =-，则31n n n b b b +=-，令3()=-f x x x ，则2()13'=-f x x ，则()f x 在3,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和33⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在33⎛ ⎝⎭，上单调递增，分别取2a =和165a =，利用函数的单调性推导出1303n b +-<<，从而可得B ，D 错误；当4a =时，利用函数的单调性推导出2n b ≥，从而可得A 错，C 正确；即可得解. 【详解】令2n n b a =-，则31n n n b b b +=-，令3()=-f x x x ，则2()13'=-f x x ，由()0f x '>，得33x -<<，由()0f x '<，得3x <-或3x >， 则()f x在,⎛-∞ ⎝⎭和⎫∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，在33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增，且(f =>，(0)0f =，故当x ⎛∈ ⎝⎭时，有()f x ⎛∈⎝⎭.当a =,123b =<-，2018b >=->，依次类推有()21103n n n b b b +-<=-<， 当165a =时，165b =，2660125b >=-＞同理有()2110n n n b b b +<=-<，此时均有1122n n a b ++=+<，故B ，D 错误； 当4a =时，12b =，262b =-<-，由()f x 的单调性可知332262b >-+=>，342262b <-=-<-，依次类推可得2n b ≥，2113n n nb b b +=-≥. 又()()2211111110n n nn n n n n b b b b b b b b ++---=⋅=-->，故11,n n b b +-同号. 而()()()222910181091111232b b b b b =-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅-≥⨯≥⋅，∵2b 与10b 同号，故10102b ≤-，所以1010220a ≤-+<，则A 错误； 当13a =时，153b =-，280227b =>， 同理可得当2n ≥时，2n b >，2113n n nb b b +=->. 且()()22111110n nn n n n b b b b b b +--⋅=-->，2b 与10b 同号， ∴()()()2228651002921880111323227b b b b b =-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅≥⨯⋅-⨯>>，所以101010222a >+>，故C 正确．故选：C ． 【点睛】本题考查了导数和数列的综合应用，考查了运算能力和推理能力，属于难题.二、双空题11．若双曲线221x y a-=的一渐近线方程是x +2y ＝0，则a ＝_____；离心率是_____．【答案】45【解析】由双曲线的方程表示出渐近线的方程即可求出a ，进而求出双曲线的离心率． 【详解】由双曲线221x y a-=的方程可得渐近线的方程为：ya =±， 而由题意可得12a =，所以4a =， 所以双曲线离心率4154e +==. 故答案为：4，5． 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，属于基础题.12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是_____，体积是_____．【答案】2 6【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积． 【详解】由三视图可知该几何体为三棱柱，该三棱柱的底面为直角边长为2，2的直角三角形，高为3，所以该几何体的表面积为：123233222162S =⨯+⨯++⨯⨯⨯=+． 该几何体的体积为：122362V =⨯⨯⨯=．故答案为：16+6． 【点睛】本题考查了三视图的识别及三棱柱的体积和表面积的求解，属于基础题.13．已知a ∈R ，若二项式(1)n 的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n ＝_____，含x 项的系数是_____． 【答案】4 24或96【解析】由题意可得216n =，解得n 后，令1x =即可得a ，利用二项式展开式的通项公式即可得解. 【详解】∵二项式(1)n 的展开式中二项式系数和是16， ∴216n =，解得4n =；令1x =，可得()4181a +=，解得2a =或4-， 二项式展开式的通项公式为2442144(r r rr rr TC C ax---+==，令2r =，则x 项的系数是22246C a a =，当2a =时，2624a =， 当4a =-时，2696a =， 所以含x 项的系数是24或96． 故答案为：4，24或96． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力，属于中档题. 14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，2A π≠，c +b cos A ﹣a cos B =cos A ，则ba=_____，内角B 的取值范围是_____．（0，4π）【解析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得2sin cos cos B A A A =，结合2A π≠，可得sin sin 2B A =，由正弦定理可得2b a =；由sin B A =，且b a <，B 为锐角，即可求解B 的范围．【详解】∵cos cos cos c b A a B A +-=，∴由正弦定理可得：sin sin cos sin cos cos C B A A B A A +-=，∵()()sin sin sin sin cos sin cos C A B A B A B B A π⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，∴sin cos sin cos sin cos sin cos cos A B B A B A A B A A ++-=，即2sin cos cos B A A A =，∵2A π≠，∴可得sin B A =，由正弦定理可得b a =，∵sin 0,22B A ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，且b a <，B 为锐角， ∴0,4B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：2,0,4π⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角恒等变换与正弦定理的综合应用，属于中档题.三、填空题15．已知椭圆22197x y C +=：，F 为其左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，点A 在第二象限，且∠FAB ＝∠BFO ，则直线l 的斜率为_____．【答案】【解析】先设点A 的坐标，再把需要的直线的斜率表示出，利用角相等解出点的坐标，从而求出斜率．【详解】设()00,A x y ，则()00,B x y --，00x <，00y >且2200197x y +=，∵F 为其左焦点，∴()F，tan BFO ∠=AB 的斜率010y k x =．经分析直线AF的斜率必存在，设为2k =则1212tan 1k k FAB k k -∠==+，又FAB BFO ∠=∠，=，∴220002x y ++=，又2200197x y +=，0(3,0)x ∈-，可解得：0x =，0y =， ∴直线l的斜率为003y x =-．故答案为：3-． 【点睛】本题考查了直线方程与椭圆的综合应用，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.16．已知非零平面向量a r ，b r ，c r ，满足2a b a ⋅=r r r ，32c a b =+r r r ，则b c b c⋅⋅r rr r 的最小值是_____．【解析】根据已知条件可以得出向量a r ，b r ，c r之间的关系，然后利用坐标法、特殊化将b r，c r向量的坐标表示出来，最后将问题转化为一个基本不等式问题． 【详解】由2a b a ⋅=r r r 得2a b cos a θ⋅=r r r （θ是a r ，b r 的夹角）．∴cos b a θ=r r ，∴不妨设()10a =r ，，()1b tan θ=r ，0,2πθ⎛⎫⎡⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭， ∴2111333c a b tan θ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭r r r ，，再令tan [0,)t θ=∈+∞，则211t b c b c+⋅==⋅r r r r ．对于分母，再令20m t =≥，当0m =时，1b cb c=⋅⋅r r r r .当0m ≠时，则分母可化为：y ==∵211243933m m ++≥+=，当且仅当3m=时取等号，∴y ≤=∴12b c b c⋅≥=⋅r rr r 【点睛】本题考查了平面向量线性运算及数量积的坐标表示，考查了基本不等式的应用，属于中档题.17．设a ，b ∈R ，若函数()()3221132f x ax bx a x =++-在区间[﹣1，1]上单调递增，则a +b 的最大值为_____． 【答案】2【解析】求导得2()21f x ax bx a '=++-，依题意2210ax bx a ++-≥在[]1,1x ∈-上恒成立，先根据系数比例，令221x x -=，可得2a b +≤，即a +b 的最大值为2，再证明充分性，即当2a b +=时，2210ax bx a ++-≥在[]1,1x ∈-上恒成立，综合即可得出结论． 【详解】求导得2()21f x ax bx a '=++-， ∵函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增， ∴2210ax bx a ++-≥在[]1,1x ∈-上恒成立， 令221x x -=解得1x =或12x =-，将12x =-代入可得111022a b --+≥，即2a b +≤，则+a b 的最大值为2，下面证明2a b +=可以取到， 令()2()21g x f x ax bx a '==++-，则()4g x ax b '=+，且()0g x ≥，102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则1202g a b ⎛⎫'-=-+= ⎪⎝⎭，解得23a =，43b =， 当23a =，43b =时，()()224411(21)03333g x f x x x x '==++=+≥在[]1,1x ∈-上恒成立，故2a b +=可以取到， 综上，+a b 的最大值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了导数的应用，考查了推理能力和转化化归思想，属于中档题.四、解答题18．已知函数()sin cos (0)f x x a x a =+>满足()2242f x fx π⎡⎤⎛⎫⎡⎤++= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设02πα<<，且2()23f f παα⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，求sin2α．【答案】（Ⅰ（Ⅱ． 【解析】（Ⅰ）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系即可求得a 的值； （Ⅱ）由题意利用三角恒等变换求得1cos 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用同角三角函数的平方关系求出sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式即可得解. 【详解】（Ⅰ）∵函数()sin acos (0)f x x x a =+>， ∴sin acos cos sin 222f x x x x a x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∵()2242f x f x π⎡⎤⎛⎫⎡⎤++= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，∴()()22sin acos cos sin 4x x x a x ++-=， ∴214a +=，又0a >故a =（Ⅱ）由题意()()()sin cos 2f f παααααα⎛⎫⋅+=+ ⎪⎝⎭222sin cos sin 22αααααα=--+=-22cos 263πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴1cos 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵02πα<<，∴72,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 263πα⎛⎫+==⎪⎝⎭， 故sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2231126132326-=⨯-⨯=. 【点睛】本题考查了三角函数的性质及三角恒等变换的综合应用，考查了运算能力，属于中档题. 19．如图，在四棱锥C ﹣ABNM 中，四边形ABNM 的边长均为2，△ABC 为正三角形，MB 6=，MB ⊥NC ，E ，F 分别为MN ，AC 中点．（Ⅰ）证明：MB ⊥AC ；（Ⅱ）求直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ15【解析】（Ⅰ）连接AN ，由题意可得MB AN ⊥，结合MB NC ⊥，利用线面垂直的判定可得MB ⊥平面NAC ，利用线面垂直的性质即可得证；（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接FG ，NG ，MG ，证明MG 与EF 相交，记交点为O ，则O 为MG 与EF 的中点．则直线EF 与平面MBC 所成角，就是FO 与平面MBC 所成角，记为θ．由已知求解三角形可得OF ，记F 到平面MBC 的距离为h ，利用等体积法求得h ，则15sin 5h OF θ==，即可得解. 【详解】（Ⅰ）证明：连接AN ，∵四边形ABNM 的边长均为2，∴MB AN ⊥， ∵MB NC ⊥，且AN NC N =I ，∴MB ⊥平面NAC ， ∵AC ⊂平面NAC ，∴MB AC ⊥； （Ⅱ）取BC 的中点G ，连接FG ，NG ，MG ， 显然//FG MN ，且12FG MN =，即//FG ME ，FG ME =， ∴MG 与EF 相交，记交点为O ，则O 为MG 与EF 的中点．∴直线EF 与平面MBC 所成角，就是FO 与平面MBC 所成角，记为θ, 由（Ⅰ）知MB AC ⊥，又ABC V 为正三角形，∴BF AC ⊥，且3BF =． ∵MB BF B =I ，∴AC ⊥平面MBF ，而BF ⊂平面MBF ， 则MF AC ⊥，得3MF =，2MC =， ∵6MB =，3BF =，∴MF BF ⊥，AC BF F =I ，∴MF ⊥平面ABC ，又FG ⊂平面ABC ，MF FG ⊥， ∴MF ME ⊥，可得1131122OF EF ==+=． ∴11111333322M BCFBCF V S MF -=⋅=⋅⋅⋅⋅=V ， 记F 到平面MBC 的距离为h ，在MBC △中，∵2MC BC ==，6MB =，∴15MBC S =△， ∴11151332F MBC MBC V S h h -=⋅=⋅⋅=△，得15h =． 故15sin 5h OF θ==. 所以直线EF 与平面MBC 所成角的正弦值为155. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定和性质，考查了线面角的求解和空间思维能力，属于中档题. 20．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知：a 5＝2a 2+3且a 29S a 14成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设正项数列{b n }满足b n 2S n +1＝S n +1+2，求证：b 1+b 2+…+b n ＜n +1．【答案】（Ⅰ）a n ＝2n ﹣1；（Ⅱ）详见解析．【解析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，注意19360a d +≥，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得2n S n =，求得n b ，并推得()1111111n b n n n n <==+=+-++，再由数列的分组求和以及裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证． 【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由5223a a =+可得()11423a d a d +=++，又2a 14a 成等比数列，可得2914a S a =⋅， 即()()11193613a d a d a d +=++，且19360a d +≥， 解得11a =，2d =，则()1121n a a n d n =+-=-； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得()211212n S n n n =+-=，由2112n n n b S S ++=+，可得n b =由n b <==()1111111n n n n =+=+-++，故1211111111122311n b b b n n n n n n ⎛⎫++⋯++-+-++-=+-<+ ⎪++⎝⎭<L . 得证. 【点睛】本题考查了数列通项公式的确定以及分组求和法、裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.21．如图，已知抛物线x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F （0，1），过F 的两条动直线AB ，CD 与抛物线交出A 、B 、C 、D 四点，直线AB ，CD 的斜率存在且分别是k 1（k 1＞0），k 2．（Ⅰ）若直线BD 过点（0，3），求直线AC 与y 轴的交点坐标 （Ⅱ）若k 1﹣k 2＝2，求四边形ACBD 面积的最小值． 【答案】（Ⅰ）（0，13）；（Ⅱ）32． 【解析】（Ⅰ）抛物线方程为24x y =，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，34x x >，直线y kx t =+代入抛物线方程，当1t =时，得12x x ，34x x ，当3t =时，得24x x ，进而可得31x x 值为43-，写出直线AC 方程，令0x =得13143x x y =-=，进而得出结论；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，34x x >，直线l 的方程是1y kx =+，联立抛物线方程，由韦达定理可得，()21211141AB y y k =+++=+，再求出点C 到AB 的距离d 1，点D 到AB 的距离d 2，()1212S AB d d =⋅+，化简得()()2211116145S k kk =+-+设()()()()221450f x xxx x =+-+>，求导，分析单调性，进而得出min S ． 【详解】（Ⅰ）由题意可得抛物线方程为24x y =，设直线y kx t =+代入抛物线方程得2440x kx t --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，34x x >， 当1t =时，得124x x =-，344x x =-， 当3t =时，2412x x =-， 所以12434443x x x x --=⋅=-，直线AC 方程是()()()3113131122111313444x y y x x y y x x x x x x x x x x x --+-=-=-=---， 令0x =得()1311311443x x y x y x x ++=⋅-=-=， 故直线AC 与y 轴交点坐标是10,3⎛⎫⎪⎝⎭；（Ⅱ）设直线l 的方程是1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，34x x >，则1211244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，3423444x x k x x +=⎧⎨=-⎩，()2121112111441AB y y k x k x k =+++=++=+，点C 到AB的距离1d ==，点D 到AB的距离21k x y d --+==则()()()()212112341212k x x y y S AB d d k k k x x -+-=⋅+=+=--===，设()()()()221450f x xxx x =+-+>，则()()()332433141f x x x x x '=+=---，所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以在()0,∞+内()f x 最小值()14f =， 故当11k =，21k =-时，min 1632S ==． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的综合应用，考查了导数的应用，属于中档题. 22．已知函数f （x ）＝ax 3﹣ax ﹣x ln x ．其中a ∈R ．（Ⅰ）若12a =，证明：f （x ）≥0； （Ⅱ）若xe 1﹣x ≥1﹣f （x ）在x ∈（1，+∞）上恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）[12+∞，）．【解析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求()f x 的范围，即可得证；（Ⅱ）由已知代入整理可得211ln x ax a x e x---≥-+在(1,)x ∈+∞上恒成立，构造函数()()2ln 1m x ax a x x =-->，()()111111x x n x e x x x e --=-+=->，按照0a ≤、0a >讨论，结合导数分别分析函数的特征性质，即可得解．【详解】（Ⅰ）证明：函数()f x 的定义域(0,)+∞， 当12a =时，321111()ln ln 2222f x x x x x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 令()211ln 22g x x x =--，则()211x g x x x x-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；故()()10g x g ≥=，又0x >，所以()0f x ≥；（Ⅱ）若()131()1ln x xef x ax ax x x -≥-=---在(1,)x ∈+∞上恒成立， 则()211ln x e ax a x x-≥---在(1,)x ∈+∞上恒成立， 即211ln x ax a x e x---≥-+在(1,)x ∈+∞上恒成立， 令()()2ln 1m x ax a x x =-->，()()111111x x n x e x x x e --=-+=->， 令()()11x x e x x ϕ-->=，则()110x x e ϕ--'>=，则()()10x ϕϕ>=，所以10x e x -->，可得()0n x >，∵()21212ax m x ax x x-'=-=，（i ）当0a ≤时，()0m x '<，()m x 在(1,)x ∈+∞上单调递减，故()()10m x m <=， 此时()()m x n x ≥不成立；（ii ）当0a >时，由()0m x '=可得1x =，20x =<，1>即102a <<时，()m x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，∴()10m m <=，则在⎛ ⎝上，()()m x n x ≥不成立；1≤即12a ≥时，()m x 在(1,)x ∈+∞上单调递增， 令()2111()()()1ln x F x m x n x a x x x e-=-=---+， 则()()211111ln 2x F x x x x e-≥---+， 令()()211111ln 2x G x x x x e -=---+， ∵()()221221(1)1111110x x x G x x x x x e x x x-+-'=-+-≥-+-=>， 故()G x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0>=G x G ，则()()0F x G x ≥>，符合题意；综上，a 的范围12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和推理能力，属于难题.。

2020年浙江省高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x∈N||x|<4}，B={x|2x≤4}，则A∩B=()A. {x|x≤2}B. {x|−4<x≤2}C. {0,1，2}D. {1,2}2.设复数z满足i⋅z=2+3i，其中i为虚数单位，在复平面内，复数z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知q是等比数列{a n}的公比，首项a1<0，则“0<q<1”是“数列{a n}是递增数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设x，y满足{x−y≥0x+2y≤3x−2y≤1，则|x+4y|的最大值为()A. 0B. 1C. 2D. 55.函数y=−cosx⋅ln|x|的图象可能是()A. B.C. D.6.随机变量X满足P(X=p)=p，P(X=1−p)=1−p，随机变量Y=1−X，则()A. E(X)≥E(Y)，D(X)≥D(Y)B. E(X)≥E(Y)，D(X)=D(Y)C. E(X)≤E(Y)，D(X)≥D(Y)D. E(X)≤E(Y)，D(X)=D(Y)7.已知正四面体ABCD中，E，F分别是线段BC，BD的中点，P是线段EF上的动点(含端点).PA与平面BCD所成的角为θ1，二面角A−EF−D的平面角为θ2，二面角A−CD−B的平面角为θ3，则()A. θ1≤θ3≤θ2B. θ3≤θ1≤θ2C. θ1≤θ2，θ1≤θ3D. θ1≤θ3，θ2≤θ38.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，满足|PF1|=|F1F2|，PF2与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的离心率是() A. √2 B. √3 C. √5 D. 39. 已知a ∈R ，函数f(x)={x 2−ax +a,x <1lnx −ax,x ≥1，则函数y =f(x)的零点个数不可能为( )A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=12an +1(n ∈N ∗)．(1)数列{a n }是单调递减数列； (2)对任意的n ∈N ∗，都有a n ≥13； (3)数列{|a n −12|}是单调递减数列；(4)对任意的n ∈N ∗，都有|a n+1−a n |≤23⋅(611)n−1．则上述结论正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 若log 3m =2，则m =______；2log 23+30+log 39=______．12. 《九章算术》中有这样的描述：“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤四丈”，其中“广”是东西走向的意思，“袤”是南北走向的意思．若有几何体的三视图如图，则该几何体的体积为______，表面积为______(不需填单位)．13. 已知多项式(2x +a)5=a 0+a 1x +⋯+a 5x 5+(1+x)2，若a 0=0，则a =______；若a 2=−41，则a 1+a 2+⋯+a 5=______．14. 在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，AB =AD =1，AC =2，则BC =______；若O 是△ABD 的外接圆圆心，则BO =______． 15. 设点P(1,y 0)，若圆O ：x 2+y 2=1上存在点Q ，使得∠OPQ ≥π6，则y 0的取值范围是______．16. 地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库，当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有______种． 17. 矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，圆O 是△BCD 的内切圆，P 是圆O 上的动点，M 为AB 的中点，N 为边AD 上的动点(包含端点)，则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=2sinxsin(x+π3)−12．(Ⅰ)若f(x+φ)为偶函数，且φ∈(0,π)，求φ；(Ⅱ)在△ABC中，角A满足f(A)=1，sinB=2sinC，a=2，求△ABC的面积．19.如图，已知多面体ABCD−A1B1C1D1，AA1，BB1，CC1，DD1均垂直于平面ABCD，AD//BC，AB=BC=CD=AA1=CC1=2，BB1=1，AD=DD1=4．(Ⅰ)证明：A1C1⊥平面CDD1C1；(Ⅱ)求直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值．20.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n，数列{b n}的前n项和T n=1−b n．(Ⅰ)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)设R n=1S1+1S2+⋯+1S n，试比较R n与T n的大小．21.如图，椭圆：x22+y2=1的上顶点A恰为抛物线x2=2py(p>0)的焦点，B，C是抛物线上的两个动点．(Ⅰ)若点P(2,1)，且满足PC⊥CB，求点B横坐标的取值范围；(Ⅱ)若A，B，C三点共线，过坐标原点O的直线l平分BC，且与椭圆交于M，N两点，求△BMN面积的最大值．22.已知函数f(x)=ax+lnx，g(x)=f(x)(x−lnx)−x2，a∈R．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若a∈Z，且函数g(x)只有一个零点，求a的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A={0,1，2，3}，B={x|x≤2}，∴A∩B={0,1，2}．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，指数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：由题知，z=2+3ii =2i+3=3−2i，对应的点(3,−2)，在复平面内位于第四象限，故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数的几何意义和除法运算，是基础题．3.答案：C解析：解：在等比数列{a n}中，a n+1−a n=a1q n−1⋅(q−1),a1<0，若数列{a n}是递增数列，则0< q<1；反之，若0<q<1，则a n+1−a n=a1q n−1(q−1)>0，数列{a n}是递增数列，所以“0<q<1”是“数列{a n}是递增数列”的充要条件．故选：C．本题考查等比数列的性质及充要条件的判定．此题借助于等比数列的性质来考查充要条件的判定，易忽视前提条件：首项a1<0．4.答案：D解析：解：作出可行域如图中的阴影部分(含边界)所示，设z=x+4y，因为直线z=x+4y的斜率为−14>−12，目标函数z=x+4y中的z随直线x+4y=0向上平移而增大，所以目标函数z=x+4y在点A(1,1)处取得最大值5，在点C(−1,−1)处取得最小值−5，故|x+4y|的最大值为5，故选：D．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．解析：解：因为y=−cosx⋅ln|x|为偶函数，定义域为{x|x≠0}，故排除C，D；当x=π时，y=lnπ<2，排除B；故选：A．由函数为偶函数，可排除C，D，由lnπ<2，可排除B，由此得出正确选项．本题考查函数图象及性质，属于基础题．6.答案：B解析：解：∵P(X=p)=p，P(X=1−p)=1−p，∴E(X)=p2+(1−p)2，∵Y=1−X，∴E(Y)=1−E(X)=2p(1−p)，由基本不等式可知E(X)≥E(Y)．又D(Y)=D(1−X)=D(X)，故选：B．先根据随机变量X的概率分布，计算出E(X)，由于Y=1−X，所以可得出E(Y)，D(X)和D(Y)的大小关系．本题考查随机变量的期望和方差，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：如图所示，设点O为底面BCD的中心，作OH⊥EF于点H，连接AH，AO，PO，则θ1=∠APO，θ2=∠AHO，二面角A−CD−B与二面角A−BC−D相等，所以θ3=∠AEO．因为OH≤OP≤OE，所以tanθ2≥tanθ1≥tanθ3，所以θ2≥θ1≥θ3，故选：B．如图，作OH⊥EF得到θ1=∠APO，θ2=∠AHO，θ3=∠AEO.根据OH≤OP≤OE，则可得θ2≥θ1≥θ3，本题考查空间角的直观分析．数形结合，属于中档题．8.答案：D解析：解：设双曲线焦距为2c，由题意得|PF1|=|F1F2|=2c，所以|PF2|=2c−2a．如图，在等腰△PF1F2中，cos∠PF2F1=c−a2c，又由PF2与双曲线的一条渐近线平行知cos∠PF2F1=ac，所以c−a2c =ac，解得c=3a，则该双曲线的离心率e=3，故选：D．由三角形的余弦定理和双曲线的渐近线可得所以c−a2c =ac，化简可得c=3a，再由离心率公式可得所本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出a 、c 关系，是解决本题的关键． 9.答案：D解析：解：令f(x)=0，得a =g(x)={x 2x−1,x <1；lnxx,x ≥1．当x <1且x ≠0时，g(x)=x 2x−1=11x−(1x)2=1−(1x −12)2+14；故其在(−∞,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减； 且g(0)=0； 当x ≥1时，g(x)=lnx x，g′(x)=1−lnx x 2；故g(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，且g(1)=0其余对应的g(x)>0 画出y =g(x)的图象如图所示．由图象可知，y =g(x)与y =a 的交点个数可能是0个，1个和两个；不可能是3个； 故选：D ．把所求问题通过整理，转化为求g(x)={x 2x−1,x <1；lnxx ,x ≥1．与y =a 的交点个数问题，画出图象，借助于图象求解即可．本题考查了方程的根与函数的零点的关系，同时考查了数形结合的数学思想以及转化思想，属于基础题． 10.答案：C解析：解：由题可知a 1=1,a 2=13,a 3=35>a 2，故(1)不正确； 由题意得a n >0，则|a n+1−12||a n −12|=12an+1<1，故数列{|a n −12|}为单调递减数列，故(3)正确； 因为a 1=1,a 2=13.所以当n ≥3时，|a n −12|<16，则13<a n <23，故a n ≥13(n ∈N ∗)，故(2)正确； 因为|a n+2−a n+1||a n+1−a n |=22an+3≤611，所以|a n+1−a n |≤|a 2−a 1|⋅(611)n−1=23⋅(611)n−1，故(4)正确．综上，正确结论的个数为3，故选：C ．(1)，(3)可利用作差法来解决，(2)，(4)运用到的是基本不等式的性质，也可以采用作差法来解决大小的问题．本题考查数列与不等式的综合、迭代法、通项公式与递推关系之间的推导．11.答案：9 6解析：解若log3m=2，则m=9，2log23+30+log39=3+1+2=6．①利用指数为对数逆运算，a x=y，则x=log a y，从而得出答案．②利用对数运算公式a log a N=N，求出答案．本题考查对数的运算，属于基础题．12.答案：60 54+8√26解析：解：由题意可知，该几何体是一个底面为等腰梯形的横放的直四棱柱(如图所示)．易知，底面是上底为2，下底为4，高为5的等腰梯形，故S底面=12(2+4)×5=15．梯形的腰长为√52+11=√26又因为柱体的高为4，故侧面积S侧=(2+4+2√26)×4=24+8√26．故表面积为S表=2S底+S侧=54+8√26．该几何体的体V=S底×ℎ=15×4=60．故答案为：60 54+8√26因为正视图、俯视图都是矩形，所以初步判断是一个柱体，再结合侧视图可知，这是一个底面为梯形的直四棱柱．据此计算体积、表面积．本题考查空间几何体的三视图的识图问题，以及四棱柱的表面积、体积计算问题，同时考查了学生的直观想象、数学运算以及逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．13.答案：1 −1解析：解：由题可知(2x+a)5−(1+x)2=a0+a1x+⋯+a5x5，令x=0，则a5−1=a0=0，故a=1；若a2=C53×22×a3−1=−41，则a=−1，∴(2x−1)5−(1+x)2=a0+a1x+⋯+a5x5；令x=0可得a0=−2，令x=1可得a0+a1+a2+⋯+a5=15−22=−3；故a1+a2+⋯+a5=−1．故答案为：1，−1．把已知等式变形，整理后令x=0可得第一个空，根据a2求得a，再令x=1即可求解结论．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．14.答案：3√22√14 7解析：解：因为AD平分∠BAC，所以ABAC =BDCD=12；所以cos∠BAD=cos∠CAD，由余弦定理得AB2+AD2− BD22AB⋅AD =AD2+AC2−DC22AD⋅AC，即1+1−BD22×1×1=1+4−4BD22×1×2，解得BD=√22，所以CD=√2，所以BC=3√22；在△ABD中，由余弦定理得cosB=AB2+BD2−AD22AB⋅BD =√24，所以sinB=√1−cos2B=√1−216=√144，由正弦定理得BO=AD2sinB=2×√144=√147．根据角平分线定理和余弦定理，列方程求得BD的值，从而求得CD、BC的值；在△ABD中由余弦定理求得cos B的值，再计算sin B，由正弦定理求出BO的值．本题考查了正弦定理、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．15.答案：[−√3,√3]解析：解：如图，找临界情况：当PQ与圆O相切，且∠OPQ=π6时，y0=±√3，所以当−√3≤y0≤√3时，符合题意．故答案为：[−√3,√3]结合已知可找临界情况，可先求出当PQ与圆O相切时的y0即可求解．本题考查直线与圆的位置关系，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．16.答案：336解析：解：根据题意，分2步进行分析：(1)：首先把四辆车排列有A44种排法，再把两个连续的空车位捆绑与另一空车位往4辆车中插入有A52种方法，由乘法原理有A44A52种停法；(2)：因为红、白两车相邻的情况有A33A22A42种．则符合要求的停车方法有A44A52−A33A22A42=336种．故停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有336种．故答案为：336．根据题意，首先用捆绑法与插空法计算恰有两个连续的空车位必须相邻的所有停车方法，再计算红白两车相邻的停车法；结合题意，用间接法，两数相减，即可得答案．本题考查排列组合的应用，本题运用间接法，捆绑法，插空法，可以避免讨论，简化计算．属于中档题．17.答案：√13+4解析：解：先固定点P ，则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤max{MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }，易得圆O 的半径为1，以C 为坐标原点建立如图所示坐标系，则M(3,2)，D(0,4)， 设P(x,y)，则对应的圆的方程为：(x −1)2+(y −1)2=1； ∴MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −3,y −2)，MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,2)； 利用投影可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤0， MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3)(x −3)+2(y −2)=−3x +2y +5； ∵(x −1)2+(y −1)2=1；故可得：x =1+cosα，y =1+sinα；∴MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +2y +5=2sinα−3cosα+4=√13sin (α−φ)+4，其中tanφ=32； 所以：MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为：√13+4． 故MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为√13+4． 故答案为：√13+4．先根据条件把所求问题转化，再建立坐标系，通过点的坐标转化以及三角函数的有关知识即可求解结论．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)f(x)=2sinx(12sinx +√32cosx)−12=sin 2x +√3sinxcosx −12=1−cos2x 2+√32sin2x −12=sin (2x −π6)，则f(x +φ)=sin (2x +2φ−π6)，由f(x +4)为偶函数可知f(0+φ)=sin (2φ−π6)=±1，所以2φ−π6=π2+kπ(k ∈Z)， 解得φ=π3+kπ2(k ∈Z)．又因为φ∈(0,π)，所以φ=π3或56π．(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(A)=sin (2A −π6)=1⇒A =π3，sinB =2sinC ⇒b =2c ，所以由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc⇒c =23√3，b =43√3，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×43√3×23√3×√32=23√3．解析：(Ⅰ)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． (2)利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19.答案：(Ⅰ)证明：如图，连接AC ， ∵AA 1//CC 1，且AA 1=CC 1，∴四边形ACC 1A 1为平行四边形，即A 1C 1//AC ．又底面ABCD 为等腰梯形，且AB =BC =CD =2，AD =4，∴AC ⊥CD ． ∵CC 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴CC 1⊥AC ．又CD ∩CC 1=C ，∴AC ⊥平面CDD 1C 1， ∴A 1C 1⊥平面CDD 1C 1；(Ⅱ)解：法一、由题意得BC 1=2√2，延长DC ，D 1C 1，AB ，A 1B 1交于点G ，取CG 中点M ，连接BM ，AC ．∵BM//AC//A 1C 1，BM ⊄平面A 1B 1C 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴BM//平面A 1B 1C 1，∴点B 到平面A 1B 1C 1的距离和点M 到平面A 1B 1C 1的距离相等． 由(Ⅰ)知A 1C 1⊥平面CDD 1C 1， 又A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴平面A 1B 1C 1⊥平面CDD 1C 1．过点M 作MH ⊥GD 1于点H ，则MH ⊥平面A 1B 1C 1， 即点M 到平面A 1B 1C 1的距离为MH =√22．设直线BC 1与平面A 1B 1C 1所成的角为θ， 则sinθ=MH BC 1=√222√2=14，即直线BC 1与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为14；解法二、以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，过点D 且垂直于平面ADD 1A 1的直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(3,√3,0),A 1(4,0,2),B 1(3,√3,1),C 1(1,√3,2)， BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,√3,0)，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)．设平面A 1B 1C 1的法向量n⃗ =(x,y,z)， 由{n ⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +√3y =0n ⃗ ⋅B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +z =0，令x =1，得n ⃗ =(1,√3,2)．设直线BC 1与平面A 1B 1C 1所成的角为θ，则sinθ=|cos 〈BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 1,n ⃗ 〉|=2√2⋅2√2=14，即直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为14．解析：(Ⅰ)连接AC，由已知可得四边形ACC1A1为平行四边形，即A1C1//AC.再由已知证明CC1⊥AC.结合直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面CDD1C1，从而得到A1C1⊥平面CDD1C1；(Ⅱ)法一、延长D1C1，AB，A1B1交于点G，取CG中点M，连接BM，AC.证明BM//平面A1B1C1，可得点B到平面A1B1C1的距离和点M到平面A1B1C1的距离相等．由(Ⅰ)知A1C1⊥平面CDD1C1，可得平面A1B1C1⊥平面CDD1C1.过点M作MH⊥GD1于点H，则MH⊥平面A1B1C1，求得点M到平面A1B1C1的距离为MH=√22.设直线BC1与平面A1B1C1所成的角为θ，可得sinθ，得到直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值；法二、以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，过点D且垂直于平面ADD1A1的直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标与平面A1B1C1的一个法向量n⃗，由BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与n⃗所成角的余弦值可得直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值．本题考查直线与平面垂直的判定、线面角，考查空间想象能力和运算求解能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+2n−(n−1)2−2(n−1)=2n+1，经检验当n=1时a1=3，也成立，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n+1(n∈N∗)；当n≥2时，b n=T n−T n−1=b n−1−b n，∴b nb n−1=12，当n=1时，b1=12，∴数列{b n}的通项公式为b n=12n(n∈N∗)；(Ⅱ)∵1S n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)，R n=12×(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2)=12×(1+12−1n+1−1n+2)<34．当n≥2时，T n=1−b n=1−12≥T2=34>R n，且T1>R1，∴T n>R n(n∈N∗)．解析：(Ⅰ)运用数列的递推式：当n≥2时，a n=S n−S n−1，计算可得a n；运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得所求b n；(Ⅱ)求得1S n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)，由数列的裂项相消求和可得R n，讨论当n≥2时，n=1时，R n与T n的大小可得所求关系．本题考查数列的通项与求和，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)由题易知A(0,1)，则p2=1，则抛物线的方程为x2=4y．设B(x1,x124),C(x2,x224)．∵PC⊥CB，∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,x 224−1)⋅(x 1−x 2,x 12−x 224)=(x 2−2)(x 1−x 2)+x 22−44⋅x 12−x 224=0， 化简得1+(x 2+2)(x 1+x 2)16=0，即x 1=−16x2+2−x 2=−[(x 2+2)+16(x2+2)]+2∈(−∞,−6]∪[10,+∞)，故点B 橫坐标的取值范围为(−∞,−6]∪[10,+∞)． (Ⅱ)设直线BC ：y =kx +1,B(x 1,x 124),C(x 2,x 224)，联立{y =kx +1x 2=4y得x 2−4kx −4=0，显然△>0，∴{x 1+x 2=4kx 1x 2=−4，∴BC 的中点坐标为(2k,2k 2+1)．设直线MN 的方程为y =mx ，其中m =2k 2+12k．联立{y =mx x 2+2y 2=2得(1+2m 2)x 2=2，∴x M =−x N =√2√1+2m 2， ∴|MN|=2√1+m 2|√2√1+2m 2．由点到直线的距离公式可知，点B 、C 到MN 的距离分别为d 1=|x 124−mx |√m 2+1，d 2=|x 224−mx |√m 2+1．且点B ，C 在直线MN 的两侧， ∴d 1+d 2=|(x 124−mx )−(x 224−mx )|√m 2+1=|x 1+x 24(x −x )−m(x −x )|√m 2+1=4|k−m|⋅√k 2+1√m 2+1． ∵MN 平分BC ，∴S △BMN =S △CMN ， ∴S △BMN =12(S △BMN +S △CMN )=|MN|4⋅(d 1+d 2)=2|k −m|√k 2+1|√2√1+2m 2=2√k 2+14k 4+6k 2+1．设k 2+1=t ，t ≥1， ∴k 2+14k 4+6k 2+1=t4(t−1)2+6(t−1)+1=14t−1t−2≤1，即当k =0时，(S △BMN )max =2．解析：(Ⅰ)先根据椭圆的几何性质求出点A 的坐标，从而得到抛物线的方程，设B(x 1,x 124),C(x 2,x 224)，结合PC ⊥CB ，利用平面向量数量积的坐标运算，构造等式，用x 2表示出x 1，然后利用对勾函数的性质即可得解；(Ⅱ)设直线BC 的方程为y =kx +1，联立该方程与抛物线的方程，结合韦达定理可求得BC 中点的坐标；再设直线MN 的方程为y =mx ，联立该方程与椭圆的方程，可求得M 、N 的坐标，进而求得线段|MN|的长，以及利用点到直线的距离公式可求得B 、C 两点到直线MN 的距离d 1，d 2，由于MN 平分BC ，所以S △BMN =12(S △BMN +S △CMN )=|MN|4⋅(d 1+d 2)，最后对其进行化简整理，即可得解．本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，涉及曲直联立、点到直线的距离公式、平面向量数量积的坐标运算、利用对勾函数、换元法等求最值，具有一定的综合性，考查学生转化与化归的思想和运算能力，属于难题．22.答案：解：(Ⅰ)由题意可知x >0，f′(x)=a +1x ．当a ≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a <0时，f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a ,+∞)上单调递减．(Ⅱ)解法一：由题意可知x >0，且g(x)=(ax +lnx)(x −lnx)−x 2=0⇔(a +lnx x)(1−lnx x)=1．令t =lnx x,t ∈(−∞,1e ],则(a +t)(1−t)=1．记φ(t)=t 2+(a −1)t +1−a =0，(∗)当a ≤−1时，a +t <0，1−t >0，与(a +t)(1−t)=1相矛盾，此时(∗)式无解； 当a =0时，φ(t)=t 2−t +1=0无解；当a =1时，(∗)式的解为t =0，此时g(x)=0有唯一解x =1； 当a ≥2时，{t 1t 2=1−a <0t 1+t 2=1−a <0，φ(1e )=1e 2+(a −1)(1e −1)≤1e 2+1e −1<0，所以(∗)式只有一个负根t 0，g(x)=0有唯一解，故a 的最小值为1． 解法二：由题得g(x)=(ax +lnx)(x −lnx)−x 2=0⇔(a +lnx x)(1−lnx x)=1，令t =lnx x，则a =11−t −t ．再令k =1−t ，则a +1=k +1k ． 记y =k +1k ,k =1−lnx x，函数y =k +1k 和函数k =1−lnx x的图象如图所示：当a +1<2，即a <1时，显然不成立；当a +1≥2，即a ≥1时，由a ∈Z ，得方程a +1=k +1k 存在唯一解k 0，且k 0≥1． 此时k =1−lnx x亦存在唯一解x 0．综上，a的最小值为1．解析：(Ⅰ)可求得f′(x)=a+1x(x>0)，分a≥0与a<0两类讨论可得函数的单调情况；(Ⅱ)解法一：由g(x)=0，可得(a+lnxx )(1−lnxx)=1，令t=lnxx,t∈(−∞,1e]，则(a+t)(1−t)=1，记φ(t)=t2+(a−1)t+1−a=0，(∗)分a≤−1，a=0，a=1三类讨论，可得a的最小值；解法二：由题得g(x)=(ax+lnx)(x−lnx)−x2=0⇔(a+lnxx )(1−lnxx)=1，令t=lnxx，则a=1 1−t −t，再令k=1−t，则a+1=k+1k，记y=k+1k,k=1−lnxx，作出函数y=k+1k和函数k=1−lnxx的图象，分析可求得a的最小值．本题考查导数在研究函数中的应用，突出考查推理论证能力，考查分类与整合思想、等价转化思想及数形结合思想的综合运用，属于难题．。