第4讲_例题7、例题8、例题9

二、探索发现授课（42分）（一）例题3：（10分）欧拉在做一道乘法题时，把一个乘数个位上的1看成了7，乘积结果是231，实际应为213，这两个乘数各是多少？讲解重点：理解一个乘数个位数字增加几，积就增加另一个乘数的几倍。

师：先请全班同学齐读题目，我希望能听到每个同学的声音。

（生齐读题目）师：你们看这个题目跟我们上节课的题目有什么不一样呢？生：这道题两个乘数都不知道。

师：那我们知道哪些信息呢？（给学生几分钟小组讨论，老师下去互动）生：我们知道错误的乘积是231，正确的乘积是213。

师：还知道些什么呢？生：还知道一个乘数个位上的1被看成了7。

师：那么这个乘数增加了几？生：7-1=6，增加了6。

师: 这个乘数增加了6，对积会有什么影响呢？生：不知道。

师：我们举个例子，11×10=110，当11变成17时，积是多少？生：17×10=170。

师：那积是怎么变化的呢？生：积增加了170-110=60。

师：我们仔细观察一下，这个增加的60，跟不变的那个乘数，也就是10之间有什么倍数关系？生：60是10的6倍。

师：也就是11变成17，增加了6，它们的积就增加了另一个乘数的6倍，对吗？生：对！师：那我们回到这个题目中，把一个乘数个位上的1看成了7，乘积从213变成了231，这说明什么？生：一个乘数增加了6，积增加了231-213=18，也就是另一个乘数的6倍是18。

师：很好，这位同学说到重点了，我们知道了另一个乘数的6倍是18 ，是不是就能求出另一个乘数是多少了？生：是，18÷6=3。

师：那现在知道一个乘数是3，另一个乘数怎么求呢？生：乘数×乘数=积，所以另一个乘数=213÷3=71。

师：太好了，这下我们是不是做完了？大家都理解了吗？生：理解。

板书：。

第4讲数字问题重点摘要小朋友们一定都会数数吧，每一个数都是由一个或几个数字组成的，我们一般所说的“数”是指自然数，“数字”只是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10种。

只有今天我们主要来研究数字与数之间的关系。

精讲精练例题1、小钱在家看《十万个为什么》，他从第5页看到第11页，小钱一共看了几页？解：从第1页到第11页共有11页，从第1页到第4页共有4页，11页去掉4页，还有11-4=7页。

例题2、龙龙是个小淘气，上个学期结束时，妈妈他的数学课本，缺少了第5页，第21页，第22页，第23页，甜甜的数学课本共缺少了多少张？解：一般在课本印刷时，都是把一页奇数页码和一页偶数页码放在一张书页的正反两面上，所以龙龙一定缺了三张书页，分别是（21，22），（23,24），（5，6）或（20，21），（22,23），（4，5）。

例题3、从1开始的15个自然数中一共包含了多少个数字？解：采取分段计数的方法：1至9中一共有9个数字，10至15中一共有12个数字，所以一共有9+12=21个数字。

例题4、有一本漫画书，在编排页码时一共用了31个数字。

这本漫画书一共有多少页？（一般我们用从1开始的连续自然数来编排页码）解：因为31＞9，所以一定排到了两位数的页码，每个两位数都包含2个数字，所以两位数的页码一共有（31-9）÷2=11页，这本漫画书一共有11+9=20页。

跟进练习1、《新华字典》从第11页看到第31页一共用了多少个页码？解：一共用了31-10=22个页码。

2、一本书缺少的页码是20，21，35，36，37，100，104，105。

这本书一共缺多少张纸？解：这本书缺少（19,20），（21,22），（35,36），（37,38），（99,100），（103,104），（105,106）共7张纸。

3、一本书共有34页，在这本书的页码中共用了多少个数字？解：页码1～9，每个页码用1个数字，9个页码共用9个数字；页码10—34，共34-9=25页，每个页码用2个数字，25个页码共用2×25＝50个数字，一共用了9+50=59个数字。

第4讲比（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：比的意义和各个部分的名称1、比：两个数相除也叫两个数的比；2、比式中，比号（∶）前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。

3、比的读法、写法：a比b记作a:b，读作a比b。

4、比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。

例：12∶20= ＝12÷20= =0.6 12∶20读作：12比20知识点二：比的基本性质和化简比1、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

2、化简比化简之后结果还是一个比，不是一个数。

（1）用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。

（2）两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。

也可以求出比值再写成比的形式。

（3）两个小数的比，可以先把小数比化成整数比，再按整数比的化简方法化简。

知识点三：比的应用按比例分配问题的解决方法：1、已知单位“1”的量用乘法。

2、未知单位“1”的量用除法。

3、分数应用题基本数量关系（把分数看成比）（1）甲是乙的几分之几？甲＝乙×几分之几乙＝甲÷几分之几几分之几＝甲÷乙（2）甲比乙多（少）几分之几？4、画线段图：（1）找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。

（2）分析数量关系。

（3）找等量关系。

（4）列方程。

两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。

三、例题精讲考点一：比的意义、比各部分的名称【典型一】一根绳子，用去，用去的和剩下的比是3：2，剩下的是总长度的。

【分析】把一根绳子总长度看作5份，用去，也就是用去5×＝3份。

据此可求出用去的和剩下的比，再用除法求出剩下的是总长度的几分之几。

【解答】解：5×＝3（份）5﹣3＝2（份）用去的和剩下的比是3：2。

第4讲数字问题重点摘要小朋友们一定都会数数吧，每一个数都是由一个或几个数字组成的，我们一般所说的“数”是指自然数，“数字”只是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10种。

只有今天我们主要来研究数字与数之间的关系。

精讲精练例题1、小钱在家看《十万个为什么》，他从第5页看到第11页，小钱一共看了几页？解：从第1页到第11页共有11页，从第1页到第4页共有4页，11页去掉4页，还有11-4=7页。

例题2、龙龙是个小淘气，上个学期结束时，妈妈他的数学课本，缺少了第5页，第21页，第22页，第23页，甜甜的数学课本共缺少了多少张？解：一般在课本印刷时，都是把一页奇数页码和一页偶数页码放在一张书页的正反两面上，所以龙龙一定缺了三张书页，分别是（21，22），（23,24），（5，6）或（20，21），（22,23），（4，5）。

例题3、从1开始的15个自然数中一共包含了多少个数字？解：采取分段计数的方法：1至9中一共有9个数字，10至15中一共有12个数字，所以一共有9+12=21个数字。

例题4、有一本漫画书，在编排页码时一共用了31个数字。

这本漫画书一共有多少页？（一般我们用从1开始的连续自然数来编排页码）解：因为31＞9，所以一定排到了两位数的页码，每个两位数都包含2个数字，所以两位数的页码一共有（31-9）÷2=11页，这本漫画书一共有11+9=20页。

跟进练习1、《新华字典》从第11页看到第31页一共用了多少个页码？解：一共用了31-10=22个页码。

2、一本书缺少的页码是20，21，35，36，37，100，104，105。

这本书一共缺多少张纸？解：这本书缺少（19,20），（21,22），（35,36），（37,38），（99,100），（103,104），（105,106）共7张纸。

3、一本书共有34页，在这本书的页码中共用了多少个数字？解：页码1～9，每个页码用1个数字，9个页码共用9个数字；页码10—34，共34-9=25页，每个页码用2个数字，25个页码共用2×25＝50个数字，一共用了9+50=59个数字。

【例题6?计算题】甲公司是一家制药企业。

2018年，甲公司在现有A产品的基础上成功研制出第二代产品B。

如果第二代产品投产，需要新购置成本为1000万元的设备一台，税法规定该设备使用期为5年，采用直线法计提折旧，预计残值率为5%。

第5年年末，该设备预计市场价值为100万元（假定第5年年末产品B停产）。

财务部门估计每年固定付现成本为60万元（不含折旧费），变动成本为200元/盒。

另外，新设备投产初期需要投入营运资金300万元。

营运资金于第5年年末全额收回。

新产品B投产后，预计年销售量为5万盒，销售价格为300元/盒。

同时，由于产品A与新产品B存在竞争关系，新产品B投产后会使产品A的每年营业现金净流量减少54.5万元。

新产品B项目的β系数为 1.4。

甲公司的债务权益比为4：6（假设资本结构保持不变），债务融资均为长期借款，税前利息率为8%，无筹资费。

甲公司适用的公司所得税税率为25%。

资本市场中的无风险利率为4%，市场组合的预期报酬率为9%。

假定经营现金流入在每年年末取得。

要求：（1）计算产品B投资决策分析时适用的折现率。

（2）计算产品B投资的初始现金净流量、第5年年末现金净流量。

（3）计算产品B投资的净现值。

【答案】（1）普通股资本成本率=4%+1.4×（9%-4%）=11%平均资本成本率=0.4×8%×（1-25%）+0.6×11%=9%由于假设资本结构保持不变，所以，产品B投资决策分析时适用的折现率为平均资本成本率9%。

（2）初始现金净流量：-1000-300=-1300（万元）第5年末税法预计净残值为：1000×5%=50（万元）所以，设备变现取得的相关现金净流量为：100-（100-50）×25%=87.5（万元）每年折旧为：1000×（1-5%）/5=190（万元）所以，第5年现金净流量=营业收入×（1-所得税税率）-付现成本×（1-所得税税率）+折旧×所得税税率+营运资金回收+设备变现取得的相关现金净流量-每年产品A营业现金净流量的减少=5×300×（1-25%）-（60+200×5）×（1-25%）+190×25%+300+87.5-54.5=710.5（万元）（3）产品B1~4年的现金净流量：5×300×（1-25%）-（60+200×5）×（1-25%）+190×25%-54.5=323（万元）净现值=323×（P/A，9%，4）+710.5×（P/F，9%，5）-1300=208.18（万元）【例题7?综合题】B公司是一家生产电子产品的制造类企业，采用直线法计提折旧，适用的企业所得税税率为25%。

数列、数组月日姓名【知识要点】有些数列，如果我们按照一定的规律把它分成组，会发现一些非常有趣的现象。

最常见的就是自然数列的运用。

注意找准这组数与组号的联系。

【典型例题】例1 自然数1，2，3，…排成一行分组，规定第n组含有n个自然数，即（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，…）（1）试问第十组的第一个数是几？（2）试求第十组中所有自然数的和。

（3）试问100这个数位于第几组？是第几个数？例2 自然数1，2，3，…按下图排成一个数阵，请回答下列问题：1 3 6 10 15 212 5 9 14 204 8 13 197 12 1811 1716（1）第1行中自左至右的第8个数是几？（2）自上至下第10行中的第8个数是几？行，从左往右数的第（）个数。

12 36 5 47 8 9 1015 14 13 12 1116 17 18 19 20 21【快乐驿站】做事不认真，不负责任，就会弄出很多错误.有人说，这一问题上就有4处错误.请问，错误在什么地方呢？随堂小测姓名成绩1．有数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…（1）试问第一个20这个数在此数列中是第几项？（2）第100项是多少？（3）求前100项的和。

12 3 6 5 4 7 8 9 10 15 14 13 12 1116 17 18 19 2021从左往右数的第（ ）个数。

3．自然数1，2，3，…按下图排成一个数阵，请回答下列问题：1 3 6 10 15 212 5 9 14 204 8 13 197 12 1811 1716（1）第1行中自左至右的第12个数是几？（2）自上至下第15行中的第12个数是几？12 36 5 47 8 9 1015 14 13 12 1116 17 18 19 20 21 课后作业姓名家长签字成绩1．计算：1996＋1995－1994－1993＋1992＋1991－1990－1989＋…＋4＋3－2－1，结果是。

第4讲 可能性（思维导图＋知识梳理＋例题精讲＋易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：事件发生的确定性与不确定性。

1、事件发生有三种情况：可能发生、不可能发生、一定发生。

2、在描述事件发生的可能性时间，先要全面分析，再进行描述。

知识点二：判断事件发生的可能性的大小。

1、事件发生的可能性的大小：事件发生的可能性的大小与个体数量的多少有关，个体在总数中所占数量越多，个体出现的可能性就越大，反之，可能性就越小。

2、可能发生的事件，可能性大小。

把几种可能的情况的份数相加做分母，单一的这种可能性做分子，就可求出相应事件发生可能性大小。

三、例题精讲考点一：事件发生的确定性和不确定性【典型一】1.从下面三个盒子里任意摸出一个球，按摸出的情况填“可能”、“不可能”或“一定”。

（ ）是黑球 （ ）是黑球（ ）是黑球【典型二】2.箱子里放着10个球，任意摸一个一定是白色的，那么白色的球有（）个。

A. 3B. 5C. 8D. 10【典型三】3.写一写。

你能用“一定”、“可能”、“不可能”说一句话吗？一定：可能：不可能：考点二：判断事件发生的可能性的大小【典型一】4.把八张卡片放入纸袋，随意摸一张，要使摸出的数字“1”的可能性最大，数字“3”的可能性最小，卡片上可以是什么数字？请你写一写。

【典型二】5.把10张卡片放入纸袋，随意摸一张，要使摸出数字“1”的可能性最大，数字“5”的可能性最小。

卡片上可以是什么数字？请你填一填。

【典型三】6.转动转盘。

指针停在哪个颜色区域的可能性大？停在哪个颜色区域的可能性小？四、易错专练一、选择题（满分16分）7.船聪和明明玩转盘游戏，转到“1”聪聪赢，转到“2”明明赢，下面第（）个转盘设计得不公平。

A. ①B. ②C. ③D. ④8.参加元旦晚会上击鼓传花游戏的男生是女生的2倍，鼓声停时，花落在男生手里的可能性比落在女生手里的可能性（）。

A. 小B. 大C. 一样大9.小明妈妈的年龄（）比小明大。

第4讲加减巧算一、知识要点在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算的方法。

加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。

进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要根据“多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则进行处理。

另外，可以结合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。

二、精讲精练【例题1】你有好办法迅速算出结果吗？(1) 502+799-298-98 (2) 9999+999+99+9练习1：计算。

(1) 308+203-399-97 (2) 99999+9999+999+99+9(3) 1999+199+19 (4) 375+483+525+617【例题2】计算。

(1) 487+321+113+279 (2) 736-567+264(3) 877+345-677 (4) 528-248-152练习2：计算。

(1) 321+127+73+279 (2) 235-125+365 (3) 987-733-167 (4) 487+(413-89)【例题3】计算下面各题。

(1) 962-(284+262) (2) 432-(154-168)练习3：计算。

(1) 421+(279-125) (2) 812+(168-112)(3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162) 【例题4】2000-111-89-112-88-113-87-114-86-115-85-116-84练习4：计算。

(1)800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5(2) 1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90【例题5】计算: 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87……-4-3+2+1练习5：计算。

(1) 2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14……+2006(2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99三、课后作业1、计算下列各题。

第四讲多项式例1. 已知a、b、c 为三个不同的非零实数，若方程ax3 +bx +c = 0 ，bx3 +cx +a = 0 ，cx3 +ax +b = 0 有一个公共的实根，证明：至少有一个方程有三个实根（可以是重根）．解答：设t 为公共的实数根，累加，得(a+b+c)(t3+t+1)=0；若t3 =-(t +1)，则代回方程ax3 +bx +c = 0 ，得(b -a)t +(c -a)=0 ．同理，(c -b)t +(a -b)= 0 ，由a、b、c 互不不同，得c -a =a -b， b -a c -b轮换求和，得(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，矛盾！于是a +b +c = 0 ，得t = 1为公共根．在a、b、c 中，若存在两个正数，不妨设a > 0 ，b > 0 ，考虑f (x)=bx3 +cx +a ，则f (0)=a > 0 ，于是f (x)= 0 至少有一个负数根，结合t =1，f (x)= 0 有三个实数根；若存在两个负数，不妨设a < 0 ，b<0，同理，考虑-(bx3 +cx+a)=0即可．例2. f (x)，g (x)是两个首项系数为1 的实系数3 次多项式．已知方程f (x)= 0 ，g (x)= 0 ，f (x)=g (x) 共有8 个不同的实根．证明：这8 个根中最大和最小的不能都是f (x)= 0 的根．解答：注意到，f (x)，g (x)为三次多项式，f (x)-g (x)不超过两次，因此三个方程至多有8 个根，故f (x)-g (x)为两次，且所有根均为不等的实根．设a,b 分别为最小和最大的根，且满足f (a)=f (b)= 0 ．于是，g (x)= 0 的根均在区间(a,b)上，分析三次型图象，知g (a)< 0 <g (b)，另一方面，二次函数f (x)-g (x)在这个区间也有两个根，故f (a)-g (a)=-g (a)，f (b)-g (b)=-g (b)，分析二次函数图象特征，应该同号，与g (x)= 0 根的情况矛盾．1 2 1 0例3. 设 n ∈*，记多项式 P (x ) = (x 2 - 7x + 6)2n+13 ．证明：多项式 P (x )不能被表达为 n +1 个次数大于0 的整系数多项式的乘积．解答：假设 P (x )可以被表达为 n +1 个次数大于 0 的整系数多项式的成绩，即P (x ) = P 1 (x )P 2 (x )⋅⋅⋅ P n +1 (x )，注意到 P (x )次数为4n 且无实根，于是 P i (x ) 次数均为偶数，于是，上述 n +1 个因式中，至少有两个因式次数为 2，不妨设为 P 1 (x ) 、 P 2 (x ) ，注意到 P (x )最高次项系数为 1，不妨设 P (x ) = x 2 + ax + b ， P (x ) = x 2 + cx + d ，12则 P 1 (x ) > 0 ， P 2 (x ) > 0 对所有整数 x 均成立，而 P (1) = P (6) = 13 ，由此，知 P 1 (1) 、 P 2 (1) 中至少有一个为 1，不妨设 P 1 (1) = 1，此时a = -b ， P 1 (6)= 36 - 5b ，而 P 1 (6) = 13 无整数解，于是 P 1 (6) = 1，从而b = 7 ， a = -7 ，然而此时， P (x ) = x 2- 7x + 7 有实根，矛盾，即证．例4. 设 P (x )为实系数多项式，求使多项式Q (x )= (x +1)P (x -1) - (x -1)P (x )为常数的多项式 P (x )． 解答：（1）若P (x )为常数，令 P (x ) = a 为常数，则Q (x ) = 2a 为常数，符合题意； （2）若 P (x )不为常数，不妨设 P (x ) = a x n + a x n -1 + ... + a x + a ，其中 n ≥ 1 ， a ≠ 0 ，nn -11n考虑Q (x ) 表达式中 x n 项的系数， (2 - n )a = 0 ，于是n = 2 ，进而，设 P (x ) = a x 2+ a x + a ．考虑Q (x ) 的常数项，得 0 + (a 2 - a 1 + a 0 ) + 0 + a 0 = a 2 - a 1 + 2a 0 ，若Q (x ) 为常数多项式，注意到Q (1) = 2P (0)- 0 = 2a 0 ，则2a 0 = a 2 - a 1 + 2a 0 ⇒ a 2 = a 1 ． 此时 P (x ) = bx 2 + bx + a ， b ≠ 0 ． 检验，此时Q (x ) = 2a 为常数，符合题意．综上，满足条件的多项式为P (x ) = bx 2 + bx + a ， a ,b ∈ ． nk -1 k -1 n1 1 k -1∑(-1) C k -1 kp 例5. 求所有的正整数 n ，使得存在一个实系数多项式 f (x ) ，满足下面的两个性质：（1）对任意k ∈ ，数 f (k ) 为整数的充要条件是 k 不能被 n 整除； （2）多项式 f (x ) 的次数小于 n ．解答：我们证明这样的多项式存在的充要条件是n = 1或者 n 是某个素数的幂．(k -1)(k - 2)⋅ ⋅ ⋅ (k - p α + 1)【引理 1】若 p α 是一个素数的幂，k 是一个整数，则C p α-1 =(p α -1)!能被 p 整除的充分必要条件是 k 不能被 p α 整除．引理 1 证明：用 L p (m ) 表示满足 p r| m 的最大整数 r ，（1）若 p α | k ，则对1 ≤ j ≤ p α-1，有 L ( j ) < α ，故 L (k - j )= L ( j ) = L (p α - j )，进而 p(k -1)(k - 2)⋅ ⋅ ⋅ (k - p α + 1)pppαCp α -1== k -1 ⋅ k - 2 ⋅ ⋅ ⋅ k - p + 1 ，k -1(p α -1)!p α -1 p α - 2 1右边乘积的每一项的分子与分母中，p 的幂次相同，因此它不是 p 的倍数； α （2）若 p α 不整除 k ，则C p α -1 = p C p α，其中C p α 是整数，而k -1 kkkL (k ) < α ，可知C p α-1是 p 的倍数．引理 1 证毕．【引理 2】若 g (x ) 是一个次数小于 n 的多项式，则∑ l =0(-1)lC lg (x + n - l ) = 0 ． 引理 2 证明：这是关于多项式差分中的一个结论，常规的证明是对 n 归纳． 当 n = 1时， g (x ) 是一个常值多项式，左边= C 0 g (x +1) - C 1g (x )= g (x +1) - g (x ) = 0 ； 设命题对于n = k -1(k ≥ 2) 成立，则对于n = k 时，令h (x ) = g (x +1) - g (x ) ，则 h (x ) 的次数小于 g (x ) 的次数，由归纳法假设可知，k -1∑(-1)lC lh (x + k -1 - l ) = 0 ，即有l =0k -1llk -1 (g (x + k - l ) - g (x + k -1- l )) = 0l =0⇒ C 0 g (x + k )+ ∑(-1)l(C l -1 + C l )g (x + k - l ) - (-1)k -1C k -1g (x ) = 0k -1l =0k -1k -1k -1⇒ ∑ l =0(-1)lC lg (x + k - l ) = 0 ，即命题对于n = k 时成立，归纳得证． k nnn n n n n n n nn -1n ( ) ( ) ( ) ( )nk n【引理 3】若正整数 n 有两个不同的素因子，则gcd (C 1 ,C 2 ,...,C n -1 )= 1 ． 引理 3 证明：反证法，若不然，则存在素数 p ，使得 p | gcd (C 1 ,C 2 ,...,C n -1)，特别地，有 p | C 1 = n ，设 L (n ) = α ，由于 n 有两个不同的素因子，得1 < p α< n ，这说明组合数C p α -1 和C p α都在序列中出现，它们都是 p 的倍数，于是nnp | C p α- C pα-1= C p α-1，这与【引理 1】矛盾，即证．回到原命题，我们 n = 1或 n = p α(α ∈当 n = 1时， f (x ) = 1即符合条件；2*)，p 为质数的形式，构造满足条件的多项式：当 n = p α时，令 f (x ) = 1 ⋅ p (x -1)(x - 2)⋅ ⋅ ⋅ (x - p α + 1)(p α -1)! ，它是一个 p α -1(= n -1)次的多项式，由【引理 1】，它符合要求．最后，我们证明若 n 有两个不同的素因子，则不存在符合要求的多项式． 事实上，如果存在满足条件的多项式 f (x ) ，那么，在【引理 2】中，令 g = f ，x = -k ，这里1 ≤ k ≤ n ，可知C k f (0) = ∑ (-1)k -lC l f (-k + l ) ，nn0≤l ≤n ,l ≠k而由题目条件（1），数 f -k ，…， f -1 ； f 1 ，…， f n - k 都是整数，， 所以，对1 ≤ k ≤ n ，数C k f (0) 都是整数．由【引理 3】和裴蜀定理，知存在整数u ,u ,...,u 使得∑u C k = 1，1 2nk nk =1导致 f (0) = ⎛ ∑n u C k ⎫⋅ f (0) = ∑ nu C k f (0)为整数，⎝ k =1⎭k =1这与题目条件（1）不符．综上，我们证明了我们的结论．k n⎪ p。

四年级奥数举一反三第4讲应用题四年级奥数举一反三第4讲应用题第4讲应用题（一）例题1、某玩具厂把630件玩具分别上装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。

每个塑料箱和纸箱各上装多少件玩具？1、百货商店运到300双球鞋分别上装在2个木箱和6个纸箱里。

如果两个纸箱同一个木箱上装的球鞋同样多，每个木箱和每个纸箱各上装多少双球鞋？2、新华小学买了两张桌子和5把椅子，共退款195元。

未知每张桌子的价钱就是每把椅子的4倍，每张桌子多少元？3、王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆，共付款156元。

已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。

每千克荔枝和每千克桂圆各多少元？例题2、一桶油，连桶轻180千克，用回去一半油后，连桶除了100千克。

问：油和桶各轻多少千克？1、一筐梨，连筐重38千克，吃去一半后，连筐还有20千克。

问：梨和筐各重多少千克？2、一筐苹果，连筐共轻35千克，先拎一半赠送给幼儿园小朋友，再拿剩的一半赠送给一年级小朋友，余下的苹果连筐轻11千克。

这筐苹果轻多少千克？3、一只油桶里存有一些油，如果把油加进原来的2倍，油桶连油轻38千克；如果把油加进原来的4倍，这里油和桶共重46千克。

原来油桶里存有油多少千克？例题3、有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。

原来每盒茶叶有多少克？1、存有6筐梨子，每筐梨子个数成正比，如果从每筐中掏出40个，6筐梨子剩的个数总和刚好和原来两筐的个数成正比。

原来每筐存有多少个？2、在5个木箱中放着同样多的橘子。

如果从每个木箱中拿出60个橘子，那么5个木箱中剩下的橘子的个数的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和。

原来每个木箱中有多少个橘子？3、某食品店存有5箱饼干，如果从每个箱子里抽出20千克，那么5个箱子里剩的饼干刚好等同于原来3箱饼干的重量。

原来每个箱子里上装多少千克饼干？例题4、一个木器厂必须生产一批课桌。

第4讲 因式分解之十字相乘法知识总结归纳一. 常用因式分解公式 （1）))((22b a b a b a -+=- （2）))((2233b ab a b a b a +-+=+ （3）))((2233b ab a b a b a ++-=- （4）222)(2b a b ab a +=++ （5）222)(2b a b ab a -=+-（6）33223)(33b a b ab b a a +=+++ （7）33223)(33b a b ab b a a -=-+-（8）2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++ （9）2222)(222c b a ca bc ab c b a -+=--+++（10）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 二．十字相乘法几大类型： （1）形如c bx ax ++2 （2）形如22cy bxy ax ++（3）形如f ey dx cy bxy ax +++++22 （4）形如222fz eyz dxz cy bxy ax +++++ 三．十字相乘法注意事项：（1）要掌握十字相乘，首先要熟悉整数的因数分解，熟悉有理数的加减法，反复练习，熟能生巧；（2）形如c bx ax ++2，如果0=++c b a ，则))(1(2c ax x c bx ax --=++典型例题一. 基本十字相乘法例题1 计算：（1）()()23x x ++= _____________; （2）()()23x x +-= _____________; （3）()()23x x -+= _____________; （4）()()23x x --= _____________.例题2 计算：))((q x p x ++.例题3 分解因式：862++x x .例题4 分解因式：862+-x x .例题5 分解因式：2421x x --.例题6分解因式：2215--.x x例题7分解因式：298x x++. 例题8分解因式：2712-+.x x例题9分解因式：21118++.x x例题10分解因式：2421--+.a a例题11 分解因式：22526a a -+.二. 二次项系数不为1的情形例题12 计算：（1）()()2133x x --=_____________; （2）()()213x x +-=_____________; （3）()()213x x -+=_____________.例题13 计算：))((2211b x a b x a ++.例题14 分解因式：2522+-x x .例题15分解因式：2--.321a a例题16分解因式：151962+x.+x例题17分解因式：23145+-.b b例题18分解因式：27254-x.-x例题19分解因式：2a-+.952a三. 两个字母的情形例题20 分解因式：22276y xy x +-.例题21 分解因式：22730a ab b --.例题22 分解因式：xy y x 2514422-+.例题23 分解因式：22166z yz y --.例题24 分解因式：22152y ay a --.例题25 分解因式：2210116y xy x ++-.例题26 分解因式：32576x y x y xy --.例题27 分解因式：()()220x y x y +++-.例题28 分解因式：2278a x ax +-.例题29 分解因式：222256x y x y x -+.例题30 分解因式：3)()(22-+++n m n m .例题31 分解因式：3)()(22----b a b a .例题32 分解因式：3)2(8)2(42++-+y x y x .例题33 分解因式：6)2(5)2(2++++b a b a .四. 双十字相乘法例题34 分解因式：233222+++-+y x y xy x .例题35 分解因式：2023265622-++--y x y xy x .例题36 分解因式：y x y xy x 422322++++.例题37 分解因式：81023222-++--y x y xy x .例题38 分解因式：43522+++-y x y x .例题39 分解因式：222615596z yz xz y xy x ++-+-.例题40 分解因式：yz xz xy z y x 142283222+++--.例题41 分解因式： yz xz xy z y x 77362222++-+-思维飞跃例题42 分解因式：22222)3()(c x b a c x b a -++-.例题43 分解因式：2223103)(2b ab a x b a x -+-++例题44 分解因式：)12)(1()21(22--+--b a a b a a .例题45 分解因式：))(()1)(()(222222y x b a xy b a y x ab ++-+---.例题46 已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且027334222=+--++b bc ab c ac a ，求证：c a b +=2.例题47 m 为什么数时，24518722-+--+my x y xy x 可以分解为两个一次因式的积？作业1. 分解因式：20122-+-x x .2. 分解因式：276x x -+.3. 分解因式：2328b b --.4. 分解因式：3522--x x .5. 分解因式：223x x --.6. 分解因式：2257x x +-.7. 分解因式：61362+-x x .8. 分解因式：226420x y xy ++-.9. 分解因式：22914a ab b -+.10. 分解因式：2232x xy y -+.11. 分解因式：3168)2(42++--y x y x .12. 分解因式：202322613622+-++-y x y xy x .13. 分解因式：yz xz xy z y x 124649222-+-++.14. 分解因式： 27614422-+-+-y x y xy x .15. 分解因式： ab ca bc c b a 221033222--+--.16. 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y .17. k 为何值时，k y x y x +-+-7322可以分解成两个一次因式的乘积？。

第四讲字母竖式竖式问题中常用的突破口有：首位、末位、位数、进位及重复出现的汉字或字母．一、尾数分析①×2、×4、×6、×8（有两个答案），如：□×__2=__4，□有2、7两个答案；②×1、×3、×7、×9（有一个答案），如：□×__3=__8，□只有6一个答案；③×5，偶数→0、奇数→5；④×0，乘积个位为0；⑤__A×__A=__A，A可能为：0、1、5、6．二、首位分析→位数分析→估算，如：A B× AA=1、2或3．①一般来说，在包含字母（或汉字）的竖式中，不同的字母（或汉字）代表不同的数字，相同的字母（或汉字）代表相同的数字．在加法与减法竖式中，进位与借位是非常重要的分析突破口．尤其是相同数位上重复出现的汉字或字母，有的时候，会略带一些有关奇偶性的简单应用．例题1在下图的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字．那么每个汉字各代表什么数字？「分析」观察首位，“车”是加出来的呢？末位三个数字都是“卒”，那“卒”又是多少呢？ 练习1在下图所示的竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．其中“G ”代表5，“D ”代表0，“H ”代表6．请问：“I ”代表的数字是多少？②A B ×8A =1，B =2．A B×9三、进、借位分析，如：B－B B没有借位，B =0；①② 黄金倒三角A B － CA =1，B =0，C =9．A B C－ D EA =1，B =0，C =0，兵 炮 马 卒 +兵 炮 车 卒车 卒 马 兵 卒A AB +CDE FG D HI例题2在下图的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字．那么每个汉字各代表什么数字？「分析」观察百位，相同的数字差为0，那么“马”可以是0吗？究竟是怎么回事呢？ 练习2下面竖式中，每个字母代表一个数字．a =______，s =______，t =______，v =______．例题3 在图中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．已知个位向十位的进位为2，且E 是奇数，则A 、B 、C 、D 、E 分别代表什么数字？「分析」题目给的条件“进位为2、E 是奇数”是解决本题的关键哦！ 练习3在右图所示的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？炮 兵 兵 炮 - 兵 马 兵马 兵 马t t v t t - v tstst v aA DB A DC A + E B ACECE喜 欢 欢 喜 +喜 欢人 人 喜一般来说，乘法竖式比加减法竖式要难一些．乘法竖式中不仅有第一个乘数与第二个乘数每一位数字的乘法，还有计算这些乘积之和的加法．例题4在右下图的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么ABCDEF 所代表的六位数是多少？「分析」观察个位，ABC C DEAC ⨯=、7ABC D ED ⨯=，你能判断出C 是多少吗？练习4在下图的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么ABCDE 所代表的五位数是多少？在竖式问题中，还有一类特殊的、类似于应用题的文字题．在这类题目中并没有明确给出竖式，而是要大家根据题目条件写出正确的竖式来．这就好比是“翻译”，我们要把“文字”翻译成“数学语言”，然后再推理计算．例题5（1）一个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的4倍，那么原数最小是多少？（2）一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个五位数恰好是原数的4倍，那么原来的五位数是多少？「分析」在第（1）问中，我们可以把问题转化为竖式来考虑．在第（2）问中，我们可以假设原来的五位数是abcde ，再列出竖式分析．A B C ⨯ D C D E A C 7 E DFDBCA B ⨯A BC A B B DE A B例题6下图中的竖式里，“江”、“峡”、“美”三个汉字分别代表三个各不相同的数字，请把这个竖式写出来．「分析」本题已知条件大都集中在个位，观察“⨯=江峡美美美”、“⨯=江峡美江江”、“⨯=江峡美峡峡”，你能判断出“美”是多少吗？“江”和“峡”又有什么特点呢？ 课堂内外结绳记数结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来．宋朝人在一本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使人传达，急于星火．”这是用结草来调发军马，传达要调的人数呢！其他如藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不识字的人中间都还长期使用这种方法．中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两条绳组成：每条上有两个结，再把两条绳结在一起．有趣的是，不但我们东方有过结绳，西方也结过绳．看样子，咱们这个星球早就像个地球村了，只不过那时还没有电报电话．传说古波斯王有一次打仗，命令手下兵马守一座桥，要守60天．为了让将士们不少守一天也不多守一天，波斯王用一根长长的皮条，把上面系了60个扣．他对守桥的官兵们说：“我走后你们一天解一个扣，什么时候解完了，你们就可以回家了．”回头我们再来看一件有趣的事情．在我国古代的甲骨文中，数学的“数”，它的右边表示一只右手，左边则是一根打了许多绳结的木棍：――“数”者，图结绳而记之也．所以，数学研究所的门口，最好用木棍打几个绳结作标“记”，连招牌都不用挂了．江 峡 美 × 峡 江 美 美 江 峡作业1. 在下面的加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：我爱数学表示的四位数是多少？2. 在左下图中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．如果C 是一个偶数，请问三位数ABC 是多少？3. 在下面的减法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：六位数ABCDEF 是多少？4. 下图的竖式中，每一个英文字母代表0，1，2，…，9中的一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请问字母F 代表数字几？5. 一个六位数的个位数字是7，将这个7移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的5倍，请问：原六位数是多少？A B C B A-E F A DF F F 学 数 学 爱 数 学+ 我 爱 数 学 1 9 9 2第四讲 字母竖式1.例题1答案：算式为5240521010450+= 详解：首位分析可以得出“车”代表数字1． 分析个位+=卒卒卒，因此“卒”只能是0．接下来分析千位，+=兵兵卒（卒=0），得“兵”为5，并且百位没有向千位进位． 分析十位“车马兵+=”（车=1、兵=5），得“马”为4． 最后很容易得到“炮”为2． 所以原算式为5240521010450+=． 2.例题2答案：算式为1221292929-= 详解：首位分析得“炮”为1．分析百位“兵兵马-=”，如果十位计算时没有向百位借位，则百位计算时就不需要向千位借位，这样被减数中的“炮”（炮=1）就不能被减掉，与题目矛盾，因此十位在计算时向百位进行了借位运算，这样我们得到“马”为9． 依次分析个位和十位，得到“兵”为2． 最后的算式为1221292929-=． 3.例题3答案：A =7，B =9，C =8，D =4，E =1 详解：个位“__++=A A A E ”，已知个位向十位的进位为2，则A 只可能为7、8、9，又因为E 为奇数，所以8被排除掉；如果A 为9，则千位进位后总和应该为一个五位数，与题意不符，因此A 为7，E 为1．再分析十位，“2__+++=B C B C ”，可得B 可能是4或9．分析百位“11进位+++=D D ”，可以发现进位必须是2才可以满足奇偶性要求，所以确定B 一定是9．则D 为4，百位向千位进1，C 为8． 最后的算式为74974871978181++=． 4.例题4 答案：356219详解：7+=D F 没有进位说明D 只能为1或2，而由7⨯=ABC D ED 说明D 不可能为1，所以D 为2，F 为9．分析进位++=E E D ，其中进位为0或1，奇偶性可知进位为0，所以E 为1． ⨯=ABC C DEAC ，得到C 可能为0，1，5，6．其中0，1明显不可能． 而__⨯=C D D ，因此，C 不可能是5． C 为6时有满足题意的解A =3，B =5． 因此所能代表的六位数为356219． 5.例题5答案：（1）102564；（2）21978 详解：（1）列出竖式，把问题转化为竖式来考虑．从个位向前逐次填出，直到乘积的首位出现4最后得到原数为102564．（2）列出竖式，把问题转化为竖式来考虑：末位分析，A 为偶数，再通过首位分析可得，A 只能是2，进而可得E 只能是8． 个位向十位进3，所以B 一定是奇数，而千位没有向万位进位，可得B 只能是1． 所以十位“4⨯D ”乘积个位是8，再结合千位，可得D=7． 进而很容易可得C =9． 6.例题6答案：28682623636⨯= 除0和1；而“__⨯=美江江、__美峡峡⨯=”，因此“美”只能为6，“江峡美江江⨯=”，首位判断，“江”最大是3，末位判断，“江”一定是偶数，因此江=2；而“26峡峡峡⨯=”，可知“峡”至少是5，并且“峡”是一个偶数，因此峡=8．竖式为28682623636⨯=． 7.练习1 答案：3… 4 × 44 …A B C D E× 4E D C B A详解：分析首位，G 为5，所以C 为4，则百位向千位进1；再分析百位，D 为0，所以A 一定为9，且十位向百位进1；接下来分析十位，A 为9，H 为6，且向百位有进位，所以E 一定是7（注意E 和H 不能代表相同数字，所以E 不能为6），个位向十位没有进位；此时，还有数字1、2、3、8没有用过，所以个位可能是123+=或者213+=，即I 为3． 8.练习2答案：a =0，s =8，t =1，v =3详解：分析首位，t 为1；分析个位，得a 为0；观察竖式，可知十位相减会向百位借1，再分析百位，可得v 为3，因此s 为8，所以算是为1131131818130-=． 9.练习3 答案：85简答：分析个位，可得“欢”为0或5，而“欢”作为十位数字，所以只能为5，且个位向十位进1；再分析十位，“51+++=喜喜人人”，尝试可得“喜”为8，“人”为2． 10. 练习4答案：25106简答：⨯=AB B CAB ，末尾分析可得B 可能为0、1、5、6，排除0和1，尝试可得B 只能是5，为255125⨯=，进而可得整个乘法算式为2525625⨯=． 11. 作业1答案：1264简答：三个“学”之和的个位数字是2，所以“学”等于4；所以个位向十位进1，三个“数”之和的个位数字就是8，十位向百位进1，所以“数”等于6；因此，两个“爱”之和的个位数字为4，因为和的千位为1，所以百位到千位没有进位，所以“我”等于1，“爱”等于2． 12. 作业2答案：586简答：从个位得到A 是5，从百位得到C 是6，从十位计算出B 是8． 13. 作业3答案：107398简答：一个五位数减去一个四位数，差为三位数，所以可得A 等于1，B 等于0，E 等于9；个位1减D ，必然要借位，所以十位相减，差得8，所以F 等于8，C 等于7，D 等于3；所以这个六位数是107398． 14. 作业4答案：3简答：AQ 乘T 仍然得AQ ，所以T 等于1；两个Q 相乘，乘积个位仍然是Q ，所以Q 可能是0，1，5或者6，因为Q 乘AQ 得一个百位是1的三位数，所以Q 只可能是5或6，而且A 只可能是2或者3．分别计算，可得只有25×15符合条件，所以F等于3．15.作业5答案：142857简答：列出竖式，把问题转化为竖式来考虑．从个位向前逐次填出：最后得到原六位数为142857．。

第4讲分数倍数问题的解题技巧要想正确、迅速地解答分数应用题，必须多加练习，把基本型的、稍复杂型的和复杂型的结构特征理解清楚，才能熟练快速地解答分数应用题。

（一）分数应用题主要讨论的是以下三者之间的关系：分率：表示一个数是另一个数的几分之几，这几分之几通常称为分率。

标准量：解答分数应用题时，通常把题目中作为单位“1”的那个数，称为标准量。

比较量：解答分数应用题时，通常把题目中同标准量比较的那个数，称为比较量。

（二）分数应用题的分类1、求一个数的几分之几是多少。

解这类应用题用乘法。

即反映的是整体与部分之间关系的应用题，基本的数量关系是：整体量×分率＝分率的对应的部分量或已知一个看作单位“1”的数，另一个数占它的几分之几，求另一个数，即反映的是甲乙两数之间关系的应用题，基本的数量关系是：标准量×分率＝分率的对应的比较量。

2、求一个数是另一个数的几分之几。

解这类应用题用除法。

基本的数量关系是：比较量÷标准量＝分率。

（1）求一个数是另一个数的几分之几：比较量÷标准量＝分率（几分之几）。

（2）求一个数比另一个数多几分之几：相差量÷标准量＝分率（多几分之几）。

（3）求一个数比另一个数少几分之几：相差量÷标准量＝分率（少几分之几）。

3、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

解这类应用题用除法。

基本的数量关系是：分率对应的比较量÷分率＝标准量。

4、复杂分数应用题（单位“1”不统一）有些比较复杂的分数应用题，条件中几个“分率”的单位“1”各部相同，为顺利解题设置了难度。

解答这类应用题时，要看准题中的“不变量”，把它看作比较的标准，依据转化、对应等方法统一单位“1”使问题得以解决。

（1）将不变的部分量看作单位“1”（2）将不变的几个量的和看作单位“1”。

（三）解题步骤1、正确的找单位“1”是解决分数应用题的前提。

不管什么样的分数应用题，题中必有单位“1”。

数的读写月日姓名【知识要点】1.数是由数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成的，可以组成许许多多的数。

2.比较数的大小，先要从最高位起，一位一位地比较；把不同的几个数字按照不同的方法排列，就可以组成不同的数。

把几个数字按从大到小顺序排列，可组成最大的数；【典型例题】例1 下面每题的□里能填哪些数？（1）74□﹤741 （2）47□﹤478 （3）510﹤5□9例2 什么数减去1是最大的三位数？什么数加1是最小的三位数？例3 用6、7、9这三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？例4 用0、6、9、5、1这五个数字组成最大的五位数和最小的五位数，各是多少？例5 A 、B 、C 、D 分别表示0、1、2、3中的一个数字，已知ABC=203， 那么CDB=（ ）。

随堂小测成绩1．下面每题的□里可以填哪些数？（1）8□00﹤8200 （2）35□4﹤3571 （3）209□﹤2099（4）194□﹥1944 （5）12□9﹥1271 （6）7□83﹥76672．最大的三位数与最小的四位数相差______，最大的两位数与最大的三位数相差______，最大的四位数与最小的五位数相差_______。

3．用2、3、5这三个数字，可以组成多少个不同的三位数？4．把0、2、4、7组成最大四位数和最小的四位数。

5．用3、5、7这三个数字，可以组成几个比600小的三位数。

6．A、B、C、D分别表示0、1、2、3、4、5、6中的一个数字，已知ACD=246，ABD=206，那么ACB=（）。

课后作业姓名成绩1．□里可填几？（1）4132﹥4□33 （2）□578﹥8865（3）3□0﹥370 （2）□48﹥7902. 加上1是最小的四位数。

减去1，就是最大的四位数。

3．用8、2、6这三个数可以组成几个不同的三位数，并把它们从大到小排列起来。

4．用8、0、3、2、4组成最大的五位数和最小的五位数，各是多少？5．最大的两位数与最小的三位数相差，最小的四位数与最大的四位数相差。

第四讲字母竖式竖式问题中常用的突破口有：首位、末位、位数、进位及重复出现的汉字或字母．一、尾数分析①×2、×4、×6、×8（有两个答案），如：□×__2=__4，□有2、7两个答案；②×1、×3、×7、×9（有一个答案），如：□×__3=__8，□只有6一个答案；③×5，偶数→0、奇数→5；④×0，乘积个位为0；⑤__A×__A=__A，A可能为：0、1、5、6．二、首位分析→位数分析→估算，如：A B× AA=1、2或3．①一般来说，在包含字母（或汉字）的竖式中，不同的字母（或汉字）代表不同的数字，相同的字母（或汉字）代表相同的数字．在加法与减法竖式中，进位与借位是非常重要的分析突破口．尤其是相同数位上重复出现的汉字或字母，有的时候，会略带一些有关奇偶性的简单应用．例题1在下图的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字．那么每个汉字各代表什么数字？「分析」观察首位，“车”是加出来的呢？末位三个数字都是“卒”，那“卒”又是多少呢？ 练习1在下图所示的竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．其中“G ”代表5，“D ”代表0，“H ”代表6．请问：“I ”代表的数字是多少？②A B ×8A =1，B =2．A B×9三、进、借位分析，如：B－B B没有借位，B =0；①② 黄金倒三角A B － CA =1，B =0，C =9．A B C－ D EA =1，B =0，C =0，兵 炮 马 卒 +兵 炮 车 卒车 卒 马 兵 卒A AB +CDE FG D HI例题2在下图的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字．那么每个汉字各代表什么数字？「分析」观察百位，相同的数字差为0，那么“马”可以是0吗？究竟是怎么回事呢？ 练习2下面竖式中，每个字母代表一个数字．a =______，s =______，t =______，v =______．例题3 在图中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．已知个位向十位的进位为2，且E 是奇数，则A 、B 、C 、D 、E 分别代表什么数字？「分析」题目给的条件“进位为2、E 是奇数”是解决本题的关键哦！ 练习3在右图所示的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？炮 兵 兵 炮 - 兵 马 兵马 兵 马t t v t t - v tstst v aA DB A DC A + E B ACECE喜 欢 欢 喜 +喜 欢人 人 喜一般来说，乘法竖式比加减法竖式要难一些．乘法竖式中不仅有第一个乘数与第二个乘数每一位数字的乘法，还有计算这些乘积之和的加法．例题4在右下图的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么ABCDEF 所代表的六位数是多少？「分析」观察个位，ABC C DEAC ⨯=、7ABC D ED ⨯=，你能判断出C 是多少吗？练习4在下图的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么ABCDE 所代表的五位数是多少？在竖式问题中，还有一类特殊的、类似于应用题的文字题．在这类题目中并没有明确给出竖式，而是要大家根据题目条件写出正确的竖式来．这就好比是“翻译”，我们要把“文字”翻译成“数学语言”，然后再推理计算．例题5（1）一个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的4倍，那么原数最小是多少？（2）一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个五位数恰好是原数的4倍，那么原来的五位数是多少？「分析」在第（1）问中，我们可以把问题转化为竖式来考虑．在第（2）问中，我们可以假设原来的五位数是abcde ，再列出竖式分析．A B C ⨯ D C D E A C 7 E DFDBCA B ⨯A BC A B B DE A B例题6下图中的竖式里，“江”、“峡”、“美”三个汉字分别代表三个各不相同的数字，请把这个竖式写出来．「分析」本题已知条件大都集中在个位，观察“⨯=江峡美美美”、“⨯=江峡美江江”、“⨯=江峡美峡峡”，你能判断出“美”是多少吗？“江”和“峡”又有什么特点呢？ 课堂内外结绳记数结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来．宋朝人在一本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使人传达，急于星火．”这是用结草来调发军马，传达要调的人数呢！其他如藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不识字的人中间都还长期使用这种方法．中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两条绳组成：每条上有两个结，再把两条绳结在一起．有趣的是，不但我们东方有过结绳，西方也结过绳．看样子，咱们这个星球早就像个地球村了，只不过那时还没有电报电话．传说古波斯王有一次打仗，命令手下兵马守一座桥，要守60天．为了让将士们不少守一天也不多守一天，波斯王用一根长长的皮条，把上面系了60个扣．他对守桥的官兵们说：“我走后你们一天解一个扣，什么时候解完了，你们就可以回家了．”回头我们再来看一件有趣的事情．在我国古代的甲骨文中，数学的“数”，它的右边表示一只右手，左边则是一根打了许多绳结的木棍：――“数”者，图结绳而记之也．所以，数学研究所的门口，最好用木棍打几个绳结作标“记”，连招牌都不用挂了．江 峡 美 × 峡 江 美 美 江 峡作业1. 在下面的加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：我爱数学表示的四位数是多少？2. 在左下图中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．如果C 是一个偶数，请问三位数ABC 是多少？3. 在下面的减法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：六位数ABCDEF 是多少？4. 下图的竖式中，每一个英文字母代表0，1，2，…，9中的一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请问字母F 代表数字几？5. 一个六位数的个位数字是7，将这个7移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的5倍，请问：原六位数是多少？A B C B A-E F A DF F F 学 数 学 爱 数 学+ 我 爱 数 学 1 9 9 2第四讲 字母竖式1.例题1答案：算式为5240521010450+= 详解：首位分析可以得出“车”代表数字1． 分析个位+=卒卒卒，因此“卒”只能是0．接下来分析千位，+=兵兵卒（卒=0），得“兵”为5，并且百位没有向千位进位． 分析十位“车马兵+=”（车=1、兵=5），得“马”为4． 最后很容易得到“炮”为2． 所以原算式为5240521010450+=． 2.例题2答案：算式为1221292929-= 详解：首位分析得“炮”为1．分析百位“兵兵马-=”，如果十位计算时没有向百位借位，则百位计算时就不需要向千位借位，这样被减数中的“炮”（炮=1）就不能被减掉，与题目矛盾，因此十位在计算时向百位进行了借位运算，这样我们得到“马”为9． 依次分析个位和十位，得到“兵”为2． 最后的算式为1221292929-=． 3.例题3答案：A =7，B =9，C =8，D =4，E =1 详解：个位“__++=A A A E ”，已知个位向十位的进位为2，则A 只可能为7、8、9，又因为E 为奇数，所以8被排除掉；如果A 为9，则千位进位后总和应该为一个五位数，与题意不符，因此A 为7，E 为1．再分析十位，“2__+++=B C B C ”，可得B 可能是4或9．分析百位“11进位+++=D D ”，可以发现进位必须是2才可以满足奇偶性要求，所以确定B 一定是9．则D 为4，百位向千位进1，C 为8． 最后的算式为74974871978181++=． 4.例题4 答案：356219详解：7+=D F 没有进位说明D 只能为1或2，而由7⨯=ABC D ED 说明D 不可能为1，所以D 为2，F 为9．分析进位++=E E D ，其中进位为0或1，奇偶性可知进位为0，所以E 为1． ⨯=ABC C DEAC ，得到C 可能为0，1，5，6．其中0，1明显不可能． 而__⨯=C D D ，因此，C 不可能是5． C 为6时有满足题意的解A =3，B =5． 因此所能代表的六位数为356219． 5.例题5答案：（1）102564；（2）21978 详解：（1）列出竖式，把问题转化为竖式来考虑．从个位向前逐次填出，直到乘积的首位出现4最后得到原数为102564．（2）列出竖式，把问题转化为竖式来考虑：末位分析，A 为偶数，再通过首位分析可得，A 只能是2，进而可得E 只能是8． 个位向十位进3，所以B 一定是奇数，而千位没有向万位进位，可得B 只能是1． 所以十位“4⨯D ”乘积个位是8，再结合千位，可得D=7． 进而很容易可得C =9． 6.例题6答案：28682623636⨯= 除0和1；而“__⨯=美江江、__美峡峡⨯=”，因此“美”只能为6，“江峡美江江⨯=”，首位判断，“江”最大是3，末位判断，“江”一定是偶数，因此江=2；而“26峡峡峡⨯=”，可知“峡”至少是5，并且“峡”是一个偶数，因此峡=8．竖式为28682623636⨯=． 7.练习1 答案：3… 4 × 44 …A B C D E× 4E D C B A详解：分析首位，G 为5，所以C 为4，则百位向千位进1；再分析百位，D 为0，所以A 一定为9，且十位向百位进1；接下来分析十位，A 为9，H 为6，且向百位有进位，所以E 一定是7（注意E 和H 不能代表相同数字，所以E 不能为6），个位向十位没有进位；此时，还有数字1、2、3、8没有用过，所以个位可能是123+=或者213+=，即I 为3． 8.练习2答案：a =0，s =8，t =1，v =3详解：分析首位，t 为1；分析个位，得a 为0；观察竖式，可知十位相减会向百位借1，再分析百位，可得v 为3，因此s 为8，所以算是为1131131818130-=． 9.练习3 答案：85简答：分析个位，可得“欢”为0或5，而“欢”作为十位数字，所以只能为5，且个位向十位进1；再分析十位，“51+++=喜喜人人”，尝试可得“喜”为8，“人”为2． 10. 练习4答案：25106简答：⨯=AB B CAB ，末尾分析可得B 可能为0、1、5、6，排除0和1，尝试可得B 只能是5，为255125⨯=，进而可得整个乘法算式为2525625⨯=． 11. 作业1答案：1264简答：三个“学”之和的个位数字是2，所以“学”等于4；所以个位向十位进1，三个“数”之和的个位数字就是8，十位向百位进1，所以“数”等于6；因此，两个“爱”之和的个位数字为4，因为和的千位为1，所以百位到千位没有进位，所以“我”等于1，“爱”等于2． 12. 作业2答案：586简答：从个位得到A 是5，从百位得到C 是6，从十位计算出B 是8． 13. 作业3答案：107398简答：一个五位数减去一个四位数，差为三位数，所以可得A 等于1，B 等于0，E 等于9；个位1减D ，必然要借位，所以十位相减，差得8，所以F 等于8，C 等于7，D 等于3；所以这个六位数是107398． 14. 作业4答案：3简答：AQ 乘T 仍然得AQ ，所以T 等于1；两个Q 相乘，乘积个位仍然是Q ，所以Q 可能是0，1，5或者6，因为Q 乘AQ 得一个百位是1的三位数，所以Q 只可能是5或6，而且A 只可能是2或者3．分别计算，可得只有25×15符合条件，所以F等于3．15.作业5答案：142857简答：列出竖式，把问题转化为竖式来考虑．从个位向前逐次填出：最后得到原六位数为142857．。

第4讲小数的意义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题第4讲小数的意义（一）学习目标1．知道小数的计数单位以及相邻两个计数单位之间的进率；2．掌握规范的小数组成的书写格式，取得小数的记数形式与多位数之间的联系．教学内容（一）针对上节课的内容进行复习和提问，检查和讲解上次课的课后巩固作业（二）上次预习思考内容讨论分享大家好！我是数学王国里最最开心的一个小数点。

在这里，每一个数字都十分地喜欢我，因为我有时十分的淘气，所以大家叫我：“机灵鬼”、“淘气鬼”、“顽皮鬼”等等。

有一天，聪明伶俐的我走出了家门，来到了音乐馆。

哈哈，我看见了我国的将军“100”，便偷偷地走上去，在他的“1”后面跳了一下，嘻嘻，“100”被我变成了“1”。

音乐家“0.4”正在舞台上面演奏，我跑上去，在“0.4”的头上跳了一下，“0.4”一下子就变成了“•4.0”，一个循环小数。

哈哈哈！真是笑死我了，就在我捣乱的时候，保安“0”把我给抓住了，别的数字都躲得远远地说：“喂，你离他远点，否则你会被他变成小数的。

”正在我暗暗地偷笑时，“0”说话了：“别怕，他奈何不了我的。

”就这样，我被“0”逼得给“100”、“0.4”等数字家们道歉。

看了上面的故事是不是觉得我十分地“顽皮”“淘气”呢？其实我也是善良的，比如那天下午，我刚走出家门就看见了数字“50”正在欺负“6”呢，我当时是十分地生气，立刻就冲了过去在“50”脚下跳了一下，让他变成了“5”，“5”一看自己比“6”还小，立马跑得无影无踪了。

你们看，这就是我！一个聪明、快乐、淘气又乐于助人的小数点。

教法说明：通过以上趣味性的故事的引入，让学生相互交流，对小数点的认识并进行总结分享。

老师可以就学生对小数点的初步认识进行简单的总结。

1、想一想，生活中我们见过哪些数据需要用小数表示，请你举例说一说。

（1）（2）2、完成填空（1）0.1是（）分之一。

0.7里有（）个0.1。

（2）阴影部分用分数表示是（），用小数表（）；空白部分用分数表示是（），用小数表示是（）。

绝对值专题绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：l ．去绝对值的符号法则：2．绝对值基本性质 ①非负性：；②；③； ④； ⑤；⑥．3．绝对值的几何意义从数轴上看，表示数的点到原点的距离(长度，非负)；表示数、数的两点间的距离．例题讲解【例1】(1)已知，，，且，那么＝ ． (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)已知是有理数，，，且，那么． (“希望杯”邀请赛试题)（3）已知，，那么_________．（北京市“迎春杯”竞赛题） （4）非零整数、满足，所有这样的整数组共有______组． （首届江苏省数学文化节基础闯关题）思路点拨 (1)由已知条件求出的值，注意条件的约束；(2)若注意到9+16＝25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；（3）既可以对，的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（4）从把5拆分成两个正整数的和入手．⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 0≥a ba ab ⋅=)0(≠=b ba b a222a a a ==ba b a +≤+b a b a b a +≤-≤-a a b a -a b 1=a 2=b 3=c c b a >>c b a -+d c b a 、、、9≤-b a 16≤-d c 25=+--d c b a =---c d a b 5=x 1=y =+--y x y x m n 05=-+n m ),(n m c b a 、、c b a >>x y【例2】 如果是非零有理数，且，那么的所有可能的值为( )．A ．0B ． 1或C ．2或D ．0或 (山东省竞赛题) 思路点拨 根据的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键． 【例3】已知互为相反数，试求代数式：的值． (“五羊杯”竞赛题) 思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出的值．【例4】化简(1)； (2)； (3)．思路点拨 (1)就两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点1，3在同一数轴上表示出来，就，1≤x<3，x ≥3三种情况进行讨论；(3)由，得．【例5】已知为有理数，那么代数式 的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．思路点拨 在有理数范围变化，的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉，为此要对的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值．链接：①我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段、是非负数的两种重要形式，非负数有如下常用性质： (1)≥0，即非负数有最小值为0；(2)若，则②形如(2)的问题称为多个绝对值问题，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．请读者通过本例的解决，仔细体会上述解题步骤．【例6】已知，求的最大值和最小值． （“希望杯”邀请赛试题） 思路点拨 解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围．c b a 、、0=++c b a abcabc c c b b a a +++1-2-2-b a 、12--b •ab 与)2002)(2002(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab b a 、12-x 31-+-x x 121++--x x 012012<-≥-x x ，1<x 02101=--=+x x ，3,11==-=x x x ，a 4321-+-+-+-a a a a a 4321----a a a a 、、、a a n a 2a 0=+++h b a 0====h b a 36)13)(12)(21(=++-++--++z z y y x x z y x 32++基础训练1．若有理数、满足，则 ． 2．已知，，且，那么= ． 3．已知有理数在数轴上的对应位置如图所示：则化简后的结果是 ． （湖北省选拔赛题) 4．若为有理数，那么，下列判断中：(1)若，则一定有； (2)若，则一定有； (3)若，则一定有；(4)若，则一定有．正确的是 (填序号) ．5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数，1，，那么表示( )． A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和 (江苏省竞赛题) 6．已知是任意有理数，则的值是( )．A ．必大于零B ．必小于零C 必不大于零D ．必不小于零7．若与互为相反数，则与的大小关系是( )． A ． B ． C ． D ．8．如图，有理数在数轴上的位置如图所示，则在，，，，，中，负数共有（ ） A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．化简：(1)； (2)．10．求满足的非负整数对的值． (全国初中联赛题) 11．若，则 ；若，则 ． 12．能够使不等式成立的的取值范围是 ． l3．与互为相反数，且，那么＝ ． 14．设分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且，则可能取得的最大值是 ． (江苏省竞赛x y +-2)1(2002x 0112=+-y x =+22y x 5=a 3=b a b b a -=-b a +c ba 、、b ac a c -+-+-1b a 、b a =b a =b a >b a >b a >b a >b a =22)(b a -=a 1-1+a a a a --1++b a 2)1(+-b a a b b a >b a =b a <b a ≥b a 、b a +a b 2-a b -b a -2+a 4--b 3223++-x x 1331++--x x 1=+-ab b a ),(b a 2-<x =+-x 11a a -==---21a a 0)1)((<+-x x x x a b 54=-b a 12+++-ab a bab a c b a 、、c b a ≤≤a c c b b a -+-+--232ba1-1题) 15．使代数式的值为正整数的值是( )．A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．不存在的16．如果，则等于（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 17．如果，那么代数式在的最小值是（ ）．A ．30 B ．0 C ．15 D ．一个与有关的代数式 18．设，，则的值是（ ）． A ． B ．1 C ．3或 D ．或1 19．有理数均不为零，且，设，试求代数式的值．20．若为整数，且，求的值．21．已知，设，求M 的最大值与最小值．22．已知， 求代数式的值．xx x 43-x 02=+b a 21-+-bab a 150<<p 1515--+-+-p x x p x 15≤≤x p p 0=++c b a 0>abc cba b a c a c b +++++3-1-3-c b a 、、0=++c b a ba c ac b cb a x +++++=20029919+-x x c b a 、、19919=-+-ac b a c b b a a c -+-+-1,1≤≤y x 421--++++=x y y y x M 02003200232120032002321=-+-++-+-+-x x x x x 20032002212222x x x x+---答案： 1.2.-2或-83.1-2c+b4.(4)5.D6.D7.C8.A9.(1)原式= (2)原式= 10.(a,b)=(1,0),(0,1),(1,1) 提示:由条件得 或11.-2-x 、-1 12.x<-1 提示:因│x │≥x,│x │-x ≥0,故1+x<0. 13.提示:ab=-b 2=-│b │2=- 14.16 15.D16.B 提示:原式=17.C 18.B19.提示:a 、b 、c 中不能全同号,必一正二负或二正一负,得a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b),即=-1, =-1, =-1, 所以,, 中必有两个同号,另一个符号与其相反,• 即其值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1,x=1,原式=1904. 20.提示:a 、b 、c 都为整数,则a-b 、c-a 均为整数,则│a-b │、│c-a•│为两个非负整数,│a-b │19+│c-a │99=1, 只能│a-b │19=0且│c-a │99=1…………① 或│a-b │19=1且│c-•a │99=0……………②, 由①得a=b,且│c-a │=1,│b-c │=│c-a │=1; 由②得c=a,且│a-b │=1,•│b-c │=│a-b │=1, 无论①或②,都有│a-b │+│c-a │=1,且│b-c │=1, 故│c-a │+•│a-b │+│b-c │=2.21.提示:-1≤x ≤1,-1≤y ≤1,│y+1│=y+1,│2y-x-4│=4+x-2y,当x+y ≤0时,•M=5-2y,得3≤M ≤7; 当x+y ≥0时,M=2x+5,得3≤M ≤7;又当x=-1,y=1时,M=3;当x=-1,•y=-1时,M=7,3736351()2325()23251()3x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩43(2)121(2)3143(1)325(14)43(4)x x x x x x x x x x --<-⎧⎪⎪-+-≤<-⎪⎪⎪+-≤<⎨⎪+≤<⎪⎪-≥⎪⎪⎩||10a b ab -=⎧⎨=⎩||01a b ab -=⎧⎨=⎩425425|2||||||4|2||a a a a a -++abc +b c a +c a b+||a b c +||b c a +||c a b+故M 的最大值为7,最小值为3. 22.由题意得:x 1=1,x 2=2,… ,x 2003=2003,原式=2-22-23-…22002+22003=22003-22002-…23-22+2提高训练1．计算：=______． (重庆市竞赛题)2．代数式的最小值为______． （北京市“迎春杯”竞赛题） 3．已知，化简式子：得______．4．若、、、为互不相等的有理数，且那么___． 5．设是有理数，则的值（ ）．A ．可以是负数B ．不可能是负数C ．必是正数D ．可以是正数，也可以是负数 （广东省中考题） 6．已知，化简所得的结果是________． 7．若，，那么的绝对值等于________．（“希望杯”邀请赛试题） 8．有理数、、的大小关系如图，则下列式子中一定成立的是（ ）． A ． B ． C ． D ．9．已知，且、、都不等于0，求的所有可能值．（第2届“华罗庚杯”香港中学竞赛题） 10．已知、、满足，且，则代数式的值为______． （四川省竞赛题） 11．若有理数、、满足，则=______．（“希望杯”邀请赛试题）214131412131---+-131211++-++x x x c b a <<<0c b a c b a b a -+--++-2a b c d 1=-=-=-b d c b c a =-d a a a a -m m -=21---m m 3=a 5=b b a b a --+a b c 0>++c b a c b a <+c a c a +=-a c c b ->-abcabc cc bb aa x +++=a b c x a b c 0))()((=+++a c c b b a 0<abc ccb b a a ++m n p 1=++pp nn mm mnpmnp32cb a12．设、、是不为零的有理数，那么的值有（ ）． A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．6种 （“希望杯”邀请赛试题） 13．如图，已知数轴上的点A 、B 、C 所对应的数、、都不为零，且C 是AB 的中点．如果，那么原点的位置在（ ）． A ．线段AC 上 B ．线段CA 的延长线上 C ．线段BC 上 D ．线段CB 的延长线上（江苏省竞赛题） 14．若，则等于（ ）．A ．B ．C ．D ． (四川省竞赛题) 15．已知、、、是有理数，，，且，求的值． （“希望杯”邀请赛试题）16．▲在数轴上把坐标为1,2,3，…，2006的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由． （山东省竞赛题）a b c ccb b a a x -+=a b c 0222=-+--+--+c b a c b c a b a O 2-<x x y +-=11x +2x --2x x -a b c d 9≤-b a 16≤-d c 25=+--d c b a c d a b ---B C A cba。