【数学专题】3-2-4-3

20222023学年四年级数学下册典型例题系列之期末复习专题一：数的认识与运算—计算篇（原卷版）编者的话：《20222023学年四年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题、专项练习、分层试卷三大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。

本专题是期末复习专题一：数的认识与运算—计算篇。

本部分内容包括多位数的认识，乘法计算以及运算律和计算器的使用等，包括期末常考典型例题，涵盖较广，部分内容和题型较复杂，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为五大篇目，欢迎使用。

【篇目一】认识多位数。

【知识总览】一、多位数的认识。

1.整数数位顺序表。

2.表示物体个数的1，2，3，4，5，6，7，8，……都是自然数，一个物体也没有，用0表示，0也是自然数；所有的自然数都是整数，最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。

3.个（一）、十、百、千、万……亿、十亿、百亿、千亿都是计数单位。

4.用数字表示数的时候，这些计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

5.每相邻的两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫做十进制计数法。

6.我国的计数习惯是从右起每个数位为一级，即个位、十位、百位、千位是个级；万位、十万位，百万位、千万位是万级；亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级………，其中个级的数表示的是多少个“一”，万级的数表示多少个“万”，亿级的数表示多少个“亿”。

二、大数的读法和写法。

1.读数时，先分级，从高位读起，先读亿级，再读万级，最后读个级；2.读亿级或万级的数按照个级的读法读，再在后面加上一个“亿”字或“万”字；3.每一级末尾0都不读，数中间有一个0或连续有几个0，都只读一个零。

第01讲 认识方程课程标准学习目标①掌握方程、一元一次方程的定义②理解方程的解与解方程1. 掌握方程、一元一次方程的定义．2. 理解方程的解与解方程．知识点01方程的有关概念定义：含有未知数的等式叫做方程.【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数．【即学即练1】（23-24六年级下·全国·假期作业）1．已知下列式子：21831231213102571013x x x y x x a x x+=--=+=+=+=-¹=；；；；；；；．其中方程的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6知识点02 一元一次方程的概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数．【即学即练2】（23-24六年级下·上海松江·期中）2．下列式子：①92x +；②12x -<；③(1)(1)3x x -+=；④30x =；⑤153y -=；⑥111(3)352x x x -=-中，一元一次方程共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（23-24七年级下·四川乐山·期末）3．已知关于x 的方程||(1)23m m x m --=是一元一次方程，则实数m 的取值是（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．0知识点03 方程的解、解方程1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.2.解方程：求方程的解的过程.【即学即练3】（23-24七年级下·广东珠海·开学考试）4．下列方程中，解为2x =的方程是（ ）A ．62x x-+=B ．()4211--=x C ．323x -=D ．1102x +=题型01 判断各式是否是方程【典例1】（2024七年级上·江苏·专题练习）5．下列式子中，方程的个数是（ ）①33152´+=´；②()220y -³；③315x y +=；④17142x x -=+；⑤x y z ++；A ．2B ．3C ．4D ．5【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）6．在13523b ＋>； 2.430x x +=；423126´=；1.570m =；8 3.6n -中，方程有（ ）个．A ．2B ．3C ．4【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）7．下列各式32x -，21m n +=，+=+a b b a （a ，b 为已知数），0y =，2320x x -+=中，方程有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式3】（23-24七年级上·全国·单元测试）8．下列各式：① 215x -=；② 4812+=；③ 58x +；④ 230x y +=；⑤ x ；⑥ 2251x x --；⑦ 12x +=；⑧ 669y y=-．其中是方程的有（ ）A ．①②④⑤B ．①②⑤⑦⑧C ．①④⑦⑧D ．8 个都是题型02 列方程【典例2】（23-24七年级下·全国·期末）9．列等式表示“x 的2倍与10的和等于8” ．【变式1】（23-24六年级下·全国·单元测试）10．设某数为x ，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 ．【变式2】（22-23七年级下·广东河源·开学考试）11．一个长方形场地的周长为160米，长比宽的2倍少1米．如果设这个场地的宽为x 米，那么可以列出方程为．【变式3】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）12．蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共30g ．设蛋白质的含量为g x ，脂肪的含量为g y ，可列出方程为 ．题型03 判断是否是一元一次方程【典例3】（23-24七年级上·贵州遵义·期中）13．下列方程是一元一次方程的是（ ）A ．512x +=B ．320x y -=C ．240x -=D ．25x=【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）14．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）A ．1x =B ．21x =C ．1x y +=D ．11x=【变式2】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）15．已知下列方程：（1）22x x -=；（2）0.31x =；（3） 52x x =-１；（4）243x x -=； （5）6x =；（6）20x y +=．其中一元一次方程的个数有（ ）A ．2B ．5C ．4D ．3【变式3】（23-24七年级上·广东汕头·期末）16．已知下列方程：①12x x-=；②0.21x =；③33xx =-；④6-=x y ；⑤0x =，其中一元一次方程有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个题型04 根据一元一次方程求参数的值【典例4】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）17．已知43132m x-+=是关于x 的一元一次方程，那么m = ．【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）18．已知(1)30m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值为 ．【变式2】（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）19．已知关于x 的方程()120m m x--=是一元一次方程，则m = ．【变式3】（23-24七年级上·全国·单元测试）20．若关于x 的方程()21120m mxm x -+--=是一元一次方程，则m 的值为 ．题型05 判断是否是一元一次方程的解【典例5】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）21．下列方程中，解为1x =的是（ ）A ．10x +=B ．21x x -=C ．2x x--=D ．1132x -=【变式1】（23-24七年级下·吉林长春·期中）22．下列方程中，解为2x =的是（ ）A ．20x +=B ．123x -=C ．()113x x +=-D ．0.21x =【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）23．下列方程中，解是1x =-的方程是（ ）A ．()214x -=B ．()214x --=C ．()214x -=-D ．()212x --=-【变式3】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）24．下列方程中，解是12x =的是（ ）A ．24x -=B ．231x --=-C ．11234x --=-D ．31124x -+=题型06 已知一元一次方程的解求参数的值【典例6】（23-24七年级下·四川泸州·开学考试）25．若2x =是方程83x ax -=的解，则a = ．【变式1】（23-24七年级上·江苏常州·期末）26．1x =-是方程310x m --=的解，则m 的值是 ．【变式2】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）27．若关于x 的方程23x k +=的解为1x =， 则k 的值为 ．【变式3】（23-24七年级上·全国·单元测试）28．2x =是方程12xa x +=-的解，则a = ．题型07 已知一元一次方程的解求代数式的值【典例7】（23-24七年级上·广东佛山·期末）29．若2x =是方程4a bx -=的解，则632023b a -++的值为 ．【变式1】（23-24七年级上·四川成都·期末）30．若关于x 的方程21ax a b ++=的解是3x =-，则a b -的值为 ．【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）31．已知关于x 的一元一次方程()146m x n ++=的解是1x =，则23m n +-的值为 ．【变式3】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）32．如果3x =是方程52ax b x --=-的解，那么362a b --= ．一、单选题（23-24七年级下·四川乐山·期末）33．下列各式中，是方程的是（ ）A ．321-=B ．5y -C ．32m >D ．5x =（24-25七年级上·河南漯河·开学考试）34．下列方程中，（ ）的解是 1.6x =．A ．0.4 1.2x +=B ．10.6x -=C ．6312x +=D ．3 3.2x x -=（2024七年级上·北京·专题练习）35．如果关于x 的方程2(1)30n m x ---=是一元一次方程．那么m ，n 应满足的条件是（ ）A ．1m =，2n =B ．0m ¹，3n =C ．1m ¹，3n =D ．1m >，3n =（24-25九年级上·重庆·阶段练习）36．关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个解是1x =，则2024a b --=（ ）A ．2025B ．2024C ．2023D ．2022（23-24六年级下·上海·期中）37．式子①220x x +=，②20x y +=，③21x +，④()4322z z -+=-，⑤210x +=中，是一元一次方程有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（24-25七年级上·全国·课后作业）38．试写出一个解为2024x =-的一元一次方程： ．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）39．x 与6的和的2倍等于x 的3倍，用方程表示数量关系为 ．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）40．已知下列各式：①321x y -+=；②5x =；③2x13+=；④431-=；⑤220x x --=；⑥32x -；⑦22x x -=．其中方程有 ，一元一次方程有（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）41．已知关于x 的方程(1)240m m x m -+-=是一元一次方程，则m = ．（22-23七年级上·重庆渝中·阶段练习）42．若2x =是关于x 的一元一次方程3mx n +=的解，则631m n +-的值是 ．三、解答题（23-24七年级上·安徽淮南·期中）43．检验括号内的未知数的值是否为方程的解．4583x x +=- （3x =，2x =）（21-22七年级上·陕西渭南·阶段练习）44．用方程表示下列语句所表示的相等关系：(1)七年级学生人数为n ，其中男生占45%，女生有110人；(2)一种商品每件的进价为a 元，售价为进价的1.1倍，现每件又降价10元，现售价为每件210元．（22-23六年级上·全国·单元测试）45．根据下列题干设未知数列方程，并判断它是不是一元一次方程．(1)一个数的3倍比它的2倍多10，求这个数．(2)从60cm 长的木条上截去2段同样长的木条还剩下10cm 长的短木条，截去的木条每段长多少?(3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40cm ，栽种后每周长高约15cm ，大约几周后树苗长高到1m ？（23-24七年级上·湖南怀化·期末）46．已知关于x 的方程()23120m m x n --+=是一元一次方程．(1)求m 的值；(2)已知：2x =是该一元一次方程的解，求n 的值．（23-24六年级上·山东威海·期末）47．已知()12530k k x k m --++=是关于x 的一元一次方程．(1)求k 的值；(2)若方程的解为12x =-，求此时m 的值．（2024七年级下·北京·专题练习）48．已知3x =-是关于x 的方程()3232k x x k ++=-的解．(1)求k 的值；(2)在（1）的条件下，已知线段6cm AB =，点C 是线段AB 上一点，且BC kAC =，若点D 是AC 的中点，求线段CD 的长．(3)在（2）的条件下，已知点A 所表示的数为2-，点B 所表示的数为4，有一动点P 从点A 开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q 从点B 开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有2PD QD =？【分析】本题考查的是方程的定义，根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：12x -不是等式，所以它不是方程；257+=是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程；10x -¹不是等式，所以它不是方程；2183312131013x x y x x a x+=-=+=+==，，，，都具备方程的两个条件，所以都是方程．故选：C ．2．C【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行分析即可．【详解】解：①92x +是代数式，不是方程，不合题意，②12x -<是不等式，不合题意，③(1)(1)3x x -+=，去括号为213x -=，未知数的次数是2，不合题意，④30x =是一元一次方程，符合题意，⑤153y -=是一元一次方程，符合题意；⑥111(3)352x x x -=-是一元一次方程，符合题意；故选：C 3．B【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．【详解】解：∵关于x 的方程||(1)23m m x m --=是一元一次方程，101m m -¹ìï\í=ïî①②，由①得1m ¹，由②得1m =±，综上，1m =-．故选：B ．【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，使方程左右两边相等的未知数的值即为方程的解，把2x =代入各个选项中，比较方程左右两边的值，即可作答．【详解】解：A 、把2x =代入，则6264224x -+=-+=´=，，左右两边相等，故该选项是正确的；B 、把2x =代入，则()()421422121x --=-´-=¹，左右两边不相等，故该选项是错误的；C 、把2x =代入，则3232243x -=´-=¹，左右两边不相等，故该选项是错误的；D 、把2x =代入，则121202´+=¹，左右两边不相等，故该选项是错误的；故选：A 5．A【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键．根据方程的定义求解即可．【详解】解：①33152´+=´中不含有未知数，不是方程；②()220y -³不是等式，不是方程；③315x y +=、④17142x x -=+符合方程的定义；⑤x y z ++是代数式，不是等式，不是方程；综上，方程有2个．故本题选：A ．6．A【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键．含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可．【详解】解：方程有： 2.430x x +=，1.570m =，共2个，故选：A ．7．C【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答．【详解】解：21m n +=，0y =，2320x x -+=，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程．32x -不是等式，因而不是方程．+=+a b b a （a ，b 为已知数）不含未知数，所以不是方程．故有3个式子是方程．故选：C ．8．C【分析】本题考查方程的定义，根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可。

吉林省白山市八道江区2024-2025学年数学四年级第一学期期末经典模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、认真思考，巧填空。

（每题2分，共22分）1．平行四边形是由________条线段围成的，它的四个角一般都不是________。

2．我爱祖国我爱祖国我爱祖国……这样依次排列下去，第50个字是（________），前50个字里面一共有（________）个“爱”字。

3．小红家在小明家西偏南25°方向上，距离10km，那么小明家在小红家_____方向上，距离_____km．4．一个数由21个亿，307个万和4300个一组成，写作（________），读作（________）。

5．把下面数，用四舍五入的方法精确到亿位．2378400000≈________6．煮熟一个饺子用10分钟，同时煮熟8个饺子要用_____分钟．7．组数：由32个一，42个千万，10个千组成的数是（________）。

8．在下面的括号中填入适当的单位。

教室的面积约63（_________）；一盒牛奶约重980（________）9．（）÷70＝23……（）中，余数最大是（________），这时被除数是（________）。

10．要使□46÷59 的商是两位数，□里最小填（______），最大填（________）。

11．在49□785≈50万中，□里填最小可以填（_______）。

二、仔细推敲，巧判断。

（正确的打√，错误的打×。

每题2分，共16分）12．-4℃比-8℃低4℃．（______）13．最小的自然数是0，没有最大的自然数．（________）14．最大的五位数比最小的六位数少1。

3.1列代数式表示数量关系（第1课时）教学目标1．经历用含有字母的式子表示数量和数量关系的过程，了解代数式的定义，会根据简单问题中的数量关系列代数式．2．感受用字母代替数的意义，掌握代数式的书写方法．3．知道具体代数式的意义，会举例说明代数式所表示的实际问题中的数量关系．教学重点1．会列代数式表示数量关系，并掌握代数式的书写方法．2．知道具体代数式的意义．教学难点会举例说明代数式所表示的实际问题中的数量关系．教学过程知识回顾【问题】在小学，我们学过用字母表示数，知道可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系．请你用字母表示下列运算律．运算律字母表示加法交换律a＋b＝b＋a加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)乘法交换律a×b＝b×a乘法结合律(a×b)×c＝a×(b×c)分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c【师生活动】学生回答，教师补充说明在实际问题中也常常用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，并提出问题：你能举出例子吗？【设计意图】使学生了解用字母或含有字母的式子表示数和数量关系的情形． 新知探究一、探究学习【引例】智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人可以平均每秒完成5m 2范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均8 s 可以采摘一个苹果，根据这些数据回答下列问题：（1）该机器人10 s 能识别多大范围内的苹果？60 s 呢？t s 呢？（2）该机器人识别n m 2范围内的苹果需要多少秒？（3）若该机器人搭载了m 个机械手（m >1），它与采摘工人同时工作1 h ，已知工人平均5 s 可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？【师生活动】教师提示：对于问题（1），让我们求的是工作量，那么工作量、工作效率和工作时间之间有怎样的数量关系呢？学生回答：工作量＝工作效率×工作时间．教师提问：根据这个数量关系，你能得出问题（1）的答案吗？学生回答，教师判断正误，并指出书写含有字母的式子的方法．教师提问：对于问题（2），你得出的答案是什么？学生回答，教师判断正误，并提醒学生：在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写．教师提问：对于问题（3），让我们求的是工作量之差，而工作量＝工作效率×工作时间，工作时间很明显是1 h ，你能分别得到机器人和工人的工作效率吗？学生回答，教师评价，然后让学生据此求出问题（3）的答案．【答案】（1）该机器人10 s 能识别的范围（单位：m 2）是5×10＝50；60 s 能识别的范围（单位：m 2）是5×60＝300；t s 能识别的范围（单位：m 2）是5×t ＝5t ．（2）该机器人识别 n m 2 范围内的苹果需要的时间是5n 秒. （3）机器人多采摘的苹果个数＝机器人采摘的苹果个数－工人采摘的苹果个数＝一个机械手的采摘效率×工作时间×机械手的个数－工人的采摘效率×工作时间＝18×3 600×m －15×3 600 ＝4 50m －720．【新知】在含有字母的式子中，如果出现乘号，通常将数放在字母前，乘号写作“·”或省略不写．例如，5×t 可以写成5·t 或5t ．【设计意图】通过这个引例，①让学生尝试用字母或含有字母的式子表示数和数量关系；②让学生初步了解代数式的书写方法；③让学生感受在实际问题中也可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，发展通过列代数式解决问题的意识．【问题】用含有字母的式子表示下列问题中的数量和数量关系．（1）某工程队负责铺设一条长2 km 的地下管道，经过d 天完成，用式子表示这支工程队平均每天铺设的管道长度．（2）一个正方形的边长是a ，这个正方形的周长l 是多少？面积S 呢?【师生活动】学生回答，教师纠正，并给出正确答案.【答案】（1）平均每天铺设的管道长度=铺设的管道总长度÷工作天数．因此，这支工程队平均每天铺设的管道长度是2dkm ． （2）由正方形的周长及面积公式，可得周长l ＝4a ，面积S ＝a 2．【问题】观察前面列出的式子5t ，5n ，450m -720，2d，4a ，a 2，它们有什么共同点？ 【师生活动】学生观察思考后回答，教师总结并给出代数式的定义．【新知】它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．单独的一个数或字母也是代数式．例如，5，t 都是代数式．二、典例精讲【例1】（1）苹果原价是p 元/kg ，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价；（2）一个长方形的长是0.9 m ，宽是p m ，用代数式表示这个长方形的面积；（3）某产品前年的产量是n 件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代数式表示去年的产量；（4）一个长方体水池底面的长和宽都是a m ，高是h m ，池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积．【师生活动】学生尝试独立解答，派出学生代表回答．【答案】解：（1）苹果的售价是0.9p 元/kg ；（2）这个长方形的面积是0.9p m 2；（3）去年的产量是(2n －10)件；（4）由长方体的体积＝长×宽×高，得这个长方体水池的容积是a·a·h m3，即a2h m3，故池内水的体积为13a2·h m3．【师生活动】教师提示：观察（1）（2）的结果可以发现，用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．教师提问：在前面的问题中我们得到下面两个结果：①船在这条河中顺水行驶的速度是(v＋2.5) km/h；②去年的产量是(2n－10)件．这两个结果的书写特点是什么？学生回答，教师总结：在实际问题中含有单位时，如果最后运算结果是和或差的形式，那么要把整个代数式括起来再写单位．教师提问：结合前面的学习，请你总结出书写代数式时应注意什么．学生回答，教师补充．【设计意图】让学生掌握根据简单的实际问题列代数式的方法，并进一步总结与巩固代数式的书写方法．【例2】说出下列代数式的意义：（1）2a＋3；（2）2(a＋3)；（3）cab；（4）x2＋2x＋8．【师生活动】教师提问，派出学生代表回答．【答案】解：（1）2a＋3的意义是a的2倍与3的和；（2）2(a＋3)的意义是a与3的和的2倍；（3）cab的意义是c除以a，b的积的商；（4）x2＋2x＋8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和．【师生活动】教师提问：举例说明2a＋3，2(a＋3)所表示的实际问题中的数量关系．学生思考，并派出学生代表回答．教师评价．【设计意图】让学生理解代数式的意义，并能应用到实际情境中去，提高学生的应用意识，提高学生学以致用的能力．三、拓展提升【数学活动】拼图小游戏【问题】（1）如图，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有2，3或4个三角形，需要多少根火柴棍？如果图形中含有n个三角形，需要多少根火柴棍？【师生活动】教师提问，让学生分别说出当三角形个数为1~4时所需的火柴棍根数．学生根据刚才所回答的数据探索规律，思考当拼成n个三角形时，所需要的火柴棍根数应该如何表示．多请几位同学回答自己发现的规律．【答案】方法1：第一个三角形用火柴棍3根，后面每增加一个三角形火柴棍就增加2根，那么搭n个这样的三角形需要火柴棍[3＋2(n－1)]根．方法2：将第一根火柴棍摘出来，后面每增加一个三角形火柴棍就增加2根，那么搭n 个这样的三角形需要火柴棍(1＋2n)根．……学生各抒己见，合理即可．【设计意图】通过题目，让学生感受在探索规律时也可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，发展通过列代数式解决问题的意识．【问题】（2）如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1 个正方形需要 4 个小正方形，拼第2 个正方形需要9 个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第（n－1）个正方形多几个小正方形？【师生活动】教师出示表格，让学生回答拼第1~4个正方形时所需的小正方形个数．学生根据刚才回答的数据探索规律，思考按照这样的方法拼成的第n个正方形比第（n－1）个正方形多几个小正方形？请有不同想法的同学说说自己发现的规律．【答案】方法1：观察图形发现，第1个正方形有22=4个小正方形，第2个正方形有32=9个小正方形，第3个正方形有42=16个小正方形．依此类推，第n个正方形有（n+1）2个小正方形，第（n-1）个正方形有n2个小正方形．所以第n个正方形比第（n－1）个正方形多（n+1）2－n2＝2n+1个小正方形．方法2：观察图形发现，第2个正方形比第一个正方形多了（3+2）个小正方形，第3个正方形比第2个正方形多了（4+3）个小正方形……依此推理可知，第n个正方形比第（n-1）个正方形多了（n+1+n）个小正方形，即2n+1个．……学生各抒己见，合理即可．【设计意图】进一步锻炼学生用字母或含有字母的式子表示规律的能力，发展通过列代数式解决问题的意识．课堂小结板书设计一、代数式的定义二、列代数式三、代数式的意义课后任务完成教材P71练习1～3题．教学反思_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________。

3.2.4二面角及其度量一、选择题1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不能确定[答案] C[解析] 二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等，当方向不同时，两个二面角大小互补．2．已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D 、E 分别是点A 在PC 、PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A —PC —B 的平面角B ．∠AED 是二面角A —PB —C 的平面角C ．∠DAE 是二面角B —P A —C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A —PC —B 的平面角[答案] B[解析] 由二面角定义及三垂线定理知选B.3．如图所示，M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB于E ，现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的大小为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．180°[答案] B[解析] 建系如图所示，由题意知△ABE 为等腰直角三角形，设CD ＝1，则BE ＝1，AB ＝1，AE ＝2，设BC ＝DE ＝2a ，则E (0,0,0)，A (1,0,1)，N (1，a,0)，D (0,2a,0)，M (12，a ，12)，所以MN →＝(12，0，－12)，AE →＝(－1,0，－1)，所以MN →·AE →＝(12，0，－12)·(－1,0，－1)＝0.故AE →⊥MN →，从而MN 与AE 所成的角为90°.4．如图所示，在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC ，沿AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 两点间距离为12a ，则二面角B －AD －C 的大小为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° [答案] C5．将正方形ABCD 沿对角线折成直二面角，则二面角A —BC —D 的平面角的余弦值是( )A.12B.22C.33D.55 [答案] C6．正四棱锥P —ABCD 的两相对侧面P AB 与PCD 互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的大小为( ) A.π4B.π3C.π2D.2π3[答案] D7．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A —BD —P 的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°[答案] A8．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且PA ⊥面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C —BF —D 的正切值为( )A.36 B.34 C.33 D.233 [答案] D[解析] 如右图所示，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O —xyz ，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D (－32，0,0)，结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB →＝(32，0，－12)，可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277， ∴tan 〈n ，OC →〉＝233. 9．已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别沿DE 、CE 折起，使AE 与BE 重合，A 、B 两点重合后记为点P ，那么二面角P －CD －E 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] A[解析] 取CD 中点F ，由二面角定义知∠PFE 为其平面角，设PE ＝a ，则EF ＝2a ，∴sin θ＝a 2a ＝12， ∴二面角P —CD —E 为30°.10．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12即〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.二、填空题11．如图所示，将边长为a 的正三角形ABC ，沿BC 边上的高线AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 间距离为a 2，则二面角B —AD —C 的大小为________．[答案] 60°12．若P 是△ABC 所在平面外一点，且△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，PA ＝6，那么二面角P —BC —A 的大小为________．[答案] 90°13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 和截面C 1BD 所成的二面角大小的余弦值为________．[答案] 1314．在正方体AC 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，若截面EFDB 与侧面BCC 1B 1所成的锐二面角为θ，则cos θ＝________.[答案] 23三、解答题15．如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3.点E 在棱P A 上，且PE＝2EA .求二面角A —BE —D 的大小．[解析] 以B 为原点，以BC 、BA 、BP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设平面EBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)，因为BE →＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BE →＝0n 1·BD →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋1＝0，3x ＋3y ＝0. 所以⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝－12.于是n 1＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1.又因为平面ABE 的一个法向量为n 2＝(1,0,0)， 所以，cos 〈n 1，n 2〉＝16＝66. 所以，二面角A —BE —D 的大小为arccos66. 16．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是棱CC 1上的一点，CP＝m ，试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为33819.[解析] 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ，则A (1,0,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)．∴AP →＝(－1,1，m )，AC →＝(－1,1,0)，又AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0， ∴AC →是平面BDD 1B 1的一个法向量．设AP 与平面BDD 1B 1所成的角为θ，则sin θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22×2＋m 2＝33819，∴m ＝13. 17．(2009·上海)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，求二面角B 1－A 1C －C 1的大小．[解析] 如图，建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)，设AC 的中点为M ，∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴BM ⊥平面A 1C 1C ，即BM →＝(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )，A 1C →＝(－2,2，－2)，A 1B 1→＝(－2,0,0)，∴n ·A 1B 1→＝－2x ＝0，n ·A 1C →＝－2x ＋2y －2z ＝0，令z ＝1，解得x ＝0，y ＝1. ∴n ＝(0,1,1)，设法向量n 与BM →的夹角为φ，二面角B 1－A 1C －C 1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cos θ＝|cos φ|＝|n ·BM →||n |·|BM →|＝12，解得θ＝π3， ∴二面角B 1－A 1C －C 1的大小为π3. 18．(2007·陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，P A ＝4，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)求二面角A —PC —D 的大小．[解析] (1)如图，建立坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,4)，∴AP →＝(0,0,4)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0)，∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .(2)设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y,1)，则CD →·n ＝0，PD →·n ＝0，又CD →＝(－23，－4,0)，PD →＝(0,2，－4)，∴⎩⎨⎧ －23x －4y ＝0，2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－433，y ＝2，∴n ＝⎝⎛⎭⎫－433，2，1 平面PAC 的法向量取为m ＝BD →＝(－23，2,0)，则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝39331. ∴二面角A —PC —D 的大小为arccos 39331.。

专题3 解决问题的策略（数与代数）1、用列表法整理题中的信息。

在用列表的方法收集，整理信息时，假如信息很多很简单，而且在列表时所求的问题也没有表示出来，需要依据问题选择相关信息列表整理，从问题想起，或从条件想起分析数量关系，找到解题思路，然后确定解决问题的方法。

2、用列表法解决求一个部重量的实际问题。

解决实际问题时，假如问题的已知条件比较多，在已知条件和所求问题的关系不够清楚的状况下，用列表的方式收集整理信息，并依据表格从已知条件想起，或从所求问题想起，分析数量关系，弄清应先求什么，从而解决实际问题。

一、选择题1．（2022上·河南洛阳·四班级统考期末）洛洛给宁宁6支铅笔后，两人的铅笔数量相A．兔子－小狗；羚羊－小鹿；狮子－猎豹B．兔子－小鹿；羚羊－小狗；狮子－猎豹C．兔子－猎豹；羚羊－小狗；狮子－小鹿5．（2022上·江苏南京·四班级统考期中）3头奶牛2天一共产奶216千克，每头奶牛2天产奶多少千克？算式是（）。

A．216÷2 B．216÷3 C．216÷2÷36．（2022上·江苏泰州·四班级统考期末）陈叔叔从家到单位去上班。

假如每分钟走60米，就要迟到2分钟；假如每分钟走80米，就可以早到3分钟。

陈叔叔家到单位共有（）米。

A．1440 B．1200 C．2400二、填空题7．（2023上·四班级单元测试）甲、乙两桶水共重100千克，假如从甲桶倒出15千克水从表中知道，该水库平均每小时下降( )厘米，照这样计算，从6：00起，下降到正常水位131厘米还要( )小时。

11．（2022上·江苏扬州·四班级统考期末）阳阳练习书法时5分钟写150个字，照这样计算，他8分钟能写( )个字；练习450个字，需要( )分钟。

12．（2023上·江苏徐州·四班级统考期末）用一个杯子向空水壶里倒水，假如倒进2杯水，连壶重550克；假如倒进4杯水，连壶重1000克。

专题11.5多边形-重难点题型【人教版】【知识点1多边形的概念】平面内，由一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫做多边形.【题型1多边形的概念】【例1】（2020秋•太康县期末）下列图形中，多边形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据多边形的定义：平面内不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．【解答】解：由多边形的概念可知第四个、第五个是多边形共2个．故选：B．【点评】本题考查了认识平面图形．注意，多边形是由3条或3条以上的线段首尾顺次连接而成的图形，故多边形中没有曲线．【变式1-1】如图所示的图形中，属于多边形的有个．【分析】根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．显然只有第一个、第二个、第五个．【解答】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个，共有3个．故答案是：3．【点评】本题主要考查了多边形的定义，理解多边形的定义，根据定义进行正确判断．【变式1-2】如图，下列图形是多边形的有（填序号）．【分析】根据多边形的定义，可得答案．【解答】解：下列图形是多边形的有③④，故答案为：③④．【点评】本题考查了多边形，各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，一个n边形（n＞3）有n 条边，n个内角，oK3)2条对角线．【变式1-3】如图，图中有个四边形．【分析】在平面内，由4条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形，然后再依次数出四边形的个数即可．【解答】解：四边形ABMS，四边形SMNZ，四边形ZNHY，四边形ABNZ，四边形SMHY，四边形ABHY，四边形ACDS，四边形BCDM，四边形LSZP，四边形LPNM，四边形LPED，四边形MNDE，四边形SZED，四边形ZVFE，四边形NHFE，四边形BCNE，四边形MDFH，共17个，故答案为：17．【点评】此题主要考查了多边形，关键是在数数的过程中，要细心，做到不重不漏．【知识点2多边形的不稳定性】多边形具有不稳定性.【题型2多边形的不稳定性】【例2】（2020秋•德州校级月考）要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线．A．1B．2C．3D．4【分析】根据三角形具有稳定性，过一个顶点作出所有对角线即可得解．【解答】解：如图需至少添加2条对角线．故选：B．【点评】本题考查了三角形具有稳定性的应用，作出图形更形象直观．【变式2-1】（2020春•费县期末）下列图形中具有稳定性有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．【解答】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然（2）、（4）、（5）三个．故选B．【点评】注意根据三角形的稳定性进行判断．【变式2-2】（2020春•浦东新区校级月考）以线段a＝7，b＝8，c＝9，d＝10为边作四边形，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【分析】根据四边形具有不稳定性，可知四条线段组成的四边形可有无数种变化．【解答】解：四条线段组成的四边形可有无数种变化．故选：D．【点评】本题主要考查四边形的不稳定性，理清题意，熟记四边形的不稳定性是解答本题的关键．【变式2-3】如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个n 边形（n≥4）木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？【分析】从一个多边形的一个顶点出发，能做（n﹣3）条对角线，把三角形分成（n﹣2）个三角形．【解答】解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；要使一个n边形木架不变形，至少再钉上（n﹣3）根木条．【点评】本题考查了多边形以及三角形的稳定性；掌握从一个顶点把多边形分成三角形的对角线条数是n﹣3．【题型3多边形的截角问题】【例3】（2020秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（）A．14或15B．13或14C．13或14或15D．14或15或16【分析】根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．【解答】解：如图，n边形，A1A2A3…A n，若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15，故选：C．【点评】考查多边形的意义，根据截线的不同位置得出不同的答案，是解决问题的关键．【变式3-1】（2020秋•海淀区期末）如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五边形的周长（填：大或小），理由为．【分析】利用“两点之间，线段最短”可以得出结论．【解答】解：将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五边形的周长小，理由是两点之间，线段最短．故答案为：小；两点之间，线段最短．【点评】本题主要考查了多边形，熟知“两点之间，线段最短”是解答本题的关键．【变式3-2】（2020春•文登区期末）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．5B．6C．7D．8【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．故选：D．【点评】此题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．【变式3-3】（2020秋•肇源县期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16B．17C．18D．19【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．【解答】解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．故选：A．【点评】此题主要考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．【题型4多边形的对角线】【例4】分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：．（2）从十五边形的一个顶点可以引出条对角线，十五边形共有条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．【分析】（1）根据多边形对角线的条数的公式即可求解；（2）根据多边形对角线的条数的公式代值计算即可求解；（3）根据等量关系：一个多边形对角线的条数与它的边数相等，列出方程计算即可求解．【解答】解：如图所示：（1）用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=12n（n﹣3）；（2）十五边形从一个顶点可引出对角线：15﹣3＝12（条），共有对角线：12×15×（15﹣3）＝90（条）；（3）设多边形有n条边，则12n（n﹣3）＝n，解得n＝5或n＝0（应舍去）．故这个多边形的边数是5．故答案为：S=12n（n﹣3）；12，90．【点评】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．【变式4-1】（2020春•杜尔伯特县期末）一个边数为2n的多边形内所有对角线的条数是边数为n的多边形内所有对角线条数的6倍，求这两个多边形的边数．【分析】根据多边形的对角线公式12n（n﹣3）进行计算即可得解．【解答】解：依题意有12×2n（2n﹣3）＝6×12n（n﹣3），解得n＝6，2n＝12．故这两个多边形的边数是6，12．【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记对角线公式是解题的关键．【变式4-2】（2020春•福清市校级期末）阅读下列内容，并答题：我们知道计算n边形的对角线条数公式为oK3)2，如果有一个n边形的对角线一共有20条，则可以得到方程oK3)2=20，去分母得n（n﹣3）＝40；∵n为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，∴满足积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程n（n﹣3）＝40的整数n＝8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；（2）A同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条．”你认为A同学说地正确吗？为什么？【分析】（1）由题意得oK3)2=14，进而可得n（n﹣3）＝28，然后再找出满足积为28且相差3的因数即可；（2）由题意得oK3)2=30，进而可得n（n﹣3）＝60，然后再找出满足积为60且相差3的因数，发现没有这样的两个数，因此A同学说法是不正确的．【解答】（1）解：方程oK3)2=14，去分母得：n（n﹣3）＝28；∵n为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，∴满足积为28且相差3的因数只有7和4，符合方程的整数n＝7，即多边形是七边形．（2）解：A同学说法是不正确的，∵方程oK3)2=30，去分母得n（n﹣3）＝60；符合方程n（n﹣3）＝60的正整数n不存在，即多边形的对角线不可能有30条．【点评】此题主要考查了多边形的对角线，关键是正确理解题意，掌握n边形的对角线条数公式为oK3)2．【变式4-3】（2020秋•东湖区校级月考）如图，先研究下面三角形、四边形、五边形、六边形…多边形的边数n及其对角线条数t的关系，再完成下面问题：（1）若一个多边形是七边形，它的对角线条数为，n边形的对角线条数为t＝（用n表示）．（2）求正好65条对角线的多边形是几边形．【分析】（1）根据图形用类比方法求解即可．（2）根据多边形有65条对角线，列出方程求解即可．【解答】解：（1）若一个多边形是七边形，它的对角线条数为7×(7−3)2=14，n边形的对角线条数为t=oK3)2（用n表示）．（2）设正好65条对角线的多边形是x边形，依题意有oK3)2=65，解得x1＝13，x2＝﹣10．故正好65条对角线的多边形是13边形．故答案为：14，oK3)2．【点评】考查了多边形的对角线，本题需注意：重复一次要想算出准确结果，重复的结果应除以2．【知识点4正多边形的概念】各个角都相等,各条边都相等的多边形，叫做正多边形.【题型5正多边形的概念】【例5】下列图形为正多边形的是（）A．B．C．D．【分析】根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，故选：D．【点评】此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．【变式5-1】如图，若集合A表示四边形，集合B表示正多边形，则阴影部分表示．【分析】直接利用多边形的定义分析得出答案．【解答】解：由题意可得：四边形中正多边形只有正方形．故答案为：正方形．【点评】此题主要考查了多边形，正确把握相关定义是解题关键．【变式5-2】如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【分析】第1个图形是2×3﹣3，第2个图形是3×4﹣4，第3个图形是4×5﹣5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n2+2n．【解答】解：第一个是1×3，第二个是2×4，第三个是3×5，…第n个是n•（n+2）＝n2+2n故答案为：n2+2n．【点评】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去．【变式5-3】如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为．【分析】①边数是12＝3×4，②边数是20＝4×5，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．【解答】解：∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12＝3×4，②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20＝4×5，③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30＝5×6，④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42＝6×7，∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．故答案为：n（n+1）．【点评】首先要正确数出这几个图形的边数，从中找到规律，进一步推广．正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．【题型6多边形的计算】【例6】如下图，多边形任意相邻两边互相垂直，则这个多边形的周长为．【分析】观察图形，可以把水平的线段平移到下边计算，把铅垂的线段平移到一起整体计算．它的周长＝2m+2n．【解答】解：这个多边形的周长为2m+2n．【点评】此题只需把线段进行平移，水平线即是2n，铅垂线即是2m．【变式6-1】（2020秋•日照期末）已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63．求（n﹣m）t的值．【分析】根据题意，由多边形的性质，分析可得答案．【解答】解：依题意有n＝4+3＝7，m＝6+2＝8，t＝63÷7＝9则（n﹣m）t＝（7﹣8）9＝﹣1．【点评】本题考查正多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n﹣3）条对角线，一共有oK3)2条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．这些规律需要学生牢记．【变式6-2】一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．（1）写出表示第四条边长的式子；（2）当a＝7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？【分析】（1）根据题意分别运用代数式表示其它各边，再根据周长进行计算；（2）注意根据（1）中的式子代入进行计算分析．【解答】解：（1）根据题意得：第二条边是3a﹣5，第三条边是a+3a﹣5＝4a﹣5，则第四条边是46﹣a﹣（3a﹣5）﹣（4a﹣5）＝56﹣8a．答：第四条边长的式子是56﹣8a．（2）当a＝7cm时不是四边形，因为此时第四边56﹣8a＝0，只剩下三条边，三边长为：a＝7cm，3a﹣5＝16cm，4a﹣5＝23，由于7+16＝23，所以，图形是线段．答：当a＝7cm不能得到四边形，此时的图形是线段．【点评】首先根据第一条边长表示出第二条边，然后表示出第三条边，最后根据周长表示出第四条边．其中要注意合并同类项法则．（2）中，只需根据（1）中所求的代数式，把字母的值代入计算，然后进行分析图形的形状．【变式6-3】已知正n边形的周长为60，边长为a（1）当n＝3时，请直接写出a的值；（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．【分析】（1）边长＝周长÷边数；（2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值．【解答】解：（1）a＝20；（2）此说法不正确．理由如下：尽管当n＝3、20、120时，a＞b或a＜b，但可令a＝b，得60=60+7r7，即60=67r7．∴60n+420＝67n，解得n＝60，经检验n＝60是方程的根．∴当n＝60时，a＝b，即不符合这一说法的n的值为60．【点评】读懂题意，找到相应量的等量关系是解决问题的关键．。

2024年七年级数学（新版）专题《相反数》【学习目标】1．理解相反数的概念；2．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；3.掌握多重符号的化简;4.通过数形结合思想数轴上表示一个数的相反数.【要点梳理】要点一、相反数概念1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.（或若两个有理数a、b 的和为0，则这两个数互为相反数，即a+b=0,则a、b 互为相反数）。

特别说明：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.要点二、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4.特别说明：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.【典型例题】【知识点一】相反数的定义例1．判断下列说法是否正确：（1）3-是相反数；（2）3+是相反数；（3）3是3-的相反数；（4）3-与3+互为相反数．【答案】（1）不正确；（2）不正确；（3）正确；（4）正确．【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可判断．解：相反数是针对两个数来定义的，故(1)、(2)均错误；3是-3的相反数，(3)正确；-3与+3互为相反数，(4)正确；故答案为：(1)不正确；(2)不正确；(3)正确；(4)正确．【点拨】本题考查相反数的定义，属于基本概念题，熟练掌握相反数的定义是解决本题的关键．举一反三.【变式1】求出下列各数，并在数轴上把它们表示出来：（1）3的相反数；（2）2-的相反数；（3）112-的相反数的相反数；（4）0的相反数．【答案】（1）3-，在数轴上表示见分析；（2）2，在数轴上表示见分析；（3）112-，在数轴上表示见分析；（4）0，在数轴上表示见分析．【分析】各小题先根据相反数的概念分别求出相反数，再画出数轴．解：（1）3的相反数为-3；数-3在数轴上表示为：（2）-2的相反数为2；数2在数轴上表示为：（3）112-的相反数的相反数为112-，；数112-在数轴上表示为：（4）0的相反数为0；数0在数轴上表示为：【点评】本题考查了相反数的概念和数轴，熟记相反数的概念是解题的关键．【变式2】如图所示，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示－4，点G表示8(1)点D表示的有理数是______；表示原点的是点_______．(2)与点B表示的有理数互为相反数的点是________．(3)图中的数轴上另有点M到点A、点G距离之和为14，则这样的点M表示的有理数是_______．【答案】(1)2，C；(2)D；(3)-5或9．【分析】（1）求出数轴上A G、两点的距离，再根据相邻两点之间的距离都相等，且A与G之间间隔为6段，即可求出每段的长度，由此即可求出D点表示的有理数和表示原点的点；（2）由B点与A点间隔为1段，即可求出B点表示的有理数，从而可求出它的相反数的值，进而即可得到与点B表示的有理数互为相反数的点；（3）设M表示的数是x，则分类讨论①当M在A的左边时；②由1214AB=<，M不可能在A、G之间；③当M在G的右侧时，再根据数轴上两点的距离的求法，可列出关于x的等式，求出x即可．解：(1)∵A表示－4，点G表示8，AG=--=．∴8(4)12∵相邻两点之间的距离都相等，A与G之间间隔为6段，∴相邻两点之间的距离为1262÷=．∵D点与A点间隔为3段，=-+⨯=．∴D点表示的有理数是4232-+⨯=，∵4220∴表示原点的点与A点间隔为2段，∴表示原点的是点C；故答案为：2，C．(2)∵B点与A点间隔为1段，∴B点表示的有理数是4212=-+⨯=-．∵-2的相反数是2，-+⨯=，又∵4232∴与点B表示的有理数互为相反数的点与A点的间隔为3段，∴与点B表示的有理数互为相反数的点为D点；故答案为：D ．(3)设M 表示的数是x ，分类讨论①当M 在A 的左边时，有()4814x x --+-=，解得：5x =-；②∵1214AB =<，∴M 不可能在A 、G 之间．③当M 在G 的右侧时，有()()4814x x ++-=，解得：9x =；综上，可知M 点表示-5或9．故答案为：-5或9．【点拨】本题考查了数轴上的点与有理数的关系问题，相反数．建立分类讨论的数学思想是解题关键．【知识点二】判断是否互为相反数例2.有理数：13-，2-，12-，2（1）将上面各数在数轴上表示出来，并把这些数用“＜“连接．（2）在上面的数中是否有相反数？若有，请写出来．【答案】（1）作图见分析，112223-<-<-<；（2）有相反数，2-、2互为相反数【分析】（1）根据数轴的性质作图，即可得到答案；（2）根据数轴和相反数的性质分析，即可得到答案．解：（1）数轴表示如下：112223-<-<-<；（2）根据（1）的结论，得2-、2到原点的距离相等，符号相反∴2-、2互为相反数．【点拨】本题考查了有理数的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、有理数大小比较、相反数的性质，从而完成求解．举一反三.【变式1】用尺子画出数轴并回答：（1）把下列各数表示在数轴上：11,0,2,4,2.52--；（2）上述数中互为相反数的一组数是，它们之间有个单位长度，它们关于对称．【答案】（1）见分析；（2）122-与2.5；5；原点【分析】（1）先画出数轴，注意数轴的三要素，再根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数即可；（2）根据相反数的定义，绝对值相同，符号不同的两个数互为相反数；互为相反数的两个数到原点的距离相等，再利用数轴上两点之间的距离，求出两数之间的距离即可．解：（1）如图所示，；（2）结合数轴，根据相反数的定义可知，数122-与数2.5互为相反数；两点之间的距离为5；它们关于原点对称，故答案为：122-与2.5；5；原点．【点拨】本题考查了在数轴上表示数的方法，数轴的特征，相反数的定义等知识，此为基础知识，要熟练掌握．【变式2】在数轴上把下列各数表示出来：|－3.5|、－3.5、0、2、－0.5、－213、12、73，并按从小到大的顺序用“＜”号连接起来，再找出哪些数互为相反数．【答案】见分析，－3.5＜－213＜－0.5＜0＜12＜2＜73＜|－3.5|【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”号连接起来；最后找出哪些数互为相反数即可．解：|－3.5|=3.5，﹣3.5＜﹣213＜﹣0.5＜0＜12＜2＜73＜3.5，﹣3.5与3.5，﹣0.5与12互为相反数．【点拨】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．【知识点三】化简多重符号例3.填空：①+（﹣2）＝_____；②﹣（﹣317）＝_____；③﹣（+4.3）＝_____；④+（+5.2）＝_____；⑤﹣[﹣（﹣213）]＝_____；⑥﹣[﹣（+1）]＝_____．观察以上结果，总结以下规律：正数的相反数是_____，负数的相反数是_____，一个数的相反数的相反数是_____．【答案】①-2；②137；③-4.3；④5.2；⑤123-；⑥1；负数；正数；这个数．【分析】根据相反数多重符号化简规则进行化简即可解：①+（﹣2）＝__-2___；②﹣（﹣317）＝_137____；③﹣（+4.3）＝_-4.3____；④+（+5.2）＝__5.2___；⑤﹣[﹣（﹣213）]＝_123-____；⑥﹣[﹣（+1）]＝_1____．观察以上结果，总结以下规律：正数的相反数是__负数___，负数的相反数是__正数___，一个数的相反数的相反数是__这个数___．故答案为：①-2；②137；③-4.3；④5.2；⑤123-；⑥1；负数；正数；这个数．【点拨】本题考查相反数的多重符号化简，掌握相反数的多重符号化简规则，一个数前面有多重符号，正号直接省略，负号看个数，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正是解题关键．举一反三.【变式1】﹣{﹣[+（﹣2 3）]}．【答案】﹣2 3．【分析】根据相反数符号化简即可得解．解：﹣{﹣[+（﹣23）]}．=+（﹣23），=﹣23．【点拨】本题考查相反数符号化简，掌握相反数的符号法则是解题关键．【变式2】若0a <，化简{[()]}a --+-，再确定它的符号．【答案】a -，符号为正【分析】直接利用去括号法则进而化简得出答案．解：{[()]}()a a a --+-=+-=-，因为0a <，则0a ->，即它的符号为正．【点拨】此题主要考查了相反数，正确掌握去括号法则是解题关键．【知识点四】相反数的应用例3.如图所示，已知A ，B ，C ，D 四个点在一条没有标明原点的数轴上．（1）若点A 和点C 表示的数互为相反数，则原点为；（2）若点B 和点D 表示的数互为相反数，则原点为；（3）若点A 和点D 表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O 的位置．【答案】（1）B ；（2）C ；（3）见分析【分析】（1）（2）根据相反数的定义可求原点；（3）根据相反数的定义可求原点，再在数轴上表示出原点O 的位置即可．解：（1）若点A 和点C 表示的数互为相反数，则原点为B ；（2）若点B 和点D 表示的数互为相反数，则原点为C ；（3）如图所示：故答案为：B ；C ．举一反三.【变式1】已知41a -与(14)a -+互为相反数，求a 的值.【答案】5【分析】根据互为相反数的两个数之和为0，得出方程，解出a 即可.解：由题意得()()41140⎡⎤-+-+=⎣⎦a a 化简得3150-=a 解得5a =所以a 的值为5.【点拨】本题考查相反数的性质，根据性质列出方程是关键.【变式2】已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示．（1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列；（2）若数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的数是多少？（3）在（2）的条件下，若数a与数b的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的数是多少？<-<<-；（2）-8；（3）4【答案】（1）数轴见分析，b a a b【分析】（1）根据相反数的定义作图，再根据数轴右边的数大于左边的数排列即可；（2）先得到b表示的点到原点的距离为8，然后根据数轴表示数的方法即可确定b表示的数；（3）先得到-b表示的点到原点的距离为8，再利用数a表示的点与数的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的点到原点的距离为4，然后根据数轴表示数的方法确定a 表示的数．解：（1）a，b的相反数的位置表示如图：<-<<-；∴b a a b（2）∵数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的点到原点的距离为8∴b表示的数是-8；（3）∵-b表示的点到原点的距离为8，而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距4个单位长度∴a表示的点到原点的距离为8-4=4∴a表示的数是4．【点拨】本题考查了相反数和数轴的应用，灵活应用相反数的定义和数形结合思想是解答本题的关键．。

1.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数的导函数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1.几个常用函数的导数2.1.导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)2.复合函数21.函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．反之，如果函数y＝f(x)在这个区间内单调递增，那么f′(x)≥0；如果函数y＝f(x)在这个区间内单调递减，那么f′(x)≤0.2．单调区间如果函数y＝f(x)在某个区间内单调递增，那么这个区间叫函数的单调递增区间；如果函数y＝f(x)在某个区间内单调递减，那么这个区间叫函数的单调递减区间．3．导数与函数图象的关系函数值增加得越来越快函数值增加得越来越慢f′(x)>0且越来越大f′(x)>0且越来越小函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢1.利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2．导数法判断和证明函数f(x)在区间(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在区间(a，b)内的符号(如果含有参数，则依据参数的取值讨论符号)；(3)得出结论：f′(x)>0时函数f(x)为增函数，f′(x)<0时函数f(x)为减函数．3．函数单调性与导数正负的关系“函数y＝f(x)在区间(a1.极小值点与极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．2．极大值点与极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，且f ′(b )＝0，在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则b 叫做极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．3．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点；(2)极大值与极小值统称为极值．4．求函数y ＝f (x )的极值的方法解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值.1.函数有最值的条件如果在闭区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值如果在闭区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值或最小值，若函数在(a ，b )上是可导的，该函数的最值必在区间端点处或极值点处取得．3．求可导函数在[a ，b ]上最值的步骤(1)求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的所有极值点；(2)计算函数y ＝f (x )在各极值点和函数值f (a )，f (b )的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.1.连续函数如果函数y ＝f (x )在某个区间I 上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数．温馨提示 连续函数是指在某区间上，而不是指在定义域上．如y ＝1x在定义域上不是连续函数，但在区间[1,2]上是连续函数． 2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．1.定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和s n ＝f (x 1)Δx ＋f (x 2)Δx ＋…＋f (x i )Δx ＋…＋f (x n )Δx ，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数．这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f(x)d x ，即⎠⎛a b f(x)d x ＝li m n →∞∑i ＝1nb －a n f(ξi )，这里，a 与b 分别叫作积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)d x 叫做被积式．2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎠⎛ab f(x)d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质(1)⎠⎛ab kf(x)d x ＝k ⎠⎛a b f(x)d x(k 为常数)． (2)⎠⎛ab [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝⎠⎛a b f 1(x)d x±⎠⎛a b f 2(x)d x. (3)⎠⎛a b f(x)d x ＝⎠⎛ac f(x)d x ＋⎠⎛cb f(x)d x(其中a<c<b). 1.微积分基本定理(1)定理内容：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼茨公式．(2)定理的符号表示：⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．2．常见的原函数与被积函数的关系①⎠⎛ab C d x ＝Cx b a (C 为常数)． ②⎠⎛a b x n d x ＝1n ＋1x n ＋1b a (n ≠－1)． ③⎠⎛a b sin x d x ＝－cos x b a. ④⎠⎛ab cos x d x ＝sin x b a . ⑤⎠⎛a b 1xd x ＝ln x b a (b >a >0)． ⑥⎠⎛ab e x d x ＝e x b a . ⑦⎠⎛ab a x d x ＝a x ln a b a (a >0且a ≠1)． ⑧⎠⎛a b x d x ＝23x 32b a(b >a >0).．1.1 合情推理 1.归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理． (2)特征：由部分到整体，由个别到一般．2．类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：由特殊到特殊的推理．3．合情推理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理．(2)推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想2．1.2 演绎推理1.演绎推理(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．2．三段论3.合情推理与演绎推理的主要区别：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理，从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．2．2.1 综合法和分析法1.综合法(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．(2)综合法的框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)(3)综合法的特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理实质上是寻找它的必要条件．2．分析法(1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．(2)分析法的框图表示(3)分析法的特点从“结论”看“已知”逐步推向“已知”，由果导因，其逐步推理的实质上是寻找它的充分条件.2．2.2 反证法1.反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.1.反证法的一般步骤是什么？提示：第一步，写出与命题结论q相矛盾的假设非q；第二步，由非q出发，应用正确的推理，得出矛盾；第三步，断定产生矛盾的原因在于所作的假设非q不成立，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题．2．反证法解题的实质是什么？提示：反证法实质是否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．由四种命题的相互关系可知，原命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，具有同真同假性，即等价性．根据这一结论，要证原命题“若p，则q”为真，可以改证逆否命题“若非q，则非p”为真，这种证明方法即为反证法．也就是说，若非q(即否定结论，假设结论的反面成立)，则非p(经过推理论证，得出与题设条件相矛盾的结论)，从而根据等价性原则，肯定原命题成立．3．用反证法证题需要把握哪些？提示：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．4．反证法适用范围主要有哪些方面？提示：一般地，以下几种情况宜用反证法：结论本身是以否定形式出现的命题，结论是以“至多”“至少”形式出现的命题，关于唯一性、存在性的问题，或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等．证明时常见的“结论词”与“反设词”2.3数学归纳法1.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以判断命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示3．应用数学归纳法要注意哪些方面？应用数学归纳法要注意以下几点：(1)第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的．(2)第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法．(3)n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可取其他一些正整数．(4)第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法．3．1.1 数系的扩充与复数概念1.复数(1)定义：把集合C＝{a＋b i|a，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．满足i2＝－1，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．2．复数集(1)定义：全体复数所成的集合叫做复数集．(2)表示：通常用大写字母C表示．3．两个复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定： a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d . 4．复数的分类(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎨⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：3．1.2 复数的几何意义1.复平面的定义如图所示，点Z 的横坐标为a ，纵坐标为b ，复数z ＝a ＋b i 可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面内的点Z (a ，b )及以原点为起点，点Z (a ，b )为终点的向量OZ →是一一对应的．3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义1.复数代数形式的加减法 (1)运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数(a ，b ∈R )，那么 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ， (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i. (2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1，②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，得OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应．故复数加法的几何意义是：复数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数． (2)复数减法的几何意义z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1→对应复数z 1－z 2.故复数减法的几何意义是：复数的减法可以按照向量的减法来进行，即复数z 1－z 2是从向量OZ 2→的终点指向向量OZ 1→的终点的向量Z 2Z 1→所对应的复数. 1.复数|z 1－z 2|的几何意义是什么？提示：表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1与Z 2间的距离．2．在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则(1)四边形OACB 是什么四边形？(2)若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则该四边形OACB 的形状是什么？ (3)若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 的形状是什么？(4)若|z 1|＝|z 2|，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 又是什么形状？ 提示：(1)平行四边形． (2)矩形． (3)菱形． (4)正方形．3.2.2 复数代数形式的乘除运算1.复数代数形式的乘法 (1)复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. (2)复数乘法的运算律对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有2.共轭复数的概念一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．z 的共轭复数用z －表示．若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i.3．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i.复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a ＋b i 型，则分子、分母同乘a －b i ；若分母为a －b i 型，则分子、分母同乘a ＋b i.4．共轭复数的性质有哪些？提示：(1)在复平面内，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z －⇔z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数．(3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．(4)①z ·z －＝|z |2＝|z －|2；②|z |＝|z －|；③z ＋z －＝2a ，z －z －＝2b i(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R )． 5．如何求虚数的平方根？提示：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，x ＋y i(x ，y ∈R )是z ＝a ＋b i 的平方根，则有(x ＋y i)2＝a ＋b i ，即x 2－y 2＋2xy i ＝a ＋b i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝a ，2xy ＝b ，解方程组求出x ，y 的值即可．1．1 计数原理第一课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、分类加法计数原理1．分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ＋n 种不同的方法．2．分类加法计数原理的推广：完成一件事有n 类不同的方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类方案中有m 2种不同的方法，……在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．二、分步乘法计数原理1．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法．2．分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，……做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．三、分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别1．分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事．2．分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.1．1计数原理第二课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系(1)联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．(2)区别：分类加法计数原理针对的是分类问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事．分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成之后才算做完这件事．2．应用两个计数原理解决计数问题的标准(1)分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数.1．2.1 排列第一课时排列与排列数公式1.排列的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．相同排列的两个条件(1)元素相同．(2)顺序相同．3．排列数与排列数公式第二课时排列的综合应用1.排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(n，m∈N*，m≤n)A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！(叫做n的阶乘)另外，我们规定0！＝1.2．排列应用题的最基本的解法(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列法．3．解简单的排列应用题的基本思想1.2.2 组合第一课时组合与组合数公式1.组合及组合数的定义(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．2．组合数公式及其性质1.2.2 组合第二课时 组合的综合应用1.组合的有关概念：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．组合数用符号C m n 表示，其公式为C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)·(n －2)…(n －m ＋1)m ！.(m ，n ∈N *，m ≤n )，特别地C 0n ＝C nn ＝1. 2．组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素． 不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关． 3．应用组合知识解决实际问题的四个步骤 (1)判断：判断实际问题是否是组合问题． (2)方法：选择利用直接法还是间接法解题．(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算． (4)结论：根据计算结果写出方案个数.1．3.1 二项式定理1.二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项．从左到右按照a 降幂，b 的升幂的顺序排列，a 、b 的次数和为n . (3)二项式系数：各项的系数C k n (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项公式(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k. 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质1.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn . 2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即C m n ＝C n －mn)． (2)增减性与最大值：当k <n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项取得最大值；当n 是奇数时，中间两项相等，同时取得最大值． (3)各二项式系数的和：①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 2．1.1 随机变量1.随机变量(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． 2．离散型随机变量(1)定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． (2)特征：①可用数值表示．②试验之前可以判断其出现的所有值． ③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出.2．1.2 离散型随机变量的分布列1.离散型随机变量的分布列(1)定义：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：这个表格称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为的分布列． 为了简单起见，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列． (2)性质：①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；② i ＝1np i ＝1.2．两点分布若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称＝P (X ＝1)为成功概率．3．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN，k ＝0,1,2，…，m ， 其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.2．2.1 条件概率1.条件概率的定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．2．条件概率的性质(1)任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P (B |A )≤1.(2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ).2．2.2 事件的相互独立性1.相互独立事件的定义和性质(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，那么称事件A 与事件B 相互独立．(2)性质：①如果A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立． ②如果A 与B 相互独立，那么P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )． 2．n 个事件相互独立对于n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n 个事件A 1，A 2，…，A n 相互独立．3．独立事件的概率公式(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)×P(B)；(2)若事件A1，A2，…，A n相互独立，则P(A1A2…A n)＝P(A1)×P(A2)×…×P(A n).2.2.3 独立重复试验与二项分布1.n次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．2．二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.2．3.1 离散型随机变量的均值1.离散型随机变量的均值(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝ax i＋b)＝P(X＝x i)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.2．两点分布和二项分布的均值(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .3．随机变量的均值与样本平均值的关系随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值.2.3.2 离散型随机变量的方差、标准差1.离散型随机变量的方差、标准差(1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝∑i ＝1n (x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小． 2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． 4．离散型随机变量方差的线性运算性质 设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X ).2．4正态分布1.正态曲线函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝⎠⎛abφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．正态分布在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997_4.(2)在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则.。

2023-2024学年四年级数学上册第六单元行程问题篇（解析版）编者的话：《2023-2024学年四年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题、专项练习、分层试卷三大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。

本专题是第六单元行程问题篇。

本部分内容是行程问题，包括普通行程问题、相遇问题、追及问题、火车过桥问题等等，考点和题型偏于应用，题目综合性稍强，建议作为核心内容进行讲解，一共划分为十四个考点，欢迎使用。

【知识总览】1.行程问题是小学数学中非常常见的类型题，一般包含三个基本量：（1）路程：一共行了多长的路，一般用米或千米作单位；（2）速度：每小时（或每分钟）行的路程，速度的单位常常是路程单位与时间单位的结合，例如：千米/时、米/分、米/秒等等；（3）时间：行了几小时（分钟）。

2.行程问题的基本数量关系：速度×时间=路程；路程÷速度=时间；路程÷时间=速度【考点一】速度的认识及意义。

【方法点拨】速度是指每小时（或每分钟）行的路程，速度的单位常常是路程单位与时间单位的结合，是一个复合单位，例如：千米/时、米/分、米/秒等等。

【典型例题1】一辆汽车的速度是55千米/时，表示( )，光传播的速度是300000千米/秒，表示( )。

解析：每小时行驶55千米；每秒传播300000千米【典型例题2】（1）一辆小轿车每小时行90千米，记作( )。

读作( )。

解析：90千米/时；90千米每时（2）声音在空气中传播的速度是每秒340米，可以写成( )。

解析：340米/秒（3）一个成年人正常步行的速度是每分钟90米，可写作( )。

小学一年级数学上册解决问题应用题专题训练一.解答题(共50题，共260分)1.树上的苹果可以怎样放？1. 2.3. 4.2.你能提出哪些数学问题?试着算一算。

3.猜一猜。

（1）这个数在3的后面，可能是几？还可能是几？（2）这个数在5的前面，有可能是几？（3）这个数在4的前面，而且在1的后面，可能是几？4.饲养场养了10只母鸡，小鸡比母鸡少养了4只。

小鸡养了几只？□○□=□（只）5.小白兔采了10个，小灰兔采了3个。

问：小灰兔再采多少个，它们两个的就一样多?6.同学们排队做课间操，笑笑前面有2个人，后面有1个人，这一队一共有多少个人？7.平平和芳芳收集卡片，平平给芳芳3张，他们的卡片一样多，原来平平比芳芳的多几张？8.看图解答。

9.在每组的右图中，把与左边同样多的部分圈起来。

10.看图做题：（1）有10只小兔，平均关在2个笼子里，每个笼子里关几只小兔？（2）有10只小兔，关在2个笼子里。

一个笼子里关6只，另一个笼子里关几只小兔？11.被减数和减数都是15，差是多少?12.丽丽做了6个布娃娃，妹妹比她少做了2个，她们两个一共做了多少个？13.同学们排成一列做操，小明前面有5个人，后面有6个人，这一列共有多少人？14.一块巧克力8元，一盒饼干7元，买一块巧克力和一盒饼一共需要多少钱？15.小朋友们排队上车，小林前面有3人，后面有3人，这一队一共有多少人？（画图并作答）16.用三句话表示三幅图。

（提示：摘了几个还剩几个。

）17.树上有7只，树下有5只，一共有多少只？18.拔萝卜。

拔了7根拔了6根（1）两只小兔一共拔了多少根？（2）他们吃了8根，还剩多少根？19.兔子一家去森林里采蘑菇。

（1）兔妈妈和兔爸爸一共采了多少朵蘑菇?（2）它们一家三口一共采了多少朵蘑菇?（3）小兔子再采多少朵蘑菇就和兔妈妈采的同样多?20.(1)跳绳的和拍球的一共有多少人?□○□=□ (人)(2)拍球的和打乒乓球的一共有多少人?□○□=□ (人)21.跳绳比赛。

2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.1全等图形【名师点睛】（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．【典例剖析】【知识点1】全等图形的识别【例1】（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学八年级期中）下列各组的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【变式1.1】（2021·江苏连云港·八年级阶段练习）下列各组两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【变式1.2】（2021·江苏盐城·八年级期中）下列说法正确的是（）A．两个等边三角形一定是全等图形B．两个全等图形面积一定相等C．形状相同的两个图形一定全等D．两个正方形一定是全等图形【知识点2】利用全等图形求角度【例2】（2021·江苏·南京市第十二初级中学八年级期中）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是______．【变式2.1】（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【变式2.2】（2021·江苏·沭阳县怀文中学八年级阶段练习）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．【知识点3】分割成几个全等图形【例3】（2020·江苏苏州·七年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．【变式3.1】（2018·江苏·洪泽新区中学八年级阶段练习）如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•靖西市期末）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2021秋•宿豫区期中）下列两个图形是全等图形的是（ ）A．两张同底版的照片B．周长相等的两个长方形C．面积相等的两个正方形D．面积相等的两个三角形3．（2021春•淮阳区期末）全等形是指两个图形（ ）A．大小相等B．可以完全重合C．形状相同D．以上都不对4．（2021春•姑苏区期末）下列说法正确的是（ ）A．两个等边三角形一定是全等图形B．两个全等图形面积一定相等C．形状相同的两个图形一定全等D．两个正方形一定是全等图形5．（2021春•商水县期末）下列说法不正确的是（ ）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B．面积相等的两个图形是全等图形C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关D．全等三角形的对应边相等，对应角相等6．（2020春•天桥区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．100°7．（2019秋•临西县期末）下列图形中，和所给图全等的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2020秋•涿鹿县期中）下列图形中与如图图形全等的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2019秋•迁安市期末）小明学习了全等三角形后总结了以下结论：①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等图形；④全等三角形的周长相等．其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．（2018春•太原期末）下列说法：（1）全等图形的形状相同，大小相等；（2）全等三角形的对应边相等；（3）全等图形的周长相等，面积相等；（4）面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）A ．（ 1 ）（ 3）（ 4 ）B ．（ 2）（ 3 ）（ 4 ）C ．（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）D ．（ 1 ）（ 2）（ 3 ）（ 4 ）11．（2021秋•雨花区期末）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是 ．12．（2020春•石狮市期末）如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的大小是 ．13．（2021秋•常州期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝ ．14．（2019秋•越城区期末）下列图形中全等图形是 （填标号）．15．（2019秋•东台市月考）如图①，已知△ABC的六个元素，则图②中甲、乙、丙三个三角形中与图①中△ABC全等的图形是 ．16．（2019秋•常州期中）下列4个图形中，属于全等的2个图形是 ．（填序号）17．观察图中图形，它们是不是全等形？为什么？18．找出图中的全等图形．19．（2019秋•孝义市校级月考）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．20．沿着图中的虚线，请把如图的图形划分为4个全等图形，把你的方案画在图中．21．图中所示的是两个全等的五边形，AB＝8，AE＝5，DE＝11，HI＝12，IJ＝10，∠C＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出它们之间其他的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a、b、c、d、e、α、β各字母所表示的值．22．（2018秋•洪泽区校级月考）如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．。

3.2第4课时 利用向量知识求空间中的角一、选择题1．平面α的斜线l 与它在这个平面上射影l ′的方向向量分别为a ＝(1,0,1)，b ＝(0,1,1)，则斜线l 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] C[解析] l 与α所成的角为a 与b 所成的角(或其补角)，∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，∴〈a ，b 〉＝60°.2．(08·全国Ⅱ)已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成的角的余弦值为( )A.13B.23C ．－33D.23[答案] C[解析] 如图，设棱长为1，∵AE →＝12(AB →＋AS →)＝12(DC →＋DS →－DA →)，∴|AE →|＝14(1＋1＋1＋2×1×1cos60°－2×1×1cos60°) ＝32， ∴cos 〈AE →，SD →〉＝AE →·SD →|AE →|·|SD →|＝12(AB →＋AS →)·SD →32·1＝12(DC →＋DS →－DA →)·SD →32＝－33，故选C. 3．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值为( )A.32B.1010C.35D.25[答案] D[解析] 解法一：∵AM →＝AA 1→＋A 1M →，CN →＝CB →＋BN →， ∴AM →·CN →＝(AA 1→＋A 1M →)·(CB →＋BN →) ＝AA 1→·BN →＝12.而|AM →|＝(AA 1→＋A 1M →)·(AA 1→＋A 1M →)＝|AA 1→|2＋|A 1M →|2＝1＋14＝52.同理，|CN →|＝52.如令α为所求角，则cos α＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.应选D.解法二：如图以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，M (1，12，1)，C (0,1,0)，N (1,1，12)，∴AM →＝⎝⎛⎭⎫1，12，1－(1,0,0)＝(0，12，1)，CN →＝(1,1，12)－(0,1,0)＝(1,0，12)．故AM →·CN →＝0×1＋12×0＋1×12＝12，|AM →|＝02＋⎝⎛⎭⎫122＋12＝52，|CN →|＝12＋02＋⎝⎛⎭⎫122＝52.∴cos α＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1252·52＝25.4．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，O 是正方形中心，则折起后，∠EOF 的大小为( )A ．(0°，90°)B ．90°C ．120°D ．(60°，120°)[答案] C[解析] OE →＝12(OA →＋OD →)，OF →＝12(OB →＋OC →)，∴OE →·OF →＝14(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OD →·OB →＋OD →·OC →)＝－14OA →|2.又|OE →|＝|OF →|＝22|OA →|，∴cos 〈OE →，OF →〉＝－14|OA →|212OA →|2＝－12∴∠EOF ＝120°，故选C.5．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°[答案] C[解析] 翻折后A 、B 、C 、D 四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC ⊥平面BAC ，设未折前正方形的对角线交点为O ，则∠DBO 即为BD 与平面ABC 所成的角，大小为45°.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若F 、G 分别是棱AB 、CC 1的中点，则直线FG 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.54 C.33D.36[答案] D[解析] 解法一：过F 作BD 的平行线交AC 于M ，则∠MGF 即为所求． 设正方体棱长为1，MF ＝24，GF ＝62， ∴sin ∠MGF ＝36.解法二：分别以AB 、AD 、AA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(－1,1,0)，∵F (12，0,0)，G (1,1，12)，∴FG →＝⎝⎛⎭⎫12，1，12，设直线FG 与平面A 1ACC 1所成角θ，则sin θ＝|cos 〈n ，FG →〉|＝|n ·FG →||n |·|F G →|＝122·62＝36.7．从点P 引三条射线P A 、PB 、PC ，每两条的夹角都是60°，则二面角B —P A —C 的余弦值是( )A.12 B.13 C.33D.32[答案] B[解析] 在射线PA 上取一点O ，分别在面PAB ，PAC 内作OE ⊥PA ，OF ⊥PA 交PB ，PB 于EF ，连接E 、F ，则∠EOF 即为所求二面角的平面角．在△EOF 中可求得cos ∠EOF ＝13. 8．在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B —AD —C 后，BC ＝12a ，这时二面角B —AD —C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] C 二、填空题9．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________．[答案]64[解析] 解法一：取AC 、A 1C 1的中点M 、M 1，连结MM 1、BM .过D 作DN ∥BM ，则容易证明DN ⊥平面AA 1C 1C .连结AN ，则∠DAN 就是AD 与平面AA 1C 1C 所成的角．在Rt △DAN 中， sin ∠DAN ＝ND AD ＝322＝64.解法二：取AC 、A 1C 1中点O 、E ，则OB ⊥AC ，OE ⊥平面ABC ，以O 为原点OA 、OB 、OE 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，在正三角形ABC 中，BM ＝32AB ＝32， ∴A ⎝⎛⎭⎫12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，32，0，D ⎝⎛⎭⎫0，32，1， ∴AD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，1，又平面AA 1C 1C 的法向量为e ＝(0,1,0)， 设直线AD 与平面AA 1C 1C 所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AD →，e 〉|＝|AD →·e ||AD →|·|e |＝64.解法三：设BA →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c ， 由条件知a ·b ＝12，a ·c ＝0，b ·c ＝0，又AD →＝BD →－BC →＝c －b ，平面AA 1C 1C 的法向量BM →＝12(a ＋b )．设直线BD 与平面AA 1C 1C 成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈AD →，BM →〉|＝|AD →·BM →||AD →|·|BM →|，∵AD →·BM →＝(c －b )·12(a ＋b )＝12a ·c －12a ·b ＋12b ·c －12|b |2＝－34. |AD →|2＝(c －b )2＝|c |2＋|b |2－2b ·c ＝2， ∴|AD →|＝2，|BM →|2＝14(a ＋b )2＝14(|a |2＋|b |2＋2a ·b )＝34，∴|BM →|＝32，∴sin θ＝64.10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，则A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的大小为________． [答案] 30°[解析] 解法一：连结BC 1，设与B1C 交于O 点，连结A 1O .∵BC 1⊥B 1C ，A 1B 1⊥BC 1，A 1B 1∩B 1C ＝B 1. ∴BC 1⊥平面A 1B 1C ，∴A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影为A 1O .∴∠OA 1B 就是A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角，设正方体的棱长为1.在Rt △A 1OB 中，A 1B ＝2，BO ＝22， ∴sin ∠OA 1B ＝BO A 1B ＝222＝12.∴∠OA 1B ＝30°.即A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角为30°.解法二：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1(1,0,1)，C (0,1,0)．∴DA 1→＝(1,0,1)，DC →＝(0,1,0)．设平面A 1B 1CD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z ) 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝0，n ·DC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0y ＝0令z ＝－1得x ＝1.∴n ＝(1,0，－1)，又B (1,1,0)，∴A 1B →＝(0,1，－1)， cos 〈n ，A 1B →〉＝A 1B →·n |A 1B →||n |＝12·2＝12.∴〈n ，A 1B →〉＝60°，所以A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角为30°.11．如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，则SC 与平面ABCD 所成的角的大小为________．[答案] π2－arccos 33[解析] AS →是平面ABCD 的法向量， 设CS →与AS →的夹角为φ. ∵CS →＝CB →＋BA →＋AS →，∴AS →·CS →＝AS →·(CB →＋BA →＋AS →)＝AS →·AS →＝1.|AS →|＝1，|CS →|＝(CB ―→＋BA ―→＋AS ―→)2 ＝|CB ―→|2＋|BA ―→|2＋|AS ―→|2＝3， ∴cos φ＝AS →·CS →|AS →|·|CS →|＝33.∴φ＝arccos 33.从而CS 与平面ABCD 所成的角为π2－arccos 33.三、解答题12．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．(1)求直线AC 与PB 所成角的余弦值； (2)在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥平面P AC . [解析] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)、B (3，0,0)、C (3，1,0)、D (0,1,0)、P (0，0,2)，E (0，12，1)，∴AC →＝(3，1,0)，PB →＝(3，0，－2) 设AC →与PB →的夹角为θ，则 cos θ＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝327＝3714，∴AC 与PB 所成角的余弦值为3714.(2)由于N 点在侧面P AB 内，故可设N (x,0，z )，则NE →＝(－x ，12，1－z )，由NE ⊥平面PAC 可得，⎩⎪⎨⎪⎧NE →·AP →＝0，NE →·AC →＝0.即⎩⎨⎧(－x ，12，1－z )·(0，0，2)＝0，(－x ，12，1－z )·(3，1，0)＝0.化简得⎩⎪⎨⎪⎧z －1＝0－3x ＋120.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36z ＝1， 即N 点的坐标为(36，0,1)． 13．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱D 1C 1、B 1C 1的中点，求平面EFC 与底面ABCD 所成二面角的正切值．[解析] 以D 为原点，{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则C (0,1,0)，E (0，12，1)，F (12，1,1)．设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CE →＝0n ·CF →＝0，∵CE →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，12，CF →＝⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∴⎩⎨⎧－12y ＋12z ＝012x ＋z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝z x ＝－2z ，令z ＝1，则n ＝(－2,1,1)．显然平面ABCD 的法向量e ＝(0,0,1)，则 cos 〈n ，e 〉＝n ·e |n |·|e |＝66. 设二面角为α，则cos α＝66，∴tan α＝ 5. 14．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论； (3)求DB 与平面DEF 所成角的大小．[解析] 以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E (a ，a 2，0)、F (a 2，a 2，a2)、P (0,0，a )．(1)EF →·DC →＝(－a 2，0，a 2)·(0，a,0)＝0，∴EF ⊥DC .(2)设G (x,0，z )，则G ∈平面PAD . FG →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)，FG →·CB →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(a,0,0)＝a (x －a 2)＝0，∴x ＝a2；FG →·CP →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(0，－a ，a )＝a 22＋a (z －a2)＝0，∴z ＝0. ∴G 点坐标为(a2，0,0)，即G 点为AD 的中点．(3)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0n ·DE →＝0得，⎩⎨⎧(x ，y ，z )·(a 2，a 2，a2)＝0，(x ，y ，z )·(a ，a2，0)＝0.即⎩⎨⎧a 2(x ＋y ＋z )＝0，ax ＋a2y ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2,1)．cos<BD →，n >＝BD →·n |BD →||n |＝a 2a ·6＝36，∴DB 与平面DEF 所成角大小为π2－arccos 36.15．(2010·湖南理，18)如图5所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．[解析] 解法一：设正方体的棱长为1，如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (1,0,0)，E (0,1，12)，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE →＝(－1,1，12)，AD →＝(0,1,0)．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.即直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23(2)依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1), BE →＝(－1,1，12)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 得一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)． 设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)． 又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)，而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点． 这说明在棱C 1D 1上存在一点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .解法二：(1)如图(a)所示，取AA 1的中点M ，连结EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影， ∠EBM 直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3.于是，在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝23. 即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .如图(b)所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连结EG ，BG ，CD 1，FG . 因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，因此D 1C ∥A 1B . 又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1，B ，G ，E 共面．所以BG ⊂平面A 1BE .因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ，因此四边形B 1BGF 为平行四边形，所以B 1F ∥BG .而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE .[点评] 本题考查了直线与平面所成的角，直线与平面平行的性质与判定．综合考查了学生空间想象能力、探究能力和运算能力．。

专题03整式的加减【专题目录】技巧1：求代数式值的技巧技巧2：整式加减在几何中的应用技巧3：整体思想在整式加减中的应用【题型】一、代数式求值【题型】二、同类项【题型】三、整式的加减【题型】四、化简求值【题型】五、图形类规律探索【考纲要求】1、能并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．2、掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；掌握同类项的有关应用．3、掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．【考点总结】一、整式整式的相关概念单项式由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数。

如：单项式321abπ-系数是π21-，次数是4。

多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

如：多项式2+4x2y﹣3231yx是五次三项式整式整式是单项式与多项式的统称。

同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。

【考点总结】二、整式的加减运算【注意】1、去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．(1)、去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．(2)、去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．(3)、对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．(4)、去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．2、添括号法则添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：如：()a b c a b c +-+- 添括号去括号，()a b c a b c -+-- 添括号去括号合并同类项把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。