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浅谈多变量问题的处理策略摘要：破解高考数学中多变量问题是一个难点.灵活换元----化二元归一元；主元思想---化主元为常元；审视结构---化主元为常元是破解此类问题的常用策略.高考数学时常出现多变量的综合问题。
由于含有多个变量，使题目显得繁杂混乱对思维灵活性要求较高，许多学生面对此类问题往往一筹莫展，难以找到解决问题的突破口。
如何从繁乱中理出头绪并顺利解决问题呢？下面，笔者结合模拟试题为例，探讨多变量问题的破解策略。
1.问题的提出例1：已知函数()ln .f x x ax =-（1）试判断函数()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =的图像在1x =处的切线平行于x 轴,且()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数()y f x =的图像上任意两个不同的点，设直线AB 的斜率为k ，证明: 21111 1.k x x -<<- (2014年画龙点睛高考模拟试卷-安徽4月卷<一>第19题)2.灵活换元----化二元归一元破解此类问题，需运用转化与化归的思想，通过构造两个变量的比值的函数，使之减少变量的个数，化归为我们所熟悉的一元函数，最后利用导数证明不等式。
由题意可知()1,f x a x'=- ()110, 1.f a a '=-==()ln .f x x ax =- ()()2211212121ln ln ln ln 1,x x x x x x k x x x x ----==--- 要证11 1.k x <-只需证21211ln ln 1,x x x x x -<- 即211222111ln1ln 1,x x x x x x x x x <⇔<-- 设211,x t x =>令()()ln 11u t t t t =-+>，则： ()()110,u t u t t'=-<单调递减， 所以()()10,u t u <=即()ln 10ln 1.u t t t t t =-+<⇔<-故2211ln 1.x x x x <-同理可证211.k x -< 3.主元思想---化多元为单元破解此类问题，也可以借助于分析法，灵活地运用主元法，将其中某一个变量作为主变量，其余变量视作为字母常数来对待加以破解。
多元变量的方程组求解在许多实际问题中，常常需要求解由多个变量组成的方程组。
这些方程组一般无法用简单的代数方法求解，需要借助计算机等工具进行求解。
本文将介绍一些常见的多元变量方程组的求解方法。
一、高斯-约旦消元法高斯-约旦消元法是求解线性方程组的一种常见方法，其基本思想是通过多次消元，使方程组限制的范围不断缩小，最终求得方程组的解。
具体步骤如下：1.将方程组写成增广矩阵的形式；2.选定一个系数矩阵的元素作为主元，通常选择第一行第一列元素，即A[1][1]；3.对于其他行的该列元素，减去主元所在行对应元素的倍数，使其变为0；4.重复2-3步骤，直到将矩阵化为上三角矩阵；5.从最后一行开始，依次计算出未知变量的值。
高斯-约旦消元法的复杂度为O(n^3)，当方程组的规模较大时，求解速度会非常慢。
二、雅可比迭代法雅可比迭代法是通过迭代求解变量的值，直到收敛于方程组的解的方法，其基本思想是将方程组的每个变量下一次迭代时的值，视为其它变量的当前值，通过逐步迭代，求解出未知变量的值。
具体步骤如下：1.将方程组表示为矩阵形式：Ax=b；2.选择一个初值向量x0，设x^(k)为第k次迭代的结果；3.根据迭代公式x_i^(k+1)=[b_i-(sum(A_ij*x_j^(k)))/(A_ii)]/A_ii，计算x^(k+1)，其中i表示第i个未知变量，j表示其它未知变量；4.重复3步骤，直到收敛于方程组的解。
雅可比迭代法适用于系数矩阵为对角占优矩阵的情况，当矩阵的条件数较大时，迭代次数可能会非常多，计算速度较慢。
三、列主元高斯消元法列主元高斯消元法是对高斯-约旦消元法的改进，其主要思想是在每次消元时，选择系数矩阵中绝对值最大的元素作为主元，以此来避免出现数值精度过低等问题。
具体步骤如下：1.将方程组写成增广矩阵的形式；2.选定一个未知数作为主元，使得该列元素的绝对值最大；3.将该列中主元所在行交换到最上面；4.对于其他行的该列元素，减去主元所在行对应元素的倍数，使其变为0；5.重复2-3-4步骤，直到将矩阵化为上三角矩阵；6.从最后一行开始，依次计算出未知变量的值。
变量消除法变量消除法，也称为变量消去法，是一种用于解决多元高次方程组的方法。
它通过逐步消除未知量，将方程组转化为只含有少数未知量的方程组，从而简化问题的求解过程。
变量消除法的基本思想是通过代入和消元两个步骤，逐渐减少未知变量的数量，使得问题变得更容易求解。
下面将从代入和消元两个方面介绍变量消除法的详细步骤。
1. 代入：将方程组中的某个未知量用其他未知量表示，并代入其他方程。
这样可以减少方程组中的未知变量的数量。
例如，对于一个二次方程组：x^2 + y^2 = 25x + y = 7我们可以将第二个方程中的x或y用第一个方程中的未知量表示，假设我们选择将第二个方程中的x用y表示，那么我们可以得到：x = 7 - y将x代入第一个方程中，得到：(7-y)^2 + y^2 = 25经过展开和化简，可以得到：2y^2 - 14y + 24 = 0此时，我们得到了一个只含有y的一元二次方程，我们可以利用求解一元二次方程的方法求解y的值。
2. 消元：消元是指通过合并两个方程，把一个未知量消去，从而减少方程组中的未知变量的数量。
对于二次方程组：x^2 + y^2 = 25x + y = 7我们可以通过消元来减少方程组中的未知变量的数量。
由第二个方程可得x = 7 - y，将其代入第一个方程得到：(7-y)^2 + y^2 = 25经过展开和化简，可以得到：2y^2 - 14y + 24 = 0此时，我们得到了一个只含有y的一元二次方程。
我们可以通过解这个方程得到y的值，再将y的值代入第二个方程求解x的值。
通过逐步的代入和消元，我们可以将一个复杂的多元高次方程组转化为只含有少数未知量的方程组，从而简化求解过程。
对于高次方程组，变量消除法是一种非常有效的求解方法，尤其是在计算机科学、工程学等领域中，它被广泛应用于数据建模、特征选择、机器学习等问题的求解中。
在实际应用中，变量消除法可以结合其他数值计算方法，如牛顿法、高斯消元法等，进一步提高求解的效率和精确性。
高考多元变量知识点总结高考是每个学生都面临的一次重要考试，多元变量作为数学中的一大难点，也是考生们普遍感到头疼的部分。
在这篇文章中，我们将对高考中常见的多元变量知识点进行总结。
一、一元二次函数一元二次函数是高考中常见的多元变量。
其一般形式为：y = ax² + bx + c。
在解一元二次函数的问题时，我们需要注意以下几个知识点：1.1 定点法：当函数的顶点已知时，我们可以通过定点法快速求解。
通过平移函数的顶点，我们可以得到新的一元二次函数，并将其化简成标准形式，从而便于求解。
定点法的核心思想是将原函数变换为标准形式，这样我们可以通过观察标准形式函数的一些特性来解题。
1.2 判别式：当我们遇到判别式为正数、零或负数时，可以据此判断一元二次函数的图像与 x 轴的交点个数。
通过判别式，我们可以简化计算过程，快速得出结论。
1.3 单调性：当我们需要讨论一元二次函数的单调性时，可以通过求导数得到函数的导函数，并利用导函数的符号变化进行判断。
通常情况下，我们会将一元二次函数的导函数进行因式分解，从而得到其拐点，进而判断函数的单调性。
二、排列与组合排列与组合是高考中的重要知识点，它们在解决实际问题时发挥着重要作用。
以下是排列与组合的几个常见问题类型：2.1 从 n 个元素选取 m 个的排列数：在排列问题中，我们需要考虑选取元素的顺序。
当我们需要从n 个元素中选取m 个元素时，排列数为 n! / (n-m)!。
2.2 从 n 个元素选取 m 个的组合数：与排列不同，组合问题中不考虑元素的顺序。
当我们需要从 n 个元素中选取 m 个元素时，组合数为 n! / (m!(n-m)!。
2.3 二项式定理：二项式定理是排列与组合知识的重要应用。
通过二项式定理，我们可以快速展开(a + b)ⁿ 的结果，从而在求解多项式展开式的问题中节省时间。
三、概率概率是多元变量中的另一个经典问题。
在概率问题中，我们需要熟练掌握以下几个知识点：3.1 事件与样本空间：事件是指样本空间上的某个子集，样本空间是指随机试验中所有可能结果的集合。
高中数学函数解题思路多元化的方法举例分析数学函数解题是高中数学的一个重要内容，常常是考试中的必考内容之一。
解题思路多元化，指的是解决问题时可以有不同的方法和思路，而不仅仅局限于固定的套路和公式。
下面就以具体的例子来说明多元化的解题思路。
例题：已知函数f(x) = ax^2-bx+1，其中a，b为常数，且f(1) = 0。
1. 利用已知条件求解方程。
根据已知条件f(1) = 0，代入函数表达式可得a(1)^2 - b(1) + 1 = 0，即a-b+1 = 0。
解这个方程得到a = b-1。
2. 利用函数图像特点求解方程。
函数f(x)是一个二次函数，开口向上的抛物线。
已知f(1) = 0，说明抛物线与x轴有一个交点在x=1处。
由于抛物线的对称性，可以得知抛物线在x=-1也有一个交点。
那么f(x)=0的两个解就是-1和1，即x=-1和x=1。
根据函数f(x)的表达式，可以得到f(0) = 1，f(2) = 3，f(-1) = a+b+1。
根据函数的定义可以知道，当f(0) = 1与f(2) = 3时，抛物线与x轴分别有一个交点在x=0和x=2处。
那么根据函数的对称性，也可以得到抛物线与x轴有一个交点在x=-2处。
将x=-2代入函数表达式得到f(-2) = 4a+2b+1 = 0，解这个方程可以得到a = -(2b+1)/4。
将a的表达式代入f(-1) = 0的方程得到-(2b+1)/4 + b + 1 = 0，解这个方程可以得到b = 3/5。
再将b的值代入a的表达式即可得到a = 2/5。
根据已知条件可以得出a = b-1，根据函数图像特点可以得出x=-1和x=1是方程的解，根据函数性质可以得出a = 2/5，b = 3/5是方程的解。
这就是解决高中数学函数解题时多元化的思路和方法的例子。
通过多种方法综合运用，能够更加全面地解决问题，并提高解题的灵活性和准确性。
高考数学多元变量知识点导语：在高考数学中，多元变量是一种比较重要的概念和常见的题型。
掌握多元变量的知识点对于高考中数学的成功非常关键。
本文将从定义、特点、应用等方面来探讨多元变量的知识点。
一、定义多元变量指的是在数学问题中涉及到多个变量的情况。
通常情况下，我们使用字母如x、y、z等来表示这些变量。
例如，在平面几何中，我们经常使用二元方程来描述直线或曲线，这就涉及到两个变量。
二、特点1. 独立性：多元变量之间是相互独立的。
例如，在平面直角坐标系中，x轴和y轴是相互独立的，它们的取值不受对方的影响。
2. 变量关系：多元变量之间存在一定的变量关系。
例如，在线性方程y = kx + b中，x和y的变化是有关系的，其变化趋势可以用斜率k来衡量。
3. 解集：多元变量的取值满足一定的条件，形成解集。
例如，在不等式系统中，x > 0, y > 0表示x和y的取值都要大于0，那么这个不等式系统的解集就是多元变量(x, y)所在的第一象限。
三、应用1. 图形表示：可以通过平面直角坐标系的方式来表示多元变量之间的变化关系。
以二元方程为例，其图形可能是直线、抛物线、椭圆等，通过观察这些图形可以更好地理解多元变量之间的关系。
2. 函数关系：多元变量也可以用函数关系来表示。
例如，z = f(x, y)就表示一个三元函数，其输出值z与输入值x和y有关。
这种表示方式可以帮助我们更好地理解多元变量的变化规律，并进行数学推导和分析。
3. 约束条件：多元变量通常会受到一些限制条件的约束。
例如，在最优化问题中，我们需要在一定的约束条件下求解最大值或最小值。
这些约束条件往往构成了多元变量的取值范围，限制了问题的解集。
四、典型题型1. 解方程组：在高考数学中，常常会出现解方程组的题型。
解方程组就是要找到满足多个方程同时成立的变量取值。
解方程组既可以使用消元法，也可以使用代入法、加减法等等方法。
2. 极值点求解：对于函数关系中的多元变量，我们常常需要求解其极值点。
解题宝典多元变量最值问题具有较强的综合性，涵盖的知识点较多，因而可从多个不同的角度来寻找解题的思路.常用的解题思路有换元、利用基本不等式、构造几何图形、运用导数法等.本文重点探讨三种求解多元变量最值问题的思路.一、换元由于多元变量问题中有多个元，不方便处理，所以在解题时，可根据已知关系式或函数式的特征，选择合适的式子用新元替换，这样便将多元变量问题转化为关于新元的函数或者不等式问题，利用函数的图象和性质、不等式的性质求得最值.例1.已知函数f (x )=||x 2+2x -1，若a <b <-1，且f (a )=f (b )，求ab +a +b 的最值.解：画出f (x )=||x 2+2x -1的图象，因为f (a )=f (b )，由图可知，a <-2-1<b <-1，且(a +1)2+(b +1)2=4.令{a +1=2cos θ,b +1=2sin θ,其中θ∈[0,2π），则ab +a +b =()a +1(b +1)-1=2sin 2θ-1.又<sin θ<0，即θ∈(π，5π4)，则2sin 2θ-1∈(-1,1)，所以ab +a +b 的最大值为1，最小值为-1.解答本题，主要运用了三角换元法，将a 、b 用sin θ、cos θ替换，从而将双变量最值问题转化三角函数最值问题，再运用正弦函数的有界性求得最值.二、运用基本不等式基本不等式是解答双变量最值问题的重要工具.在解答多变量最值问题时，可灵活运用基本不等式：a +b ≥2ab 及其变形式：ab ≤a +b 2≤、a 1+a 2+⋯+a n ≥n a 1a 2⋯a n n ，将目标式进行变形，利用一些配凑技巧，如添减项、凑系数、配方等，构造多个式子的和或者积，并使其中之一为常数或者定值，即可运用基本不等式来求得最值.例2.已知a 为1+2b 与1-2b 的等比中项，求2ab ||a +2||b 的最大值.解：由题意可知：a 2+4b 2=1，令x =a ，y =2b ，且x ,y 均大于0，可得x 2+y 2=所以2ab ||a +2||b =xy x +y ≤≤x +y 4≤，当且仅当x =y =.对比a 2+4b 2=1和2ab ||a +2||b 可以发现，a 2的系数为1，b 2的系数为4，||b 的系数为2，因此对双变量作换元处理，两次运用基本不等式求得最值.在多次运用基本不等式求最值时，要注意检验几次运用基本不等式时等号成立的条件是否一致，确保取等号时不等式成立.三、采用构造法构造法是指根据已知的条件和目标式的结构特征以及它们之间的联系，构造出满足题意的新模型，并通过研究新模型解答问题.运用构造法解答双变量最值问题，需根据题意或代数式的几何意义，构造出方程、函数、不等式、几何图形等，从新的角度来寻求解题的方案.例3.已知a ，b ∈R ，a ≠0，曲线y =a +2x 与y =ax +4b +1在区间[3,4]上至少有一个公共点，求a 2+4b 2的最小值.分析：该问题可以转化为方程a +2x =ax +4b +1在[3,4]上有解，而方程(x 2-1)a +2x ∙(2b )+x -2=0可以视为点(a ,2b )的轨迹，a 2+4b 2表示原点到直线的距离的平方，求得该距离的最小值即可.解：曲线y =a +2x 与y =ax +4b +1有公共点，则方程a +2x =ax +4b +1在[3,4]上有解，将方程化简可得(x 2-1)a +2x ∙(2b )+x -2=0，该方程可以视为点(a ,2b )的轨迹，则a 2+4b 2表示原点到直线的距离平方d 2，由d =||x -2（x 2-1）2+4x 2得a 2+4b 2=d 2=(x -2x 2+1)2，x ∈[3,4].令t =x -2，t ∈[1,2]，所以1d 2=(t +5t +4)2.设f ()t =t +5t +4，t ∈[1,2].由f ′()t =1-5t 2<0，得f ()t 在[1,2]上单调递减，所以f max ()t =f ()1=10，则当t =1时，a 2+4b 2的最小值为1100.总之，第一、二种思路较为简单，且用得较多；第三种思路较为灵活.在求解多元变量最值问题时，需先分析目标式的结构特征，将其与已知条件关联起来，合理换元、配凑、构造，再灵活运用换元法、基本不等式、构造法即可.（作者单位：江苏省盐城市大丰区新丰中学）邱信林42。
