(新课标)2019-2020学年高中数学 双基限时练9 新人教A版必修4

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(二)1．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( ) A ．{α|α＝k π，k ∈Z }B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈Z C ．{α|α＝2k π，k ∈Z }D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π2，k ∈Z 解析 A 选项表示的角的终边在x 轴上；B 选项表示的角的终边在y 轴上；C 选项表示的角的终边在x 轴非负半轴上；D 选项表示的角的终边在y 轴非负半轴上，故选D.答案 D2．在半径为5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3cm B.20π3cm C.10π3cmD.50π3cm解析 记r ＝5，圆心角α＝23×2π＝4π3， ∴l ＝|α|r ＝203π. 答案 B3．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8π B.74π－8π C.π4－10πD.7π4－10π解析 ∵－1485°＝－5×360°＋315°， 又2π＝360°，315°＝74π，∴－1485°＝－5×2π＋74π＝7π4－10π. 答案 D4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ为( ) A ．－34π B.π4 C.34πD ．－π4解析 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴θ＝－34π. 又－11π4＝－4π＋5π4，∴θ＝5π4. ∴使|θ|最小的θ＝－3π4. 答案 A5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π3B.2π3C. 3 D ．2解析 设所在圆的半径为r ，圆内接正三角形的边长为2r sin60°＝3r ，所以弧长3r 的圆心角的弧度数为3rr ＝ 3.答案 C6．用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤π3 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z解析 由图可知在[0,2π)内角的终边落在阴影部分时π4≤α≤5π3， ∴满足条件的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z .答案 D7．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的________倍．解析 由公式θ＝l r 知，半径r 变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的2倍．答案 28．将下列弧度转化为角度： (1)π12＝________； (2)－7π8＝________； (3)13π6＝________； (4)－512π＝________. 答案 (1)15° (2)－157°30′ (3)390° (4)－75°9．将下列角度化为弧度： (1)36°＝________rad ； (2)－105°＝________rad ； (3)37°30′＝________rad ； (4)－75°＝________rad.解析 利用1°＝π180rad 计算． 答案 (1)π5 (2)－7π12 (3)5π24 (4)－5π1210．在直径为20 cm 的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为________．解析 150°＝150×π180＝5π6， ∴l ＝5π6×10＝25π3(cm)． 答案 25π3 cm11．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线OM 上；(2)终边落在直线OM 上； (3)终边落在阴影区域内(含边界)．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2 012°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6.∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }．∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53π45＋10πrad ， 又5π6＜53π45＜3π2. ∴2012°＝503π45∈S . 12.如图所示，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇所用的时间及P 、Q 各自走过的弧长．解 设P 、Q 第一次相遇时所用的时间为t 秒，则：t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4， 即第一次相遇时所用的时间为4秒． P 点走过的弧长为：43π×4＝163π， Q 点走过的弧长为：8π－16π3＝8π3. 13．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rθ＝8，12θ·R 2＝3，解得θ＝23或6.即圆心角的大小为23弧度或6弧度．(2)设扇形所在圆的半径为 x cm ，则扇形的圆心角θ＝8－2xx ，于是扇形的面积是S ＝12x 2·8－2xx ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4. 故当x ＝2 cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2弧度，弦长AB ＝2 ·2sin 1 ＝4sin1 (cm)．即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB 等于4sin1 cm.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(十七)1．给出下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可为基底中的向量．其中正确的说法是()A．①②B．②③C．①③D．②解析因为不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本题中，①错，②、③正确，故选B.答案 B2．已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是()A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e2解析分析四个选项知，在C中，4e2－2e1＝－2(e1－2e2)．∴e1－2e2与4e2－2e1共线，应选C.答案 C3．在△ABC 中，BC →＝3BD →，则AD →等于( ) A.13(AC →＋2AB →) B.13(AB →＋2AC →) C.14(AC →＋3AB →)D.14(AC →＋2AB →)解析 如图所示， AD →＝AB →＋BD → ＝AB →＋13BC → ＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝13(AC →＋2AB →)，故选A. 答案 A4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP →等于( )A ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1) D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22解析 ∵ABCD 是菱形，且AC 是一条对角线，由向量加法的平行四边形法则知，AC →＝AB →＋AD →，而点P 在AC 上，∴三点A ，P ，C 共线，∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，显然λ∈(0,1)，故选A.答案 A5．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析 因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →， 所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →.又A ，B ，C ，D 四点不共线， 所以|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ， 故四边形ABCD 为平行四边形． 答案 B6．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 的阴影内，满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－34，25 解析 由图观察并根据平面向量基本定理，可知x <0，y <0，故选C.答案 C7．已知a ，b 不共线，且c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1＝________.解析 ∵a ，b 不共线，∴a ，b 可以作为一组基底，又c 与b 共线，∴c ＝λ2b ，∴λ1＝0.答案 08．设向量a ，b 不共线，且OC 1→＝k 1a ＋k 2b ，OC 2→＝h 1a ＋h 2b ，若OC 1→＋OC 2→＝m a ＋n b ，则实数m ＝________，n ＝________.解析 OC 1→＋OC 2→＝(k 1＋h 1)a ＋(k 2＋h 2)b ＝m a ＋n b .∴m ＝k 1＋h 1，n ＝k 2＋h 2. 答案 k 1＋h 1 k 2＋h 29．已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．解析 使a 、b 为基底，则使a 、b 不共线，∴λ－2×2≠0.∴λ≠4. 答案 {λ|λ≠4}10．若a ≠0，且b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是________．答案 30°11．设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解 如图所示，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB → ＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b .12．如图所示，在▱ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点．已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.解 设AB →＝a ，AD →＝b .由M ，N 分别为DC ，BC 的中点，得BN →＝12b ，DM →＝12a . 在△ABN 和△ADM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝d ， ①b ＋12a ＝c . ②①×2－②，得a ＝23(2d －c )． ②×2－①，得b ＝23(2c －d )．∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．13．若a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a 、t b 、13(a ＋b )(t ∈R )三向量的终点在同一直线上？解 设a －t b ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13(a ＋b )(m ∈R )，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 3－1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3－t b ，∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 3－1＝0，m 3－t ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a 、t b 、13(a ＋b )的终点在同一直线上．。

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(二十二)1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( ) A.BD →＝CE → B.BD →与CE →共线 C.BE →＝BC →D.DE →与BC →共线解析 由题意知，DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，∴DE →与BC →共线． 答案 D2．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析 DB →＋DC →－2DA →＝(DB →＋AD →)＋(DC →＋AD →)＝AB →＋AC →， ∴(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0.即AB →2＝AC →2，∴|AB →|＝|AC →|.故选B.答案 B3．(2009·福建高考)设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积C ．以a ，b 为两边的三角形的面积D ．以b ，c 为两边的三角形的面积 解析如右图，设b 与c 的夹角为θ，a 与b 的夹角为α， ∵a ⊥c ，∴|cos θ|＝|sin α|. 又|a |＝|c |， ∴|b ·c |＝|b ||c ||cos θ|＝|b ||a ||sin α|，即|b ·c |的值一定等于以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．答案 A4．已知点A ，B 的坐标分别为A (4,6)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32，则与直线AB平行的向量的坐标可以是( )①⎝ ⎛⎭⎪⎫143，3；②⎝ ⎛⎭⎪⎫7，92；③⎝ ⎛⎭⎪⎫－143，－3；④(－7,9)． A ．① B ．①② C ．①②③D ．①②③④解析 ∵A (4,6)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32，∴AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－7，－92，易知①、②、③与AB →平行，故选C.答案 C5．设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，AP →＝λAB →，若OP →·AB →≥P A →·PB →，则实数λ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1＋22D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22解析 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，AB →＝(－1,1)，P A →＝(1－x ，－y )，PB →＝(－x,1－y )，∵AP →＝λAB →，∴(x －1，y )＝(－λ，λ)，∴⎩⎨⎧x －1＝－λ，y ＝λ，∴⎩⎨⎧x ＝1－λ，y ＝λ，①又∵OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,1)＝－x ＋y ，P A →·PB →＝(1－x ，－y )·(－x,1－y )＝－x (1－x )－y (1－y )， ∴－x ＋y ≥－x (1－x )－y (1－y )，将①代入可得：λ－1＋λ≥(λ－1)·λ－λ(1－λ)，整理可得：2λ2－4λ＋1≤0，解得：1－22≤λ≤1＋22，又P 是线段AB 上的动点，∴λ≤1，∴1－22≤λ≤1，故选B.答案 B6．在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( )A ．2B ．4C ．5D ．10解析 ∵P A →＝CA →－CP →， ∴|P A →|2＝CA →2－2CP →·CA →＋CP →2.∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2.∴|P A →|2＋|PB →|2＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD →＋2CP →2.又AB →2＝16CP →2，CD →＝2CP →，代入上式整理得|P A →|2＋|PB →|2＝10CP →2，故所求值为10.答案 D7．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积之比为________．解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝AB →，∴PC →＝AB →－P A →－PB →＝AP →＋AB →＋BP →＝2AP →，∴A ，P ，C 三点共线，且点P 是靠近点A 的线段AC 的三等分点， 故S △P ABS △ABC ＝13. 答案 138．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为__________．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________.解析 如图，∵AB ＝3，取D 为AB 的中点，又OA ＝1，∴∠AOD ＝π3.∴∠AOB ＝2π3.∴OA →·OB →＝1×1×cos 2π3＝－12. 答案 －12 9.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，则由题意知，点B (2，0)，点E (2，1)，设点F (a,2)， 所以AB →＝(2，0)，AF →＝(a,2)． 由条件解得点F (1,2)，所以AE →＝(2，1)，BF →＝(1－2，2)． 所以AE →·BF →＝ 2. 答案210．如下图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．解析 如下图，过B 作BD ∥MN ， 易知m ＝AB AM ＝AD AN ，n ＝ACAN ，∴m ＋n ＝AD ＋AC AN .∵BO OC ＝DNNC ＝1， ∴AD ＋AC ＝2AN . ∴m ＋n ＝2. 答案 2 11.如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2. 求证：AD ⊥BC .分析 解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d .∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0. ∵BC →＝BD →＋DC →＝d －c ， ∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0. ∴AD →⊥BC →，即AD ⊥BC .12．已知点A 、B 的坐标分别是(－4,3)，(2,5)，并且OC →＝3OA →，OD →＝3OB →，求证：AB ∥CD .证明 ∵OC →＝3OA →，OD →＝3OB →， ∴C (－12,9)，D (6,15)， ∴AB →＝(6,2)，CD →＝(18,6)．∴CD →＝3AB →，∴AB ∥CD .13．如图所示，以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B ＝90°，求点B 的坐标．解 设B (x ，y )，则|OB →|＝x 2＋y 2.∵B (x ，y )，A (5,2)， ∴|AB →|＝(x －5)2＋(y －2)2.又|AB →|＝|OB →|， ∴(x －5)2＋(y －2)2＝x 2＋y 2，整理，得10x ＋4y ＝29①∴又OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，且OB →⊥AB →. ∴OB →·AB →＝0，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0， 即x 2＋y 2－5x －2y ＝0，② 由①、②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝72，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－32.∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(三)1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( )A ．－32 B ．－12 C.32D.12解析 利用三角函数的定义可得sin α＝－12，故选B. 答案 B2．若角α的终边经过M (0,2)，则下列各式中，无意义的是( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan αD ．sin α＋cos α解析 因为M (0,2)在y 轴上，所以α＝π2＋2k π，k ∈Z ，此时tan α无意义．答案 C3．下列命题正确的是( )A ．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角B ．若α>β，则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角D ．若α是第三象限角，则sin αcos α>0且cos αtan α<0解析 当θ＝π时，cos θ＝－1，此时π既不是第二象限的角，也不是第三象限的角，故A 错误；当α＝390°，β＝30°时，cos α＝cos β，故B 错误；当α＝30°，β＝150°时，sin α＝sin β，但α与β终边并不相同，故C 错误，只有D 正确．答案 D4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析 ∵α，β为三角形的内角，且sin αcos β<0， 又sin α>0，∴cos β<0，∴β为钝角． ∴三角形为钝角三角形． 答案 B5．设角α的终边过点P (3a,4a )(a ≠0)，则下列式子中正确的是( )A ．sin α＝45 B ．cos α＝35 C ．tan α＝43D ．tan α＝－43解析 ∵a ≠0，∴tan α＝4a 3a ＝43. 答案 C6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，则θ所在的象限为( )A ．第一或第三象限B ．第二或第四象限C ．第二或第三象限D ．第一或第四象限解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上递减，∴sin2θ>0，∴2k π<2θ<π＋2k π，k ∈Z ，∴kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，2nπ<θ<π2＋2nπ，此时θ在第一象限内．当k＝2n＋1，n∈Z时，π＋2nπ<θ<3π2＋2nπ，n∈Z，此时θ在第三象限内．综上可得θ所在的象限为第一象限或第三象限，故选A.答案 A7．角α终边上有一点P(x，x)(x∈R，且x≠0)，则sinα的值为________．解析由题意知，角α终边在直线y＝x上，当点P在第一象限时，x>0，r＝x2＋x2＝2x，∴sinα＝x2x ＝22.当点P在第三象限时，同理，sinα＝－22.答案±2 28．使得lg(cosαtanα)有意义的角α是第________象限角．解析要使原式有意义，必须cosαtanα>0，即需cosα，tanα同号，所以α是第一或第二象限角．答案一或二9．点P(tan2 012°，cos2 012°)位于第____________象限．解析∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角，∴tan2 012°＞0，cos2 012°＜0，故点P位于第四象限．答案 四10．若角α的终边经过P (－3，b )，且cos α＝－35，则b ＝________，sin α＝________.解析 ∵cos α＝－39＋b 2，∴－39＋b 2＝－35，∴b ＝4或b ＝－4.当b ＝4时，sin α＝b9＋b2＝45，当b ＝－4时，sin α＝b9＋b 2＝－45. 答案 4或－4 45或－4511．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解 原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0° ＝1＋1＋1＋1＝4.12．一只蚂蚁从坐标原点沿北偏西30°方向爬行6 cm 至点P 的位置．试问蚂蚁离x 轴的距离是多少？解 如下图所示，蚂蚁离开x 轴的距离是P A .在△OP A 中，OP ＝6，∠AOP ＝60°， ∴P A ＝OP sin60° ＝6×32＝3 3.即蚂蚁离x 轴的距离是3 3 cm.13．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，试求α的三个三角函数值．解 当角α的终边在第一象限时，在y ＝2x 上任取一点P (1,2)，则有r ＝5，∴sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2. 当角α的终边在第三象限时，同理可求得： sin α＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(十五)1．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( ) A ．a ∥b B ．a ≠b C ．|a |≠|b |D ．b ＝－a解析 根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a |＝|b |. 答案 C2．给出下列四个结论：①AB →＝AO →＋OB →； ②AB →－AC →＝BC →； ③AB →＋BC →＋CA →＝0; ④|a ＋b |≥|a －b |. 其中错误的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析 ①正确，②错误，∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →.③错误，∵AB →＋BC →＋CA →＝0≠0.④错误，当a 与b 方向相反时，有|a ＋b |<|a －b |.综上知，仅①正确，故选C.答案 C3．在△ABC 中，BC →＝a ，AC →＝b ，则AB →等于( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．－a －(－b )D ．－a ＋(－b )解析 AB →＝AC →＋CB →＝AC →－BC →＝b －a .故选C.答案 C4．如图，P 是△ABC 所在平面内一点，且满足BA →＋BC →＝BP →，则( )A.BA →＝PC →B.BC →＝P A →C.BC →＋CP →＝BP →D.BA →－BP →＝AP →解析 由题意知，BP 是以BA →，BC →为邻边所作平行四边形的对角线，BC →＋CP →＝BC →＋BA →＝BP →.答案 C5．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0解析 ∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点， ∴BE →＝DF →，CF →＝F A →，∴AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋F A →＝0. 答案 A6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，则由加减法的几何意义可知AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AD →|＝|CB →|.又四边形ACDB 为平行四边形，所以四边形ACDB 为矩形，故AC ⊥AB ，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM →|＝12|BC →|＝2.答案 C7．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →－DC →|＝________________________________________________________.解析 |AB →－CB →－DC →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2. 答案 28．如图，平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是________．解析 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →.即BA →＝CD →.又A ，B ，C ，D 四点不共线，∴|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ，故四边形ABCD 为平行四边形． 答案 平行四边形9．已知a 与b 均为非零向量，若|a －b |＝||a |－|b ||，则a 与b 方向________．解析 当a 与b 不共线时，如图1，a －b ＝BC →，|BC →|>||AC →|－|AB →||可得|a －b |>||a |－|b ||；当a 与b 反向时，如图2，知a －b ＝CB →，|CB →|>||AB →|－|AC →||，∴|a －b |>||a |－|b ||.当a 与b 同向时，如图3，a －b ＝CB →，|CB →|＝||AB →|－|AC →||，∴|a －b |＝||a |－|b ||.答案 相同 10．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →；④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中所有正确命题的序号为________． 答案 ①②③④11．如图，解答下列各题： (1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.解 ∵AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ， DE →＝d ，EA →＝e ，∴(1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e .(4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d . 12.如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作向量b ＋c －a .解 以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .13．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解 如下图，设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD ，则AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|， ∴四边形ABCD 是矩形，故AD ⊥AB . 在Rt △ABD 中，高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(十四)1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的向量的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析 向量加法满足交换律， 所以五个向量均等于a ＋b ＋c . 答案 A2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A.CB → B.AB → C.AC →D.AM → 解析 (AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(BO →＋OM →＋MB →)＝AC →＋0＝AC →，故选C.答案 C3．向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同解析 向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则a ＋b 应与b 方向相同，因此B 错．答案 B4．设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PB →＋PC →＝0 C.PC →＋P A →＝0D.P A →＋PB →＋PC →＝0解析 由向量加法的平行四边形法则易知，BA →与BC →的和向量过AC 边的中点，且长度是AC 边中线长的2倍，结合已知条件知，P 为AC 的中点，故P A →＋PC →＝0.答案 C5．正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AC →＝c ，BC →＝b ，则|a ＋b ＋c |为( )A ．0 B. 2 C ．3D ．2 2解析 |a ＋b ＋c |＝|2c |＝2|c |＝2 2.应选D. 答案 D6．在▱ABCD 中，若|BC →＋B A →|＝|B C →＋AB →|，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定解析 |BC ＋AB |＝|AB ＋BC |＝|AC |， |BC →＋BA →|＝|BD →|，由|BD →|＝|AC →|知四边形ABCD 为矩形． 答案 B 7.根据图示填空． (1)AB →＋OA →＝________； (2)BO →＋OD →＋DO →＝________； (3)AO →＋BO →＋2OD →＝________. 解析 由三角形法则知 (1)AB →＋OA →＝OA →＋AB →＝OB →； (2)BO →＋OD →＋DO →＝BO →； (3)AO →＋BO →＋2OD →＝AD →＋BD →.答案 (1)OB (2)BO (3)AD ＋BD8．在正方形ABCD 中，边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，则|a ＋b |＝________.解析 a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →， ∴|a ＋b |＝|AC →|＝ 2. 答案29．若P 为△ABC 的外心，且P A →＋PB →＝PC →，则∠ACB ＝__________.解析 ∵P A →＋PB →＝PC →，则四边形APBC 是平行四边形． 又P 为△ABC 的外心， ∴|P A →|＝|PB →|＝|PC →|. 因此∠ACB ＝120°. 答案 120°10．设a 表示“向东走了2 km ”，b 表示“向南走了2 km ”，c 表示“向西走了2 km ”，d 表示“向北走了2 km ”，则(1)a ＋b ＋c 表示向________走了________km ； (2)b ＋c ＋d 表示向________走了________km ； (3)|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________． 解析 (1)如图①所示，a ＋b ＋c表示向南走了2 km.(2)如图②所示，b ＋c ＋d 表示向西走了2 km.(3)如图①所示，|a ＋b |＝22＋22＝22，a ＋b 的方向是东南． 答案 (1)南 2 km (2)西 2 km (3)22 东南 11.如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，试通过计算用图中有向线段表示下列向量的和：(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →； (3)OA →＋FE →.解 (1)因为四边形OABC 是平行四边形，所以OA →＋OC →＝OB →. (2)因为BC ∥AD ∥FE ；BC ＝FE ＝12AD ， 所以BC →＝AO →，FE →＝OD →， 所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →. (3)因为|OA →|＝|FE →|，且OA →与FE →反向． 所以利用三角形法则可知OA →＋FE →＝0. 12．化简：(1)AB →＋CD →＋BC →； (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)； (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →.解 (1)AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →. (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →) ＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →) ＝MC →＋CN →＝MN →. (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0 13.如右图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →. 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 证明 由图可知AB →＝AP →＋PB →， AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋PB →＋QC →. ∵BP →＝QC →，又PB →与BP →模相等，方向相反， 故PB →＋QC →＝PB →＋BP →＝0.∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(二十七)1．sin15°sin75°的值为( ) A.12 B.14 C.32D.34解析 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝12×2sin15°cos15°＝12sin30°＝14.答案 B2．cos 4π8－sin 4π8等于( )A ．0 B.22 C ．1D ．－22解析 cos 4π8－sin 4π8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8＋sin 2π8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8－sin 2π8 ＝cos π4＝22. 答案 B3．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，则cos2α的值等于( ) A ．－725 B.725 C.325D ．－325解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，∴cos2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.答案 A4．化简1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ的结果为( ) A ．2cos2θ B ．－cos2θ C ．sin2θD ．－sin2θ解析 1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝－sin2θ. 答案 D5．若sin x ·tan x <0，则1＋cos2x 等于( ) A.2cos x B ．－2cos x C.2sin xD ．－2sin x解析 ∵sin x ·tan x <0，∴x 为第二或第三象限的角． ∴cos x <0，∴1＋cos2x ＝2cos 2x ＝2|cos x | ＝－2cos x . 答案 B6．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3解析 ∵sin 2α＋cos2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∴cos α＝±12.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝3. 答案 D7．已知tan2α＝12，则tan α的值为________．解析 由tan2α＝2tan α1－tan 2α＝12，整理可得：tan 2α＋4tan α－1＝0.解得：tan α＝－2±5.答案 －2±58．cos π5cos 2π5＝________. 答案 149．已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan xtan2x 的值为________．解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，∴tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13.∴tan x tan2x ＝tan x2tan x 1－tan 2x ＝1－tan 2x 2＝1－192＝49.答案 4910．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin2x ＝________.解析 方法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，∴22(cos x ＋sin x )＝35，∴12(1＋2sin x cos x )＝925，∴sin2x ＝－725.方法二：sin2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝2×925－1＝－725. 答案 －72511．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期．(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ， 所以函数f (x )的最小正周期为π. (2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3≤2x ≤π， 所以－32≤sin2x ≤1，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32.12．已知α为锐角，且tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2.(1)求tan α的值；(2)求sin2αcos α－sin αcos2α的值． 解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin2αcos α－sin αcos2α＝2sin αcos 2α－sin αcos2α ＝sin α(2cos 2α－1)cos2α ＝sin αcos2αcos2α ＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110， 又α为锐角，所以sin α＝1010， 所以sin2αcos α－sin αcos2α＝1010. 13．求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin2α证明 方法一：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin2α＝右边． ∴原式成立．方法二：左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tan α21－tan 2α2＝ 12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin2α＝右边． ∴原式成立．高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(二十三)1．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是( )A ．(8,2)B ．(9,1)C ．(－1,9)D ．(3,1)解析 由已知得F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)． ∴OF →＝OA →＋AF →＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)． 答案 B2．初速度为v 0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为12v 0，则发射角θ应为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析 炮弹的水平速度为v ＝v 0·cos θ＝12v 0⇒cos θ＝12⇒θ＝60°. 答案 D3．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某一物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析 由题意知，F 1＋F 2＋F 3＋F 4＝0. 又F 1＋F 2＋F 3＝(－1，－2)，∴F 4＝(1,2)． 答案 D4．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N解析 如下图所示，|F 1|＝|F |cos60°＝10×12＝5 N ，应选B.答案 B5．一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v 1，水速为v 2，已知船可垂直到达对岸，则( )A ．|v 1|<|v 2|B ．|v 1|>|v 2|C ．|v 1|≤|v 2|D ．|v 1|≥|v 2|解析 船速v 1应大于水速v 2，即|v 1|>|v 2|. 答案 B6．当两人提重为|G |的书包时，夹角为θ，用力为|F |，则当|F |最小时，θ应为( )A ．0 B.π2 C.2π3 D. π答案 A7．河水从东向西流，流速为2 m/s ，一轮船以2 m/s 垂直水流方向向北横渡，则轮船实际航行的方向是________，航速是________．解析 如图所示，记水速|v 1|＝2 m/s ，船速|v 2|＝2 m/s. v 表示船实际航行的速度，则由图知：|v |＝22＋22＝22(m/s)．方向与水流方向成45°. 答案 西北方向 2 2 m/s8．三个力F 1，F 2，F 3同时作用于O 点且处于平衡状态，已知F 1与F 2的夹角为120°，又|F 1|＝|F 2|＝20 N ，则|F 3|＝________.解析 由题意有F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－F 1－F 2，∴|F 3|2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝202＋2|F 1|·|F 2|cos120°＋202＝202，∴|F 3|＝20 N.答案 20 N9．已知速度v 1＝(1，－2)，速度v 2＝(3,4)，则合速度v ＝________. 答案 (4,2)10．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为__________．解析 水平力在3 s 内对物体所做的功：F·s ＝F ·12a t 2＝12F·F m t 2＝12m F 2t 2＝12×12×42×32＝36(J)．答案 36 J 11.今有一小船位于d ＝60 m 宽的河边P 处，从这里起，在下游l ＝80 m 处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5 m/s ，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？解如图，由题设可知，船的实际速度v ＝v 划＋v 水，其方向为临界方向PO →.则最小划速|v |＝|v 水|·sin θ， sin θ＝d d 2＋l 2＝60602＋802＝35，∴θ＝37°，∴最小划速应为|v 划|＝5×sin θ＝5×35＝3(m/s)．12．平面上有两个向量e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，今有动点P ，从P 0(－1,2)开始沿着与向量e 1＋e 2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|e 1＋e 2|，另一动点Q ，从点Q 0(－2，－1)出发，沿着与向量3e 1＋2e 2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e 1＋2e 2|.设P ，Q 在t ＝0秒时分别在P 0，Q 0处，则当PQ →⊥P 0Q 0→时，t 等于多少秒．解 ∵P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)， ∴P 0Q 0→＝(－1，－3)．又∵e 1＋e 2＝(1,1)，∴|e 1＋e 2|＝ 2. ∵3e 1＋2e 2＝(3,2)，∴|3e 1＋2e 2|＝13.∴当t 时刻时，点P 的位置为(－1＋t,2＋t )，点Q 位置为(－2＋3t ，－1＋2t )．∴PQ →＝(－1＋2t ，－3＋t )． ∵P 0Q 0→⊥PQ →，∴(－1)×(－1＋2t )＋(－3)×(－3＋t )＝0. ∴t ＝2.即当PQ →⊥P 0Q 0→时所需时间为2秒．13．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解如图，由已知条件可知AG与竖直方向成45°角，BG与竖直方向成60°角．设A处所受力为F a，B处所受力为F b，物体的重力为G，∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a|cos45°＋|F b|cos60°＝|G|＝100，①且|F a|sin45°＝|F b|sin60°.②由①②解得|F a|＝1502－506，∴A处所受力的大小为(1502－506) N.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。

双基限时练(七)1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析 可以用特殊点来验证：x ＝0时，y ＝－sin0＝0，排除A 、C ；又x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，故选D.答案 D2．用五点法作y ＝2sin2x 的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π4，π C ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析 令2x 分别等于0，π2，π，3π2，2π时，得x ＝0，π4，π2，3π4，π.答案 B3．若cos x ＝0，则角x 等于( ) A ．k π(k ∈Z ) B.π2＋k π(k ∈Z ) C.π2＋2k π(k ∈Z ) D ．－π2＋2k π(k ∈Z )答案 B4．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象 D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象 答案 D5．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D6．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 B7．下列函数图象相同的序号是________． ①y ＝cos x 与y ＝cos(x ＋π)； ②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ；③y ＝sin x 与y ＝sin(2π－x )； ④y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x . 答案 ④8．函数y ＝sin x 的图象和y ＝cos x 的图象在[0,2π]内的交点坐标为________．解析 在同一坐标系内画出图象即可．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－229．利用正弦曲线，写出函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．解析 y ＝sin x 的图象如图．由图知，当x ＝π2时，sin x 取到最大值1， 当x ＝π6时，sin π6＝12.∴当π6≤x ≤2π3时，1≤y ≤2. 答案 [1,2]10．函数y ＝2cos x －2的定义域是________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z11．用“五点法”画函数y ＝－2＋sin x (x ∈[0,2π])的简图． 解 按五个关键点列表：利用正弦函数的性质描点作图(如下图所示)．12．作出函数y ＝－sin x ，x ∈[－π，π]的图象，并回答下列问题： (1)观察函数的图象，写出满足下列条件的区间： ①sin x >0；②sin x <0；(2)直线y ＝12与y ＝－sin x 的图象有几个交点？ 解 用五点法作图如下：(1)根据图象可知，图象在x 轴上方的部分－sin x >0，在x 轴下方的部分－sin x <0，所以当x ∈(－π，0)时，－sin x >0；当x ∈(0，π)时，－sin x <0.即当x ∈(0，π)时，sin x >0；当x ∈(－π，0)时，sin x <0.(2)画出直线y ＝12，知有两个交点．13．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．解观察图可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4是两个对称图形；有S 1＝S 2，S 3＝S 4，因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以转化为求矩形OABC 的面积．因为|OA |＝2，|OC |＝2π， 所以S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. 所以所求封闭图形的面积为4π.。

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(十一)1．把函数f (x )的图象向右平移π12个单位后得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，则f (x )为( )A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋712πB ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋34πC ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12D ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －512π解析 用x －π12代换选项中的x ，化简得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的就是f (x )，代入选项C ，有f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.答案 C2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π，②图象关于x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(x 2＋π6) B ．y ＝sin(2x ＋π6) C ．y ＝sin(2x －π3) D ．y ＝sin(2x －π6)解析 当x ＝π3时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象关于x ＝π3对称，且周期T ＝2π2＝π.答案 D3．要将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象转化为某一个偶函数图象，只需将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象( )A ．向左平移π4个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π8个单位 D ．向右平移π8个单位解析 把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移π8个单位即得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象．因为y ＝cos2x 为偶函数，所以符合题意．答案 C4．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是( )A ．－x ＋π6，π6 B ．x －π6，－π6 C ．x ＋5π6，5π6D ．x ＋5π6，π6解析 因为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，所以相位和初相分别是x ＋5π6，5π6. 答案 C5．如下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1C ．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1D ．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 解析 由图象知A ＝2－(－4)2＝3，b ＝－1， T ＝5π6－⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝π.∴ω＝2πT ＝2，故可设解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)－1，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－4，得－4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ－1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，∴φ＋7π6＝2k π－π2(k ∈Z )．令k ＝1，解得φ＝π3，所以y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1. 答案 C6．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析 由题意可得，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2ω，则π2ω＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝4k ，k ∈Z ，因为6不是4的整数倍，所以ω的值不可能是6，故选B.答案 B7．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________．解析 ∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称， ∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)， ∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)，∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )，即10θ＝2k π＋π，故θ＝k π5＋π10(k ∈Z )．答案 k π5＋π10，k ∈Z8．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________， φ＝________.解析 由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)．又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案 2 π39．函数y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图象与x 轴的各个交点中，离原点最近的一点是__________．解析 令－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3＝0.则4x ＋2π3＝k π，∴x ＝k π4－π6，k ∈Z . 故取k ＝1时，x ＝π12.∴离原点最近的一点是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，010．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0) 的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是________． 解析 把f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π4. 又所得图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0， ∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0.∴sin ωπ2＝0. ∴ωπ2＝k π(k ∈Z )． ∴ω＝2k (k ∈Z )． ∵ω>0，∴ω的最小值为2. 答案 211．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0，且以π2为最小正周期．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6时，求f (x )的最值．解 (1)∵f (x )的最小正周期为π2，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6，得4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. ∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＝－12， 即x ＝－π12时，f (x )有最小值－32，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＝1，即x ＝π12时，f (x )有最大值3. 12．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π4.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)∵x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π4＋φ＝±1.∴π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<φ<π2，∴φ＝3π8. (2)由(1)知φ＝3π8， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π8. 由题意得2k π－π2≤12x ＋3π8≤2k π＋π2，k ∈Z ， 即4k π－74π≤x ≤4k π＋π4，k ∈Z . ∴函数y ＝f (x )的单调增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－74π，4k π＋π4(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )，在一个周期内的图象如下图所示，求直线y ＝3与函数f (x )图象的所有交点的坐标．解 由图象得A ＝2， T ＝72π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝4π.则ω＝2πT ＝12，故y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝0，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π4.由条件知3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π4，得12x ＋π4＝2k π＋π3(k ∈Z )， 或12x ＋π4＝2k π＋23π(k ∈Z )．∴x ＝4k π＋π6(k ∈Z )，或x ＝4k π＋56π(k ∈Z )． 则所有交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π6，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋5π6，3(k ∈Z )．。

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(二十七)1．sin15°sin75°的值为( ) A.12 B.14 C.32D.34解析 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝12×2sin15°cos15°＝12sin30°＝14.答案 B2．cos 4π8－sin 4π8等于( )A ．0 B.22 C ．1D ．－22解析 cos 4π8－sin 4π8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8＋sin 2π8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8－sin 2π8 ＝cos π4＝22. 答案 B3．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，则cos2α的值等于( ) A ．－725 B.725 C.325D ．－325解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，∴cos2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.答案 A4．化简1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ的结果为( ) A ．2cos2θ B ．－cos2θ C ．sin2θD ．－sin2θ解析 1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝－sin2θ. 答案 D5．若sin x ·tan x <0，则1＋cos2x 等于( ) A.2cos x B ．－2cos x C.2sin xD ．－2sin x解析 ∵sin x ·tan x <0，∴x 为第二或第三象限的角． ∴cos x <0，∴1＋cos2x ＝2cos 2x ＝2|cos x | ＝－2cos x . 答案 B6．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3解析 ∵sin 2α＋cos2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∴cos α＝±12.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝3. 答案 D7．已知tan2α＝12，则tan α的值为________．解析 由tan2α＝2tan α1－tan 2α＝12，整理可得：tan 2α＋4tan α－1＝0.解得：tan α＝－2±5.答案 －2±58．cos π5cos 2π5＝________. 答案 149．已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan xtan2x 的值为________．解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，∴tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13.∴tan x tan2x ＝tan x2tan x 1－tan 2x ＝1－tan 2x 2＝1－192＝49.答案 4910．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin2x ＝________.解析 方法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，∴22(cos x ＋sin x )＝35，∴12(1＋2sin x cos x )＝925，∴sin2x ＝－725.方法二：sin2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝2×925－1＝－725. 答案 －72511．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期．(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ， 所以函数f (x )的最小正周期为π. (2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3≤2x ≤π， 所以－32≤sin2x ≤1，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32.12．已知α为锐角，且tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2.(1)求tan α的值；(2)求sin2αcos α－sin αcos2α的值． 解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin2αcos α－sin αcos2α＝2sin αcos 2α－sin αcos2α ＝sin α(2cos 2α－1)cos2α ＝sin αcos2αcos2α ＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110， 又α为锐角，所以sin α＝1010， 所以sin2αcos α－sin αcos2α＝1010. 13．求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin2α证明 方法一：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin2α＝右边． ∴原式成立．方法二：左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tan α21－tan 2α2＝ 12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin2α＝右边． ∴原式成立．。

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(十三)1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个1．下列说法中正确的个数是()(1)零向量是没有方向的(2)零向量的长度为0(3)零向量的方向是任意的(4)单位向量的模都相等A．0 B．1C．2 D．3答案 D2．在下列命题中，正确的是()A．若|a|>|b|，则a>bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a与b共线D．若a≠b，则a一定不与b共线解析分析四个选项知，C正确．答案 C3．设a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是()A. a＝bB．若a∥b，则a＝bC. a＝b或a＝－bD．若a＝c，b＝c，则a＝b答案 D4．设M 是等边△ABC 的中心，则AM →，MB →，MC →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．相等的向量 C ．模相等的向量 D ．平行向量解析 由正三角形的性质知，|MA |＝|MB |＝|MC |. ∴|MA →|＝|MB →|＝|MC →|.故选C. 答案 C5．如右图，在四边形ABCD 中，其中AB →＝DC →，则相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →解析 由AB →＝DC →知，四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形的性质知，|DO →|＝|OB →|，且方向相同，故选D.答案 D6．下列结论中，正确的是( )A ．2014 cm 长的有向线段不可能表示单位向量B ．若O 是直线l 上的一点，单位长度已选定，则l 上有且只有两个点A ，B ，使得OA →，OB →是单位向量C ．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D ．一人从A 点向东走500米到达B 点，则向量AB →不能表示这个人从A 点到B 点的位移解析 一个单位长度取作2014 cm 时，2014 cm 长的有向线段刚好表示单位向量，故A 错误；易确定B 正确，C 选项为平行向量；D 选项的AB →表示从点A 到点B 的位移．答案 B7．如图，ABCD 为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与AC →平行且长度为22的向量个数是________．解析 如图所示，满足条件的向量有EF →，FE →，HG →，GH →，AQ →，QA →，PC →，CP →共8个．答案8个8．把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是__________．解析这些向量的始点在同一直线，其终点构成一条直线．答案一条直线9．如图，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图中提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为________．解析注意到从A点出发，这些向量的顺序是a，e，d，c，b.答案a，e，d，c，b10．给出下列说法(1)若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若a∥b，则a＝b；(3)若a＝b，则a∥b；(4)若a＝b，则|a|＝|b|；(5)若a≠b，则a与b不是共线向量，其中正确说法的序号是________．解析(1)错误．因为两个向量不能比较大小．(2)错误．若a∥b，则a与b的方向不一定相同，模也不一定相等，故无法得到a ＝b .(3)正确．若a ＝b ，则a 与b 的方向相同，故a ∥b . (4)正确．若a ＝b ，则a 与b 模相等，即|a |＝|b |.(5)错误．若a ≠b ，则a 与b 有可能模不相等但方向相同，所以有可能是共线向量．答案 (3)(4)11．如下图，E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的各边中点，分别指出图中：(1)与向量HG →相等的向量； (2)与向量HG →平行的向量； (3)与向量HG →模相等的向量；(4)与向量HG →模相等、方向相反的向量． 解 (1)与向量HG →相等的向量有EF →.(2)与向量HG →平行的向量有EF →，FE →，AC →，CA →，GH →. (3)与向量HG →模相等的向量有GH →，EF →，FE →. (4)与向量HG →模相等、方向相反的向量有GH →，FE →.12．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北45°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.解 (1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →平行． 又|AB →|＝|CD →|＝100 km ， ∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴|AD →|＝|BC →|＝200 km. 13.如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，F ，G 分别是DB ，EC 的中点，求证：向量DE →与FG →共线．证明 ∵D ，E 分别是边AB ，AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE ∥BC . ∴四边形DBCE 是梯形．又∵F ，G 分别是DB ，EC 的中点， ∴FG 是梯形DBCE 的中位线． ∴FG ∥DE .∴向量DE →与FG →共线．高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(二十)1．已知|a |＝6，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A ．6＋ 3 B ．6－ 3 C ．6D ．7解析 a ·b ＝|a ||b |cos60°＝6×2×cos60°＝6. 答案 C2．已知|a |＝2，|b |＝4，a ·b ＝－4，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析 cos θ＝a ·b |a ||b |＝－42×4＝－12，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故选D. 答案 D3．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a ·b ＝( ) A ．3 B.92 C ．2D.12解析 由题意，得|a |cos 〈a ，b 〉＝32， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝3×32＝92. 答案 B4．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( ) A ．0B ．2 2C ．4D ．8解析 |2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝8， ∴|2a －b |＝2 2. 答案 B5．若非零向量a 与b 的夹角为2π3，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －b )＝－32，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析 (a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋2a ·b －a ·b －2b 2 ＝a 2＋a ·b －2b 2＝－32，又a ·b ＝|a ||b |cos 2π3＝|a |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2|a |，∴|a |2－2|a |－2×42＝－32. ∴|a |＝2，或|a |＝0(舍去)． 答案 A6．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形解析 因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →－BC →)＋CA →·CB →＝AB →·AB →＋CA →·CB →，所以CA →·CB →＝0，即CA →⊥CB →，所以三角形为直角三角形，选D.答案 D7．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________.解析设b ＝(x ，y )，则⎩⎨⎧y ＝－2x ，x 2＋y 2＝45.∴x 2＝9.∴x ＝±3，又a ＝(－1,2)与b 方向相反． ∴b ＝(3，－6)． 答案 (3，－6)8．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b|(k >0)．若a 与b 的夹角为60°，则k ＝________.解析 由|k a ＋b |＝3|a －k b|，得k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2， 即(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0. ∵|a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝1×1cos60°＝12， ∴k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1. 答案 19．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为________．解析 ∵|a |＝2，a ·(a ＋b )＝1， ∴a 2＋a ·b ＝2＋a ·b ＝1.∴a ·b ＝－1.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12×1＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4. 答案 3π410．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析 因为BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝AD →－12AB →， 所以AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2＋12AD →·AB →－12AB →2＝1＋12×1×|AB →|cos60°－12|AB →|2＝1，所以14|AB →|－12|AB →|2＝0，解得|AB →|＝12.答案 1211．在△ABC 中，|BC →|＝4，|CA →|＝9，∠ACB ＝30°， 求BC →·CA →. 解 如图所示，BC →与CA →所成的角为∠ACB 的补角即150°， 又因为|BC →|＝4，|CA →|＝9，所以BC →·CA →＝|BC →|·|CA →|cos150°＝4×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－18 3.12．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． 解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12， ∴|a |2－|b |2＝12.∵|a |＝1， ∴|b |＝|a |2－12＝22.设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝a ·b|a ||b |＝121·22＝22，∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝45°.(2)∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝12，∴|a －b |＝22.∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝52，∴|a ＋b |＝102.设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则 cos α＝(a －b )·(a ＋b )|a －b ||a ＋b |＝1222×102＝55.13．已知a ，b 是两个非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取得最小值时．(1)求t 的值(用a ，b 表示)； (2)求证：b 与a ＋t b 垂直．(1)解 |a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a ·b b 22＋a 2－(a ·b )2b 2.当t ＝－a ·bb2时，|a ＋t b |取最小值． (2)证明 (a ＋t b )·b ＝a ·b ＋t b 2＝a ·b －a ·bb2×b 2＝0，所以a ＋t b 与b垂直．。

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(十七)1．给出下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可为基底中的向量．其中正确的说法是()A．①②B．②③C．①③D．②解析因为不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本题中，①错，②、③正确，故选B.答案 B2．已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是()A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e2解析分析四个选项知，在C中，4e2－2e1＝－2(e1－2e2)．∴e1－2e2与4e2－2e1共线，应选C.答案 C3．在△ABC 中，BC →＝3BD →，则AD →等于( ) A.13(AC →＋2AB →) B.13(AB →＋2AC →) C.14(AC →＋3AB →)D.14(AC →＋2AB →)解析 如图所示， AD →＝AB →＋BD → ＝AB →＋13BC → ＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝13(AC →＋2AB →)，故选A. 答案 A4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP →等于( )A ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1) D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22解析 ∵ABCD 是菱形，且AC 是一条对角线，由向量加法的平行四边形法则知，AC →＝AB →＋AD →，而点P 在AC 上，∴三点A ，P ，C 共线，∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，显然λ∈(0,1)，故选A.答案 A5．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析 因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →， 所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →.又A ，B ，C ，D 四点不共线， 所以|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ， 故四边形ABCD 为平行四边形． 答案 B6．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 的阴影内，满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－34，25 解析 由图观察并根据平面向量基本定理，可知x <0，y <0，故选C.答案 C7．已知a ，b 不共线，且c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1＝________.解析 ∵a ，b 不共线，∴a ，b 可以作为一组基底，又c 与b 共线，∴c ＝λ2b ，∴λ1＝0.答案 08．设向量a ，b 不共线，且OC 1→＝k 1a ＋k 2b ，OC 2→＝h 1a ＋h 2b ，若OC 1→＋OC 2→＝m a ＋n b ，则实数m ＝________，n ＝________.解析 OC 1→＋OC 2→＝(k 1＋h 1)a ＋(k 2＋h 2)b ＝m a ＋n b .∴m ＝k 1＋h 1，n ＝k 2＋h 2. 答案 k 1＋h 1 k 2＋h 29．已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．解析 使a 、b 为基底，则使a 、b 不共线，∴λ－2×2≠0.∴λ≠4. 答案 {λ|λ≠4}10．若a ≠0，且b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是________．答案 30°11．设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解 如图所示，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB → ＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b .12．如图所示，在▱ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点．已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.解 设AB →＝a ，AD →＝b .由M ，N 分别为DC ，BC 的中点，得BN →＝12b ，DM →＝12a . 在△ABN 和△ADM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝d ， ①b ＋12a ＝c . ②①×2－②，得a ＝23(2d －c )． ②×2－①，得b ＝23(2c －d )．∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．13．若a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a 、t b 、13(a ＋b )(t ∈R )三向量的终点在同一直线上？解 设a －t b ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13(a ＋b )(m ∈R )，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 3－1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3－t b ，∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 3－1＝0，m 3－t ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a 、t b 、13(a ＋b )的终点在同一直线上．高中数学知识点 三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(二十六)1．已知下列四个等式：①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； ②cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α； ④tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.其中恒成立的等式有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析 ①，②，③对任意角α，β恒成立，④中的α，β还要使正切函数有意义．答案 B2.1－tan15°1＋tan15°的值为( ) A. 3 B.33 C ．1 D ．－ 3解析 原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33.答案 B3．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.1328 B.1322 C.322 D.163．已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13B.139C.1315D.59 答案 B4．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．4解析 因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4，所以tan αtan β＝12.答案 C5．若0<α<π2，0<β<π2，且tan α＝17，tan β＝34，则α＋β等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4解析 由已知可求得tan(α＋β)＝1. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. 答案 B6．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝b ＋aD ．c ＝ab解析 由韦达定理可知tan α＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝－ba 且tan αtan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－a ＝c a ，∴tan π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a1－c a ＝1.∴－b a ＝1－c a .∴－b ＝a －c .∴c ＝a ＋b .故选C.答案 C7．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝________. 解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 答案 138.tan51°－tan6°1＋tan51°tan6°＝________. 解析 原式＝tan(51°－6°)＝tan45°＝1. 答案 19．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝______.解析 ∵π2<α<π，sin α＝35， ∴cos α＝－45，∴tan α＝－34. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17. 答案 1710．tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________.解析 因为tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°) ＝tan45°(1＋tan67°tan22°) ＝1＋tan67°tan22°所以tan67°－tan22°－tan67°tan22° ＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1. 答案 111．求下列各式的值． (1)tan π12；(2)tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°.解 (1)tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝tan π4－tan π61＋tan π4·tan π6 ＝1－331＋33＝2－ 3.(2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝ 3. 12．(1)已知α＋β＝π4，求(1＋tan α)(1＋tan β)．(2)利用(1)的结论求(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·(1＋tan3°)·…·(1＋tan45°)的值．解 (1)∵α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝1，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝(tan α＋tan β)＋1＋tan αtan β＝2. (2)由(1)知当α＋β＝45°时， (1＋tan α)(1＋tan β)＝2.∴原式＝(1＋tan1°)(1＋tan44°)(1＋tan2°)(1＋tan43°)…(1＋tan22°)(1＋tan23°)·(1＋tan45°)＝222·2＝223.13．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)． (1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值． 解 (1)tan α＝－13，cos β＝55，β∈(0，π)， ∴sin β＝255，∴tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝1. (2)∵tan α＝－13， α∈(0，π)， ∴sin α＝110，cos α＝－310.∴f (x )＝2(sin x cos α－cos x sin α)＋cos x cos β－sin x sin β ＝－35sin x －15cos x ＋55cos x －255sin x＝－5sin x . ∴f (x )的最大值为 5.。

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(四)1．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系，有( ) A ．sin1>sin1.2>sin1.5 B ．sin1>sin1.5>sin1.2 C ．sin1.5>sin1.2>sin 1 D ．sin1.2>sin 1>sin 1.5解析 π4<1<1.2<1.5<π2，画图易知． 答案 C2．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( ) A ．sin α＋cos α B ．tan α＋sin α C ．cos α－tan αD ．sin α－tan α解析 由α为第二象限角知，sin α>0，tan α<0，由三角函数线知|tan α|>sin α. ∴－tan α>sin α，即sin α＋tan α<0. 答案 B3．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )A.π4B.3π4C.7π4D.3π4或7π4 答案 D4．依据三角函数线，作出如下判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8>tan 3π5；④sin 3π5>sin 4π5.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C5．已知角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A ．x 轴的非负半轴上B ．x 轴的非正半轴上C ．x 轴上D ．y 轴上 解析 由角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，得cos α＝±1，故角α的终边在x 轴上．答案 C6．已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β解析 方法一：(特殊值法)取α＝60°，β＝30°，满足sin α>sin β，此时cos α<cos β，所以A 不正确；取α＝60°，β＝150°，满足sin α>sin β，这时tan α<tan β，所以B 不正确；取α＝210°，β＝240°，满足sin α>sin β，这时cos α<cos β，所以C 不正确．方法二：如图，P 1，P 2为单位圆上的两点，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且y 1>y 2.若α，β是第一象限角，又sin α>sin β，则sin α＝y 1，sin β＝y 2，cos α＝x 1，cos β＝x 2.∵y 1>y 2，∴α>β.∴cos α<cos β.∴A 不正确．若α，β是第二象限角，由图知P ′1(x ′1，y ′1)，P ′2(x ′2，y ′2)，其中sin α＝y ′1，sin β＝y ′2，则tan α－tan β＝y ′1x ′1－y ′2x ′2＝x ′2y ′1－x ′1y ′2x ′1x ′2.而y ′1>y ′2>0，x ′2<x ′1<0， ∴－x ′2>－x ′1>0，∴x ′1x ′2>0，x ′2y ′1－x ′1y ′2<0， 即tan α<tan β.∴B 不正确．同理，C 不正确．故选D. 答案 D7．若角α的正弦线的长度为34，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________．答案 －348．比较大小：sin1155°________sin(－1654°)(填“<”或“>”)． 答案 >9．已知α∈(0,4π)，且sin α＝12，则α的值为________． 解析 作出满足sin α＝12的角的终边，如图：直线y ＝12交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则终边在OA ，OB 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π，k ∈Z .又α∈(0,4π)，所以α＝π6或5π6或13π6或17π6 答案 π6或5π6或13π6或17π610．在(0,2π)内，使sin α>cos α成立的α的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π11．试作出角α＝7π6的正弦线、余弦线、正切线． 解 如图：α＝7π6的余弦线、正弦线、正切线分别为OM ，MP ，AT . 12．利用三角函数线比较下列各组数的大小． (1)sin 2π3与sin 4π5； (2)tan 2π3与tan 4π5. 解如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P ，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，sin 2π3＝MP ，tan 2π3＝AT ；角4π5的终边与单位圆的交点为P ′，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线交点为T ′，作P ′M ′⊥x 轴，垂足为M ′，则sin 4π5＝M ′P ′，tan 4π5＝AT ′，由图可见，MP >M ′P ′，AT <AT ′，所以(1)sin 2π3>sin 4π5. (2)tan 2π3<tan 4π5.13．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合： (1)tan α＝－1；(2)sin α＜－12.解 (1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P和P ′，则OP 和OP ′就是角α的终边，∴∠xOP ＝3π4＝π－π4，∠xOP ′＝－π4，∴满足条件的所有角α的集合是{α|α＝－π4＋k π，k ∈Z }．①②(2)如图②所示，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12作x 轴的平行线，交单位圆于点P和P ′，则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12，∴∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6， ∴满足条件的所有角α的集合是 {α|7π6＋2k π＜α＜11π6＋2k π，k ∈Z }．高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。