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微积分期中复习第一章 函数与极限一、函数1、数轴、区间、领域2、函数的概念：设有两个变量x 和y ，如果当某非空集合D 内任取一个数值时， 变量y 按照一定的法则(对应规律)f ，都有唯一确定的值y 与之对应，则称y 是x 的函数。
记作()y f x =，其中变量x 称为自变量，它的取值范围D 称为函数的定义域；变量y 称为因变量，它的取值范围是函数的值域，记作()Z f ，即(){|(),}Z f y y f x x D ==∈。
函数的表示：函数的表示有三种。
公式法、表格法和图示法。
3、函数的几种特性函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性。
4、初等函数(1) 基本初等函数① 幂函数：y x μ=(μ为任意实数)， y kx b =+， 2y ax bx c =++ ② 指数函数：x y a =(0a >且1a ≠) ③ 对数函数：log a y x =(0a >且1a ≠)。
恒等式： log (0,1)a N a N a a =>≠ 换底公式： log log log c a c bb a=运算的性质：log log log a a a xy x y =+，log log log aa a yy x x=-。
④ 三角函数：sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x ======。
⑤ 反三角函数：arcsin ,arccos ,arctan ,cot y x y x y x y arc x ====。
(2) 反函数： (3) 复合函数： 5、常见的经济函数(1) 成本函数、收益函数和利润函数01()()C x C C x =+， ()()R x p x x =⋅，()()()L x R x C x =-。
(2) 需求函数与供给函数 (),()d d s s Q f p Q f p ==二、极限的概念与性质1、数列的极限 (1) 数列(2) 数列极限的定义 (3) 数列极限的几何意义 2、函数的极限(1) 当自变量x →∞时函数()f x 的极限 (2) 当自变量0x x →时函数()f x 的极限 (3) 左右极限3、函数极限的主要性质极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。
（完整版）微积分复习资料基本知识复习⼀、不定积分1．不定积分概念，第⼀换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的⼀个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的⼀个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+?（2）不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=?2。
()()'F x dx F x C =+? 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+（3）基本不定积分公式表⼀()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dx xdx x C x x µµµµ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+（3）第⼀换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ?=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du =??=?2．第⼆换元积分法，分部积分法（1）第⼆换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.⼜设()()'f t t ψψ具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=??=其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2）分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-??这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-??（3）基本积分公式表⼆(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三⾓函数有理式的积分，某些简单⽆理式的积分⼀、有理函数的积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，⼜称为有理分式.我们总假定分⼦多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分⼦多项式()P x 的次数⼩于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利⽤多项式的除法,总可以将⼀个假分式化成⼀个多项式与⼀个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分⽅法.对于真分式()()n m P x Q x ,⾸先将()m Q x 在实数范围内进⾏因式分解,分解的结果不外乎两种类型:⼀种是()kx a -,另外⼀种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若⼲个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.⼆、可化为有理函数的积分举例例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++?解由三⾓函数知道,sin x 与cos x 都可以⽤tan2x的有理式表⽰,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ ⽽2arctan ,x u =从⽽2.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222 xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++??+ ?++??=??-+ ?++??=++=+++ ?=+++例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从⽽所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =?=++?=-=-++??=+ 例6求u =,于是322,3,x u dx u du =-=从⽽所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+?=-+ +=-+++=+例7 求解设6x t =,于是56,dx t dt =从⽽所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++?=-=-+ +=+例8求解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从⽽所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-?=----?=-+=--+ -+=-++--+=-++⼆、定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
《 微积分》综合复习资料一、填空题1、设1ln ,0,()1,0x x f x x x+>⎧⎪=⎨<⎪⎩，则)(x f 的定义域 ,1()f e = .2、曲线2xy x e =+在点（0，1）处的切线方程是 .210,2Q C Q Q =+=3、设产量为时的成本为则产量时的平均成本 边际成本为4、设21,11,()1,13,x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨-<≤⎩，则(1)f = .(0)f = (2)f =5、曲线ln y x x =在点（1，0）处的法线方程是: .6、3(),()f x dx x C f x dx '=+=⎰⎰则7、设111)(++-=x x x f ，则)(x f 的定义域 ,(1)f x += . 8、曲线1xy x=+的水平渐近线为 ，铅直渐近线为 。
9、设需求函数为505,Q P =-2P =时的边际收益为 10、设21()1f x x=++，则)(x f 的定义域 ,2()f x π+= . 11、曲线41y x =+在点(1,2)处的切线方程是 。
12、设需求函数时的边际收益为则销售量2,210=-=Q QP . 二、选择题1、 下列函数中的奇函数是（ ）(a)2()sin ,[0,1]f x x x x =+∈ (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) 2()tan(1),(,)f x x x =+∈-∞+∞ 2、下列级数中绝对收敛的是（ ）(a)∑∞=121n n (b) ∑∞=-1)1(n nn (c)14()n n ∞=π∑ (d) 11n n n ∞=+∑ 3、下列算式中不正确的是（ ）(a)(sin )sin cos x x x x x '=+ (b)22()x x e e '=(c)2()2d x xdx +π= (d)1ln(1)1d x dx x+=+ 4、下列函数中函数是非奇非偶的函数是（ ）(a)2()sin ,[1,1]f x x x x =+∈- (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) 24()log (1),(,)f x x x =+∈-∞+∞5、若130(4)0x k dx -=⎰，则k=（ ）(a) -1 (b) 1 (c) 0 (d) 26、下列算式中不正确的是（ ）(a)2(ln )2ln x x x x x '=+ (b)(sin 2)2cos 2x x '= (c)2()d x xdx +π= (d)222ln(1)1d xx dx x +=+ 7、下列函数对中是偶函数的是（ ）(a)53)(x x f = (b)x x x x x f cos 1)(224++=(c)x x x f sin )(+= (d)2)(x x x f +=8、2211(),121x x f x x kx x ⎧-≤==⎨->⎩在点连续，则k=( ) (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 19、下列极限中能用罗必达法则计算得出结果的是（ ） (a)21lim1++→x x x (b) )1sin(1lim 1--→x x x(c) xx xx x sin sin lim +-∞→ (d) x x x x x e e e e --+∞→+-lim10、下列函数中既是偶函数又是有界函数的是（ ） (a)]1,0[,)(2∈=x x x f (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) ),(,11)(2+∞-∞∈+=x xx f 11、31(),11x kx f x x x kx -≤⎧==⎨+>⎩在处连续，则k=( ) (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 12、下列算式中不正确的是（ ）(a)x xt e dt e dx d =⎰0 (b))()(x f dx x f dxd =⎰(c)C x dx x dx d +=⎰22sin )(sin (d)1cos cos xdtdt x dx =⎰三、判断题1、已知2(1)1,f x x -=+则2()22f x x x =++（ ）2、如果极限lim ()x af x →存在，则函数()f x 在点a 连续 ( )3、已知边际收益函数为()2R p p '=，则总收益函数为2()R p p =( )4、函数()sin(21)f x x =+是周期函数，也是有界函数( )5、如果函数()f x 在点a 的导数存在，则()f x 在点a 连续。
微积分练习册[第八章]多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：（1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y yy x xyf +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x xy y x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7)函数xyz arcsin=的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2.求下列极限： （1）xy xy y x 42lim0+-→→(2)x xyy x sin lim0→→(3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题 （1）设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （3）设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zyz x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数4.设)ln(xy x z =，求y x z ∂∂∂23和23y x z∂∂∂5.)11(yx ez +-=，试化简yz y x z x∂∂+∂∂226.试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(22y x y x y x xyy x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续.习题8-3全微分及其应用1.X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：QY PY Qx Px 41600;51000-=-=公司X 、Y 现在的销售量分别是100个单位和250个单位。
