齐次线性方程组的基础解系(PPT)_1

齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的结构⏹非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的性质⏹应用举例齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 即 齐次线性方程组解的性质Ax齐次线性方程组解的结构性质1的和仍是解向量.齐次线性方程组的两个解向量0 Ax 齐次线性方程组解的性质设X 1,X 2为齐次线性方程组AX =0的两个解向量,则有AX 1=0,AX 2=0,证因为A (X 1+X 2)即X 1+X 2为方程组AX =0的解向量.=AX 1+AX 2=0，齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.因为性质1和性质2可知, 所以齐次线性方程组解向量的任意线性组合仍为其解向量.齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.齐次线性方程组解的结构1. α1, α2, …, αk 是线性无关的;2.方程组Ax =0的任意一个解向量均可由α1,定义Ax =0的一组解向量,α2, …, αk 线性表出,则称α1, α2, …, αk 是齐次方程组Ax =0的一个基础解系.设α1, α2, …, αk 是齐次线性方程组并且齐次线性方程组解的结构2.基础解系中含有多少个解向量?与R(A)有何关系?1.方程组是否总有基础解系?0 Ax齐次线性方程组解的结构定理1齐次线性方程组的系数0 Ax 并且基础解系含有n -r 个解向量.方程组有基础解系, n r A R )(矩阵A 的秩时, 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(用定义构造法找出一个基础解系即可)证n r A R )(1.因为所以A 中至少有一个r 阶子式不为零,按照上节定理2的分析,并且可以化为:不妨设A 中位于左上角的r 阶子式不为零,0 Ax 方程组有无穷多解,齐次线性方程组解的结构nn r r n rn r r ,r rn n r r ,n n r r ,x x x x x c x c xx c x c x x c x c x11112112211111齐次线性方程组解的结构写成向量形式nrn n n r r ,r r ,r ,r r ,r r ,r ,n r r r x c c c x c c c x c c c x x x x x x100010001212222211112112121 说明方程组任意解均可由α1, α2,…, αn-r 线性表出.齐次线性方程组解的结构， 0,,0,0,1 ， 0,,0,1,01,,0,0,0 ， 2.代入得到方程的n-r 个解向量:0 Ax 逐次令自由变量为n r r x x x ,,,21齐次线性方程组解的结构100,,010,001212,2,22,121,1,21,11 rn n n r n r r r r r r r r c c c c c c c c c齐次线性方程组解的结构由1. 2. 说明:它可以看成是在n -r 个n -r 维基本单位向量：0 Ax 的一个基础解系.中的每个向量上添加r 个分量而得到的,所以线性无关.α1, α2,…, αn -r 就是方程组(1,0,…,0)T ,(0,1,…,0)T ,…,(0,0,…,1)T齐次线性方程组解的结构推论设齐次方程组m ,,,i x a n j j ij 2101 (2)（因秩为n-r ,所以任n-r 个线性无关的解向量必为基）的系数矩阵的秩为r <n ，则任意的n -r 个线性无关的解向量都是它的基础解系. 证齐次线性方程组解的结构利用此推论证明一组解向量是否是基础解系时,个即可.)(A R n 并且它们的个数是只要证明它们是线性无关的,注。

§3齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组是指系数矩阵为零矩阵的线性方程组。

其一般形式为：a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ=0a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ=0...aₙ₁x₁+aₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ=0其中，aₙ(1≤n≤m,1≤i≤n)是方程组的系数。

对于齐次线性方程组，我们可以运用矩阵和向量的线性代数理论来推导其解的结构。

首先，我们将齐次线性方程组的系数矩阵记为A，行向量xT=(x₁,x₂,...,xₙ)，则方程组可表示为Ax=0。

根据矩阵乘法的定义，我们有A·xT=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ,a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ,...,aₙ₁x₁+a ₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ)=bT其中，bT是m维零向量。

这样，我们可以将齐次线性方程组的解的结构转化为求解矩阵A的零空间结构。

我们知道，零空间是矩阵A对应的齐次方程Ax=0的解的集合，也称为核空间。

零空间可以通过对系数矩阵A进行行变换化简，得到其对应的阶梯形矩阵U，进而求解。

接下来，我们来看零空间的结构。

假设U是矩阵A的阶梯形矩阵，其形式如下：a₁₁a₁₂a₁₃...a₁ₙ...a₁ₙ0a₂₂a₂₃...a₂ₙ...a₂ₙ00a₃₃...a₃ₙ...a₃ₙ...000aₙₙ...aₙₙ0000...aₙₙ其中，aᵢⱼ(1≤i≤p≤m,j>i)是U的主对角元素。

通过行变换，我们可以将U化简为如下形式：100...0...a₁ₙ₋ₙ₊₁a₁ₙ₋ₙ₊₂...a₁ₙ010...0...a₂ₙ₋ₙ₊₁a₂ₙ₋ₙ₊₂...a₂ₙ001...0...a₃ₙ₋ₙ₊₁a₃ₙ₋ₙ₊₂...a₃ₙ...000...1...aₙₙ₋ₙ₊₁aₙₙ₋ₙ₊₂...aₙₙ000...0...00 0其中，aᵢ(p<i≤n)是自由变量。

我们可以看出，自由变量的个数等于未知数的个数减去主元的个数。

二次型与正定矩阵1．二次型及其标准形1．1二次型的矩阵表示n 个变量12,,n x x x 的二次齐次多项式：212111121211(,,)22n n n f x x x a x a x x a x x =+++2222223232222n n n a x a x x a x x ax ++++++称为n 元二次型，简称二次型，当ij a 为复数时，称f 为复二次型；当ij a 为实数时，称f 为实二次型.我们仅讨论实二次型.取ij ji a a =,于是上式可写为二次型f 的和式表示.212111121211221122222221122(,,)n n nn nn n n n n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x ax =+++++++++++11n n ij i ji j a x x ===∑∑二次型f 的矩阵表示1112111222221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A '=x x这里，显然有A A '=，即A 为实对称矩阵.例1：二次型3222212132142),,(x x x x x x x x x f -++=用矩阵可表示为X X x x x f T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=020211011),,(321二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系.若f A '=x x ，其中A A '=，则称A 为二次型f 的矩阵；称f 为对称矩阵A 的二次型；称()R A 为f 的秩. 例1中二次型3222212132142),,(x x x x x x x x x f -++=的的秩是3. 1．2二次型的标准形对于二次型11n nij i j i j f a x x ===∑∑，我们讨论的主要问题是：寻找可逆的线性变换C x =y ，使二次型只含平方项，使得2221122n n f y y y λλλ=+++ ，称为二次型f 的标准形. 即2221122112212()(,,).n nn n n f A C AC y y y y y y y y y '''=+++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'==Λ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ x x =y y =y y λλλλλλ实二次型的标准形不是唯一的，但标准形中所含项数（即二次型的秩）却是唯一的.定理（惯性定理） 对任何实二次型，其标准形中系数为正的平方项个数和系数为负的平方项个数都是唯一确定的，不随可逆线性变换的不同而改变.在秩为r 的二次型的标准形中，正平方项的个数p 称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数r p -称为二次型的负惯性指数，它们的差()2p r p p r --=-称为二次型的符号差.1．3矩阵的合同求二次型的标准形转化为：对给定对称矩阵A ，求可逆矩阵C ，使得C AC '为对角阵.设,A B 为n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ，使B C AC '=，则称A 与B 合同.（1）合同是矩阵间的等价关系具有:反身性：对称性：和传递性：（2）若A 与B 合同，则()()R A R B =.（3）若A 是对称矩阵，且若A 与B 合同，则B 也是对称矩阵.2.化二次型为标准形2.1 配方法配方法就是应用中学代数中配平方的方法来逐次消去二次型中的交叉项，使得最后只剩下平方项，从而将二次型化为标准形.下面通过例子说明这种方法.例2 化二次型121323262f x x x x x x =-+为标准形，并求所用的变换矩阵.解 由于f 中不含平方项，不能直接配方，但含有乘积项12x x ，故令11221233,,,x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩即112233*********x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 代入可得221213232248f y y y y y y =---.再依次关于12,y y 配方，得222132332()2(2)6f y y y y y =--++.再令11322333,2,,z y y z y y z y =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩即112233*********y z y z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.代入后即得f 的标准形222123226f z z z =-+.所用的变换矩阵为110101111110012113,001001001C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（||20C =-≠）.2.2正交变换法对任何实对称矩阵A ，总有正交阵P ，使1P AP P AP-'==Λ为对角矩阵，于是有定理:任给二次型11n nij i j i j f a x x ===∑∑（ij ji a a =），总有正交变换P x =y ，将f 化为标准形2221122n n f y y y =+++ λλλ， 其中12,,,n λλλ 是f 的矩阵()ij A a =的n 个特征值.例3设二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（1） 求a 的值；（2） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形；【分析】 （1）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（2）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；.【详解】 （I ） 二次型对应矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ，由二次型的秩为2，知 0200011011=-++-=a a a a A ，得a=0.（II ） 这里⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ， 可求出其特征值为0,2321===λλλ.解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα， 解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α 由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y +3.正定二次型3.1正定二次型的概念定义 设实二次型f A '=x x ，若对任何12(,,,)n x x x '=≠0 x ，都有(1)()0f >x ，则称f 为正定二次型，称f 的矩阵A 为正定矩阵；(2)()0f <x ，则称f 为负定二次型，称f 的矩阵A 为负定矩阵；(3)()0f ≥x ，则称f 为半正定二次型，称f 的矩阵A 为半正定矩阵；(4)()0f ≥x ，则称f 为半负定二次型，称f 的矩阵A 为半负定矩阵(5)如果f 既不是半正定又不是半负定，则称f 为不定的.3.2正定二次型的判别法正定二次型的判别法1--用定义判定例4. 设A 是n m ⨯的实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知A A E B T +=λ，证明当0>λ时，B 为正定矩阵。

14 齐次线性方程组的解一、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++022*********43214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系，并写出通解.解 1121112110102111~0131~0131221200340034---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭基础解系为494,3ξ=-T（，，）通解为 ξk x =. (k 为任意实数)二、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++=++++0334503230543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

解：系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⨯-+--0000062210511016221062210111111334531123111112153223211312r r r r r r r r r A 则同解方程组为⎩⎨⎧---=++=543254316225x x x x x x x x 令⎪⎩⎪⎨⎧===352413k x k x k x 则通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100650102100121321k k k x 三、已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x t x x tx x x x x x 问：（1）t 取何值时，方程组仅有零解?（2）t 取何值时，方程组有无穷多解? 并用基础解系表示其通解.解：系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2)(1(0011011141211112t t t t t A 行变换要使方程组有零解必有3)(=A R 即0)2)(1(≠--t t 即21≠≠t t 且 要使方程组有非零解必有3)(<A R 则0)2)(1(=--t t 即21==t t 或此时,当1=t 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010101141121111行变换A 同解方程组为⎩⎨⎧=-=0231x x x 则基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101ξ通解为ξ1k X = )(1R k ∈当2=t 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110001441221111行变换A 同解方程组为⎩⎨⎧-==3210x x x 则基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110ξ通解为ξ2k X = )(2R k ∈四、写出一个以1212(2,1,0)(3,0,1)(,T T x c c c c =-+是常数)为通解的齐次线性方程组． 解 三元齐次线性方程组的基础解系含2个解向量,系数矩阵的秩为1． 所求方程组为 032321=-+x x x。