高中数学人教A版高二选修1-2模块综合检测： 含解析

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋i，则z1z2在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限B．第三象限C．第二象限D．第四象限解析：选D z1z2＝2＋i1＋i＝32－i2，对应点⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，－12在第四象限．2．下面几种推理中是演绎推理的为( )A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n＝1n(n＋1)(n∈N＋)C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝πD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2解析：选C 由演绎推理的概念可知C正确．3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B ∵ab＝0，∴a＝0或b＝0.由复数a＋bi＝a－bi为纯虚数，得a＝0且b ≠0.∴“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的必要不充分条件． 4．下列说法正确的有( )①回归方程适用于一切样本和总体．②回归方程一般都有时间性．③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围．④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③解析：选B 回归方程只适用于所研究样本的总体，所以①不正确；而“回归方程一般都有时间性”正确，③也正确；而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值，故选B.5．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z zi ＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i解析：选A 由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z zi ＝zi ＋z ，得zi ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i.7．(重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 第一次运行得s ＝1＋(1－1)2＝1，k ＝2；第二次运行得s ＝1＋(2－1)2＝2，k ＝3；第三次运行得s ＝2＋(3－1)2＝6，k ＝4；第四次运行得s ＝6＋(4－1)2＝15，k ＝5；第五次运行得s ＝15＋(5－1)2＝31，满足条件，跳出循环，所以输出的k 的值是5，故选C.8．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程y^＝7.19x ＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身高，有关叙述正确的是( )A ．身高一定为145.83 cmB ．身高大于145.83 cmC ．身高小于145.83 cmD ．身高在145.83 cm 左右解析：选D 用线性回归方程预测的不是精确值，而估计值，当x ＝10时，。

模块综合检测(A)(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200 D.y ^＝10x －200解析：选A.由题意知选项B 、D 为正相关，选项C 不符合实际意义． 2．在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)解析：选A.∵10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝i(3－i)＝1＋3i.又复数1＋3i 对应复平面内的点(1,3)，故选A. 3．复数引入后，数系的结构图为( )解析：选A.复数引入后，数系扩充为实数和虚数两部分，故选A. 4．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33D ．27解析：选B.由题中数字可发现：2＋3＝5,5＋6＝11,11＋9＝20，故20＋12＝32. 5．用反证法证明命题：“若(a －1)(b －1)(c －1)＞0，则a ，b ，c 中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都大于1B ．假设a ，b ，c 都不大于1C ．假设a ，b ，c 至多有一个大于1D ．假设a ，b ，c 至多有两个大于1解析：选B.a ，b ，c 至少有一个大于1的否定为a ，b ，c 都不大于1. 6．已知线性回归方程y ^＝1＋bx ，若x ＝2，y ＝9，则b ＝( ) A ．4 B ．－4 C ．18D ．0解析：选A.因为y ^＝1＋bx ，且x ＝2，y ＝9，所以9＝1＋2b ，所以b ＝4. 7．已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，若z 1－z 2是纯虚数，则( )A ．a －c ＝0，且b －d ≠0B ．a －c ＝0，且b ＋d ≠0C ．a ＋c ＝0，且b －d ≠0D ．a ＋c ＝0，且b ＋d ≠0解析：选A.∵z 1－z 2＝a ＋b i －(c ＋d i) ＝(a －c )＋(b －d )i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝0b －d ≠0. 8．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关性做试验，并由回归分析法分别求得相关指数R 与残差平方和m 如下表：甲 乙 丙 丁 R 0.82 0.78 0.69 0.85 m115106124103则哪位同学的试验结果体现A ，B 两变量更强的线性相关性( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁 解析：选D.相关指数R 越接近1，试验中两变量线性关系越强；残差平方和越小，线性关系越强．9．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为( )A．105 B．16C．15 D．1解析：选C.当i＝1时，s＝1×1＝1；当i＝3时，s＝1×3＝3；当i＝5时，s＝3×5＝15；当i＝7时，i＜n不成立，输出s＝15.10．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S－ABC的体积为V，则R＝()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4解析：选C.设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V S－ABC＝13(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝3VS1＋S2＋S3＋S4，故选C.二、填空题(本大题共5小题，把正确的答案填在题中横线上) 11．复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为________．解析：|z1－z2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝(cos θ－sin θ)2＋4＝5－2sin θcos θ＝5－sin 2θ≤ 6.12．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为________． 解析：要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a ·(a ＋7)与2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0＜12.故P ＜Q .答案：P ＜Q13．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线y ^＝b ^x ＋a ^，那么下面说法不正确的是________．①直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x ，y )；②直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点； ③直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率为ni ＝1x i y i －n x y n i ＝1x 2i －n (x )2；④直线y ^＝b ^x ＋a ^和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差的平方和ni ＝1[y i －(b ^x i ＋a ^)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差的平方和中最小的直线．解析：由回归直线方程的推导知，回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^不一定至少经过点(x 1，y 1)，…，(x n ，y n )中的一个点，④就是最小二乘法推导的理论基础，①，③是公式，故选②.答案：②14．为研究大气污染与人的呼吸系统疾病是否有关，对重污染地区和轻污染地区做跟踪调查，得出如下资料：患呼吸系统疾病 未患呼吸 系统疾病 总计 重污染地区 103 1 397 1 500 轻污染地区13 1 487 1 500 总计1162 8843 000根据列联表，求得K 2的值为________． 解析：由公式得K 2的观测值 k ＝3 000×(103×1 487－1 397×13)2116×2 884×1 500×1 500答案：72.63615．自然数列按如图规律排列，若2 008在第m 行第n 个数，则nm ＝________.1 32 4 5 6 10 9 8 7 11 12 13 14 15 …解析：观察图中数字的排列规律，可知自然数的排列个数呈等差数列，所以其总个数之和与行数m 有关，为m (m ＋1)2.而62×632＜2 008＜63×642， ∴m ＝63.而2 008－62×632＝55，∴n ＝55. 答案：5563三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知复数z ＝cos θ＋isin θ(0≤θ≤2π)，求θ为何值时，|1－i ＋z |取得最值．并求出它的最值．解：|1－i ＋z |＝|cos θ＋isin θ＋1－i| ＝ (cos θ＋1)2＋(sin θ－1)2 ＝2(cos θ－sin θ)＋3 ＝22cos (θ＋π4)＋3，当θ＝7π4时，|1－i ＋z |max ＝2＋1；当θ＝3π4时，|1－i ＋z |min ＝2－1.17．已知sin α＋cos α＝1，求证：sin 6α＋cos 6α＝1. 证明：要证sin 6α＋cos 6α＝1，只需证(sin 2α＋cos 2α)(sin 4α－sin 2αcos 2α＋cos 4α)＝1.即证sin 4α－sin 2αcos 2α＋cos 4α＝1， 只需证(sin 2α＋cos 2α)2－3sin 2αcos 2α＝1， 即证1－3sin 2αcos 2α＝1， 即证sin 2αcos 2α＝0， 由已知sin α＋cos α＝1，所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1， 所以sin αcos α＝0，所以sin 2αcos 2α＝0， 故sin 6α＋cos 6α＝1.18．设三组实验数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)的回归直线方程是：y ^＝b ^x ＋a ^，使代数式[y 1－(bx 1＋a )]2＋[y 2－(bx 2＋a )]2＋[y 3－(bx 3＋a )]2的值最小时，a ^＝y －b ^x ，b ^＝x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3－3x yx 21＋x 22＋x 23－3x2，(x ，y 分别是这三组数据的横、纵坐标的平均数)若有7组数据，列表如下：(1)求上表中前三组数据的回归直线方程；(2)若|y i －(b ^x i ＋a ^)|≤0.2，即称(x i ，y i )为(1)中回归直线的拟和“好点”，求后四组数据中拟合“好点”的概率．解：(1)前三组数的平均数： x ＝13×(2＋3＋4)＝3，y ＝13×(4＋6＋5)＝5，根据公式：b ^＝2×4＋3×6＋4×5－3×3×522＋32＋42－3×32＝12，∴a ^＝5－12×3＝72，∴回归直线方程是y ^＝12x ＋72.(2)|6.2－3.5－0.5×5|＝0.2≤0.2， |8－3.5－0.5×6|＝1.5＞0.2， |7.1－3.5－0.5×7|＝0.1＜0.2， |8.6－3.5－0.5×8|＝1.1＞0.2， 综上，拟合的“好点”有2组， ∴“好点”的概率P ＝24＝12.19．请阅读下列不等式的证法：已知a 1，a 2∈R ，a 21＋a 22＝1，求证：|a 1＋a 2|≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2，则f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4(a 1＋a 2)2－8≤0，从而得|a 1＋a 2|≤ 2. 请回答下面的问题：若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，请写出上述结论的推广形式，并进行证明． 解：推广形式：若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，则|a 1＋a 2＋…＋a n |≤n .证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，则f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n)x ＋1. 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0， 所以Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0， 从而得|a 1＋a 2＋…＋a n |≤n .20．如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊂/ 平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，DE∩CD＝D，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEP. 从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。

高中数学人教a版高二选修2-1-章末综合测评1有答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若某2＜1，则－1＜某＜1”的逆否命题是()A．若某2≥1，则某≥1，或某≤－1B．若－1＜某＜1，则某2＜1C．若某＞1，或某＜－1，则某2＞1D．若某≥1或某≤－1，则某2≥1【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．【答案】D2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】把全称量词改为存在量词并把结论否定．【答案】D3．命题p：某＋y≠3，命题q：某≠1或y≠2，则命题p是q的()A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为：“若某＝1且y＝2，则某＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．【答案】A4．设点P(某，y)，则“某＝2且y＝－1”是“点P在直线l：某＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第-1-页共8页【解析】当某＝2且y＝－1时，满足方程某＋y－1＝0,即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0，1)在直线l上，但不满足某＝2且y＝－1，∴“某＝2且y＝－1”是“点P(某，y)在直线l上”的充分而不必要条件．【答案】A5．“关于某的不等式f(某)＞0有解”等价于()A．某0∈R，使得f(某0)＞0成立B．某0∈R，使得f(某0)≤0成立C．某∈R，使得f(某)＞0成立D．某∈R，f(某)≤0成立【解析】“关于某的不等式f(某)＞0有解”等价于“存在实数某0，使得f(某0)＞0成立”．故选A.【答案】A6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.【答案】A7．命题p：函数y＝lg(某2＋2某－c)的定义域为R；命题q：函数y＝lg(某2＋2某－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝()A．C．{c|c≥－1}B．{c|c【解析】命题p为真命题，即某2＋2某－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c第-2-页共8页【答案】A8．对某∈R，k某2－k某－1＜0是真命题，则k的取值范围是()A．－4≤k≤0C．－4＜k≤0B．－4≤k＜0D．－4＜k＜0【解析】由题意知k某2－k某－1＜0对任意某∈R恒成立，当k＝0时，－1＜0恒k＜0，成立；当k≠0时，有即－4＜k＜0，所以－4＜k≤0.2Δ＝k＋4k＜0，【答案】C9．已知命题p：若(某－1)(某－2)≠0，则某≠1且某≠2；命题q：存在实数某0，使2某0＜0.下列选项中为真命题的是()A．綈pC．綈q∧pB．綈p∨qD．q【解析】很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2某，某∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p∨q为假命题，綈q∧p为真命题，故选C.【答案】C10．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件a1>0，a1<0，【解析】等比数列{an}为递增数列的充要条件为或故“q>1”是q>10“”“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．【答案】D11．已知命题p：某>0，总有(某＋1)e某>1，则綈p为()A．某0≤0，使得(某0＋1)e某0≤1B．某0>0，使得(某0＋1)e某0≤1C．某>0，总有(某＋1)e某≤1第-3-页共8页D．某≤0，使得(某＋1)e某≤1【解析】因为全称命题某∈M，p(某)的否定为某0∈M，綈p(某)，故綈p：某0>0，使得(某0＋1)e某0≤1.【答案】B12．已知p：点P在直线y＝2某－3上；q：点P在直线y＝－3某＋2上，则使p∧q为真命题的点P的坐标是()A．(0，－3)C．(1，－1)B．(1，2)D．(－1，1)【解析】因为p∧q为真命题，所以p，q均为真命题．所以点P为直线y＝2某y＝2某－3，某＝1，－3与直线y＝－3某＋2的交点．解方程组得即点P的坐标为(1，y＝－3某＋2，y＝－1，－1)．【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝某－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．【解析】p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．【答案】p∨q与綈p14．“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________，否命题是________________．【解析】命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．【答案】末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除15．已知f(某)＝某2＋2某－m，如果f(1)>0是假命题，f(2)>0是真命题，则实数m的取值范围是______．f（1）＝3－m≤0，【解析】依题意，∴3≤m<8.f（2）＝8－m>0，第-4-页共8页【答案】[3，8)16．给出以下判断：①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；3②命题“某∈N，某3>某2”的否定是“某0∈N，使某0>某2；0”③“b＝0”是“函数f(某)＝a某2＋b某＋c为偶函数”的充要条件；④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．其中正确命题的序号是________.【解析】①②④是假命题，③是真命题．【答案】③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q：所有的矩形都是正方形；(2)r：某0∈R，某20＋2某0＋2≤0；(3)：至少有一个实数某0，使某30＋3＝0.【解】(1)綈q：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．(2)綈r：某∈R，某2＋2某＋2>0，真命题．这是由于某∈R，某2＋2某＋2＝(某＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)綈：某∈R，某＋3≠0，假命题．这是由于当某＝－3时，某3＋3＝0.18．(本小题满分12分)指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：{某|某>－2或某<3}；q：{某|某2－某－6<0}；(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；(3)p：03【解】(1)因为{某|某2－某－6<0}＝{某|－2－2或某<3}/{某|－2－2或某<3}．所以p是q的必要不充分条件．第-5-页共8页33(2)因为a，b都是奇数a＋b为偶数，而a＋b为偶数/a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．(3)m某2－2某＋3＝01Δ>0，4－12m>0，mm>0m>0m>03所以p是q的充要条件．19．(本小题满分12分)已知命题p：不等式2某－某2q：m2－2m－3≥0，如果“綈p”与“p∧q”同时为假命题，求实数m的取值范围.【解】2某－某2＝－(某－1)2＋1≤1，所以p为真时，m>1.由m2－2m－3≥0得m≤－1或m≥3，所以q为真时，m≤－1或m≥3.因为“綈p”与“p∧q”同时为假命题，所以p为真命题，q为假命题，所以得m>1，－1即120．(本小题满分12分)已知两个命题p：in某＋co某＞m，q：某2＋m某＋1＞0，如果对任意某∈R，有p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．【解】当命题p是真命题时，π由于某∈R，则in某＋co某＝2in某＋≥－2，4所以有m＜－2.当命题q是真命题时，由于某∈R，某2＋m某＋1＞0，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.由于p∨q为真，p∧q为假，所以p与q一真一假．考虑到函数f(某)＝某2＋m某＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的某∈R，某2＋m某第-6-页共8页＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p为假，q为真，m≥－2，此时有－2＜m＜2，解得－2≤m＜2，所以实数m的取值范围是[－2，2)．21．(本小题满分12分)已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋3)t＋a＋2<0.(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．5【解】(1)因为命题p为真，则对数的真数－2t2＋7t－5>0，解得125所以实数t的取值范围是1，2.(2)因为p是q解集的真子集．5的充分不必要条件，所以t1的法一因为方程t2－(a＋3)t＋a＋2＝0的两根为1和a＋2，51所以只需a＋2>，解得a>.22即实数a的取值范围为2，＋∞.法二令f(t)＝t2－(a＋3)t＋a＋2，因为f(1)＝0，15所以只需f2<0，解得a>.2即实数a的取值范围为2，＋∞.22．(本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程某2＋2a某＋b2＝0与某2＋2c某－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.【证明】充分性：∵∠A＝90°，∴a2＝b2＋c2.于是方程某2＋2a某＋b2＝0可化为某2＋2a某＋a2－c2＝0，∴某2＋2a某＋(a＋c)(a－c)＝0.第-7-页共8页∴[某＋(a＋c)][某＋(a－c)]＝0.∴该方程有两根某1＝－(a＋c)，某2＝－(a－c)，同样另一方程某2＋2c某－b2＝0也可化为某2＋2c某－(a2－c2)＝0，即[某＋(c＋a)][某＋(c－a)]＝0，∴该方程有两根某3＝－(a＋c)，某4＝－(c－a)．可以发现，某1＝某3，∴方程有公共根．必要性：设某是方程的公共根，某2＋2a某＋b2＝0，①则22某＋2c某－b＝0，②由①＋②，得某＝－(a＋c)，某＝0(舍去)．代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.∴∠A＝90°.∴结论成立．第-8-页共8页。

模块综合检测(一)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．(新课标全国卷Ⅱ)设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，＝＋，则＝()．．－．－－．－＋解析：选由题意可知＝－＋，所以＝(＋)·(－＋)＝－＝－.．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()．梯形．三角形．平行四边形．矩形解析：选只有平行四边形与平行六面体较为接近．．实数的结构图如图所示，其中三个方格中的内容分别为()．有理数、零、整数．有理数、整数、零．零、有理数、整数．整数、有理数、零解析：选由实数的包含关系知正确．．已知数列，＋，＋＋，＋＋＋，…，则数列的第项是()．＋＋＋…＋．－＋＋…＋－．－＋＋…＋．－＋＋…＋－解析：选利用归纳推理可知，第项中第一个数为－，且第项中有项，次数连续，故第项为－＋＋…＋－.．下列推理正确的是()．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖．因为>，>，所以－>－．若，均为正实数，则＋≥· )．若为正实数，<，则＋＝－＋≤－＝－解析：选中推理形式错误，故错；中，关系不确定，故错；中，正负不确定，故错．．已知复数＝＋，＝－.若为实数，则实数的值为()．－．－解析：选＝＝＝.∵为实数，∴＋＝，∴＝－.．观察下列等式：(＋)＝×(＋)(＋)＝××(＋)(＋)(＋)＝×××…照此规律，第个等式为()．(＋)(＋)…(＋)＝×××…×(－)．(＋)(＋)…(＋＋＋)＝×××…×(－)．(＋)(＋)…(＋)＝×××…×(＋)．(＋)(＋)…(＋＋)＝＋×××…×(－)解析：选观察规律，等号左侧为(＋)(＋)…(＋)，等号右侧分两部分，一部分是，另一部分是××…×(－)．．观察下列各式：＝＝＝，…，则的末四位数字为()．．．．解析：选∵＝＝＝，＝＝＝，…，∴(∈，且≥)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为.记(∈，且≥)的末四位数为()，则( )＝(×＋)＝()，∴与的末四位数相同，均为 .．(重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出的的值是()。

选修 1－2 综合素质检测时间 120 分钟，满分 150 分。

一、选择题 (本大题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1．在等差数列 {a n} 中，若 a n>0，公差 d>0，则有 a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n} 中，若 b n>0，公比 q>1 ，则 b4， b5， b7， b8的一个不等关系是()A ． b ＋ b >b ＋ b7B ． b ＋ b <b ＋ b7485485C．b ＋ b >b ＋ b8D ．b ＋ b <b ＋ b8475475[答案 ]A[分析 ]在等差数列 { a } 中，n因为 4＋ 6＝ 3＋7 时有 a4 6 3 7，·a >a ·a所以在等比数列{ b n} 中，因为4＋ 8＝ 5＋7，所以应有 b4＋ b8>b5＋ b7，选 A.2．在以以下图所示的各图中，两个变量拥有有关关系的是()A ． (1)(2)B ． (1)(3)C．(2)(4) D ．(2)(3)[答案 ]D[分析 ](1)为函数关系，(4)关系很不明显．3．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的选项是()A ．有一个解B ．有两个解C．起码有三个解 D ．起码有两个解[答案] Cπ )4．设 0<θ<，已知 a 1＝ 2cos θ， a n ＋ 1＝ 2＋ a n (n ∈ N *)，猜想 a n 等于 (2θθA ． 2cos 2nB ． 2cos 2n －1θθC ．2cos 2n ＋1D ．2sin 2n[答案 ]Bπθ[分析 ]∵ 0<θ<2， ∴ a 2＝ 2＋ 2cos θ＝ 2cos 2.θθθθa 3＝2＋ 2cos 2＝ 2cos 4， a 4＝2＋2cos 4＝ 2cos 8.于是猜想 a n θn －1 .＝ 2cos25．阅读右图所示的程序框图，运转相应的程序，输出的 i 值等于 ()A ． 2B ． 3C ．4D ．5[答案 ]C[分析 ] 此题主要考察框图等知识．S ＝ 0 i ＝ 0a ＝ 1·21＝ 2 S ＝ 2 i ＝ 2a ＝ 2·22＝ 8 S ＝ 10 i ＝ 3a ＝ 3·23＝ 24 S ＝ 34 i ＝ 4∵ S ＝ 34>11所以输出的 i 值等于 4.6．在复平面内的?ABCD 中，点 A， B， C 分别对应复数4＋ i,3＋4i, 3－5i，则点 D 对应的复数是 ()A ． 2－ 3iB ． 4＋ 8iC．4－ 8i D ．1＋ 4i[答案 ]C[分析 ]→ → →9i，设 D 点对应的复数为x＋ yi(x，y∈R )，由题意知 BC＝ AD 且 BC对应的复数为－则 x－ 4＋ (y－ 1)i＝－ 9i ，所以 x＝ 4，y＝－ 8.7．对随意复数z＝x＋ yi( x， y∈R )， i 为虚数单位，则以下结论正确的选项是()－B ． z2＝ x2＋ y2A ． |z－ z |＝ 2y－D ．|z|≤ |x|＋ |y|C．|z－ z |≥ 2x[答案 ]D[分析 ]z＝ x＋ yi， z ＝ x－ yi ，有 |z－ z |＝2x，而 |z|＝x2＋ y2，则 |z|2＝x2＋y2， |z|2＝ x2＋y2≤x2＋y2＋ 2|x| ·|y|，应选 D.1n，其前 n 项和为 S n＝∑a k，则 S k＋1与 S k的递推关系不知足8．已知等比数列 a n＝n－k ＝ 131．．．()1A． S k＋1＝ S k＋3k＋11B．S k＋1＝ 1＋3S kC．S k＋1＝ S k＋ a k＋1D． S k＋1＝ 3S k－ 3＋ a k＋ a k＋1[答案 ]A[分析 ]S＝ S ＋a＝ S ＋3k.B 、D 能够考证是正确的．k＋1k k＋1k19．察看两有关变量得以下数据：x－ 9－ 6.99－ 5.01－ 3.03y－ 9－ 7－ 5－ 3x－55 4.994y－ 5.02 4.995 3.99则这两变量间的回归直线方程为()^＝1^＝xA. y x＋ 1B.y2^1^C.y＝ 2x＋D.y＝x＋ 1[答案]B[分析 ]回归直线过( x，y )考证即得．10．一等差数列的前n 项和为 210，此中前 4 项的和为40，后 4 项的和为80，则 n 的值为()A．12B．14C．16 D ．18[答案]B[分析 ]由a1＋a2＋a3＋a4＝40.a n＋ a n－1＋ a n－2＋ a n－3＝ 80.得 4(a1＋ a n)＝ 120，所以 a1＋ a n＝ 30.n(a1＋a n)n× 30＝ 210.所以 S＝＝n22n＝ 14.∴选 B.i在复平面上对应的点位于 ()11．复数 z＝1＋iA ．第一象限B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限[答案] A[分析 ]此题考察复数的除法运算．z＝i i(1－ i)1＋ i＝1＋i，故复数 z 在复平面上对应的点位于第一象限．＝＝1＋ i(1＋ i)(1－ i)1－ i2 2 212．若△ ABC 能被一条直线分红两个与自己相像的三角形，那么这个三角形的形状是()A ．钝角三角形B ．直角三角形C．锐角三角形 D ．不可以确立[答案 ]B[分析 ]分△ABC的直线只好过一个极点且与对边订交，如直线AD (点 D 在 BC 上 )，则∠ ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ ADB为钝角，则∠ ADC为锐角．而∠ADC >∠BAD，∠ADC >∠ ABD，△ ABD 与△ ACD 不行能相像，与已知不符，只有当∠ ADB ＝∠ ADC ＝∠ BACπ∴ B.＝2，才切合意，二、填空 (本大共 4 个小，每小 4 分，共 16分，将正确答案填在中横上)13．已知回直方程^y＝ 0.6x－ 0.71，当 x＝ 25 ， y 的估是 ________．[答案 ]14.29[分析 ]^当 x＝25 ， y＝ 0.6× 25－ 0.71＝ 14.29.14．察以下式子1＋12＜3， 1＋12＋12＜5， 1＋12＋12＋12＜7，⋯⋯，可出222332344 ________________[答案 ]1＋12＋12＋⋯＋12n＋12＜(n∈ N* ) 23(n＋ 1)n＋115．如所示，程序框(算法流程 )的出 x＝ ________.[答案 ]12[分析 ]x＝ 1→ x＝ 2→ x＝4→ x＝ 5→x＝ 6→ x＝ 8→ x＝ 9→ x＝10→ x＝ 12.16．出下边比推理命(此中 Q 有理数集，R 数集， C 复数集 )：①“若 a、 b∈R ， a－ b＝ 0? a＝ b” 比推出“若a、 b∈C ， a－ b＝0? a＝ b”；②“若 a、 b、 c、d∈R ，复数 a＋ bi＝ c＋ di? a＝ c，b＝ d” 比推出；“若a、 b、 c、d∈ Q ， a＋ b 2＝c＋ d 2? a＝ c， b＝ d”；③“若 a、 b∈R ， a－ b>0 ? a>b” 比推出“若a、 b∈ C， a－ b>0? a>b”；④“若 x∈ R， |x|<1? － 1<x<1 ” 比推出“若z∈ C ， |z|<1? － 1<z<1”．此中比正确的命序号________(把你正确的命序号都填上)．[答案 ]①②三、解答 (本大共 6 个小，共 74 分，解答写出文字明、明程或演算步 )17． (本分(1＋ i)2＋ 3(1－ i)，若 z2＋ a·z＋ b＝1＋ i，求数 a， b 的12 分 )复数 z＝＋ i2．[分析 ](1＋ i)2＋ 3(1－ i)2i ＋3－ 3i3－ i (3－ i)(2－ i)z＝2＋ i＝＝＝＝ 1－i ，2＋ i2＋ i5∵ z 2＋ az ＋ b ＝ 1＋ i ，∴ (1－ i)2＋a(1－ i)＋ b ＝ 1＋ i ，∴ (a ＋ b)－ (a ＋2)i ＝ 1＋ ia ＋b ＝1∴解得： a ＝－ 3， b ＝ 4.－ (a ＋ 2)＝1∴ a ＝－ 3， b ＝ 4.18． (此题满分 12 分)用剖析法证明：若a>0，则a 2＋ 12－ 2≥a ＋ 1－ 2.a a[证明 ] 要证a 2＋ 12－ 2≥ a ＋ 1－ 2，a a只要证a 2 ＋a12＋ 2≥ a ＋1a ＋2.∵ a>0 ，∴ 两边均大于 0.11∴ 只要证a 2＋ a 2＋ 2 2≥ a ＋a ＋ 2 2.只要证 a 2＋ 12＋ 4＋ 4a 2＋ 12 ≥a 2＋ 12＋ 2＋ 2 2 a ＋ 1aa a a 只要证a2＋12≥2a ＋1a 2 a只要证 a 2＋ 12≥ 1 a 2＋ 12＋ 2a 2 a只要证 a 2＋ 12≥ 2，而这明显是建立的． a∴ 原不等式建立．19．某报对“男女同龄退休”这一民众关注的问题进行了民心检查，数据以下表见解性别赞成反对共计男 198 217 415女 476 107 585共计6743261000依据表中数据，可否定为对这一问题的见解与性别有关？[分析 ] 能够求得K 2＝1000× (198× 109－ 217×476)2674 ≈ 125.161×326× 585× 415由 K 2≈ 125.161＞ 6.635所以，在出错误的概率不超出0.01 的前提下，以为 “ 男女同龄退休 ” 这一问题的见解与性别有关．20． (此题满分 12 分) 以下图，点 P 为斜三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的侧棱 BB 1 上一点， PM ⊥BB 1 交 AA 1 于点 M ，PN ⊥ BB 1 交 CC 1 于点 N.(1)求证： CC 1⊥ MN ；(2)平面上在随意三角形 DEF到空间， 类比三角形的余弦定理，面角之间的关系式．中有余弦定理： DE 2＝ DF 2＋ EF 2 －2DF ·EF ·cos ∠ DFE .拓展写出斜三棱柱的三个侧面的面积与此中两个侧面所成的二[分析 ](1)证明：因为 CC ∥ BB ，所以 CC ⊥PM ， CC ⊥ PN ，又因为 PM ∩PN ＝P ，1111所以 CC 1⊥平面 PMN ，而 MN? 平面 PMN ，进而 1CC ⊥MN.(2)解：在斜三棱柱ABC － A 1B 1C 1 中，有 S 2 四边形 AA 1 C 1C ＝ S 2 四边形 AA 1B 1B ＋S 2 四边形 CC 1 B 1B － 2S 四边形 AA 1B 1B ·S 四边形 CC 1B 1Bcos α，此中 α是侧面 AA 1B 1B 与侧面 CC 1B 1B所成的二面角的平面角．21． (此题满分 12 分)若 α， β均为锐角，且cos α cos βπ＋＝ 2.求证： α＋ β＝.sin β sin α 2π ππ[证明 ] 假定 α＋β≠ 2，则 α＋ β>2或 α＋ β<2.π若 α＋ β>2，因为 α， β均为锐角，π π所以 0<2－ β<α<2，π所以 0<sin 2－β<sin α，即 0<cos β<sin α，所以 cos β cos α<1.同理，可得 0<cos α<sin β，所以 <1.sin α sin β故cos α cos β＋<2，与已知矛盾．sin β sin απ cos α cos β同理，若 α＋ β< ，得＋>2，也与已知矛盾．综上可知，假定不建立．故α＋ β2 sin β sin απ＝2.[点拨 ]关于三角恒等式的证明，往常都会从条件出发利用三角变换最后产生结论．本题依据题目特色，发现使用反证法来证明比较简捷．此题的证明重点能否定结论后的分类，一定做到既不重复也不遗漏．22． (此题满分 14 分)察看以下各等式：sin 230°＋cos260°＋ sin30 cos60° °＝ 34，sin 220°＋cos250°＋ sin20 cos50° °＝ 34，3sin 215°＋cos 245°＋ sin15 cos45° °＝ 4，剖析上述各式的共同特色，猜想出反应一般规律的等式，并平等式的正确性作出证明．[分析 ] 猜想： sin 2α＋ cos 2(α＋ 30°)＋sin αcos(α＋30°)＝3. 4证明： sin 2α＋ cos 2( α＋ 30°)＋ sin αcos(α＋ 30°)1－ cos2α 1＋ cos(60 ＋°2α) sin(30 ＋°2α)－ sin30 ° ＝ ＋ 2 ＋2 2cos(60 ＋°2α)－ cos2α 11＝ 1＋2＋2 sin(30 ＋°2α)－ 2－ 2sin(30 ＋ 2°α)sin30 °11＝ 1＋ 2＋ 2 sin(30 ＋°2α)－ 23 113＝ 4－2sin(30 ＋°2α)＋ 2sin(30 ＋°2α)＝4.。

模块综合检测(一)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(新课标全国卷Ⅱ)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i解析：选A 由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)·(－2＋i)＝i2－4＝－5.2．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是( ) A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选C 只有平行四边形与平行六面体较为接近．3．实数的结构图如图所示，其中1,2,3三个方格中的内容分别为( )A．有理数、零、整数B．有理数、整数、零C．零、有理数、整数D．整数、有理数、零解析：选B 由实数的包含关系知B正确．4．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( ) A．a k＋a k＋1＋…＋a2kB．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2kD．a k－1＋a k＋…＋a2k－2解析：选D 利用归纳推理可知，第k项中第一个数为a k－1，且第k项中有k 项，次数连续，故第k项为a k－1＋a k＋…＋a2k－2.5．下列推理正确的是( )A．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－cC．若a，b均为正实数，则lg a＋lg b≥lg a·lg bD．若a为正实数，ab<0，则ab＋ba＝－－ab＋－ba≤－2⎝⎛⎭⎪⎫－ab·⎝⎛⎭⎪⎫－ba＝－2解析：选D A中推理形式错误，故A错；B中b，c关系不确定，故B错；C中lg a，lg b正负不确定，故C错．6．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i.若z1z2为实数，则实数m的值为( )A.83B.32C．－83D．－32解析：选D z1z2＝m＋2i3－4i＝(m＋2i)(3＋4i)(3－4i)(3＋4i)＝(3m－8)＋(6＋4m)i32＋42.∵z1z2为实数，∴6＋4m＝0，∴m＝－3 2 .7．观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式为( )A．(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)B．(n＋1)(n＋2)…(n＋1＋n＋1)＝2n×1×3×…×(2n－1)C．(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n＋1)D．(n＋1)(n＋2)…(n＋1＋n)＝2n＋1×1×3×…×(2n－1)解析：选A 观察规律，等号左侧为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，等号右侧分两部分，一部分是2n，另一部分是1×3×…×(2n－1)．8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 015的末四位数字为( )A．3 125 B．5 625C．0 625 D．8 125解析：选D ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…，∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4.记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数为f(n)，则f(2 015)＝f(502×4＋7)＝f(7)，∴52 015与57的末四位数相同，均为8 125.9．(重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选C 第一次运行得s＝1＋(1－1)2＝1，k＝2；第二次运行得s＝1＋(2－1)2＝2，k＝3；第三次运行得s＝2＋(3－1)2＝6，k＝4；第四次运行得s＝6＋(4－1)2＝15，k＝5；第五次运行得s＝15＋(5－1)2＝31，满足条件，跳出循环，所以输出的k的值是5，故选C.10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程为＝0.67x＋54.9.现发现表中有一个数据模糊不清，经推断可知该数据为( )A.70 B解析：选B 依题意得，＝15×(10＋20＋30＋40＋50)＝30.由于直线＝0.67x＋54.9必过点(，)，于是有＝0.67×30＋54.9＝75，因此表中的模糊数据是75×5－(62＋75＋81＋89)＝68.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．复数z＝－3＋i2＋i的共轭复数为________．解析：z＝－3＋i＝(－3＋i)(2－i)＝－5＋5i＝－1＋i，所以＝－1－i.答案：－1－i12．“一群小兔一群鸡，两群合到一群里，数腿共40，数脑袋共15，多少小兔多少鸡？”其解答流程图如图所示，空白部分应为________．设有x 只鸡，y 只小兔→列方程组→ →得到x ，y 的值答案：解方程组13．图1有面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB ，则图2有体积关系：V PA ′B ′C ′V PABC ＝________.解析：把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得V PA ′B ′C ′V PABC ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC.答案：PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________.解析：由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1， 所以f (n )＝3n 2－3n ＋1. 答案：3n 2－3n ＋1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知复数ω满足ω－4＝(3－2ω)i(i 为虚数单位)，z ＝5ω＋|ω－2|，求.解：由ω－4＝(3－2ω)i ，得8ω(1＋2i)＝4＋3i ， ∴ω＝4＋3i1＋2i＝2－i. ∴z ＝52－i ＋|－i|＝3＋i.则z ＝3＋i 的共轭复数＝3－i.于是＝3＋i 3－i ＝(3＋i)2(3－i)(3＋i)＝8＋6i 10＝45＋35i.16．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110xi y i＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程＝x ＋； (2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 解：(1)由题意知， n ＝10，＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，＝1n ∑i ＝1n y i ＝20＝2， ＝＝184－10×8×2720－10×82＝2480＝0.3，＝－b ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)． (1)求证：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x1－tan x.(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)根据两角和的正切公式得 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证．(2)猜想：f (x )是以4a 为周期的周期函数． 证明：因为f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a ) ＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，所以f (x ＋4a )＝f ((x ＋2a )＋2a ) ＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．18．(本小题满分14分)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)上的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，得结果如下表所示：甲厂：(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问：能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？解：(1)计为360500＝72%.乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)K2的观测值k＝1 000×(360×180－320×140)2500×500×680×320≈7.35>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．模块综合检测(二)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．设z＝10i3＋i，则z的共轭复数为( )A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i解析：选D ∵z＝10i3＋i＝10i(3－i)(3＋i)(3－i)＝1＋3i，∴＝1－3i.2．以下说法，正确的个数为( )①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质，这是运用的类比推理．④个位是5的整数是5的倍数，2 375的个位是5，因此2 375是5的倍数，这是运用的演绎推理．A．0 B．2 C．3 D．4解析：选C ①人的身高与脚长的关系：身高＝脚印长×6.876(中国人)，是通过统计数据用线性回归的思想方法得到的，故不是类比推理，所以错误．②农谚“瑞雪兆丰年”是人们在长期的生产生活实践中提炼出来的，所以是用的归纳推理，故正确．③由球的定义可知，球与圆具有很多类似的性质，故由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质是运用的类比推理是正确的．④这是运用的演绎推理的三段论．大前提是“个位是5的整数是5的倍数”，小前提是“2 375的个位是5”，结论为“2 375是5的倍数”，所以正确．故选C.3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )解析：选A 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．4．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈”，其中“大前提”和“小前提”分别是( )A．①②B．①③C．②③D．②①解析：选A 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题”(①所有的中国人都坚强不屈)，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件”(②雅安人是中国人)，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”(③雅安人一定坚强不屈)．故选A.5．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( ) A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：选C 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.6．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出：“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出：“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出：“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出：“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比结论正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：选B ①②正确，③④错误，因为③④中虚数不能比较大小．7．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为( )A．10 B．17C．19 D．36解析：选C 执行程序：k＝2，s＝0；s＝2，k＝3；s＝5，k＝5；s＝10，k＝9；s＝19，k＝17，此时不满足条件k<10，终止循环，输出结果为s＝19.选C.8．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·bm＋dn(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为( )A．p≥q B．p≤qC．p>q D．不确定解析：选B q＝ab＋madn＋nbcm＋cd≥ab＋2abcd＋cd＝ab＋cd＝p.9．下图所示的是“概率”知识的( )A．流程图B．结构图C．程序框图D．直方图解析：选B 这是关于“概率”知识的结构图．10．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：关”．( )附参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)C．0.005 D．0.001 解析：选C 由2×2列联表可得，K2的估计值k＝50×(20×15－10×5)230×20×25×25＝253≈8.333>7.789，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜爱打篮球与性别有关”．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设a＝3＋22，b＝2＋7，则a，b的大小关系为________________．解析：a＝3＋22，b＝2＋7两式的两边分别平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋47，显然，6<7.∴a<b.答案：a<b12．复数z＝i1＋i(其中i为虚数单位)的虚部是________．解析：化简得z＝i1＋i＝i(1－i)(1＋i)(1－i)＝12＋12i，则虚部为12.答案：1 213．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是________(填序号)．①a n＝2n②a n＝2(n－1) ③a n＝2n④a n＝2n－1解析：由程序框图可知：a1＝2×1＝2，a2＝2×2＝4，a3＝2×4＝8，a4＝2×8＝16，归纳可得：a n＝2n.答案：③14．(福建高考)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b ＝2；③c≠0 有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.答案：201三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.2解：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.16．(本小题满分12分)某大学远程教育学院网上学习流程如下：(1)学生凭录取通知书到当地远程教育中心报到，交费注册，领取网上学习注册码．(2)网上选课，课程学习，完成网上平时作业，获得平时作业成绩．(3)预约考试，参加期末考试获得期末考试成绩，获得综合成绩，成绩合格获得学分，否则重修．试画出该远程教育学院网上学习流程图．解：某大学远程教育学院网上学习流程如下：17．(本小题满分12分)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下面的2×2列联表：(2)能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？并写出简要分析．解：(1)2×2列联表如下：(2)因为K2的观测30×(8－128)212×18×20×10值k＝＝10>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．18．(本小题满分14分)为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？解：根据题目所给的数据得到如下列联表：k＝361×(138×52－73×98)2≈1.871×10－4.因为1.871×10－4<2.706，所以据目前的数据不能认为学生选报文、理科与对外语的兴趣有关，即可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．。

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中有相关关系的是() A．①②③B．①②C．②③D．①③④【解析】曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确．其余均为相关关系．【答案】 D2．(2015·山东高考)若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i【解析】由已知得z＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A.【答案】 A3．有一段演绎推理：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.这个结论显然是错误的，这是因为()【导学号：19220073】A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解析】大前提错误，直线平行于平面，未必有直线平行于平面内的所有直线．【答案】 A4．如图1所示的知识结构图为什么结构()图1A．树形B．环形C．对称性D．左右形【解析】由题图可知结构图为树形结构．【答案】 A5．(2015·陕西高考)根据右边框图，当输入x为2 006时，输出的y＝()图2A．2 B．4C．10 D．28【解析】x每执行一次循环减少2，当x变为－2时跳出循环，y＝3－x＋1＝32＋1＝10.【答案】 C6．(2016·吉林高二检测)已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是()A.y^＝1.23x＋4B.y^＝1.23x＋5C.y^＝1.23x＋0.08D.y^＝0.08x＋1.23【解析】由题意可设回归直线方程为y^＝1.23x＋a，又样本点的中心(4,5)在回归直线上，故5＝1.23×4＋a，即a＝0.08，故回归直线的方程为y^＝1.23x＋0.08.【答案】 C7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S-ABC的体积为V，则R＝()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4【解析】四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R的三棱锥，从而有13S1R＋13S2R＋13S3R＋13S4R＝V.即(S1＋S2＋S3＋S4)R＝3V.∴R＝3VS1＋S2＋S3＋S4.【答案】 C8．(2016·南昌高二检测)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2·a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1【解析】 ∵a 1＝1，S n ＝n 2·a n (n ≥2)， ∴a 1＋a 2＝22·a 2，得a 2＝13； 由a 1＋a 2＋a 3＝32· a 3，得a 3＝16； 由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4，得a 4＝110；…. 猜想a n ＝2n (n ＋1).【答案】 B9．(2016·临沂高二检测)若关于x 的一元二次实系数方程x 2＋px ＋q ＝0有一个根为1＋i(i 为虚数单位)，则p ＋q 的值是( )A ．－1B ．0C ．2D ．－2【解析】 把1＋i 代入方程得(1＋i)2＋p (1＋i)＋q ＝0， 即2i ＋p ＋p i ＋q ＝0，即p ＋q ＋(p ＋2)i ＝0， ∵p ，q 为实数，∴p ＋q ＝0. 【答案】 B10．(2016·西安高二检测)满足条件|z －i|＝|3－4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆【解析】 |z －i|＝|3－4i|＝5，∴复数z 对应点到定点(0,1)的距离等于5，故轨迹是个圆． 【答案】 C11．(2016·大同高二检测)设a ，b ，c 均为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P ，Q ，R 同时大于0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】必要性显然成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数矛盾．同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P，Q，R同时大于0，所以选C.【答案】 C12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规律一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个红色子数列中，由1开始的第60个数是()A．103 B．105C．107 D．109【解析】由题可知染色规律是：每次染完色后得到的最后一个数恰好是染色个数的平方．故第10次染完后的最后一个数为偶数100，接下来应该染101,103,105,107,109，此时共60个数．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)13．(2015·上海高考)若复数z满足3z＋z＝1＋i，其中i为虚数单位，则z ＝________.【解析】设复数z＝a＋b i，a，b∈R，则z＝a－b i，a，b∈R,3z＋z＝4a＋2b i＝1＋i，a，b∈R，则a＝14，b＝12，故z＝14＋12i.【答案】14＋12i14．(2016·郑州高二检测)某工程的工序流程图如图3所示，现已知工程总工时数为10天，则工序c所需工时为________天.【导学号：19220074】图3【解析】设工序c所需工时为x天．由题意知：按①→③→④→⑥→⑦→⑧所需工时为0＋2＋3＋3＋1＝9(天)，按①→②→④→⑥→⑦→⑧所需工时为1＋0＋3＋3＋1＝8(天)，故按①→②→⑤→⑦→⑧所需工时应为10天．∴1＋x＋4＋1＝10，∴x＝4.【答案】 415．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝a2＋b22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.【解析】通过类比可得R＝a2＋b2＋c22.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是a2＋b2＋c2，故这个长方体的外接球的半径是a2＋b2＋c22，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．【答案】a2＋b2＋c2216．(2016·三明高二检测)某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)调查，y与x具有相关关系，回归方程为y^＝0.66x＋1.562，若A城市居民人均消费水平为7.765(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________.【导学号：19220075】【解析】 因为y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^＝0.66x ＋1.562，A 城市居民人均消费水平为y ＝7.765，所以可以估计该城市的职工人均工资水平x 满足7.765＝0.66x ＋1.562，所以x ≈9.4，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.7659.4×100%≈83%.【答案】 83%三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z ＝(a ＋2z )2. 【解】 ∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，又∵(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， ∵a ，b 都是整数， ∴{ a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2)，解得{ a 1＝－2，b 1＝－1或{ a 2＝－4，b 2＝2.∴所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.18．(本小题满分12分)在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表； (2)试判断晕机是否与性别有关？(参考数据：K 2>2.706时，有90%的把握判定变量A ，B 有关联；K 2>3.841时，有95%的把握判定变量A ，B 有关联；K 2>6.635时，有99%的把握判定变量A ，B 有关联．参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ))【解】 (1)2×2列联表如下：晕机 不晕机 总计 男乘客 28 28 56 女乘客285684总计56 84 140(2)得K 2的观测值k ＝140×(28×56－28×28)256×84×56×84＝359≈3.889>3.841，所以有95%的把握认为晕机与性别有关．19．(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去．试画出此监督程序的流程图．【解】 某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：20．(本小题满分12分)(2016·中山高二检测)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c>3.【证明】 法一(分析法)：要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc >3， 只需证明b a ＋c a －1＋a b ＋c b －1＋a c ＋bc －1>3， 即证b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc >6，而事实上，由a ，b ，c 是全不相等的正实数，∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c >2. ∴b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc >6，∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3得证． 法二(综合法)：∵a ，b ，c 全不相等， ∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与bc 全不相等， ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋bc >2， 三式相加得b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc >6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋bc －1>3， 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3.21．(本小题满分12分)某产品的广告支出x (单位：万元)与销售收入y (单位：万元)之间有下表所对应的数据：广告支出x (单位：万元) 1 2 3 4 销售收入y (单位：万元)12284256(1)(2)求出y 对x 的线性回归方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？【导学号：19220076】【解】 (1)散点图如图：(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a ^，b ^.于是x ＝52，y ＝692， 代入公式得：b ^＝∑i ＝14x i y i －4x －y －∑i ＝14x 2i －4x－2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a ^＝y －b ^x ＝692－735×52＝－2.故y 与x 的线性回归方程为y ^＝735x －2，其中回归系数为735，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y 平均增加735万元．(3)当x ＝9万元时，y ＝735×9－2＝129.4(万元)．所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．22．(本小题满分12分)(2016·吉林临江高二检测)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图4(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图4(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式；(3)根据你得到的关系式求f(n)的表达式．【解】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1.f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.(3)∵f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)，∴以上各式相加得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

数学·选修1－2(人教A版)模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y间这种非确定的关系叫做()A．函数关系B．线形关系C．相关关系D．回归关系答案：C2．下列是关于出生男婴与女婴调查的2×2列联表，那么表中m，n的值分别是()A.58,60 B．答案：D3．△ABC三个顶点对应的复数分别是z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的() A．内心B．重心C．垂心D．外心答案：D4．用反证法证明命题“若整系数方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案：B5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos x ，1，1，cos x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π2B ．x ＝π3C ．x ＝π4D ．x ＝π6解析：依题意得：f (x )＝2cos 2x －1＝cos 2x ，∴选A. 答案：A6．复数(a 2－a )＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则有( ) A ．a ≠0 B ．a ≠0且a ≠1 C ．a ≠1 D ．a ≠0且a ≠2 答案：C7．在“由于任何数的平方都是非负数，所以(2i)2≥0”这一推理中，产生错误的原因是( )A ．推理的形式不符合三段论的要求B ．大前提错误C ．小前提错误D ．推理的结果错误解析：大前提错误，应为“任何实数的平方都是非负数”．故选B.答案：B8．如图(1)、(2)，它们都表示的是输出所有立方小于1 000的正整数的程序框图，那么应分别补充的条件为( )A．(1)n3≥1 000？(2)n3＜1 000?B．(1)n3≤1 000？(2)n3≥1 000?C．(1)n3＜1 000？(2)n3≥1 000?D．(1)n3＜1 000？(2)n3＜1 000?答案：C9．有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其他的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，三次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有几粒()A．21 B．24 C. 27 D. 30答案：C10．如下面两图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1.若把它推广到长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与棱AB，BB1，BC所成的角分别为α，β，γ，则相应的命题形式()A．cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1 B．sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1C．cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2 D．sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)11．设复数z＝1＋i，ω＝z－2|z|－4，则ω＝_______________.答案：－3－22＋i12．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an3an＋1(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，然后归纳、猜想an＝_______________.答案：26n－513．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图(距离单位：km)，则能把电力输送到这四个村庄的输电线路最短总长度应该是________．解析：要使电厂与四个村庄相连，则需四条线路，注意最短的四条线路能使电厂与四个村庄相连，∴4＋5＋5.5＋6＝20.5 km.答案：20.5 km14．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图一组蜂巢的截面图中，第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(4)＝______，f(n)＝______.解析：f (4)＝4＋5＋6＋7＋6＋5＋4＝37，f (n )＝n ＋(n ＋1)＋…＋(2n －1)＋…＋(n ＋1)＋n ＝2×n [n ＋(2n －1)]2－(2n －1)＝3n 2－3n ＋1.答案：37 3n 2－3n ＋1三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(12分)计算(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(2)1－3i (3＋i )2.解析：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i ； (2)1－3i(3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i3＋i＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.16.(12分)某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多 总计喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏8 15 23 总计262450是否相关．解析：根据公式计算，K 2的观测值k ＝50(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059，∵5.059＞5.024，∴约有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏和认为作业量的多少有关．17．(14分)某人早晨起床后泡茶的过程可用流程图表示为：这种安排方式耗时多少分钟？还可以有其他的安排方法吗？试用流程图表示你准备采用的方式，并计算按你的方式耗时多少分钟．解析：按照题中流程图的安排，总耗时数为2＋15＋3＋2＋1＝23(min)．由于洗茶杯、取放茶叶可在烧开水时进行，故工作流程图也可以这样安排：18．(14分)如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.求证：(1)AB∥平面PCD.(2)BC⊥平面PAC.证明：(1)∵AB∥DC，且AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD.(2)在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E(如图)，则四边形ADCE为矩形．∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝ 2.∴AD＝CE＝1，则AC＝AD2＋DC2＝ 2.∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC.又∵PA⊥平面ABCD.∴PA⊥BC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.19.(14分)在关于人体脂肪含量y(百分比)和年龄x(岁)关系的研究中，得到如下一组数据：年龄(x)232739414550脂肪含量(y)9.517.821.225.927.528.2(1)画出散点图，判断x与y是否具有相关关系；(2)通过计算可知b^＝0.651 2，â＝－2.737 9，请写出y对x的回归直线方程，并计算出23岁和50岁的残差．解析：(1)涉及两个变量，年龄与脂肪含量．因此选取年龄为自变量x，脂肪含量为因变量y.散点图如图所示，从图中可以看出x与y具有相关关系．(2)y对x的回归直线方程为y^＝0.651 2x－2.737 9.当x＝23 时，y^＝12.239 7，y－y^＝9.5－12.239 7＝－2.739 7.当x ＝50 时，y ^＝29.822 1，y －y ^＝28.2－29.822 1＝－1.622 1. 所以23岁和50岁的残差分别为－2.739 7和－1.622 1.20．(14分)设数列{}a n 的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12a n ，n 为偶数，a n ＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，a 3，a 4，a 5；(2)判断数列{}b n 是否为等比数列，并证明你的判断．解析：(1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18， a 4＝a 3＋14＝12a ＋38，a 5＝12a 4＝14a ＋316. (2)由(1)可得 b 1＝a 1－14＝a －14，b 2＝a 3－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14，b 3＝a 5－14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14. 猜想：{}b n 是公比为12的等比数列． 证明如下：因为 b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12 a 2n －14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)，又 a ≠14， 所以 b 1＝a －14≠0. 所以数列{}b n 是首项为a －14，公比为12的等比数列．。

模块综合检测(一)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(新课标全国卷Ⅱ)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i解析：选A由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)·(－2＋i)＝i2－4＝－5.2．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选C只有平行四边形与平行六面体较为接近．3．实数的结构图如图所示，其中1,2,3三个方格中的内容分别为()A．有理数、零、整数B．有理数、整数、零C．零、有理数、整数D．整数、有理数、零解析：选B由实数的包含关系知B正确．4．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是()A．a k＋a k＋1＋…＋a2kB．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2kD．a k－1＋a k＋…＋a2k－2解析：选D利用归纳推理可知，第k项中第一个数为a k－1，且第k项中有k项，次数连续，故第k项为a k－1＋a k＋…＋a2k－2.5．下列推理正确的是()A．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B ．因为a >b ，a >c ，所以a －b >a －cC ．若a ，b 均为正实数，则lg a ＋lg b ≥lg a ·lg bD ．若a 为正实数，ab <0，则a b ＋ba ＝－－ab ＋－b a≤－2⎝⎛⎭⎫－a b ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－2解析：选D A 中推理形式错误，故A 错；B 中b ，c 关系不确定，故B 错；C 中lg a ，lg b 正负不确定，故C 错．6．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i.若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( )A.83B.32 C ．－83D ．－32解析：选D z 1z 2＝m ＋2i 3－4i ＝(m ＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝(3m －8)＋(6＋4m )i32＋42.∵z 1z 2为实数， ∴6＋4m ＝0， ∴m ＝－32.7．观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)B ．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋1＋n ＋1)＝2n ×1×3×…×(2n －1)C ．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n ＋1)D ．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋1＋n )＝2n ＋1×1×3×…×(2n －1)解析：选A 观察规律，等号左侧为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，等号右侧分两部分，一部分是2n ，另一部分是1×3×…×(2n －1)．8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 015的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D ．8 125解析：选D ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…，∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4.记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数为f(n)，则f(2 015)＝f(502×4＋7)＝f(7)，∴52 015与57的末四位数相同，均为8 125.9．(重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是()A．3 B．4C．5 D．6解析：选C第一次运行得s＝1＋(1－1)2＝1，k＝2；第二次运行得s＝1＋(2－1)2＝2，k＝3；第三次运行得s＝2＋(3－1)2＝6，k＝4；第四次运行得s＝6＋(4－1)2＝15，k＝5；第五次运行得s＝15＋(5－1)2＝31，满足条件，跳出循环，所以输出的k的值是5，故选C.10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程为＝0.67x＋54.9.现发现表中有一个数据模糊不清，经推断可知该数据为()零件数x/个1020304050加工时间y/min62758189A.70 B．解析：选B依题意得，＝15×(10＋20＋30＋40＋50)＝30.由于直线＝0.67x＋54.9必过点(，)，于是有＝0.67×30＋54.9＝75，因此表中的模糊数据是75×5－(62＋75＋81＋89)＝68.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．复数z＝－3＋i2＋i的共轭复数为________．解析：z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i5＝－1＋i ，所以＝－1－i.答案：－1－i12．“一群小兔一群鸡，两群合到一群里，数腿共40，数脑袋共15，多少小兔多少鸡？”其解答流程图如图所示，空白部分应为________．设有x 只鸡，y 只小兔→列方程组→ →得到x ，y 的值 答案：解方程组13．图1有面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB ，则图2有体积关系：V PA ′B ′C ′V PABC＝________.解析：把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得V PA ′B ′C ′V PABC ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC .答案：PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________.解析：由于f (2)－f (1)＝7－1＝6， f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1， 所以f (n )＝3n 2－3n ＋1. 答案：3n 2－3n ＋1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知复数ω满足ω－4＝(3－2ω)i(i 为虚数单位)，z ＝5ω＋|ω－2|，求.解：由ω－4＝(3－2ω)i ，得8ω(1＋2i)＝4＋3i ， ∴ω＝4＋3i1＋2i＝2－i.∴z ＝52－i＋|－i|＝3＋i. 则z ＝3＋i 的共轭复数＝3－i.于是＝3＋i 3－i ＝(3＋i )2(3－i )(3＋i )＝8＋6i 10＝45＋35i.16．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程＝x ＋； (2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 解：(1)由题意知， n ＝10，＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，＝＝184－10×8×2720－10×82＝2480＝0.3，＝－b ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)． (1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x1－tan x .(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)根据两角和的正切公式得 tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4 ＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x1－tan x，即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证． (2)猜想：f (x )是以4a 为周期的周期函数．证明：因为f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a ) ＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，所以f (x ＋4a )＝f ((x ＋2a )＋2a ) ＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．18．(本小题满分14分)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)上的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，得结果如下表所示：甲厂：(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问：能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%.乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)优质品360320680非优质品140180320总计500500 1 000K2的观测值k＝500×500×680×320≈7.35>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．模块综合检测(二)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．设z＝10i3＋i，则z的共轭复数为()A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i解析：选D∵z＝10i3＋i＝10i(3－i)(3＋i)(3－i)＝1＋3i，∴＝1－3i.2．以下说法，正确的个数为()①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质，这是运用的类比推理．④个位是5的整数是5的倍数，2 375的个位是5，因此2 375是5的倍数，这是运用的演绎推理．A．0 B．2 C．3 D．4解析：选C①人的身高与脚长的关系：身高＝脚印长×6.876(中国人)，是通过统计数据用线性回归的思想方法得到的，故不是类比推理，所以错误．②农谚“瑞雪兆丰年”是人们在长期的生产生活实践中提炼出来的，所以是用的归纳推理，故正确．③由球的定义可知，球与圆具有很多类似的性质，故由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质是运用的类比推理是正确的．④这是运用的演绎推理的三段论．大前提是“个位是5的整数是5的倍数”，小前提是“2 375的个位是5”，结论为“2 375是5的倍数”，所以正确．故选C.3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()解析：选A表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．4．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈”，其中“大前提”和“小前提”分别是()A．①②B．①③C．②③D．②①解析：选A解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题”(①所有的中国人都坚强不屈)，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件”(②雅安人是中国人)，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”(③雅安人一定坚强不屈)．故选A.5．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：选C假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.6．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出：“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出：“若a，b，c，d ∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出：“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出：“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比结论正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：选B①②正确，③④错误，因为③④中虚数不能比较大小．7．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为()A．10 B．17C．19 D．36解析：选C执行程序：k＝2，s＝0；s＝2，k＝3；s＝5，k＝5；s＝10，k＝9；s＝19，k＝17，此时不满足条件k<10，终止循环，输出结果为s＝19.选C.8．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·bm＋dn(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为()A．p≥q B．p≤qC．p>q D．不确定解析：选B q＝ab＋madn＋nbcm＋cd≥ab＋2abcd＋cd＝ab＋cd＝p.9．下图所示的是“概率”知识的()A．流程图B．结构图C．程序框图D．直方图解析：选B这是关于“概率”知识的结构图．10．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球总计男生20525女生101525总计302050．()附参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)P(K2＞k0)0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.78910.828C．0.005 D．0.001解析：选C由2×2列联表可得，K2的估计值k＝50×(20×15－10×5)230×20×25×25＝253≈8.333>7.789，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜爱打篮球与性别有关”．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设a＝3＋22，b＝2＋7，则a，b的大小关系为________________．解析：a＝3＋22，b＝2＋7两式的两边分别平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋47，显然，6<7.∴a<b.答案：a<b12．复数z＝i1＋i(其中i为虚数单位)的虚部是________．解析：化简得z＝i1＋i＝i(1－i)(1＋i)(1－i)＝12＋12i，则虚部为12.答案：1 213．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是________(填序号)．①a n＝2n②a n＝2(n－1)③a n＝2n④a n＝2n－1解析：由程序框图可知：a1＝2×1＝2，a2＝2×2＝4，a3＝2×4＝8，a4＝2×8＝16，归纳可得：a n＝2n.答案：③14．(福建高考)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0 有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.答案：201三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.16．(本小题满分12分)某大学远程教育学院网上学习流程如下：(1)学生凭录取通知书到当地远程教育中心报到，交费注册，领取网上学习注册码．(2)网上选课，课程学习，完成网上平时作业，获得平时作业成绩．(3)预约考试，参加期末考试获得期末考试成绩，获得综合成绩，成绩合格获得学分，否则重修．试画出该远程教育学院网上学习流程图．解：某大学远程教育学院网上学习流程如下：17．(本小题满分12分)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下面的2×2列联表：主食蔬菜主食肉类总计 50岁以下 50岁以上 总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？并写出简要分析．解：(1)2×2列联表如下： (2)因为K 2的观测值 30×(8－128)212×18×20×10＝k＝10>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．18．(本小题满分14分)为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？解：根据题目所给的数据得到如下列联表：理科 文科 总计 有兴趣 138 73 211 无兴趣 98 52 150 总计236125361k ＝361×(138×52－73×98)2236×125×211×150≈1.871×10－4.因为1.871×10－4<2.706，所以据目前的数据不能认为学生选报文、理科与对外语的兴趣有主食蔬菜主食肉类总计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 总计201030关，即可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．。

选修模块综合测试（二）(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．[·江西高考]已知集合＝{，}，为虚数单位，＝{}，∩＝{}，则复数＝( ).. －. －.解析：由∩＝{}知∈，所以＝，＝－，选.答案：．凡自然数是整数，是自然数，所以是整数，以上三段论推理( ). 正确. 推理形式不正确. 两个“自然数”概念不一样. 两个“整数”概念不一致解析：此三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，因此，此三段论推理是正确的，故选.答案：．设两个变量和之间具有线性相关关系，它们的相关系数是，关于的回归直线的斜率是，纵轴上的截距是，那么必有( ). 与的符号相同. 与的符号相同. 与的符号相反. 与的符号相反解析：正相关时，>，>；负相关时，<，<，选.答案：．勾股定理：在直角边长为、，斜边长为的直角三角形中，有＋＝.类比勾股定理可得，在长、宽、高分别为、、，体对角线长为的长方体中，有( ). ＋＋＝. ＋＋＝. ＋＋＝. ＋＋＋＋＋＝解析：类比即可．答案：．观察()′＝，()′＝，()′＝－，由归纳推理可得：若定义在上的函数()满足(－)＝()，记()为()的导函数，则(－)等于( ). －(). (). －(). ()解析：由题知偶函数的导数为奇函数，选.答案：．设＝(－－)＋(－)(∈)，若对应的点在直线－＋＝上，则的值是( )．±．．－解析：(－－)－(－)＋＝，＝－，＝，＝±，而>，＝.答案：．[·贵州六校联考]如图，，，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，得＝，＝，＝时，等于 ( )....解析：＝，＝，－＝，－<－不成立，取＝⇒＋＝×⇒＝.答案：．[·安徽高考]设是虚数单位，是复数的共轭复数．若·＋＝，则＝( ). －. ＋. －－. －＋解析：设＝＋(，∈)，则·＋＝(＋)·(－)·＋＝＋(＋)，故＝，＋＝，解得＝，＝.即＝＋.答案：．[·昆明调研]执行如图的程序框图，如果输入的＝，那么输出的＝( )。

模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i2．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋3i ，则复数z ＝z 1z 2在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．用反证法证明：“a >b ”，应假设( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝b D ．a ≤b4．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为( )A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①5．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定6．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在如图所示的程序框图中，输入a ＝11π6，b ＝5π3，则输出c ＝( )8．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13 D ．1009．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋ax n ≥n ＋1，则a 的值为( )A ．2nB ．n 2C ．22(n－1)D ．n n10．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a |2＝a 2类比得到复数z 的性质|z 2|＝z 2；③方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )有两个不同实数根的条件是b 2－4ac >0可以类比得到：方程az 2＋bz ＋c ＝0(a ，b ，c ∈C )有两个不同复数根的条件是b 2－4ac >0；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到的结论错误的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④11．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B ．f ⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)2C ．n (n ＋1)D ．n (n ＋1)f (1)12．如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A ，B ，C ，D 四个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将A ，B ，C ，D 四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为( )A ．15B ．16C ．17D ．18二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知复数z ＝m ＋i1＋i (m ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则m 的值是________．14．已知x ，y 的取值如表：由表格中数据的散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为y ＝0.95x ＋a ，则a ＝________.15．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．16．观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平方内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．18．(本小题12分)小流域综合治理可以有三个措施：工程措施、生物措施和农业技术措施．其中，工程措施包括打坝建库、平整土地、修基本农田和引水灌溉，其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土．生物措施包括栽种乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保土和发展多种经营；农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选育良种，地膜覆盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热．用结构图把“小流域综合治理”的措施与功能表示出来．19．(本小题12分)为研究大气污染与人的呼吸系统疾病是否无关，对重污染地区和轻污染地区作跟踪调查，得如下数据：20．(本小题12分)求证：对于任意的正实数a ，b ，c ，31a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c 3(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)．21．(本小题12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2⎝⎛⎭⎫x ≠－1a ，a >0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1. (1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝[1－f (1)]·[1－f (2)]·…·[1－f (n )]，试求x 1，x 2，x 3，x 4； (3)猜想{x n }的通项．22．(本小题12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？答案1．解析：选C 因为(z －1)i ＝1＋i ，所以z ＝1＋ii＋1＝2－i.2．解析：选D 复数z ＝z 1z 2＝2＋i 1＋3i ＝(2＋i )(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝12－12i ，z 对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－12位于第四象限． 3．解析：选D 因为“a >b ”的反面就是“a <b 或a ＝b ”，所以选D. 4．解析：选D 由“三段论”的推理形式可知D 正确． 5．解析：选C P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ， Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， 由于a 2＋7a <a 2＋7a ＋12， 所以2a 2＋7a <2a 2＋7a ＋12， 从而P 2<Q 2，即P <Q .6．解析：选B 由题可知若x 0＝x ，y 0＝y ，由回归直线的性质可知(x 0，y 0)满足回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，但满足回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的除(x ，y )外，可能还有其他样本点．c ＝|tan a |＝33. 8．解析：选B 由于1有1个，2有2个，3有3个，…，则13有13个，所以1～13的总个数为13(1＋13)2＝91，故第100个数为14.9．解析：选D 由归纳推理，知a ＝n n .10．解析：选C 因为复数z 中，|z |2为实数，z 2不一定为实数，所以|z |2≠z 2，故②错；当方程az 2＋bz ＋c ＝0(a ，b ，c ∈C )有两个不同复数根时，应设出复数根的表达式，利用复数相等的条件列关系式，故③错．11．解析：选D 由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (1)＝2，知f (2)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)，f (3)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)，…，f (n )＝nf (1)，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1)＝n (n ＋1)2f (1)＝n (n ＋1)．12．解析：选B 法一：若AB 之间不相互调动，则A 调出10件给D ，B 调出5件给C ，C 再调出1件给D ，即可满足调动要求，此时共调动的件次n ＝10＋5＋1＝16；若AB 之间相互调动，则B 调动4件给C ，调动1件给A ，A 调动11件给D ，此时共调动的件次n ＝4＋1＋11＝16.所以最少调动的件次为16，故应选B.法二：设A 调动x 件给D (0≤x ≤10)，则调动了(10－x )件给B ，从B 调动了5＋10－x ＝(15－x )件给C ，C 调动出了15－x －4＝(11－x )件给D ，由此满足调动需求，此时调动件次n ＝x ＋(10－x )＋(15－x )＋(11－x )＝36－2x ，当且仅当x ＝10时，n 取得最小值16.13．解析：z ＝ m ＋i 1＋i ＝(m ＋i )(1－i )2＝m ＋12＋(1－m )i2，∴m ＋12＝0，且1－m2≠0. ∴m ＝－1. 答案：－114．解析：因为(x ，y )必在直线y ^＝0.95x ＋a 上， 又x ＝0＋1＋3＋44＝2，y ＝2.2＋4.3＋4.8＋6.74＝92，所以92＝0.95×2＋a ，所以a ＝2.6.答案：2.6 15．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 4＝S 1＋S 2＋S 3.答案：S 24＝S 21＋S 22＋S 2316．解析：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)． 答案：43n (n ＋1)17．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2abi ， 所以2ab ＝2.所以a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1， 即z ＝－1＋i 或z ＝－1－i .(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i )＝2i ，z －z 2－1－i ，所以点A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1；当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i )2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. 所以点A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)， 所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.即△ABC 的面积为1. 18．解：19．解：假设H 0：大气污染与人的呼吸系统疾病无关． 由公式得k ＝3 000×(103×1 487－1 397×13)2116×2 884×1 500×1 500≈72.636.因为72.636>10.828，所以拒绝H 0，即我们在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为大气污染与人的呼吸系统疾病有关． 20．证明：对于任意正实数a ，b ，c ， 要证31a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c 3成立，只需证9≤(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ， 即证9≤3＋a b ＋a c ＋b a ＋b c ＋c a ＋c b ，即证6≤⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ＋⎝⎛⎭⎫a c ＋c a ＋⎝⎛⎭⎫b c ＋c b (*) 因为对于任意正实数a ，b ，c ， 有a b ＋b a≥2a b ·ba＝2， 同理a c ＋c a ≥2，b c ＋cb≥2，所以不等式(*)成立，且要使(*)的等号成立必须b a ＝a b 且c a ＝a c 且b c ＝c b .即当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．21．解：(1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1代入f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1(a ＋1)2＝14，－2b ＋1(1－2a )2＝1，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以f (x )＝1(x ＋1)2(x ≠－1)．(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝34×⎝⎛⎭⎫1－19＝23， x 3＝23×⎝⎛⎭⎫1－116＝58， x 4＝58×⎝⎛⎭⎫1－125＝35， (3)由(2)，得x 1＝34，x 2＝23，x 3＝58，x 4＝35，可变形为34，46，58，610，…，从而可归纳出{x n }的通项x n ＝n ＋22(n ＋1).22．解：(1)设事件A 表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则A 表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．基本事件总数为10，事件A 包含的基本事件数为4. 所以P (A )＝410＝25， 所以P (A )＝1－P (A )＝35.(2)x ＝12，y ＝27，∑i ＝13x i y i ＝977，∑i ＝13x 2i ＝434，所以b ^＝∑i ＝13x i y i －3x －y－∑i ＝13x 2i －3x －2＝977－3×12×27434－3×122＝2.5，a ^＝y －b ^x －＝27－2.5×12＝－3， 所以y ^＝2.5x －3.(3)由(2)知：当x ＝10时，y ^＝22，误差不超过2颗； 当x ＝8时，y ^＝17，误差不超过2颗． 故所求得的线性回归方程是可靠的．。

模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2． ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件．] 2．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x 0≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x 0≤1 B [命题p 为全称命题，所以p 为∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．故选B ．]3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54B ．52C ．32D ．54B [由题意，1－b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52．]4．已知空间向量a ＝(t,1，t )，b ＝(t －2，t,1)，则|a －b |的最小值为( ) A ． 2 B ． 3 C ．2D ．4C [|a －b |＝2(t －1)2＋4≥2，故选C ．] 5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有()A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对D [对于x 2a 2＋y 29＝1，有a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D ．]6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1-AB -C 为( ) A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．π4D [以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0,1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1-AB -C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D ．]7．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5C [∵∀x ∈[1,2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C ．]8．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8xB [由已知可得，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0．又直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，则|OA |＝|a |2，故S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．] 9．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，C (1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →取最小值时，点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫43，43，43B ．⎝⎛⎭⎫83，43，83 C ．⎝⎛⎭⎫43，43，83D ．⎝⎛⎭⎫83，83，43C [点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )，则DA →＝(1－a,2－a,3－2a )，DB →＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →取最小值，此时OD →＝⎝⎛⎭⎫43，43，83．] 10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13B ．13C ．±13D ．±12C [由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C ．]11．若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A ．55B ．155C ．2155D ．1520B [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B ．]12．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN ||AB |的最大值是( ) A ． 3 B ．32 C ．33D ．34C [如图．设|AF |＝r 1，|BF |＝r 2，则|MN |＝r 1＋r 22．在△AFB 中，因为|AF |＝r 1，|BF |＝r 2且∠AFB ＝2π3，所以由余弦定理，得|AB |＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 2π3＝r 21＋r 22＋r 1r 2，所以|MN ||AB |＝r 1＋r 22r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×(r 1＋r 2)2r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×1＋r 1r 2r 21＋r 22＋r 1r 2≤12×1＋r 1r 23r 1r 2＝33，当且仅当r 1＝r 2时取等号．故选C ．] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →．其中正确的是________．(填序号)①②③[∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，②正确；由①②可得AP →是平面ABCD 的法向量，③正确；由③可得AP →⊥BD →，④错误．]14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为________．x 25－y 220＝1[由已知得ba ＝2，所以b ＝2a ．在y ＝2x ＋10中令y ＝0得x ＝－5，故c ＝5，从而a 2＋b 2＝5a 2＝c 2＝25，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的方程为x 25－y 220＝1．] 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程为________．x 23＋y 2＝1[由e ＝c a＝23，得c 2＝23a 2，所以b 2＝a 2－c 2＝13a 2， 设P (x ，y )是椭圆C 上任意一点，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，所以x 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＝a 2－3y 2．|PQ |＝x 2＋(y －2)2＝a 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋a 2＋6，当y ＝－1时，|PQ |有最大值a 2＋6．由a 2＋6＝3，可得a 2＝3，所以b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1．]16．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．31717[如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，则重心G ⎝⎛⎭⎫23，23，0，因此DP →＝(0,0,1)，GP →＝⎝⎛⎭⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．[解]∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴B A ．当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12．综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12．18．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0．[解](1)由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，又双曲线过点(4，－10)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x 2－y 2＝6．(2)证明：由双曲线的方程为x 2－y 2＝6，可得a ＝b ＝6，c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．由点M (3，m )，得MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，又点M (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，解得m 2＝3，所以MF 1→·MF 2→＝m 2－3＝0．19．(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．[解] (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图①．①∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k ． 在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ． 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD ． 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1．(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图②所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，②∴AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→＝(0,3k,1)，AA 1→＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1． 20．(本小题满分12分)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．[解](1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ．(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2． ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x ．21．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED ．(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．[解](1)证明：∵P A ＝AD ＝1，PD ＝2，∴P A 2＋AD 2＝PD 2， 即P A ⊥AD ．又P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ， ∴P A ⊥平面ABCD ．(2)以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，23，13，AC →＝(1,1,0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23，13．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)．假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →(0≤λ≤1)， 使得BF ∥平面AEC ，则BF →·n ＝0．又∵BF →＝BC →＋CF →＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C ．(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．[解](1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝⎛⎭⎫43，13， ∴169a 2＋19b2＝1， ∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． (2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F 1为(－c,0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c＝b 33a 2c ＋c 3， 又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1， 即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55．。

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数．．．．为( )A．i B．－iC．1 D．－1【解析】因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.【答案】 A2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为( )A．工序流程图B．程序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．【答案】 B3．利用独立性检测来考查两个分类变量X，Y是否有关系，当随机变量K2的值( )【导学号：19220070】A．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大B．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小C．越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大D．与“X与Y有关系”成立的可能性无关【解析】由K2的意义可知，K2越大，说明X与Y有关系的可能性越大．【答案】 A4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．【答案】 B5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【解析】 一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】 C6．(2015·安徽高考)设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【解析】2i1－i＝2i 1＋i 1－i 1＋i＝2i －12＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】 B7．(2016·深圳高二检测)在两个变量的回归分析中，作散点图是为了( ) A ．直接求出回归直线方程 B ．直接求出回归方程C ．根据经验选定回归方程的类型D ．估计回归方程的参数【解析】 散点图的作用在于判断两个变量更近似于什么样的函数关系，便于选择合适的函数模型．【答案】 C8．给出下面类比推理：①“若2a <2b ，则a <b ”类比推出“若a 2<b 2，则a <b ”； ②“(a ＋b )c ＝ac ＋bc (c ≠0)”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b ”； ④“a ，b ∈R ，若a －b >0，则a >b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b >0，则a >b (C 为复数集)”．其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.【答案】 B9．(2015·全国卷Ⅰ)执行如图1的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )图1A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01； 运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C. 【答案】 C10．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( ) A ．3 B ．－3 C ．6D ．－6【解析】 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3，a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6，…观察可知{a n }是周期为6的周期数列，故a 33＝a 3＝3. 【答案】 A11．(2016·青岛高二检测)下列推理合理的是( ) A ．f (x )是增函数，则f ′(x )＞0B ．因为a ＞b (a ，b ∈R )，则a ＋2i ＞b ＋2i(i 是虚数单位)C ．α，β是锐角△ABC 的两个内角，则sin α＞cos βD ．A 是三角形ABC 的内角，若cos A ＞0，则此三角形为锐角三角形【解析】 A 不正确，若f (x )是增函数，则f ′(x )≥0；B 不正确，复数不能比较大小；C 正确，∵α＋β＞π2，∴α＞π2－β，∴sin α＞cos β；D 不正确，只有cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，才能说明此三角形为锐角三角形．【答案】 C12．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y 与平均气温x 之间线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数b ^＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为( )A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元【解析】 x ＝－2－3－5－64＝－4，y ＝20＋23＋27＋304＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4,25)． 因为b ^＝－2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a ^＝15.4， 所以线性回归方程为y ^＝－2.4x ＋15.4. 当x ＝－8时，y ＝34.6.故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．) 13．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________.【导学号：19220071】【解析】 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， ∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 【答案】 0或114．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：“否”)．【解析】 因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba ＋b ＝1858，dc ＋d ＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．【答案】 是15．(2016·天津一中检测)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】 已知等式可改写为：13＋23＝(1＋2)2；13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可得第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212. 【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21216．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论________．【解析】 由等比数列的性质可知，b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.【答案】 10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)(2016·哈三中模拟)设z ＝1－4i1＋i ＋2＋4i3＋4i，求|z |.【解】 z ＝1＋i －4i ＋4＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i ，∴|z |＝|7＋i||3＋4i|＝525＝ 2.18．(本小题满分12分)我校学生会有如下部门：文娱部、体育部、宣传部、生活部、学习部．请画出学生会的组织结构图．【解】 学生会的组织结构图如图．19．(本小题满分12分)给出如下列联表：患心脏病 患其他病 总计 高血压 20 10 30 不高血压 30 50 80 总计5060110(参考数据：P (K 2≥6.635)＝0.010，P (K 2≥7.879)＝0.005) 【解】 由列联表中数据可得 k ＝110×20×50－10×30230×80×50×60≈7.486.又P (K 2≥6.635)＝0.010，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系． 20．(本小题满分12分)已知非零实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a，1b ，1c不能构成等差数列.【导学号：19220072】【证明】 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则2b ＝1a ＋1c，因此b (a ＋c )＝2ac .而由于a ，b ，c 构成等差数列，且公差d ≠0，可得2b ＝a ＋c ， ∴(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ， 这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾． 故假设不成立，即1a ，1b ，1c不能构成等差数列．21．(本小题满分12分)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：ax ＋by ≤1(分别用综合法、分析法证明)．【证明】 综合法：∵2ax ≤a 2＋x 2,2by ≤b 2＋y 2， ∴2(ax ＋by )≤(a 2＋b 2)＋(x 2＋y 2)． 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2(ax ＋by )≤2，∴ax ＋by ≤1. 分析法：要证ax ＋by ≤1成立， 只要证1－(ax ＋by )≥0， 只要证2－2ax －2by ≥0， 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，∴只要证a 2＋b 2＋x 2＋y 2－2ax －2by ≥0， 即证(a －x )2＋(b －y )2≥0，显然成立．22．(本小题满分12分)某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x －.【解】 (1)散点图如图，(2)x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑i ＝15x i y i ＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.∑i ＝15x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. 所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625.a ^＝y －b ^x －≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以y 对x 的回归直线方程是y ^＝0.625x ＋22.05.(3)x ＝96，则y ^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82分．。

A .输出m ;交换m 和n 的值B .交换m 和n 的值；输出 mC .输出n ;交换m 和n 的值D .交换m 和n 的值；输出n7.按照图1――图3的规律，第10个图中圆点的个数为（ ）个.A . 40B . 36C . 44D . 52&已知二次函数 f （x ） =ax bx c 的导数为f'（x ） , f '（0） 0，对于任意实数 x 都有、选择题:1 .下列命题正确的是（ ） A .虚数分正虚数和负虚数 B .实数集与复数集的交集为实数集 c .实数集与虚数集的交集是 {0}2 .下列各式中，最小值等于 2的是（ D .纯虚数集与虚数集的并集为复数 ） 2 x y x +5 尺 1 x x A .B. --------------- C . tan D . 2 2 y x x 2 4 tan 寸 1 3.已知三次函数 f (x ) = -x 3- (4m v 1)x 2+ (15m -2n v 7)x + 2 在 x € ( —a, )是增函数,3 则m 的取值范围是（ ） A . n <2 或 n >4 B . — 4<n < — 2 C . 2<n <4 D .以上皆不正确 4. 函数f x 的定义域为 a,b ，导函数「x 在a,b 内的图像如图所示, 则函数f x 在a, b 内有极小值点 A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个5. 下面对相关系数r 描述正确的是（） A . r 0表明两个变量负相关 B . r 1表明两个变量正相关C . r 只能大于零D . | r |越接近于0,两个变量相关关系越弱 6.下面的程序框图的作用是输出两数中的较大者，则①②处分别为（ ）f(x) _0」 f ⑴的最小值为 f'（0） A . 3 B 5 C .2 D 3 2 2 9.下表为某班 5位同学身高x （单位: cm ）与体重 y （单位 kg ) 的数据， 若两个量间的回归直线方程为 y=1.16x ・a ，则a 的值为（ ） A . -121.04 B . 123.2 C . 21 D . -45.1216. 若x,厂 R 且满足x 3^2，则3x 27y 1的最小值是1 ]2 117. 若a 0，贝y a " . a ■： —2的最大值为 __________________a V a三、解答题： 10.用反证法证明命题：“ a,b,c,d R , a b =1, c d =1，且 ac bd 1，则 a,b,c,d 中至少有一个负数”时的假设为（ A . a, b,c,d 中至少有一个正数 B . a, b, c, d 全为正数 C . a,b, c,d 全都大于等于 0 D . a,b,c,d 中至多有一个负数 二、填空题: 11.关于x 的4- i = 0的实数解为 12. 用支付宝在淘宝网购物有以下几步： ②淘宝网站收到买家的收货确认信息， 无问题，在网上确认收货；④买家登录淘宝网挑选商品; 司发货给买家. 13. 将正整数 ①买家选好商品，点击购买按钮，并付款到支付宝； 将支付宝里的货款付给卖家； ③买家收到货物，检验 ⑤卖家收到购买信息，通过物流公 他们正确的顺序依次为 _________ 1,2,3,……按照如图的规律排列，则100应在第列. 7 8 9 1015141314.已知函数 3f （x ） =x ax 在R 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是15.若 a b 0，则 a 1b(a 「b) 的最小值是 ______________218.复数z = 1 -i a -3a 2 i ( a R),(1 )若Z=z，求|z|； (2)若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围.19.证明不等式：*一y (其中x, y皆为正数).y x320.设函数f(x)=x -6x 5,x R.(1 )求f (x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x) =a有3个不同实根，求实数a的取值范围.(3)已知当* (1「：)时，f(x) _k(x-1)恒成立，求实数k的取值范围21.已知x =1是函数f (x) =mx3_3(m亠1)x2亠nx亠1的一个极值点，其中m, n三R, m：：：0(1)求m与n的关系式；(2)求f (x)的单调区间；(3)当x •［」,1］，函数y二f (x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。

选修1—2综合测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分，考试时间100分钟．参考公式：线性回归方程y^＝b^x＋a^中，第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．) 1．(2018年高考·课标全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i解析：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.答案：D2．以下哪种推理方法是类比推理()A．∵数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a3＝5，∴a n＝2n－1(n∈N*)B．∵x2＝3，∴x＝±3C．∵平面内平行于同一直线的两直线平行，∴空间平行于同一平面的两个平面平行D ．∵f (x )＝x ＋3，∴f (0)＝3 答案：C3．执行如图1所示的程序框图，输出的s 值为( )图1A ．2 B.32 C.53 D .85解析：运行该程序，k ＝0，s ＝1，k <3； k ＝0＋1＝1，s ＝1＋11＝2，k <3； k ＝1＋1＝2，s ＝2＋12＝32，k <3； k ＝1＋2＝3，s ＝32＋132＝53，k ＝3.输出的s 值为53.故选C.答案：C4．在复平面内，O 为原点，向量OA→对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB→对应复数为( ) A ．－2－i B ．2＋i C ．1＋2i D ．－1＋2i 答案：B5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的什么位置( )A ．各正三角形内的点B ．各正三角形内的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点 答案：C6．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝42x ＋2B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝22x ＋1解析：由f (1)＝1, 排除C 、D ，再由f (2)＝2f (1)f (1)＋2＝23，f (3)＝2f (2)f (2)＋2＝12，排除A. 答案：B7．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…如果将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数为()A．12 B．13C．14 D．15解析：第k个黑球之前的白球数为S k′＝1＋2＋3＋…＋k＝k(k＋1)2，故k(k＋1)2＋k≤120，且(k＋1)[(k＋1)＋1]2＋(k＋1)>120且k∈N*解得k＝14，∴前120个圈中●的个数为14，选C.答案：C8．如图2的程序框图可用来估计圆周率π的值．设CONRND(－1,1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(－1,1)内的任何一个数，如果输入1200，输出的结果为943，则运用此方法，计算π的近似值为(保留四位有效数字)()图2A．3.143 B．3.142C．3.141 D．3.140解析：N 表示随机数对(A ，B )落在正方形⎩⎨⎧－1<x <1－1<y <1内的点，m表示随机数对(A ，B )落在单位圆内的点．由几何概型知m N ≈S 单位圆S 正方形，即π4≈9431 200，∴π≈3.143. 答案：A9．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．2.5%D ．97.5% 答案：D10．如图3，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )图3A ．8B ．9C ．18D ．17 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共80分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．) 11．由数列的前四项：32，1，58，38，…，归纳出通项公式a n ＝________. 解析：该数列前四项可变为：32，44，58，616，…， 由此猜想a n ＝n ＋22n . 答案：n ＋22n12．已知等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，类比上述性质，在等比数列{a n }中，则有____________答案：a m·a n＝a p·a q13．若某程序框图如图4所示，则该程序运行后输出的k的值是________．图4解析：按程序框图的运算次序一步步写出来，便知k＝5.答案：514．若不全为0的实数k1，k2，…，k n满足向量k1a1＋k2a2＋…＋k n a n＝0成立，则称向量a1，a2，…，a n为“线性相关”．依据此规定，能说明向量a1＝(1,0)，a2＝(1,1)，a3＝(2,2)线性相关的k1，k2，k3依次可以取________．(写出一组数值即可)答案：0,2，－1三、解答题(本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(8分)求证：a2＋b2＋3≥ab＋3(a＋b)．证明：∵a2＋b2≥2ab，a2＋3≥23ab 2＋3≥23b ，∴2(a 2＋b 2＋3)≥2(ab ＋3a ＋3b ) ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．16．(8分)儿童乘火车时，若身高不超过1.1米，则无需购票，若身高超过1.1米但不超过1.4米，可买半票，若超过1.4米，应买全票．设计一个算法，并画框图．解：本问题中旅客的身高影响他的票价，属于分段函数问题．设身高为h 米，票价为a 元，旅客购票款为y ，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，h ≤1.1，a2，1.1<h ≤1.4，a ，h >1.4设计算法如下： 第一步：输入身高h ，第二步：若h ≤1.1，则不必购买车票，否则进行下一步； 第三步：若h >1.4，则购买全票，否则买半票． 框图表示如图5：图517．(10分)已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2 cos θ＋(λ＋3 sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，求λ的取值范围．解：依题意，有⎩⎨⎧m ＝2 cos θ4－m 2＝λ＋3 sin θ∴λ＝4－(2 cos θ)2－3 sin θ＝4(1－cos 2θ)－3 sin θ ＝4 sin 2θ－3 sin θ＝4(sin θ－38)2－916∵－1≤sin θ≤1∴0≤(sin θ－38)2≤12164 ∴－916≤λ≤7为所求的取值范围．18．(12分)正三角形内任意一点到三边距离之和为定值，在四面体中类比你会得到类似结论，并证明你的结论．解：结论：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值． 证明如下：在正四面体ABCD 中，O 是正四面体内任一点，连结OA 、OB 、OC 、OD ，设O 到面ABC 、面ACD 、面ABD 、面BCD 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4，A 到面BCD 的距离为h ，正四面体的一个面的面积为S ，则V A —BCD ＝13S △BCD ·h ＝13ShV O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —ABD ＋V O —BCD ＝13S ·h 1＋13Sh 2＋13Sh 3＋13Sh 4 ＝13S (h 1＋h 2＋h 3＋h 4)∵V A —BCD ＝V O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —ABD ＋V O —BCD ∴13Sh ＝13S (h 1＋h 2＋h 3＋h 4) ∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝h (定值)故正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值．19．(12分)为考察高中生的数学成绩与语文成绩之间的关系，对高二(1)班的55名学生进行了一次摸底考试，按照考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下2×2列联表：解：假设“数学成绩与语文成绩没有关系”．而随机变量的观测值k＝110(21×42－34×13)2(21＋34)(13＋42)(21＋13)(34＋42)＝21 296 0007 816 600≈2.724>2.706.且P(K2≥2.706)≈0.10.这就意味着“数学成绩与语文成绩没有关系”这一结论是错误的可能性约为0.10，即有90%的把握认为“数学成绩与语文成绩有关系”．20．(14分)已知函数f(x)＝2xx＋a的图象关于直线x＋y＝0对称，定义数列{a n}，使a1＝2a，a2＝f(a1)，…，a n＋1＝f(a n)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：∑=+niiiaa11<8.解：(1)函数f(x)＝2xx＋a的图象关于直线x＋y＝0对称的解析式为－x ＝2(－y )－y ＋a即y ＝axx ＋2，∴a ＝2.∴a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝1a n ＋12∴{1a n}为等差数列∴1a n ＝14＋12·(n －1)，∴a n ＝42n －1. (2)由(1)可知a i a i ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12i －1－12i ＋1 ∴(2)求证：∑=+ni i i a a 11=8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1<8.。

模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算：（1＋i ）3（1－i ）2等于()A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i解析：（1＋i ）3（1－i ）2＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）2＝－1－i. 答案：D2．如图所示的框图是结构图的是( ) A.P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q B.Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件C.D.入库→找书→阅览→借书→出库→还书 解析：选项C 为组织结构图，其余为流程图． 答案：C3．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a ∈R ，结论：a 2>0，那么这个演绎推理出错在()A ．大前提B ．小前提C ．推理形式D ．没有出错 答案：A4．演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是()A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误解析：对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当a >1时是增函数，当0<a <1时是减函数，故大前提错误．答案：A5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1，9×1＋2＝11，9×2＋3＝21，9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为()A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －9D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析：易知等式的左边是两项和，其中一项为序号n ，另一项为序号n －1的9倍，等式右边是10n －9.猜想第n 个等式应为9(n －1)＋n ＝10n －9. 答案：B6．已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：因为（1－i ）2z＝1＋i ，所以z ＝（1－i ）21＋i ＝（1－i ）2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋i 2－2i ）（1－i ）1－i 2＝－2i （1－i ）2＝－1－i.答案：D7．根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( )A.a ＞0，b C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0解析：作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b ＜0， 当x ＝0时，y ^＝a ＞0.故a ＞0，b ＜0. 答案：B8．下列推理正确的是( )A ．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B ．因为a >b ，a >c ，所以a －b >a －cC ．若a ，b 均为正实数，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a 为正实数，ab <0，则a b ＋b a＝－⎝⎛⎭⎪⎫－a b ＋－b a ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2解析：A 中推理形式错误，故A 错；B 中b ，c 关系不确定，故B 错；C 中lg a ，lg b 正负不确定，故C 错．D 利用基本不等式，推理正确．答案：D9．下面的等高条形图可以说明的问题是()A ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的B ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同C ．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方D ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握解析：由等高条形图知，D 正确． 答案：D10．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数B ．a ，b ，c 都大于1C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12解析：假设a ，b ，c 中都小于12，则a ＋2b ＋c <12＋2×12＋12＝2，与a ＋2b ＋c ＝2矛盾所以a ，b ，c 中至少有一个不小于12.答案：D11．已知直线l ，m ，平面α，β且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是() A ．1B ．2C ．3D ．4解析：若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 答案：B12．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x解析：输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，得x ＝0，y ＝1，x 2＋y 2＝1<36，不满足条件；执行循环：n ＝2，x ＝12，y ＝2，x 2＋y 2＝14＋4<36，不满足条件；执行循环：n ＝3，x ＝32，y ＝6，x 2＋y 2＝94＋36>36，满足条件，结束循环，输出x ＝32，y ＝6，所以满足y ＝4x . 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2017·某某卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i 为实数，则a 的值为________．解析：a －i 2＋i ＝15(a －i)(2－i)＝2a －15－a ＋25i依题意a ＋25＝0，所以a ＝－2.答案：－214．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为______________________________________________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝115．(2017·卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________； ②该小组人数的最小值为________．解析：设男学生人数、女学生人数、教师人数分别为a ，b ，c ，则有2c ＞a ＞b ＞c ，且a ，b ，c ∈Z.①当c ＝4时，b 的最大值为6；②当c ＝3时，a 的值为5，b 的值为4，此时该小组人数的最小值为12.答案：①6②1216．已知线性回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^x ，如果当x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那么回归直线方程为______．解析：首先把两组值代入回归直线方程得⎩⎨⎧3b ^＋a ^＝17，8b ^＋a ^＝22，解得⎩⎨⎧b ^＝1，a ^＝14. 所以回归直线方程是y ^＝x ＋14. 答案：y ^＝x ＋14三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)复数z ＝1＋i ，某某数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2. 解：因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， 因为a ，b 都是实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2.所以a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.18．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为一个三角形的三边，S ＝12(a ＋b ＋c )，且S 2＝2ab ，求证：S <2a .证明：因为S 2＝2ab ，所以要证S <2a ，只需证S <S 2b，即b <S .因为S ＝12(a ＋b ＋c )，只需证2b <a ＋b ＋c ，即证b <a ＋c .因为a ，b ，c 为三角形三边， 所以b <a ＋c 成立，所以S <2a 成立． 19．(本小题满分12分)观察以下各等式：tan 30°＋tan 30°＋tan 120°＝tan 30°·tan 30°·tan 120°， tan 60°＋tan 60°＋tan 60°＝tan 60°·tan 60°·tan 60°， tan 30°＋tan 45°＋tan 105°＝tan 30°·tan 45°·tan 105°. 分析上述各式的共同特点，猜想出表示一般规律的等式，并加以证明． 解：表示一般规律的等式是：若A ＋B ＋C ＝π，则tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . 证明：由于tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ，所以tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )． 而A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C .于是tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(π－C )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C ＋tan A tanB tanC ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .故等式成立．20．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值；(2)当a ＞0且b a ＞14时，证明该方程没有实数根．解：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx＝1， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)证明：原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0， 假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .因为a ＞0，所以b a ≤14，这与题设b a ＞14相矛盾，故原方程无实数根．21．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． (1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＝1＋2，3a 1＋3d ＝9＋32，联立得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 从而(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. 因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， 所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．22．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．解：(1)由题意知n ＝10，x －＝110i＝8010＝8，＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．。

选修模块综合测试（一）(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( ). 完全归纳推理. 归纳推理. 演绎推理. 类比推理解析：由特殊到一般的推理为归纳推理．故选.答案：．[·开封摸底]阅读如下程序框图，如果输出的＝，那么空白的判断框中应填入的条件是( ). <？. <?. <?. <？解析：由题知，＝，＝；＝，＝，＝，＝.故选.答案：．[·四川高考]如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是( )....解析：设＝－＋(，∈＋)，则的共轭复数＝－－，它对应点的坐标为(－，－)，是第三象限的点．故选.答案：．已知复数＝＋，＝－，若为实数，则实数的值为( )．－．－解析：＝＝＝是实数，∴＋＝.∴＝－.答案：．＋>成立的一个充分条件是( )．>且>．>或>．>或<．>且<解析：(\\(>>))⇒＋>，＋>⇒(\\(>，>.))答案：．[·辽宁沈阳质监]有如图所示的程序框图，则该程序框图表示的算法的功能是( ). 输出使×××…×≥成立的最小整数. 输出使×××…×≥成立的最大整数. 输出使×××…×≥成立的最大整数＋. 输出使×××…×≥成立的最小整数＋解析：依题意与题中的程序框图可知，该程序框图表示的算法的功能是输出使×××…×≥成立的最小整数＋，选.答案：．下面给出了关于复数的四种类比推理，①复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量的性质＝，可以类比得到复数的性质：＝；③方程＋＋＝(，，∈)有两个不同的实数根的条件是－>，类比可得方程＋＋＝(，，∈)有两个不同的复数根的条件是－>；④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到的结论正确的是( ). ②④. ①③. ②③. ①④解析：②中∈，但不一定是实数．③中复数集不能比较大小，不能用－来确定根的个数，故选.答案：．给出下列三个命题：①若≥>－，则≥；。