第七章行列式与矩阵

线性代数中行列式与矩阵的比较作者：王振尤兰来源：《课程教育研究·新教师教学》2015年第35期【基金项目】盐城工学院人才引进项目（XKR2011022）。

【中图分类号】O151.22-4 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）35-0003-02行列式和矩阵是线性代数中最先介绍的两个基本概念，贯穿整个线性代数课程。

但部分同学在学完了线性代数之后，对它们的符号、性质及应用却依然没有搞清楚，往往混淆。

多年来已有一些作者对这一对概念进行分析，但由于这两个概念在线性代数的每个部分都需要用到，所以详细地、多角度地分清这两个基本概念，对学好、用好线性代数这门课程非常必要。

文献[1，2]对这行列式与矩阵从概念与性质角度已做了部分辨析，下面笔者拟从概念、运算、化简、应用四个方面对这两个概念进行剖析，给出它们之间的区别与联系，串起线性代数中大部分内容，希望能对线性代数的教与学提供一个参考。

1.概念的比较1.1行列式与矩阵概念的区别由行列式和矩阵的定义可知，虽然行列式与矩阵表面上都是将一些数按行按列排成数表，再在两边加上一个符号的形式，但这两个概念是完全不同的。

首先，两边所加的符号不同：行列式两边用竖线“||”，而矩阵两边用圆括弧“（）”或方括弧“”[ ]。

其次，形状不同：行列式的行数与列数必须相等，但矩阵的行数与列数可以不相等。

再次，意义不同：n阶行列式是由n个数a（1≤i，j≤n）按规定的运算法则所确定的一个数，而m行n列矩阵是由m×n个数aij（1≤i≤m，1≤j≤n）按行按列排成的一个数表。

故两个表面不一样的行列式，它们的值却可能相等；而两个矩阵相等则要求必须是同型矩阵且相同位置元素相等，所以两个不同型的零矩阵是不相等的。

1.2与行列式、矩阵相关的一些概念当A是方阵（行数=列數）时，有对应的行列式|A|，称为方阵A阵的行列式；当A不是方阵时，没有对应的行列式。

在一般m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。

矩阵与行列式的相似与不同学校：长江大学院系：信息与数学学院专业：信息与计算科学姓名：***辅导老师：***【摘要】:本文中主要讨论了高等代数中矩阵和行列式的概念，并且从概念，性质以及运算几个方面阐述了行列式与矩阵的相似与不同。

【关键词】:矩阵.行列式.相似与区别矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

数学上,一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列.矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。

其重要的作用是解线性方程组和表示线性变换。

行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，是由若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵。

行列式是一个函数，值是一个标量。

其值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负取决于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是基数。

我们先看看矩阵和行列式有哪些相似。

1.形式上比较相似：矩阵和行列式看上去比较相似，主要表现在：它们中的元素都有顺序的排成行列表，表面上看起来很相似，导致很多初学者容易把行列式和矩阵弄混淆；其次，它们中的表示方法一致，比如说行列式和矩阵中第i行第j列的元素都用a ij表示；并且，它们对行列的称呼一致，从上到下依次称作第一行，第二行…第n行，记作r1，r2，…r n；从左到右依次称为第一列，第二列，…第n列，记作c1，c2…c n。

2.性质上有相同点：在一个不等于0的数乘行列式或矩阵的某一行或某一列时，等于该数乘以此行或此列的每一个元素；行列式和矩阵中把一个不为0的数乘行列式或矩阵的某一行或列后可以加到另一行或列对应的元素上，即某一行（列）的k倍可以加到另一行（列）上。

3.运算上具有相同点：（1）行列式和矩阵都满足叫法交换率和结合律。

可以表示为D1+D2=D2+D1（D1+D2）+D3=D1+(D2+D3)A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C)(2)行列式和矩阵满足乘法结合律，即D1(D2D3)=(D1D2)D3 A（BC）=（AB）C(3)行列式适合乘法分配率，矩阵适合乘法左分配率和右分配率，也就是说D1（D2+D3）=D1D2+D1D3（D2+D3）D1=D2D1+D3D1A(B + C) = AB + AC (B + C)A=BA + CA 矩阵和行列式虽然说有很多相同点，但它们始终是两个不同的概念，那么矩阵和行列式有什么区别呢。

矩阵与行列式知识梳理一、矩阵的概念1 将mn 个实数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成m 行n 列的矩形数表(通常用圆括号把数表括起来)：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211称为一个m 行n 列的矩阵，简称n m ⨯矩阵，用______表示.简记为_____.数ij a 称为矩阵的元素.几种特殊类型的矩阵：行矩阵、列矩阵、方阵、单位矩阵、零矩阵. 2 对于关于y x ,的线性方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ，则矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛2211b ab a 称为该线性方程组的系数矩阵. 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a 称为该线性方程组的增广矩阵. 3 矩阵的三种变换：(1) (2) (3)4 矩阵变换的目的是将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，其增广矩阵的最后一列就是方程组的解.二、二阶行列式 1 定义：我们用记号2211b a b a 表示算式1221b a b a -，即12212211b a b a b a b a -=，记号2211b a b a 叫做行列式，因为它只有两行两列，所以把它叫做二阶行列式. 1221b a b a -叫做行列式2211b a b a 的展开式，其计算结果叫做2211b a b a 的值.1a 、2a 、1b 、2b 都叫做行列式2211b a b a 的元素.2 对角线法则：二阶行列式的展开式是主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积.3作为判别式的二阶行列式：关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ①其中1a 、2a 、1b 、2b 不全为零，行列式2211b a b a D =叫做方程组①的系数行列式. 设2211b c b c D x =，2211c a c a D y =.则当0≠D 时，方程组①有唯一解. 当0=D 且0==y x D D 时，方程组①有无穷多解. 当0=D ，x D 、y D 中至少有一个不为零时，方程组①无解. 三、三阶行列式1 三阶行列式的定义：把九个数排成三行三列的方阵，用记号333222111c b a c b a c b a ①表示算式 231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++②.我们把记号①叫做三阶行列式，把记号②叫做三阶行列式①的展开式，212121,,,,,c c b b a a 都叫做三阶行列式①的元素. 2 三阶行列式的展开方法：按对角线展开、按某一行(或一列)展开.3行列式333222111c b a c b a c b a 中某元素x 位于第i 行第j 列，其代数余子式等于它的余子式乘上j i +-)1(.4 【结论】三阶行列式等于它的任意一行(或一列)的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积的和.如：111111333222111C c B b A a c b a c b a c b a ++=.其中33221c b c bA =，33221c a c a B -=，33221b a b a C -=【结论】三阶行列式的某一行(或一列)的各元素与另一行(或一列)对应元素的代数余子式的乘积的和等于零.5关于z y x ,,的三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 的系数行列式为333222111c b a c b a c b a D =，当0≠D 时，方程组有唯一解. 当0=D 时，方程组无解或无穷多解.注意：三元一次方程组，当0=D 时，情况复杂，方程组的解不同于二元一次方程组！。

矩阵的行列式和逆矩阵的计算矩阵在数学中是一个重要的概念，广泛应用于统计学、物理学、工程学等领域。

对于矩阵的行列式和逆矩阵的计算，是矩阵理论与实践中的核心问题。

在本篇文章中，我们将对这两个问题进行详细的讨论。

1.行列式的定义在介绍矩阵的行列式之前，我们需要了解矩阵的基本概念。

矩阵是一个由m行n列元素组成的数表，用记号A=(aij)表示。

其中，i表示行号，j表示列号，aij为矩阵A的第i行第j列的元素。

矩阵的行和列分别称为行向量和列向量。

例如，下面是一个3行2列的矩阵：A = [1 2;3 4;5 6]行列式是一个与矩阵有关的数，在矩阵中扮演着重要的角色。

设A为一个n阶矩阵，由n行n列的元素组成，其行列式记作|A|，定义如下：当n=1时，|A|=a11;当n>1时，|A|=∑(-1)i+jaij|Mij|，其中Mij为划去第i行第j列后得到的n-1阶矩阵的行列式。

值得注意的是，行列式只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列顺序无关。

此外，矩阵的行列式有以下重要性质：（1）|A|=|AT|，即矩阵和其转置矩阵的行列式相等；（2）若矩阵A中某一行或某一列的元素全为0，则|A|=0；（3）若矩阵A的两行或两列成比例，则|A|=0。

2.行列式的计算方法在实际应用中，我们需要通过一定的方法来计算矩阵的行列式。

下面介绍两种常用的行列式计算方法。

（1）按行（列）展开法按行展开法是一种实际应用最广泛的行列式计算方法。

具体步骤如下：①选取矩阵的一行（列），将其展开成n个代数余子式的和，即：a11A11+a12A12+...+a1nAn1。

其中，aij为第一行（列）的元素，Ai1, Ai2, ..., Ain为它们对应的代数余子式。

②对于每个Ai1, Ai2, ..., Ain，依次递归使用按行展开法，将其展开成n-1个代数余子式的和。

③不断递归使用上述步骤，最终得到一个由每个代数余子式的积和求和得到的表达式，即为所求行列式。