第二十六讲 平移

第二十六讲平移、旋转与对称【基础知识回顾】一、轴对称与轴对称图形：1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形⑵对应点连接被对称轴【名师提醒：1、轴对称是指个图形的位置关系，而轴对称图形是指个具有特殊形状的图形；2、对称轴是而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】二、图形的平移与旋转：1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移⑵性质：Ⅰ、平移不改变图形的与，即平移前后的图形Ⅱ、平移前后的图形对应点所连的线段平行且【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的和】2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个，这样的图形运动称为旋转，这个点称为转动的称为旋转角⑵旋转的性质：Ⅰ、旋转前后的图形Ⅱ、旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角都【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定、和，2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称图形】三、中心对称与中心对称图形：1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与自身重合它能与另一个图形就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过且被平分【名师提醒：1、中心对称是指个图形的位置关系，而中心对称图形是指个具有特殊形状的图形2、常见的轴对称有、、、、、等，常见的中心对称图形有、、、、、等3、所有的正n边形都是对称图形，且有条对称轴，边数为偶数的正多边形，又是对称图形，4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用】【典型例题解析】考点一：轴对称图形例1 （2013•株洲）下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（）A．等边三角形B．矩形C．菱形D．正方形思路分析：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分别判断出各图形的对称轴条数，继而可得出答案．解：A、等边三角形有3条对称轴；B、矩形有2条对称轴；C、菱形有2条对称轴；D、正方形有4条对称轴；故选D．点评：本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称及对称轴的定义．例2 （2013•遵义）已知点P（3，-1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则a b的值为．思路分析：根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a+b=-3，1-b=-1，再解方程可得a、b的值，进而算出a b的值．解：∵点P（3，-1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），∴a+b=-3，1-b=-1，解得：b=2，a=-5，a b=25，故答案为：25．点评：此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．例3 （2013•重庆）作图题：（不要求写作法）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A、B、C的坐标分别为A（-2，1），B（-4，5），C（-5，2）．（1）作△ABC关于直线l：x=-1对称的△A1B1C1，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；（2）写出点A1、B1、C1的坐标．思路分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出点A1、B1、C1的坐标即可．解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）A1（0，1），B1（2，5），C1（3，2）．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．对应训练1．（2013•山西）如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（）A．1条B．2条C．4条D．8条1．C2．（2013•铜仁地区）点P（2，-1）关于x轴对称的点P′的坐标是．2．（2，1）3．（2013•郴州）在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？3．解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．考点二：中心对称图形例4 （2013•永州）下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．思路分析：先判断出各图形的主视图，然后结合中心对称的定义进行判断即可．解：A、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，故本选项错误；B、主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，故本选项正确；C、主视图是圆，圆是中心对称图形，故本选项错误；D、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了简单几何体的三视图及中心对称的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．例5 （2013•深圳）在平面直角坐标系中，点P（-20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（）A．33 B．-33 C．-7 D．7思路分析：先根据关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数，求出a 与b的值，再代入计算即可．解：∵点P（-20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，∴a=-13，b=20，∴a+b=-13+20=7．故选D．点评：本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．对应训练4．（2013•营口）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点三：最短路线问题的动点，则△PEB的周长的最小值是．思路分析：连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP 解：连接CE，交AD于M，∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠B=60°，DE=1，∴BE=33，BD=233，对应训练6．（2013•钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC 上一动点，则PB+PE的最小值是．6．10考点四：平移例7 （2013•绵阳）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（-2，3），嘴唇C点的坐标为（-1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是．思路分析：先确定右眼B的坐标，然后根据向右平移几个单位，这个点的横坐标加上几个单位，纵坐标不变，由此可得出答案．解：∵左眼A的坐标是（-2，3），嘴唇C点的坐标为（-1，1），∴右眼的坐标为（0，3），向右平移3个单位后右眼B的坐标为（3，3）．故答案为：（3，3）．点评：本题考查了平移变换的知识，注意左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变．例8 （2013•宜宾）如图，将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为．思路分析：设点A到BC的距离为h，根据平移的性质用BC表示出AD、CE，然后根据三对应训练7．（2013•贵阳）如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．90°D．130°7．B8．（2013•陕西）在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（-2，1）、B （1，3），将线段AB通过平移后得到线段A′B′，若点A的对应点为A′（3，2），则点B的对应点B′的坐标是．8．（6，4）考点五：旋转的性质例9 （2013•南京）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=．思路分析：根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠D=∠BAD=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，∵∠1=∠2=110°，∴∠3=360°-90°-90°-110°=70°，∴∠4=90°-70°=20°，∴∠α=20°．故答案为20°．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．例10 （2013•益阳）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；（2）由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根据全等三角形证明方法得出即可；（3）分别根据①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，②当点E的像E′与点N重合时，求出α即可．解答：（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36°，∴∠BEC=180°-∠C-∠CBE=72°，∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，∴AE=BE，BE=BC，∴AE=BC．（2）证明：∵AC=AB且EF∥BC，∴AE=AF；由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，∵在△CAE′和△BAF′中AB ACF AB E ACAF AE=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''=⎩，∴△CAE′≌△BAF′，∴CE′=BF′．（3）存在CE′∥AB，理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图：①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，∴α=∠CAM=36°．②当点E的像E′与点N重合时，由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°，∴∠MAN=180°-2×72°=36°，∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．对应训练9．（2013•铁岭）如图，在△ABC 中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为 ．9．1.610．（2013•扬州）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 在边AB 上，连接CD ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°至CE 位置，连接AE ．（1）求证：AB ⊥AE ；（2）若BC 2=AD•AB ，求证：四边形ADCE 为正方形．10．证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠B=∠BAC=45°，∵线段CD 绕点C 顺时针旋转90°至CE 位置，∴∠DCE=90°，CD=CE ，∵∠ACB=90°，∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD ，即∠BCD=∠ACE ，在△BCD 和△ACE 中BC AC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCD ≌△ACE ，∴∠B=∠CAE=45°，∴∠BAE=45°+45°=90°，∴AB ⊥AE ；（2）∵BC 2=AD•AB ，而BC=AC ，∴AC 2=AD•AB ，∵∠DAC=∠CAB ，∴△DAC ∽△CAB ，∴∠CDA=∠BCA=90°，而∠DAE=90°，∠DCE=90°，∴四边形ADCE 为矩形，∵CD=CE ，∴四边形ADCE 为正方形．考点六：图形的折叠 AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为 ．思路分析：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：②当点B′落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC ，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=4，∴AC=2243 =5，∵∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A 、B′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B′处，如图， ∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x ，则EB′=x ，CE=4-x ，在Rt △CEB′中，对应训练l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为．解：过点A作AQ⊥BC于点Q，∵AB=AC，BC=8，tanC=32，∴AQQC=32，QC=BQ=4，∴AQ=6，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过B′点作B′E⊥BC于点E，考点七：简单的图形变换的应用例12 （2013•眉山）如图，在11×11的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C；（3）在（2）的条件下直接写出点B旋转到B2所经过的路径的长．（结果保留π）思路分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转90°后的A2、B2的位置，然后顺次连接即可；（3）利用勾股定理列式求出BC的长，再根据弧长公式列式计算即可得解．解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A 2B 2C 如图所示；（3）根据勾股定理，BC=221417+=，所以，点B 旋转到B 2所经过的路径的长=9017171802π⨯=π． 点评：本题考查了利用轴对称变换作图，利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网对应训练12．（2013•绥化）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：（1）画出将△ABC 向右平移3个单位后得到的△A 1B 1C 1，再画出将△A 1B 1C 1绕点B 1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A 2B 1C 2；（2）求线段B 1C 1旋转到B 1C 2的过程中，点C 1所经过的路径长．12．解：（1）如图所示：（2）点C1所经过的路径长为：904180π⨯=2π．考点八：几何变换综合题例13 （2013•达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB=CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据，易证△AFG≌，得EF=BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．思路分析：（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AEF进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同；（3）根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB=AC 得到∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2，证△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2；解：（1）∵AB=CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFG和△AEF中AE AGEAF FAG AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFG≌△AEF（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF．（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFG和△AEF中AE AGEAF FAG AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFG≌△AEF（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF．（3）猜想：DE2=BD2+EC2，证明：根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，∴△AEC ≌△ABE′，∴BE′=EC ，AE′=AE ，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB ，在Rt △ABC 中，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°，∴E′B 2+BD 2=E′D 2，又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°，在△AE′D 和△AED 中，AE AE E AD DAE AD AD '=⎧⎪'∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AE′D ≌△AED （SAS ），∴DE=DE′，∴DE 2=BD 2+EC 2．点评：此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明△AFG ≌△AEF ．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．对应训练（3）他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45°，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=x2上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标，请你直接写出点P的所有坐标．解得-13102bc=⎧⎪⎨=⎪⎩。