概率建模真题
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§2 在数模竞赛中用到概率论的一些实例一、（2002年全国数模竞赛B 题）彩票中的数学要求对各种彩票的设置方案，计算各个奖项的中奖概率、奖金额，以及对彩民的吸引力，评价各种方案的合理性，设计一种“更好”的方案，给彩票管理部门提出建议。
目前流行的彩票主要有下列两种类型： （1）“传统型”例（“10选6+1”）投注者从0～9这10个号码中选出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从0～4这5个号码中选出1个特别号码，构成一注。
开奖时，从0～9中摇出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从0～4中摇出1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级，如下表所示（其中abcdef 为摇出的基本号码，g 为摇出的特别号码，X 为其他号码）：投注者选的每个基本号码，与摇出号码相符的概率都是101，不符的概率是109。
选的特别号码，与摇出号码相符的概率是51，选错的概率是54。
因为各位号码的选对与否，是相互独立的，所以，一组投注号码中奖的概率，等于各位号码选对与否的概率的乘积，即有0000002.051)101(}{6=⨯=一等奖P ； 0000008.054)101(}{6=⨯=二等奖P ； 000018.0109)101(2}{5=⨯⨯=三等奖P ；000243.0109)101(3}{24=⨯⨯=）（四等奖P ； 002916.0109)101(4}{33=⨯⨯=）（五等奖P ； 032805.0109)101(5}{42=⨯⨯=）（六等奖P 。
（2）“乐透(lottery)型”例（“36选6+1”）投注者从01～36这36个号码中选出7个号码（无重复，不考虑排列次序），构成一注。
开奖时，从01～36中摇出6个基本号码（无重复，不考虑排列次序）和1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级，如下表所示（其中O 为摇出的基本号码，★为摇出的特别号码，X 为其他号码）：36从36个号码中任意选7个号码（无重复，不考虑排列次序），有736C 种不同选法。
在彩民选出的7个号码中，恰好有i 个基本号码和j 个特别号码的情况，相当于先从6个基本号码中选i 个，再从1个特别号码中选j 个，再从29个其他号码中选j i --7个，共有ji jiC C C --72916种不同选法，所以，中奖概率为73672916}{C C C C j i P ji ji--=个特别号码个基本号码和选中 （6,5,4,3=i ，1,0=j ）。
彩民购买一注彩票的金额为2元，获得的奖金金额由下列表格和计算公式给出（以上面的“乐透型36选6+1”为例）：奖、三等奖称为“高项奖”，奖金额不固定，按照下列公式求出：高项奖奖金总数低项奖奖金总数彩票销售总额-⨯=%50， 高项奖单项奖金总数这一单项所占的比例高项奖奖金总数⨯=，高项奖单项每注奖金额这一项中奖的投注数高项奖单项奖金总数=。
高项奖单项每注奖金额，与彩票销售总额和这一项中奖的投注数有关。
但是，如果按照概率计算，可以求出高项奖单项平均每注奖金额，与彩票销售总额无关，与这一项中奖的投注数也无关：高项奖单项每注奖金额这一项中奖的投注数高项奖单项奖金总数=投注数这一项的中奖概率所占比例低项奖奖金总数）彩票销售总额⨯⨯-⨯=%50(投注数这一项的中奖概率所占比例投注数）中奖概率低项奖每注奖金额投注数元⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=∑%502(这一项的中奖概率所占比例）中奖概率低项奖每注奖金额元⨯⨯-⨯=∑%502( 。
按照这一公式，可以求得高项奖平均每注奖金额为设投注者每购买一注彩票可以得到的奖金额为随机变量ξ，他能得到的平均奖金额就是ξ的数学期望ξE ，把上面求出的奖金额和中奖概率代入，可以求得ξE ∑==ii ix P x}{ξ∑⨯=中奖概率各项奖每注奖金额1=（元）。
得到这一结果是必然的，因为，投注者每购买一注彩票付出的金额为2元，按照规定，返回给彩民的奖金总数为彩票销售总额的50%，所以平均每注彩票的奖金额显然应该就是元元1%502=⨯ 。
对各种彩票设置方案，都可以用上述方法求出各项奖的中奖概率和奖金额，在此基础上，便可进一步考虑彩票设置方案的合理性，对彩民的吸引力，设计出“更好”的方案来。
二、（2004年国际数模竞赛A 题）指纹是唯一的吗？人们普遍相信一种说法：在世界上曾经生活过的任何两个人，他们的指纹，都是不相同的。
要求建立一个模型，分析评估一下，这种说法，成立的可能性有多大。
（1）任意选出两个人，他们的指纹相同的概率设一个指纹中有m 个特征点，在每个特征点处，都有可能出现n 种不同的特征（如：核心、分岔、孤岛、孔洞、三角、端点、交叉、……，等等）。
设在第i 个特征点处，出现各种特征的概率分别为1i p ，2i p ，…，in p （ 显然有 ∑=nj ij p 11= ）。
于是，在第i 个特征点处，两个人的指纹特征恰好相同的概率，显然应该等于∑==+++nj j i ini i p ppp1222221（ m i ,,2,1 = ）。
设各个特征点相互独立，则在所有m 个特征点处，两个人的指纹特征完全相同的概率就是∏∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mi nj j i nj mj nj j nj jp p p p p 11212122121 。
作为特例，如果在所有m 个特征点处，出现n 种不同特征的概率都相等，即有np ji1= （m i ,,2,1 =，n j ,,2,1 =）。
这时，两个人的指纹特征完全相同的概率就是∏∑∏∑====⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mi n j mi nj j i n p p 1121121mmi mi nnn n 111112==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏∏== 。
（2）在世界上曾经生活过的N 个人中，至少有两个人指纹相同的概率上面，我们已经求出了“任意选出两个人，他们的指纹相同”的概率∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mi nj j i p p 112。
在此基础上，我们进一步来求“在N 个人中，至少有两个人指纹相同”的概率。
为此，我们先来求“在N 个人中，任何两个人的指纹都不相同”的概率。
将这N 个人编号为：第1人，第2人，…，第N 人。
第1人与第2人指纹相同的概率为p ，第1人与第2人指纹不同的概率为p -1。
在已知第1人、第2人指纹不同的条件下，第3人与第1人、第2人中至少一人指纹相同的概率为p p p 2=+，第3人与前两人指纹都不同的概率为p 21-。
在已知第1人、第2人、第3人指纹都不同的条件下，第4人与第1人、第2人、第3人中至少一人指纹相同的概率为p p p p 3=++，第4人与前三人指纹都不同的概率为p 31-。
……在已知第1人、第2人、…、第1-N 人指纹都不同的条件下，第N 人与前1-N 人中至少一人指纹相同的概率为p N )1(-，第N 人与前1-N 人指纹都不同的概率为p N )1(1--。
所以，“在N 个人中，任何两个人的指纹都不相同”的概率为∏-=-=-----11)1(])1(1[)31)(21)(1(N k kp p N p p p 。
“在N 个人中，至少有两个人的指纹相同”的概率为∏-=--11)1(1N k kp 。
作为特例，当mnp 1=时，有∏-=--11)1(1N k kp ∏-=--=11)1(1N k mnk )11()21)(11(1mmmnN nn-----=Nmmmmm n N nnnn )()1()2)(1(1+----= NmNn n P m )(1-= 。
（3）概率∏-=--11)1(1N k kp 的计算上面求出了“在N 个人中，至少有两个人指纹相同”的概率∏-=--11)1(1N k kp ，在这个式子中，要计算多达1-N 项的连乘积，当N 很大时（例如N 是世界上曾经生活过的人口数），这个连乘积，即使用计算机，也是很难计算的。
所以，我们要考虑它的近似计算。
设∏-=-11)1(N k kp 11332210))(()()()()(---++-+-=N N p N F p N F p N F p N F N F∑-=-=1))((N i iip N F其中，)(N F i 是展开式中i p )(-的系数，当0<i 或N i ≥时规定0)(=N F i 。
由于∑=-+Ni iip NF 0))(1(∏=-=Nk kp 1)1(∏-=--=11)1()1(N k kp Np ∑-=--=1))(()1(N i ii p N F Np∑∑-=+-=-+-=111))(())((N i i iN i iip N NFp N F ∑∑=--=-+-=Ni ii N i iip N NFp N F 111))(())((∑=--+=Ni ii ip N NFN F 01))](()([ ，对比等式两边，可以看出，有递推公式：)()()1(1N NF N F N F i i i -+=+ （N i ,,2,1 =）。
再加上显然有1)(0=N F ，就可以逐步递推得到2)1()(1NN N F -=，24)13()1)(2()(2---=N N N N N F ，48)1)(2)(3()(223NN N N N F ---=，5760)253015()1)(2)(3)(4()(234++-----=N NNN N N N N N F ，…… 。
即有∏-=--11)1(1N k kp ∑-=--=1))((1N i iip N F -+-=33221)()()(p N F p N F p N Fp NN 2)1(-=224)13()1)(2(p N N N N --------+32248)1)(2)(3(p NN N N 。
作为特例，设一个指纹中共有25个特征点，每个特征点处可能出现10种不同的特征，出现各种特征的概率都相等，即有 25=m ，10=n ，2525101011-===mnp 。
设在世界上曾经生活过的人口数为300亿，即10103⨯=N 。
代入上面的公式，可以求得“在世界上曾经生活过的N 个人中，至少有两个人指纹完全相同”的概率为∏-=--11)1(1N k kpp NN 2)1(-=224)13()1)(2(p N N N N --------+32248)1)(2)(3(p NN N N251010102103)1103(-⨯⨯⨯-⨯=50101010101024)11033(103)1103()2103(-⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯--⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯+-7521021010101048103)1103()2103()3103(）（≈ +-1250000000010.00000000450000.0≈000045.0 。
