2020届山西省太原市高考数学三模试卷(理科)(有答案)

山西省太原市第三十六中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 正方体中，、分别是棱和上的点，，，那么正方体的过、、的截面图形是A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形参考答案：C2. 如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是参考答案：B3. 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D略4. 展开式中的常数项为（）A．-8 B．-12 C．-20 D．20参考答案：C试题分析：∵，∴，令，即，∴常数项为.考点：二项式定理.5. 已知函数f（x）=﹣，若对任意的x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2时，[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0，则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣e2，e2]参考答案：B【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增，分类讨论，根据函数的性质及对勾函数的性质，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：由任意的x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，由[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0，则函数y=丨f（x）丨单调递增，当a≥0，f（x）在[1，2]上是增函数，则f（1）≥0，解得：0≤a≤，当a＜0时，丨f（x）丨=f（x），令=﹣，解得：x=ln，由对勾函数的单调递增区间为[ln，+∞），故ln≤1，解得：﹣≤a＜0，综上可知：a的取值范围为[﹣，]，故选B．【点评】本题考查函数的综合应用，考查对数函数的运算，对勾函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题．6. 设表示两条直线，表示两个平面，则下列命题是真命题的是（）A．若，∥，则∥B．若C．若∥，，则D．若参考答案：D略7. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影外部（曲线C为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A．3413 B．1193 C．2718 D．6587附：若,则，参考答案：D【知识点】正态分布几何概型【试题解析】由题知：阴影的面积为所以落入阴影的点的个数为：个，所以落入阴影外部的点的个数的估计值为：10000-3413=6587个。

山西省太原市2020届高三第三次模拟考试数学（理）试卷（含答案）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，复数z满足2ziz=+，则复数z在复平面内对应的点的坐标是（）A．11(,)22- B．(1,1)- C．11(,)22- D．(1,1)-2.已知全集U R=，集合{|(2)0}A x x x=+<，{|||1}B x x=≤，则下图阴影部分表示的集合是（）A．(2,1)- B．[1,0][1,2)-U C．(2,1)[0,1]--U D．[0,1] 3.已知随机变量X服从正态分布(3,1)N，且(4)0.1587P X≥=，则(24)P X<<=（）A.0.6826 B．0.3413 C.0.4603 D．0.92074.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++L中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11xx+=求得512x=.3232++L（）A.3 B．1312C.6 D．225.执行下面的程序框图，如果输入的3a=，则输出的n=（）A ．2B ．3 C.4 D ．56.在ABC ∆中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点P 是ABC ∆内一点（含边界），若23AP AB AC λ=+u u u r u u u ru u u r，则||AP uuu r 的取值范围为（ ）A.21033[2,]+ B ．8[2,]3 C.213[0,]3 D ．213[2,]3 7.已知某产品的广告费用x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）具有线性关系关系，其统计数据如下表：x3 4 5 6 y25304045由上表可得线性回归方程^^^y b x a =+，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是（ ） A ．59.5 B ．52.5 C ．56 D ．63.5附：121^1221()())=()(n ni ii nii iii nii x y nx yb xx x y y n x x x ====-⋅---=-∑∑∑∑；^^a yb x =-8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（ ）A ．33．2621 D ．259.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A.2n n S T = B ．21n n T b =+ C. n n T a > D ．1n n T b +<10.已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，且对于任意1x ，2[0,1]x ∈，且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<，设82()11a f =，50()9b f =-，24()7c f =，则下列结论正确的是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >> C.b c a >> D ．c a b >>11.已知实数x ，y 满足条件480,2360,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩若222x y m +≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．5B ．43D ．8312.已知点P 在抛物线2y x =上，点Q 在圆221()(4)12x y ++-=上，则||PQ 的最小值为（ ） A．12- B．12-C.1 D1 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 ．14.21sin )x dx -⎰= ．15.在ABC ∆中，2AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，点D 在AB 上，点E 在CD 上，且ACB DE DEB ∠=∠=∠，则DC = ．16.已知过点(2,0)A -的直线与2x =相交于点C ，过点(2,0)B 的直线与2x =-相交于点D ，若直线CD 与圆224x y +=相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为 .三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知(3,cos )33x x m =，(cos ,cos )33x xn =()f x m n =⋅. （1）若函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若a ，b ，c 分别是ABC ∆分内角A ，B ，C 所对的边，且2a =，(2)cos cos a b C c B -=，3()2f A =，求c . 18.购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均购次数不小于4次的市民称为购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关？购迷 非购迷 合计 年龄不超过40岁 年龄超过40岁合计（2）若从购迷中任意选取2名，求其中年龄丑啊过40岁的市民人数ξ的分布列与期望.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++；20()P K k ≥0.15 0．10 0.05 0.01 0k2.0722.7063.8416.63519.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，160A AC ∠=︒，124AC AA ==，点D ，E 分别是1AA ，BC 的中点.（1）证明：//DE 平面11A B C ；（2）若2AB =，60BAC ∠=︒，求直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 20. 已知动点C 到点(1,0)F 的距离比到直线2x =-的距离小1，动点C 的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）若直线:(0)l y kx m km =+<与曲线E 相交于A ，B 两个不同点，且5OA OB ⋅=u u u r u u u r，证明：直线l 经过一个定点.21. 已知函数2()21f x x x =-+，()2ln(1)g x a x =-()a R ∈.（1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）当0a >时，若存在实数k ，m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于原点O ，且||42AB =α的值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知函数1()2||||f x x a x a=++-(0)a ≠.（1）当1a =时，解不等式()4f x <； （2）求函数()()()g x f x f x =+-的最小值.数学（理） 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1-5BCAAC 6-10DABDB 11、12：DA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.0.4 14.2π15.13416.221(0)4x y y +=≠ 三、解答题（本大题共70分）17.解：（1）Q 2()cos cos 333x x xf x m n =⋅=+，212(cos 1)323x x =++=21sin()362x π++， ∴()f x 的最小正周期为3π，令2222362x k k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，则332k x k ππππ-+≤≤+， ∴()f x 的单调递增区间为[3,3]2k k ππππ-++()k Z ∈；（2）Q (2)cos cos a b C c B -=，∴2sin cos A C =sin cos cos sin sin B C B C A +=，Q 0A π<<，∴sin 0A >，∴1cos 2C =，∴3C π=，∴213()sin()3622A f A π=++=，∴2sin()136A π+=，∴22362A k πππ+=+，k Z ∈，∴2A π=，∴sin 2sin 3c a C π===18.解：（1）由题意可得列联表如下：假设购迷与年龄不超过40岁没有关系，则2100(2030455)65352575k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.297 2.706>. 所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关；（2）由频率分布直方图可知，购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数ξ的所有取值为0，1，2，22022519(0)30C P C ξ===，112052251(1)3C C P C ξ===，252251(2)30C P C ξ===，∴ξ的分布列为∴012303305E ξ=⨯+⨯+⨯=.19.解：（1）证明：取AC 的中点F ，连接DF ，EF ，Q E 是BC 的中点，∴//EF AB ， Q 111ABC A B C -是三棱柱，∴11//AB A B ，∴11//EF A B ，∴//EF 平面11A B C ，Q D 是1AA 的中点，∴1//DF A C ，∴//DF 平面11A B C ， ∴平面//DEF 平面11A B C ， ∴//DE 平面11A B C ；（2）过点1A 作1A O AC ⊥，垂足为O ，连接OB ，Q 侧面1ACC A ⊥底面ABC ，∴1A O ⊥平面ABC ， ∴1A O OB ⊥，1A O OC ⊥，Q 160A AC ∠=︒，12AA =，∴1OA =，13OA =， Q 2AB =，60OAB ∠=︒，由余弦定理得， 2222cos 3OB OA AB OA AB BAC =+-⋅∠=，∴3OB =，90AOB ∠=︒，∴OB AC ⊥，分别以OB ，OC ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -， 由题设可得(0,1,0)A -，(0,3,0)C ，(3,0,0)B ，1(0,0,3)A ，13(0,,)22D -，33(,,0)22E ， 设111(,,)m x y z =u r是平面11ABB A 的一个法向量，则10,0,m AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u rr u u u r∴111130,30,x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令11z =，∴(1,3,1)m =-u r ， Q 33(,2,)22DE =-u u u r ，∴cos ,m DE <>=u r u u u r 2330||||m DE m DE ⋅-=u r u u u ru r u u u r ，∴直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值为2330.20.解：（1）由题意可得动点C 到点(1,0)F 的距离等于到直线1x =-的距离，∴曲线E 是以点(1,0)为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，∴12p=，∴2p =， ∴动点C 的轨迹E 的方程为24y x =；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由2,4y kx m y x=+⎧⎨=⎩得222(24)0k x km x m +-+=， ∴12242kmx x k-+=，2122m x x k ⋅=. Q 5OA OB ⋅=u u u r u u u r ，∴1212x x y y +=221212(1)()=k x x km x x m ++++2245m km k +=，∴22450m km k +-=，∴m k =或5m k =-.Q 0km <，m k =舍去，∴5m k =-，满足16(1)0km ∆=->， ∴直线l 的方程为(5)y k x =-， ∴直线l 必经过定点(5,0).21. 解：（1）由题意得2()(1)2ln(1)h x x a x =---，1x >，∴22[(1)]'()1x a h x x --=-，①当0a ≤时，则'()0h x >，此时()h x 无极值；②当0a >时，令'()0h x <，则11x <<'()0h x >，则1x >+∴()h x 在(1,1上递减，在(1)+∞上递增；∴()h x 有极小值(1(1ln )h a a +=-，无极大值；（2）当0a >时，有（1）知，()h x 在(1,1+上递减，在(1)+∞上递增，且有极小值(1(1ln )h a a +=-，①当a e >时，(1(1ln )0h a a +=-<，∴(1(1f g <+， 此时，不存在实数k ，m ，使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立；②当0a e <≤时，(1(1ln )0h a a +=-≥，2()21f x x x =-+在1x =+)y a =-，令()())]u x f x a =--，1x >，则2()[(10u x x =-≥，∴)()a f x -≤，令())()v x a g x =--=)2ln(1)a a x ---，1x >，则(1'()1x v x x -+=-，令'()0v x <，则11x <<+'()0v x >，则1x >+∴()(1v x v ≥+=(1ln )0a a -≥，∴())g x a ≤-，∴())()g x a f x ≤-≤，当k =m a =-时，不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，∴0a e <≤符合题意；由①，②得实数a 的取值范围为(0,]e .22.解：（1）由22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ可得1C 普通方程为22(2)4x y -+=，.Q 4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=； （2）由（1）得曲线1C ：22(2)4x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=，由题意设1(,)A a ρ，2(,)B a ρ，则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-sin()|4πα=-=∴sin()14πα-=±，∴42k ππαπ-=+()k Z ∈，Q 0απ<<，∴34πα=.23. 解：（1）Q 1a =，∴原不等式为2|1||1|4x x ++-<，∴12214x x x <-⎧⎨---+<⎩，或11,2214,x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩或1,2214,x x x >⎧⎨++-<⎩ ∴513x -<<-或11x -≤<或∅，∴原不等式的解集为5(,1)3-.（2）由题意得()()()g x f x f x =+-=112(||||)(||||)x a x a x x a a++-+++- 222|2|4||||||a a a a ≥+=+42≥， 高考模拟数学试卷说明：一、本试卷共4页，包括三道大题，24道小题，共150分.其中（1)〜（21)小题为必做题，（22)〜（24)小题为选做题.二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.三、做选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅第把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案. 四、考试结束后，将本试卷与原答题卡_并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. (1) 复数=(A) 1+2i (B) 1-2i (C) 2-i (D) 2+i (2) 在的展开式中，常数项为(A) 36 (B) -36 (C) 84 (D) -84 (3) 已知命题则为(A) (B)(C)(D)(4) 函数的图象可以由函数的图象(A)向左平移个单位得到（B)向右平移-个单位得到 (C)向左平移.个单位得到（D)向右平移个单位得到(5) 已知，则=(A) 3 (B) 4 (C) 3.5 (D) 4.5(6) 等比数列{a n}的公比，则=(A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 己知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为(A)(B)(C) 2(D) 8(8) 算法如图，若输入m=210,n = 119,则输出的n为(A) 2(B) 3(C) 7(D) 11(9) 在中，，则=(A) 10 (B) -10 (C)，4 (D) 4(10) 点A、B、C、D均在同一球面上，其中是正三角形，AD平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为(A) (B) (C) (D)(11) 抛物线的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1, 2).若点F恰为的重心，则直线BC的方程为(A) x+y=0 (B) 2x+y-1=0(C) x-y=0 (D) 2x-y-1=0(12) 定义在R上的奇函数满足，当时，.又,则集合等于(A) (B)(C) (D)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13) 设变量x、y满足约束条件则的最大值为_______.(14) 函数的值域是______.(15) 在数列中，，则数列的通项=______.(16) 的一个顶点P(7,12)在双曲线上，另外两顶点F1、F2为该双曲线的左、右焦点，则的内心坐标为______.三、解答题：本大-共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.(17) (本小题满分12分）在，中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, A=2B.(I )若，求的值；(I I)若C为钝角，求的取值范围.(18) (本小题满分12分）某媒体对“男女同龄退佈”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数)：(I)能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(II)进一步调查：(I )从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；(II )从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为,求的分布列和均值.附：(19) (本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B l C1中，CC1丄底面ABC,底面是边长为2的正三角形，M, N分别是棱CC1、AB的中点.(I)求证：CN//平面AMB1;(II)若二面角A-MC为45°,求CC1的长.(20)(本小题满分12分）中心在原点O,焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C(2, 2),且(I )求椭圆E的方程；(II)垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.(21) (本小题满分12分)设函数.(I )讨论f(x)的单调性；(I I)( i )若证明：当x>6 时，(ii)若方程f(x)=a有3个不同的实数解，求a的取值范围.请考生在第（22)、（23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.(22) (本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，以B为圆心的圆B与圆O的一个交点为P.过点A作直线交圆O于点Q,交圆B于点M、N.(I )求证：QM=QN;(I I)设圆O的半径为2,圆B的半径为1,当AM=时，求MN的长.(23) (本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为，(I )求曲线C的直角坐标方程：(II)设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设.(I)求不等式的解集S(II )若关于X不等式有解，求参数T的取值范围.理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：（13）5 （14）(－1，1) （15）n2（16）(1， 3 2)三、解答题：（19）解：（Ⅰ）设AB 1的中点为P ，连结NP 、MP ． ∵CM ∥＝ 1 2AA 1，NP ∥＝ 12AA 1，∴CM ∥＝NP ， ∴CNPM 是平行四边形，∴CN ∥MP ． ∵CN ⊄平面AMB 1，MP ⊂平面AMB 1， ∴CN ∥平面AMB 1．…4分（Ⅱ）如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C —xyz ，使x 轴、y 轴、z 轴分别与NA →、CN →、CC 1→同向． 则C(0，0，0)，A(1，3，0)，B(－1，3，0)， 设M(0，0，a)（a ＞0），则B 1(－1，3，2a)， MA →＝(1，3，－a)，MB 1→＝(－1，3，a)， CM →＝(0，0，a)，…6分设平面AMB 1的法向量n ＝(x ，y ，z)，则n ·MA →＝0，n ·MB 1→＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －az ＝0，－x ＋3y ＋az ＝0， 则y ＝0，令x ＝a ，则z ＝1，即n ＝(a ，0，1)． …8分设平面MB 1C 的一个法向量是m ＝(u ，v ，w)，则m ·MB 1→＝0，m ·CM →＝0， 即⎩⎨⎧－u ＋3v ＋aw ＝0，aw ＝0，则w ＝0，令v ＝1，则u ＝3，即m ＝(3，1，0)． …10分C A 11C 1MNPxz y所以cos 〈m ，n 〉＝3a2a 2＋1， 依题意，〈m ，n 〉＝45︒，则3a 2a 2＋1＝22，解得a ＝2， 所以CC 1的长为22． …12分（20）解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1（a ＞b ＞0），则4a 2＋4b2＝1， ① …1分记c ＝a 2－b 2，不妨设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则CF 1→＝(－c －2，－2)，CF 2→＝(c －2，－2)，则CF 1→·CF 2→＝8－c 2＝2，c 2＝6，即 a 2－b 2＝6．②由①、②得a 2＝12，b 2＝6． 所以椭圆E 的方程为x 212＋y26＝1．…4分（也可通过2a ＝|CF 1→|＋|CF 2→|求出a ） （Ⅱ）依题意，直线OC 斜率为1，由此设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ， 代入椭圆E 方程，得3x 2－4mx ＋2m 2－12＝0． 由Δ＝16m 2－12(2m 2－12)＝8(18－m 2)，得m 2＜18． 记A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－123．…6分圆P 的圆心为(x 1＋x 2 2，y 1＋y 2 2)，半径r ＝22|x 1－x 2|＝22(x 1＋x 2)2－4x 1x 2当圆P 与y 轴相切时，r ＝|x 1＋x 2 2|，则2x 1x 2＝(x 1＋x 2)24，即2(2m 2－12)3＝4m 29，m 2＝9＜18．…9分当m ＝3时，直线l 方程为y ＝－x ＋3，此时，x 1＋x 2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆P 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4； 同理，当m ＝－3时，直线l 方程为y ＝－x －3，圆P 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4．…12分（21）解：（Ⅰ）f '(x)＝－e －x[x 2－(a ＋2)x ＋2a]＝－e －x(x －2)(x －a)．…1分（1）若a ＝2，则f '(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递减． …2分（2）若0≤a ＜2，当x 变化时，f '(x)、f(x)的变化如下表：x (－∞，a) a (a ，2) 2 (2，＋∞)f '(x) －＋－f(x)↘极小值ae－a[↗极大值(4－a)e－2↘ 此时f(x)在(－∞，a)和(2，＋∞)单调递减，在(a ，2)单调递增． …3分（3）若a ＞2，当x 变化时，f '(x)、f(x)的变化如下表：x (－∞，2) 2 (2，a) a (a ，＋∞)f '(x)－＋－f(x)↘极小值(4－a)e－2↗ 极大值ae－a↘ 此时f(x)在(－∞，2)和(a ，＋∞)单调递减，在(2，a)单调递增．…4分（ⅱ）根据（Ⅰ），（1）若a ＝2，方程f(x)＝a 不可能有3个不同的实数解．…7分（2）若0≤a ＜2，令⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ＜2，ae －a＜a ，(4－a)e －2＞a ，解得0＜a ＜4e 2＋1．……………………8分当x ＞6时，f(x)＝e －x(x 2－ax ＋a)＝e －x[x 2－a(x －1)]＜x 2e －x＜ 1 x， 则当x ＞6且x ＞ 1a 时，f(x)＜a ．又f(0)＝a ，所以当0＜a ＜4e 2＋1时，方程f(x)＝a 有3个不同的实数解．10分 （3）若a ＞2时，由于f(a)＝ae －a＜a ，方程f(x)＝a 不可能有3个不同的实数解．…11分综上，a的取值范围是(0，4e2＋1)．…12分高考模拟数学试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。

太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题。

1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对集合化简，求出.【详解】，，，故本题选A.【点睛】本题考查了集合的交集运算,本题的关键是对数不等式要解正确，不要忘记对数函数的真数要大于零.2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用复数的除法运算法则，直接求出.【详解】，故本题选C.【点睛】本题考查复数的除法运算.3.下列命题中的真命题是（）A. 若，则向量与的夹角为钝角B. 若，则C. 若命题“是真命题”，则命题“是真命题”D. 命题“，”的否定是“，”【答案】D【分析】对于选项A：当时，向量与的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项B:要注意成立时，这个特殊情况，对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，不能确定是真命题；对于选项D：含有特称量词命题否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题。

【详解】选项A：是钝角或平角，所以选项A是假命题；选项B:或者，所以选项B是假命题；选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，只有当都是真命题时，才是真命题，所以选项C是假命题；选项D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“，”的否定是“，”是真命题，故本题选D.【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用二倍角的正弦公式和诱导公式，对所求的式子进行化简，根据题目特点，用，构造出关于的双齐式，进行求解。

【详解】，因为，所以，原式故本题选B。

【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式及诱导公式。

重点考查了同角三角函数之间的关系。

5.已知函数在处的切线经过原点，则实数（）A. B. C. 1 D. 0【答案】A【分析】对函数求导，求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，把原点的坐标代入，求出的值，最后求出的值。

太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理科）（考试时间：下午3：00——5：00）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。

2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=，则M∩N=（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.32134．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）A.3=aB.4=aC.5=aD.6=a 7.73)13(xx +展开式中的常数项是（ ） A.189 B.63 C.42 D.21。

太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试题（理）参考答案及评分标准13. 8 14．23π15． 16． ①②③④三、解答题（共70分） 17．（本小题满分12分）解（1）由已知得，1221a b b b +=，所以11a =． ………………1分 又因为{}n a 是公差为1的等差数列，所以n a n =． ………………3分 所以1(1)n n n b nb ++=，所以数列{}n nb 是常数数列， 所以11n nb b ==，所以1n b n=． ………………6分 （2）由已知得,2n nnc =， ………………7分 所以231232222n n nS =++++ , 23412312222n n n -=+++++234111*********n n n n +=+++++- = 11(1)22112n --12n n +- 1212n n ++=-, ...11分222n n n S +∴=-. ………………12分18.（本小题满分12分） 解：（1）2×2列联表：………………4分2250(297113) 6.272 6.63540103218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯. ………………5分所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异. ………………6分 （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，则X 的分布列为………………10分 所以X 的数学期望是 ………………12分19.（本小题满分12分）证明（1）如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ， 设ADCE O =，连接BO ，1AC AA ⊥，DE AE ∴⊥，又AD 为1A AC ∠的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，CE AD ∴⊥，..............2分 又AC AE =，BAC BAE ∠=∠，BA BA =， BAC BAE ∴∆≅∆，BC BE ∴=，又O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥. ................................................4分 又,AD BO ⊂平面BAD ，AD BO O =，CE ∴⊥平面BAD ，.................................5分又CE ⊂平面11AAC C ，∴平面⊥BAD 平面11AAC C ，.................................................6分（2）在ABC ∆中，4AB AC ==，60BAC ∠=︒，4BC ∴=，在Rt BOC ∆中，12CO CE ==，BO ∴=又4AB =，12AO AD ==222BO AO AB +=，BO AD ∴⊥，又BO CE ⊥，ADCE O =，,AD CE ⊂平面11AAC C ，BO ∴⊥平面11AAC C ，..........7分建立如图空间直角坐标系O xyz -，则(2,2,0)A -，1(2,4,0)A ，1(2,4,0)C -，1B ，11C B ∴=，1(4,6,0)AC =-，11(4,0,0)C A =，设平面11AB C 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，11111460220x y x y -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令1=6x，得(6,4,m =-, .................................................9分设平面111A B C 的一个法向量为222(,,)n x y z =，则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，222240220x x y =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2y (0,21)n =-,，.........................................11分9cos ,17102m n m n m n⋅∴<>===⋅，由可知二面角111A B C A --是锐角，故二面角111A B C A --的余弦值为17. ...........12分 20．(本小题满分12分)解（1）因为椭圆C 的焦距为2，所以221a b -=， ..................................................1分因为椭圆C 过点 (1，32)，所以221914a b+=． ..................................................2分 解得24a =，23b =，.............................................................4分故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ........................................................................5分（2）设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ········ 6分若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为|m2|，即为1．若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m4n ． ····································································· 8分故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2．将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ························································ 10分 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32． 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································· 12分21.（本小题满分12分） 解：（1）)0(12ln 21ln )('>+-=-⋅+=x ax x ax x x x x f ，…………………………1分 令,0)'=x f （得1ln 2x a x +=，记1ln (),xQ x x +=则2ln )('xx x Q -=， 令0)('>x Q ，得10<<x ；令0)('<x Q ，得1>x ，)(x Q ∴在)1,0(上是增函数，在),1(+∞上是减函数，且()=(1)1Q x Q =最大， ∴当,12>a 即21>a 时，0)('=x f 无解，)(x f ∴无极值点， 当,12=a 即21=a 时， '()0f x ≤恒成立，)(x f ∴无极值点， 当120<<a ，即210<<a 时，0)('=x f 有两解，)(x f ∴有2个极值点 当02≤a 即0≤a 时，0)('=x f 有一解，)(x f 有一个极值点. 综上所述：当12a ≥,()f x 无极值点；210<<a 时，()f x 有2个极值点； 当0a ≤，()f x 有1个极值点. …………………………6分（2）x ax x x x g --=2ln )(，)0(2ln )('>-=x ax x x g ，令0)('=x g ，则02ln =-ax x ，xxa ln 2=∴， 记x x x h ln )(=，则2ln 1)('x xx h -=， 由,0)('>x h 得e x <<0，由0)('<x h ，得e x >， )(x h ∴在),0(e 上是增函数，在),(+∞e 上是减函数，,1)()(max e e h x h ==当e x >时，0)(>x f ，∴当e a 120<<即ea 210<<时，)(x g 有2个极值点21,x x . ……………7分 由⎩⎨⎧==22112ln 2ln ax x ax x ，得121212ln()ln ln 2()x x x x a x x =+=+ ，1212ln()2x x a x x ∴=+ ， …………………8分 不妨设,21x x <则211x e x <<<，e x x x >>+∴221 ， …………………9分又)(x h 在),(+∞e 上是减函数，1221212212ln()ln ln()2x x x x x a x x x x x +∴<==++ ， ……………………11分1212ln()ln()x x x x ∴+< ，2121x x x x <+∴ . …………………12分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=， …………2分直线l 的参数方程3πcos ,43π2sin 4x t y t ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩(t 为参数)，即,222x y =-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)， ………………………………5分（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2232922t ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得240t +=+，所以1212·4t t t t ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ ……………………7分1212120,0,0,0t t t t t t <><⋅∴+<，所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=, MA MB ⋅||21t t ==4,所以11MA MB +=M M M A MB A B +⋅4=. ………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当1=a 时，4|2||1|4)(<-++⇒<x x x f ，化为⎩⎨⎧->-<321x x 或⎩⎨⎧<≤≤-4321x 或⎩⎨⎧<->4122x x , ………………………………3分解得123-<<-x 或21≤≤-x 或252<<x ， 2523<<-∴x .即不等式()4f x <的解集为)25,23(-. ……………………5分（2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.33)1(4222≥+-=+-m m m ，又由于|12||2||1|)(+≥-++=a a x x x f ，)(x f ∴的值域为)|,12[|+∞+a ，……………………………………8分故3|12|≤+a ，12≤≤-∴a .即实数a 的取值范围为]1,2[-. ……………10分注：以上各题其他正确解法相应得分。

第 5 页 共 5 页 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=， …………2分 直线l 的参数方程3πcos ,43π2sin 4x t y t ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩(t 为参数)，即,222x y =-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)，………………………………5分（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2232922t ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得240t +=+，所以1212·4t t t t ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ ……………………7分 1212120,0,0,0t t t t t t <><⋅∴+<，所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=, MA MB⋅||21t t ==4, 所以11MA MB +=M M M A MB A B +⋅4=. ………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当1=a 时，4|2||1|4)(<-++⇒<x x x f ，化为⎩⎨⎧->-<321x x 或⎩⎨⎧<≤≤-4321x 或⎩⎨⎧<->4122x x , ………………………………3分 解得123-<<-x 或21≤≤-x 或252<<x ， 2523<<-∴x .即不等式()4f x <的解集为)25,23(-. ……………………5分 （2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集. 33)1(4222≥+-=+-m m m ，又由于|12||2||1|)(+≥-++=a a x x x f ，)(x f ∴的值域为)|,12[|+∞+a ，……………………………………8分故3|12|≤+a ，12≤≤-∴a .即实数a 的取值范围为]1,2[-. ……………10分 注：以上各题其他正确解法相应得分。

2020年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|320}A x x x =-+…，{|1}B x x a =+…，若A B R =U ，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，)+∞B ．(-∞，2]C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]2．（5分）若复数z 满足(12)z i i =-g ，则复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知1a b >>，0c <，则( ) A ．c ca b< B ．a b c c <C ．c c a b <D ．log ()log ()a b b c a c ->-4．（5分）已知sin cos αα-(0,)απ∈，则tan α的值是( )A ．1-B ．CD ．15．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．26．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = ) A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-7．（5分）平面向量a r，b r 共线的充要条件是( )A ．||||a b a b =r rr r gB ．a r，b r 两向量中至少有一个为零向量C ．R λ∃∈，b a λ=r rD ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r8．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为() A ．16B ．14 C ．13D ．129．（5分）把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位后，得到函数()y g x =的图象．则()g x 的解析式是( ) A ．2()sin ()12g x x π=+B ．1()cos(2)212g x x π=--C ．11()cos(2)262g x x π=--+D ．11()sin(2)262g x x π=-+10．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2f a f a f +„（1），则a 的取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1，2]C ．1(0,)2D ．(0，2]11．（5分）已知抛物线2:8C x y =，过点0(M x ，0)y 作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则0y 的值为( ) A ．1-B ．2-C ．4-D ．不能确定12．（5分）点M 在曲线:3G y lnx =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x=交于点N ，若3OM ONOP +=u u u u r u u u r u u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数122log (01),()1(1),x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪->⎩„则1(())8f f = ．14．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆则A = ．15．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为 ．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥②直线1B F 与直线BC所成角的正切值的取值范围是，1]2③α与平面11CDD C所成锐二面角的正切值为④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确的命题序号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，11n n n n a b b nb +++=． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）设12n nnc b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（12分）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：（1）填写下面22x 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）若对年龄在[45，55)，[25，35)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考公式和数据22()()()()()n adbc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AA C C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D ．（Ⅰ）求证：平面BAD ⊥平面11AA C C ； （Ⅱ）求二面角111A B C A --的余弦值．。

2020年太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]2．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a＞b＞1，c＜0，则（）A．ca＜cbB．c a＜c bC．a c＜b c D．log a（b﹣c）＞log b（a﹣c）4．已知sinα﹣cosα=√2，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1B．−√22C．√22D．15．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A．5B．4C．3D．26．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a3﹣8，且S3＝13，则a2＝（）A．﹣3B．3C．−353D．3或−3537．平面向量a→，b→共线的充要条件是（）A．a→⋅b→=|a→||b→|B．a→，b→两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，b→=λa→D．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a→+λ2b→=0→8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．129．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）的图象．则g（x）的解析式是（）A．g(x)=sin2(x+π12 )B．g(x)=−12cos(2x−π12)C．g(x)=−12cos(2x−π6)+12D．g(x)=12sin(2x−π6)+1210．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（log12a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[12，2]B．[1，2]C．(0，12)D．（0，2]11．已知抛物线C：x2＝8y，过点M（x0，y0）作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则y0的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣4D．不能确定12．点M在曲线G：y＝3lnx上，过M作x轴垂线l，设l与曲线y=1x交于点N，若OP→=OM→+ON→3，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”则曲线G上的“水平黄金点”的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)，则f(f(18))= ． 14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4，则A ＝ ． 15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为 ．16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记B 1与F 的轨迹构成的平面为α． ①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[√24，12]③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确的命题序号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设c n =1nn，求数列{c n }的前n 项和S n ． 18．垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） [75，85）频数 5 10 10 15 5 5 了解4581221（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝ c ＝ 不了解 b ＝ d ＝ 合计（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考公式和数据K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知四边形AA 1C 1C 为矩形，AA 1＝6，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝∠BAA 1＝60°，∠A 1AC 的角平分线AD 交CC 1于D ． （Ⅰ）求证：平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ； （Ⅱ）求二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值．20．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．21．已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ax 2（a ∈R ）． （1）讨论函数的极值点个数；（2）若g （x ）＝f （x ）﹣x 有两个极值点x 1，x 2，试判断x 1+x 2与x 1•x 2的大小关系并证明．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（0，2），倾斜角为34π．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]【分析】求出集合A，B，由A∪B＝R，能求出实数a的取值范围．解：∵集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x+1≥a}＝{x|x≥a﹣1}，A∪B＝R，∴a﹣1≤1，解得a≤2，∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．2．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．解：z＝（1﹣2i）•i＝2+i，z=2﹣i在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故选：D．3．已知a＞b＞1，c＜0，则（）A．ca＜cbB．c a＜c bC．a c＜b c D．log a（b﹣c）＞log b（a﹣c）【分析】直接利用不等式的应用和赋值法的应用求出结果．解：①由于a＞b＞1，所以0＜1a＜1b，c＜0，故ca＞cb，选项A错误．②当c＝﹣2，a＝3，b＝2时，c a＞c b，故选项B错误．③由于a＞b＞1，c＜0，故a c＜b c，选项C正确．④由于a＞b＞1，c＜0，所以a﹣c＞b﹣c，故log a（b﹣c）＜log b（a﹣c），故错误．故选：C．4．已知sinα﹣cosα=√2，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1B．−√22C．√22D．1【分析】由条件可得1﹣2sinαcosα＝2，求得sin2α＝﹣1，可得2α的值，从而求得tanα的值．解：∵已知sinα−cosα=√2，α∈(0，π)，∴1﹣2sinαcosα＝2，即sin2α＝﹣1，故2α=3π2，∴α=3π4，tanα＝﹣1．故选：A．5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A．5B．4C．3D．2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a，b的值并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a＝3，b＝1n＝1a=92，b＝2不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝2，a =274，b ＝4 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝3，a =818，b ＝8 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝4，a =24316，b ＝16 此时，满足条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值为4． 故选：B ．6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝a 3﹣8，且S 3＝13，则a 2＝（ ） A ．﹣3B ．3C ．−353D ．3或−353【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解． 解：设公比为q ，易知q ≠1． 由{a 1=a 3−8S 3=13得{a 1=a 1q 2−8a 1(1−q 3)1−q =13， 解得{a 1=1q =3或{a 1=253q =−75， 当{a 1=1q =3时，a 2＝a 1q ＝3； 当{a 1=253q =−75时，a 2=a 1q =−353 所以a 2＝3或a 2=−353， 故选：D ．7．平面向量a →，b →共线的充要条件是（ ）A ．a →⋅b →=|a →||b →|B ．a →，b →两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b →=λa →D ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a →+λ2b →=0→【分析】写出共线向量基本定理，找四个选项中的等价命题得结论． 解：由共线向量基本定理可知，若平面向量a →，b →共线，则存在不为零的实数λ，使b→=λa→（a→≠0→），即λa→−b→=0→，其等价命题为存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a→+λ2b→=0→．故选：D．8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．12【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=C42A33=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率．解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=C42A33=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为p=mn=636=16．故选：A．9．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）的图象．则g（x）的解析式是（）A．g(x)=sin2(x+π12 )B．g(x)=−12cos(2x−π12)C．g(x)=−12cos(2x−π6)+12D．g(x)=12sin(2x−π6)+12【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：把函数f（x）＝sin2x=12−12cos2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）=12−12cos（2x−π6）的图象，故选：C．10．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a 满足f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1），则a 的取值范围是（ ）A ．[12，2]B ．[1，2]C ．(0，12)D ．（0，2]【分析】由偶函数的性质将f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1）化为：f （log 2a ）≤f （1），再由f （x ）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围． 解：因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以f （log 12a ）＝f （﹣log 2a ）＝f （log 2a ），则f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1）为：f （log 2a ）≤f （1），因为函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增， 所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2，则a 的取值范围是[12，2]，故选：A ．11．已知抛物线C ：x 2＝8y ，过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则y 0的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣4D ．不能确定【分析】设出AB 的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M ，转化求解y 0的值．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1≠x 2，由x 2＝8y ，可得y ′=x 4，所以k MA =x14，k MB =x 24， 因为过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，所以，k MA •k MB =x24•x 14=−1，可得x 1x 2＝﹣16，直线MA 的方程为：y ﹣y 1=x14（x ﹣x 1），x 1x ＝4（y +y 1）…①，同理直线MB 的方程为：y ﹣y 2=x24（x ﹣x 2），x 2x ＝4（y +y 2）…②， ①×x 2﹣②×x 1，可得y =x 1x28=−2，即y 0＝﹣2， 故选：B ．12．点M 在曲线G ：y ＝3lnx 上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线y =1x 交于点N ，若OP →=OM →+ON →3，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】设M （x 1，3lnx 1），可得直线l 的方程，联立曲线y =1x，可得N 的坐标，再由向量的加法运算可得P 的坐标，再由P 的纵坐标始终为0，考虑方程的解的个数，设出函数，求得导数和单调性、极值和最值，判断最值的符号，即可得到所求个数．解：设M （x 1，3lnx 1），则直线l ：x ＝x 1，由{x =x 1y =1x 可得y =1x 1，即N （x 1，1x 1）， OP →=OM →+ON →3=13（2x 1，3lnx 1+1x 1）＝（2x 13，lnx 1+13x 1）， 又P 的纵坐标始终为0，即lnx 1+13x 1=0，可令f （x ）＝lnx +13x （x ＞0），导数为f ′（x ）=1x −13x 2=3x−13x 2，由f ′（x ）＝0，可得x =13，则当0＜x ＜13时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减；x ＞13时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增． 可得f （x ）在x =13处取得极小值，且为最小值f （13）＝ln 13+1＝1﹣ln 3， 由1﹣ln 3＜0，则f （x ）在（0，+∞）有两个零点，即方程lnx 1+13x 1=0有两个不等实根，所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2， 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)，则f(f(18))= 8 ． 【分析】依题意得f （18）＝3，从而f （f （18））＝f （3），由此能求出结果．解：∵函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)， 则f （18）＝log1218=3；∴f(f(18))=f （3）＝32﹣1＝8．故答案为：8．14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4，则A ＝2π3．【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解． 解：由余弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝﹣2bc cos A ， △ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4=−√32bccosA ， 又因为S △ABC =12bcsinA =−√32bccosA ，所以tan A =−√3， 由A ∈（0，π）可得A =2π3． 故答案为：2π315．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为 √3 ．【分析】根据点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，推出P 的位置，然后求解双曲线的离心率． 解：F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|， 可知：PF 2⊥F 1F 2，|PF 2|=b 2a ，tan ∠F 1PF 2=2cb 2a=√3，即2ac =√3（c 2﹣a 2），可得√3e 2﹣2e −√3=0，e ＞1， ∴e =√3． 故答案为：√3．16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记B 1与F 的轨迹构成的平面为α． ①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[√24，12]③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ①②③④ ．（写出所有正确的命题序号）【分析】分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，然后利用面面平行的判定定理证明平面MNB 1∥平面A 1BE ，从而确定平面MNB 1就是平面α． 当F 为线段MN 的中点时，可证明①；②利用平移的思想，将直线B 1F 与直线BC 所成角转化为B 1F 与B 1C 1所成的角，由于B 1C 1⊥平面MNC 1，所以tan ∠FB 1C 1即为所求，进而求解即可；③平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求，也就是求出tan ∠B 1QC 1即可； ④由正方体的对称性和二面角的含义即可判断． 解：如图所示，设正方体的棱长为2，分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，则MN ∥A 1B ，MB 1∥EA 1，∵MN 、MB 1⊂平面MNB 1，A 1B 、EA 1⊂平面A 1BE ，且MN ∩MB 1＝M ，A 1B ∩EA 1＝A 1， ∴平面MNB 1∥平面A 1BE ，∴当F 在MN 上运动时，始终有B 1F ∥平面A 1BE ，即平面MNB 1就是平面α． 对于①，当F 为线段MN 的中点时，∵MB 1＝NB 1，∴B 1F ⊥MN ，∵MN ∥CD 1，∴B 1F ⊥CD 1，即①正确；对于②，∵BC ∥B 1C 1，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角即为所求， ∵B 1C 1⊥平面MNC 1，C 1F ⊂平面MNC 1，∴B 1C 1⊥C 1F ，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角为∠FB 1C 1，且tan ∠FB 1C 1=FC1B 1C 1，而FC 1的取值范围为[√22，1]，B 1C 1＝2，所以tan ∠FB 1C 1∈[√24，12]，即②正确；对于③，平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求，取MN 的中点Q ，因为B 1C 1⊥平面MNC 1，所以∠B 1QC 1就是所求角，而tan ∠B 1QC 1=B 1C 1QC 1=22=2√2，即③正确；对于④，由对称性可知，与α所成的锐二面角相等的面有平面BCC 1B 1，平面ADD 1A 1，平面A 1B 1C 1D 1，平面ABCD ，即④正确． 故答案为：①②③④．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设c n =12nb n，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【分析】（1）先由题设条件求得a 1，再求a n ，进而论证数列{nb n }是常数列，最后求得b n ；（2）先由（1）求得c n ，再由错位相减法求S n ．解：（1）由已知得：a 1b 2+b 2＝b 1，∴a 1＝1．又∵{a n }是公差为1的等差数列，∴a n ＝n ．∵a n b n +1+b n +1＝nb n ，∴（n +1）b n +1＝nb n ，所以数列{nb n }是常数列，∴nb n ＝b 1＝1，∴b n =1n； （2）由（1）得：c n =12nb n =n •（12）n ， ∴S n ＝1×12+2×（12）2+3×（12）3+…+n •（12）n ①，又12S n ＝1×（12）2+2×（12）3+3×（12）4+…+n •（12）n +1②，由①﹣②可得：12S n =12+（12）2+（12）3+…+（12）n ﹣n •（12）n +1 =12[1−(12)n ]1−12−n •（12）n +1＝1﹣（n +2）•（12）n +1， ∴S n ＝2﹣（n +2）•（12）n ．18．垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） [75，85）频数 5 10 10 15 5 5 了解4581221（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝ c ＝ 不了解 b ＝ d ＝ 合计（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考公式和数据K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≥k 0）0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．解：（1）根据题意填写2x 2列联表，年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝29 c ＝3 32 不了解 b ＝11 d ＝7 18 合计401050计算K 2=50×(29×7−11×3)240×10×32×18≈6.272＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）=C82⋅C42C102⋅C52=84225，P（X＝1）=C82⋅C41+C81⋅C21⋅C42C102⋅C52=104225，P（X＝2）=C81⋅C21⋅C41+C22⋅C42C102⋅C52=35225，P（X＝3）=C22⋅C41C102⋅C52=2225；所以随机变量X的分布列为：X0123P84225104225352252225所以X的数学期望为E（X）＝0×84225+1×104225+2×35225+3×2225=45．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知四边形AA1C1C为矩形，AA1＝6，AB＝AC＝4，∠BAC＝∠BAA1＝60°，∠A1AC的角平分线AD交CC1于D．（Ⅰ）求证：平面BAD⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值．【分析】（Ⅰ）过点D作DE∥AC交AA1于E，连接CE，BE，设AD∩CE＝O，连接BO，推导出DE⊥AE，四边形AEDC为正方形，CE⊥AD，推导出△BAC≌△BAE，从而BC＝BE，CE⊥BO，从而CE⊥平面BAD，由此能证明平面BAD⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）推导出BO⊥AD，BO⊥CE，从而BO⊥平面AA1C1C，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值．解：（Ⅰ）如图，过点D作DE∥AC交AA1于E，连接CE，BE，设AD∩CE＝O，连接BO，∵AC⊥AA1，∴DE⊥AE，又AD为∠A1AC的角平分线，∴四边形AEDC为正方形，∴CE⊥AD，又∵AC＝AE，∠BAC＝∠BAE，BA＝BA，∴△BAC≌△BAE，∴BC＝BE，又∵O 为CE 的中点，∴CE ⊥BO ，又∵AD ，BO ⊂平面BAD ，AD ∩BO ＝O ，∴CE ⊥平面BAD ． 又∵CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ．（Ⅱ）在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝60°，∴BC ＝4， 在Rt △BOC 中，∵CO =12CE =2√2，∴BO =2√2，又AB ＝4，AO =12AD =2√2，∵BO 2+AO 2＝AB 2，∴BO ⊥AD ，又BO ⊥CE ，AD ∩CE ＝O ，AD ，CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴BO ⊥平面AA 1C 1C ， 故建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz ，则A （2，﹣2，0），A 1（2，4，0），C 1（﹣2，4，0），B 1(0，6，2√2)， ∴C 1B 1→=(2，2，2√2)，AC 1→=(−4，6，0)，C 1A 1→=(4，0，0)， 设平面AB 1C 1的一个法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)， 则{m →⊥C 1B 1→m →⊥AC 1→，∴{−4x 1+6y 1=02x 1+2y 1+2√2z 1=0， 令x 1＝6，得m →=(6，4，−5√2)，设平面A 1B 1C 1的一个法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，则{n →⊥C 1B 1→n →⊥C 1A 1→，∴{4x 2=02x 2+2y 2+2√2z 2=0，令y 2=√2，得n →=(0，√2，−1)， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=9√2102⋅3=3√1717，故二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值为3√1717．20．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．【分析】（1）由题意焦距的值可得c 的值，再由过点的坐标，及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分B 的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B 的坐标，由O 是三角形的重心可得MN 的中点的坐标，设M ，N 的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN 的斜率，求出直线MN 的方程，求出O 到直线MN 的距离的表达式，再由B 的纵坐标的范围求出d 的取值范围，进而求出d 的最小值．解：（1）由题意可得：{c =11a 2+94b2=1c 2=a 2−b 2，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；（2）设B （m ，n ），记线段MN 中点D ，因为O 为△BMN 的重心，所以BO →=2OD →，则点D 的坐标为：（−m 2，−n2）， 若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为|m|2，即为1，若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣m ，y 1+y 2＝﹣n ， 又x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，两式相减(x 1+x 2)(x 1−x 2)4+(y 1+y 2)(y 1−y 2)3=0，可得：k MN =y 1−y 2x 1−x 2═−3m4n ，故直线MN 的方程为：y =−3m4n（x +m 2）−n 2，即6mx +8ny +3m 2+4n 2＝0， 则点O 到直线MN 的距离d =|3m 2+4n 2|√36m +64n ，将m 24+n 23=1，代入得d =√n +9，因为0＜n 2≤3，所以d min =√32，又√32＜1，故原点O 到直线MN 的距离的最小值为√32．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈一、选择题）．（1）讨论函数的极值点个数；（2）若g（x）＝f（x）﹣x有两个极值点x1，x2，试判断x1+x2与x1•x2的大小关系并证明．【分析】（1）先求出f'（x）＝lnx+x⋅1x−2ax＝lnx﹣2ax+1（x＞0），令f'（x）＝0，得2a=1+lnxx，记Q（x）=1+lnxx，则函数f（x）的极值点个数转化为函数Q（x）与y＝2a的交点个数，再利用导数得到Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，且Q（x）max＝Q（1）＝1，对a分情况讨论，即可得到函数f（x）的极值点个数情况；（2）g（x）＝xlnx﹣ax2﹣x，g'（x）＝lnx﹣2ax（x＞0），令g'（x）＝0，则lnx﹣2ax＝0，所以2a=lnxx，记h（x）=lnxx，利用导数得到h（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，h（x）max＝h（e）=1e，当x＞e时，f（x）＞0，所以当0＜2a＜1e即1＜a＜12e时g（x）有2个极值点x1，x2，从而得到2a=ln(x1x2)x1+x2，所以ln（x1+x2）＜ln（x1x2），即x1+x2＜x1x2．解：（1）f'（x）＝lnx+x⋅1x−2ax＝lnx﹣2ax+1（x＞0），令f'（x）＝0，得2a=1+lnxx，记Q（x）=1+lnxx，则Q'（x）=−lnxx2，令Q'（x）＞0，得0＜x＜1；令Q'（x）＜0，得x＞1，∴Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，且Q（x）max＝Q（1）＝1，∴当2a＞1，即a＞12时，f'（x）＝0 无解，∴f（x）无极值点，当2a＝1，即a=12时，f'（x）＝0有一解，2a≥1+lnxx，即lnx﹣2ax+1≤0，f'（x）≤0 恒成立，∴f （x ）无极值点，当0＜2a ＜1，即0＜a ＜12时，f '（x ）＝0有两解，∴f （x ）有2个极值点， 当2a ≤0，即a ≤0时，f '（x ）＝0有一解，∴f （x ）有一个极值点，综上所述：当a ≥12时，f （x ）无极值点；0＜a ＜12时，f （x ）有2个极值点；当a ≤0时，f （x ）有1个极点；（2）g （x ）＝xlnx ﹣ax 2﹣x ，g '（x ）＝lnx ﹣2ax （x ＞0）， 令g '（x ）＝0，则lnx ﹣2ax ＝0，∴2a =lnxx， 记h （x ）=lnxx ，则h '（x ）=1−lnx x 2， 由h '（x ）＞0得0＜x ＜e ，由h '（x ）＜0，得x ＞e ，∴h （x ）在（0，e ）上是增函数，在（e ，+∞）上是减函数，h （x ）max ＝h （e ）=1e， 当x ＞e 时，f （x ）＞0， ∴当0＜2a ＜1e即1＜a ＜12e时g （x ） 有2个极值点x 1，x 2， 由{lnx 1=2ax 1lnx 2=2ax 2得，ln （x 1x 2）＝lnx 1+lnx 2＝2a （x 1+x 2）， ∴2a =ln(x 1x 2)x 1+x 2，不妨设x 1＜x 2，则1＜x 1＜e ＜x 2，∴x 1+x 2＞x 2＞e ， 又h （x ）在（e ，+∞） 上是减函数， ∴ln(x 1+x 2)x 1+x 2＜lnx 2x 2=2a =ln(x 1x 2)x 1+x 2， ∴ln （x 1+x 2）＜ln （x 1x 2）， ∴x 1+x 2＜x 1x 2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ﹣6cos θ＝0，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M （0，2），倾斜角为34π．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，转换为直角坐标方程为（x﹣3）2+y2＝9．直线l过点M（0，2），倾斜角为34π．整理得参数方程为{x=−√22ty=2+√22t（t为参数）．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得(−√22t−3)2+(2+√22t)2=9，整理得t2+5√2t+4=0，所以：t1+t2=−5√2，t1t2＝4，所以求1|MA|+1|MB|=|t1+t2||t1t2|=5√24．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入f（x）中，再利用零点分段法解不等式f（x）＜4即可；（2）根据条件可知，m2﹣2m+4的取值范围是f（x）值域的子集，然后求出f（x）的值域和m2﹣2m+4的取值范围，再求出a的范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣2|={2x−1，x＞23，−1≤x≤2−2x+1，x＜−1．∵f（x）＜4，∴{x＞22x−1＜4或{−1≤x≤23＜4或{x＜−1−2x+1＜4，∴2＜x＜52或﹣1≤x≤2或−32＜x＜−1，∴−32＜x＜52，∴不等式的解集为{x|−32＜x＜52}．（2）∵对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），∴m2﹣2m+4的取值范围是f（x）值域的子集．∵f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|≥|2a+1|，∴f（x）的值域为[|2a+1|，+∞），又m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3≥3，∴|2a+1|≤3，∴﹣2≤a≤1，∴实数a的取值范围为[﹣2，1]．。

山西省太原市2020届高三模拟试题（二）数学（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}022>-+=x x x A ．{}2101，，，-=B 则 A ．A∩B={2} B ．A ∪B= RC ．{}2,1)(-=A C B RD ．{}21)(<<-=x x A C B R 2．已知a 是实数，iia -+1是纯虚数，则a= A ．1 B ．-1 C ． 2 D ．2- 3．已知2.05.055.02.0log 2log ===c b a ，，，则A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b4．右边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n ≡N （modm ）表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如10≡ 4（ mod6）．执行该程序框图，则输出的n 等于A ．11B ．13C ．14D ．175．若b a ，是两个非零向量，且]31[，，∈==+m b m a m b a ．则向量b 与b a -夹角的取值范围是 A ．]32,3[ππ B ．]65,3[ππ C ．]6532[ππ， D ．]65[ππ， 6．函数)1ln(1)(+-=x x x f 的图象大致为7．圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N 人．让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是A ．N M 4 B ．N M N )(4- C ．N N M +2 D ．NNM 24+ 8．设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0．则不等式0)()(<--xx f x f 的解集是A ．（-1，0） （1，+∞）B ．（-1，0） （0，1）C ．（-∞，-1） （1，+∞）D ．（-∞，-1） （0，1）9．过抛物线x y 42=的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）．若△MAB 的面积为24．则|AB|=A ．2B ．4C ．32D ．810．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．且满足nn n S S a 2)1(-=．数列{}n b 满足n n n a n b )12()1(+⋅-=，则数列{}n b 的前100项和100T 为A ．100101 B ．100101- C ．101100- D ．10110011．对于函数x x x x x f cos sin 21)cos (sin 21)(--+=．有下列说法：①f （x ）的值城为[-1，1]； ②当且仅当)(42Z k k x ∈+=ππ时，函数f （x ）取得最大值；③函数f （x ）的最小正周期是π；④当且仅当))(222(Z k k k x ∈+∈πππ，时f （x ）＞0．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．412．三棱锥P —ABC 中．AB ⊥BC ，△PAC 为等边三角形，二面角P —AC —B 的余弦值为36-，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π ．则三棱锥体积的最大值为 A ．1 B ．2 C ．21 D ．31 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知5(1)(1)x ax -+的展开式中，x 2的系数为0，则实数a = ．14．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左右顶点分别为A ，B ，点P 是双曲线上一点，若△PAB 为等腰三角形，∠PAB= 120°，则双曲线的离心率为 ． 15．已知数列{a n }满足11(1)11n n a a n n n n +-=-++（n ∈N *），且a 2=6，则{a n }的通项公式为 ． 16．改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求．某城市的A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行．已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z 1（单位：分钟）服从正态分布N(33,42)，下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z 2（单位：分钟）服从正态分布N(44,22)，从地铁站步行到单位需要5分钟．现有下列说法： ①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同； ③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大； ④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大． 则以上说法中正确的序号是 ．参考数据：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z ≤μ＋σ) = 0.6826，P(μ－2σ＜Z ≤μ＋2σ) = 0.9544，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22sin sin 2sin A C a bB --=，且△ABC 外接圆的半径为1．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求△ABC 面积的最大值．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠BAD = 60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，四边形ACFE 为梯形，EF//AC ，点E 在平面ABCD 上的射影为OA 的中点，AE 与平面ABCD 所成角为45°． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知F 1，F 2是椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为)41,43(P （Ⅰ）求椭圆C 的方程；20．（本小题满分12分）为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件．下图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x ，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x 满足： 121x -≤为一级品，1122x -＜≤为二级品，122x -＞为三级品．（Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40件产品中，抽取2件尺寸x ∈[ 12，15]的产品，记ξ为这2件产品中尺寸x ∈[14，15 ]的产品个数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有100件产品，每件产品的检验费用为50元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200元补偿．现从一箱产品中随机抽检了10件，结果发现有1件三级品．若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验? 请说明理由；（Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备。