九年级数学下册.圆中的计算问题教学课件华东师大版
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2015年春季新版华东师大版九年级数学下学期27.3、圆中的计算问题课件25
90° R
例题小结：
从例题中你有什 么体味？ 计算弧长、扇 形面积问题关 键是什么？ 计算圆柱圆锥 的问题关键是 什么？
公式很重要！ 计算公式是 否清楚？ 拆分思想，拆分 后跟怎么图形有 关，长方形、圆 形、扇形
课堂练习：
1、
O2 A2
O
A
思路：“在两个圆上两个人的弧 长相等”
2、
120°
思路：扇形的弧长=圆锥底面周 长
1 ( 2) OC OB 2 B 30 则COD 60 60 32 3 S 扇OCD 360 2 1 9 3 S OCB OC CB 2 2 9 3 3 2 S阴 （cm ） 2 2
例2 如图2 在纸上剪下一个圆和一个扇形的 纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型。若圆 的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角 等于90°，则r和R之间的关系是（）
na 2r n 180 180
s全
要点回索
1、在半径为R的圆中，圆周长C= 面积S= . 圆的
n
S=
o
的圆心角的弧度 l
2
.
，扇形面积
nr 圆中弓形面积可通过扇形面积和三角形面积 360 之差或和求得。
或者
要点回索
2、设圆柱的底面半径为r，母线为 则 。 ，
s圆柱侧
2、设圆锥底面半径为r，母线长为
有切点，我们常常连结圆心和切点分析，所以连结 OC，构成直角三角形。
求组合图形中的阴影部分面积常常转化成规则图形 面积加减。
解：⑴连结OC，则OC⊥AB
∵OA=OB(等腰三角形三线合一)
1 AC BC AB 3 3 2 在RTAOC中 OC OA2 AC 2 6 2 (3 3 ) 2 3 圆的半径为 3cm
例题小结：
从例题中你有什 么体味？ 计算弧长、扇 形面积问题关 键是什么？ 计算圆柱圆锥 的问题关键是 什么？
公式很重要！ 计算公式是 否清楚？ 拆分思想，拆分 后跟怎么图形有 关，长方形、圆 形、扇形
课堂练习：
1、
O2 A2
O
A
思路：“在两个圆上两个人的弧 长相等”
2、
120°
思路：扇形的弧长=圆锥底面周 长
1 ( 2) OC OB 2 B 30 则COD 60 60 32 3 S 扇OCD 360 2 1 9 3 S OCB OC CB 2 2 9 3 3 2 S阴 （cm ） 2 2
例2 如图2 在纸上剪下一个圆和一个扇形的 纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型。若圆 的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角 等于90°，则r和R之间的关系是（）
na 2r n 180 180
s全
要点回索
1、在半径为R的圆中，圆周长C= 面积S= . 圆的
n
S=
o
的圆心角的弧度 l
2
.
，扇形面积
nr 圆中弓形面积可通过扇形面积和三角形面积 360 之差或和求得。
或者
要点回索
2、设圆柱的底面半径为r，母线为 则 。 ，
s圆柱侧
2、设圆锥底面半径为r，母线长为
有切点，我们常常连结圆心和切点分析，所以连结 OC，构成直角三角形。
求组合图形中的阴影部分面积常常转化成规则图形 面积加减。
解：⑴连结OC，则OC⊥AB
∵OA=OB(等腰三角形三线合一)
1 AC BC AB 3 3 2 在RTAOC中 OC OA2 AC 2 6 2 (3 3 ) 2 3 圆的半径为 3cm
28.3.3圆中的计算问题 课件 华师大版数学九年级下册
圆心角占整个周角的 所对扇形面积是
1800
180 360
180 2 r 360 90 2 r 360
45 2 r 360
900
90 360
45 360 n 360
450
n0
n 2 r 360
结论：
如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半 径是r，那么 ，扇形面积计算公式为
Q
28.3圆中的计算问题
28.3.1弧长和扇形的面积
知识回顾
圆的周长公式 o
r
p
C=2πr
圆的面积公式
2 S=πr
问题情景：
如图28.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中 铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出 这段铁轨的长度吗?
zxxk
解:∵圆心角900
1 图 28.3.1 ∴铁轨长度是圆周长的 4 1 则铁轨长是 2 100 50米
4
问题探究
上面求的是圆心角为900所对的弧长，若圆 心角为n0，如何计算它所对的弧长呢？
思考：
请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、 900、450、n0所对的弧长.
图 28.3.2
圆心角占整个周角的
1800
所对弧长是
180 360 90 360 45 360 n 360
180 2r 360 90 2r 360 45 2r 360
c 2r l
l s n r 2 或s 1 lr 扇 形 面 积 S 360 2 n° r O
扇形周长计算公式为
z、xxk
c 2r l
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
2015年春季新版华东师大版九年级数学下学期27.3、圆中的计算问题课件9
面积的多少倍？ n倍
（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?
nR 2 360
扇形面积公式：
若设⊙O的半径为R，圆心角为n°的扇形的面积为S扇形，
2 n R 则 S扇形= 360
注意:
nR 2 （1）在应用扇形的面积公式S扇形= 进行计算时，要 360
注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带 单位的. （2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
2.（杭州·中考）如图，5个圆的圆心在同一条直线上,
且互相相切，若大圆直径是12，4个小圆大小相等，则这
5个圆的周长的和为 (
A.48 C.12 【答案】B B.24 D.6
)
3.（聊城·中考）将一块三角板和半圆形量角器按图中 方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（⌒ AB）对应 的中心角（∠AOB）为120º，AO的长为4 cm，则图中阴影 部分的面积为（ A． (
扇形的定义:
如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧
所围成的图形叫做扇形.
B
B 弧
扇形 A O A
圆心角 O
已知⊙O半径为R，如何求圆心角为n°的扇形的面积? 研究问题的步骤:
（1）半径为R的圆,面积是多少? S=πR2
2 R （2）圆心角为1°的扇形的面积是多少? 360
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的
16 3 16 3 2)
） B．( 8 2 ) cm2 D．(
3 8 3 2 3) cm2
A O C B
cm2
C．(
2 3)
cm2
【答案】C
4.（济南·中考）如图，四边形OABC为菱形，点B、C在
九年级数学下册27.3圆中的计算问题(第2课时)课件(新版
周长
母线长
锥底面的_____,半径等于圆锥的_______,故圆锥的侧面积等于
圆锥底面周长与母线长_乘__积__的__一__半__.故S侧=_π__r_l .
(2)全面积:S侧+S底=_π__r_l_+_π_r_2_.
【思维诊断】(打“√”或“×”) √
1.同一个圆锥的母线都相等. ( ) 2.圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长. ( √ )
27.3 圆中的计算问题 第2课时
1.圆锥:
底面
侧面
(1)组成:圆锥由一个_____和一个_____围成.
(2)母线:圆锥底面圆周上任意一点与圆锥_顶__点__的连线.
(3)高:连结圆锥顶点与_底__面__圆__心__的线段.
2.圆锥面积:
(1)侧面积:圆锥的侧面展开图是个扇形,该扇形的弧长等于圆
3.圆锥的母线不一定是其侧面展开图扇形的半径. ( × )
4.圆锥侧面展开扇形的半径就是圆锥底面圆的半径. ( × ) 5.已知一个圆锥的高为6cm,底面半径为8cm,则这个圆锥的母线
长为10cm.( √ )
知识点一 圆锥的有关概念及侧面展开图
【示范题1】(2014·泉州中考)如图,有一直径是
米的圆形铁皮,现从中剪出一个圆周角是90°
圆锥体底面积为π×22=4π(cm2),
圆锤体底面周长为2×π×2=4π(cm),
所以圆锥体侧面积为 ×AB×4π= ×4×4π=8π(cm2),所以
圆锥体的全面积为4π1+8π=12π(cm12).
2
2
【想一想】 圆锥的轴截面是什么图形? 提示:圆锥的轴截面是等腰三角形.
【备选例题】(2014·本溪中考)底面半径为4,高为3的圆锥的
2016年春季新版华东师大版九年级数学下学期27.3、圆中的计算问题课件13
12．如图，以 AB 为直径的⊙O 与弦 CD 相交于点 E，且 AC＝2，AE＝ 3，CE＝1，则弧 BD 的长是( B ) 3π 2 3π 3π 2 3π A. 9 B. 9 C. 3 D. 3
13．(2015·温州)钟面上的分针的长为 1，从 9 点到 9 点 30 分，分针在 钟面上扫过的面积是( A ) 1 1 1 A.2π B.4π C.8π D．π 14．一个扇形的面积为 12π cm2，它的圆心角为 120°，则这个扇形的 6 cm，弧长为________ 4π 半径为____ cm.
8．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π cm，则此扇形的
24 240πcm2.(结果保留π) 半径是____ cm，面积是_______
9. 如图，在3×3的网格中(共有9个小格)，每个小方格都是边长为1的正 5 方形，O，B，C是格点，则扇形BOC的面积等于___________ ．(结果保 π 4 留 π)
11．如图，已知菱形ABCD的边长为1.5 cm，B，C两点在扇形AEF的
上，求的长度及扇形ABC的面积．
解：∵菱形 ABCD 的边长为 1.5 cm，∴扇形的半径 r＝1.5，AB＝BC ︵ 的长为 ＝AC＝1.5，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC＝60°.∴BC 60π×1.5 π 60π·1.52 3 ＝ cm，S 扇形 ABC＝ ＝ π cm2 180 2 360 8
15．如图，三个小正方形的边长都为 1，则图中阴影部分的面积的和是 3 ____________ ．(结果保留π) π 8 16．(2015·荆门)在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝12，将矩形 ABCD 沿直线 l 向右翻滚两次至如图所示位置 ， 则点 B 所经过的路线长为 12.5π _______________ ．(结果不取近似值)
27.3 圆中的计算问题(1)-2020-2021学年华东师大版九年级数学下册课件
半径r=__6__．
半径r=_2_4__．
4.已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm ，则扇形的
面积为_2_4_0_π_c_m__2__．
5.扇形的面积为S,它的半径为r,则这个扇形的弧长是____.
6.扇形的面积为6π,弧长为2π,则这个扇形的半径为____6, 圆心角为_6_0_°_.
课堂小结
下列图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？
180°
90°
45°
n°
180
(1)圆心角是180°,占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______；
360 (2)圆心角是90°，占整个周角的 90 ,因此它所对的弧长是圆周长的_______；
360
(3)圆心角是45°，占整个周角的____，因此它所对的弧长是圆周长的_______；
一.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ长公式：
如果弧长为l，圆心角的度数为n，圆的半径为r，
那么，弧长的计算公式为：
二.扇形面积公式：
如果圆心角是n°的扇形面积为S,圆的半径为r,
那么扇形的面积为：
或
知二求二
已知S,l,n,r四个量中的任意两个量,可以求出另外两个量.
作业与课外学习任务
1.作业：课本P62 练习1,2 P63 习题27.3 1,2 练习：学习检测 P33-35 1～17
2.已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的
圆心角为_1_6_0_o.
3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,
分针针端转过的弧长是( B ).
A. 10 cm
3
B. 20 cm
3
C. 25 cm
3
D. 50 cm
华东师大版初中九年级下册数学精品授课课件 第27章 圆 27.3 圆中的计算问题 习题27.3
解：由题意，得2πr圆柱=a，2πr圆锥底= 90 2πr a ，
a
360
所以 r圆柱 = 2π 2 ， r圆锥底 1 a π 4
∴该圆柱与圆锥两者的底面半径之比为 2 .
π
4.如果两个扇形的圆心角相等，大扇形的半径是小扇形半 径的2倍，那么大扇形的面积是小扇形面积的多少倍？
解：设小扇形半径为r，则大扇形的半径为2r.由题意，得
即分针在钟面扫过的面积为26.18cm2.
2.火车机车上主动轮的直径为1.2m，如果主动轮每分钟转 400圈，那么火车每小时行多少千米？(精确到0.1km)
解：由题意，得 60×400×1.2π= 28800π(m)=28.8π(km)≈90.5km 即火车每小时行90.5km.
3.将一个边长为a的正方形纸片卷起来，恰好可以围住一个 圆柱的侧面；又在这个正方形纸片上剪下最大的一个扇形， 卷起来，恰好可以围住一个圆锥的侧面.那么该圆柱与圆锥 两者的底面半径之比为多少？(结果保留π)
nπ2r2 nπr2
=4. 360 360
∴大扇形的面积是小扇形的面积的4倍.
华东师大版·九年级下册
习题27.3
1.钟面上分针的长为5cm，经过20min，分针在钟面上扫过 的面积是多少平方厘米？(精确到0.01cm2)
解：如图，20分钟即分针从OA转到OB的位置，圆心角 ∠AOB=4×30° = 120°，
∴S扇形= nπr2 = 120 π 52 = 25π 26.18 cm2 . 360 360 3
九年级下册数学课件(华师版)圆中的计算问题
知识要点
弧长公式
l n 2 R n R
360
180
注意 用弧长公式 l n R ，进行计算时，要注意公式中n的
180
意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧 长为__43__.
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下 料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （C ）
A1
A.
7 3
7 8
C.
3
B．
4 3
7 8
3
D. 4 3 3
H
A
O
C
O1 H1
B
C1
3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，
则图中阴影部分的面积是12cm2 .
C B
A
D
4.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
．
3
3.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的
面积S扇=
4 3
.
例2 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的 面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
S = n r2 = 60 102 = 50 52.36(cm2 ).
扇形.
B B
弧 圆心角 O
A
扇形 O
A
判一判
下列图形是扇形吗？
想一想
问题1 半径为R的圆,面积是多少？
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•圆中的计算问题
1
生活中的圆弧与扇形
2
3
（1）已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是
多少？⊙O的面积是多少？
C=2πR，S⊙O＝πR2
A
R
（2）什么叫圆心角？
O B
顶点在圆心，两边和圆相交所组成
的角叫做圆心角.
如图中的∠AOB
4
如图，某传送带的一个转动轮的 半径为10cm.
(1)转动轮转一周，传送带上的物 品A被传送多少厘米？20πcm
扇形的圆心角为 150o
.
3. 已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的 弧长是 （ B ）.
A. 3π B.4π C.5π D.6π
13
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线
为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的
圆 锥
几何体叫做圆锥.
A
的
母线
轴
结
侧面
构
特 征
CB 底面
圆锥用表示它的轴的字母表示.
则弧CD与弧AB长度之比为（ B ）. （A）1∶1 （B）1∶2
O CD
（C）2∶1 （D）1∶4
AB
8
在一块空旷的草地上有一根柱 子，柱子上栓着一条长3m的绳 子，绳子的一端栓着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有
多大？
9πm2
（2）如果这只狗只能绕柱子转 过no的角，那么它的最大活动
区域有多大？ n m 2 40
14
如图，将圆锥的侧面沿AB展开，得到一个什么图
形？圆锥的侧面展开图与△OAB又怎样的关系?
l
展开
l
圆 锥 的
侧
r
2πr
面
展
开
图
15
例2 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120°、弧长为20π的扇形．试求该圆锥底面的半径及它 的母线的长.
解：设该圆锥底面的半径为r，母线的长为a.
则
2r 20,
可得
பைடு நூலகம்
r 10.
又
20 120a,
180
可得
a 30.
16
小结
弧长、扇形面积的计算公式
L n R
180
nR2 1
S
LR
360 2
17
no
9
在(2)问里狗活动的区域是一个什么图形 呢？
• 一条弧和经过这条弧 的端点的两条半径所 组成的图形叫做扇形
L
R
no R
• 扇形的周长是 2R+L
圆的面积是πR2，那么1o圆心角所对
的扇形的面积是 R 2 360
no圆心角所对的扇形的面积是
S n R 2 360
10
弧长公式与扇形的面积公式之间的联系：
no的圆心角所对的弧长是 n 2R nR
360 180
6
弧长公式
若⊙O的半径为R， no的圆心角所对的弧长l是
l n2RnR
360 180
7
R
（1）1o的弧长是 1 8 0
.半径为10厘米
的圆中，60o的圆心角所对的弧长是 1 0
3
（2）如图，同心圆中，大圆半径OA、
OB交小圆于C、D，且OC∶OA=1∶2，
(2)转动轮转1o，传送带上的物品
A被传送多少厘米？
cm
18
(3)转动轮转no，传送带上的物品 A被传送多少厘米？ n c m
18
A
5
（1）已知⊙O的半径为R，1o的 圆心角所对的弧长是多少？
1o的圆心角所对的弧长是 2 R R
360 180
A R
（2）no的圆心角所对的弧
O B
长是多少？
Snr26010250≈52.36(cm2)；
360 360 3
扇形的周长为
l n r 2r 180
6 0 3 .1 4 1 0 2 0 180
2 0 1 0 ≈ 30.47（cm）.
3
12
检测
1. 一个扇形的圆心角为90o，半径为2，
则弧长= π ，扇形面积= π .
2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则该
S 1 LR 2
（1）当已知弧长L和半径R，
求扇形面积时，应选用 S 1 L R
2
（2）当已知半径和圆心角的度
数，求扇形面积时，应选用
n R 2 S
360
11
例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这 个扇形的面积和周长．（精确到0.01cm2和0.01cm）
解:因为n＝60，r＝10cm，所以扇形面积为
1
生活中的圆弧与扇形
2
3
（1）已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是
多少？⊙O的面积是多少？
C=2πR，S⊙O＝πR2
A
R
（2）什么叫圆心角？
O B
顶点在圆心，两边和圆相交所组成
的角叫做圆心角.
如图中的∠AOB
4
如图，某传送带的一个转动轮的 半径为10cm.
(1)转动轮转一周，传送带上的物 品A被传送多少厘米？20πcm
扇形的圆心角为 150o
.
3. 已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的 弧长是 （ B ）.
A. 3π B.4π C.5π D.6π
13
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线
为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的
圆 锥
几何体叫做圆锥.
A
的
母线
轴
结
侧面
构
特 征
CB 底面
圆锥用表示它的轴的字母表示.
则弧CD与弧AB长度之比为（ B ）. （A）1∶1 （B）1∶2
O CD
（C）2∶1 （D）1∶4
AB
8
在一块空旷的草地上有一根柱 子，柱子上栓着一条长3m的绳 子，绳子的一端栓着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有
多大？
9πm2
（2）如果这只狗只能绕柱子转 过no的角，那么它的最大活动
区域有多大？ n m 2 40
14
如图，将圆锥的侧面沿AB展开，得到一个什么图
形？圆锥的侧面展开图与△OAB又怎样的关系?
l
展开
l
圆 锥 的
侧
r
2πr
面
展
开
图
15
例2 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120°、弧长为20π的扇形．试求该圆锥底面的半径及它 的母线的长.
解：设该圆锥底面的半径为r，母线的长为a.
则
2r 20,
可得
பைடு நூலகம்
r 10.
又
20 120a,
180
可得
a 30.
16
小结
弧长、扇形面积的计算公式
L n R
180
nR2 1
S
LR
360 2
17
no
9
在(2)问里狗活动的区域是一个什么图形 呢？
• 一条弧和经过这条弧 的端点的两条半径所 组成的图形叫做扇形
L
R
no R
• 扇形的周长是 2R+L
圆的面积是πR2，那么1o圆心角所对
的扇形的面积是 R 2 360
no圆心角所对的扇形的面积是
S n R 2 360
10
弧长公式与扇形的面积公式之间的联系：
no的圆心角所对的弧长是 n 2R nR
360 180
6
弧长公式
若⊙O的半径为R， no的圆心角所对的弧长l是
l n2RnR
360 180
7
R
（1）1o的弧长是 1 8 0
.半径为10厘米
的圆中，60o的圆心角所对的弧长是 1 0
3
（2）如图，同心圆中，大圆半径OA、
OB交小圆于C、D，且OC∶OA=1∶2，
(2)转动轮转1o，传送带上的物品
A被传送多少厘米？
cm
18
(3)转动轮转no，传送带上的物品 A被传送多少厘米？ n c m
18
A
5
（1）已知⊙O的半径为R，1o的 圆心角所对的弧长是多少？
1o的圆心角所对的弧长是 2 R R
360 180
A R
（2）no的圆心角所对的弧
O B
长是多少？
Snr26010250≈52.36(cm2)；
360 360 3
扇形的周长为
l n r 2r 180
6 0 3 .1 4 1 0 2 0 180
2 0 1 0 ≈ 30.47（cm）.
3
12
检测
1. 一个扇形的圆心角为90o，半径为2，
则弧长= π ，扇形面积= π .
2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则该
S 1 LR 2
（1）当已知弧长L和半径R，
求扇形面积时，应选用 S 1 L R
2
（2）当已知半径和圆心角的度
数，求扇形面积时，应选用
n R 2 S
360
11
例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这 个扇形的面积和周长．（精确到0.01cm2和0.01cm）
解:因为n＝60，r＝10cm，所以扇形面积为