2014届高三数学一轮必备“高频题型全掌握”21.数学方法：函数与方程思想

函数和方程的思想方法总结函数和方程是数学中两个非常重要的概念，它们在不同的数学领域和学科中具有广泛的应用。

在解决实际问题、研究数学定理和推导数学公式时，函数和方程的思想方法非常有用。

下面我将总结函数和方程的思想方法，并举例说明它们的应用。

一、函数的思想方法：1. 函数是一种映射关系，将自变量映射为因变量。

在研究函数时，我们常常关注函数的定义域、值域、图像和性质等特征。

例如，对于一个电商平台的销售额函数，我们可以通过输入商品价格来计算销售额。

我们可以研究函数的增减性、最大值和最小值等，以优化销售策略。

2. 函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性和可导性等。

这些性质可以帮助我们进一步研究函数的特点和行为。

例如，对于一个正弦函数，它是一个周期函数，周期为2π。

我们可以利用这个性质来分析正弦函数的周期性变化和极值点。

3. 函数的组合和复合是函数思想方法的重要工具。

通过将多个函数进行组合或复合，我们可以得到新的函数，从而解决更加复杂的问题。

例如，对于一个物体在空中自由落体运动的高度函数和速度函数，我们可以通过将这两个函数进行复合，得到物体的位置函数和加速度函数，进一步分析物体的运动规律。

二、方程的思想方法：1. 方程是含有未知数的等式，通过求解方程，我们可以确定未知数的值。

解方程是数学中的一个重要问题，有很多不同的解法和技巧。

例如，对于一个一元一次方程，我们可以通过移项、消元和代入等方法求解。

对于一个一元二次方程，我们可以通过配方法、因式分解和求根公式等方法求解。

2. 方程的应用非常广泛，它可以用来描述和解决各种实际问题。

在解决实际问题时，我们常常将问题抽象成一个方程，然后通过求解方程来得到问题的解。

例如，对于一个汽车行驶的问题，我们可以根据汽车的速度、时间和距离的关系建立一个方程，然后求解这个方程来得到汽车行驶的时间或速度。

3. 方程的解有可能是多个，也有可能是无解。

我们在解方程时，需要考虑方程的解集和解的存在性等问题。

=，求正整数1000【课堂练习】2.已知函数()1f x x =-，关于x 的方程2()()0f x f x k -+=，给出下列四个命题： ① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根．其中真命题的序号是 ．1.关于x 的方程(x 2－1)2－|x 2－1|＋k ＝0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根。

其中假命题的个数是 ( )A . 0B . １C . ２D . ４2.如果函数y ax b x =++21的最大值是4，最小值是－1，求实数a 、b 的值。

解：课后作业总结回顾3.已知函数的定义域和值域都是（其图像如下图所示），函数．定义：当且时，称是方程的一个实数根．则方程的所有不同实数根的个数是 ．4.已知()()20,f x ax bx c a =++≠且方程()f x x =无实数根，下列命题：① 方程x x f f =)]([也一定没有实数根；② 若0>a ，则不等式x x f f >)]([对一切实数x 都成立；③ 若0<a ,则必存在实数0x ,使00)]([x x f f >;④ 若0=++c b a ，则不等式x x f f <)]([对一切实数x 都成立。

其中正确命题的序号是 ．已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．6.（普陀区一模文理科14） 已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 .)(x f y =]1,1[-],[,sin )(ππ-∈=x x x g ])1,1[(0)(11-∈=x x f ]),[()(212ππ-∈=x x x g 2x 0))((=x g f 0))((=x g f a ∈R x 2104x x a a ++-+=a。

函数与方程的思想 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支. 函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来很强的创新能力. 因此，函数思想是数学高考常考的热点. 函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用.方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．函数思想与方程思想的联系十分密切，解方程()0f x =就是求函数()y f x =当函数值为零时自变量x 的值；求综合方程()()f x g x =的根或根的个数就是求函数()y f x =与()y g x =的图像的交点横坐标或交点个数，正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库.函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．一、函数思想的应用1．显化函数关系在方程、不等式、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而利用函数知识或函数方法解决问题.【例1】已知，，若点在线段上，则的最大值为（）(2,5)A (4,1)B (,)P x y AB 2x y -A.−1B.3C.7D.8【分析】本题是解析几何问题，由所在直线方程可得x 与y 的函数关系，转化为函数求值域的问题。

高中数学思想方法高中数学思想方法高中数学思想方法1第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的.分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点高中数学思想方法2近年来，高考命题方向很明显地朝着对知识网络交汇点、数学思想方法及对数学能力的考查发展，考生在复习的过程中，应对所学知识进行及时的梳理，这里既包含对基础知识的整理，也包括对数学思想方法的总结。

2014函数与方程思想高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；（4）构造方程求解。

高考函数与方程思想的命题主要体现在三个方面：①是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题；②是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等式问题；③是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何等问题．在构建函数模型时仍然十分注重“三个二次”的考查．特别注意客观形题目，大题一般难度略大。

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。

在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。

近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。

【知识归纳】函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式）思想的运用使我们解决问题的重要手段。

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究。

就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。

许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌握系列》21.数学方法：数形结合1.(2012·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3 选C 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B 、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝2π|ω|＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30.2.(2012·全国)正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝37.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )．A ．16B ．14C ．12D ．10 解析 当E 、F 分别为AB 、BC 中点时，显然碰撞的结果为4，当E 、F 分别为AB 的三等分点时，可得结果为6(如图1所示)．可以猜想本题碰撞的结果应为2×7＝14(如图2所示)．故选B.答案 B3.(2012·西安质检)设a 是方程1x －log 2x ＝0的实数根，则有 ( )．A ．a <0B ．1<a <2C ．0<a <1D ．a >2解析 由题意可知，a 是函数y ＝1x与y ＝log 2x 交点的横坐标，作出图象即可得1<a <2.答案 B4.(2012·杭州高中月考)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ，x >0，－a x ，x <0，又0<a <1，故选D.答案 D5.(2013·龙岩质检)若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上根的个数是 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 由题意知f (x )是周期为2的偶函数，故当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，画出f (x )的图象，结合y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 的图象可知，方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103时有3个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎥⎤3，103时方程无解．答案 C。

函数和方程的思想方法【高考能力要求】函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题解决。

有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

高考中有关函数思想的试题主要涉及四个方面 （1） 具体的原始意义上的函数问题 （2） 方程、不等式与函数的综合题 （3） 数列这一特殊的函数 （4） 利用辅助函数解体高考中有关方程的试题主要有三个方面（1） 列方程解应用题 （2） 求曲线的方程 （3） 方程与函数的综合在高考复习时，函数和方程之间往往是可以互相转化的。

函数的许多性质可以归纳为对方程的研究；而方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数的问题，即用函数思想解答菲函数问题。

【例题精讲】【例1】若关于x 的方程0322=++k kx x 的两不同的根都在1-和3之间，求k 的取值范围。

分析：若令，k kx x x f 32)(2++= 其图像与x 的交点的横坐标就是方程0)(=x f 的解而根据要求更根必须都在1-和3之间，则可以先画出符合题意函数)(x f y =的草图，结合图像找关系。

解：若令，k kx x x f 32)(2++= 其图像与x 的交点的横坐标就是方程0)(=x f 的解 而根据要求更根必须都在1-和3之间，则画出符合题意函数)(x f y =的草图由)(x f y =的图像可知，要使两根都在1-和3之间则只需⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∈-=-<-=->>-)3,1(20)()2(0)3(0)1(k abk f a bf f f )0,1(-∈k说明：本题是二次方程的实数根问题，是高中阶段的重要问题之一。

主要考查了三个二次：二次函数、二次方程根及二次不等式之间的关系，结合对应的二次函数草图来得到满足二次方程根要求的二次不等式。

高中常见数学思想方法方法一 函数与方程的思想方法函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易，化繁为简的目的.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.【例1】 设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知3121312,0,0a S S =><.（1）求公差d 的取值范围；（2）指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大，并说明理由.【分析】 （1）利用公式n a 与n S 建立不等式，容易求解d 的范围；（2）利用n S 是n 的二次函数，将n S 中哪一个值最大，变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题.【解】（1） 由3a ＝12a d +＝12,得到1a ＝12－2d ，所以12S ＝121a ＋66d ＝12(12－2d )＋66d ＝144＋42d >0，13S ＝131a ＋78d ＝13(12－2d )＋78d ＝156＋52d <0.解得：2437d -<<-. （2）解法一：（函数的思想）n S ＝21115(1)(12)222na n n d dn d n ++=+- ＝22124124552222d d n d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦因为0d <，故212452n d ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦最小时，n S 最大.由2437d -<<-得12465 6.52n d ⎛⎫<--< ⎪⎝⎭，故正整数n ＝6时212452n d ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦最小，所以6S 最大. 解法二：（方程的思想）由0d <可知12313a a a a >>>>.因此，若在112n ≤≤中存在自然数n ，使得0n a >，10n a +<，则n S 就是1S ，2S ，，n S 中的最大值．121300S S >⎧⎨<⎩⇒1150260d a d a d ⎧+>->⎪⎨⎪+<⎩⇒6700a a >⎧⎨<⎩, 故在1S 、2S 、…、12S 中6S 的值最大．【点评】 数列的通项公式及前n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析,即用函数方法来解决数列问题；也可以利用方程的思想，利用不等式关系，将问题进行算式化，从而简洁明快.由此可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性.【例1】 在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为A,B ，右顶点为F ，设过点T （m t ,）的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x ，),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.【解】 （1）由题意知)0,2(F ，)0,3(A ，设),(y x P ，则4)3()2(2222=---+-y x y x化简整理得29=x . （2）把21=x ，312=x 代人椭圆方程分别求出)35,2(M ，)920,31(N 直线)3(31:+=x y AM ① A B O F直线)3(65:--=x y BN ② ①、②联立得107,3T ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）),9(m T ， 直线)3(12:+=x m y TA ，与椭圆联立得)8040,80)80(3(222++--m m m M 直线)3(6:-=x m y TB ，与椭圆联立得)2020,20)20(3(222+-+-m m m N 直线2222222224020203(20)8020:3(80)3(20)20208020m m m MN y x m m m m m m +⎛⎫-+++=- ⎪--++⎝⎭--++, 化简得222220103(20)204020m y x m m m ⎛⎫-+=-- ⎪+-+⎝⎭令0y =，解得1x =，即直线MN 过x 轴上定点(1,0).【点评】 本题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力.而且，本题在解决问题时，无论求点的坐标，还是求点P 的轨迹方程，都灵活运用了方程的思想，特别是在证明过程中更是很好地利用方程的有关知识，使问题画繁为简，华难为易.方法二 数形结合的思想方法正确利用数形结合，应注意三个原则：（1）等价性原则数形信息的转换应该是等价的、充要的.要注意由于图形的直观性，往往可以成为严格推证的启导，但有时不能完整表现数的一般性，考虑问题可能不完备.（2）双向性原则数形结合的含意是双向的，即考虑问题既注意代数问题几何化，也注意几何问题代数化，而不仅仅指前者.（3）简单性原则有了解题思路，思考用几何方法，还是代数方法，还是两者兼而用之，要取决于解题的简单性原则，而不能形而上学地让几何问题代数化，代数问题几何化成为一种机械模式.运用数形结合的思想方法解题的途径主要有三条:第一，以形助数：把一些数式的几何意义明朗化，构造出解题的几何模型，突显问题的直观性，使解题思路变得形像而通畅;第二，以数助形：利用几何图形或图像图表中隐含的数式特征，构造出解题的代数模型(必要时建立坐标系)，突显问题的本质，另辟解题的捷径;第三，数形互助：根据问题的需要，将以形助数和以数助形二方面结合运用.数形结合的应用是广泛的，数与形的结合点主要集中在以下几个方面：1.研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域与最值等)，可从函数图像的直观性得到鲜明的启示.2.利用数轴与坐标系(包括直角坐标系、极坐标系)，使数与点对应，使函数与图像、方程与曲线结合，使代数与几何联结.这样，可利用坐标或向量的运算，探索几何图形的相关性质；利用函数图像与方程曲线的直观性，探索函数或方程的性质.3.从统计图表、图像中，收集分析出“数”的信息，由破译的数量关系建立代数模型，探索相关的结论.这类数形信息的转换能力是近年高考的新亮点.4.三角函数与单位圆、三角函数曲线的联系.5.复平面与复数、向量的沟通.6.利用类比法、换元法(如三角换元)、构造法、坐标法等构造代数问题的几何模型、几何问题的代数模型，开辟解题的新思路.【例1】 （12年上海模拟）若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x -=，且[1,1]x ∈-时，2()1f x x =-，函数lg(1),11(),00,01x x g x x xx ->⎧⎪⎪=-<⎨⎪≤≤⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[5,6]-内的零点个数为_________.【答案】 9【解】 由题意，直接求解会很麻烦，且不易得到正确的答案，所以该题中求()()()h x f x g x =-的零点,可以转化为求()f x 与()g x 两函数图像的交点.则画出()f x 与()g x 的图像,由于()f x 在[1,1]x ∈-上为2()1f x x =-,且为周期函数,周期为2,而()g x 是分段函数,注意其图像共分为三部分,如图,可等共有9个交点,其中有一个易错点,即其中1个交点为(1,0)很容易被遗漏.【点评】 要求()()()h x f x h x =-在区间[5,6]-内的零点的个数，可转化为求()f x 与()h x 交点的个数，可以作出图形，观察图形易得交点的个数.本题体现了数形结合的思想,正是运用数形结合的思想方法解题的途径中的以形助数.【例2】 函数y =f (x )的图像为圆心在原点的两段圆弧，试解不等式f (x )＞f (－x )十x ．【解】 解法一：（以数助形） 由题意及图像，有⎪⎩⎪⎨⎧<≤---≤<-=011101)(22x x x x x f ， （1）当0<x ≤1时, f (x )>f (－x )+x 得21x ->－2)(1x --+x , 解得0<x <552; （2）当－1≤x <0时, 得－21x ->2)(1x --+x , 解得－1≤x <－552, ∴ 原不等式的解集为[－1, －552)∪(0, 552). 解法二：（数形互助） 由图象知f (x )为奇函数，∴ 原不等式为f (x )>2x ，而方程f (x )= 2x 的解为x =±552，据图像可知原不等式解集为[－1, －552)∪(0, 552). 【点评】 本题以形看数（解式，奇偶性），以数解形（曲线交点A 、B ），最后以形解数（不等式），这才是真正意义上的数形结合，扬长避短．方法三 分类讨论的思想方法1.通常引起分类讨论的原因，大致可归纳为如下几点：(1)涉及的数学概念是分类定义的；(2)涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的；(3)涉及题中所给的限制条件或研究对像的性质而引起的；(4)涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的；(5)涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的；(6)一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的.2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步：(1)确定讨论的对像及其范围；(2)确定分类讨论的标准，正确进行分类；(3)逐类讨论，分级进行；(4)归纳整合，作出结论.其中最重要的一条是“不漏不重”.学生必须对相关知识点或涉及的概念、定义、定理相当清楚，对于一些结论成立的条件掌握牢固，这样才能在解题时思路清晰，才能知道何时必须进行分类讨论，而何时无须讨论，从而可以知道怎样进行分类讨论.【例1】（12年上海二模）点),(y x Q 是函数122-=x y 图像上的任意一点，点(0,5)P ，则P 、Q 两点之间距离的最小值是______________.【答案】 11【解】 ①当2102x -<时，222221,(5)(6)92x y PQ x y y =-=+-=--. 63y -=±时，即y ＝9或y ＝3，PQ 取最小值0，但222x y =-都为负数，∴不成立； ②当2102x -≥时，212x y =-，2222(5)(4)11PQ x y y =+-=-+.当y ＝4时，PQ 取最小值为11．综上所述，P 、Q 两点之间距离的最小值为11．【点评】 由于题中给出的是绝对值函数，需要利用分类讨论的思想去掉绝对值，然后再求解.体现了数学概念是分类定义的而引起的分类讨论.【例2】设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0(1,2,3,)n S n >=，求q 的取值范围.【分析】在应用等比数列前n 项和的公式时，由于公式的要求，分q ＝1和q ≠1两种情况.【解】{}n a 是等比数列，且前n 项和0(1,2,3,)n S n >=，110a S ∴=>，且0q ≠当1q =时，10n S na =>；当1q ≠时，1(1)01n n a q S q-=>-，即10(1,2,3,)1nq n q ->=-. 上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩ ①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩ ②,由①得1q >,由②得11q -<<,∴q 的取值范围为()()1,00,-+∞.【点评】本题正是分类讨论中运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的体现.【例4】已知实数0a ≠,函数()2,1,2, 1.x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+,则a 的值为________. 【答案】 34-【解】首先讨论1a -，1a +与1的关系.当0a >时，11a -<，11a +<，所以()()1121f a a a a -=---=--；()12(1)32f a a a a +=++=+.因为()()11f a f a -=+，所以132a a --=+，所以34a =-； 当0a <时，11a ->，11a +>，所以()()1212f a a a a -=-+=-；()1(1)231f a a a a +=-+-=--.因为()()11f a f a -=+，所以231a a -=--，所以32a =-（舍去）. 综上，满足条件的34a =-. 【点评】本题的解题关键在于讨论1a -，1a +与1的关系，正是体现了数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的分类讨论.方法四 概括归纳的思想方法概括是在思维中将同一种类型的对像共同的本质属性集中起来，结合为一般类型的属性.归纳是一种逻辑型的思维形状，是从几个特殊情形做出一般结论的不完全的属性.一类是性质和法则的归纳，如数列的基本性质，对数运算的法则的归纳过程；另一类是解题方法的归纳，如向量在物理中的应用等；第三类是归纳猜想，如由表格所给数据归纳几个连续奇数的和等.【例2】在数列{n a }中，1a =13 ，且前n 项的算术平均数等于第n 项的2n -1倍（n ∈N*）．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明．【分析】（1）利用数列{n a }前n 项的算术平均数等于第n 项的2n -1倍，推出关系式，通过n =2，3，4，5求出此数列的前5项；（2）通过（1）归纳出数列{n a }的通项公式，然后用数学归纳法证明．第一步验证n =1成立；第二步，假设n =k 猜想成立，然后证明n =1k +时猜想也成立.【解】 （1）由已知1a =13，123n a a a a n++++ =（2n -1）n a ，分别取n =2，3，4，5，得2111153515a a ===⨯，()312111145735a a a =+==⨯， ()4123111277963a a a a =++==⨯，()512341114491199a a a a a =+++==⨯， 所以数列的前5项是：113a =，2115a =，3135a =，4163a = ，5199a = . （2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+（n ∈N*）． 下面用数学归纳法证明：①当n =1时，猜想显然成立.②假设当n =k （k ≥1且k ∈N*）时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+ ． 那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++， 即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+，即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+， 所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，猜想也成立. 综上①和②知，对一切n ∈N*，都有1(21)(21)n a n n =-+成立． 【点评】 本题考查数列的项的求法，通项公式的猜想与数学归纳法证明方法的应用，注意证明中必须用上假设，考查计算能力，分析问题解决问题的能力．正是体现了概括归纳的思想方法.方法五化归与等价变换的思想方法在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化成一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.这一思想方法我们称之为“转换化归思想”.而转换化归思想的基本原则就是：化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知.1.利用转换化归思想解决数学问题时必须明确三个问题：（1）把什么东西进行转换化归，即化归对像；（2）化归转换到何处，即化归转换的目的；（3）如何进行转换化归，即转换化归的方法.2. 化归与转化常遵循以下几个原则.（1）目标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化；（2）和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；（3）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．3．转化与化归常用到的方法（1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径．（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．（5）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．（8）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．（9）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证．（10）补集法：如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A ，而包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集使原问题得以解决.化归与等价变换的思想方法所涉及到的具体问题很多很多，如果不断努力地用这种方法去解决一些数学问题或数学范畴以外的问题时，往往会出现事半功倍的奇特效果.【例1】 设x 、y ∈R 且22326x y x +=，求22x y +的范围.【解】 方法一：等价转化法(转化为函数问题)由22623x y x -=≥0得0≤x ≤2.设22k x y =+，则22y k x =-，代入已知等式得：2620x x k -+=， 即2132k x x =-+，其对称轴为x =3. 由0≤x ≤2得k ∈[0,4].所以22x y +的范围是：0≤22x y +≤4.方法二：数形结合法（转化为解几何问题）： 由22326x y x +=得()221132y x -+=，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点.22x y +的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点.设圆方程为22x y k +=，代入椭圆中消y 得2620x x k -+=.由判别式3680k ∆=-=得4k =,所以22x y +的范围是：2204x y ≤+≤.方法三： 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）： 由22326x y x +=得()221132y x -+=，设1cos 6sin 2x y αα-=⎧⎪⎨=⎪⎩，则 2222233112cos cos sin 12cos cos 222x y ααααα+=+++=++- []215cos 2cos 0,422αα=-++∈ 所以22x y +的范围是：2204x y ≤+≤.优秀学习资料 欢迎下载【点评】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力.而且各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型,正是体现了熟悉化原则，将不熟悉的知识转化为自己熟悉的知识.【例2】设等比数列｛a n ｝的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q =___________.【答案】-2【解】q a a S 112+=，11S a =，23111S a a q a q =++∵1322S S S =+ ∴12111222a q a q a a =++(a 1≠0)∴2q =-或0q =（舍去）.【点评】 由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q 的值.如：213,,S S S 成等差，求q 的值.这样就避免了一般性的复杂运算.既体现简单化原则，也是特殊化方法的使用，正是转化与化归的思想方法的典型体现。

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。

以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。

函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。