率失真理论

寻找最优解。
模拟退火算法
通过模拟物理中的退火 过程，在解空间中随机
搜索最优解。
优化算法的步骤和流程
2. 评估
计算目标函数f(x0)和约束条件 g(x0)和h(x0)。
4. 终止条件
判断是否满足终止条件，如达 到最大迭代次数或目标函数变 化小于预设阈值等。
1. 初始化
设置初始解x0和参数如学习率 、迭代次数等。
3. 迭代更新
根据当前解x0和参数，计算新 的解x1 = x0 - 学习率 * 梯度 ，并更新目标函数和约束条件 。
5. 输出
输出最优解x*和目标函数的最 小值或最大值。
04 率失真函数的应用场景
数据压缩
高效压缩与解压
率失真函数在数据压缩领域中发挥了关键作用。通过最小化信息损失，它能够将大量数据高效地压缩为较小的文件，同时保 持数据的可读性和完整性。这使得率失真函数成为数据存储和传输的重要工具，特别是在带宽有限或存储空间受限的环境中 。
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2. 记录每个失真度和码率下的性能指标。
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3. 分析实验数据，绘制率失真曲线。
实验结果分析
01
02
03
数据分析
通过对比不同失真度和码 率下的性能指标，分析率 失真函数的特性。
结果解释
解释率失真函数曲线的形 状和意义，说明其在图像 和音频编码中的应用。
结论总结
05 实验与案例分析
实验设计
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实验目标：通过实验，理解和掌握率失真函数的基本概念 和性质。
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实验原理：基于信息论和编码理论，通过模拟不同失真度 和码率的编码过程，观察率失真函数的形状和特性。

− p− D p− D = 11 − 2 D i(1 − D ) + 1− 2 D i D = p
即我们构造的信道满足我们关于输入分布的假 从而 Pr( X = 0) = 1 − Pr( X = 1) = 1 − p ， 设。可以计算出对应该信道的互信息为：
ˆ ) = H(X ) − H(X | X ˆ ) = H ( p) − H ( D) I(X; X ˆ ) = D 。 对应的平均失真为 Pr( X = X
*
ˆ * = min Ed ( X , x ˆ ) = min ∑ p( x)d ( x, x ˆ) x ˆ ˆ
ˆ∈ A x ˆ∈ A x
x
ˆ* ) Dmax = Ed ( X , x
ˆ 代表的是在没有信源 X 的任何信息的情况下，对 X 能得到的最 从上述定义可以看出， x
好估计。这种估计实际上是用一个常量来对一个变量进行估计，对应的平均失真为 Dmax 。
ˆ ，输出为 X，而且 Pr( X ˆ = 0) = 的交叉概率为 D 的二元对称信道，输入为 X
ˆ = 1) = p − D 。 Pr( X 1− 2 D
图 4.2 下界可达的信道 根据假设可以计算出输出的分布：
1− p − D 1− 2 D
，
ˆ = 1)i P( X = 1| X ˆ = 1) + Pr( X ˆ = 0)i P( X = 1| X ˆ = 0) Pr( X = 1) = Pr( X
ˆ → R ，A 代表 X 取值的集合。 (2) 失真度量的定义：定义失真度量为 d : A × A
+
(3) 有界失真：如果失真的最大值是有限的，则称该失真函数是有界的，即：
ˆ ) < ∞ （4.1） d max = max d ( x, x

率失真理论及经典的码率控制算法一、视频编码的率失真思想率失真理论研究的是限失真编码问题：能使限失真条件下比特数最小的编码为最佳编码。

设信源为},...,,{21m m a a a A =，经过编码后，信宿为},...,,{21n n b b b B =，定义信源、信宿概率空间分别为)}(),...,(),({Q )}(),...,(),({2121n m b Q b Q b Q a P a P a P P 、。

定义平均失真函数)(Q D 如下： ∑∑∑∑======m j j k j nk k j m j k j n k k j a b Q a P b a d b a P b a d Q D 1111)|()(),(),(),()(其中，),(k j b a d 为失真度，度量准则可是均方误差MSE 、绝对差分和SAD 或差分平方和SSD 等。

若信源概率分布)(j a P 已知，则平均失真仅仅取决于条件概率)|(j k a b Q ，从而必然存在这样一个条件概率)|(j k a b Q 使得D Q D ≤)(，即：))((D Q D Q Q D ≤=即D Q 为保证平均失真)(Q D 在允许范围D 内的条件概率集合。

进一步，定义),(Y X I 为接收端获取的平均信息量：)()|(log)|()(),(1k j k m j j k j b Q a b Q a b Q a P Y X I ∑==同样，在给定的)(j a P 前提下，),(Y X I 的大小也只取决于。

现在率失真函数)(D R 定义为在D Q 范围内寻找最起码的信息量，即：),()(min Y X I D R DQ Q ∈=该公式的含义：在允许的失真度为D 的条件下，信源编码给出的平均信息量的下界，也就是数据压缩的极限数码率。

当数码率R 小于率失真函数)(D R 时，无论采用什么编码方式，其平均失真必大于D 。

视频压缩是典型的限失真编码，率失真理论同样适应于视频编码。

信息率失真函数的定
义
所谓信息率失真，是指在数据传输过程中造成的原本可以正常识别的信息被破坏而无法被正确识别的现象。

它通常由某种外部的影响，如噪声、干扰或错误编码等因素造成。

具体来说，信息率失真函数是一种度量从输入到输出信号中信息率“差异”的函数。

它定义为信号输出中比原始信号（输入）中丢失的信息的分数。

可以用以下公式来表示信息率失真：
I_R=1-D_R
其中，I_R是信息率失真，D_R是失真率，它定义为输出信号（受失真影响的信号）比输入信号（未受失真影响信号）失真的部分所占的比例，单位是%。

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称全部n 称全部n×m个失真度组成的矩阵为失真 矩阵： 矩阵：
d(x1, y1 ) d(x1, y2 ) d(x , y ) d(x , y ) 2 2 2 1 [D] = ... ... d(xn , y1 ) d(xn , y2 ) ... d(x1, ym ) ... d(x2 , ym ) ... ... ... d(xn , ym )
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i = 1,2,L,n, j = 1,2,L,m
µi ln − Sd(xi , yj ) − =0 p(yj ) p(xi ) p(yj / xi ) i = 1,2,L,n, j = 1,2,L,m
µi 令ln λi = p(xi )
ln
p(yj / xi ) p(yj )
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∂ {−S[∑∑p(xk )p(yl / xk )d(xk , yl ) − D]} ∂p(yj / xi ) k =1 l =1
n m
= −Sp(xi )d(xi , yj )
p(yj / xi ) ∂Φi ∴ = p(xi )ln ∂p(yj / xi ) p(yj ) − Sp(xi )d(xi , yj ) − µi = 0
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d(xi , yj ) = (yj − xi )
2
称为平方误差失真度。 称为平方误差失真度。
(2)平均失真度 (2)平均失真度
D = E[d(xi , yj )] = ∑∑p(xi )p(yi / xi )d(xi , yj )
i =1 j=1 n m
电子科技大学
(3)保真度准则 (3)保真度准则 如果给定的允许失真为D 如果给定的允许失真为D 为保真度准则。 则称 p(yj / xi ) = p(yj )

率失真函数R(D)是连续单调函数
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4.4 率失真函数
例:求率失真函数
已知信源{x1=0，x2=1}，概率分布为（δ，1-δ),δ<0.5，信道输出 符号Y = {y1=0，y2=1}，失真测度为汉明（Hamming）失真测 度，求率失真函数R(D)。 (1)求出R(D)的定义域 Dmin = 0· δ+0· (1-δ) = 0 D max = min {1-δ, δ}=δ
2
由上面方程组解出，
(1 D) p( y1 ) Dp( y2 ) 1 Dp( y1 ) (1 D) p( y2 )
D
1 2D
p( y1 )
1 D p( y2 ) 1 2D
由P(X),P(Y)和P(X/Y)就可以求出相应的P(Y/X).
以一个特例说明存在这样的信道转移概率矩阵[P].
R D min I X ;Y : D D
p( y / x )
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12
4.4 率失真函数
(4)率失真函数的定义域
R(D)的值域 率失真函数的值域为 0 R（D） H（X）
R(D)
H（X）
Dma D的最小值Dmin 0 Dmin x 在给定的失真度矩阵中，对每一个xi，找一个最 小的 dij，然后对所有的i =1, 2, …,n 求统计平均值， 就是D的最小值，即
对于汉明失真度，平均失真度为：
2 2 i 1 j 1
0 1 d ij 1 0
(信道误码率）
D p( xi , y j )d i j p(0,1) p(1, 0) Pe
可知：0≤Pe≤D ≤δ 在R(D)的定义中，要求满足平均失真度小于等于D， 取等号则：

【例4.8】 信源含两个消息{x1=0，x2=1},其概率分布为 失真测度 p为(XX汉)明 （x1Ha1mx2min,gδ）<失0.真5，测信度道，输求出率符失号真Y函=数{yR1=(D0，)。y2=1}，
(1) 根据式(4-14)和(4-18)可求出R(D)的定义域 Dmin = 0·δ+0·(1-δ) = 0 D max = min {1-δ, δ}=δ (2) 求R(D)的值域
ij
式中D是预先给定的失真度，上式称为保真度准则。
根据[定理2.2]，当信源q (x)一定时，平均互信息量I (X ; Y) 是信道转移概率函数p(y∣x)的∪型凸函数，这意味着可以 关于p(y∣x)对平均互信息量I (X ; Y)求得极小值，定义这个
极小值为率失真函数R(D)，即：
RD min I X ;Y : D D p(y x)
xi )
( xi
y j )( y j )
q(xi )
。
1-δ = D （y1）+（1-D） (y2)
由上面方程组解出，
(
y1
)
D
1 2D
(
y
2
)
1
1
D 2D
② 再算出
p( y1
x1 )
(x1 y1 ) ( y1 )
q(x1 )
(1
D)
D 1 2 D
(1 D)( D) (1 2D)
d d 21 d 22
d1J
d
2
J
(4-1)
d I 1 d I 2 d I J
【例4.1】 汉明（Hamming）失真测度
信源输出符号X = {x1, x2, …, xK}，信道输出符号Y = {y1, y2, …,

D E[d (ui , v j )] E[d (u, v)]
在离散情况下，信源U＝{u1,u2,…ur} ，其概率分布P(u)＝ [P(u1),P(u2),…P(ur)] ，信宿V＝ {v1,v2,…vs} 。 若已知试验信道的传递概率为P(vj/ui)时，则平均失其度为：
D P(uv)d (u, v) P(ui ) P(v j / ui )d (ui , v j )
y
y
0
x
由于信源等概分布，失真函数具有对称，因此，存在着与失真 矩阵具有同样对称性的转移概率分布达到率失真R(D) ，该转 移概率矩阵可写为：
第四章
信息率失真函数
无失真信源编码和有噪信道编码告诉我们：只要信道的 信息传输速率小于信道容量，总能找到一种编码方法,使得 在该信道上的信息传输的差错概率任意小；反之，若信道 的信息传输速率大于信道容量，则不可能使信息传输差错 概率任意小。 但是，无失真的编码并非总是必要的。
香农首先定义了信息率失真函数R(D)，并论述了关于这个 函数的基本定理。 定理指出：在允许一定失真度D的情况下，信源输出的信息 传输率可压缩到R(D)值，这就从理论上给出了信息传输率与允 许失真之间的关系，奠定了信息率失真理论的基础。 信息率失真理论是进行量化、数模转换、频带压缩和数据 压缩的理论基础。 本章主要介绍信息率失真理论的基本内容，侧重讨论离散 无记忆信源。 首先给出信源的失真度和信息率失真函数的定义与性质； 然后讨论离散信源和连续信源的信息率失真函数计算；在这基 础上论述保真度准则下的信源编码定理。
1 0 1 2 D 1 1 0 2
则
[例3] 对称信源(s = r) 。信源变量U＝{u1,u2,…ur} ，接收变 量V＝ {v1,v2,…vs} 。失真度定义为：

d (u1 , v1 ) d (u1 , v 2 ) d (u , v ) d (u , v ) 2 1 2 2 D : : d (u r , v1 ) d (u r , v 2 )
... d (u1 , v s ) ... d (u 2 , v s ) ... : ... d (u r , v s )
UV i 1 j 1
保真度准则

若平均失真度D不大于我们所允许的失真D，即： DD 称此为保真度准则。
信源固定(给定P(u))，单个符号失真度固定时(给定 d(ui,vj)) ，选择不同试验信道，相当于不同的编码方法，所得 的平均失真度是不同的。有些试验信道满足D D，而有些试 验信道D＞D。 凡满足保真度准则，即平均失真度D D的试验信道统称 为“D失真许可的试验信道”。把所有D失真许可的试验信道 组成一个集合，用符号BD表示，即：
0 1 4 D 1 0 1 4 1 0
上述三个例子说明了具体失真度的定义。一般情况下根 据实际信源的失真，可以定义不同的失真和误差的度量。另 外还可以按其他标准，如引起的损失、风险、主观感觉上的 差别大小等来定义失真度d(u,v)。
平均失真度
失真度d(ui,vj)是随机变量。规定了单个符号失真度d(ui,vj) 后，传输一 个符号引起的平均失真，称为信源平均失真度：

i j i j js
除j=s以外所有的j和i 所有i
其中接收符号vs作为一个删除符号。

在这种情况下，意味着若把信源符号再现为删除符号vs 时，其失真程度要比再现为其他接收符号的失真程度少 一半。 若二元删除信源s ＝2，r＝3， U＝{0,1}，V＝{0,1 ,2} 。 失真度为：

题目：率失真函数和失真率函数的关系近年来，在通信领域，通过研究率失真函数和失真率函数的关系，已经取得了一些重要的成果。

率失真函数是描述信息传输中准确性和效率之间的关系的数学函数，而失真率函数是描述信号传输中失真率和其他参数之间的数学函数。

它们之间存在着密切的关联，对于理解信息传输的特性和优化通信系统十分重要。

在本文中，将对率失真函数和失真率函数的概念和关系进行较为详细的阐述，力求清晰地阐述它们之间的联系和作用。

也将探讨它们在通信系统中的应用以及对通信领域的意义。

一、率失真函数的概念率失真函数是用来描述在信息编码中，由于传输媒介或通信环境的影响，导致信息传输中产生误码的概率和编码效率之间的关系。

当信息传输中存在噪声或其他干扰时，数据经过编码传输后会产生一定的失真，而率失真函数就是描述了在不同编码效率下，产生误码的概率。

以二进制对称信道为例，信道中每个比特会以一定的概率发生翻转，从而导致信息传输的失真。

率失真函数就是描述了在不同编码效率下，翻转比特的概率。

通过研究率失真函数，可以找到一种最优的编码策略，以最小化传输中的失真。

二、失真率函数的概念失真率函数是用来描述信号传输中，失真率与其他参数之间的关系的数学函数。

在通信系统中，由于各种原因，信号的传输会产生一定的失真，失真率函数就是描述了在不同参数设定下，信号传输中的失真率。

失真率函数的研究可以帮助我们了解在不同条件下信号传输的失真情况，为优化通信系统提供重要的参考。

三、率失真函数和失真率函数的关系率失真函数和失真率函数之间存在着密切的关系。

在信息传输中，信息编码的效率会直接影响到传输中的失真率，而失真率会受到编码效率的影响。

率失真函数和失真率函数之间存在一定的对应关系，研究二者之间的关系可以帮助我们更好地理解信息传输中的特性和规律。

通过对率失真函数和失真率函数的研究，我们可以找到一种最优的编码策略，使得在保证一定的编码效率的情况下，尽可能地减小失真率。

率失真函数
信号率失真函数，又称抽样失真函数，是一种用于表示或检测带
宽信号和脉冲信号的时间域失真分析方法。

它是基于结果衍生出来的，其基本思想是用采样频率相关的指标去度量在抽样时发生的信号失真。

信号率失真函数主要反映了在数字系统中信号对原始信号失真程度。

它主要就是检测数字系统传输信号抖动和时延失真，它反映的就是信
号被采样后的成像，失真时的差异。

由于存在采样的差异，当信号进行采样时，很可能会造成传输信
号的失真，因此利用信号率失真函数便于对采样抖动以及时延失真进
行可靠的检测。

为了更有效地检测采样抖动和时延失真，需要在采样
系统中引入信号率失真函数，其目的就是把信号进行离散采样，并找
出采样的抖动和时延失真的程度。

信号率失真函数的应用也非常广泛，常用于数据传输质量的测量，它能够显示信号的边带失真和脉冲失真的程度，用于检测过采样和超
采样的问题，常用于电子信号的检测和定位失真。

此外，信号率失真
函数也可以用于衡量编码后信号的传输质量，可以帮助我们了解信号
是否满足传输所需要的质量标准。

信号率失真函数可帮助完成传输过程中的模拟信号的时间域质量
的检测，测量传输信号的时间域失真程度，从而帮助改善系统的设计
和性能。

由此可见，信号率失真函数在数字系统中有着重要的作用，
不仅能从系统设计和性能等方面帮助改善系统，而且可以作为时域失
真检测和评估方法，来考量某个系统失真程度如何。

率失真理论及经典的码率控制算法一、视频编码的率失真思想率失真理论研究的是限失真编码问题：能使限失真条件下比特数最小的编码为最佳编码。

设信源为},...,,{21m m a a a A =，经过编码后，信宿为},...,,{21n n b b b B =，定义信源、信宿概率空间分别为)}(),...,(),({Q )}(),...,(),({2121n m b Q b Q b Q a P a P a P P 、。

定义平均失真函数)(Q D 如下： ∑∑∑∑======m j j k j nk k j m j k j n k k j a b Q a P b a d b a P b a d Q D 1111)|()(),(),(),()(其中，),(k j b a d 为失真度，度量准则可是均方误差MSE 、绝对差分和SAD 或差分平方和SSD 等。

若信源概率分布)(j a P 已知，则平均失真仅仅取决于条件概率)|(j k a b Q ，从而必然存在这样一个条件概率)|(j k a b Q 使得D Q D ≤)(，即：))((D Q D Q Q D ≤=即D Q 为保证平均失真)(Q D 在允许范围D 内的条件概率集合。

进一步，定义),(Y X I 为接收端获取的平均信息量：)()|(log)|()(),(1k j k m j j k j b Q a b Q a b Q a P Y X I ∑==同样，在给定的)(j a P 前提下，),(Y X I 的大小也只取决于。

现在率失真函数)(D R 定义为在D Q 范围内寻找最起码的信息量，即：),()(min Y X I D R DQ Q ∈=该公式的含义：在允许的失真度为D 的条件下，信源编码给出的平均信息量的下界，也就是数据压缩的极限数码率。

当数码率R 小于率失真函数)(D R 时，无论采用什么编码方式，其平均失真必大于D 。

视频压缩是典型的限失真编码，率失真理论同样适应于视频编码。

k 1 l 1 l 1 N N N
ˆ ) H(X ˆ / X) {H(X ˆ j / xi ) PD ( x ˆ l / x k )d ( x k , x ˆ l ) D] k [ PD ( x ˆ l / x k ) 1]} S[ P( x k )PD ( x
N
ˆ l / x k )d ( x k , x ˆ l ) D] k [ PD ( x ˆ l / x k ) 1]} 0 S[ P( x k )PD ( x
k 1 l 1 l 1
N
N
i 1,2,, N j 1,2,, N
率失真理论
N ˆ j) ˆ j / x k )] P ( x i ) 注意到 P( x [ P( x k )PD ( x ˆ j / xi ) ˆ j / x i ) k 1 PD ( x PD ( x
k 1 l 1 l 1 N N N
率失真理论
N ˆ l ) log P( x ˆ l) { P( x ˆ j / x i ) l1 PD ( x
ˆ l / x k ) log PD ( x ˆ l / x k )] P( x k )PD ( x
k 1 l 1
N
N
汉明失真矩阵
0 1 [ D] ... 1 1 0 ... 1 ... ... ... ... 1 1 ... 0Fra bibliotek率失真理论
平方误差失真函数——常用于连续信源
ˆ ) (x x ˆ )2 d( x, x
率失真理论
2、平均失真度
定义
失真度/失真函数的数学期望
表示
ˆ j )] P(x i x ˆ j )d ( x i , x ˆ j) D E[d( x i , x

11
“信息论与编码”课件
信息率失真函数与信息价值
解 （ 1）
Dmax
V=Dmax – 0 = a /5 元 R(D1) = -0.8 lb0.8 – 0.2 lb0.2 0.722
v V a/5 0.1444 a 元/比特 R( D1 ) 0.722
好 坏
2 4a a a min p (ai )dij min , j 5 5 5 i 1
“信息论与编码”课件
4.3信息率失真函数与信息价值
信息率失真理论不仅被应用于信息传输来解决信源的压 缩编码问题，也被应用于质量检测和科学管理中。 例4.6某印刷电路板（PCB）加工厂的产品合格率约为 98%。一块好的PCB板出厂价约为100元，但如果客户 发现一块不合格的板子可向厂方索赔10 000元。已知厂 方检验员检验的正确率约为95%，试用信息率失真理论 来分析检验的作用并作比较。假设合格品出厂、废品报 废都不造成损失。 解 根据题意，可将PCB产品作为一信源，且有 信源空间： 好（合格） 废（废品） P(好)=0.98 P(废)=0.02
4
“信息论与编码”课件
信息率失真函数与信息价值
情况3 正确无误地判断合格品和废品——完美的检验 相当于无噪信道情况，信道矩阵 好 废 好 1 0




平均失真度为 D 0 即这种情况不会另外造成损失。 下面探讨每一比特信息量的价值。为此先求该信源的熵， 有：H(X)=R(0)=0.98lb20.98–0.02lb20.02=0.142 比特/块 该式说明，如果从每块PCB板上获取0.142比特的信息 量，就可以避免一切细小的损失。 可能造成的最大损失为 98元/块，所以0.142比特信息量 的最大价值为98元，则每一比特信息的最大价值为

HEVCH.265理论知识（10）——率失真优化这一章很重要一、率失真优化的目标就是：1、在一定的码率（码率也表现为数据压缩的程度，码率越低，数据压缩的越厉害）限制下，减少视频的失真（减少失真就会提高视频的主观质量，看的人就会喜欢o(*≧▽≦)ツ）！2、在允许一定的失真下，把视频压缩到最小！二、编码器的率失真优化的工作主要是按照某种策略选取最优的编码参数，以实现最优的编码性能三、率失真函数RD 是在假定信源在给定的情况下，在用户可以容忍的失真度内再现数据消息所必需获得的最小平均互信信息，直白一点说，就是在允许的失真内，数据可以压缩的极限！我们对数据的压缩不能超过这个极限，否则，数据在解码端就不能再现了！因此我们的工作就是，在不超过这个极限的前提下，尽量使数据压缩得更小！四、在多种候选编码参数中选择最优的编码参数！1、视频失真的度量：ssd、sad、mse、psnr都可以度量失真度！2、使用一组特定的编码参数对视频进行编码的时候，我们可以获得该编码参数的条件下的码率和失真，即率失真性能（R，D）3、遍历所有可行的编码参数组合就可以得到所有的（R,D），在满足一定的码率限制（R）的情况下，找到是的失真（D）最小的一组参数！即最优的参数4、拉格朗日方法就是率失真优化中最常用的优化工具5、根据目标码率，先确定量化参数QP，然后根据QP确定出拉格朗日参数λ！然后根据λ和一组编码参数计算失真五、率失真优化在编码器中不同层次（CTU级、CU级、PU级、TU级等）的运用。

附：CTU可以划分成为CU、CU在预测的时候被划分成为PU、CU在变换量化的时候被划分成为TU1、在CTU级的应用。

在总比特数R受限的情况下选择一个CU （CU从8x8到64x64）的划分模式，使得一个CTU的总失真D最小。

2、在CU级的应用。

在总比特数R受限的情况下，适当的选择选择PU划分模式和TU（TU从4x4到32x32）划分模式，使得一个CU 的总失真D最小。