数学选修2-1苏教版：第1章 常用逻辑用语 章末复习

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章末复习

学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．

1．命题及其关系

(1)判断一个语句是否为命题，关键是：

①为陈述句；

②能判断真假．

(2)互为逆否命题的两个命题的真假性相同．

(3)四种命题之间的关系如图所示．

2．充分条件、必要条件和充要条件

(1)定义

若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．

(2)特征

充分条件与必要条件具有以下两个特征：

①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；

②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．

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3．简单的逻辑联结词与量词

(1)常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．

(2)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．

(3)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．

(4)含有全称量词的命题叫做全称命题，含有存在量词的命题叫做存在性命题．

1．已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么綈p：∃x＞0，x3≤0.(√)

2．命题“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”的否命题是假命题．(√)

3．“φ＝π2”是“y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件．(×)

4．“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题是真命题．(×)

类型一 命题及其关系

例1 (1)有下列命题：

①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；

②“矩形的对角线相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”．

其中是真命题的是________．(填序号)

考点 四种命题的真假判断

题点 利用四种命题的关系判断真假

答案 ①③

(2)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是________．(填序号)

①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④p∨(綈q)．

考点 “p∨q”形式的命题

题点 判断“p∨q”形式命题的真假

答案 ①

解析 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故①为真命题． 最新中小学教案、试题、试卷

反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同．

(2)“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．

跟踪训练1 (1)命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是________．

考点 四种命题

题点 四种命题概念的理解

答案 若－1≤x≤1，则x2≤1

(2)设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是________．(填序号)

①p为真；②q为真；③p∧q为假；④p∨q为真．

考点 “p∧q”形式的命题

题点 判断“p∧q”形式命题的真假

答案 ③

解析 由题意知p是假命题，q是假命题，因此只有③正确．

类型二 充分条件与必要条件

例2 已知p：x－5x－3≥2，q：x2－ax≤x－a，若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围．

解 由p得1≤x<3，

∵q：x2－ax≤x－a，∴x2－(a＋1)x＋a≤0，

即(x－1)(x－a)≤0，

①当a<1时，a≤x≤1；

②当a＝1时，x＝1；

③当a>1时，1≤x≤a.

∵綈p是綈q的充分条件，∴q是p的充分条件．

设q对应集合A，p对应集合B，则A⊆B，

当a<1时，A⊈B，不合题意；

当a＝1时，A⊆B，符合题意；

当a>1时，1≤x≤a，要使A⊆B，则1

综上所述，a的取值范围为[1,3)．

反思与感悟 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即q的充分条件是p，p的必要条件是q.如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p的必然结果是q，q是p的必然结果．则p⇏q易表述为以下几种说法：

p是q的不充分条件，q的不充分条件是p； 最新中小学教案、试题、试卷

q是p的不必要条件，p的不必要条件是q.

跟踪训练2 已知命题p：(4x－3)2≤1，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

解 由(4x－3)2≤1，得－1≤4x－3≤1，即12≤x≤1.

由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得(x－a)(x－a－1)≤0，即a≤x≤a＋1.

因为p是q的充分条件，所以 a≤12，a＋1≥1，解得0≤a≤12.

即实数a的取值范围为0，12

类型三 等价转化思想的应用

例3 已知c>0且c≠1，设p：函数y＝logcx在(0，＋∞)上是减少的；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R.如果p和q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围．

解 函数y＝logcx在(0，＋∞)上是减少的⇔0

不等式x＋|x－2c|>1的解集为R

⇔函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.

∵x＋|x－2c|＝ 2x－2c，x≥2c，2c，x<2c，

∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c，

∴2c>1且c≠1，得c>12且c≠1.

如果p真q假，则 0

如果q真p假，则 c＞1，c>12且c≠1，解得c＞1.

∴c的取值范围为0，12∪(1，＋∞)．

反思与感悟 等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．

跟踪训练3 已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0，命题q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

(2)若m＝5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围． 最新中小学教案、试题、试卷

解 (1)由命题p：(x＋1)(x－5)≤0，解得－1≤x≤5.

命题q：1－m≤x<1＋m(m>0)．

∵p是q的充分条件，∴[－1,5]⊆[1－m,1＋m]，

∴ 1－m≤－1，5≤1＋m，解得m≥4，

则实数m的取值范围为[4，＋∞)．

(2)∵m＝5，∴命题q：－4≤x≤6.

∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，

∴命题p，q为一真一假．

当p真q假时，可得 －1≤x≤5，x<－4或x＞6，无解；

当q真p假时，可得 x<－1或x>5，－4≤x≤6，

解得－4≤x<－1或5

因此x的取值范围是[－4，－1)∪(5,6]．

类型四 分类讨论思想的应用

例4 命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

解 设g(x)＝x2＋2ax＋4，

由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，

故Δ＝4a2－16<0，∴－2

又∵函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，

∴3－2a>1，∴a<1.

又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．

①若p真q假，则 －2

②若p假q真，则 a≤－2或a≥2，a<1，∴a≤－2.

综上可知，所求实数a的取值范围

为(－∞，－2]∪[1,2)．

反思与感悟 分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点．这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一最新中小学教案、试题、试卷

定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题相联系．解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想．

跟踪训练4 已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．

解 方法一 由题意知，p和q有且只有一个为真．p为真时，0＜a＜1；∵y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a－3)2－4＞0，得a＜12或a＞52，即q为真时，0

(1)当p为真，且q为假时，a∈(0,1)∩12，1∪1，52，即a∈12，1.

(2)当p为假，且q为真时，a∈(1，＋∞)∩0，12∪52，＋∞，即a∈52，＋∞.

综上，a的取值范围为12，1∪52，＋∞.

方法二 ∵A＝{a|p(a)}＝{a|0

B＝{a|q(a)}＝a 052，

∴p和q有且只有一个为真⇔a∈A∪B且a∉A∩B，

故a的取值范围为12，1∪52，＋∞.

1．设命题p：∃n∈N*，n2>2n，则綈p为_______________．

答案 ∀n∈N*，n2≤2n

解析 将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”．

2．已知命题p：|x＋1|>2，命题q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

答案 [1，＋∞)

解析 綈p是綈q的充分不必要条件的等价命题为q是p的充分不必要条件，即q⇒p，而p⇏q，命题p化简为x>1或x<－3，所以当a≥1时，q⇒p.

3．给出以下四个判断：

①若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题；

②命题“若x≥4且y≥2，则x＋y≥6”的逆否命题为“若x＋y＜6，则x＜4且y＜2”；