苏教版高中数学选修2-2 1.3.2极大值与极小值(二) 学案
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1.3.2 极大值与极小值(二)
学习目标 1.进一步理解极值的概念.2.会应用极值解决相关问题．
1．极大值与导数之间的关系
x
x1左侧 x1 x1右侧
f′(x) f′(x)>0 f′(x)＝0 f′(x)<0
f(x) 增↗ 极大值f(x1) ↘减
2.极小值与导数之间的关系
x x2左侧 x2 x2右侧
f′(x) f′(x)<0 f′(x)＝0 f′(x)>0
f(x) ↘减
极小值f(x2) 增↗
类型一 求函数的极值
例1 设f(x)＝aln x＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解 (1)f′(x)＝ax－12x2＋32.
由题意，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
从而a－12＋32＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋12x＋32x＋1(x>0)，
f′(x)＝－1x－12x2＋32
＝3x2－2x－12x2＝3x＋1x－12x2.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－13(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3.
反思与感悟 (1)研究函数首先要研究其定义域．
(2)令导函数等于零，求出使导函数等于零的自变量的值．
(3)正确列出表格，使区间不重不漏，界点清楚．
跟踪训练1 设函数f(x)＝ax3＋32(2a－1)x2－6x(a∈R)．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程；
(2)当a＝13时，求f(x)的极大值和极小值．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x3＋32x2－6x，f′(x)＝3x2＋3x－6，
k＝f′(－1)＝3－3－6＝－6，f(－1)＝132，
所以y－132＝－6(x＋1)，
即12x＋2y－1＝0为所求切线的方程．
(2)当a＝13时，f(x)＝13x3－12x2－6x，
f′(x)＝x2－x－6.
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 223 ↘ －272 ↗
所以f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数，
所以f(x)的极大值为f(－2)＝223，f(x)的极小值为f(3)＝－272.
类型二 极值的综合应用
例2 已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝13f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
解 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
13f′(x)＋5x＋m＝13(3x2－12x＋9)＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m， 则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点，
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0得x＝23或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，23) 23 (23，4) 4 (4，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) ↗ 6827－m ↘ －16－m ↗
则函数g(x)的极大值为g(23)＝6827－m，极小值为g(4)＝－16－m.
∴由g(x)的图象与x轴有三个不同交点，
得 g23＝6827－m>0，g4＝－16－m<0，解得－16
反思与感悟 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．
跟踪训练2 已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？
解 (1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，
得f′(x)＝－3x2＋3，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；
极大值为f(1)＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示．
这里，极大值a＋2大于极小值a－2.
(2)结合图象，当极大值a＋2＝0或极小值a－2＝0时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，
即方程f(x)＝0恰有两个实数根．
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值．
答案 1
解析 由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；
在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.
即f(x)在(a，x1)内单调递增，
在(x1，x2)内单调递减，
在(x2，x3)内单调递增，
在(x3，b)内单调递减．
所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值，
极小值为f(x2)．
2．关于函数f(x)＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是________．
①f(x)是增函数；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
答案 ③④
解析 f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.
易知当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)，极大值是f(0)，极小值是f(2)．
3．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0＝________.
答案 －1ln 2 解析 f′(x)＝2x＋x·2xln 2，令f′(x)＝0，得x＝－1ln 2.
4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．
答案 9
解析 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝2a18＝1，所以a＝9.
5．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是________．(填序号)
①∀x∈R，f(x)≤f(x0)；
②－x0是f(－x)的极小值点；
③－x0是－f(x)的极小值点；
④－x0是－f(－x)的极小值点．
答案 ④
解析 不妨取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除①；
取函数f(x)＝－x(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，∴排除②；
－f(x)＝x(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，
∴排除③，
∵－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x0应为函数－f(－x)的极小值点，∴填④.
1．已知函数极值情况，逆向应用，确定函数的解析式，进而研究函数性质时，需注意
(1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
2．运用极值研究曲线交点问题时要注意运用数形结合、等价转化等数学思想方法．
课时作业
一、填空题
1．已知函数f(x)＝13x3＋x2－2ax＋1.若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________． 答案 (32，4)
2．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为________．
答案 8
解析 y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，
令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，
经判断知极大值为f(1)＝2＋m＝10，m＝8.
3．函数f(x)＝13x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
答案 (－43，283)
解析 ∵f(x)＝13x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝283；当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－43.
且f(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2,2)上递减，在(2，＋∞)上递增．
根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，
结合图象知－43
4．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
答案 (0，12)
解析 f′(x)＝(ln x－ax)＋x(1x－a)
＝ln x＋1－2ax(x>0)，
