bessel方程

贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数y(x)：

这类方程的解是无法用初等函数系统地表示的。

贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数α变化而变化（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。实际应用中最常见的情形为α是整数n，对应解称为n 阶贝塞尔函数。

尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0 点的不光滑性）。

历史

贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数 [1] [2]。

现实背景和应用范围

贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式 α = n；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式

α = n+½），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：

● 在圆柱形波导中的电磁波传播问题；

● 圆柱体中的热传导问题；

● 圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；

在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在信号处理中的调频合成（FM synthesis）或凯泽窗（Kaiser window）的定义中，都要用到贝塞尔函数。

定义 贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了表示这些解的不同形式。下面分别介绍这些不同类型的贝塞尔函数。 第一类贝塞尔函数

第３４卷第５期　２０１５年５月　绵阳师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍｉａｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉ　Ｖｏ１．３４　Ｎｏ．５　Ｍａｙ．，２０１５　

求解一类Ｒｉｃｃａｔｉ—Ｂｅｓｓｅｌ方程边值问题的新方法　

王　强，李顺初　，蒲俊　

（西华大学应用数学研究所，四川成都６１００３９）　

摘要：针对Ｒｉｃｃａｔｉ—Ｂｅｓｓｅｌ方程一类边值问题进行求解，获得了解式的相似核函数和相似结构，通过进一步　分析，发现求解该类边值问题可先利用Ｒｉｃｃａｔｉ—Ｂｅｓｓｅｌ方程的两个线性无关解构造引解函数，再结合右边值条件的　系数组装得到相似核函数；通过相似核函数和左边值条件的系数组装就可以得到Ｒｉｃｃａｔｉ—Ｂｅｓｓｅｌ方程边值问题的　解，由此提出了解决该类Ｒｉｃｃａｔｉ—Ｂｅｓｓｅｌ方程边值问题的一种新思路——相似构造．　关键词：边值问题；Ｒｉｃｃａｔｉ—Ｂｅｓｓｅｌ方程；相似核函数；相似结构；引解函数　中图分类号：Ｏ１７５　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７２－６１２ｘ（２０１５）０５４３００１－０７　

０　引言　

在考虑微分方程问题时，首先解决的问题是如何给定一个微分方程的通解或特解．至今，人们已经给　出了很多微分方程求解的一般方法…，例如：一阶微分方程的分离变量法．而微分方程的边值问题最初就　

是通过分离变量法解决数学物理方程时提出的，由于微分方程的边值问题在相应的工程实际问题中有着　广泛的应用，近些年对微分方程边值问题解的研究仍然受到广泛的关注　Ｊ．在数论中，我们知道任一实数　

均可表示为连分式的形式　；而在微分方程中一些边值问题的解具有相似结构，即它的解也可以写成几个　

连分式相乘的形式，这一结论早在２００４年以来文献［６，１４］就已经证实，那么Ｒｉｃｃａｔｉ—Ｂｅｓｓｅｌ方程边值问题　

的解是否也具有相似结构呢？　

Ｒｉｃｃａｔｉ—Ｂｅｓｓｅｌ方程被称为特殊的Ｒｉｃｃａｔｉ方程，而且对Ｒｉｃｃａｔｉ方程的求解很多人已经做过大量的研　究　５１　］，Ｒｉｃｃａｔｉ方程在常微分方程的积分法中有着特殊的地位，并且Ｒｉｃｃａｔｉ—Ｂｅｓｓｅｌ方程的解Ｒｉｃｃａｔｉ—　

贝塞尔函数的有关公式

贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，广泛应用于物理学、工程学和数学物理学等领域。贝塞尔函数一族的定义包括第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数以及修正的贝塞尔函数。本文将介绍这些贝塞尔函数的基本定义和性质，并给出一些常见的贝塞尔函数公式。

一、第一类贝塞尔函数(Bessel Function of the First Kind)

第一类贝塞尔函数是非负整数阶的解特殊二阶常微分方程贝塞尔方程的解。第一类贝塞尔函数通常用J_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。它的定义为：

J_n(x) = (1/π) ∫[0,π] cos(nθ - xsinθ) dθ

其中,J_0(x)是常数函数。

第一类贝塞尔函数有一些重要的性质：

1.对于所有的实数x和n≥0，J_n(x)是实函数。

2.J_0(x)在x=0处取得最大值，而在其他地方有若干个零点。

3.J_n(x)在x→0时的行为类似于x^n，即J_n(x)~(x/2)^n/(n!)。

第一类贝塞尔函数的递推公式:

J_{n+1}(x)=(2n/x)J_n(x)-J_{n-1}(x)

其中J_{1}(x)=(2/x)J_0(x)。

第一类贝塞尔函数的导数计算公式:

dJ_n(x)/dx = J_{n-1}(x) - (n/x) J_n(x) 利用这个公式可以计算贝塞尔函数的导数。

二、第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind)

第二类贝塞尔函数是贝塞尔方程的另一类解，通常用Y_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。第二类贝塞尔函数的定义为：

Y_n(x) = (1/π) ∫[0,π] sin(nθ - xsinθ) dθ

其中,Y_0(x)是称作“诺依曼函数”。

第二类贝塞尔函数的性质如下：

1.对于所有的实数x和n≥0，Y_n(x)是实函数。

2.Y_0(x)在x=0处不取得最大值，而在其他地方有若干个零点。

贝塞尔函数

贝塞尔函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（Bessel function of

the first kind）。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：

这类方程的解是无法用初等函数系统地表示。

由于贝塞尔微分方程是二阶常微分方程，因此需要两个独立的函数来表示其标准解函数。 通常，第一种贝塞尔函数和第二种贝塞尔函数用于表示标准解函数：

注意，由于 在 x=0 时候是发散的（无穷），当取 x=0 时，相关系数 必须为0时，才能获得有物理意义的结果。

贝塞尔函数的特定形式随上述方程式中的任何实数或复数α发生变化（相应地，α称为相应贝塞尔函数的阶数）。 实际应用中最常见的情况是α为整数n，相应的解称为n阶贝塞尔函数。

尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0 点的不光滑性）。

贝塞尔函数也被称为柱谐函数、圆柱函数或圆柱谐波，因为他们是于拉普拉斯方程在圆柱坐标上的求解过程中被发现的。

贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数 。