矩阵相似对角化方法

第２卷第２期　２００２年６月　柳州职业技术学院学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＬＩＵＺＨＯＵ　ＶＯＣＡＴＩＯＮＡＬ＆ＴＥＣＨＮＩＣＡＬ　ＣＯＬＬＥＧＥ　Ｖｏ１．２　Ｎｏ．２　Ｊｕｎｅ．２ｏｏ２　

分块矩阵的对角化方法　

李大林　

（柳州职业技术学院基础部，广西，柳州５４５００６）　

摘要：本文定义了分块矩阵的初等变换与初等分块矩阵，给出了非满秩情况下分块矩阵可以对角　

化的条件。　

关键词：分块矩阵；初等变换；对角化。　

中图分类号：Ｏｌ２】．１５　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１ｍ１０８４（２００２）ｏ２—０ｏ６４—ｏ４　

矩阵的初等变换与分块是两个不同的经典问题。对于分块矩阵（Ａｉｉ）：　：，文献［１］到［３］，均采用类　

，Ａ，，０　、　似矩阵初等变换的方法，在Ａ】　可逆的条件下，直接将其对角化为（０“－ＡｎＡ￣ｌＡ２１＋Ａ：：Ｊ。本文试图在　

可逆性及阶数方面进行推广。　

设　为数域，Ａ＝（口　）　，口　∈Ｆ，把Ａ分成ｓ行，ｔ列的分块矩阵，记为（Ａ　记Ａ　的行数记为ｈ　

（ｉ），列数为ｚ（＿『），则有　（ｉ）＝ｍ，．Ｚｌ（ｊ）＝ｎ。　

定义１设　为ｍ×ｎ矩阵，对于ｍ×ｍ矩阵　，如果ｒａｎｋ（ＨＢ）＝ｒａｎｋ（Ｂ），则称　为　的左保秩因　

子；对于ｎ×ｎ矩阵　，如果ｒａｎｋ（ＢＨ）＝ｒａｎｋ（Ｂ），则称　为　的右保秩因子。　

定理１设Ｂ＝Ｐ　、ｌＱ，则（１）Ｈ为Ｂ的左保秩因子当且仅当存在可逆矩阵Ｒ，使Ｈ＝Ｒ　ｌ，●　，●－　

～．（２）Ｈ为Ｂ的右保秩因子当且仅当存在可逆矩阵Ｌ’使Ｈ＝Ｑ　＇其中Ｈｎ为　

ｒ阶可逆方阵，Ｐ，Ｑ可逆，Ｈ　Ｈ　，Ｈ　为适当阶数的任意矩阵。　

证明：ｃ　，充分性。ＨＢ＝Ｒ（　：　）Ｐ　Ｐ（　三）Ｑ＝Ｒ（　：三）Ｑ，由于　为ｒ阶可逆方阵，Ｒ、Ｑ　

可逆，故ｒａｎｋ（ＨＢ）＝ｒａｎｋ（　）。必要性。设　不可逆，显然当ｒａｎｋ（　，　）＜ｒ时，ｒａｎｋ（Ｒ　

ｌ　：Ｄ）Ｑ）（，，￣ｒａｎｋ（ｎＢ）＃ｒａｎｋ（Ｂ）。ｆｌＪｋ￣Ｊ　ｒａｎｋ（ｎ［１，磁）＝ｒ，故可适当调整Ｒ的各行，使　可逆。　

相似对角化的判定条件

相似对角化是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域都有广泛的应用。那么，如何判断两个矩阵是否相似对角化呢？下面是判定条件：

设$A,B$是$n$阶方阵，则$A,B$相似的充分必要条件是存在可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP=P^{-1}BP=D$，其中$D$是对角矩阵。

简言之，如果两个矩阵可以通过一个可逆矩阵相似变换为对角矩阵，则它们就是相似对角化的。

需要注意的是，上述判定条件只是一个充分必要条件，也就是说，如果两个矩阵满足上述条件，则它们一定是相似对角化的；但是，如果两个矩阵不能满足上述条件，也并不意味着它们一定不是相似对角化的。因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况综合使用各种方法进行判断和求解。

总之，相似对角化是线性代数中一个非常重要的概念，它的应用非常广泛，涉及到很多领域。在学习过程中，我们需要掌握相似对角化的判定条件，并结合具体例子进行理解和应用。

２０ｌ３年　第３Ｏ卷　４月　第２期　三明学院学报　Ｊ０ＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＳＡＮＭＩＮＧ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ａｐｒ．２０１３　Ｖｏ１．３０　Ｎｏ．２　

反对合矩阵的相似对角化　

黄益生。陈椰婷　

（三明学院信息科学学院，福建三明３６５００４）　

摘要：通过证明在复数域上每一个反对合矩阵都可以对角化．指出了全体ｎ阶反对合矩阵按矩阵的相似关系进　

行分类，一共可以分成ｎ＋１类。还证明了，在实数域上不存在奇数阶反对合矩阵，并且每一个偶数阶反对合矩阵都不　

可对角化，但是每一个２ｎ阶反对合矩阵都相似于ｄｉａｇ｛　，　，…，　），这里　＝０

．－

、，１），　＝１，２，…，ｎ，因而全体２　阶反　

对合实矩阵按矩阵的相似关系进行分类，只有一种类型。同时，指出了每一个非零偶数维实线性空间上的反对合变换　都有无穷多个。　关键词：反对合矩阵；反对合变换；矩阵：相似关系；分类　中图分类号：０１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—４３４３（２０１３）０２－０００１－０５　

Ｏｎ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｆｏｒ　Ｓｉｍｉｌａｒ　Ｄｉａｇ０ｎａｌｊｚａｔｉＯｎ　ｏｆ　Ａｎｔｉ－ｉｎｖｏｌｕｔｏｒｙ　Ｍａｔｒｉｃｅｓ　

ＨＵＡＮＧ　Ｙｉ—ｓｈｅｎｇ，ＣＨＥＮ　Ｙｅ－ｔｉｎｇ　

（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓａｎｍｉｎｇ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓａｎｍｉｎｇ　３６５００４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈａｔ　ｅｖｅｒｙ　ａｎｔｉ—ｉｎｖｏｌｕｔｏｒｙ　ｍａｔｒｉｘ　ｏｖｅｒ　ｔｈｅ　ｆｉｅｌｄ　ｏｆ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｎｕｍｂｅｒｓ　ｉｓ　ｄｉａｇｏｎａｌｉｚａｂｌｅ，　ａｎｄ　ｐｏｉｎｔ　ｏｕｔ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｗｈｏｌｅ　ａｎｔｉ－ｉｎｖｏｌｕｔｏｒｙ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ｗｉｔｈ　ｏｒｄｅｒ　ｎ　ｃａｎ　ｂｅ　ａｌｔｏｇｅｔｈｅｒ　ｐａｒｔｉｔｉｏｎｅｄ　ｉｎｔｏ　＋１　ｃｌａｓｓｅｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｅｎｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｉｍｉｌａｒ　ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｗｅ　ａｌｓｏ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅｒｅ　ｄｏｅｓ　ｎｏｔ　ｅｘｉｓｔ　ａｎｙ　ａｎｔｉ—ｉｎｖｏｌｕｔｏｒｙ　ｍａｔｒｉｘ　ｗｉｔｈ　ｏｄｄ　ｏｒｄｅｒ　

矩阵可逆、相似、相似对⾓化的含义

可逆的含义

定义：

单位矩阵

E

经过⼀次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵

解读：经过⼀次⾏变换或者⼀次列变换的矩阵

定理：

矩阵

A

可逆的充要条件是

A=P

₁

P

₂

P

₃

P

₄

…

解读：⼀个复杂矩阵可以被拆解成⽆限多个的简单矩阵的乘积，⽽每个简单矩阵都接近于单位矩阵

内在联系

综上，可以得出⼀条关系线，即：可逆矩阵

-

》初等矩阵

-

》单位矩阵

所以，可逆矩阵⾮零⾏的⾏数⼀定等于单位矩阵⾮零⾏个数，即r(A)=r(E)

可逆矩阵的⾏列式

单位矩阵每⼀⾏都有⼀个元素

“1”

，所以⾏列式不可能为

0

；

∵

|E|≠0

，

∴

可逆矩阵|A|≠0

相似的含义

定义：

矩阵

A

、

B

都是

n

阶矩阵，若存在可逆矩阵

P

使的

P¹AP=B

，则

A~B

解读：矩阵

A

可以变换成矩阵

B

，并且这个变换过程可以归结到单位矩阵

相似对⾓化

正向：

原始矩阵

A-

》变换

P-

》矩阵

B-

》对⾓矩阵

-

》特征值、特征向量

定理：两矩阵相似，则两矩阵多项式、特征值均相同

推论：矩阵与对⾓矩阵相似，则对⾓矩阵主对⾓线上的元素是矩阵的特征值

∴

如果求出了特征值，那么这个对⾓矩阵也就跟着求出

逆向：原始矩阵

A

《

-

变换

P

《

-

矩阵

B

《

-

对⾓矩阵《

-

特征值、特征向量

定理：如果有

n

个线性⽆关的向量，则矩阵可以被相似对⾓化

推论：如果有

n个不相等的特征值，则矩阵可以被相似对⾓化

对阵矩阵对⾓化

⽅向：对称矩阵

-

》变换矩阵

P-

》对⾓矩阵

-

》特征值、特征向量

定理：对称矩阵的特征值都是实数

不相等的特征值

对应的特征向量之间

两两正交

对称阵

⼀定可以

通过正交变换得到对应的相似对⾓阵

推论：相等的特征值

对应的特征向量之间

线性⽆关，这些特征向量需要单位化、正交化

才可以成为变换矩阵

P

⾥的

列向量

对称阵

⼀定有

正交阵

使得

P−1

AP =

PT

AP (=

Λ)

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