第一讲 二元一次方程(组)
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第一讲 二元一次方程（组）
1、 【知识点梳理】
1、二元一次方程
【1】含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做
二元一次方程。
【2】使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次
方程的一个解。
2、二元一次方程组
【1】由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做
二元一次方程组。
【2】同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方
程组的解。
3、解二元一次方程组
【1】消元就是把二元一次方程组化为一元一次方程。消元的方法是代
入，这种解方程组的方法称为代入
消元法，简称代入法。
用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是：
I、将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知
数的代数式表示；
II、用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次
方程，求出一个未知数的值；
III、把这个未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值；
IV、写出方程组的解。
【2】对于二元一次方程组，当两个方程组的同一个未知数的系数相同或
是互为相反数时，可以通过把两个方程的两边进行相加或相减来消
元，转化为一元一次方程求解。通过将两个方程的两边进行相加或相
减，消去其中一个未知数转化为一元一次方程。这种解二元一次方程
组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
用加减法消元法解二元一次方程组的一般步骤是：
I、将其中一个未知数的系数转化为相同（或互为相反数）；
II、通过相加（或相减）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；
III、解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；
IV、将求得得未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个
未知数的值；
V、写出方程组的解。
4、应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为：
【1】理解问题（审题，搞清已知和未知，分析数量关系）【2】制定计划（考虑如何根据等量关系设元，列出方程组）
【3】执行计划（列出方程组并求解，得到答案）
【4】回 顾（检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合
题意）
5、二元一次方程组应用题分类
【1】工程问题：工作量=工作效率×工作时间
一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单
位"1"的工程问题
【2】行程问题：(1) 相遇问题：甲的路程+乙的路程=甲乙相距的距离
（2）追赶问题 ：甲的路程-乙的路程=甲乙相距的距离
（3）航速问题 ：顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度
+水（风）速
逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度--水（风）
速
【3】和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量
【4】产品配套问题：加工总量成比例
【5】浓度问题：溶液×浓度=溶质
【6】银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税
后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率
【7】利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价
×100%
【8】盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的
总量
【9】数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特
征及其表示
【10】几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式
【11】年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的
【12】增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量，原量×（1＋减
少率）=减少后的量
2、 【例题解析】
【例1】已知与是同类项，求和的值．
【例2】已知满足方程组的，值的和等于2，求的值
【例3】已知，求的值．
【例4】现要加工400个机器零件，若甲先做1天，然后两人再共做2天，
则还有60个未完成；若两人齐心合作3天，则可超产20个.问甲、乙两人
每天各做多少个零件？
【例5】某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母
20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产
螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？
三、【课堂习题】
1、下列属于二元一次方程组的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
2、关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是（
）
（A）2； （B）-1； （C）1； （D）-2；
3、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（
）
（A）15x-3y=6 （B）4x-y=7 （C）10x+2y=4 （D）20x-4y=3
4、李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度
是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时
间分别为x，y分钟，列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5、已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（ ）
（A）a=-3,b=-14 （B）a=3,b=-7
（C）a=-1,b=9 （D）a=-3,b=14
6、若x、y均为非负数，则方程6x=-7y的解的情况是（ ）
（A）无解 （B）有唯一一个解
（C）有无数多个解 （D）不能确定
7、已知，则 x 与 y 之比是（ ）
A. 5 ：2 B. 3 ：2 C. 4 ：3 D. 2 ：5
8、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x2-3xy的值是（ ）
（A）14 （B）-4 （C）-12 （D）12
9、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（ ）
（A），b=-4 （B），b=4
（C），b=4 （D），b=-4
10、在国家倡导的“阳光体育”活动中，老师给小明30元钱，让他买三样
体育用品；大绳，小绳，毽子．其中大绳至多买两条，大绳每条10
元，小绳每条3元，毽子每个1元．在把钱都用尽的条件下，买法共有
（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
【填空题】
1、在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=________，当y=-2时，x=_______
若x、y都是正整数，那么这个方程的解为___________；
2、方程2x+3y=10中，当3x-6=0时，y=_________；
3、若是方程组的解，则；
4、如果x=1，y=2满足方程，那么a=____________；
5、已知方程组有无数多解，则a=______，m=______；
6、若4x+3y+5=0，则3(8y-x)-5(x+6y-2)的值等于_________；
7、已知a-3b=2a+b-15=1，则代数式a2-4ab+b2+3的值为__________；
8、某家电商场一次出两种不同品牌的电视机，其中一台赚了12%另一台赔了12%，且这次售出的两台电视机的售价都是3080元，那么，在这
次买卖中商场的利润为____________元．
【解答题】
1、； 2、；
3、 4、；
5、； 6、；
7、a为何值时，方程组的解x ,y的值互为相反数，并求它的值。
8、（1）m、n为何值时，与是同类项。
（2）已知和是同类项，求x，y。
9、某牛奶加工厂现有100吨鲜牛奶准备加工后上市销售，该工厂的加工
能力是，如果制成奶片每天可加工鲜奶10吨，如果制成酸奶每天可加工
鲜奶30吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限
制，这批牛奶必须在4天内全部加工完毕．该厂应安排几天制奶片，几
天制酸奶，才能使任务在4天内正好完成？如果制成奶片销售每吨奶可
获利2 000元，制成酸奶销售每吨奶可获利1 200元，那么该厂出售这些
加工后的鲜牛奶共可获利多少元？
10、某校七年级（7）班学生用班会费向某一出版社邮购50本数学课外读
物，每本书价为7.50元，根据出版社规定邮购10本以下（包括10本）
需要另加邮购费3元；邮购10本以上（不包括10本）需加书费的15%
的邮购费，在邮局汇款时，每100元汇款需付汇款1元，汇款不足100
元时．按100元汇款付汇费．
1. 经班委讨论有两种不同的邮购方案：方案一是每次邮购10
本，分5次邮购；方案二是一次性邮购50本，请求出两种不
同邮购方案所需的费用？
2. 若邮购的本数分别为60本，70本时，请比较用上述两种不同
邮购方案每本书的差价，并求出差价，从而说明采用哪种方
案邮购更省钱？
