八年级轴对称与垂直平分线

轴对称与垂直平分线知识点一（轴对称）【知识梳理】1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

如下图：2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

3、轴对称和轴对称图形的区别和联系：区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。

②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。

联系：①都沿某条直线对折，图形重合。

②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。

【例题精讲】辨别对称图形、找对称轴1、下列各图，你能找出它们的对称轴吗？2、下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个．．不同？．．与其他三个这个图形是：（写出序号即可）【课堂练习】1、判断下列图形哪些是轴对称图形，如果是，请找出所有对称轴。

2、下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（）3、如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分），其中不是轴对称图形的是（）A B C D E知识点二（轴对称和轴对称图形的性质）【知识梳理】1、轴对称的性质：① 由一个平面图形可以得到它关于一条直线l 成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同）② 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l 的对称点 ③ 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分2、轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.3、平面直角坐标系中的轴对称： （1）),(),(b a x b a -横不变，纵反向轴对称关于 （2）),(),(b a y b a -横反向，纵不变轴对称关于【例题精讲】1、如图，ΔABC 与ΔA 'B 'C '关于直线l 对称，则∠B 的度数为 （ ）2、（C 组联盟·期中）点P （-1,2）关于y 轴对称点的坐标为 .3、（江岸·期中）已知点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标是(1，2)，则点P 的坐标是__________4、作图题：（不要求写作法）如图，△ABC 在平面直角坐标系中，其中，点A 、B 、C 的坐标分别为A （-2，1），B （-4，5），C （-5，2）．（1）作△ABC 关于直线l ：x=-1对称的△A 1B 1C 1，其中，点A 、B 、C 的对应点分别为A 1、B 1、C 1； （2）写出点A 1、B 1、C 1的坐标．A ．30°B ．50°C ．90°D ．100°5、如图所示在平面直角坐标系中，A（-1,4），B（-3,3），C（-2,1），直线m上每个点的横坐标都为1. （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;（2）画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；（3）直接写出点M（a，b）关于直线m的对称点M1的坐标.【课堂练习】1、在如图所示的平面坐标系中，已知点A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（12，1），E（4，0）。

关于x轴的对称点A′（____，____）B′（___，____）C ′（•____，•____） D′（___，____）E′（____，____）．关于y轴的对称点A″（___，____）B″（___，____）C″（•___，•___） D″（___，___）E″（____，_____）．2、如图，直线L是四边形ABCD的对称轴，若AB CD=，有下面的结论：①AB CD∥②AC BD⊥③AO OC=④AB BC⊥，其中正确的结论有_______（第2题图）（第3题图）（第4题图）3、在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？4、（硚口·期中）如图，在平面直角坐标系中，A（-1,5），B（-1,0），C（-4,3）.（1）请画出△ABC关于y轴对称的△DEF;（其中D,E,F分别是A,B,C 的对应点）（2）直接写出(2)中F点的坐标为；（3）若直线l经过点(0，-2)且与x轴平行，则点C关于直线l的对称点的坐标为 ;（4）在y轴上存在一点P，使PC－PB最大，则点P的坐标为 .知识点三（线段的垂直平分线的性质及判定）【知识梳理】1、定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

如图1，∵CA＝CB，直线m⊥AB于C，∴直线m是线段AB的垂直平分线。

2、性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

如图2，∵CA＝CB，直线m⊥AB于C，点P是直线m上的点。

∴PA＝PB 。

3、判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图2，∵PA＝PB，直线m是线段AB的垂直平分线，∴点P在直线m上。

图3 4、作线段AB的垂直平分线，如图3（1）分别以点A 、B 为圆心，以大于AB 的一半长为半径画弧(为什么?)交于点E 、F ； （2）过点E 、F 作直线。

则直线EF 就是线段AB 的垂直平分线【例题精讲】1、如图，若P 是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，则（1）ΔPAC ≌_____； （2）PA ＝_____；（3）∠APC ＝_____； （4）∠A ＝_____．（第1题图）（第2题图）2、如图，AC AD =，BC BD =，则有（ ） A ．AB 垂直平分CDB ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分ACB ∠3、如图，已知40AOB ∠=︒，CD 为OA 的垂直平分线，则ACB ∠= 。

（第3题图） （第4题图） （第5题图）1、（C 组联盟·期中）如图4，在△ABC 中，BC=8，线段AB 的垂直平分线交BC 于点D ，线段AC 的垂直平分线交BC 于点F ，则△ADE 的周长等于 。

2、（外校·期中）如图，M 是线段AD 、CD 的垂直平分线交点，AB ⊥BC ，∠D =65°，则∠MAB +∠MCB 的大小是 。

6、（江岸·期中）（1）已知△ABC ，请画出△ABC 关于直线AC 对称的三角形 (2) 若△ABC 与△DEF 关于直线l 对称，请作出直线l （请保留作图痕迹）BCAPO DC BA(3) 如图，在矩形ABCD 中，已知点E 、F 分别在AD 和AB 上，请在边BC 上作出点G 、在边CD 作出点H ，使得四边形EFGH 的周长最小【课堂练习】1、如图，△ABC 中，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AC 于E ，BE=5厘米，△BCE 的周长是18厘米，则BC 。

（第3题图）（第1题图） （第2题图）2、（硚口·期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝110°，MP 、NQ 分别垂直平分AB 、AC ，交BC 于点P 、Q ，则∠PAQ 等于 。

3、（武昌· 期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E ．若∠DBC ＝33°，∠A 的度数为__________4、已知：如图，△ABC 中，∠ACB =90°，D 是BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，且在BD 的垂直平分线ED CBAEG 上，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上．5、（青山·期中）如图，在△ABC 中，射线AM 平分∠BAC(1) 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作BC 的中垂线，与AM 相交于点G ，连接BG 、CG (2) 在(1)条件下，∠BAC 和∠BGC 有何数量关系?并证明你的结论1、（江岸·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）2431FEDGCBAA ．B ．C ．D ． （第2题图）2、如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴，若∠AFC ＋∠BCF ＝150°，则 ∠AFE ＋∠BCD=_______。

3、如图,DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则∆EBC 的周长为________。

（第3题图） （第4题图） （第5题图）4、（江岸·期中）如图，△ABC 与△A ′B ′C ′关于直线l 对称，且∠A ＝105°，∠C ′＝30°，则∠B ＝________。

5、（硚口·期中）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ， AD ∥BC ， E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，AD′与CE 交于点F ．若∠B ＝50°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为___________。

6、（江汉·期末）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝100°，∠C ＝70°，点F 、E 分别在边AB 、BC 上，将△BFE 沿FE 翻折，得到△GFE ．若GF ∥AD ，GE ∥DC ，则∠B =________。

CE BDA（第6题图） （第7题图）7、（武珞路模拟· 期末）如图，点D 在AC 的垂直平分线上，AB ∥CD ．若∠D ＝130°，则∠________。

8、（外校·期中）如图，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别是A （－2,3），B （－6,0），C （－1,0） （1）直接写出A 点关于y 轴对称的点的坐标是_______________；（2）将ABC ∆向右平移六个单位后得111A B C ∆，则ABC ∆平移扫过的面积是_____________. （3）作出111A B C ∆关于x 轴对称的图形222A B C ∆，并直接写出点2A 的坐标为_____________.（第8题图） （第9题图）9、（东西湖高新·期末）如图,为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A 处出发， 先到公路m 上设卡检査，再到公路n 上设卡检査，最后再到达B 地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法。

BAnm11E D CBA 10、如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC 关于x•轴和y 轴对称的图形．11、如右图所示，直线MN 和DE 分别是线段 AB 、BC 的垂直平分线，它们交于P 点，请问PA 和 PC 相等吗?为什么?12、如图，△ABC 中，∠A=90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。