第二章 一元函数微分学
一元函数微分学在高等数学中占有重要地位，是考试的主要内容之一，应深入加以理解。在运算方面，应掌握导数的四则运算法则，以及隐函数、反函数和由参数方程确定的函数的求导公式等，并会求函数的微分。本章的另一个重点是利用导数研究函数及平面曲线的形态，并能解决一些简单的应用问题。第三，微分中值定理是导数应用的基础，应理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理及泰勒公式，了解并会用柯西中值定理。
§2-1 导数和微分
本节主要归纳总结求函数的导数和微分的主要方法。导数与微分虽然是两个不同的概念，但它们之间也有关系：d()()dfxfxx。因此只要求出()fx的导数，由此关系式即可得到它的微分。所以，下面主要是总结求函数的导数的方法。
一、重要概念和重要公式
1. 导数概念
000000000000()()()lim.()()()lim()()()lim.xxxfxxfxfxxfxxfxfxxfxxfxfxx导 数：左导数：，右导数：
000()()().fxxfxfx在处可导
2. 导数的几何意义与物理意义
000000000()()(())()()().1()().()fxyfxxfxyfxfxxxyfxxxfx为曲线在点，处切线的斜率，切线方程和法线方程分别为物理意义：导数可表示为质点的即时速度，棒状物质的线密度，电路中的电流强度，转动物体的角速度等. 3. 微分概念
000000()()()0d()()d()~d(0)d.()()().yfxxfxyyyfxxoxyfxxyyxyyxfxxfxx若函数在处可微即可导，且，则与的关系：由于，，故有，且，均为的一阶无穷小在处连续是在处可微即可导的必要但非充分条件
4. 幂指函数求导公式
()()[()]()[()ln()].vxvxuxuxvxux
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)
(总分：94.00，做题时间：90分钟)
一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：4，分数：8.00)
1.已知函数y=x5+3x4，则y'|x=2=______。
A.8
B.176
C.7
D.186
（分数：2.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：
2.若下列各极限都存在，其中等式不成立的是______ A． B． C． D．
（分数：2.00）
A.
B.
C. √
D.
解析：[解析] 利用导数f(x)在点x0处的定义进行判断。
选项A中，[*]，原等式成立。
选项B中，[*]，原等式成立。
选项C中，[*]，原等式不成立。
选项D中，[*]，原等式成立。
3.已知函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2，则等于______
A.0
B.1
C.2
D.4
（分数：2.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：[解析] [*]。
4.设f(x)在x0处不连续，则______
A．f'(x0)必存在 B．f'(x0)必不存在 C．必存在 D．必不存在
（分数：2.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：[解析] 根据函数的可导与连续的关系可知，f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处不可导。
二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：8，分数：24.00)
5.曲线在点(2，3)处的切线方程是 1。
（分数：3.00）
填空项1:__________________ （正确答案：[*]）
解析：
6.函数y=4x3-9x2+6x+1的驻点是 1。
（分数：3.00）
填空项1:__________________ （正确答案：[*]，1）
解析：
7.设，则f'(0)=______。
（分数：3.00）
填空项1:__________________ （正确答案：[*]）
一元函数微分学(二)
(总分100,考试时间90分钟)
一、单项选择
1. 设函数在在(-∞，+∞)上可导，则有______。 A．a=0，b=2 B．a=0，b=1 C．，b=2 D．a=e-1，b=1
2. 设函数f(x)在区间(-δ，δ)内有定义，若当x∈(-δ，δ)时，恒有|f(x)|≤x2，则x=0必是f(x)的______。A.连续而不可导点 B.间断点 C.可导点，且f'(0)=0 D.可导点，但f'(0)≠0
3. 设f(0)=0，则f(x)在点x=0可导的充要条件是______存在。 A． B． C． D．
4. 已知f'(x0)=5，，则k=______。A.1 B.0.6 C.-0.6D.-1
5. 已知f'(a)存在，则下列极限中，______=f'(a)。 A． B． C． D．
6. 设，则f(x)在x=0处______。A.无极限 B.不连续 C.f'-(0)，f'+(0)存在但不相等 D.f'(0)存在，但f'(x)在该点不连续
7. 设，则f(x)有不可导点______个。A.4 B.3 C.2 D.1
8. 设，f(x)=ln(1+x2)，则=______。A.-6B.-6ln2C.6ln2D.6
9. 设，则=______。 A． B． C． D．
10. 设方程隐含y=f(x)，则=______。 A． B． C． D．
11. 设方程隐含y=f(x)，则=______。 A． B．-1 C． D．
12. 函数y=(x-1)(|x-1|+|x+1|)的一阶导数是______。 A． B． C． D．
13. 设y=f(lnx)，f(x)存在二阶导数，则=______。 A． B． C． D．
14. ，则f"(x)+x[f'(x)]3=______。
A．1 B．0 C． D．
第二章一元函数微分学
一．
先回顾导数的定义：
设函数
在
内有定义，如果极限
存在，则称
在
处可导，
称为函数的可导点，
且称上述极限值为函数
在
处的导数，记为：
或
；或简记为．
注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义：
1
．
=；
2
．；
要特别关注
处的导数有特殊形式：
（更特别地，
要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。
函数
在处可导的充要
条件是对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、
右导出发.
例1
．已知=A，试求下列极限的值
（1
）
（2）
。
例2
．研究函数
在处的可导性.
解：因为
同理，可求得.
由于
，所以
在处不可导。（记住这个结论）
练习：设
在
处可导，求的值.
解：
（一）因为
在
处可导，从而
在处也连续.
所以，
即
（二）
由
得.
例3．
已知
，试求
在处的导数.
解：因为
，所以，
由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个型的极限.故求
导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值.
如把函数在一点处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家
要牢记基本导数表（共十五、六条）。这里的每一条都是根据导数的定义推出来
的，请大家在下面自己试着也推推.
如：
，求.
二．导数的几何意义
关于导数的几何意义，主要考察的题型有两种。一种题型是选择题或判断题。
比如：若函数
在
处可导，则曲线
在处必有切线；（√）；
反之，若曲线
在
处有切线，则
在处必可导，则（×）.
另一种题型是根据几何意义找切线.
例4
．求曲线
与直线垂直的切线.
解：设切点.
切线斜率
由题意，
即
故切线方程为
下面举一个复杂点的，把前面的知识点窜起来.
例5．
设为连续函数，
且
求曲线
在点处的切
线方程。（08年研究生考试题）
解：由于
，且
故（前面已讲过理由）
而，
所以，切线方程为
三．导数的四则运算
四则求导法则非常简单，但不注意的话，容易犯错误。下面举几个小例子.
例6
．求的导数.
注意：部分同学可能会犯下面的错误：.
例7
．设
求
此题应先化简再求导：
注意：个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混.
