广州一模-数学(文科)试题

2020年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5}，N ＝{1，3，6}，则集合{2，7}等于（）A．M∩N B．∁U（M∪N）C．∁U（M∩N）D．M∪N 2．（5分）某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本中高中学生人数为（）A．42人B．84人C．126 人D．196人3．（5分）直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定4．（5分）已知函数f（x）＝，则f[f（）]的值为（）A．4B．2C．D．5．（5分）已知向量＝（2，1），＝（x，﹣2），若|+|＝|2﹣|，则实数x的值为（）A．B．C．D．26．（5分）如图所示，给出的是计算+++…+值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞9B．i＞10C．i＞11D．i＞12 7．（5分）设函数f（x）＝2cos（x﹣），若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．4πB．2πC．πD．8．（5分）刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率π为3.14．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推．若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内接正十二边形的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα﹣cosα＝，0＜α＜π，则cos2α＝（）A．﹣B．C．D．﹣10．（5分）已知点P（x0，y0）在曲线C：y＝x3﹣x2+1上移动，曲线C在点P处的切线的斜率为k，若k∈[﹣，21]，则x0的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，3]C．[﹣，+∞）D．[﹣7，9] 11．（5分）已知O为坐标原点，设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上位于第一象限内的点．过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，若b ＝|F1F2|﹣2|OA|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．212．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A﹣BD﹣C的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．7πB．8πC．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知复数z＝﹣i．则z2+z4＝．14．（5分）已知函数f（x）＝在区间（0，+∞）上有最小值4，则实数k＝．15．（5分）已知直线a⊥平面α，直线b⊂平面β，给出下列5个命题①若α∥β，则a⊥b；②若α⊥β，则a⊥b：③若α⊥β，则a ∥b：④若a∥b，则α⊥β；⑤若a⊥b则α∥β，其中正确命题的序号是．16．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝，∠ABC＝，∠ADB＝，则tan∠ACD＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＝n﹣S n，设b n＝a n﹣1．（1）求a1，a2，a3；（2）判断数列{b n}是否是等比数列，并说明理由；（3）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点．将△ADE沿DE折起，使得AB⊥AD，得到如图2的四棱锥A﹣BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．（1）证明：AH上BD；（2）设点B到平面AED的距离为h1，点E到平面ABD的距离为h2，求的值．19．（12分）某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1夭到第5天的日产卵数据：第x天12345日产卵数y612254995（个）对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．x i x i2（lny i）（x i•lny i）155515.9454.75（1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于x 的回归方程为y＝e a+bx（其中e为自然对数的底数），求实数a，b 的值（精确到0.1）；（2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间（e6，e8）上的时段为优质产卵期，利用（1）的结论，估计在第6天到第10天中任取两天，其中恰有1天为优质产卵期的概率．附：对于一组数据（v1，μ1），（v2，μ2），…，（v n，μn），其回归直线μ＝α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣•．20．（12分）已知⊙M过点A（，0），且与⊙N：（x+）2+y2＝16内切，设⊙M的圆心M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程：（2）设直线l不经过点B（0，1）且与曲线C相交于P，Q两点．若直线PB与直线QB的斜率之积为﹣，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+a）e bx（b≠0）的最大值为，且曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线y＝x﹣2平行（其中e 为自然对数的底数）．（1）求实数a，b的值；（2）如果0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求证：3x1+x2＞3．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数，且θ∈（，））．（1）求C1与C2的普通方程，（2）若A，B分别为C1与C2上的动点，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＜3；（2）若不等式f（x）＜11﹣4x对任意x∈[﹣4，﹣]成立，求实数a的取值范围．2020年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】由已知求出M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，再求其补集，可判断结果．【解答】解：由已知：M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，∴∁U（M∩N）＝{1，2，4，5，6，7），∁U（M∪N）＝{2，7}．故选：B．2．【分析】设高中抽取人数为x，根据条件，建立比例关系进行求解即可．【解答】解：设高中抽取人数为x，则，得x＝42，故选：A．3．【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解：圆方程可整理为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心（﹣1，2），半径r＝2，直线恒过点（0，1），因为（0，1）在圆内，故直线与圆相交，故选：A．4．【分析】根据分段函数的解析式，先求出f（）的值，再求f[f（）]的值．【解答】解：因为f（x）＝，∴f（）＝ln；∴f[f（）]＝e＝．故选：D．5．【分析】由向量和向量的坐标求出向量和向量的坐标，再利用|+|＝|2﹣|，即可求出x的值．【解答】解：∵向量＝（2，1），＝（x，﹣2），∴＝（2+x，﹣1），＝（4﹣x，4），∵|+|＝|2﹣|，∴，解得x＝，故选：C．6．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出s的值，模拟循环过程可得条件．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：s＝0，n＝2，i＝1不满足条件，第一圈：s＝0+，n＝4，i＝2，不满足条件，第二圈：s＝+，n＝6，i＝3，不满足条件，第三圈：s＝++，n＝8，i＝4，…依此类推，不满足条件，第10圈：s＝+++…+，n＝22，i＝11，不满足条件，第11圈：s＝+++…++，n＝24，i＝12，此时，应该满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i＞11？．故选：C．7．【分析】由题意可知f（x1）≤f（x）≤f（x2），f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是半个周期．【解答】解：函数f（x）＝2cos（x﹣），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是函数的半周期，＝×＝2π；故选：B．8．【分析】设圆的半径为1，分别求出圆的面积及圆内接正十二边形的面积，由测度比是面积比得答案．【解答】解：设圆的半径为1，圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为＝30°，则圆内接正十二边形的面积为：12××1×1×sin30°＝3．圆的面积为π×12＝π，由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是．故选：C．9．【分析】把sinα﹣cosα＝平方可得2sinαcosα的值，从而求得sinα+cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）的值．【解答】解：∵sinα﹣cosα＝，0＜α＜π，∴平方可得：1﹣2sinαcosα＝，2sinαcosα＝＞0．∴α为锐角．∴sinα+cosα═＝＝＝，∴cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）＝﹣×＝﹣．故选：A．10．【分析】先求出y＝x3﹣x2+1的导数，然后求出曲线C在点P（x0，y0）处的切线斜率k，再根据k∈[﹣，21]求出x0的取值范围．【解答】解：由y＝x3﹣x2+1，得y'＝3x2﹣2x，则曲线C在点P（x0，y0）处的切线的斜率为，∵k∈[﹣，21]，∴∈，∴．故选：B．11．【分析】由角平分线的性质可得延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，可得OA为△BF1F2的中位线，b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a再由a，b，c的关系求出离心率．【解答】解：延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，连接OA，则OA为△BF1F2的中位线，所以|BF1|＝2|OA|，而|BF1|＝|PF1|﹣|PB|＝|PF1|﹣|PF2|＝2a因为b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a，而b2＝c2﹣a2所以c2﹣a2＝4（c﹣a）2整理可得3c2﹣8ac+5c2＝0，即3e2﹣8e+5＝0，解得e＝或1，再由双曲线的离心率大于1，可得e＝，故选：C．12．【分析】如图，取BD中点H，连接AH，CH，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，分别过EF作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，进而可求得R的值．【解答】解：如图，取BD中点H，连接AH，CH，因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F，则由AH＝2×＝可得AE＝AH＝，EH＝AH＝，分别过EF作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，所以OE＝1，则R＝OA＝＝，则三棱锥外接球的表面积4πR2＝4π×＝，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】利用复数的乘方运算和加法法则即可得出．【解答】解：∵z2＝（﹣i）2＝﹣i﹣＝﹣i，∴z4＝（z2）2＝（﹣i）2＝﹣1，∴z2+z4＝﹣1﹣i，故答案是：﹣1﹣i．14．【分析】由函数在（0，+∞）上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．【解答】解：依题意，k＞0，则，则，解得k＝4．故答案为：4．15．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个命题得答案．【解答】解：对于①，由a⊥平面α，α∥β，得a⊥β，又直线b⊂平面β，∴a⊥b，故①正确；对于②，由a⊥平面α，α⊥β，得a∥β或a⊂β，而直线b⊂平面β，∴a与b的关系是平行、相交或异面，故②错误；对于③，由a⊥平面α，α⊥β，得a∥β或a⊂β，而直线b⊂平面β，∴a与b的关系是平行、相交或异面，故③错误；对于④，由a⊥平面α，a∥b，得b⊥α，又直线b⊂平面β，∴α⊥β，故④正确；对于⑤，由a⊥平面α，a⊥b，得b∥α或b⊂α，又直线b⊂平面β，∴α与β相交或平行，故⑤错误．∴其中正确命题的序号是①④．故答案为：①④．16．【分析】设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，进一步可得，再利用正弦定理可得，通过三角恒等变换即可求得tanθ的值，进而得出答案．【解答】解：不妨设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，在△ABD中，，∠ADB＝，则，在△ABD中，由正弦定理得，即，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．【分析】（1）a n＝n﹣S n，可得a1＝1﹣a1，解得a1．a2＝2﹣（a2+），解得a2．a3＝3﹣（a3++），解得a3．（2）a n＝n﹣S n，n≥2时，a n﹣1＝n﹣1﹣S n﹣1，相减可得：a n﹣1＝（a n﹣1），可得：b n＝b n﹣1．即可得出结论．﹣1（3）由（2）可得：b n＝﹣．可得a n＝b n+1，可得S n＝n﹣a n．【解答】解：（1）a n＝n﹣S n，∴a1＝1﹣a1，解得a1＝．a2＝2﹣（a2+），解得a2＝．a3＝3﹣（a3++），解得a3＝．（2）a n＝n﹣S n，n≥2时，a n﹣1＝n﹣1﹣S n﹣1，相减可得：2a n＝a n+1，﹣1变形为：a n﹣1＝（a n﹣1﹣1），由b n＝a n﹣1．可得：b n＝b n﹣1．b1＝a1﹣1＝﹣．∴数列{b n}是等比数列，首项为﹣，公比为．（3）由（2）可得：b n＝﹣×＝﹣．则a n＝b n+1＝1﹣．∴S n＝n﹣a n＝n﹣1+．18．【分析】（1）在图1中，证明BD⊥AC，ED∥BC，则在图2中，有，得DH＝，然后证明△BAD∽△AHD，可得∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；（2）由V B＝V E﹣ABD，得，分别求出三角形ABD与﹣AED三角形AED的面积得答案．【解答】（1）证明：在图1中，∵△ABC为等边三角形，且D为边AC的中点，∴BD⊥AC，在△BCD中，BD⊥CD，BC＝2，CD＝1，∴BD＝，∵D、E分别为边AC、AB的中点，∴ED∥BC，在图2中，有，∴DH＝．在Rt△BAD中，BD＝，AD＝1，在△BAD和△AHD中，∵，∠BDA＝∠ADH，∴△BAD∽△AHD．∴∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；（2）解：∵V B＝V E﹣ABD，﹣AED∴，则．∵△AED是边长为1的等边三角形，∴．在Rt△ABD中，BD＝，AD＝1，则AB＝．∴，则．19．【分析】（1）根据y＝e a+bx，两边取自然对数得lny＝a+bx，再利用线性回归方程求出a、b的值；（2）根据y＝e1.1+0.7x，由e6＜e1.1+0.7x＜e8求得x的取值范围，再利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（1）因为y＝e a+bx，两边取自然对数，得lny＝a+bx，令m＝x，n＝lny，得n＝a+bm；因为＝＝＝0.693；所以b≈0.7；因为＝﹣b＝﹣0.7×3＝1.088；所以a≈1.1；即a≈1.1，b≈0.7；（2）根据（1）得y＝e1.1+0.7x，由e6＜e1.1+0.7x＜e8，得7＜x＜；所以在第6天到第10天中，第8、9天为优质产卵期；从未来第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有：（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共10种；其中恰有1天为优质产卵期的有：（6，8），（6，9），（7，8），（7，9），（8，10），（9，10）共6种；设从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的事件为A，则P（A）＝＝；所以从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概率为．20．【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C的轨迹方程；（2）设直线BP的斜率为k（k≠0），则BP的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程，解得交点P，同理可得Q的坐标，考虑P，Q的关系，运用对称性可得定点．【解答】解：（1）设⊙M的半径为R，因为圆M过A（，0），且与圆N相切，所以R＝|AM|，|MN|＝4﹣R，即|MN|+|MA|＝4，由|NA|＜4，所以M的轨迹为以N，A为焦点的椭圆．设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），则2a＝4，且c＝＝，所以a＝2，b＝1，所以曲线C的方程为+y2＝1；（2）由题意可得直线BP，BQ的斜率均存在且不为0，设直线BP的斜率为k（k≠0），则BP的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程x2+4y2＝4，可得（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x1＝0，x2＝﹣，则P（﹣，），因为直线BQ的斜率为﹣，所以同理可得Q（，﹣），因为P，Q关于原点对称，（或求得直线l的方程为y＝x）所以直线l过定点（0，0）．21．【分析】（1）对原函数求导数，然后利用在x＝0处切线的斜率为1，函数的最大值为列出关于a，b的方程组求解；（2）利用f（x1）＝f（x2）找到x1，x2的关系式，然后引入t＝x2﹣x1，构造关于t的函数，将3x1+x2转换成关于t的函数，求最值即可．【解答】解：（1）由已知f′（x）＝（bx+ab+1）e bx．则易知f′（0）＝ab+1＝1，∴ab＝0，又因为b≠0，故a＝0．此时可得f（x）＝xe bx（b≠0），f′（x）＝（bx+1）e bx．①若b＞0，则当x时，f′（x）＜0，f（x）递减；．此时，函数f（x）有最小值，无最大值．②若b＜0，则当；x．此时，解得b＝﹣1．所以a＝0，b＝﹣1即为所求．（2）由0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2）得：．∴．设t＝x2﹣x1（t＞0），则e t x1﹣x1＝t，可得，所以要证3x1+x2＞3，即证．∵t＞0，所以e t﹣1＞0，所以即证（t﹣3）e t+3t+3＞0．设g（t）＝（t﹣3）e t+3t+3（t＞0），则g′（t）＝（t﹣2）e t+3．令h（t）＝（t﹣2）e t+3，则h′（t）＝（t﹣1）e t，当t∈（0，1）时，h′（t）＜0，h（t）递减；t∈（1，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）递增．所以h（t）＞h（1）＝3﹣e＞0，即g′（t）＞0，所以g（t）在（0，+∞）上递增．所以g（t）＞g（0）＝0．∴3x1+x2＞3．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．【解答】解：（1）由题可得：C1的普通方程为2x﹣y﹣5＝0又因为C2的参数方程为，两边平方可得，所以C 2的普通方程为，且．（2）由题意，设C1的平行直线2x﹣y+c＝0联立消元可得：3x2+4cx+c2+3＝0所以△＝4c2﹣36＝0，解得c＝±3又因为，经检验可知c＝3时与C2相切，所以．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）a＝1时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1|，讨论x的取值范围，去掉绝对值求不等式f（x）＜3的解集即可；（2）f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意成立，等价于|x+a|＜5﹣x恒成立，去绝对值，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1|＝；当x＜﹣1时，由f（x）＜3得﹣4x+5＜3，解得x＞（不合题意，舍去）；当﹣1≤x≤2时，由f（x）＜3得﹣2x+7＜3，解得x＞2（不合题意，舍去）；当x＞2时，由f（x）＜3得4x﹣5＜3，解得x＜2（不合题意，舍去）；所以不等式f（x）＜3的解集∅；（2）由f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意成立，得﹣（3x﹣6）+|x+a|＜11﹣4x，即|x+a|＜5﹣x，所以，所以，得a＞﹣5且a＜5﹣2x对任意成立；即﹣5＜a＜8，所以a的取值范围是（﹣5，8）．。

广东省广州市2021年高|考数学一模试卷(文科)一、选择题：本小题共12题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的．1．复数的虚部是()A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．集合{x|x2+ax=0} ={0 ,1} ,那么实数a的值为()A．﹣1 B．0 C．1 D．23．tanθ=2 ,且θ∈,那么cos2θ= ()A．B．C．D．4．阅读如图的程序框图．假设输入n=5 ,那么输出k的值为()A．2 B．3 C．4 D．55．函数f (x ) =,那么f (f (3 ) ) = ()A．B．C．D．﹣36．双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0 ,F1 ,F2分别是双曲线C的左,右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1| =2 ,那么|PF2|等于()A．4 B．6 C．8 D．107．四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币．假设硬币正面朝上,那么这个人站起来；假设硬币正面朝下,那么这个人继续坐着．那么,没有相邻的两个人站起来的概率为()A．B．C．D．8．如图,网格纸上小正方形的边长为1 ,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为,那么该几何体的俯视图可以是()A．B．C．D．9．设函数f (x ) =x3+ax2 ,假设曲线y=f (x )在点P (x0 ,f (x0 ) )处的切线方程为x+y=0 ,那么点P的坐标为()A．(0 ,0 ) B．(1 ,﹣1 ) C．(﹣1 ,1 ) D．(1 ,﹣1 )或(﹣1 ,1 )10．<九章算术>中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．假设三棱锥P﹣ABC为鳖臑,P A⊥平面ABC,P A =AB=2 ,AC=4 ,三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上,那么球O的外表积为()A．8πB．12πC．20πD．24π11．函数f (x ) =sin (ωx+φ ) +cos (ωx+φ ) (ω＞0 ,0＜φ＜π )是奇函数,直线y=与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝||对值为,那么()A．f (x )在上单调递减B．f (x )在上单调递减C．f (x )在上单调递增D．f (x )在上单调递增12．函数f (x ) =+cos (x﹣) ,那么的值为()A．2021 B．1008 C．504 D．0二、填空题：本小题共4题,每题5分．13．向量= (1 ,2 ) ,= (x ,﹣1 ) ,假设∥(﹣) ,那么•=．14．假设一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点,且该圆与直线y=x+3相切,那么该圆的标准方程是．15．满足不等式组的点(x ,y )组成的图形的面积是5 ,那么实数a 的值为．16．在△ABC中,∠ACB=60° ,BC＞1 ,AC=AB+,当△ABC的周长最||短时,BC的长是．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．数列{a n}的前n项和为S n ,且S n=2a n﹣2 (n∈N* )．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{S n}的前n项和T n．18．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲,乙两条流水线的生产情况,随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本,测出它们的这一项质量指标值．假设该项质量指标值落在根据图1 ,估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；(Ⅱ)假设将频率视为概率,某个月内甲,乙两条流水线均生产了5000件产品,那么甲,乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件?(Ⅲ)根据条件完成下面2×2列联表,并答复是否有85%的把握认为"该企业生产的这种产品的质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关〞?甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：(其中n=a+b+c+d为样本容量)P (K2≥k )k19．如图1 ,在直角梯形ABCD中,AD∥BC ,AB⊥BC ,BD⊥DC ,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD ,连接AE ,AC ,DE ,得到如图2所示的几何体．(Ⅰ)求证：AB⊥平面ADC；(Ⅱ) 假设AD=1 ,AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为,求点B到平面ADE的距离．20．椭圆C：的离心率为,且过点A (2 ,1 )．(Ⅰ) 求椭圆C的方程；(Ⅱ) 假设P,Q是椭圆C上的两个动点,且使∠P AQ的角平分线总垂直于x轴,试判断直线PQ的斜率是否为定值?假设是,求出该值；假设不是,说明理由．21．函数f (x ) =ln x+．(Ⅰ) 假设函数f (x )有零点,求实数a的取值范围；(Ⅱ) 证明：当a≥时,f (x )＞e﹣x．选修4 -4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C：ρ=2cos (θ﹣)．(Ⅰ) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线l的距离的最||大值．选修4 -5：不等式选讲23．函数f (x ) =|x+a﹣1| +|x﹣2a|．(Ⅰ) 假设f (1 )＜3 ,求实数a的取值范围；(Ⅱ) 假设a≥1 ,x∈R ,求证：f (x )≥2．参考答案一、选择题1．B【解析】复数==1﹣i的虚部是﹣1．应选：B．2．A【解析】由题意,0 +1 =﹣a ,∴a=﹣1 ,应选A．3．C【解析】∵tanθ=2 ,且θ∈,∴cosθ===,∴cos2θ=2cos2θ﹣1 =2×()2﹣1 =﹣．应选：C．4．B【解析】经过第|一次循环得到的结果为k=0 ,n=16 ,经过第二次循环得到的结果为k=1 ,n=49 ,经过第三次循环得到的结果为k=2 ,n=148 ,经过第四次循环得到的结果为k=3 ,n=445 ,满足判断框中的条件,执行"是〞输出的k 为3应选B5．A【解析】由题意知,f (x ) =,那么f (3 ) =1﹣,所以f (f (3 ) ) ==4•=,应选A．6．C【解析】由双曲线的方程、渐近线的方程可得=,∴a=3．由双曲线的定义可得|PF2|﹣2 =6 ,∴|PF2| =8 ,应选C．7．B【解析】由题意得：正面不能相邻,即正反正反,反正反正,3反一正,全反,其中3反一正中有反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,故共7中情况, 故P==,应选：B．8．C【解析】该几何体为正方体截去一局部后的四棱锥P﹣ABCD ,如下列图,该几何体的俯视图为C．应选：C．9．D【解析】∵f (x ) =x3+ax2 ,∴f′ (x ) =3x2+2ax ,∵函数在点(x0 ,f (x0 ) )处的切线方程为x+y=0 ,∴3x02+2ax0=﹣1 ,∵x0+x03+ax02=0 ,解得x0=±1．当x0=1时,f (x0 ) =﹣1 ,当x0=﹣1时,f (x0 ) =1．应选：D．10．C【解析】由题意,PC为球O的直径,PC==2,∴球O的半径为,∴球O的外表积为4π•5 =20π ,应选C．11．D【解析】由题意得,f (x ) =sin (ωx+φ ) +cos (ωx+φ )=[sin (ωx+φ ) +cos (ωx+φ )]=,∵函数f (x ) (ω＞0 ,0＜φ＜π )是奇函数,∴,那么,又0＜φ＜π ,∴φ=,∴f (x ) ==,∵y=与f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝||对值为,∴T=,那么ω=4 ,即f (x ) =,由得4x∈(0 ,π ) ,那么f (x )在上不是单调函数,排除A、C；由得4x∈,那么f (x )在上是增函数,排除B , 应选：D．12．B【解析】∵函数f (x ) =+cos (x﹣) ,∴f (x ) +f (1﹣x ) =+cos (x﹣) ++=1 +0 =1 ,那么=2021 =1008．应选：B．二、填空题13．【解析】= (1﹣x ,3 ) ,∵∥(﹣) ,∴2 (1﹣x )﹣3 =0 ,解得x=﹣．那么•=﹣﹣2 =﹣．故答案为：﹣．14．x2+ (y﹣1 )2=2【解析】抛物线的标准方程为：x2=4y ,∴抛物线的焦点为F (0 ,1 )．即圆C的圆心为C (0 ,1 )．∵圆C与直线y=x+3相切,∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d ==．∴圆C的方程为x2+ (y﹣1 )2=2．故答案为：x2+ (y﹣1 )2=2．15．3【解析】根据题意,不等式组⇔或；其表示的平面区域如图阴影局部所示：当a≤1时,其阴影局部面积S＜S△AOB=×2×1 =1 ,不合题意,必有a＞1 ,当a＞1时,阴影局部面积S=×2×1 +×(a﹣1 )×[a+1﹣(3﹣a )] =5 ,解可得a=3或﹣1 (舍)；故答案为：3．16．+1【解析】设A ,B ,C所对的边a ,b ,c ,那么根据余弦定理可得a2+b2+c2=2ab cos C ,将b=c+代入上式,可得a2+c+=ac+,化简可得c=,所以△ABC的周长l=a+b+c=++a ,化简可得l=3 (a﹣1 ) ++,因为a＞1 ,所以由均值不等式可得3 (a﹣1 ) =时,即6 (a﹣1 )2=3 ,解得a=+1时,△ABC的周长最||短,故答案为：+1．三、解答题17．解：(I )∵S n=2a n﹣2 (n∈N* ) ,∴n=1时,a1=2a1﹣2 ,解得a1=2．n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣(2a n﹣1﹣2 ) ,化为：a n=2a n﹣1 ,∴数列{a n}是等比数列,公比为2．∴a n=2n．(II )S n==2n+1﹣2．∴数列{S n}的前n项和T n=﹣2n=2n+2﹣4﹣2n．18．解：(Ⅰ)设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ,因为0.48 = ( + + )×5＜＜( + + + )×,那么( + + )×5 +×(x﹣205 ) ,解得．(Ⅱ)由甲,乙两条流水线各抽取的50件产品可得,甲流水线生产的不合格品有15件,那么甲流水线生产的产品为不合格品的概率为,乙流水线生产的产品为不合格品的概率为,于是,假设某个月内甲,乙两条流水线均生产了5000件产品,那么甲,乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：．(Ⅲ)2×2列联表：甲生产线乙生产线合计合格品35 40 75不合格品15 10 25合计50 50 100那么,因为＜,所以没有85%的把握认为"该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关〞．19．(Ⅰ)证明：∵平面ABD⊥平面BCD ,平面ABD∩平面BCD=BD ,又BD⊥DC ,∴DC⊥平面ABD ,∵AB⊂平面ABD ,∴DC⊥AB ,又∵折叠前后均有AD⊥AB ,DC∩AD=D ,∴AB⊥平面ADC．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知DC⊥平面ABD ,所以AC在平面ABD内的正投影为AD ,即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角．依题意,AD=1 ,∴．设AB=x (x＞0 ) ,那么,∵△ABD～△BDC ,∴,即,解得,故．由于AB⊥平面ADC ,AB⊥AC ,E为BC的中点,由平面几何知识得AE=,同理DE=,∴．∵DC⊥平面ABD ,∴．设点B到平面ADE的距离为d ,那么,∴,即点B到平面ADE的距离为．20．解：(Ⅰ) 因为椭圆C的离心率为,且过点A (2 ,1 ) ,所以,．因为a2=b2+c2 ,解得a2=8 ,b2=2 ,所以椭圆C的方程为．(Ⅱ)解法一：因为∠P AQ的角平分线总垂直于x轴,所以P A与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线P A的斜率为k ,那么直线AQ的斜率为﹣k．所以直线P A的方程为y﹣1 =k (x﹣2 ) ,直线AQ的方程为y﹣1 =﹣k (x﹣2 )．设点P (x P ,y P ) ,Q (x Q ,y Q ) ,由,消去y ,得(1 +4k2 )x2﹣(16k2﹣8k )x+16k2﹣16k﹣4 =0．①因为点A (2 ,1 )在椭圆C上,所以x=2是方程①的一个根,那么,所以．同理．所以．又．所以直线PQ的斜率为．所以直线PQ的斜率为定值,该值为．解法二：设点P (x1 ,y1 ) ,Q (x2 ,y2 ) ,那么直线P A的斜率,直线QA的斜率．因为∠P AQ的角平分线总垂直于x轴,所以P A与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k P A=﹣k QA ,即,①因为点P (x1 ,y1 ) ,Q (x2 ,y2 )在椭圆C上,所以,②．③由②得,得,④同理由③得,⑤由①④⑤得,化简得x1y2+x2y1+ (x1+x2 ) +2 (y1+y2 ) +4 =0 ,⑥由①得x1y2+x2y1﹣(x1+x2 )﹣2 (y1+y2 ) +4 =0 ,⑦⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2 (y1+y2 )．②﹣③得,得．所以直线PQ的斜率为为定值．解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b ,点P (x1 ,y1 ) ,Q (x2 ,y2 ) ,那么y1=kx1+b ,y2=kx2+b ,直线P A的斜率,直线QA的斜率．因为∠P AQ的角平分线总垂直于x轴,所以P A与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k P A=﹣k QA ,即=,化简得x1y2+x2y1﹣(x1+x2 )﹣2 (y1+y2 ) +4 =0．把y1=kx1+b ,y2=kx2+b代入上式,并化简得2kx1x2+ (b﹣1﹣2k ) (x1+x2 )﹣4b+4 =0．(* )由,消去y得(4k2+1 )x2+8kbx+4b2﹣8 =0 , (** )那么,代入(* )得,整理得(2k﹣1 ) (b+2k﹣1 ) =0 ,所以或b=1﹣2k．假设b=1﹣2k ,可得方程(** )的一个根为2 ,不合题意．假设时,符合题意．所以直线PQ的斜率为定值,该值为．21．解：(Ⅰ)法1：函数的定义域为(0 , +∞)．由,得．因为a＞0 ,那么x∈(0 ,a )时,f' (x )＜0；x∈(a , +∞)时,f' (x )＞0．所以函数f (x )在(0 ,a )上单调递减,在(a , +∞)上单调递增．当x=a时,[f (x )]min=ln a+1．当ln a+1≤0 ,即0＜a≤时,又f (1 ) =ln1 +a=a＞0 ,那么函数f (x )有零点．所以实数a的取值范围为．法2：函数的定义域为(0 , +∞)．由,得a=﹣x ln x．令g (x ) =﹣x ln x ,那么g' (x ) =﹣(ln x+1 )．当时,g' (x )＞0；当时,g' (x )＜0．所以函数g (x )在上单调递增,在上单调递减．故时,函数g (x )取得最||大值．因而函数有零点,那么．所以实数a的取值范围为．(Ⅱ) 要证明当时,f (x )＞e﹣x ,即证明当x＞0,时,,即x ln x+a＞x e﹣x．令h (x ) =x ln x+a ,那么h' (x ) =ln x+1．当时,f' (x )＜0；当时,f' (x )＞0．所以函数h (x )在上单调递减,在上单调递增．当时,．于是,当时,．①令φ (x ) =x e﹣x ,那么φ' (x ) =e﹣x﹣x e﹣x=e﹣x (1﹣x )．当0＜x＜1时,f' (x )＞0；当x＞1时,f' (x )＜0．所以函数φ (x )在(0 ,1 )上单调递增,在(1 , +∞)上单调递减．当x=1时,．于是,当x＞0时,．②显然,不等式①、②中的等号不能同时成立．故当时,f (x )＞e﹣x．22．解：(Ⅰ) 由直线l的参数方程消去t参数,得x+y﹣4 =0 , ∴直线l的普通方程为x+y﹣4 =0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2 ,ρcosθ=x ,ρsinθ=y代入上式,得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y ,即(x﹣1 )2+ (y﹣1 )2=2．(Ⅱ) 法1：设曲线C上的点为,那么点P到直线l的距离为= =当时,∴曲线C上的点到直线l的距离的最||大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时,得,解得b=0或b=﹣4 (舍去)．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最||大值为．23．解：(Ⅰ) 因为f (1 )＜3 ,所以|a| +|1﹣2a|＜3．①当a≤0时,得﹣a+ (1﹣2a )＜3 ,解得,所以；②当时,得a+ (1﹣2a )＜3 ,解得a＞﹣2 ,所以；③当时,得a﹣(1﹣2a )＜3 ,解得,所以；综上所述,实数a的取值范围是．(Ⅱ) 因为a≥1 ,x∈R ,所以f (x ) =|x+a﹣1| +|x﹣2a|≥| (x+a﹣1 )﹣(x﹣2a )| =|3a﹣1| =3a﹣1≥2．。

试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2012.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的定义域为 A ． B ． C ．D ．2．已知复数（其中，是虚数单位），则的值为A ．B ．C ．0D ．23．如果函数的最小正周期为，则的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 4．在△中，，，，在上任取一点，使△为钝角三角形的概率为A ．B ．C ．D ．5．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为Sh V 31=Sh y =(],1-∞-(),1-∞-[)1,-+∞()1,-+∞()i i 1i a b +=-,a b ∈R i a b +2-1-()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>2πωABC 60ABC ∠=2AB =3BC =BC D ABD16131223A ．B ．C ．8D ．126．在平面直角坐标系中，若不等式组表示的平面区域的面积为4，则实数的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知幂函数在区间上单调递增，则实数的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．或8．已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角．若， ，则的值为A ．B ．C ．D ． 9．已知函数，对于任意正数，是成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知圆：，点（）是圆内一点，过点的圆的最短弦所在的直线为，直线的方程为，那么A ．，且与圆相离B ．，且与圆相切C ．，且与圆相交D ．，且与圆相离二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．若函数是偶函数，则实数的值为 ．12．已知集合，，若，则实数的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，则 ，若，则 ．320,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤t ()22657m y m m x-=-+()0,+∞m 2-3-a b sin θ⨯=a b a b θa b ()3,4-a =()0,2b =⨯a b 8-6-68()21f x x =+a 12x x a -<()()12f x f x a -<O 222x y r +=()P a b ，0ab ≠O P O 1l 2l 20ax by r ++=12l l ∥2l O 12l l ⊥2l O 12l l ∥2l O 12l l ⊥2l O ()()2ln 1f x x ax =++a {}13A x x =≤≤{}3B x a x a =+≤≤A B ⊆a 11a =25a =312a =422a =5a =145n a =n =（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为，点是弦的中点， ，弦过点，且，则的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线与曲线的参数方程分别为：（为参数）和：（为参数）， 若与相交于、两点，则 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数． （1）求的值； （2）若，求的值． 17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于10的概率．18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥中，平面，于点， ，，．（1）求三棱锥的体积；O 5cm P AB 3OP =cm CD P 13CP CD =CD cm l C l 1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩s C 22,x t y t=+⎧⎨=⎩t l C A B AB =()tan 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9f π⎛⎫⎪⎝⎭234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos2α[)50,40[)60,50[]100,90a [)40,50[]90,100ABC P -AB BC ==⊥PAC ABC AC PD ⊥D 1AD =3CD =2=PD ABC P -5 12 122 图2P数）图4图3（2）证明△为直角三角形．19．（本小题满分14分）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：．20．（本小题满分14分）已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若对任意，函数在上都有三个零点，求实数的取值范围．21．（本小题满分14分）已知椭圆的左、右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．（1）求曲线的方程；（2）设点、的横坐标分别为、，证明：；（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求 的取值范围．PBC {}n a 0d ≠n n S 570S =2a 7a 22a {}n a 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 1368n T <≤32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ()f x []3,4a ∈()f x R b 2214y x +=A B C A B P C AP T C P T 1x 2x 121x x ⋅=TAB ∆POB ∆O 1S 2S PA PB uu r uu rg ≤152212S S -2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．11．012． 13．35，10 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：……………………………………………………………………………1分…………………………………………………………………………3分 …………4分（2）解法1：因为…………………………………………………………5分………………………………………………………………6分[]0,19f π⎛⎫ ⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tantan 341tan tan34ππ+=ππ-2==--3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()tan α=+π．………………………………………………………………7分所以，即． ① 因为， ②由①、②解得．………………………………………………………………………………9分 所以 (11)分．………………………………………………………………………12分解法2：因为…………………………………………………………5分………………………………………………………………6分．………………………………………………………………7分所以 (9)分…………………………………………………………………………10分………………………………………………………………………………11分．……………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以．………………………………………………1分解得．……………………………………………………………………………………………2分tan 2α==sin 2cos αα=sin 2cos αα=22sin cos 1αα+=21cos 5α=2cos 22cos 1αα=-132155=⨯-=-3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()tan α=+πtan 2α==22cos 2cos sin ααα=-2222cos sin cos sin αααα-=+221tan 1tan αα-=+143145-==-+10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=0.03a =（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为．…………3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人．…………………………………………………………………5分（3）解：成绩在分数段内的人数为人，分别记为，．……………………6分成绩在分数段内的人数为人，分别记为，，，．…………………7分若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15种．…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件，则事件包含的基本事件有：，，，，，，共7种．……………………11分所以所求概率为．…………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面．…………………………………………………………………………………2分记边上的中点为，在△中，因为，所以．因为，所以4分所以△的面积5分110(0.0050.01)-⨯+0.85=6400.85544⨯=[)40,50400.052⨯=AB[]90,100400.14⨯=C D EF[)40,50[]90,100(),A B(),A C(),A D(),A E(),A F(),B C(),B D (),B E(),B F(),C D(),C E(),C F(),D E(),D F(),E F[)40,50[]90,100[)40,50[]90,100M M (),A B(),C D(),C E(),C F(),D E(),D F(),E F()715P M=⊥PAC ABC PAC ABC AC=PD⊂PAC ACPD⊥PD⊥ABCAC E ABC AB BC=ACBE⊥AB BC==4=ACBE===ABC12ABCS AC BE∆=⨯⨯=因为，所以三棱锥的体积．……………………7分 （2）证法1：因为，所以△为直角三角形．因为，，所以9分连接，在△中，因为，，，所以10分由（1）知平面，又平面， 所以．在△中，因为，，所以12分在中，因为， 所以．………………………………………………………………………………13分所以为直角三角形．……………………………………………………………………………14分证法2：连接，在△中，因为，，， 所以8分在△中，，，所以，所以．………………10分 由（1）知平面， 因为平面，所以． 因为， 所以平面．…………………………………………………………………………………12分 因为平面，所以．所以为直角三角形．……………………………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列是等差数列，2=PD ABC P -13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯1233=⨯=PD ⊥AC PCD 2PD =3CD =PC =BD Rt BDE 90BED ∠=oBE =BD ===PD ⊥BD ⊂ABC PD ⊥BD Rt PBD 90PDB ∠=o2PD =BD =PB ===PBC ∆BC =PB =PC =222BC PB PC +=PBC ∆BD Rt BDE 90BED ∠=oBE =1DE =BD ===BCD 3CD =BC =BD =222BC BD CD +=BC BD ⊥PD ⊥ABC BC ⊂ABC BC PD ⊥BD PD D =BC ⊥PBD PB ⊂PBD BC PB ⊥PBC ∆{}n a BPACDEB PACDE所以，．……………………………………………………1分 依题意，有即………………………………………3分 解得，．……………………………………………………………………………………5分所以数列的通项公式为（）．…………………………………………………6分 （2）证明：由（1）可得．……………………………………………………………………7分所以．…………………………………………………8分所以……………9分．………………………………………………………………………10分 因为，所以．………………………………………………11分因为，所以数列是递增数列．………………………………12分所以．………………………………………………………………………………………13分()11n a a n d =+-()112n n n S na d -=+52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩16a =4d ={}n a 42n a n =+*n ∈N 224n S n n =+()21112422n S n n n n ==++11142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭123111111n n nT S S S S S -=+++++L 1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭38n T <11110413n n T T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭{}n T 116n T T ≥=所以．…………………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：因为，所以．……………………1分当时，，函数没有单调递增区间；……………………………………………2分当时，令，得． 故的单调递增区间为；…………………………………………………………………3分 当时，令，得．故的单调递增区间为．…………………………………………………………………4分 综上所述，当时，函数没有单调递增区间；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为．……………………………………5分（2）解：，由（1）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为和． …………………………………6分所以函数在处取得极小值，……………………………………………………7分1368n T ≤<32()f x x ax b =-++22()3233a f x x ax x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭0a =()0f x '≤()f x 0a >()0f x '>203a x <<()f x 20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭0a <()0f x '>203ax <<()f x 2,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭0a =()f x 0a >()f x 20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭0a <()f x 2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭[]3,4a ∈()f x 20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭(),0-∞2,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x 0x =()0f b =函数在处取得极大值．………………………………………………8分由于对任意，函数在上都有三个零点，所以即……………………………………………………………………10分解得． (11)分因为对任意，恒成立，所以．………………13分所以实数的取值范围是．……………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得，．…………………………………………………………………1分设双曲线的方程为，．所以双曲线的方程为．……………………………………………………………………3分（2）证法1：设点、（，，），直线的斜率为（），则直线的方程为，………………………………………………………………………4分()f x23ax=324327a af b⎛⎫=+⎪⎝⎭[]3,4a∈()f x R()00,20.3faf<⎧⎪⎨⎛⎫>⎪⎪⎝⎭⎩30,40.27bab<⎧⎪⎨+>⎪⎩3427ab-<<[]3,4a∈3427ab>-33max44342727ab⎛⎫⨯>-=-=-⎪⎝⎭b()4,0-(1,0)A-(1,0)BC2221yxb-=()0b>=2b=C2214yx-=11(,)P x y22(,)T x y0ix>0iy>1,2i=APk0k>AP(1)y k x=+联立方程组………………………………………………………………………………5分 整理，得，解得或．所以．…………………………………………………………6分 同理可得，．…………………………………………………………………………………7分所以． (8)分证法2：设点、（，，）， 则，．…………………………………………………………………………4分 因为，所以，即．……………………………………5分因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，． 即，．…………………………………………………………………6分所以，即．……………………………………………………7分 所以． (8)分()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()22224240k x k x k +++-=1x =-2244k x k -=+22244k x k-=+21244k x k +=-121x x ⋅=11(,)P x y 22(,)T x y 0i x >0i y >1,2i =111AP y k x =+221AT y k x =+AP AT k k =121211y y x x =++()()2212221211y y x x =++P T 221114y x -=222214y x +=()221141y x =-()222241y x =-()()()()22122212414111x x x x --=++12121111x x x x --=++121x x ⋅=证法3：设点，直线的方程为，………………………………………4分 联立方程组…………………………………………………………………………5分 整理，得， 解得或．…………………………………………………………………6分 将代入，得，即． 所以． (8)分（3）解：设点、（，，），则，．因为，所以，即．…………………………9分因为点在双曲线上，则，所以，即． 因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以．…………………………………………10分因为，，所以．……………………………11分由（2）知，，即． 设，则，． 设，则， 11(,)P x y AP 11(1)1y y x x =++()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦1x =-221122114(1)4(1)x y x x y +-=++221144y x =-221122114(1)4(1)x y x x y +-=++11x x =211x x =121x x ⋅=11(,)P x y 22(,)T x y 0i x >0i y >1,2i =()111,PA x y =---()111,PB x y =--15PA PB ⋅≤()()21111115x x y ---+≤221116x y +≤P 221114y x -=22114416x x +-≤214x ≤P 112x <≤1221||||||2S AB y y ==21111||||||22S OB y y ==()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--121x x ⋅=211x x =21t x =14t <≤221245S S t t-=--()45t tf t =--()()()222241t t f t t t -+'=-+=当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因为，， 所以当，即时，．……………………………………………12分 当，即时，．………………………………………………13分所以的取值范围为．……………………………………………………………………14分说明：由，得，给1分．12t <<()0f t '>24t <≤()0f t '<()f t ()1,2(]2,4()21f =()()140f f ==4t =12x =()()2212min40SS f -==2t=1x =()()2212max 21SS f -==2212S S -[]0,1()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=()2212max1S S -=。

秘密★启用前广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（文科）．3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再将答案填写在对应题号的横线上。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B =A ．()0,2B ．(]0,2C ．[]0,2D ．[)0,22．已知3cos 5α=，则cos2α的值为A ．2425-B ．725-C ．725D ．24253．一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为A ．33B ．2πC ．3πD ．4π正(主)视图 左(侧)视图俯视图4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比 赛得分的情况用如图2所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员 得分的中位数分别为A ．19、13B ．13、19C ．20、18D ．18、205．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a =A ．1-B 2C ．1-2D ．1或2-6．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别为()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a x b <<时，有A ．()()()()f x g b f b g x >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g x f b g b >D ．()()()()f x g x f a g a >8．直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是 A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定9．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．14次 B ．13次 C ．9次 D ．8次10．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分. （一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 11．若复数()()2563i z m m m =-++-是实数，则实数m = ．0 1 2 3 4 1 1 2 0 1 03 58 7 8 9 7 5 6 4 3 2 9 6 1 甲 乙 图212．在空间直角坐标系中O xyz -，点()1,2,3-关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为 ．13．按如图3所示的程序框图运算． 若输入8x =，则输出k = ；若输出2k =，则输入x 的取值范围是 ．（注:“1=A ”也可写成“1:=A ”或“1←A ”，均表示 赋值语句）（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ． 15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且:1:2AE EB =，DE 与AC 交于点F ，若AEF∆的面积为62cm ，则ABC ∆的面积为 2cm ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ．（1）求事件“3x y +≤”的概率； （2）求事件“2x y -=”的概率．17．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求实数a 和b 的值；（2）当x 为何值时，()f x 取得最大值．18．（本小题满分14分）如图4所示，在边长为12的正方形11AA A A ''中，点,B C 在线段AA '上，且3AB =，4BC =，作图3开始 0k =21x x =+1k k =+结束 输入x是 否输出x ,k115?x >Q1B 1C1A 1A '1B1C1AP Q1BB 1AA ，分别交11A A '、1AA '于点1B 、P ，作1CC 1AA ，分别交11A A '、1AA '于点1C 、Q ，将该正方形沿1BB 、1CC 折叠，使得1A A ''与1AA 重合，构成如图5所示的三棱柱111ABC A B C -．（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）求平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分几何体的体积之比．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 中，51=a 且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）．（1）求2a ，3a 的值；（2）是否存在实数λ，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知过点()0,1P -的直线l 与抛物线24x y =相交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，1l 、2l 分别是抛物线24x y =在A 、B 两点处的切线，M 、N 分别是1l 、2l 与直线1y =-的交点． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）试比较PM 与PN 的大小，并说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()xf x e x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的最小值；（2）若*n ∈N ，证明：1211n nn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A C A C B D C 10．由PA PB PC AB++=，得PA PB BA PC +++=0，即2PC AP =，所以点P 是CA 边上的第二个三等分 点，如图所示．故23PBC ABC S BC PC S BC AC ∆∆⋅==⋅． 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中第13题第一个空2分，第二个空3分． 11．3 12．()1,2,3-- 13．4；(]28,57 14．cos 2ρθ= 15．72三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力）解：设(),x y 表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，……，()6,5，()6,6，共36个基本事件．（1）用A 表示事件“3x y +≤”，BCA P则A 的结果有()1,1，()1,2，()2,1，共3个基本事件． ∴()313612P A ==． 答：事件“3x y +≤”的概率为112． （2）用B 表示事件“2x y -=”，则B 的结果有()1,3，()2,4，()3,5，()4,6，()6,4，()5,3，()4,2，()3,1，共8个基本事件． ∴()82369P B ==． 答：事件“2x y -=”的概率为29．17．（本小题满分12分）（本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力） 解：（1）∵函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴sin cos 0,33sin cos 1.22a b a b ππππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即310,21.b a ⎧+=⎪⎪=⎩ 解得1,3.a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩（2）由（1）得()sin 3f x x x =132sin 2x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴当sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即232x k πππ-=+， 即526x k ππ=+()k ∈Z 时，()f x 取得最大值2．18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间几何体中线、面的位置关系，考查空间想象能力和运算求解能力）（1）证明：在正方形11AA A A ''中，∵5A C AA AB BC ''=--=， ∴三棱柱111ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =． ∵3AB =，4BC =，∴222AB BC AC +=，则AB BC ⊥．∵四边形11AA A A ''为正方形，11AA BB ，∴1AB BB ⊥，而1BCBB B =，∴AB ⊥平面11BCC B ． （2）解：∵AB ⊥平面11BCC B ，∴AB 为四棱锥A BCQP -的高．∵四边形BCQP 为直角梯形，且3BP AB ==，7CQ AB BC =+=，∴梯形BCQP 的面积为()1202BCQP S BP CQ BC =+⨯=， ∴四棱锥A BCQP -的体积1203A BCQP BCPQ V S AB -=⨯=，由（1）知1B B AB ⊥，1B B BC ⊥，且AB BC B =，∴1B B ⊥平面ABC ．∴三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，∴三棱柱111ABC A B C -的体积为111172ABC A B C ABC V S BB -∆=⋅=． 故平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分的体积之比为722013205-=．19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力）解：（1）∵51=a ，∴22122113a a =+-=，33222133a a =+-=．（2）方法1：假设存在实数λ，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设2n n na b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有3122b b b +=． ∴321232222a a a λλλ+++⨯=+．∴13533228λλλ+++=+． 解得，1λ=-．事实上，1111122n n n n n n a a b b +++---=-()111212n n n a a ++=-+⎡⎤⎣⎦()1112112n n ++⎡⎤=-+⎣⎦1=．综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列． 方法2：假设存在实数λ，使得2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设2n n na b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有122n n n b b b ++=+（*n ∈N ）． ∴12122222n n n n n n a a a λλλ+++++++⨯=+．∴1244n n n a a a λ++=--()()121222n n n n a a a a +++=---()()12221211n n ++=---=-．综上可知，存在实数1λ=-，使得数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列．20．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）解：（1）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =-．由方程214.y kx x y =-⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx -+=． ·············· ①∵直线l 与抛物线24x y =相交于A ，B 两点， ∴216160k ∆=->，解得1k >或1k <-． 故直线l 斜率的取值范围为()(),11,-∞-+∞．（2）解法1：∵1x ，2x 是方程①的两实根，∴12124,4.x x k x x +=⎧⎨=⎩ ∴10x ≠，20x ≠．∵214y x =，∴12y x '=．∵21114y x =，∴切线1l 的方程为211111()24y x x x x =-+．令1y =-，得点M 的坐标为2114,12x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．∴21142x PM x -=．同理，可得22242x PN x -=．∵22121221222121212142444124444PMx x x x x x x PN x x x x x x x ---=⋅===---（12x x ≠）．故PM PN =．解法2：可以断定PM PN =． ∵1x ，2x 是方程①的两实根， ∴12124,4.x x k x x +=⎧⎨=⎩ ∴10x ≠，20x ≠．∵214y x =，∴12y x '=． ∵21114y x =，∴切线1l 的方程为211111()24y x x x x =-+．令1y =-，得点M 的坐标为2114,12x x ⎛⎫--⎪⎝⎭． 同理可得点N 的坐标为2224,12x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∵()()2212121212124440222x x x x x x x x x x +---+==．∴点P 是线段MN 的中点． 故PM PN =．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）（1）解：∵()1xf x e '=-，令()0f x '=，得0x =．∴当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．∴函数()xf x e x =-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增．∴当0x =时，()f x 有最小值1．（2）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1xe x -≥，即1xx e +≤．令k x n=-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n ke n-<-≤，∴1(1,2,,1)nnkkn k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即(1,2,,1)nk n k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭．∵1,nn n ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴(1)(2)211211n nn nn n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∵(1)(2)2111111111n n n e eeee e e e e ----------+++++=<=---，∴ 1211n nnnn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。

高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|x＞0}，则（）A. A∩B=∅B. A∪B=RC. B⊆AD. A⊆B2.已知a为实数，若复数(a+i)(1-2i)为纯虚数，则a＝（）A. -2B.C.D. 23.已知双曲线的一条渐近线过点（b，4），则C的离心率为（）A. B. C. D. 34.，为平面向量，己知=（2，4），=（0，8），则，夹角的余弦值等于（）A. B. C. D.5.若sinα＞sinβ＞0，则下列不等式中一定成立的（）A. sin2α＞sin2βB. sin2α＜sin2βC. cos2α＞cos2βD. cos2α＜cos2β6.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A. B. C. D.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则直线CE与D1F所成角的大小为（）A. B. C. D.8.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f（t）的图象大致是（）A. B.C. D.9.函数最大值是（）A. 2B.C.D.10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A.B. 7πC.D. 8π11.已知F为抛物线C：y2=6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则|AB|=（）A. 6B. 8C. 10D. 1212.已知函数f（x）=e|x|-ax2，对任意x1＜0，x2＜0，都有（x2-x1）（f（x2）-f（x1））＜0，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=x3+a log3x，若f（2）=6，则=______．14.已知以点（1.2）为圆心的圆C与直线x+2y=0相切，则圆C的方程为______．15.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是______．16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，c=3，C=2B，则△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是等差数列，且lg a1＝0，lg a4＝1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a1，a k，a6是等比数列{b n}的前3项，求k的值及数列{a n+b n}的前n项和．18.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD=，cos∠BPD=，求三棱锥A-BCD的体积．19.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这（）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断99.9%附：，n=a+b+c+d20.已知椭圆的一个焦点为F（1，0），点在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆C相交于A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若在在，求点M的坐标：若不存在，说明理由．21.已知函数f（x）=e x-1+a，g（x）=ln x，其中a＞-2．（1）讨论函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点个数；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象无交点，设直线y=t与的数y=f（x）和y=g （x）的图象分别交于点P，Q．证明：|PQ|＞a+1．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=|x+a|-|2x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由x2-2x＜0，得：0＜x＜2，则集合A={x|0＜x＜2}，A、A∩B=A，故本选项错误．B、A∪B=B，故本选项错误．C、A⊆B，故本选项错误．D、A⊆B，故本选项正确．故选：D．先由二次不等式，得到集合A，再借助数轴，得到集合A，B的关系，以及集合A，B 的交集和并集．本题考查二次不等式的解法，以及集合的交并集和集合之间的包含关系．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题.根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．【解答】解：（a+i）（1-2i）=a+2+（1-2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1-2a≠0，得a=-2且a≠，即a=-2，故选：A．3.【答案】C【解析】解：双曲线的渐近线方程为y=±bx，由题意可得4=b2，可得b=2，则双曲线的离心率为e===．故选：C．求得双曲线的渐近线方程，由题意可得b=2，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查向量的数量积和向量的夹角求法，属于基础题．由题意利用向量的数量积公式，求得，夹角的余弦值．【解答】解：己知=（2，4），=（0，8），∴=[-（-2）]=（1，-2），∴•=2-8=-6．设，夹角为，又•=||•||•cosθ=2••cosθ=10cosθ，∴10cosθ=-6，∴cosθ=-，故选：B．5.【答案】D【解析】解：∵cos2α=1-2sin2α，cos2β=1-2sin2β，∵sinα＞sinβ＞0，∴sin2α＞sin2β＞0，-2sin2α＜-2sin2β，则1-2sin2α＜1-2sin2β，即cos2α＜cos2β，故选：D．利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式大小的半径，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题.由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：=，所以=，即π=，得解【解答】解：由几何概型中的面积型可得：=，所以=，即π=，故选：C．7.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z国，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则C（0，2，0），E（2，1，0），D1（0，0，2），F（1，2，0），=（2，-1，0），=（1，2，-2），设直线CE与D1F所成角的大小为θ，则cosθ==0，∴θ=．∴直线CE与D1F所成角的大小为．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z国，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与D1F所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．8.【答案】B【解析】解：函数h=f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵sin（x+）=sin（+x-）=cos（x-），∴f（x）=sin（x+）+cos（x-）=sin x cos+cos x sin+cos x cos+sin x sin=（sin+cos）sin x+（sin+cos）cos x，∵sin+cos=sin（+）=sin=．∴f（x）=sin x+cos x=sin（x+）．∴f（x）的最大值为．故选：C．根据诱导公式和两角和的正弦公式化简f（x）即可得出结论．本题考查了三角恒等变换，三角函数的最值，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2=7π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=6x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=-设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+=3（x2+），∴x1=3x2+3∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=，x2=，∴|AB|=（x1+）+（x2+）=8．故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的长度．．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．12.【答案】A【解析】解：由题意可知函数f（x）是（-∞，0）上的单调递减函数，且当x＜0时，，据此可得：2axe x+1≥0，即恒成立，令g（x）=xe x（x＜0），则g'（x）=e x（x+1），据此可得函数g（x）在区间（-∞，-1）上单调递减，在区间（-1，0）上单调递增，函数g（x）的最小值为，则，据此可得：实数a的取值范围是．故选：A．由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数a的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中等题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查函数值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题．根据题意，由f（2）的值分析可得f（2）=8+a log32=6，变形可得a log32=-2，则有则=（）3+a log3=-a log32，代入计算可得答案．【解答】解：因为f（x）=x3+a log3x，所以f（2）=8+a log32=6，所以a log32=-2，所以=+a log3=-a log32=.故答案为．14.【答案】（x-1）2+（y-2）2=5【解析】解：根据题意，设圆C的半径为r，以点（1.2）为圆心的圆C与直线x+2y=0相切，则有r==，则圆C的方程为（x-1）2+（y-2）2=5；故答案为：（x-1）2+（y-2）2=5．根据题意，设圆C的半径为r，由直线与圆的位置关系可得r==，结合圆的标准方程分析可得答案．本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．15.【答案】（]【解析】解：作出x，y的不等式组，对应的平面如图：C（-m，-2），A（-m，1-2m），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使该平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，-2）在直线x-2y=2的下方或在该直线上，即-2≤-m-1，解得m≤2，并且A在直线x-2y=2的上方或在该直线上，可得1-2m≥-1，解得m，综上，m的取值范围为（-∞，]．故答案为：（-∞，]．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．画出可行域，C（-m，-2），A（-m，1-2m），由题意得点C（-m，-2）在直线x-2y=2的下方或在该直线上，并且A在直线x-2y=2的上方或在该直线上，由此可解.16.【答案】【解析】解：∵b=2，c=3，C=2B，∴由正弦定理，可得：，可得：==，∴可得：cos B=，可得：sin B==，∴可得：sin C=sin2B=2sin B cosB=，cos C=cos2B=2cos2B-1=，∴sin A=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C==，∴S=bc sin A==．故答案为：．由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B的值，利用二倍角公式可求sin C，cos C的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）数列{a n}是等差数列，设公差为d，且lg a1=0，lg a4=1．则：，解得：d=3所以：a n=1+3（n-1）=3n-2．（Ⅱ）若a1，a k，a6是等比数列{b n}的前3项，则：，又a k=3k-2>0，即3k-2=4，解得k=2，所以等比数列{b n}的公比为q==4．所以．则，故：==．【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．（Ⅰ）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用等比数列求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．18.【答案】解：（1）证明：如图所示，因为△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，所以Rt△ABD≌Rt△BCD，可得AD=CD，又因为点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，又PD∩PB=P，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以平面ACD⊥平面BDP；（2）设AB=a，在Rt△ABD中，BD=，则AD==；在等边△ABC中，BP=AB=a，在等腰△ACD中，DP===；在△BPD中，由cos∠BPD=，得sin∠BPD=；由余弦定理得BD2=BP2+DP2-2•BP•cos∠BPD，即6=a2+6-a2-2×a××（-），解得a=2；所以△BPD的面积为S=•BP•DP•sin∠BPD=，所以三棱锥A-BCD的体积为V=•AC•S△BPD=×2×=．【解析】（1）证明PD⊥AC，PB⊥AC，得出AC⊥平面PBD，从而证明平面ACD⊥平面BDP；（2）利用直角三角形以及余弦定理求出AB的值，计算△BPD的面积和AC的值，即可求得三棱锥A-BCD的体积．本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，以及三棱锥体积的计算问题，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为=（7.5×18+12.5×12+17.5×9+22.5×9+27.5×6+32.5×4+37.5×2）≈16.92；所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92．（ 2）设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[5，10），[l0，15），[15，20）的女性客户中抽取1人（设为a），2人（设为A，B）4人，（设为c1，c2，c3，c4），从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA，aB，ac1，ac2，ac3，ac4，AB，Ac1，Ac2，Ac3，Ac4，Bc1，Bc2，Bc3，Bc4，c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共21种，其中事件A所包含的基本事件为：c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共6个，则事件A发生的概率P==．（3）依题意得2×2列联表如下则=≈16.667＞10.828．故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关．【解析】（1）根据平均数的公式进行计算即可．（2）利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可．（3）完成2×2列联表，计算K2的值，利用独立性检验的性质进行判断即可．本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．20.【答案】解：（1）由题意可得c=1，点在C上，∴+=1，又a2=b2+c2=b2+1，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为+=1，（2）假设y轴上存在点M（0，t），△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为N（x0，y0），由，消去y可得7x2+8mx+4m2-12=0，△=64m2-28（4m2-12）=16（21-3m2）＞0，解得m2＜7，∴x1+x2=-，x1x2=，∴x0=-=-，y0=x0+m=，∴N（-，），依题意有AM⊥BM，MN⊥l，由MN⊥l，可得×1=-1，可得t=-，由AM⊥BM可得•=-1，∵y1=x1+m，y2=x2+m，代入上式化简可得2x1x2+2（m-t）（x1+x2）+（m-t）2=0，则-（）2+（）2=0，解得m=±，当m=时，点M（0，-）满足题意，当m=-时，点M（0，）满足题意【解析】（1）先求出c的值，再根据+=1，又a2=b2+c2=b2+1，即可得到椭圆的方程，（2）假设y轴上存在点M（0，t），△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为N（x0，y0），根据韦达定理求出点N的坐标，再根据AM⊥BM，MN⊥l，即可求出m的值，可得点M的坐标本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21.【答案】解：（1）函数y=f（x）与y=g（x）的图象交点个数即方程e x-1+a=ln x根的个数，设F（x）=e x-1+a-ln x，x＞0．则在（0，+∞）上单调递增，且F’（1）=0．当x∈（0，1）时，F’（x）＜F’（1）=0，则F（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时，F’（x）＞F'（1）=0，则F（x）在（1，+∞）上单调递增．所以，当x=1时，F（x）min=F（1）=l+a．当a+1＞0，即a＞-1时，函数F（x）无零点，即函数y=f（x）与y=g（x）的图象无交点；当a=-1时，函数F（x）有一个零点，即函数y=f（x）与y=g（x）的图象有一个交点；当-2＜a＜-1时，．又F（1）=1+a＜0．F（3）=e2+a-ln3＞e2-2-ln3＞e2-4＞0，所以F（x）=e x-1+a-ln x在（e a，1）和（1，3）上分别有一个零点．所以，当-2＜a＜-1时，F（x）有两个零点，即函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个交点．综上所述：当a＞-1时，函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点个数为0；当a=-1时，函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点个数为1；当-2＜a＜-1时，函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点个数为2．（2）由（1）可知，当函数y=f（x）与y=g（x）的图象无交点时，a＞-1．设P（m，t），Q（n，t），由得m=1+In（t-a），由ln=t得n=e t，|PQ|=|n-m|=|e t-ln（t-a）-1|．设h（t）=e t-ln（t-a）-1，先证明不等式e t≥1+t，再证明t-In（t-a）≥a+1，t∈（a，+∞）．设p（t）=e t-1-t．则p’（t）=e t-1．当t∈（0，+∞）时，p’（t）=e t-1＞0，p（t）=e t-1-t在（0，+∞）上单调递增，当t∈（-∞，0）时，p’（t）=e t-1＜0，p（t）=e t-1-t在（-∞，0）上单调递减，所以p（t）≥p（0）=0，即e≥1+t．设q（t）=t-ln（t-a）-a-1．则．当t∈（a，a+1）时，q’（t）＜0，q（t）单调递减：当t∈（a+1，+∞）时，q’（t）＞0，q（t）单调递增．所以q（t）≥q（a+1）=0，即t-1n（t-a）≥a+1．所以h（t）=e t-ln（t-a）-1≥1+t-ln（t-a）-1=t-ln（t-a）≥a+1．因为t=a+1时，t-ln（t-a）≥a+1中等号成立，t=0时，e t≥l+t中等号成立，而t=a+1＞0，所以等号不能同时成立．所以h（t）=e t-ln（t-a）-1＞a+1．所以IPQl＞a+1．【解析】（1）原问题等价于求解方程e x-1+a=ln x根的个数，据此构造函数，分类讨论即可确定交点的个数；（2）由（1）可知，当函数y=f（x）与y=g（x）的图象无交点时，a＞-1，据此构造函数证明题中的不等式即可．本题主要考查导数研究函数零点的个数，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22.【答案】解：（1）曲线C1的普通方程为y=1-x2（-1≤x≤1），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ（cosθ-a sinθ）=，得直线C2的直角坐标方程为y-ax=，即ax-y+=0，（2）由直线C2：ax-y+=0，知C2恒过点M（0，），由y=1-x2（-1≤x≤1），当时，得x =±1，所以曲线C1过点P（-1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1==，直线MQ的斜率k2==-，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即-，所以a的取值范围为[-，]．【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，曲线的参数方程，属中档题．（1）利用平方关系消去参数t可得C1的普通方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+1|-|2x-1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x-1|，可得（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）＞0，即3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）=|x+a|-|2x-1|=|x+a|-|x-|-|x-|≤|x+a-x+|-0=|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|=a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。

⼴东省⼴州市2020届⾼三综合测试⼀模数学（⽂科）试题（含答案）⼴东省⼴州市2020届⾼三普通⾼中毕业班综合测试⼀（⼀模）数学（⽂）试题⼀?选择题:本题共12⼩题, 每⼩题5分,共60分?在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, M={3,4,5}, N={1,3,6}, 则集合{2,7} 等于A. M ∩N .()U B M N ?e .()U C M N ?e D. M ∪N2.某地区⼩学,初中,⾼中三个学段的学⽣⼈数分别为4800⼈,4000 ⼈, 2400 ⼈?现采⽤分层抽样的⽅法调查该地区中⼩学⽣的“智慧阅读”情况,在抽取的样本中,初中学⽣⼈数为70⼈,则该样本中⾼中学⽣⼈数为A.42⼈B.84⼈C.126 ⼈D.196⼈3. 直线kx-y+1=0与圆x 2 +y 2 +2x-4y+1=0的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.不确定4.已知函数ln ,0(),0,x x x f x e x >??=?≤??则1[()]4f f 的值为 A.4 B.2 1.2C 1.4D 5.⼰知向量a =(2, 1), b =(x, -2),若|a +b |=|2a -b |. 则实数x 的值为4.9A 1.2B 9.4C D.26.如图所⽰,给出的是计算-111124622++++L 值的程序框图,其中判断框内应填⼊的条件是A.i> 9B. i> 10C. i> 11D. i> 127.设函数1()2cos()23f x x π=-,若对任意x ∈R 都有12()()()f x f x f x ≤≤成⽴,则12||x x -的最⼩值为 A.4π B.2π C. π .2D π8.刘徽是我国古代伟⼤的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出⼗进⼩数概念的⼈,他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则?提出了“割圆术”,并⽤“割圆术”求出圆周率π为3.14.刘徽在割圆术中提出的“割之弥细,所失弥少,割之⼜割以⾄于不可割,则与圆合体⽽⽆所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作?其中“割圆术”的第⼀步是求圆的内接正六边形的⾯积,第⼆步是求圆的内接正⼗⼆边形的⾯积, 依次类推?若在圆内随机取⼀点, 则该点取⾃该圆内接正⼗⼆边形的概率为.A .B 3.C π .D9.已知1sin cos 05a a απ-=?<<，则cos2α= 7.25A - 7.25B 24.25C 24.25D - 10.已知点00(,)P x y 在曲线C:321y x x =-+上移动,曲线C 在点P 处的切线的斜率为k,若1[,21].3k ∈-则0x 的取值范围是75.[,]37A - 7.[,3]3B - 7.[,)3C -+∞ D. [-7,9]11. 已知O 为坐标原点,设双曲线C:22221x y a b-=(a> 0,b> 0)的左,右焦点分别为1,F 2,F 点P 是双曲线C 上位于第⼀象限内的点.过点2F 12F PF ∠的平分线的垂线,垂⾜为A,若12||2||b F F OA =-,则双曲线C 的离⼼率为5.4A 4.3B 5.3C D.212.在三棱锥A-BCD 中,△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三⾓形,且⼆⾯⾓A- BD-C 的平⾯⾓为120°,则该三棱锥的外接球的表⾯积为A.7πB.8π 16.3C π 28.3D π⼆?填空题:本题共4⼩题,每⼩题5分,共20分?13. 已知复数.z 则24z z +=___14.⼰知函数()f x在区间(0,+∞)上有最⼩值4，则实数k=__. 15. 已知直线a ⊥平⾯α,直线b ?平⾯β,给出下列5个命题:①若α//β,则a ⊥b;②若α⊥β,则a ⊥b;③若α⊥β,则a//b;④若a//b,则α⊥β;⑤若a ⊥b,则α// β,其中正确命题的序号是____.16. 如图,在平⾯四边形ABCD 中，,2BAC ADC π∠=∠=,6ABC π∠=,12ADB π∠=则tan ∠ACD=____.三?解答题:共70分?解答应写出⽂字说明?证明过程和演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考⽣都必须做答?第22?23题为选考题,考⽣根据要求做答.(⼀)必考题:共60分?17. (12分)已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满⾜,n n a n S =-设 1.n n b a =-(1)求123,,a a a(2)判断数列{}n b 是否是等⽐数列,并说明理由;(3)求数列{}n a 的前n 项和.n S18.(12分)如图1,在边长为2的等边△ABC 中,D,E 分别为边AC, AB 的中点?将△ADE 沿DE 折起,使得AB ⊥AD,得到如图2的四棱锥A-BCDE,连结BD, CE,且BD 与CE 交于点H.(1)证明:AH 上BD;(2)设点B 到平⾯AED 的距离为1,h 点E 到平⾯ABD 的距离为2,h 求2h h 的值?19. (12 分)某种昆⾍的⽇产卵数和时间变化有关,现收集了该昆⾍第1夭到第5天的⽇产卵数据: 第x 天1 2 3 4 5 ⽇产卵数y (个) 6 12 25 49 95(1)根据散点图,利⽤计算机模拟出该种昆⾍⽇产卵数y 关于x 的回归⽅程为a bx y e +=(其中e 为⾃然对数的底数),求实数a, b 的值(精确到0.1) ;(2)根据某项指标测定,若⽇产卵数在区间68(,)e e 上的时段为优质产卵期,利⽤(1)的结论,估计在第6天到第10天中任取两天,其中恰有1天为优质产卵期的概率.附:对于⼀组数据1122(,),(,),,(,),n n v v v µµµL 其回归直线µ=α+βv 的斜率和截距的最⼩⼆乘估计分别为1221,n i i n i i inv v v nvv µµβαµβ==?==---?∑∑20.(12分)已知⊙M 过点(3,0).A 且与⊙N ：22(3)16x y ++=内切,设⊙M 的圆⼼M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的⽅程:(2)设直线l 不经过点B(0, 1)且与曲线C 相交于P, Q 两点.若直线PB 与直线QB 的斜率之积为1,4-判断直线l 是否过定点,若过定点,求出此定点坐标;若不过定点,请说明理由.21. (12 分)⼰知函数()()(0)bx f x x a e b =+≠的最⼤值为1,e且曲线y= f(x)在x=0处的切线与直线y=x-2平⾏(其中e 为⾃然对数的底数) .(1)求实数a,b 的值;(2) 如果120,x x <<且12()(),f x f x =求证:123 3.x x +>(⼆)选考题:共10分.请考⽣在第22?23题中任选⼀题作答.如果多做,则按所做的第⼀题计分.22. [选修4-4:坐标系与参数⽅程] (10 分)在平⾯直⾓坐标系xOy 中,曲线1C 的参数⽅程为3,12x t y t =+??=+?(t 为参数),曲线2C 的参数⽅程为x y θ?==?( θ为参数,且3(,)22ππθ∈)(1)求曲线1C 和2C 的普通⽅程;(2)若A, B 分别为曲线12,C C 上的动点,求|AB|的最⼩值.23. [选修4- 5:不等式选讲] (10分)已知函数f(x)=|3x-6|+|x-a|, a ∈R.(1)当a=1时,解不等式f(x)<3;(2)若不等式f(x)<11-4x 对任意3[4,]2 x ∈--恒成⽴,求实数a 的取值范围.。

2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{1A =-，0，1，2，3}，2{|20}B x x x =->，则(A B = )A ．{3}B ．{2，3}C ．{1-，3}D ．{0，1，2}2．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作试验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位；人次/天）分别为1x ，2x ，n x ⋯，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是()A ．1x ，2x ，n x ⋯的平均数B ．1x ，2x ，n x ⋯的标准差C ．1x ，2x ，n x ⋯的最大值D ．1x ，2x ，n x ⋯的中位数3．（5分）若复数2()1a ia R i-∈+为纯虚数，则|3|(ai -= ) AB ．13C ．10 D4．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A ．18B ．36C ．45D ．605．（5分）已知4cos()25πθ+=，322ππθ<<，则sin 2θ的值等于( )A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-6．（5分）若实数x ，y 满足001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………，则2z y x =-的最小值为( ) A ．2B ．2-C ．1D ．1-7．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱)色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2⨯勾⨯股+（股-勾）24=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为( ) A ．866 B ．500 C ．300 D ．1348．（5分）已知121231,,2x ln x e x -==满足3x e lnx -=，则( )A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<9．（5分）如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C D10．（5分）已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是( )A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈11．（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A ．17(1)a r +B ．17[(1)(1)]ar r r +-+C ．18(1)a r +D ．18[(1)(1)]ar r r+-+12．（5分）已知函数244()()x f x k lnx k x-=++，[4k ∈，)+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为( ) A ．8(,)5+∞B ．16(,)5+∞C ．8[,)5+∞D ．16[,)5+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知向量(3,2)a =-，(,1)b m =．若向量(2)//a b b -，则m = ．14．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈…，则当1n …时，n a = ．15．（5分）如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45︒、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为 ．16．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为52π，1AB =，若ABC ∆外接圆的圆心1O 在AC 上，半径11r =，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为 ．三、解答题：共70分。

2019年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学一、 选择题: 本题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1. （ ）已知集合{}2|20A x x x =-<,{}|0B x x =>, 则A ．AB =∅ B ．A B R =C ．B A ⊆D ．A B ⊆2. （ ）已知 a 为实数 , 若复数 ( a + i ) ( 1 - 2i ) 为纯虚数, 则 a =A ．-2B ．12-C ．12D ．23. （ ）已知双曲线222:1y C x b-=的一条渐近线过点 ( b , 4 ), 则 C 的离心率为 A ．52B ．32C ．5D ．34. （ ）a , b 为平面向量 , 已知 a = ( 2 , 4 )． 2a b -=( 0 , 8 ), 则 a , b 夹角的余弦值等于A ．45-B ．35-C ．35D ．455. （ ）若sin sin 0αβ>>, 则下列不等式中一定成立的是A ．sin 2sin 2αβ>B ．sin 2sin 2αβ<C ．cos 2cos 2αβ>D ．cos 2cos 2αβ<6. （ ）刘微是我国魏晋时期的数学家, 在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”．所谓“割圆术”, 是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以 此求取圆周率的方法．如图所示, 圆内接正十二边形的中心为圆心 O ． 圆 O 的半径为 2．现随机向圆 O 内投放 a 粒豆子, 其中有 b 粒豆子 落在正十二边形内 (),*,a b N b a ∈<, 则圆周率的近似值为 A ．b aB ．a bC ．3a bD ．3b a7. （ ）在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中 , 点 E , F 分别是棱 AB , BC 的中点 , 则直线 CE 与 D 1F 所成角的大小为 A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π8. （ ）如图 , 一高为H 且装满水的鱼缸 , 其底部装有一排水小孔 , 当小孔打开时 , 水从孔中匀速流出 , 水流完所用时间为 T ．若鱼缸水深为 h 时 , 水流出所用时间为 t , 则函数 h = f (t ) 图象大致是9. （ ）函数 ()5sin sin 1212f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是 A ．2B ．32C ．3D ．2310. （ ）一个几何体的三视图如图所示 , 其中正视图和俯视图中的四边形是边长为 2 的正方形 , 则该几何体的表面积为A ．132πB ．7πC ．152πD ．8π11. （ ）已知 F 为抛物线2:6C y x = 的焦点 , 过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A , B 两点 , 且 | AF |= 3 | BF | , 则 | AB | = A ．6B ．8C ．10D ．1212. （ ）已知函数()||2x f x e ax =-, 对任意 10x <, 20x <, 都有 ()()()()21210x x f x f x --<．则实数a 的取值范围是 A ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,02e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、 填空题: 本题共4小题, 每小题5分, 共20分．13. 已知函数()33log f x x a x =+, 若()26f =, 则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____________14. 已知以点 ( 1, 2 ) 为圆心的圆 C 与直线 x + 2y = 0 相切 , 则圆 C 的方程为_______________________15. 已知关于 x , y 的不等式组210020x y x m y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域内存在点()00,P x y , 满足 0022x y -=, 则m 的取值范围是_____________________________16. △ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 已知 b =2, c =3, C =2B , 则 △ABC 的面积为_____________三、 解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答． （一） 必考题: 共60分17. (12分)已知{}n a 是等差数列 , 且 1lg 0a =, 4lg 1a =.(1)求数列 {}n a 的通项公式；(2)若 16,,k a a a 是等比数列 {}n b 的前 3 项 , 求 k 的值及数列 {}n n a b + 的前n 项和．18. (12分)如图 , 在三棱锥 A -BCD 中 , △ABC 是等边三角形．∠BAD ＝∠BCD = 90°, 点 P 是 AC 的中点 , 连接 BP , DP ．(1)证明: 平面 ACD ⊥ 平面 BDP ; (2)若BD =, cos BPD ∠=, 求三棱锥 A -BCD 的体积． BD19.(12分)某网络平台从购买该平台某课程的客户中, 随机抽取了100位客户的数据, 并将这100个数据按学,(1)根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表, 结果保留小数点后两位)；(2)从这100位客户中, 对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人, 再从这7人中随机抽取2人, 求这2人购买的学时数都不低于15的概率；(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”, 25学时以下者视为“非十分爱好该课程者”, 请根据已知条件完成以下2x2列联表, 并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？附:()()()()()2,n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++20. (12分)已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b +=>> 的一个焦点为 F (1, 0) , 点 23P ⎛ ⎝⎭在 C 上． (1)求椭圆 C 的力程;(2)若直线 :l y x m =+ 与椭圆 C 相交于 A , B 两点, 问 y 轴上是否存在点 M , 使得 △ABM 是以 M为直角顶点的等腰直角三角形 ？若存在 , 求点 M 的坐标;若不存在 , 说明理由．21. (12分)已知函数()1x f x e a -=+, ()ln g x x =, 其中 2a >-.(1)讨论函数 ()y f x = 与 ()y g x = 的图象的交点个数；(2)若函数 ()y f x = 与 ()y g x = 的图像无交点 , 设直线 y t = 与函数 ()y f x = 和 ()y g x = 的图象分别交于点 P , Q ．证明: 1PQ a >+．（二） 选考题: 共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．22. [必修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 1 的参数方程为 2cos sin x ty t=⎧⎨=⎩( t 为参数)．以坐标原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 直线 C 2 的极坐标方程为 ()()1sin cos 2a a R ρθθ-=∈．(1)写出曲线 C 1 的普通方程和直线 C 2 的直角坐标方程; (2)若直线 C 2 与曲线 C 1 有两个不同交点 , 求a 的取值范围．23. [选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数 ()21f x x a x =+--(1)当 a = 1 时, 求不等式 ()0f x > 的解集:(2)若 a > 0, 不等式 ()1f x < 对 x R ∈ 都成立, 求 a 的取值范围．参考答案一．选择题二．填空题13.17814. ()()22125x y -+-=15. 4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦16.三．解答题{}()41111417.1lg 0lg 11 3103132n n a a a d a a a d d a a n d n ∴=∴=+==∴=+=-==-解（设）公差为又解得 {}112362121611,32,4*3216424k k k n k b qb a b a k b a a a a a k N a k k b q b ∴=±∈∴=-====-====∴=∴==（设比）公2为{}()()()()()()()11221211112413214214314123n n n n n n n n n n nn n a b n S S a b a b a b a b b q n n n a a b b n b --+===∴=+--+++++++=+---=+++++++前项和设为,908°1.ABC BA BC P AC BP ACBAD BCD AD CD AD CD P AC PD ACBP AC PD AC BP PD P BP PD BDP AC BDP AC ACD=======⊂⊂在△中,为的中点∴⊥又∵∠∠∴∴又∵为的中点∴⊥∵⊥，⊥，，、平面∴⊥平面又∵平1)面解:(22(2),3566cos ACD BDP AB AC BC a BP CD PD BPD a a BPD ====+--=∴平面⊥平面设∴在△中，由余弦定理，得∠24221sin sin 213123BPD A BCD A BPD C BPD BPD a a a BP PD BPD BP PD BPD S V V V S AC---===-==••===+=•=△△解得∴或（舍去）∴∠∠∴∴[)[)[)[)7.51812.51217.5922.5927.5632.5437.5218129864220316.9212(2)20248=1475,1010,1515,201247619.(2=2124315,202=622151)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++++++=≈++⨯⨯学时数以下的女性：人分层抽样人，则学时数在，，分别为、、人抽取人共有种可能在中抽取人共有所以这人购买的学时数都不低于解：的概率P 62=217=()221004816(35016.676)4812601624406436100241210.82840643699.9%?”03K ⨯⨯⨯=≥⨯-≈⨯⨯=非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计男性女性合计所以有的把握认为十分爱好该课程者与性别有关一测理综物理试题二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。

2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1. 已知集合{1,2,3,4,5,6,7},{3,4,5},{1,3,6}U M N ===，则集合{2,7}等于（ ） A. M N ⋂ B.()UM NC.()UM N ⋂D. M N ⋃【答案】B 【解析】 【分析】由已知求出N {3},N {1,3,4,5,6}M M ⋂=⋃=，再求其补集，可判断结果． 【详解】解：由已知：N {3},N {1,3,4,5,6}M M ⋂=⋃= ∴()UM N {1,2,4,5,6,7}⋂=，(){2,7}U M N ⋃=故选：B【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题． 2. 某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本中高中学生人数为（ ） A. 42人 B. 84人C. 126 人D. 196人【答案】A 【解析】 【分析】设高中抽取人数为x ，根据条件，建立比例关系进行求解即可． 【详解】解：设高中抽取人数为x 则7040002400x=，得42x = 故选：A【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，属于基础题.3. 直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定【答案】A【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论．【详解】解：圆方程可整理为22(1)(2)4x y ++-=，则圆心(1,2)-，半径2r ，直线恒过点(0,1)因为(0,1)在圆内，所以直线与圆相交 故选：A【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题.4. 已知函数ln ,0()0xx x f x e x ⎧=⎨≤⎩＞,，则14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（ ） A. 4 B. 2C.12D.14【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，先求出14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，再求14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值． 【详解】解：因为ln ,0()0x x x f x e x ⎧=⎨≤⎩＞,11ln 44f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭；1ln 41144f fe ⎡⎤⎛⎫∴== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故选：D【点睛】本题主要考查了分段函数的函数值，属于基础题．5. 已知向量(2,1),(,2)a b x ==-，若2a b a b +=-，则实数x 的值为（ ） A.49B.12C.94D. 2【答案】C【分析】由向量a 和向量b 的坐标求出向量a b +和向量2a b -的坐标，再利用2a b a b +=-，即可求出x 的值．【详解】解：∵向量(2,1),(,2)a b x ==- ∴(2,1),2(4,4)a b x a b x +=+--=- ∵2a b a b +=-∴2222(2)(1)(4)4x x ++-=-+，解得94x = 故选：C【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的模长公式，是基础题． 6. 如图所示，给出的是计算111124622++++值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A. i ＞9B. i ＞10C. i ＞11D. i ＞12【答案】C 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出s 的值，模拟循环过程可得条件．【详解】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：0,2,1s n i ===不满足条件，第1圈：10,4,22s n i =+== 不满足条件，第2圈：11,6,324s n i =+== 不满足条件，第3圈：111,8,4246s n i =++== … 依此类推不满足条件，第10圈：1111,22,1124620s n i =+++⋯+== 不满足条件，第11圈：11111,24,122462022s n i =+++++== 此时，应该满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：11?i >． 故选：C【点睛】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误，属于基础题． 7. 设函数()12cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若对于任意的x R ∈都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ） A.2πB. πC. 2πD. 4π【答案】C 【解析】【分析】由题意结合三角函数的图象与性质可得12min22Tx x π-==，即可得解. 【详解】由题意知函数()f x 的最小正周期2412T ππ==，()1f x 、()2f x 分别为函数()f x 的最小值和最大值，所以12min22Tx x π-==. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，属于基础题.8. 刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率π为3.14．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推．若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内接正十二边形的概率为（ ） A.332πB.3622πC.3πD.362π【答案】C 【解析】 【分析】设圆的半径为1，分别求出圆的面积及圆内接正十二边形的面积，由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设圆的半径为1，圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为3603012︒=︒ 则圆内接正十二边形的面积为：11211sin 3032⨯⨯⨯⨯=︒ 圆的面积为21ππ⨯=，由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是3π． 故选：C【点睛】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出圆内接正十二边形的面积，是基础题． 9. 已知1sin cos ,05αααπ-=<<，则cos2=α（ ） A. 725-B.725C.2425D. 2425-【答案】A 【解析】 【分析】 把1sin cos 5αα-=平方可得2sin cos αα的值，从而求得sin cos αα+的值，再利用二倍角的余弦公式求得22cos 2cos sin (sin cos )(sin cos )ααααααα=-=--+的值．【详解】解：1sin cos ,05αααπ-=<<，∴平方可得：12412sin cos ,2sin cos 02525αααα-==> α为锐角．2247sin cos (sin cos )12sin cos 1255αααααα∴+=+=+=+= 22177cos 2cos sin (sin cos )(sin cos )5525ααααααα∴=-=--+=-⨯=-故选：A【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，考查了转化思想，属于中档题.10. 已知点()00,P x y 在曲线32:1C y x x =-+上移动，曲线C 在点P 处的切线的斜率为k ，若1,213k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则0x 的取值范围是（ ）A. 75,37⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 7,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 7,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. [7,9]-【答案】B 【解析】 【分析】先求出321y x x =-+的导数，然后求出曲线C 在点()00,P x y 处的切线斜率k ，再根据1,213k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出0x 的取值范围．【详解】解：由321y x x =-+，得232y x x '=-则曲线C 在点()00,P x y 处的切线的斜率为0200'|32x x k y x x ===-20011,21,32,2133k x x ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即20020032322113x x x x ⎧≤⎪⎨≥---⎪⎩∴0733x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,． 故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.11. 已知O 为坐标原点，设双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的左右焦点分别为12F F ，，点P 是双曲线C 上位于第一象限上的点，过点2F 作12F PF ∠角平分线的垂线，垂足为A ，若122b F F OA =-，则双曲线的离心率为（ ）A.54B.43C.53D. 2【答案】C 【解析】 【分析】延长2F A 交1F P 于点Q ，由题意结合平面几何知识可得2F A AQ =，2PF PQ =，进而可得11222OA FQ F P F P a ==-=，结合双曲线的性质即可得223850c ac a -+=，即可得解.【详解】延长2F A 交1F P 于点Q ，高考资源网（ ） 您身边的高考专家PA 平分12F PF ∠，2F A PA ⊥， ∴2F A AQ =，2PF PQ =，又12FO OF =，∴11222OA FQ F P F P a ==-=， 122b F F OA =-，∴22b c a =-，又222+=a b c ，∴()22222a c a c +-=，化简得223850c ac a -+=，∴23850e e -+=，解得53e =或1e =（舍去）.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了转化化归思想和计算能力，属于中档题.12. 在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A . 7π B. 8πC.163πD.283π【答案】D 【解析】 【分析】如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°，分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°，进而可求得R 的值．【详解】解：如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH 因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形所以AH ⊥BD ，CH ⊥BD ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E ，F 则由AH ＝233⨯=可得AE 23=AH 233=，EH 13=AH 3= 分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点 记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60° 所以OE ＝1，则R ＝OA 22213AE EO =+=则三棱锥外接球的表面积221284493R πππ=⨯= 故选：D【点睛】本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形，数形结合是关键，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知复数22z =-．则24z z +=_____． 【答案】1i -- 【解析】 【分析】利用复数乘方运算和加法法则即可得出．【详解】解：2222112222z i i ⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭()2422()1z z i ∴==-=-241z z i ∴+=--故答案为：1i --【点睛】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．14. 已知函数()f x x x=(0,)+∞上有最小值4，则实数k ＝_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由函数在(0,)+∞上有最小值可知，k ＞0，再由基本不等式即可求得k 的值． 【详解】解：依题意，0k >，则()2f x x k x=≥，当且仅当x k =时，等号成立 则24k =，解得4k =． 故答案为：4．【点睛】本题考查已知函数的最值求参数的值，考查分析能力及计算能力，属于基础题． 15. 已知直线a ⊥平面α，直线b ⊂平面β，给出下列5个命题①若α∥β，则a ⊥b ；②若α⊥β，则a ⊥b ：③若α⊥β，则a ∥b ：④若a ∥b ，则α⊥β；⑤若a ⊥b 则α∥β，其中正确命题的序号是_____． 【答案】①④． 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个命题得答案．【详解】解：对于①，由a ⊥平面α，α∥β，得a ⊥β，又直线b ⊂平面β，∴a ⊥b ，故①正确；对于②，由a ⊥平面α，α⊥β，得a ∥β或a ⊂β，而直线b ⊂平面β，∴a 与b 的关系是平行、相交或异面，故②错误；对于③，由a ⊥平面α，α⊥β，得a ∥β或a ⊂β，而直线b ⊂平面β，∴a 与b 的关系是平行、相交或异面，故③错误；对于④，由a ⊥平面α，a ∥b ，得b ⊥平面α，又直线b ⊂平面β，∴α⊥β，故④正确； 对于⑤，由a ⊥平面α，a ⊥b ，得b ∥α或b ⊂α，又直线b ⊂平面β，∴α与β相交或平行，故⑤错误．∴其中正确命题的序号是①④．故答案为：①④．【点睛】本题考查命题的真假判断，空间中直线与平面，直线与直线，平面与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．16. 如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC2π=，∠ABC6π=，∠ADB12=π，则tan∠ACD ＝_____．33-．【解析】【分析】设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，进一步可得12BAD ABDππθθ∠=-∠=-，，再利用正弦定理可得sin3sinsin1212θπθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，通过三角恒等变换即可求得tanθ的值，进而得出答案．【详解】解：不妨设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ在△ABD中，22BADππθπθ∠=+-=-，∠ADB12=π，则12ABDπθ∠=-在△ABD中，由正弦定理得sin sinAD ABABD ADB=∠∠，即sin3sinsin1212θππθ=⎛⎫-⎪⎝⎭∴sin sin3sin cos cos sin121212πππθθθ⎫=-⎪⎭∴sin3sin3cos121212πππθθ⎛⎫=⎪⎝⎭∴2sin sin cos cos sin3cos61261212πππππθθ⎛⎫-=⎪⎝⎭∴2cossin 3cos 412ππθθ=，∴33623312tan 4422cos 4πθπ===． 33-． 【点睛】本题涉及了正弦定理，三角恒等变换等基础知识点，考查化简能力，构造能力以及计算能力，属于较难题目．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17. 已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且满足n n a n S =-，设1n n b a =-． （1）求123,,a a a ；（2）判断数列{}n b 是否是等比数列，并说明理由； （3）求数列{}n a 的前n 项和S n ． 【答案】（1）123137,,248a a a ===；（2）数列{}n b 是等比数列，理由见解析；（3） 112nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．【解析】 【分析】（1）n n a n S =-，可得111a a =-，解得122122a a a ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭，解得23331342a a a ⎛⎫⋅=-++ ⎪⎝⎭，解得3a ；（2）,2n n a n S n =-≥时，111n n a n S --=--，相减可得：()11112n n a a --=-，可得：112n n b b -=．即可得出结论；（3）由（2）可得：12nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 可得1n n a b =+，可得n n S n a =-. 【详解】解：（1）11,1n n a n S a a =-∴=-，解得112a =．22122a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得234a =．3331342a a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，解得378a =．（2）,2n n a n S n =-≥时，111n n a n S --=--，相减可得：121n n a a -=+， 变形为：()11112n n a a --=- 由1n n b a =-．可得：112n n b b -=． 11112b a =-=-∴数列{}n b 是等比数列，首项为12-，公比为12．（3）由（2）可得：1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则1112nn n a b ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭． 112n n n S n a n ⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的前几项，判断等比数列，以及求数列的和，属于中档题．18. 如图1，在边长为2的等边△ABC 中，D ，E 分别为边AC ，AB 的中点．将△ADE 沿DE 折起，使得AB ⊥AD ，得到如图2的四棱锥A ﹣BCDE ，连结BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ．（1）证明：AH BD ⊥；（2）设点B 到平面AED 的距离为h 1，点E 到平面ABD 的距离为h 2，求12h h 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）263． 【解析】 【分析】（1）在图1中，证明BD ⊥AC ，ED ∥BC ，则在图2中，有12DH ED HB BC ==，得DH 133BD ==然后证明△BAD ∽△AHD ，可得∠AHD ＝∠BAD ＝90°，即AH ⊥BD ；（2）由V B ﹣AED ＝V E ﹣ABD ，得12ABD AEDh S h S=，分别求出三角形ABD 与三角形AED 的面积得答案．【详解】（1）证明：在图1中，∵△ABC 为等边三角形，且D 为边AC 的中点，∴BD ⊥AC ， 在△BCD 中，BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝1，∴BD 3= ∵D 、E 分别为边AC 、AB 的中点，∴ED ∥BC ， 在图2中，有12DH ED HB BC ==，∴DH 133BD == 在Rt△BAD 中，BD 3=AD ＝1， 在△BAD 和△AHD 中，∵3DB DADA DH==BDA ＝∠ADH ∴△BAD ∽△AHD ．∴∠AHD ＝∠BAD ＝90°，即AH ⊥BD ； （2）解：∵V B ﹣AED ＝V E ﹣ABD ，∴121133AED ABD S h S h ⋅=⋅，则12ABD AEDh S h S=．∵△AED 是边长为1的等边三角形，∴34AEDS=． 在Rt△ABD 中，BD 3=AD ＝1，则AB 2=∴22ABDS=，则12263hh．【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，等体积法的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．19. 某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1天到第5天的日产卵数据：第x天 1 2 3 4 5日产卵数y（个） 6 12 25 49 95对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．51iix=∑521iix=∑()51lniiy=∑()51lniiix y=⋅∑15 55 15.94 54.75（1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于x的回归方程为a bxy e+=（其中e为自然对数的底数），求实数a，b的值（精确到0.1）；（2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间（e6，e8）上的时段为优质产卵期，利用（1）的结论，估计在第6天到第10天中任取两天，其中恰有1天为优质产卵期的概率．附：对于一组数据（v1，μ1），（v2，μ2），…，（v n，μn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆn i i ini iv u nv uv nvβ==∑-⋅=∑-，ˆˆu vαβ=-⋅．【答案】（1）a ≈1.1，b ≈0.7；（2）35【解析】 【分析】 （1）根据y ＝e a +bx，两边取自然对数得lny ＝a +bx ，再利用线性回归方程求出a 、b 的值； （2）根据y ＝e1.1+0.7x，由e 6＜e1.1+0.7x＜e 8求得x 的取值范围，再利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】解：（1）因为y ＝e a +bx ，两边取自然对数，得lny ＝a +bx ， 令m ＝x ，n ＝lny ，得n ＝a +bm ； 因为21515.9454.755 6.9355ˆ0.693555310b -⨯⨯===-⨯； 所以0.7b ≈；因为15.94ˆˆ0.73 1.0885an bm =-=-⨯=； 所以a ≈1.1；即a ≈1.1，b ≈0.7； （2）根据（1）得y ＝e1.1+0.7x，由e 6＜e 1.1+0.7x ＜e 8，得7＜x 697＜； 所以在第6天到第10天中，第8、9天为优质产卵期； 从未来第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有：(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10)共10种；其中恰有1天为优质产卵期的有：(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,10),(9,10)共6种；设从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的事件为A ， 则63()105P A ==； 所以从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概率为35． 【点睛】本题考查了非线性回归方程的求法以及古典概型概率的计算，也考查了运算求解能力，属于中档题．20. 已知⊙M 过点3,0)A ，且与⊙N ：22(3)16x y ++=内切，设⊙M 的圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）设直线l 不经过点(0,1)B 且与曲线C 相交于P ，Q 两点．若直线PB 与直线QB 的斜率之积为14-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，直线l 过定点(0,0) 【解析】 【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C 的轨迹方程；（2）设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则BP 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程，解得交点P ，同理可得Q 的坐标，考虑P ，Q 的关系，运用对称性可得定点．【详解】解：（1）设⊙M 的半径为R ，因为圆M 过3,0)A ，且与圆N 相切 所以||,||4R AM MN R ==-，即4MN MA +=， 由||4NA <，所以M 的轨迹为以N ，A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为2222x y a b +=1（a ＞b ＞0），则2a ＝4，且c 223a b =-=所以a ＝2，b ＝1，所以曲线C 的方程为24x +y 2＝1；（2）由题意可得直线BP ，BQ 的斜率均存在且不为0，设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则BP 的方程为y ＝kx +1，联立椭圆方程2244x y +=， 可得()221480kx kx ++=，解得12280,14kx x k==-+ 则222814,1414k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，因为直线BQ 的斜率为14k-，所以同理可得222814,1414k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，因为P ，Q 关于原点对称，（或求得直线l 的方程为2418k y x k-=）所以直线l 过定点(0,0)【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，椭圆中直线过定点问题，考查化简运算能力，属于中档题．21. 已知函数()()(0)bxf x x a e b =+≠的最大值为1e，且曲线()y f x =在x ＝0处的切线与直线2y x =-平行（其中e 为自然对数的底数）． （1）求实数a ，b 的值；（2）如果120x x <<，且()()12f x f x =，求证：1233x x +>． 【答案】（1）0,1a b ==-；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对原函数求导数，然后利用在x ＝0处切线的斜率为1，函数的最大值为1e列出关于a ，b 的方程组求解；（2）利用()()12f x f x =找到12,x x 的关系式2121x xx x e -=，然后引入21t x x =-，构造关于t的函数，将123x x +转换成关于t 的函数，求最值即可． 【详解】解：（1）由已知()(1)bxf x bx ab e '=++．则易知(0)11,0f ab ab '=+=∴=，又因为0b ≠，故a ＝0． 此时可得()(0),()(1)bxbxf x xe b f x bx e =≠'=+． ①若b ＞0，则当1x b<-时，()0,()f x f x '<递减； 当1x b>-时，()0,()f x f x '>递增． 此时，函数()f x 有最小值，无最大值． ②若b ＜0，则当1x b<-时，()0,()f x f x '>递增；当1x b>-时，()0,()f x f x '<递减． 此时1111()max f x f e b b e -⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得1b =-． 所以0,1a b ==-即为所求．（2）由120x x <<，且()()12f x f x =得：1212x x x x e e =． ∴2211121x x x x x e x x e e -==．设21(0)t x x t =->，则11te x x t -=可得1211t t t t te x x e e ==--，，所以要证1233x x +>，即证3311tt t t te e e +--＞．∵t ＞0，所以10t e ->，所以即证(3)330tt e t -++>． 设()(3)33(0)tg t t e t t =-++>，则()(2)3tg t t e '=-+． 令()(2)3th t t e =-+，则()(1)th t t e '=-当(0,1)t ∈时，()0,()h t h t '<递减；当(1,)t ∈+∞时，()0,()h t h t '>递增． 所以()(1)30h t h e ≥=->，即()0g t '>，所以()g t 在(0,)+∞上递增． 所以()(0)0g t g >=．1233x x ∴+>．【点睛】本题考查导数的几何意义、以及利用导数研究函数的最值，以及利用导数研究双变量问题，同时考查学生利用转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想解决问题的能力．属于较难的题目．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为312x ty t =+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)，曲线2C 的参数方程为33x cos y tan θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(θ为参数，且322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，)．（1）求1C 与2C 的普通方程，（2）若A B ，分别为1C 与2C 上的动点，求AB 的最小值．【答案】（1）1C 的普通方程为2250x y C --=；的普通方程为22133x y -=，3x ≤（2）855【解析】 【分析】（1）消参即可求出1C 的普通方程；对2C 的参数方程同时平方得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩，再结合322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可得2C 的普通方程； （2）设1C 的平行直线为20x y c -+=，当直线20x y c -+=与2C 相切时，两直线的距离即为AB 的最值，即可得解.【详解】（1）消参可得1C 的普通方程为250x y --=；又因为2C 参数方程为3 3x y θ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩，又322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3x ≤所以2C 的普通方程为(221333x y x -=≤，（2）由题意，设1C 的平行直线为20x y c -+=，联立2220 133x y c x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩消元可得：223430x cx c +++=，令()()2212340c c ∆=+=-，解得3c =±，又因为3x ≤3c =时直线与2C 相切， 所以()()22358521min AB --==+-. 【点睛】本题考查了参数方程和直角坐标方程的转化，考查了圆锥曲线上的点到直线上的点的距离的最值的求解，属于中档题. [选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()36f x x x a =-+-， （1）当1a =时，解不等式()3f x <;（2）若不等式()114f x x <-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）51,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）()85-，． 【解析】 【分析】（1）由题意()47125,12?472x x f x x x x x -+<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，分类讨论即可得解；（2）转化条件得5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，根据恒成立问题的求解方法即可得解.【详解】（1）当1a =时，()47136125,12?472x x f x x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，当1x <时，()3f x <即473x -+<，解得1x >（舍）；当12x ≤<时，()3f x <即253x -+<，解得1x >，所以12x <<； 当2x ≥时，()3f x <即473x -<，解得52x <，所以522x ≤<； 综上，()3f x <的解集为51,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）由()36114f x x x a x =-+-<-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 则5 50x a xx ⎧-<-⎨->⎩对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 所以5 5x x a x a x-<-⎧⎨-<-⎩即5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 即85a -<<，故a 的取值范围为()85-，. 【点睛】本题查了绝对值不等式的求解和含绝对值恒成立问题的求解，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题.。

图17432109878试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =,{}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为A ．MN B ．()U M N C ．()U MN D ．()()U U M N2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15 B ．1 C ．15± D ．1± 3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是 A. 91 B. 91.5 C. 92 D. 92.5 4．已知i 为虚数单位，复数iz a b =+(),a b ∈R 的虚部b 记作Im ()z ，则Im 11i ⎛⎫= ⎪+⎝⎭A ．12-B ．1-C ．12D ．15. 设抛物线:C 24y x =上一点P 到y 轴的距离为4，则点P 到抛物线C 的焦点的距离是侧视图正视图A ．4B ．5C ．6D ．76. 已知△ABC 的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ,且sin sin 2BAab=, 则cos B 的值为A.2 B. 12 C. 12-D. 2- 7. 已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为A.10B. 20C.100D. 2008. 若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是A. [)1,-+∞B. ()1,-+∞C.(],1-∞- D. (),1-∞-9. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为3，则该锥体的俯视图可以是 图2 10．已知圆O 1 相交于,M N ) A ．偶函数 B ．奇函数C ．既不是偶函数，也不是奇函数D ．奇偶性与k 的取值有关二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11. 函数()()ln 2f x x =-的定义域为 .12. 已知e 为自然对数的底数，则曲线2y =e x在点()1,2e 处的切线斜率为 .13. 已知函数()11f x x =+，点O 为坐标原点, 点()(),(n A n f n n ∈N *)， 向量()0,1=i ， n θ是向量n OA 与i 的夹角，则201512122015cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+++的值为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)图3和2,(x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 . 15. （几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ，使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则DE 的长为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分8016．（本小题满分12分）已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若α是第一象限角，且435f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 17．（本小题满分12分）从广州某高校男生中随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位: cm)情况如表1:表1 （1）求,,a b c 的值；组别进行分层抽样, 从这100名学生中抽取20名担任 （2）按表1的身高广州国际马拉松 身高不低于175cm 的志愿者中随机选出2名担任迎宾工 志愿者, 再从作, 求这2名 的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm 的概率.担任迎宾工作18.（本小题满分14分） 如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC EF O =．沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥P ABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA ； （2）求四棱锥P BFED -的体积. 19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =, ()()1112n n n n nS n S ++-+=, n ∈N *. （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k ，使k a ，2k S ， 4k a 成等比数列 若存在，求k 的值； 若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0+=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标. 21.（本小题满分14分）已知t 为常数，且01t <<，函数()()1102t g x x x x -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小值和函数 ()h x =()32f x x ax bx =-++(,a b ∈R )的零点.（1）用含a 的式子表示b ，并求出a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最大值和最小值.2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11.()2,+∞ 12. 2e 13.2015201614. 4π⎫⎪⎭说明: 第14题答案可以是2,4k k ππ⎫+∈⎪⎭Z .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin coscos sincos 66x x x ππ=-+ …………………………1分1sin cos 22x x =+ …………………………2分 sin coscos sin66x x ππ=+ …………………………3分sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………………………4分 ∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. …………………………5分（2）解：∵435f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴ 4sin 365ππα⎛⎫++= ⎪⎝⎭. …………………………6分 ∴ 4sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴ 4cos 5α=. …………………………7分 ∵ α是第一象限角，∴3sin 5α==. …………………………8分∴ sin 3tan cos 4ααα==. …………………………9分 ∴ tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα-⎛⎫-=⎪⎝⎭+⋅ …………………………10分H F EPODBA3143114-=+⨯ …………………………11分 17=-. …………………………12分17. （本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、分层抽样等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）（1）解: 由0.050.350.200.10 1.00c ++++=，得0.30c =. …………………………1分由0.30100a=，得30a =， …………………………2分 由5303510100b ++++=，得20b =. …………………………3分（2）解：依据分层抽样的方法，抽取的20名志愿者中身高在区间[)175,180上的有0.20204⨯=名，记为,,,A B C D ； …………………………………………5分而身高在区间[)180,185上的有0.10202⨯=名，记为,E F . ……………………7分记“这2名担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm ”为事件M ， 从身高不低于175cm 的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作，共有15种不同取法：{,},{,},{,},{,},{,}A B A C A D A E A F ，{,},{,},{,},{,}B C B D B E B F ， {,},{,},{,}C D C E C F ，{,},{,}D E D F ，{,}E F ． …………………………9分事件M 包含的基本事件有9种：{,},{,}A E A F ，{,},{,}B E B F ，{,},{,}C E C F{,},{,}D E D F ，{,}E F ． …………………………11分∴()PM =93155=为所求． …………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . …………………………1分 ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直， ∴BD AC ⊥. …………………………2分∴EF AC ⊥. …………………………3分 ∴EF AO ⊥，EF PO ⊥. …………………………4分 ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O =， ∴EF ⊥平面POA . …………………………5分 ∴BD ⊥平面POA . …………………………6分 （2）解：设AO BD H =，连接BO ，∵60DAB ︒∠=，∴△ABD 为等边三角形. …………………………7分∴4BD =，2BH=，HA =HO PO ==……………………8分在R t△BHO 中，BO …………………………9分在△PBO 中，22210+==BO PO PB ， …………………………10分 ∴PO BO ⊥. …………………………11分 ∵PO EF ⊥，EFBO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………12分梯形BFED 的面积为()12S EF BD HO =+⋅=，………………………13分∴四棱锥P BFED -的体积11333V S PO =⋅=⨯=.………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）（1）解：∵11a =, ()()1112n n n n nS n S ++-+=, ∴2112212S S ⨯-==. …………………………1分 ∴ 21112123S S a =+=+=. …………………………2分 ∴ 2212a S a =-=. …………………………3分（2）解法1: 由()()1112n n n n nS n S ++-+=, 得1112n n S S n n +-=+. ……………………4分 ∴ 数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111S =, 公差为12的等差数列.∴()()1111122n S n n n =+-=+. …………………………5分 ∴ ()12n n n S +=. …………………………6分 当2n ≥时, 1n n n a S S -=- …………………………7分 n =. …………………………8分而11=a 适合上式，∴ n a n =. …………………………9分解法2: 由()()1112n n n n nS n S ++-+=, 得()()112n n n n n n S S S ++--=， ∴()112n n n n na S ++-=． ① …………………………4分 当2n ≥时，()()1112n n n n n a S ----=，② ①-②得()()()()1111122n n n n n n n n na n a S S +-+-----=-， ∴1n n na na n +-=． …………………………5分 ∴11n n a a +-=． …………………………６分 ∴ 数列{}n a 从第２项开始是以22a =为首项, 公差为1的等差数列. ………７分∴ ()22na n n =+-=. …………………………８分而11=a 适合上式，∴ n a n =. …………………………9分（3）解：由(2)知n a n =, ()12n n n S +=. 假设存在正整数k , 使k a , 2k S , 4k a 成等比数列,则224k k k S a a =⋅. …………………………10分即()222142k k k k +⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦. …………………………11分∵ k 为正整数, ∴()2214k +=.得212k +=或212k +=-, …………………………12分 解得12k=或32k =-, 与k 为正整数矛盾. …………………………13分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 2k S , 4k a 成等比数列. …………………………14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴ 1224a AF AF =+=，得2a =. ………………………2分∴ 2222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴22211a b+=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分 由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴(1)AQ x y =+-，11(1)AP x y =-，(1)BQ x y =-+，11(1)BP x y =+.由 0AQ AP ⋅=, 得 11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分即11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--. 当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(1)P -或1)P ,此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,2⎫-⎪⎪⎝⎭, (),2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-， ∵0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.1=-(1x ≠，① ……………………5分1=-(1x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-, 代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=.若点(1)P -或1)P , 此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y =-，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法１：点Q(),x y 到直线:AB 0x +=.△ABQ的面积为S =………………………10分x =+=………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+（当且仅当2x =时等号成立）∴S =≤=2=. ……12分当且仅当2x =时, 等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得22,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或22.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩………………………13分∴△ABQ的面积最大值为2, 此时,点Q的坐标为,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分 解法２：由于AB ==故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大． (10)分 设与直线AB 平行的直线为0x m ++=，由220,25,x m x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得225250y c ++-=，由()223220250mm ∆=--=，解得2m =±． ………………………11分 若2m =，则2y =-，2x =-；若2m =-，则2y =，2x =． …12分故当点Q 的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为122S AB ==． ………………………14分 21. （本小题满分14分）（本小题主要考查函数的最值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）（1）解: 由于01t <<，0x >，则()11122t g x x x -⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝⎭ 当且仅当1tx x-=，即x=()min g x =⎡⎤⎣⎦ (1)分 ()h x ==1x =时，()min h x =⎡⎤⎣⎦.………………………2分∵01t <<，∴1<01<<.由于()32f x x ax bx =-++()2x x ax b =-++，结合题意，可知，方程20x ax b -++=， ………………………3分a =b =-. ………………………4分∴2222a b =+=-. ∴2112b a =-. ………………………5分 而方程20x ax b -++=的一个根在区间(上，另一个根在区间()0,1上.令()2x x ax b ϕ=-++，则()()00,110,20.b a b b ϕϕϕ⎧=<⎪⎪=-++>⎨⎪=-+<⎪⎩………………………6分即222110,21110,21210.2a a a a ⎧-<⎪⎪⎪-++->⎨⎪⎪-++-<⎪⎩解得02,a a a a ⎧<>⎪<<⎨⎪≠⎩ ………………………7分2a <<. ………………………8分 ∴2112b a =-2a <<. 求a 的取值范围的其它解法：另法1：由a =22a=+ ………………………6分∵01t <<，∴224a <<． ………………………７分∵a =0>，2a <<． ………………………8分 另法2：设()t ϕ=01t <<，则()0t ϕ'==<， ………………………6分故函数()t ϕ在区间()0,1上单调递减．∴())t ϕ∈． ………………………７分2a <<． ………………………8分 （2）解：由（1）得()322112f x x ax a x ⎛⎫=-++-⎪⎝⎭， 则()2213212f x x ax a '=-++-. ………………………9分2a <<， ∴二次函数()2213212f x x ax a '=-++-的开口向下，对称轴233a x =<.故函数()f x '在区间[]1,2上单调递减. ………………………10分又()()221113212022f a a a '=-++-=--<， ………………………11分∴当[]1,2x ∈时，()()10f x f ''≤<.∴函数()f x 在区间[]1,2上单调递减. ………………………12分 ∴函数()f x 的最大值为()2112f a a =-，最小值为()2246f a a =-+-.………………………14分。

2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x＞0}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{﹣1，3}D．{1，2，3} 2．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）A．x1，x2，…x n的平均数B．x1，x2，…x n的标准差C．x1，x2，…x n的最大值D．x1，x2，…x n的中位数3．（5分）若复数为纯虚数，则|3﹣ai|＝（）A．B．13C．10D．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8＝15﹣a5，则S9等于（）A．18B．36C．45D．605．（5分）已知cos（θ+）＝，＜θ＜，则sin2θ的值等于（）A．B．C．D．6．（5分）若实数x，y满足，则z＝y﹣2x的最小值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣17．（5分）三国时期吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简，得勾2+股2＝弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（）（参考数据≈1.732，≈1.414）A．130B．134C．138D．1428．（5分）已知x1＝1n，x2＝e，x3满足e＝1nx3，则正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x1＜x3D．x3＜x1＜x2 9．（5分）如图所示，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（）A．a B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC＝4，则f（x）的单调递增区间是（）A．（2k﹣，2k+），k∈ZB．（2kπ﹣π，2kπ+π），k∈ZC．（4k﹣，4k+），k∈ZD．（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z11．（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（）A．a（1+r）17B．[（1+r）17﹣（1+r）]C．a（1+r）18D．[（1+r）18﹣（1+r）]12．（5分）已知函数f（x）＝（k+）lnx+，k∈[1，+∞），曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线y＝f（x）在M、N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．[）D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知向量＝（3，﹣2），＝（m，1）．若向量（﹣2）∥，则m＝．14．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝1+a1+…+a n﹣1（n∈N*，n≥2），则当n≥1时，a n ＝．15．（5分）如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为．16．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积为52π，AB＝1，若△ABC外接圆的圆心O1在AC上，半径r1＝1，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为．三、解答题：共70分。