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课时作业(十八)一、选择题1．(2014·江西卷)z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i解析：设z ＝a ＋b i (a ∈R ，b ∈R )，则z －＝a －b i.由z ＋z －＝2，得2a ＝2，即a ＝1；又由(z －z －)i ＝2，得2b i·i ＝2，即b ＝－1.故z ＝1－i.答案：D2．(2014·重庆卷)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x －＝3，y －＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3B.y ^＝2x －2.4C.y ^＝－2x ＋9.5D.y ^＝－0.3x ＋4.4解析：由变量x 与y 正相关，可知x 的系数为正，排除C ，D.而所有的回归直线必经过点(x －，y －)，由此排除B ，故选A.答案：A3．(2014·陕西卷)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a解析：y －＝x 1＋a ＋x 2＋a ＋x 3＋a ＋…＋x 10＋a 10＝10x －＋10a 10＝x －＋a ＝1＋a . s 2＝[x 1＋a －(1＋a )]2＋[x 2＋a －(1＋a )]2＋…＋[x 10＋a －(1＋a )]210＝(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)210＝4. 答案：A4. (2014·山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18解析：设样本容量为n ，由题意，得(0.24＋0.16)×1×n＝20，解得n＝50.所以第三组频数为0.36×1×50＝18.因为第三组中没有疗效的有6人，所以第三组中有疗效的人数为18－6＝12.答案：C5．(2014·湖南卷)执行如图所示的程序框图．如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于()A．[－6，－2] B．[－5，－1]C．[－4,5] D．[－3,6]解析：由题意知，当－2≤t<0时，y＝2t2＋1，得y∈(1,9]．故当t∈[0,2]∪(1,9]＝[0,9]时，S＝t－3，S∈[－3,6]．故选D.答案：D二、填空题6．(2014·潍坊联考)某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则x ＋y 的值为________．解析：由众数的定义知x ＝5，由乙班的平均分为81得78＋70＋y ＋81＋81＋80＋926＝81，解得y ＝4，故x ＋y ＝9. 答案：97．(2014·青岛市高三自评试题)某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据该表可得回归方程y ^＝1.23x ＋a ^，据此模型估计，该型号机器使用年限为9年的维修费用大约为________万元.解析：由线性回归方程经过样本数据中心点，x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5，代入y ^＝1.23x ＋a ^，得a ^＝0.08，当x ＝9时，y ＝1.23×9＋0.08＝11.15.答案：11.15三、解答题8．(2014·辽宁卷)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216.分布列为：因为X～B，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.9．(2014·湖北卷)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：(1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝1050＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝3550＝0.7，p3＝P(X>120)＝550＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9104＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103×⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故1台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，1台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，2台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8；由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4 2008 840.③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，1台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，2台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，3台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的分布列如下所以，E (Y )＝×0.1＝8 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．【高考预测】10．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为()A．11 B．11.5 C．12 D．12.5解析：中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线横坐标．设中位数为a，则x＝a将频率分布直方图分成两个面积相等部分，则有0.30＋(a－10)×0.1＝0.5，所以a＝12.答案：C11．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是________．解析：S ＝2，i ＝1；S ＝1＋21－2＝－3，i ＝2；S ＝1－31＋3＝－12，i ＝3；S ＝1－121＋12＝13；i ＝4；S ＝1＋131－13＝2，i ＝5；…，当i ＝2 011时，输出S,2 011除以4等于502余3，所以输出S ＝－12.答案：－1212．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：为ξ，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)；(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？(参考公式：b ^＝，a ^＝y －－b ^x －)(参考数据：3i ＝1x i y i＝977，3i ＝1x 2i ＝434)解：(1)依题意得ξ＝0,1,2，所以ξ的分布列为：E (ξ)＝0×110＋1×610＋2×310＝65.(2)由数据得另3天中x －＝12，y －＝27,3x －y －＝972,3x －2＝432， 又3i ＝1x i y i ＝977，3i ＝1x 2i ＝434，所以b ^＝977－972434－432＝52，a ^＝27－52×12＝－3， 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(3)由(2)知，当x ＝10时，y ^＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，y ^＝17，|17－16|<2.所以得到的线性回归方程是可靠的．。
课时作业(十九)一、填空题1．(2014·西安高三综合测试)在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足BE ＝13BD ，延长AE 交BC 于点F ，则BF FC的值为________．解析：如图所示，以AB 、BC 为邻边构造平行四边形ABCG ，过C 作CH ∥AF 交BG 于点M ，易证BE BM ＝15，即BE EM ＝BF FC ＝14.答案：142．(2014·湖南卷)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：如图，由已知AO ⊥BC ，可得E 是BC 的中点，即BE ＝2，故AE ＝AB 2－BE 2＝1.在Rt △BOE 中，OB 2＝BE 2＋OE 2，即r 2＝(2)2＋(r －1)2，解得r ＝32.答案：323．(2014·重庆卷)过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________.解析：如图所示：根据切割线定理，得P A 2＝PB ·PC ，又因为PC ＝(PB ＋BC )，且P A ＝6，BC ＝9，所以36＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3.在△P AC 中，根据余弦定理cos ∠ACP ＝AC 2＋PC 2－AP 22AC ·PC， 即cos ∠ACP ＝82＋122－622×8×12＝4348，在△ACB 中，根据余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝82＋92－2×8×9×4348＝16，所以AB ＝4.答案：44．(2014·长沙二模)如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD ⊥PD .若PC ＝4，PB ＝2，则CD ＝________.解析：连接AC ，OC ，由圆的切割线定理可得△BPC ∽△CP A ⇒CP P A＝BP CP ⇒AP ＝8，得圆的半径r ＝3，又因为PC 切圆于点C ，则PC PD ＝PO P A⇒PD ＝325，故CD ＝PD －PC ＝125.答案：1255．(2014·北京东城一模)如图，P A与圆O相切于A，不过圆心O 的割线PCB与直径AE相交于D点．已知∠BP A＝30°，AD＝2，PC ＝1，则圆O的半径等于________．解析：因为P A为切线，所以AE垂直于P A，又因为∠BP A＝30°，且AD＝2，所以PD＝4，P A＝23，由切割线定理P A2＝PC·PB，(23)2＝1·PB⇒PB＝12，即CD＝3，BD＝8，所以CD·DB＝AD·DE⇒3×8＝2×DE，所以DE＝12，即直径为14，半径为7.答案：76．(2014·陕西宝鸡三模)如图所示，圆O的半径为1，A、B、C 是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则P A＝________.解析：延长PC与圆交于点D，连接AC，AO，由平面圆的性质，易得∠ADP＝30°，∠AOP＝60°，故∠APD＝30°，得PC＝1，PD＝3，由切割线定理可求得P A＝ 3.答案： 37．(2014·湖北卷)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过P A的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.解析：由题意知P A＝PB.P A切⊙O于点A，由切割线定理可得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4.∴QA＝2，∴P A＝2×2＝4＝PB.答案：4二、解答题8．(2013·辽宁卷)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.9．(2014·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB 异侧的两点，证明：∠OCB ＝∠D .证明：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB ＝OC .故∠OCB ＝∠B .又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B ＝∠D .因此∠OCB ＝∠D .【高考预测】10．如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，则点A 到直线l 的距离AD 为________．解析：由已知易得∠ACB ＝90°，∠BCP ＝∠BAC ＝30°，可求得∠ACD ＝60°，AC ＝33，所以AD ＝33·sin 60°＝92.答案：9211．已知点C 在圆O 的直径BE 的延长线上，直线CA 与圆O 相切于A ，∠ACB 的平分线分别交AB ，AE 于D ，F 两点，若∠ACB ＝20°，则∠AFD ＝________.解析：因为AC 为圆的切线，由弦切角定理，则∠B ＝∠EAC ， 又因为CD 平分∠ACB ，则∠ACD ＝∠BCD ，所以∠B ＋∠BCD ＝∠EAC ＋∠ACD ，根据三角形外角定理，∠ADF ＝∠AFD ，因为BE 是圆O 的直径，则∠BAE ＝90°，所以△ADF 是等腰直角三角形，所以∠ADF ＝∠AFD ＝45°. 答案：45°12．如图，圆M 与圆N 交于A ，B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于C ，D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F .已知BC ＝5，DB ＝10.(1)求AB 的长；(2)求CF DE .解：(1)根据弦切角定理，知∠BAC ＝∠BDA ，∠ACB ＝∠DAB ，∴△ABC ∽△DBA ，则AB DB ＝BC BA ，故AB 2＝BC ·BD ＝50，AB ＝5 2.(2)根据切割线定理，知CA 2＝CB ·CF ，DA 2＝DB ·DE ，两式相除，得CA 2DA 2＝CB DB ·CF DE .(*)由△ABC∽△DBA，得ACDA＝ABDB＝5210＝22，CA2DA2＝12，又CBDB＝510＝12，由(*)，得CFDE＝1.。
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课时作业(十六）一、选择题1．(2014·洛阳统考）已知F1,F2是双曲线x2－错误!＝1的两个焦点，过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为P，则｜PF2|＝( )A．6 B．4 C．2 D．1解析：由题意令｜PF2|－|PF1｜＝2a，由双曲线方程可以求出|PF1｜＝4，a＝1，所以｜PF2｜＝4＋2＝6.答案：A2．(2014·河北唐山一模）双曲线x2－y2＝4左支上一点P（a，b)到直线y＝x的距离为错误!，则a＋b＝( ）A．2 B．－2 C．4 D．－4解析:利用点到直线的距离公式，得错误!＝错误!，即|a－b｜＝2，∵P(a，b)为双曲线左支上一点，故应在直线y＝x的上方区域,∴a－b〈0，∴a－b＝－2。
