立体几何练习题四

探索立体几何的欧拉公式练习题欧拉公式是立体几何中的重要公式之一，用于描述封闭的多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。

本文将通过探索欧拉公式的练习题，进一步理解该公式的应用。

练习题一：计算一个正方体的顶点数、边数和面数，并验证欧拉公式是否成立。

解答：正方体有8个顶点，每个顶点有3条棱相接，所以边数为24。

每个面有4条边，正方体有6个面，所以面数为6。

根据欧拉公式，顶点数V、边数E和面数F满足V - E + F = 2。

代入正方体的数据，有8 - 24 + 6 = 2，欧拉公式成立。

练习题二：一个多面体有12条边和6个面，求该多面体的顶点数，并验证欧拉公式是否成立。

解答：设顶点数为V，则边数为12，面数为6。

根据欧拉公式，V - 12 + 6 = 2，可得V = 8。

该多面体的顶点数为8，验证欧拉公式成立。

练习题三：一个多面体有10个顶点和7个面，求该多面体的边数，并验证欧拉公式是否成立。

解答：设边数为E，则顶点数为10，面数为7。

根据欧拉公式，10 - E + 7 = 2，可得E = 15。

该多面体的边数为15，验证欧拉公式成立。

练习题四：一个多面体有20个顶点和15条边，求该多面体的面数，并验证欧拉公式是否成立。

解答：设面数为F，则顶点数为20，边数为15。

根据欧拉公式，20 - 15 +F = 2，可得F = -3。

然而，根据几何直观，面数不可能是负数。

因此，该练习题中的数据存在错误，无法验证欧拉公式。

通过以上练习题的探索，我们可以看到欧拉公式在多面体中的应用。

然而，需要注意的是，欧拉公式只适用于封闭的多面体，对于非封闭的多面体或曲面，该公式不成立。

总结：欧拉公式是立体几何中的重要公式，通过顶点数、边数和面数之间的关系，可以推导出其满足V - E + F = 2的形式。

通过练习题的实践，我们可以进一步加深对该公式的理解。

然而，需要注意的是，欧拉公式只适用于封闭的多面体，且在某些情况下可能存在数据错误导致无法验证的情况。

高二专题分类-立体几何与空间向量（四）空间向量与立体几何的综合应用一．选择题1．（2021·北京八中高二期末）正方体1111ABCD A B C D -中，AC 和1A D 所成角的大小是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．752．（2021·北京市朝阳区北京教育学院朝阳分院高二期中）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（ ）A ．2aB ．212aC ．214aD 2 3．（2021·北京昌平区·昌平一中高二月考）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，点E 是SB 的中点，则直线AE ，SD 所成角的余弦值为（ ）A ．3B C D ．134．（2021·北京西城·）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点，则直线1A E 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．25B ．35C ．13D ．235．（2020·北京和平街第一中学高二月考）已知向量()2,0,1n =为平面α的法向量，点()1,2,1A -在α内，点()1,2,2P -在α外，则点P 到平面α的距离为（ ）A B C ．D6．（2021·北京八中高二期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为1DD 的中点，点P 为BDE 内部一动点，P 点到平面1111D C B A 的正射影为点Q ，则Q 到点A 的距离的最小值为（ ）AB C D ．17．（2021·北京师范大学昌平附属学校）正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1BB 中点，平面1A EC 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为（ ）A B C D 8．（2021·北京高二期末）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1)A B C D ，则直线AD 与BC 所成角的大小是___．二．填空题9．（2020·北京市广渠门中学）已知平面α的一个法向量()2,2,1n =--，点()1,3,0A --在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为_________.10．（2021·北京朝阳·高二期末）如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.CD ＝CC 1＝1.则A 1C 与平面C 1BD _______（填“垂直”或“不垂直”）；A 1C 的长为_______.11．（2021·北京昌平区·昌平一中高二月考）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是左侧面11ADD A 上的一个动点，满足BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角最大值为___________.12．（2021·北京昌平区·昌平一中高二月考）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为1BB 的中点，则异面直线1BC 与1D E 所成的角为___________.13．（2021·北京人大附中高二期末）如图，若正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，对角线1B C 的长为10，点D 为AC 的中点，则点1B 到平面1C BD 的距离为_____，直线1AB 与直线BD 所成角的余弦值为________．14．（2021·北京高二期末）如图，在四面体ABCD 中，其棱长均为1，M ，N 分别为BC ，AD 的中点.若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +zAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x y z ++=________；直线MN 和CD 的夹角为________.15．（2020·北京市第十二中学高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，11AA =，点P 在底面1111D C B A 上．（1）若点P 与点1A 重合，则点P 到平面11BDD B 的距离是__________． （2）若点P 到直线AD 和11C D 的距离相等，则1PC 的最小值是__________．参考答案1．C 【分析】连接1B C ，即可得到11//A D B C ，则1B CA ∠（或补角）即为异面直线AC 和1A D 所成角，再根据正方体的性质计算可得； 【详解】解：如图连接1B C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，因为11//A B CD ，且11=A B CD ，所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以11//A D B C ， 所以1B CA ∠（或补角）即为异面直线AC 和1A D 所成角， 显然1AB C 为等边三角形，所以160B CA ∠=. 故选：C.2．C 【分析】由题意可知，空间四边形ABCD 相邻两边的夹角都为60︒，所以把,,AB AC AD 看成空间向量的基底，将,AE AF 用基底表示化简可得答案 【详解】11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD =⋅+⋅ 22211(cos60cos60)44a a a ︒︒=+= 故选：C3．C 【分析】由题意画出图形，连接AC ，BD ，交于O ，连接,EO SO ，可得//EO SD ，则AEO ∠为直线AE 与直线SD 所成的角，证明AC ⊥平面SBD ，AC OE ⊥，则求解直角三角形得答案．【详解】解：如图，连接AC ，BD ，交于O ，连接,EO SO ，则SO ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以SO AC ⊥， 因为正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，则AC BD ⊥， 又BD SO O ⋂=，所以AC ⊥平面SBD ， 又OE ⊂平面SBD ，所以AC OE ⊥，在SBD 中，O 为BD 的中点，点E 是SB 的中点，所以//EO SD ，则直线AE 与直线SD 所成的角为AEO ∠或其补角， 设正四棱锥S ABCD -的棱长为2，则AO =AE =在Rt AOE 中，1EO ．cosEO AEO AE ∴∠==即直线AE ，SD 故选：C ．4．D 【分析】设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解直线1A E 与BC 所成的角即可． 【详解】解：设正方体的棱长为2，如图所示建立空间直角坐标系， 则1(2A ，0，2)，(0E ，1，0)，(0C ，2，0)，(2B ，2，0)， 则1(2,1,2),(2,0,0)A E BC =--=- 所以111cos ,||||A E BC A EBC A E BC ⋅<>=42323==⨯， 所以异面直线1A E 与直线BC 所成角的余弦值为23，故选：D ．5．A 【分析】利用点到平面距离公式的向量求法即可求解. 【详解】因为()1,2,1A -，()1,2,2P -， 所以()2,0,3PA =-，因为平面α的法向量为()2,0,1n =，所以点P 到平面α的距离为242PA n d n⋅-==， 故选：A.6．B 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求AQ 的距离，再由表达式研究最小值即可 【详解】由题可知，Q 点在线段11B D 上运动，且Q 不与11,B D 重合，如图以D 为原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则易知(1,0,0)A ，又11B D 为1111D C B A 的对角线，故可设(,,1),(01)Q a a a <<，则AQ =令2222t a a =-+，则易知12a =时，2222t a a =-+所以AQ 故选：B 7．C 【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面1A EC 与平面ABCD 所成二面角的余弦值. 【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()12,0,2A 、()2,2,1E 、()0,2,0C ，所以，()10,2,1EA =-，()2,0,1CE =， 设平面1A CE 的法向量为(),,m x y z =，则12020m EA y z m CE x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，可得()1,1,2m =--，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =，所以，cos ,6m n m n m n⋅<>===⨯⋅，易知，平面1A EC 与平面ABCD 故选：C. 8．60︒ 【分析】利用空间向量求夹角公式直接求解. 【详解】(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1)A B C D(0,2,2),(1,0,1)BC AD ∴=-=-21cos ,20AD BC AD BC AD BC⋅∴===⋅又空间中两直线夹角范围为(0,90⎤⎦，故,60AD BC = 所以直线AD 与BC 所成角的大小是60︒ 故答案为：60︒9．23【分析】由题意算出()1,4,4AP =-，根据向量()2,2,1n =--是平面α的一个法向量，算出向量AP 在n 上的投影的绝对值，即可得到P 到α的距离.【详解】解：根据题意，可得()()1,3,0,1,4,2A P ---，()1,4,4AP =-， 又平面α的一个法向量()2,2,1n =--，点A 在α内，()2,1,4P ∴-到α的距离等于向量AP 在n 上的投影的绝对值，()()1242412P n A -⨯-+⨯-∴⨯=-=+ 即(232AP n d n===- 故答案为:23【点睛】本题给出平面的法向量和平面上的一点，求平面外一点到平面的距离；着重考查了向量的数量积公式和点到平面的距离计算等知识，属于中档题.10．垂直【分析】设CB a =，CD b =，1CC c =，可得出1CA a b c =++，计算得出1110CA BD CA BC ⋅=⋅=，可得出1CA BD ⊥，11CA BC ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立，求1CA 的平方即可求A 1C 的长.【详解】设CB a =，CD b =，1CC c =，由题意可得1CA a b c =++，则()()()2211CA BD CA CD CB a b c b a b a c b c a ⋅=⋅-=++⋅-=-+⋅-⋅cos60cos600c b c a =⋅-⋅=，1CA BD ∴⊥，同理可证11CA BC ⊥，1BD BC B ⋂=，故1CA ⊥平面1C BD ．∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.CD ＝CC 1＝1，11CD CB CC ∴===,222221111()2()1112()6222CA a b c a b c a b b c a c ∴=++=+++⋅+⋅+⋅=+++++=1CA →∴=即A 1C .11．60【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间坐标系，设点M (x ，0，z )，其中01,1)0(x z ≤≤≤≤，根据空间向量的数量积运算得x z =，再根据空间向量的夹角运算和二次函数的性质可得答案.【详解】解：以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间坐标系，如图所示：∠M 是左侧面ADD 1A 上的一个动点，设点M (x ，0，z )，其中01,1)0(x z ≤≤≤≤， 1(1,1,0),(0,1,1),B C =，1(1,0,1),(1,1,)BC BM x z ∴=-=--，111BC BM x z ∴⋅=-+=，即x z =，又1||2,||(BC BM x ===设1BC 与BM 的夹角为θ，1cos 2θ∴== 设2()1f x x x =-+，()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以13(0)1,()24f f ==，3()14f x ≤≤，所以1cos 2θ≤≤1BC 与BM 的夹角最大值为60.故答案为：60.12．4π. 【分析】连接1BC ，证明11//BC AD ，则1AD E ∠或其补角即为异面直线1BC 与1D E 所成的角，从而可的答案.【详解】解：连接1BC ，由正方体的性质可知，11//AB C D ，且11AB C D =，所以11ABC D 是平行四边形，所以11//BC AD ，所以1AD E ∠或其补角即为异面直线1BC 与1D E 所成的角，在1AD E △中，113,D E AD AE ==则22211111cos 2AD D E AE AD E AD D E +-∠===⋅ 即异面直线1BC 与1D E又因异面直线1BC 与1D E 所成的角的范围为0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 所以异面直线1BC 与1D E 所成的角为4π. 故答案为：4π.13 【分析】设1B C 与1BC 交于点O ，连接1AC ，可证得1//AB 平面1C BD ，求点1B 到平面1C BD 的距离可以转化为求点A 到平面1C BD 的距离，然后利用11A BC D C ABD V V --=进行计算求解；由于1//AB DO ，直线1AB 与直线BD 所成的角为ODB ∠，利用余弦定理进行计算求解即可.【详解】设1B C 与1BC 交于点O ，连接1AC ，在正三棱柱111ABC A B C -中，显然点O 为1B C 的中点，又点D 为AC 的中点， 所以1//AB DO ，又DO ⊂平面1C BD ，1AB ⊄平面1C BD ，所以1//AB 平面1C BD ，所以求点1B 到平面1C BD 的距离可以转化为求点A 到平面1C BD 的距离，因为8BD =，16CC ==，1C D所以有22211BD C D BC +=，所以1BD C D ⊥，所以112BC D S =⨯△易得BD AC ⊥，所以142ABD S =⨯=△ 设点A 到平面1C BD 的距离为h ，由11A BC D C ABD V V --=，即111133BC D ABD S h S C C ⨯⨯=⨯⨯△△，所以有11633h ⨯=⨯，解得：h = 因为1//AB DO ，所以直线1AB 与直线BD 所成的角为ODB ∠，因为1BD C D ⊥，O 为1B C 的中点，所以1152DO BC ==，而BD =所以22222255cos2OD BD OB ODB OD BD+-+-∠===⨯..【点睛】关键点点睛：求线面距离通常可以转化为求三棱锥的高，而求三棱锥的高通常利用等体积法进行求解.14．12-． 4π 【分析】利用空间向量的线性运算把MN 用,,AB AC AD 表示即可得,,x y z ，再由向量的数量积得向量夹角，从而得异面直线所成的角．【详解】由已知得MN 1122MB BA AN CB AB AD =++=-+11111()22222AB AC AB AD AB AC AD =--+=--+，又MN xAB y AC z AD =++且,,AB AC AD 不共面，∠12x y ==-，12z =，∠12x y z ++=-， ABCD 是棱长为1的正四面体，∠111cos602AB AC ⋅=⨯⨯︒=，同理12AB AD AC AD ⋅=⋅=，2222111111444222MN MN AB AC ADAB AC AB AD AC AD ==+++⋅-⋅-⋅44444== CD AD AC =-，111()()222MN CD AB AC AD AD AC ⋅=--+⋅-22111111222222AB AD AB AC AC AD AC AD AD AC =-⋅+⋅-⋅++-⋅11111114442242=-+-++-=， ∠12cos ,2MN CD MN CD MN CD ⋅<>===，∠,4MN CD π<>=， ∠异面直线MN 和CD 所成的角为4π． 【点睛】 关键点点睛：本题考查空间向量基本定理，考查用向量法求异面直线所成的角．在空间任意不共面的三个向量可作为空间的一个基底，空间所有向量都可用基底表示，且表示方法唯一，因此在用同一个基底用两种不同方法表示出同一向量时，两种表示法中对应的系数相等．由此结合向量的运算法则可表示得结论．同样用向量法求异面直线所成的角，可以直接计算，不需要作图与证明．15． 3【分析】（1）若点P 与点1A 重合，在平面1111D C B A 内，过P 作11PE B D ⊥，证明PE ⊥平面11BDD B ，则PE 为点P 到平面11BDD B 的距离，利用等面积法求解； （2）以1D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设()(),,00,0P x y x y >≤，得()2210,0x y x y +=>≤，再由两点间的距离公式写出1PC ，利用配方法求最小值．【详解】解：（1）如图，若点P 与点1A 重合，在平面1111D C B A 内，过1A 作111A E B D ⊥， ∠平面1111A B C D ⊥平面11BB D D ，平面1111A B C D 平面1111BB D D B D =，∠1A E ⊥平面11BDD B ，则1A E 为点P 到平面11BDD B = （2）以1D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．设()(),,00,0P x y x y >≤y ，即()2210,0x y x y +=>≤，P 的轨迹为双曲线的部分， ()14,0,0C ，则1PC = ∠当2x =时，1PC 的最小值是3．故答案为：3．。

1.与正方体ABCD —1111A B C D 的三条棱AB 、CC 1 、A 11D 所在直线的距离相等的点( )A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个答案:D解析:经验证线段1B D 上的点B,D,中点,四等分点均满足题意,故由排除法知应有无数个点.2.直三棱柱ABC —111A B C 中,若90BAC ∠=°1AB AC AA ,==,则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 ( )A.30°B.45°C.60°D.90° 答案:C解析:不妨设AB=AC=11AA =,建立空间直角坐标系如图所示,则B(0,-1,0),1(001)A ,,,A(0,0,0),1(101)C -,,,∴11(011)BA AC =,,,=u u u u u u u r u u u u u u u u r (-1,0,1).∴cos 111111BA AC BA AC BA AC ⋅,=||||u u u u u u u r u u u u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 11222==⨯. ∴1160BA AC ,=u r °. ∴异面直线1BA 与1AC 所成的角为60°.3.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是(把符合要求的命题序号都填上).答案:②解析:对于①的逆命题可举反例,如直线AB ∥CD,A B C D A B C D ,、、、没有三点共线但、、、四点共面；对于②的逆命题由异面直线定义知正确，故填②.4.若a 、b 是异面直线,在直线a 上有5个点,在直线b 上有4个点,则这9个点可确定平面的个数为 个.答案:9解析:直线a 上任一点与直线b 确定一平面,共5个,直线b 上任一点与直线a 确定一平面,共4个,一共9个.5.如图,三棱锥A —BCD 中E F G AB AC AD ,、、分别是侧棱、、上的点.AE AB AF AC AG AD ==且满足：：：EFG BCD :.V V 求证∽证明:在△ABD 中,∵AE ∶AB=AG ∶AD,∴EG ∥BD.同理,GF ∥DC,EF ∥BC.又GEF ∠与DBC ∠方向相同.∴GEF DBC ∠=∠.同理EGF BDC ,∠=∠.∴△EFG ∽△BCD.题组一 共线、共面问题1.下列命题中正确的有几个?( )①若△ABC 在平面α外,它的三条边所在的直线分别交α于点P 、Q 、R,则P 、Q 、R 三点共线;②若三条直线a 、b 、c 互相平行且分别交直线l 于A 、B 、C 三点,则这四条直线共面;③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面.A.0个B.1个C.2个D.3个答案:C解析:在①中,因为P 、Q 、R 三点既在平面ABC 上,又在平面α上,所以这三点必在平面ABC 与α的交线上,即P 、Q 、R 三点共线,故①正确;在②中,因为a ∥b,所以a 与b 确定一个平面α,而l 上有A 、B 两点在该平面上,所以l α⊂,即a 、b 、l 三线共面于α;同理a 、c 、l 三线也共面,不妨设为β,而α、β有两条公共的直线a 、l,∴α与β重合,即这四条直线共面,故②正确;在③中,不妨设其中四点共面,则它们最多只能确定7个平面,故③错.2.如图所示,ABCD —1111A B C D 是正方体,O 是11B D 的中点,直线1A C 交平面11AB D 于点M,则下列结论正确的是 ( )A.A 、M 、O 三点共线B.A 、M 、O 、1A 不共面C.A 、M 、C 、O 不共面D.B 、1B 、O 、M 共面答案:A解析:连接11AC AC ,,则11A C ∥AC,∴1A 、1C 、C 、A 四点共面. ∴1AC ⊂平面11ACC A . ∵1M AC ∈,∴M ∈平面11ACC A .又M ∈平面11AB D ,∴M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上,同理O 也在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上,∴A 、M 、O 三点共线.3.在空间四边形ABCD 的边AB BC CD DA E F G H EF HG M ,,、、、上分别取、、、四点如果与交于点那么( )A.M 一定在直线AC 上B.M 一定在直线BD 上C.M 可能在直线AC 上,也可能在直线BD 上D.M 既不在直线AC 上,也不在直线BD 上答案:A解析:平面ABC ⋂平面ACD AC M =,∈平面ABC M ,∈平面ACD,从而M AC ∈.4.对于空间三条直线,有下列四个条件:①三条直线两两相交且不共点;②三条直线两两平行;③三条直线共点;④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.其中,使三条直线共面的充分条件有 .(把符合要求的条件序号都填上)答案:①④解析:①中两直线相交确定平面,由于第三条直线不过前两条直线的交点且又分别与它们都相交,所以第三条直线也在这个平面内.②中可能有直线和平面平行.③中直线最多可确定3个平面.④两条平行线确定一个平面,第三条直线与它们都相交,所以第三条直线也在这个平面内.5.如图,在四边形ABCD 中,已知AB ∥CD,直线AB 、BC 、AD 、CD 与平面α相交于点E 、G 、H 、F.求证:E 、F 、G 、H 四点共线.证明:∵AB ∥CD,∴直线AB 、CD 确定一个平面β.∵E 是直线AB 上一点,∴E β∈,又E α∈,E 是平面α与β的一个公共点.同理可证F 、G 、H 均为平面α与β的公共点.∵两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,∴E 、F 、G 、H 四点共线.题组二 异面直线6.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点… ( )A.只有1个B.恰有3个C.恰有4个D.有无穷多个答案:D解析:放在正方体中研究,显然,线段1OO 、EF 、FG 、GH 、HE 的中点到两垂直异面直线AB 、CD 的距离都相等,所以排除A 、B 、C,选D.7.如图,正方体1AC 中,E 、F 分别是线段BC 、1CD 的中点,则直线1A B 与直线EF 的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.垂直答案:A解析:如题图所示,直线1A B 与直线1CD 平行,所以确定一个平面11A BCD ,显然EF ⊂平面11A BCD ,直线EF 与1CD 相交1A B ,∥1CD ,所以1A B 与EF 相交.8.如图,长方体1111ABCD A B C D -中,12AA AB AD ==,=1,点E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点.求异面直线1A E 与GF 所成角的大小.解:连接1B G EG ,,由于E 、G 分别是1DD 和1CC 的中点,∴EG C 11D ,而11C D A 11B ,∴EG A 11B ,∴四边形11EGB A 是平行四边形.∴1A E ∥1B G ,从而1B GF ∠为异面直线1A E 与GF 所成的角,连接1B F ,易求得11325FG BG B F =,=,=, ∵22211FG B G B F +=,∴190B GF ∠=°,即异面直线1A E 与GF 所成的角为90°.题组三 综合问题9.在正方体ABCD —1111A B C D 的侧面1AB 内有一动点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等,则动点P 所在曲线的形状为( )答案:C解析:动点P 到定点B 的距离也就是P 到直线BC 的距离,它等于到直线11A B 的距离,所以动点P 的轨迹是以B 为焦点,以11A B 为准线的过A 的抛物线的一部分.10.如图,在四面体ABCD 中,若截面PQMN 是正方形,则在下列命题中,错误的为 ( )A.AC BD ⊥B.AC ∥截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM 与BD 所成的角为45°答案:C解析:由PQ ∥AC,QM ∥BD PQ QM ,⊥可得AC BD ⊥,故A 正确;由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN,故B 正确;异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角,故D 正确;综上C 是错误的,故选C.11.已知正方体ABCD —1111A B C D 中,E 是对角线1AB 上一点,且113AE AB F =,是对角线BD 上一点且13BF BD =.求证:E 、F 、C 、1A 四点共面. 证明:∵113AE AB =,延长1A E 与AB 交于G,则12111AG AE A B EB ==,即12AG AB =, ∴∶GA=1∶1.同理延长CF 与AB 交于G′,则′∶G′A=1∶1.∴G 与G′重合,即直线1A E 与CF 相交于G,从而确定一个平面.∴E 、F 、C 、1A 四点共面.12.如图所示,三棱锥P-ABC 中PA ,⊥平面60ABC BAC ,∠=°,PA=AB=AC=2,E 是PC 的中点.(1)求证AE 与PB 是异面直线.(2)求三棱锥A-EBC 的体积.解:(1)证明:假设AE 与PB 共面,设平面为α,∵A B E ααα∈,∈,∈,∴平面α即为平面ABE,∴P ∈平面ABE,这与P ∉平面ABE 矛盾,所以直线AE 与PB 是异面直线.(2)∵PA ⊥平面ABC,E 是PC 的中点,∴E 到平面ABC 的距离112h PA ==. ∵△ABC 中60BAC ,∠=°,AB=AC=2,∴△ABC 的面积12ABC S AB AC =⨯⨯⨯V sin BAC ∠312232=⨯⨯⨯=. ∴三棱锥A —EBC 的体积,即三棱锥E —ABC 的体积为3111333ABC hS =⨯⨯=V .。

高中立体几何练习题几何学是数学中非常重要的一个分支，而立体几何则是其中的一个重要部分。

在高中阶段，学生需要掌握各种与立体几何相关的概念和定理，并且能够运用这些知识解决实际问题。

本文将为大家提供一些高中立体几何的练习题，以帮助大家巩固知识和提高解题能力。

练习题一：三棱柱1. 一个三棱柱的底面是一个等边三角形，边长为8cm，高度为10cm。

求该三棱柱的体积和表面积。

2. 一个三棱柱的体积是72cm³，底面边长为6cm。

求该三棱柱的高度和表面积。

练习题二：四棱柱和四棱锥1. 一个正四棱柱的底面是一个边长为4cm的正方形，高度为6cm。

求该四棱柱和与之相似的正四棱锥的体积比值。

2. 一个四棱柱的底面是一个边长为10cm的正方形，高度为8cm。

求该四棱柱和与之相似的四棱锥的表面积比值。

练习题三：球体和圆柱1. 一个半径为4cm的球从中间切割，得到两个半球。

求这两个半球的表面积之和。

2. 一个圆柱的底面半径为3cm，高度为10cm。

在底面上画一个直径，求这个直径与圆柱的侧面交点处的高度和侧面的面积。

练习题四：棱台和棱锥1. 一个棱台的上底是一个边长为6cm的正三角形，下底是一个边长为12cm的正六边形，高度为8cm。

求该棱台的体积和表面积之和。

2. 一个棱台的上底是一个边长为8cm的正方形，下底是一个边长为12cm的正六边形，高度为10cm。

求该棱台的体积和表面积的比值。

以上仅为一些高中立体几何的练习题，希望能够帮助大家巩固知识并提高解题能力。

在解答这些题目时，可以根据已学习的定理和公式进行计算，并注意单位和精度的问题。

同时也要灵活运用几何思维和建模能力，将实际问题转化为几何图形，从而更好地解决问题。

祝各位同学在立体几何学习中取得好成绩！。

垂直的证明【方法总结】1、证明线面垂直的方法：①利用线面垂直定义：如果一条直线垂直于平面内任一条直线，则这条直线垂直于该平面；②用线面垂直判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③用线面垂直性质：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也必垂直于这个平面．2、证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．3、证明面面垂直一般要先找到两个面的交线，然后再在两个面内找能与交线垂直的直线，最后通过证明线面垂直证明面面垂直。

【分类练习】考向一线面垂直例1、在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，1AB BC ==，2DC =，点E 在PB 上求证：CA ⊥平面PAD ；【答案】(1)证明见解析；(2)2.【解析】(1)过A 作AF ⊥DC 于F ,则CF =DF =AF ,所以∠DAC =90°,即AC ⊥DA ，又PA ⊥底面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以AC ⊥PA ，因为PA 、AD ⊂面PAD ，且PA ∩AD =A ，所以AC ⊥平面PAD .例2、如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；解析：（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，故11B C ⊥BE ．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．例3、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点求证：AC ⊥平面BEF ；【解析】(1)在三棱柱111ABC A B C -中，∵1CC ⊥平面ABC ，∴四边形11A ACC 为矩形．又E ，F 分别为AC ，11A C 的中点，∴AC ⊥EF ．∵AB BC =．∴AC ⊥BE ，∴AC ⊥平面BEF ．例4、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAB ；【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA .所以222AD AB BD =+，所以BD AB ⊥.因为PA AB A = ，所以BD ⊥平面PAB .【巩固练习】1、如图，在三棱柱ABC－A 1B 1C 1中，AB＝AC，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．证明：A 1D⊥平面A 1BC；【答案】见解析【解析】证明：设E 为BC 的中点，连接A 1E，AE.由题意得A 1E⊥平面ABC，所以A 1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A 1BC.连接DE，由D，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE∥B 1B 且DE＝B 1B，从而DE∥A 1A 且DE ＝A 1A，所以AA 1DE 为平行四边形．于是A 1D∥AE.因为AE⊥平面A 1BC，所以A 1D⊥平面A 1BC.2．（2019·上海格致中学高三月考）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F .（1）证明：PA ∥平面EDB ；（2）证明：PB ⊥平面EFD .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）设AC 与BD 相交于O ，连接OE ，由于O 是AC 中点，E 是PC 中点，所所以PA ∥平面EDB .（2）由于PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由于,BC CD PD CD D ⊥⋂=，所以BC ⊥平面PCD ，所以BC DE ⊥.由于DP DC =且E 是PC 中点，所以DE PC ⊥，而PC BC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ，所以DE PB ⊥.依题意EF PB ⊥，DE EF E = ，所以PB ⊥平面EFD .3．（2019·江苏高三月考）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，OP OC =，E 为PC 的中点，PA PD ⊥.（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：PA ⊥平面PCD【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）连结OE .因为四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，所以O 为AC 的中点.因为E 为PC 的中点，所以//OE PA .因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE .（2）因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥.由（1）知，//OE PA ，所以PA PC ⊥.因为PA PD ⊥，PC ，PD ⊂平面PCD ，PC PD P ⋂=，所以PA ⊥平面PCD .考向二面面垂直例1、如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，且AB =，1BC =，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥.(1)求证：//EF 平面PAD ；(2)求证：平面PAC ⊥平面PDE ．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】证明：(1)取PD 中点G ，连AG ，FG ，F ，G 分别是PC ，PD 的中点又E 为AB 中点//AE FG ∴，AE FG=四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD//EF ∴平面PAD(2)设AC DE H= 由AEH CDH ∆∆ 及E 为AB 中点又BAD ∠为公共角GAE BAC∴∆∆ 90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A= DE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE例2、如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直，M 是 CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；【解析】(1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．因为M 为 CD上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ．又BC CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．例3、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=CB=a ，∠ABC=3π，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE=AD ，点M 在线段EF 上。

空间几何体的计算综合练习题一、立方体问题1. 一个立方体的边长为5厘米，求其体积和表面积。

解答：立方体的体积公式为：V = a^3，表面积公式为：S = 6a^2，其中a 为边长。

给定边长a = 5厘米，代入公式可得：体积 V = 5^3 = 125立方厘米表面积 S = 6 × 5^2 = 150平方厘米因此，该立方体的体积为125立方厘米，表面积为150平方厘米。

2. 一个立方体的表面积为54平方米，求其边长和体积。

解答：设立方体的边长为a，则根据表面积公式可得：6a^2 = 54化简方程得：a^2 = 9a = 3所以该立方体的边长为3米。

根据体积公式可得：V = a^3 = 3^3 = 27立方米因此，该立方体的边长为3米，体积为27立方米。

二、球体问题1. 一个球体的半径为6厘米，求其体积和表面积。

解答：球体的体积公式为：V = (4/3)πr^3，表面积公式为：S = 4πr^2，其中r为半径。

给定半径r = 6厘米，代入公式可得：体积V = (4/3)π × 6^3 ≈ 904.78立方厘米表面积S = 4π × 6^2 ≈ 452.39平方厘米所以该球体的体积约为904.78立方厘米，表面积约为452.39平方厘米。

2. 一个球体的表面积为100平方米，求其半径和体积。

解答：设球体的半径为r，则根据表面积公式可得：4πr^2 = 100化简方程得：r = 5所以该球体的半径为5米。

根据体积公式可得：V = (4/3)πr^3 = (4/3)π × 5^3 ≈ 523.60立方米因此，该球体的半径为5米，体积约为523.60立方米。

三、圆柱体问题1. 一个圆柱体的底面半径为4厘米，高度为10厘米，求其体积和表面积。

解答：圆柱体的体积公式为：V = πr^2h，表面积公式为：S = 2πr^2 + 2πrh，其中r为底面半径，h为高度。

给定底面半径r = 4厘米，高度h = 10厘米，代入公式可得：体积V = π × 4^2 × 10 ≈ 502.65立方厘米表面积S = 2π × 4^2 + 2π × 4 × 10 ≈ 226.20平方厘米所以该圆柱体的体积约为502.65立方厘米，表面积约为226.20平方厘米。

数学必修二第二章练习题数学必修二第二章通常涵盖了几何学的一些基础内容，包括平面几何、立体几何等。

以下是一些练习题，旨在帮助学生巩固第二章的学习内容。

练习题一：平面几何1. 已知三角形ABC中，角A为60度，边AB=5cm，边AC=7cm，求边BC 的长度。

2. 在矩形PQRS中，若PQ=4cm，PR=6cm，求对角线PS的长度。

3. 给定一个圆的半径为r，求圆的周长和面积。

解答提示：- 对于第一题，可以使用余弦定理来求解。

- 第二题可以通过勾股定理来求解对角线的长度。

- 第三题可以直接应用圆的周长公式C=2πr和面积公式A=πr²。

练习题二：立体几何1. 一个正方体的棱长为a，求其表面积和体积。

2. 已知一个圆柱的底面半径为r，高为h，求其侧面积和体积。

3. 如果一个圆锥的底面半径为r，高为h，求其体积。

解答提示：- 正方体的表面积公式为S=6a²，体积公式为V=a³。

- 圆柱的侧面积公式为A=2πrh，体积公式为V=πr²h。

- 圆锥的体积公式为V=1/3πr²h。

练习题三：空间几何1. 在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，B(4,-1,2)，求向量AB的模。

2. 给定两个平面的方程，求它们之间的夹角。

3. 已知一个点到两个平行平面的距离相等，求这两个平面之间的距离。

解答提示：- 第一题可以通过计算向量的坐标差来求得向量，然后使用向量的模长公式。

- 第二题和第三题可能需要使用向量法或平面法线之间的夹角来求解。

练习题四：几何证明1. 证明：在一个三角形中，大边对大角。

2. 证明：在一个直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

3. 证明：如果两个三角形的两边和夹角相等，则这两个三角形全等。

解答提示：- 第一题可以通过比较三角形两边的长度和对应的角来证明。

- 第二题可以通过构造直角三角形的中线，然后使用勾股定理来证明。

- 第三题是三角形全等的一个特例，可以通过SAS（边-角-边）全等条件来证明。

初中数学解立体几何题练习题及答案立体几何作为初中数学的重要内容之一，是学生们常常遇到的难点。

为了帮助同学们更好地掌握立体几何的知识和解题方法，下面将给大家提供一些经典的练习题，以及它们的详细解答。

练习题1：已知一个长方体的长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm，求它的体积和表面积。

解答1：首先我们计算长方体的体积，公式为V = 长 ×宽 ×高。

代入已知值得到V = 4cm × 3cm × 2cm = 24 cm³。

其次，我们计算长方体的表面积，公式为S = 2 × (长 ×宽 + 长 ×高+ 宽 ×高)。

代入已知值得到S = 2 × (4cm × 3cm + 4cm × 2cm + 3cm ×2cm) = 2 × (12cm² + 8cm² + 6cm²) = 2 × 26cm² = 52cm²。

练习题2：一个正方体的边长为5cm，求它的体积和表面积。

解答2：正方体的体积计算公式仍然是V = 边长³。

代入已知值得到V =5cm³ = 125cm³。

正方体的表面积计算公式为S = 6 ×边长²。

代入已知值得到S = 6 ×(5cm)² = 6 × 25cm² = 150cm²。

练习题3：一个圆柱的底面半径为6cm，高为8cm，求它的体积和表面积。

解答3：圆柱的体积计算公式为V = π × 底面半径² ×高。

代入已知值得到V = 3.14 × (6cm)² × 8cm ≈ 904.32 cm³。

圆柱的侧面积计算公式为S1 = 2 × π × 底面半径 ×高。

立体几何证明练习册必刷题练习册立体几何是数学中的一个重要分支，它涉及到空间中物体的形状、大小和位置关系。

以下是一些立体几何证明的练习题，旨在帮助学生加深对立体几何概念的理解和应用。

练习一：证明长方体的对角线问题：在长方体ABCD-A'B'C'D'中，证明对角线AC'的长度等于\(\sqrt{AB^2 + BC^2 + AA'^2}\)。

证明：首先，我们设长方体的边长为AB=a, BC=b, AA'=c。

根据勾股定理，我们可以得到对角线AC的长度为\(\sqrt{a^2 + b^2}\)，对角线AA'的长度为c。

由于AC'是AC和AA'的合成线，我们可以应用勾股定理，得出AC'的长度为\(\sqrt{(\sqrt{a^2 + b^2})^2 + c^2} =\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)。

练习二：证明正四面体的体积问题：在正四面体ABCD中，已知边长为a，求四面体的体积。

证明：正四面体的底面是一个等边三角形，设其边长为a。

底面的高为\(h = \frac{\sqrt{3}}{2}a\)。

四面体的高是垂直于底面的线段，设其为h'。

由于正四面体的对称性，我们可以得出h' = h。

四面体的体积公式为V = \(\frac{1}{3} \times \text{底面积} \times\text{高}\)。

代入数值，得到V = \(\frac{1}{3} \times\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}a =\frac{\sqrt{3}}{12}a^3\)。

练习三：证明球体的表面积和体积问题：给定一个半径为r的球体，证明其表面积为\(4\pi r^2\)，体积为\(\frac{4}{3}\pi r^3\)。

证明：球体的表面积可以通过将球体切割成无数个微小的三角形面元来计算。

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l至少与l1，l2中的一条相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l与l1，l2都不相交2.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线3.下列几何体中是棱柱的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4.下列三个命题中错误的个数是( )①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆；②球面积是它大圆面积的四倍；③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长．A．0B．1C．2D．35.棱长为a的正四面体的表面积是( )A．√36a2B．√312a2C．√34a2D．√3a26.如图所示的几何体是( )A．五棱锥B．五棱台C．五棱柱D．五面体7.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2，AB=3，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，过BF的平面α与直线C1E平行，则平面α截该长方体所得截面的面积为( )A．3B．3√2C．3√3D．3√58.有以下结论：①平面是处处平直的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001cm．其中正确结论的个数为A．1B．2C．3D．49.若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均有可能10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )C．2+√2D．2√3+1 A．2B．52二、填空题（共6题），11.已知四面体ABCD内接于球O，且AB=BC=√2，AC=2，若四面体ABCD的体积为2√33球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是．12.在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q是直线DD1上的两个动点．如果PQ=2，那么三棱锥P−BCQ的体积等于．13.表面积相等的球和正方体的体积比为．14.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）15.半径为3的球体表面积为．16.已知正六棱柱的侧面积为72cm2，高为6cm，那么它的体积为cm3．三、解答题（共6题）17.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=BC=2，∠ACB=90∘，D，E分别是A1B1，CC1的中点．(1) 求证：C1D∥平面A1BE；(2) 求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值；(3) 在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为60∘？若存在，求出线段CP的长；若不存在，请说明理由．18.如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？19.如图：四棱锥P−ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥平面ABCD，F是PC中点．(1) 求证：平面PDC⊥平面PAD；(2) 求证：BF∥平面PAD．20.若两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？21.如图所示是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线长为50cm，两底面直径分别为40cm和30cm．求纸篓（外侧部分）的表面积．22.如图所示，已知一条直线a分别与两条平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则l至少与l1，l2中的一条相交，故选A．【知识点】直线与直线的位置关系2. 【答案】B【解析】由图（1）（2）（3）知，A，C，D均不正确，只有B正确．【知识点】平面的概念与基本性质3. 【答案】C【解析】观察图形得：“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，”的几何体有：①③⑤，只有它们是棱柱，共三个．【知识点】棱柱的结构特征4. 【答案】C【知识点】球面距离、球的结构特征5. 【答案】Da2=√3a2．【解析】棱长为a的正四面体的四个面都是正三角形，正四面体的表面积是4×√34【知识点】棱锥的表面积与体积6. 【答案】C【解析】由图知，该几何体底面是五边形，且为柱体，所以是五棱柱．【知识点】棱柱的结构特征7. 【答案】D【知识点】棱柱的结构特征8. 【答案】B【解析】平面处处平直，无限延展，但是没有大小、形状、厚薄等，因此①②两种说法是正确的，③④两种说法是错误的．【知识点】平面的概念与基本性质9. 【答案】D【知识点】直线与直线的位置关系10. 【答案】C【解析】由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P−ABCD，几何体的表面积为：1×1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2．故选：C．【知识点】棱锥的表面积与体积、三视图二、填空题（共6题）11. 【答案】16π【解析】如图：在三角形ABC中，因为AB2+BC2=AC2，所以△ABC为直角三角形，所以三角形ABC的外接圆的圆心为AC的中点O1．连OO1，根据垂径定理，可得OO1⊥平面ABC，因为O，O1为AD，AC的中点可知DC⊥平面ABC，所以DC为四面体ABCD的高．所以13DC×12×√2×√2=2√33，解得DC=2√3．所以AD=√(2√3)2+22=4．所以四面体ABCD的外接球的半径为2，表面积为4πR2=4π×22=16π．【知识点】棱锥的表面积与体积、球的表面积与体积12. 【答案】12【解析】因为在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q是直线DD1上的两个动点，PQ=2，所以S△PQC=12×PQ×CD=12×2×6=6，所以三棱锥P−BCQ的体积：V P−BCQ=V B−PQC=13×S△PQC×BC=13×6×6=12．【知识点】棱锥的表面积与体积13. 【答案】√6π【知识点】表面积与体积、棱柱的表面积与体积14. 【答案】 DM ⊥PC （或 BM ⊥PC ）【知识点】平面与平面垂直关系的判定15. 【答案】 36π【知识点】球的表面积与体积16. 【答案】36√3【解析】设正六棱柱的底面边长为 x cm ， 由题意得 6x ⋅6=72，所以 x =2， 于是其体积 V =√34×22×6×6=36√3(cm 3)．【知识点】棱柱的表面积与体积三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 取 AB 的中点 F ，连接 DF ，交 A 1B 于点 M ，可知 M 为 DF 的中点， 连接 EM ，易知四边形 C 1DME 为平行四边形， 所以 C 1D ∥EM ，又 C 1D ⊄平面A 1BE ，EM ⊂平面A 1BE ，所以 C 1D ∥平面A 1BE ．(2) 分别以 CA ，CB ，CC 1 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可得 B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，E (0,0,1)，A 1(2,0,2)， 则 BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)，EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)， 设平面 A 1BE 的法向量为 n ⃗ =(x,y,z )，则 {n ⃗ ⋅EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即 {2x +z =0,2y −z =0,令 x =1，可得 y =−1，z =−2，即 n ⃗ =(1,−1,−2)，所以 cos⟨BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗ ∣BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗ ∣=−√36， 所以直线 BC 1 与平面 A 1BE 所成角的正弦值为√36． (3) 假设在棱 CC 1 是存在一点 P ，设 CP =a (0<a <2)，可得 P (0,0,a )，由 A (2,0,0)，B (0,2,0)，可得 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−a )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−a )， 设平面 PAB 的法向量为 m ⃗⃗ =(x 1,y 1.z 1)， 则 {m ⃗⃗ ⋅PA⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即 {2x 1−az =0,2y 2−az =0,令 z =2，可得 x 1=a ，y 1=a ， 即 m ⃗⃗ =(a,a,2)，又由平面 A 1BE 的一个法向量为 n ⃗ =(1,−1,−2)， 所以 cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣m ⃗⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗ ∣=√a 2+a 2+4⋅√6，因为平面 PAB 与平面 A 1BE 所成二面角为 60∘，可得 √a 2+a 2+4⋅√6=cos60∘=12，解得 a 2=103，此时 a =√303，符合题意， 所以在棱 CC 1 上存在一点 P ，使得平面 PAB 上与平面 A 1BE 所成二面角为 60∘，且 CP =√303． 【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角、直线与平面平行关系的判定18. 【答案】不一定，这两条直线可能相交、平行或异面．【知识点】空间中直线与直线平行19. 【答案】(1) 因为 PA ⊥平面ABCD,CD ⊂平面ABCD ， 所以 PA ⊥CD ，又因为 CD ⊥AD ，PA ∩AD =A ，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， 所以 CD ⊥平面PAD ， 因为 CD ⊂平面PCD ，所以平面 PDC ⊥平面PAD ．(2) 取 PD 的中点为 E ，连接 EF,AE ， 因为 F 为 PC 的中点， 所以 EF 为 △PCD 的中位线， 所以 EF ∥CD ，CD =2EF ， 又因为 CD =2AB ，AB ∥CD ， 所以 EF =AB ，并且 EF ∥AB ， 所以四边形 ABEF 为平行四边形， 所以 BF ∥AE ，因为 AE ⊂平面PAD ，BF ⊄平面PAD所以 BF ∥平面PAD ．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定20. 【答案】不是．【知识点】平面与平面平行关系的性质21. 【答案】根据题意可知，纸篓底面圆的半径 rʹ=15 cm ，上口的半径 r =20 cm ，母线长 l =50 cm ，则纸篓的表面积 S =π(rʹ2+rʹl +rl )=π(152+15×50+20×50)=1975π(cm 2)．【知识点】圆台的表面积与体积22. 【答案】因为b∥c，所以b，c确定一个平面，设为α，如图所示．令a∩b=A，a∩c=B，所以A∈α，B∈α，所以AB⊂α，即直线a⊂α．所以a，b，c三线共面．【知识点】平面的概念与基本性质。

小学数学立体几何练习题题目：小学数学立体几何练习题一、选择题。

根据题意，选择最恰当的答案填入括号内。

1. 下列哪个是立方体？A. 棱长相等的长方体B. 所有面都是正方形的长方体C. 所有棱长相等的正方体D. 所有面都是等边三角形的长方体2. 在正方体中，以下哪组是对脊线、棱对、面对的定义？A. 相交的线段、相交的线段、两个平行的面B. 相交的线段、相对的线段、相交的面C. 相对的线段、相对的线段、相对的面D. 相对的线段、相交的线段、相对的面3. 在一个长方体中，以下哪条理论成立？A. 面对面相对的棱相交B. 平行的脊线相交C. 面对面的对角线相交D. 平行的棱相交二、填空题。

根据题意，在横线上填入适当的数或字母。

1. 又称为长方体的特殊立方体是_________。

2. 所有面都是正方形的立方体的棱长是2 cm，则立方体的体积是__________ cm³。

3. 一个正方体的边长为3 cm，它的表面积是_________ cm²。

4. 一个长方体的长、宽、高分别为5 m、3 m、2 m，它的体积是_________ m³。

三、解答题。

根据题意，写出完整型答案。

1. 证明：一个长方体的面对面相对的棱都是共线的。

解答：设长方体ABCD-A1B1C1D1的两个面为ABCD和ADCB1。

假设AB和AA1两条棱不共线，则可得到更短的直线段连接A和A1，即可构成一个更短的棱AA1。

与AB和AA1不共线的假设矛盾，因此假设不成立，所以AB和AA1两条棱共线。

2. 一个立方体的长、宽、高分别为5 cm，它的表面积和体积分别是多少？解答：由于立方体的六个面都是正方形，所以每个面的面积为5 cm * 5 cm = 25 cm²。

所以立方体的表面积为6 * 25 cm² = 150 cm²。

立方体的体积等于一个面的面积乘以它的高度，即25 cm² * 5 cm = 125 cm³。

高中立体几何试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 空间中，如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的任意直线b的位置关系是：A. 平行B. 异面C. 相交D. 垂直2. 一个正方体的棱长为a，那么它的对角线长度为：A. a√2B. a√3C. 2aD. 3a3. 已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，圆锥的体积是：A. πr²hB. 1/3πr²hC. 2πr²hD. 3πr²h4. 一个球的半径为R，那么它的表面积是：A. 4πR²B. 2πR²C. πR²D. R²5. 空间中，如果两个平面α和β相交于直线l，那么直线l与平面α和平面β的位置关系是：A. 平行B. 垂直C. 相交D. 包含二、填空题（每题2分，共10分）6. 空间直角坐标系中，点A(2,3,4)到原点O的距离是________。

7. 一个正四面体的每个顶点都与其它三个顶点相连，那么它的边长与高之比为________。

8. 已知一个长方体的长、宽、高分别为l、w、h，那么它的体积是________。

9. 空间中，如果一个点到平面的距离是d，那么这个点到平面上任意一点的距离的最大值是________。

10. 一个圆柱的底面半径为r，高为h，它的侧面积是________。

三、解答题（共75分）11. （15分）已知空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，B(4,5,6)，点C 在平面ABC内，且AC=BC=2，求点C的坐标。

12. （20分）一个圆锥的底面半径为3，高为4，求圆锥的全面积和表面积。

13. （20分）一个长方体的长、宽、高分别为5、3、2，求其外接球的半径。

14. （20分）已知一个球的表面积为4π，求该球的体积。

答案：一、选择题1. A2. B3. B4. A5. C二、填空题6. √(1²+2²+3²)=√147. √3:18. lwh9. d+R10. 2πrh三、解答题11. 点C的坐标可以通过向量运算求得，设C(x,y,z)，则向量AC=向量BC，即(1-x,2-y,3-z)=(x-4,5-y,6-z)，解得x=3，y=4，z=5，所以点C的坐标为(3,4,5)。

《立体几何》（一）选择题：1．下列说法正确的是 ( ) （A ）两平面相交只有一个公共点 （B ）两两相交的三条直线共面 （C ）不共面的四点中，任何三点不共线 （D ）有三个公共点的两平面必重合 2．在空间，下列命题中正确的是 ( ) （A ）对边相等的四边形一定是平面图形 （B ）四边相等的四边形一定是平面图形（C ）有一组对边平行的四边形一定是平面图形 （D ）有一组对角相等的四边形一定是平面图形3．过空间一点作三条直线，则这三条直线确定的平面个数是 ( ) （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）1个或3个 4．空间不共线的四点，其中三点共线是这四点共面的 ( ) （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 5．下列说法正确的是 （ ） （A ）过三点确定一个平面 （B ）过一条直线和一个点确定一个平面 （C ）梯形、平行四边形都是平面图形（D ）四边形都是平面图形6．下列命题中正确的是 （ ） （A ）空间不同的三点确定一个平面（B ）空间两两相交的三条直线确定一个平面（C ）空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形（D ）和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内7．“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的 （ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要 8．下列说法正确的是 （ ） （A ）四边形的对角线相交（B ）空间有任意四个角是直角的四边形一定是平面图形 （C ）两两相交的三条直线一定共面（D ）在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面。

9．不一定能确定一个平面的是 ( ) （A ）直线与直线外一点（B ）两条相交直线（C ）空间三点（D ）两条平行直线10．A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ ） ()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 ()C αα∉⇒∈⊄A l A l ,()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合 （二）填空题：1．空间三条直线互相平行，但不共面，它们能确定 个平面；三条直线相交于一点，它们最多可确定 个平面。

数学立体几何练习题一、选择题:本大题共8小题,每小题５分，共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.如图,在正方体ABC Ｄ-A 1B 1Ｃ１D 1中，棱长为a ，Ｍ、N 分别为A 1Ｂ和AC 上的点，A 1Ｍ=AN ＝错误!，则M Ｎ与平面BB 1C 1C 的位置关系是（ ） A.相交 B.平行 C ．垂直 Ｄ.不能确定2.将正方形ＡBCD 沿对角线B Ｄ折起，使平面ABD ⊥平面CBD,Ｅ是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ） ﻩA ．45 Ｂ.30C.60ﻩD.90３.ＰA ，PB,PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是6０º，则直线PC 与平面P ＡB所成的角的余弦值为（ )A.12B 。

3ﻩC 。

3ﻩＤ。

6４.正方体ＡB ＣD —A 1B 1Ｃ1Ｄ1中，Ｅ、F 分别是A Ａ1与CC 1的中点,则直线ED 与D １F 所成角的余弦值是A ．15ﻩＢ。

13C 。

12D 。

3 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABC Ｄ的中心,Ｅ、F 分别是1CC 、A Ｄ的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ )ﻩＡ.510 B ．32 ﻩＣ.55ﻩD ．515 6．在正三棱柱AB Ｃ-A 1B 1C 1中，若AB=2,A A 1=1，则点Ａ到平面A １BC 的距离为(ﻩ）A.43ﻩB.23ﻩＣ．433ﻩD.3 ７．在正三棱柱ABC-A 1B 1Ｃ1中，若ＡB=错误!BB 1,则AB 1与Ｃ1Ｂ所成的角的大小为（ ）A.60ºﻩ B ． 90º ﻩＣ．１0５º ﻩD. 75º８.设E ，Ｆ是正方体AC 1的棱ＡB 和D 1C 1的中点,在正方体的１2条面对角线中,与截面Ａ1EＣF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B.2 C.4 ﻩＤ.6 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共3０分．9.在正方体ABC Ｄ-A １B 1C 1D 1中,M 、Ｎ分别为棱ＡＡ1和B Ｂ1的中点,则ｓin 〈CM ,1D N 〉的值为___＿__＿_＿．１０.如图，正方体的棱长为1,C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点,AM DCAB CDP 那么点M 到截面ＡB ＣD 的距离是 .１1．正四棱锥Ｐ-A ＢCD 的所有棱长都相等，E 为PC 中点,则直线AC 与截面BDE 所成的角为 .12.已知正三棱柱A ＢC-Ａ1B 1Ｃ1的所有棱长都相等，D 是Ａ1C 1的中点,则直线AD 与平面Ｂ1DC 所成角的正弦值为 . 13．已知边长为的正三角形A ＢＣ中，Ｅ、F 分别为ＢＣ和AC 的中点，PA ⊥面ＡBC ，且PA=2,设平面α过PF 且与AE 平行,则AE 与平面α间的距离为 ． 14.棱长都为2的直平行六面体A ＢＣD —A 1B 1C 1D １中,∠BA Ｄ=60°,则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成角的余弦值为__＿__＿__.三、解答题:本大题共6小题，共80分。

小题专题练(四) 立体几何
一、选择题
1．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，点M 在EF 上且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为(
)
A ．(1，1，1)
B.⎝⎛⎭⎫23，23，1
C.⎝⎛⎭⎫22，22，1
D.⎝⎛
⎭⎫24，24，1 2．(2019·贵阳模拟)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；
②若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n ；
③若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；
④若α∥β，γ∩α＝m ，γ∩β＝n ，则m ∥n .
其中正确命题的序号是( )
A ．①④
B ．①②
C ．②③④
D ．④
3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝3，AD ＝1，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )
A.
64 B.63 C.26 D.36
4．设α，β是两个不同的平面，l 是直线且l ⊂α，则“α∥β”是“l ∥β”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．充要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°(如图)，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则形成的旋转体的体积是( )。

小学生数学习题练习立体几何练习篇小学生数学习题练习立体几何练习篇一、选择题1.下图是一个长方体，其中四周边长相等的是：A. AB, AD, EF, FGB. AB, AE, EH, OHC. AE, EF, FH, OHD. AD, DE, EH, FG2.一个长方体有多少个顶点？A. 6B. 8C. 10D. 123.下图是一个立方体，标号的边长分别是a和b，求a和b之间的关系。

A. a = bB. a > bC. a < bD. 无法确定二、填空题1.一个正方体共有 ______ 个面。

2.一个棱长为5cm的正方体的体积为 ______ cm³。

3.一个棱长为6cm的立方体表面积为 ______ cm²。

三、计算题1.一个长方体的长为4cm，宽为3cm，高为5cm，求其体积和表面积。

2.一个正方体的体积为125cm³，求其棱长。

3.一个长方体的表面积为54cm²，长为3cm，高为2cm，求其宽。

四、解答题1.下图是一个长方体，已知AB=3cm，BC=4cm，求立体的体积和表面积。

2.一个立方体的体积是343cm³，求其棱长和表面积。

答案：一、选择题1. A2. B3. D二、填空题1. 62. 1253. 216三、计算题1. 体积：4cm × 3cm × 5cm = 60cm³表面积：2 × (4cm × 3cm + 3cm × 5cm + 4cm × 5cm) = 94cm²2. 棱长：³√125cm³ = 5cm表面积：6 × (5cm × 5cm) = 150cm²四、解答题1. 体积：3cm × 4cm × 5cm = 60cm³表面积：2 × (3cm × 4cm + 4cm × 5cm + 3cm × 5cm) = 94cm²2. 棱长：³√343cm³ = 7cm表面积：6 × (7cm × 7cm) = 294cm²通过以上习题练习，相信小学生对立体几何的概念和计算能力有了更深入的理解和提升。

立体几何测试题(共10篇)立体几何测试题（一）: 立体几何问题立体几何试题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证：（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C交平面DBFE于R点,则P、Q、R三点共线.1.EF平行于B1D1,B1D1平行于BD,所以EF平行于BD,EFBD四点共面2.F,D,A,C1属于平面A1ACC1,且AC1与PQ不平行,所以AC1与PQ相交A1C交平面DBFE于R点,又因为PQ属于平面DBFE,所以AC1与PQ相交于R 所以R属于PQ,PQR共线立体几何测试题（二）: 几个书后练习题立体几何1.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.是否正确2.如果a、b是两条直线,且a‖b,那么a平行于经过b的任何平面.为什么不对谢不对,因为a有可能在经过b的面上,不是平行关系立体几何测试题（三）: 一道数学基本的立体几何的题目~在正方形ABCD-A"B"C"D"中,P、Q分别为A"B"、BB"的中点.（1）求直线AP与CQ所成的角的大小（2）求直线AP与BD所成的角的大小我还没学过空间向量,1.取DC中点E,连EC,证明EC平行AP,用余弦定理算2.取AB中点F,连接FB,用余弦定理算【立体几何测试题】立体几何测试题（四）: 求大量立体几何难题!立体几何综合试题（自己画图）1、已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都相等,D、E分别为AC1,BB1的中点.（1）求证：DE‖平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小.2、已知直三棱柱ABC—A1B1C1,AB＝AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1＝2∶1,BF ＝BC＝2a.（I）若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EF⊥FC1；（II）试问：若AB＝2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么证明你的结论3、在底面是直角梯形的四棱锥中,AD‖BC,∠ABC＝90°,且 ,又PA⊥平面ABCD,AD＝3AB＝3PA＝3a.（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II）求点A到平面PBC的距离.4、在直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F分别是BA、BC的中点,G是AA1上一点,且AC1⊥EG.（Ⅰ）确定点G的位置；（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.5、已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是菱形,平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值6.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P 在棱CC1上,且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.7、在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,,E是PC的中点,作交PB于点F.(I)证明平面；(II)证明平面EFD；(III)求二面角的大小.8、已知在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D 1E⊥平面AB1F时,求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.9、直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB‖CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P、Q分别是CC1、C1D1的中点.点P到直线AD1的距离为⑴求证：AC‖平面BPQ⑵求二面角B-PQ-D的大小10、已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=8,E、F分别为AD和CC1的中点,O1为下底面正方形的中心.（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；（Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值；这些题应该还可以!你来试试吧!题不要求多就精就可以了!不懂的或不会做的,我来帮你解答!立体几何测试题（五）: 立体几何初步练习题已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱B1C1,C1D1,A1B1,D1A1的中点,求证（1）MN平行于DEF,(2)平面AMN平行于平面CEF(1)连接B1D1因为MN、EF为三角形A1B1D1、B1C1D1的中位线,所以MN平行于EF因为MN不属于面DEF,EF属于面DEF所以MN平行于面DEF(2)这题题目错了吧,应该是DEF吧立体几何测试题（六）: 解析几何基础知识练习题靠!一楼的那么多废话那么多选择题：集合,函数（图像）,立体几何,圆锥一、数学命题原则 1．普通高等学校招生数学科的考试,按照“考查基础知识的【立体几何测试题】立体几何测试题（七）: 高一必修二立体几何习题1-7的题仓库的房顶呈正四棱锥形,量的地面的边长为2.6m,侧棱长2.1m,先要在房顶上铺一层油毡纸,问：需要油毡纸的面积多少运用海伦公式房顶为4个相同的三角形海伦公式a=2.6 b=2.1 c=2.1 p=a+b+c/2=3.4S=根号下p*(p-a)*(p-b)*(p-c)=2.1444S=2.144*4=8.576平方米立体几何测试题（八）: 怎么根据题目画数学的立体几何图形搞懂了题目的要求,就照那意思去画,立体几何记住透视很重要.立体几何测试题（九）: 求立体几何判断题的解题方法.①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直⑤……等等,诸如此类.见到很多这样的题目,但是却总找不到解题的方法,概念定理也经常记混.本人感激不尽!记一些模型,例如墙角模型什么的这个很重要.遇见不熟悉的题,用书本和笔（手指也可以）比划一下.这种题目主要是找反例!想象力也很重要啦……立体几何测试题（十）: 一道高中立体几何的题目.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,O1是底面A1B1C1D1的中心.E 是CO1上的点,设CE等于X,四棱锥E-ABCD的体积为y,求y关于X的函数关系式..图只有自己画一下了,做EF垂直于平面ABCD 垂足为F易得出CEF相似于O1CC1因为C1O1=根号2 CC1=4 得CO1=3根号2CE/CO1=EF/CC1 得出EF=4X/3根号2Y=底面积*EF/3=4*4X/9根号2Y=8根号2*X/9职高立体几何测试题空间立体几何测试题。

立体几何练习题（1）1．A 、B 为球面上相异两点，则通过A 、B 两点可作球的大圆有 （ ） A ．一个 B ．无穷多个 C ．零个 D ．一个或无穷多个 2．长方体三条棱长分别是AA ′=1，AB=2，AD=4，则从A 点出发，沿长方体的表面到C ′的最短矩离是（ ）A ．5B ．7C ．29D ．373．已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则 （ ） A ．E F D C B A ⊂⊂⊂⊂⊂ B ．A C B F D E ⊂⊂⊂⊂⊂ C ．C A B D F E ⊂⊂⊂⊂⊂ D ．它们之间不都存在包含关系4．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的 一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是 （ ）A B C D 5．（12分）画出下列空间几何体的三视图．立体几何练习题（1）参考答案：1.D2.A3.B4.B5．解：（1）的三视图如下：正视图 侧视图 俯视图（2）的三视图如下：正视图 侧视图 俯视图立体几何练习题（2）1．如右图所示，该直观图表示的平面图形为（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．正三角形2．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为 （ ）A ．46 B ．43 C ．23D ．26 3．说出下列三视图表示的几何体是（ ）A ．正六棱柱B ．正六棱锥C ．正六棱台D ．正六边形4．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 ．5．（12分）说出下列三视图所表示的几何体：正视图 侧视图 俯视图立体几何练习题（2）参考答案1.C2.A3.A 4．52．5．分析: 从给定的信息来看，该几何体是一个正四棱台.答：该三视图表示的是一个正四棱台.立体几何练习题（3）1．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（ ）A ．21B ．1C ．2D ．32．将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 （ ）A ．26aB ．12a 2C ．18a 2D ．24a 23．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（ ）A ．2π B ．6πC ．4πD ．3π 4．中心角为135°的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，则A ：B 为（ ） A ．11：8 B ．3：8 C ．8：3 D ．13：8 5．（14分）已知：一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其中有一个高为x 的内接圆柱． （1）求圆柱的侧面积；（2）x 为何值时，圆柱的侧面积最大．立体几何练习题（3）参考答案1.D2.B3.B4.A 5．解：（1）设内接圆柱底面半径为r . ②①圆柱侧)(2x H HRr Hx H R r x r S -=∴-=⋅=π ②代入①())0(2)(22H x Hx x HR x H H R x S <<+-=-⋅=ππ圆柱侧 （2）()S R H x H x 圆柱侧=-+22π⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=42222H H x H R π 22RHS H x π==∴圆柱侧最大时立体几何练习题（4）1．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么 （ ） A ．α∥β B ．α与β相交 C ．α与β重合 D ．α∥β或α与β相交2．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB ＝AC ＝2， E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是（ ）A ．1B ．2C ．22D ．21 3．已知ABCD 是空间四边形形，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，如果对 角线AC ＝4，BD ＝2，那么EG 2＋HF 2的值等于 （ ）A ．10B ．15C ．20D ．254．如图所示，A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若BD ＝6，则MN ＝___________． 5．（14分）如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，PA ＝AD ＝a ． （1）求证：MN ∥平面PAD ；（2）求证：平面PMC ⊥平面PCD ．立体几何练习题（4）参考答案1.D2.B3.A 4．25．证明：如答图所示，⑴设PD 的中点为E ，连结AE 、NE ，由N 为PD 的中点知EN =//21DC ，又ABCD 是矩形， ∴DC =//AB ，∴EN =//21AB 又M 是AB 的中点，∴EN =//AN ， ∴AMNE 是平行四边形 ∴MN ∥AE ，而AE ⊂平面PAD ，NM ⊄平面PAD ∴MN ∥平面PAD 证明：⑵∵PA ＝AD ，∴AE ⊥PD ，又∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥PA ，而CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD∴CD ⊥AE ， ∵PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD ， ∵MN ∥AE ，∴MN ⊥平面PCD ， 又MN ⊂平面PMC ， ∴平面PMC ⊥平面PCD.P NCB MAD E立体几何练习题（5）1．已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是 （ ） A ．a ⊥α且a ⊥β B ．α⊥γ且β⊥γ C ．a ⊂α，b ⊂β，a ∥b D ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β 2．如图所示，用符号语言可表达为（ ） A ．α∩β＝m ，n ⊂α，m ∩n ＝A B ．α∩β＝m ，n ∈α，m ∩n ＝A C ．α∩β＝m ，n ⊂α，A ⊂m ，A ⊂ n D ．α∩β＝m ，n ∈α，A ∈m ，A ∈ n 3．已知m 、l 是直线, αβ、是平面, 给出下列命题: ①若l 垂直于α内的两条相交直线, 则l ⊥α; ②若l 平行于α, 则l 平行α内所有直线; ③若m l lm ⊂⊂⊥⊥αβαβ,,，且则;④若l l ⊂⊥⊥βααβ,且，则; ⑤若m l m ⊂⊂αβαβ,,，且∥则∥l ． 其中正确的命题的序号是 (注: 把你认为正确的命题的序号都填上)． 4．面积为Q 的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为 （ ） A ．πQ B ．2πQ C ． 3πQ D ． 4πQ 5．（12分）三棱锥S-ABC 的三条侧棱两两垂直，SA =5，SB =4，SC =3，D 为AB 中点，E 为AC 中点，求四棱锥S-BCED 的体积．立体几何练习题（5）参考答案1.A2.A3.B 4．①④5．解： 中点、分别是、AC AB E DABC S BCED S ABC BCED ABC ADE V V S S S S --∆∆∆=∴=∴=∴434341A SB S A SC S B S C S S ⊥⊥=，，21510434310342153131=⨯==∴=⨯⨯⨯⨯===∴⊥∴--∆--ABC S BCED S BSC BSC A ABC S V V S AS V V BSCAS ·面1、一个球的外切正方体的全面积等于6 cm 2，则此球的体积为 （ ） A.334cm π B.386cm π C. 361cm π D. 366cm π2、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是A ．28cm πB ．212cm πC ．216cm πD ．220cm π3、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（ ）A. 3πB. 4πC. 2π D. π4、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）1C O 面11AB D ；（2 ）1AC ⊥面11AB D ． (10分)立体几何练习题（6）参考答案1.C2.B3.C4、证明：（1）连结11AC ，设11111AC B D O =连结1AO ， 1111ABCD A BC D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形11AC AC ∴ 且 11AC AC = 2分又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，11O C AO ∴ 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形 4分 111,C O AO AO ∴⊂ 面11AB D ，1C O ⊄面11AB D∴1C O 面11AB D 6分（2）1CC ⊥ 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 7分又1111AC B D ⊥ ， 1111B D AC C ∴⊥面 ， 111AC B D ⊥即 同理可证11AC AB ⊥， 又1111D B AB B = ∴1AC ⊥面11AB D D 1ODB AC 1B 1A 1C1、已知，圆O所在的平面为α,AB为圆O 的直径，C 为圆周上的一点，PAα⊥,E,F分别为PB,PC的中点,求证：（20分）（1）BC PAC⊥面(2)面AEF⊥面PAC2、如图，P是矩形ABCD所在平面外一点，PA ABCD⊥面,E,F 分别是PD,BC的中点。

挑战立体几何的体积练习题在学习立体几何的过程中，计算体积是一个重要的技能。

理解和掌握计算不同几何体的体积公式对于解决实际问题和应用数学知识至关重要。

在本篇文章中，将介绍一些挑战性的立体几何体积练习题，帮助读者提高对体积计算的理解和运用能力。

练习题一：长方体与立方体1. 将一个边长为2厘米的正方形面贴在一个长方体的一个面上，这个正方形位于长方体的中心。

如果长方体的高为5厘米，求这个复合体的体积。

解答：首先计算正方形的面积：2cm × 2cm = 4cm²然后计算长方体的体积：4cm² × 5cm = 20cm³所以，这个复合体的体积为20立方厘米。

2. 一个立方体的棱长为3cm，若将这个立方体切割成六个体积相同的小正方体，求每个小正方体的棱长以及它们的体积。

解答：首先计算原立方体的体积：3cm × 3cm × 3cm = 27cm³然后计算每个小正方体的体积：27cm³ ÷ 6 = 4.5cm³由于六个小正方体在空间中组成一个立方体，所以每个小正方体的棱长也相同，记为x。

则x³ = 4.5cm³，解得x ≈ 1.71cm所以每个小正方体的棱长约为1.71cm，体积为4.5立方厘米。

练习题二：圆柱体与锥体1. 一个圆柱体的直径为8cm，高为10cm，求其体积。

解答：首先计算圆柱体的半径：8cm ÷ 2 = 4cm然后计算圆柱体的底面积：π × 4cm × 4cm = 16π cm²最后计算圆柱体的体积：16π cm² × 10cm = 160π cm³所以，圆柱体的体积为160π立方厘米，约等于502.65立方厘米。

2. 一个锥体的底半径为6cm，高为8cm，求其体积。

解答：首先计算锥体的底面积：π × 6cm × 6cm = 36π cm²然后计算锥体的体积：36π cm² × 8cm ÷ 3 = 96π cm³所以，锥体的体积为96π立方厘米，约等于301.59立方厘米。