线性代数之第5章.特征值和特征向量_矩阵的对角化

矩阵的特征值和特征向量文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]第五章矩阵的特征值和特征向量来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组1．教学目的和要求：(1)理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.(2)了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.(3)了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.2．教学重点：(1)会求矩阵的特征值与特征向量.(2)会将矩阵化为相似对角矩阵.3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵.4．教学内容：本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题.§1矩阵的特征值和特征向量定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程(1)存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．（1）式也可写成，(2)这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式, (3)即上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．===显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明（ⅰ）（ⅱ）若为的一个特征值，则一定是方程的根,因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）．例1 求的特征值和特征向量.解的特征多项式为=所以的特征值为当=2时，解齐次线性方程组得解得令=1，则其基础解系为：=因此，属于=2的全部特征向量为：.当=4时，解齐次线性方程组得令=1，则其基础解系为：因此的属于=4的全部特征向量为[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.例2求矩阵的特征值和特征向量.解的特征多项式为==，所以的特征值为==2（二重根），.对于==2，解齐次线性方程组．由，得基础解系为：因此，属于==2的全部特征向量为：不同时为零.对于，解齐次线性方程组．由，得基础解系为：因此，属于的全部特征向量为：由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量．但对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用．对此我们给出以下结论：定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关.证明设是矩阵的不同特征值，而分别是属于的特征向量，要证是线性无关的.我们对特征值的个数作数学归纳法证明.当时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立.当＞1时,假设时结论成立.由于是的不同特征值,而是属于的特征向量,因此如果存在一组实数使(3)则上式两边乘以得(4)另一方面,,即(5)(4)－(5)有由归纳假设,线性无关,因此而互不相同,所以．于是(3)式变为.因,于是．可见线性无关．课后作业：习题五５－12§２相似矩阵定义2设、都是阶方阵，若存在满秩矩阵，使得则称与相似，记作，且满秩矩阵称为将变为的相似变换矩阵．“相似”是矩阵间的一种关系，这种关系具有如下性质：⑴反身性：～；⑵对称性：若～，则～；⑶传递性：若～，～，则～．相似矩阵还具有下列性质：定理2相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.证明设～，则存在满秩矩阵，使于是推论若阶矩阵与对角矩阵相似，则即是的个特征值．定理3设是矩阵的属于特征值的特征向量,且~,即存在满秩矩阵使,则是矩阵的属于的特征向量．证明因是矩阵的属于特征值的特征向量，则有于是所以是矩阵的属于的特征向量．下面我们要讨论的主要问题是：对阶矩阵，寻求相似变换矩阵，使为对角矩阵，这就称为把方阵对角化．定理4阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有个线性无关的分别属于特征值的特征向量（中可以有相同的值）．证明必要性设与对角矩阵相似，则存在满秩矩阵，使=设则由上式得即，因此所以是的特征值，是的属于的特征向量，又因是满秩的，故线性无关.充分性如果有个线性无关的分别属于特征值的特征向量，则有设则是满秩的，于是，即=[注]：由定理4，一个阶方阵能否与一个阶对角矩阵相似，关键在于它是否有个线性无关的特征向量．（1）如果一个阶方阵有个不同的特征值，则由定理1可知，它一定有个线性无关的特征向量，因此该矩阵一定相似于一个对角矩阵．.（2）如果一个阶方阵有个特征值（其中有重复的），则我们可分别求出属于每个特征值的基础解系，如果每个重特征值的基础解系含有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个对角矩阵相似.否则该矩阵不与一个对角矩阵相似．可见，如果一个阶方阵有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个阶对角矩阵相似，并且以这个线性无关的特征向量作为列向量构成的满秩矩阵，使为对角矩阵，而对角线上的元素就是这些特征向量顺序对应的特征值．例3 设矩阵，求一个满秩矩阵，使为对角矩阵．解的特征多项式为所以的特征值为.对于解齐次线性方程组，得基础解系，即为的两个特征向量对于=2，解齐次线性方程组，得基础解系，即为的一个特征向量.显然是线性无关的，取，即有.例4设，考虑是否相似于对角矩阵．解所以的特征值为.对于解齐次线性方程组，得基础解系即为一个特征向量，对于，解齐次线性方程组，得基础解系，即为的另一个特征向量.由于只有两个线性无关的特征向量，因此不能相似于一个对角矩阵．课后作业：习题五13－16§３向量组的正交性在解析几何中，二维、三维向量的长度以及夹角等度量性质都可以用向量的内积来表示，现在我们把内积推广到维向量中．定义3设有维向量，，令=，则称为向量和的内积．[注]：内积是向量的一种运算，若用矩阵形式表示，当和是行向量时，＝，当和都是列向量时，＝．内积具有下列性质（其中为维向量，为常数）：（1）=；（2）=；（3）=+；（4），当且仅当=0时等号成立．定义4令||=称||为维向量的模（或长度）．向量的模具有如下性质：（1）当≠0时，||＞0；当=0时，||=0；（2）||=|| ||，（为实数）；（3）||≤||||；（4）|≤||+||；特别地，当||=1时，称为单位向量.如果||≠0，由性质（2），向量是一个单位向量．可见，用向量的模去除向量，可得到一个与同向的单位向量，我们称这一运算为向量的单位化，或标准化．如果、都为非零向量，由性质（3）≤1，于是有下述定义：定义5当||≠0，||≠0时称为维向量、的夹角．特别地：当=0时，，因此有定义当=0时，称向量与正交．（显然，若=0，则与任何向量都正交）．向量的正交性可推广到多个向量的情形.定义6已知个非零向量，若=0，则称为正交向量组．定义7若向量组为正交向量组，且||=1，则称为标准正交向量组．例如，维单位向量组=，，是正交向量组．正交向量组有下述重要性质：定理5正交向量组是线性无关的向量组．定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组．定理6 设向量组线性无关，由此可作出含有个向量的正交向量组，其中，，，…….再取则为标准正交向量组．上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特（Schimidt）正交化过程．它不仅满足与等价，还满足：对任何，向量组与等价．例5把向量组=（1，1，0，0），=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化为标准正交向量组．解容易验证，，是线性无关的.将，，正交化，令=，=，再把单位化，则即为所求的标准正交向量组．定理7若是维正交向量组，，则必有维非零向量，使，成为正交向量组．推论含有个（）向量的维正交（或标准正交）向量组，总可以添加个维非零向量，构成含有个向量的维正交向量组．例6已知，求一组非零向量，使，，成为正交向量组.解应满足方程=0，即.它的基础解系为把基础解系正交化，即为所求．亦即取其中于是得定义8如果阶矩阵满足（即），那么称为正交矩阵．正交矩阵具有如下性质：（1）矩阵为正交矩阵的充分必要条件是；（2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；（3）两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵；（4）正交矩阵是满秩的，且|=1或．由等式可知，正交矩阵的元素满足关系式（其中）可见正交矩阵任意不同两行（列）对应元素乘积之和为0，同一行（列）元素的平方和为1，因此正交矩阵的行（列）所构成的向量组为标准正交向量组，反之亦然．于是有定理8一个阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行（或列）向量组是一个标准正交向量组．课后作业：习题五1－4§４实对称矩阵的相似对角化在§２中，我们讨论了相似矩阵的概念和性质以及一般的阶矩阵与对角矩阵相似的问题．本节将进一步讨论用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵的问题．为此首先给出下面几个定理．定理9 实对称矩阵的特征值恒为实数．从而它的特征向量都可取为实向量．定理10 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的．证明设是实对称矩阵的两个不同的特征值，即．是分别属于的特征向量，则，根据内积的性质有，又所以，因，故，即与正交.定理11 设为阶对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量．定理12 设为阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵．例7设求一个正交矩阵，使为对角矩阵.解，所以的特征值，.对于，解齐次线性方程组，得基础解系，因此属于的标准特征向量为.对于，解齐次线性方程组，得基础解系这两个向量恰好正交，将其单位化即得两个属于的标准正交向量，.于是得正交矩阵易验证.课后作业：习题五17。

【关键字】学习第五章矩阵的特征值与特征向量一．内容提要1 . 特征值和特征向量定义1 设是数域P上的n阶矩阵，若对于数域P中的数，存在数域P上的非零n维列向量X，使得则称为矩阵A的特征值，称X为矩阵A属于（或对应于）特征值的特征向量注意：1）是方阵；2）特征向量X 是非零列向量；3）方阵与特征值对应的特征向量不唯一4）一个特征向量只能属于一个特征值.2．特征值和特征向量的计算计算矩阵A的特征值与特征向量的步骤为：（1）计算n阶矩阵A的特征多项式｜E－A｜；（2）求出特征方程｜E－A｜＝０的全部根，它们就是矩阵A的全部特征值；（3）设1 ，2 ，… ，s 是A的全部互异特征值。

对于每一个i，解齐次线性方程组0，求出它的一个根底解系，该根底解系的向量就是A属于特征值i的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A属于特征值i的全体特征向量.3．特征值和特征向量的性质性质1 （1）若X是矩阵A属于特征值的特征向量，则kX（）也是A属于的特征向量；（2）若是矩阵A属于特征值的特征向量，则它们的非零线性组合也是A属于的特征向量；（3）若A是可逆矩阵，是A的一个特征值，则是A—1的一个特征值，是A*的一个特征值；（4）设是n阶矩阵A的一个特征值，f（x）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0为一个多项式，则是f（A）的一个特征值。

性质2（1）（2）性质3 n阶矩阵A和它的转置矩阵有相同的特征值性质4 n阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关4. 相似矩阵定义2 设A、B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得Ｂ＝P―1ＡP则称A与B相似。

记作A∽B. 并称P为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是等价关系，满足：1°反身性：A∽A.2°对称性：若A∽Ｂ，则Ｂ∽A.3°传递性：若A∽Ｂ，B∽Ｃ则A∽Ｃ.5．矩阵相似的性质：设A、B为n阶矩阵，若A∽B，则（1） ； （2） ；（3）A 、B 有相同的迹和特征多项式，相同的特征值；（4） A ，B 或者都可逆或者都不可逆. 当A ，B 都可逆时，∽；（5）设f （x ）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0 为一个多项式，则 f （A ）∽ f （B ） ； 6．n 阶矩阵A 相似对角化的条件（1）n 阶矩阵A 与对角矩阵Λ相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. （2）n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 的每个k 重特征值恰好对应有k 个线性无关的特征向量.注（1）与单位矩阵相似的 n 阶矩阵只有单位阵 E 本身，与数量矩阵 kE 相似的 n 阶方阵只有数量矩阵 kE 本身（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。

线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，具有广泛的应用。

在此，我们将详细介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。

希望能对读者理解这两个概念有所帮助。

1.特征值和特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。

2.特征值和特征向量的性质（1）对于任意矩阵A和非零向量x，如果Ax=λx，则(x,λ)是(A-λI)的一个特征对，其中I是单位矩阵。

（2）对于任意非零常数k，kλ和kx也是特征值λ和特征向量x的特征对。

（3）如果矩阵A的特征向量x1和x2对应于不同的特征值λ1和λ2，则x1和x2线性无关。

（4）若矩阵A的特征值都不相同，则它一定能够对角化。

3.特征值和特征向量的计算（以2阶矩阵为例）对于一个2阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来计算其特征值和特征向量：（1）解特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。

（2）将特征值代入(A-λI)x=0，求解x的向量，即为对应于特征值的特征向量。

4.实对称矩阵的特征值和特征向量对于实对称矩阵，其特征值一定是实数且存在线性无关的特征向量。

具体计算方法为：（1）求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ1, λ2, ..., λn。

（2）将特征值代入(A-λI)x=0，解出x的向量，即为对应于特征值的特征向量。

5.正交矩阵的特征值和特征向量对于正交矩阵，其特征值的模一定是1，且特征向量是两两正交的。

具体计算方法同样为求解特征方程和特征向量方程。

6.特征值和特征向量的应用特征值和特征向量有广泛的应用，例如：（1）主成分分析（PCA）：利用特征值和特征向量可以找到数据的主要特征方向，用于数据降维和分析。

（2）图像处理：利用特征值和特征向量可以进行图像压缩、增强和分析。

（3）物理学中的量子力学：波函数的特征值和特征向量对应着物理量的测量结果和对应的本征态。

线性代数中的特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于物理、经济、计算机科学等领域。

本文将介绍特征值和特征向量的定义、性质以及其在矩阵对角化和特征分解中的应用。

一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个 n×n 的矩阵 A，我们称零向量v≠0 是矩阵A 的特征向量，如果存在一个实数λ，使得Av=λv。

特征值λ 是使得上述等式成立的实数。

特征向量与特征值是成对出现的，每个特征向量都有一个对应的特征值。

二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量的数目相等对于一个 n×n 的矩阵 A，它最多能有 n 个线性无关的特征向量。

而特征值也最多有n 个。

一个特征值可以对应多个线性无关的特征向量。

2. 特征向量的积性质如果 v 是 A 的特征向量，那么对于任意实数 c，cv 也是 A 的特征向量，且特征值保持不变。

3. 特征向量的加性质如果 v1 和 v2 是 A 的特征向量，对应相同的特征值λ，那么 v1+v2也是 A 的特征向量，对应特征值λ。

三、特征值与特征向量的计算要计算一个矩阵的特征值和特征向量，我们需要求解方程Av=λv。

1. 寻找特征值对于一个 n×n 的矩阵 A，我们需要求解行列式 |A-λI|=0 的根，其中I 是 n 阶单位矩阵。

这样可以得到 A 的特征值。

2. 寻找特征向量对于每个特征值λ，我们需要求解方程组 (A-λI)v=0，其中 v 是特征向量。

解这个齐次方程组可以得到 A 的特征向量。

四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵对角化如果一个 n×n 的矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，那么可以找到对角矩阵 D 和可逆矩阵 P，使得 P^{-1}AP=D。

对角矩阵 D 中的对角元素就是特征值，P 中的列向量就是对应的特征向量。

2. 特征分解对于一个对称矩阵 A（A=A^T），可以进行特征分解，表示为A=QΛQ^T，其中 Q 是由 A 的特征向量组成的正交矩阵，Λ 是对角矩阵，其对角元素是 A 的特征值。

线性代数四五章知识点总结第四章：行列式1. 行列式的定义行列式是一个数学工具，它可以用来表示一个线性变换对体积的放大倍数。

对于一个n阶（n行n列）的方阵A，它的行列式记作det(A)，行列式的元素通常用aij表示，其中i代表行号，j代表列号。

2. 行列式的性质（1）行列式中的行（列）互换，则行列式变号。

（2）行列式的某一行（列）乘以一个数k，那么行列式的值也要乘以k。

（3）行列式中的某一行（列）的元素都是两个数的和，那么行列式等于两个行列式的和。

（4）若行列式中有两行（列）完全相同，则行列式的值为0。

3. 行列式的计算（1）余子式和代数余子式对于一个n阶行列式A，如果去掉第i行和第j列的元素后，剩下来的(n-1)阶行列式就是A的余子式，用Mij表示。

而对应的代数余子式就是Mij乘上(-1)^(i+j)。

（2）拉普拉斯（Laplace）展开定理通过代数余子式的计算，可以利用拉普拉斯展开定理来计算n阶行列式的值。

即对于一个n阶行列式A，其中的元素aij乘以对应的代数余子式Mij后相加，即可得到行列式的值。

第五章：特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的概念对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得Ax=λx，那么λ称为A 的特征值，x称为A对应于特征值λ的特征向量。

2. 特征值和特征向量的计算寻找一个矩阵的特征值和特征向量可以通过求解方程组(A-λI)x=0来得到。

其中A是待求矩阵，λ是特征值，x是特征向量，I是单位矩阵。

3. 特征值和特征向量的性质（1）特征值的性质：一个n阶方阵A的n个特征值之和等于它的主对角线元素之和，即Tr(A)=λ1+λ2+...+λn。

（2）特征向量的性质：如果A有n个不同的特征值λ1,λ2,...,λn，那么这n个特征值对应的n个特征向量是线性无关的。

4. 特征值与对角化如果一个n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，那么可以将它对角化成对角阵D，即找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=D。

矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，特征值与特征向量是矩阵理论中常被提到的概念。

在本文中，我们将详细介绍矩阵的特征值与特征向量，以及它们之间的关系和应用。

一、特征值与特征向量的定义矩阵A是一个n阶方阵，那么非零向量x是矩阵A的特征向量，如果满足以下条件：Ax = λx其中λ为实数，称为矩阵A的特征值。

特征向量是指在变换矩阵作用下，只发生缩放而不改变方向的向量。

特征值则是衡量该变换强度的标量。

二、求解特征值与特征向量的方法1. 特征值的求解要求解特征值，我们需要解方程|A-λI|=0，其中I为单位矩阵。

解这个方程就可以得到矩阵A的特征值。

2. 特征向量的求解当求得特征值λ之后，我们可以将其代入方程(A-λI)x=0中，通过高斯消元法求解得到特征向量。

三、特征值与特征向量的性质1. 特征值的重要性质矩阵A的特征值个数等于其阶数n，且特征值具有唯一性。

2. 特征向量的重要性质特征向量x与特征值λ的关系为：Ax = λx。

这表明特征向量在矩阵A的作用下只发生了缩放，而未改变方向。

3. 特征值与特征向量的关系同一特征值对应的特征向量可由标量倍数唯一确定。

四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵的对角化矩阵的特征值与特征向量可以被用于对矩阵进行对角化。

对角化使得矩阵运算更加简单，且能够揭示矩阵的某些性质。

2. 矩阵的相似性特征值与特征向量的概念也被用于定义矩阵的相似性。

相似矩阵具有相同的特征值。

3. 特征值在图像处理中的应用特征值与特征向量的概念在图像处理中有广泛的应用。

例如，它们可以用于图像压缩、边缘检测等领域。

五、总结矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念。

特征值是矩阵的度量，而特征向量则是与特征值相关联的向量。

通过求解特征值和特征向量，我们可以得到揭示矩阵性质的重要信息，并应用于各种实际问题中。

特征值与特征向量的概念在科学领域中有着广泛的应用，如物理学、生物学、经济学等。

它们的理解与掌握对于深入理解矩阵理论以及解决实际问题具有重要的意义。

第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。

定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。

性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。

由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。

矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的基本概念之一，它在许多科学领域中都有广泛的应用。

在矩阵中有两个与之相关的重要概念，即特征值和特征向量。

特征值和特征向量是矩阵在线性变换中非常有用的性质，它们可以帮助我们理解和描述线性变换的特点。

本文将重点探讨矩阵的特征值和特征向量的定义、性质以及应用。

1. 特征值与特征向量的定义矩阵A的特征值是指满足方程Av=λv的非零向量v以及对应的常数λ。

其中v是特征向量，λ是特征值。

换句话说，特征向量是矩阵作用后与自身平行（或成比例）的向量，而特征值则表示该向量在作用后的缩放倍数。

2. 计算特征值与特征向量的方法要计算一个矩阵的特征值与特征向量，需要解决特征值问题，即求解方程|A-λI|=0，其中I是单位矩阵。

解这个方程可以得到特征值的集合。

对于每个特征值λ，再解方程(A-λI)v=0，可以得到特征向量的集合。

3. 特征值与特征向量的性质特征值和特征向量有一些重要的性质：- 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。

- 矩阵的特征值与它的转置矩阵的特征值是相同的。

- 对于n阶矩阵，特征值的个数不超过n个。

- 特征向量可以线性组合，线性组合后的向量仍然是对应特征值的特征向量。

4. 特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用：- 特征值分解：通过特征值与特征向量的计算，可以将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积形式，这在数值计算和信号处理中非常有用。

- 矩阵对角化：特征值与特征向量可以将一个矩阵对角化，使得计算和处理更加简化和高效。

- 特征值的物理意义：在物理学中，特征值可以表示物理系统的某些性质，如量子力学中的能级等。

总结：矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念。

通过计算特征值与特征向量，可以帮助我们理解和描述线性变换的性质，进行矩阵的对角化处理，以及在数值计算和信号处理中应用。

矩阵的特征值和特征向量是线性代数学习中不可或缺的内容，对于深入理解线性变换和矩阵的性质具有重要的作用。