2018年秋九年级数学上册3.4.1相似三角形的判定第3课时利用两边及其夹角证相似练习湘教版
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湘教版数学九年级上册3.4《相似三角形的判定与性质》教学设计1一. 教材分析《相似三角形的判定与性质》是湘教版数学九年级上册3.4节的内容,本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的内角和定理等知识的基础上进行学习的。
本节内容主要让学生了解相似三角形的判定方法和性质,培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础,能够理解和掌握三角形的分类、内角和定理等基本知识。
但是,对于相似三角形的判定与性质,学生可能初次接触,理解起来可能存在一定的困难。
因此,在教学过程中,教师需要通过具体例题、引导学生动手操作等方式,帮助学生理解和掌握相似三角形的判定与性质。
三. 教学目标1.让学生掌握相似三角形的判定方法。
2.让学生了解相似三角形的性质。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点:相似三角形的判定方法,相似三角形的性质。
2.教学难点:相似三角形的判定与性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法,引导学生探究相似三角形的判定与性质。
2.利用多媒体辅助教学,展示相似三角形的判定与性质的应用。
3.学生进行小组讨论,培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关教学课件。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过一个实际问题引入相似三角形的概念,激发学生的学习兴趣。
例题:在ΔABC中,AB=AC,点D在BC上,且BD=DC。
求证:ΔABD∽ΔACD。
2.呈现(10分钟)教师引导学生观察上述例题,总结相似三角形的判定方法。
1.两角对应相等;2.两边对应成比例且夹角相等;3.三边对应成比例。
4.操练(10分钟)教师给出几个练习题,让学生运用判定方法进行解答。
1.判断ΔABC与ΔA’B’C’是否相似。
2.判断ΔABD与ΔACD是否相似。
3.巩固(10分钟)教师引导学生总结相似三角形的性质,并进行讲解。
第3课时 利用三边判定三角形相似学习目标:1、掌握并会推导相似三角形的判定定理3.2、会用相似三角形的判定定理1、2、3进行一些简单的判断、证明和计算.学习重点:灵活运用相似三角形的判定定理3证明和解决有关问题.预设难点:相似三角形的判定定理3的推导和应用.【预习案】一、链接1、回忆相似三角形的判定定理1、2的内容.定理1可简单说成: .定理2可简单说成: .2、简单说一说相似三角形的判定定理1、2的证明过程.二、导读结合课本和相似三角形的判定定理1、2的证明过程写一写相似三角形的判定定理3的证明过程.【探究案】【合作学习】画△ABC 与△A ′B ′C ′,使B A AB ''、C B BC ''和A C CA ''都等于给定的值k . (1)设法比较∠A 与∠A ′的大小;(2)△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗?说说你的理由.改变k 值的大小,再试一试.判定方法3:例1: 如图,在△ABC 和△ADE 中,AB AD =BC DE =AC AE,∠BAD=20°,求∠CAE 的度数.例2.如图,在正方形网格上有两个三角形111C B A 和,求证:△111C B A ∽△222C B A【训练案】1、如图,要使△ADE ∽△ABC ,只给出一个条件 即可.2、已知ΔABC 与ΔDEF 相似,AB=2,AC=10,BC=2,DE=1,DF=5,求EF 的长.(注意多种情况)3、如图,四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形,点R 为DE 的中点,BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q.(1)请写出图中相似三角形(相似比为1除外);(2)求BP:PQ:QR .。
第3课时利用两边及其夹角证相似知|识|目|标通过动手操作、思考、归纳,理解相似三角形的判定定理2,并能运用其证明三角形相似.目标利用两边及其夹角证明三角形相似例1 教材补充例题如图3-4-9,点D在△ABC的边AC上,要判断△ADB与△ABC相似,添加下列一个条件,不正确的是( )图3-4-9A.∠ADB=∠ABC B.∠ABD=∠CC.ADAB=ABACD.ABBD=CBCD【归纳总结】特别注意两边对应成比例,其中一边的对角对应相等时,这两个三角形不一定相似(类似于“边边角”不能判定三角形全等).例2 教材例6针对训练已知:如图3-4-10,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是AB,CB延长线上的点,CE=9,AD=15,连接DE.若BC=6,AC=8.求证:△ABC∽△DBE.图3-4-10【归纳总结】1.利用两边及其夹角判断两个三角形是否相似的方法(1)找到两个三角形中相等的角;(2)分别找到两个三角形中夹这个等角的两条边,并将它们按大小顺序排列;(3)看这两组边是否对应成比例,若成比例,则两个三角形相似,否则不相似.2.利用两边及其夹角判定两个三角形相似的三点注意(1)当两个三角形有公共角或对顶角时,常采用这种方法来判定两个三角形相似;(2)角:相等的角必须是两组对应边的夹角;(3)边:注意夹角的两边要对应,即长边与长边对应、短边与短边对应.知识点相似三角形的判定定理2如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:两边________且______相等的两个三角形相似.如图3-4-11,已知△ABC中,D为边AC上一点,P为边AB上一点,AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为多少时,△ADP和△ABC相似?图3-4-11解:当△ADP∽△ACB 时,AP AB =AD AC ,∴AP 12=68,∴AP =9. 上述解题过程完整吗?若不完整,请补充完整.详解详析【目标突破】例1 [解析] D 由于△ADB 与△ABC 有一个公共角∠A ,因此另外添加任何一对角相等都可以判定这两个三角形相似,添加夹公共角的两边对应成比例也可以判定它们相似,但是添加公共角的对边与一组邻边成比例则不能判定这两个三角形相似.例2 证明:∵在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =6,AC =8,∴AB =BC 2+AC 2=10, ∴DB =AD -AB =15-10=5,∴AB ∶DB =2∶1.又∵EB=CE -BC =9-6=3,∴BC ∶EB =2∶1,∴BC ∶EB =AB∶DB.又∵∠ABC=∠DBE,∴△ABC ∽△DBE.【总结反思】[小结] 知识点 成比例 夹角[反思] 解:不完整.上述的解答只是其中一种情形,还应补充的情形为:当△ADP∽△ABC时,AD AB =APAC,∴612=AP8,解得AP=4,∴当AP的长度为4或9时,△ADP和△ABC相似.。
第2课时 利用两边及夹角判定三角形相似学习目标:1、掌握并会推导相似三角形的判定定理2.2、会用相似三角形的判定定理2进行一些简单的判断、证明和计算.学习重点:灵活运用相似三角形的判定定理2证明和解决有关问题.预设难点:相似三角形的判定定理2的推导和应用.【预习案】一、链接1、 三角形一边的直线与其他两边(或 )相交,截得的三角形与原三角形 .2、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角 ,那么这两个三角形相似(可简单说成: ).3、如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边 ,并且夹角 ,那么这两个三角形全等(可简单说成: ).二、导读结合课本写一写相似三角形的判定定理2的证明过程.【探究案】【合作学习】1.(1)画△ABC 与△A ′B ′C ′,使∠A =∠A ′,B A AB ''和C A AC ''都等于给定的值k .设法比较 ∠B 与∠B ′(或∠C 与∠C ′)的大小,△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗?(2)改变k 值的大小,再试一试.判定方法2:2.如果△ABC 与△A ’B ’C ’两边成比例,且其中一边所对的角相等,那么这两个三角形一定相似吗?由此你能得到什么结论?结论:【例题学习】例: 如图,D ,E 分别是△ABC 的边AC ,AB 上的点,AE =1.5,AC =2,BC =3,且AD AB =34,求DE 的长. A B C ED【训练案】1、如图,D 是△ABC 一边BC 上的一点,△ABC ∽△DBA 的条件是( )A.AC AD BC BD =B. AC AB BC AD= C.AB 2=CD ·BC D.2AB =BD ·BC2、已知:如图,D 是△ABC 边AB 上的一点,且AC 2 =AD ·AB.求证:∠ADC=∠ACB.2 50° ) E D F 1.650° ) 4AB C 3.2。
第3课时利用三边判定三角形相似
●教学目的:使学生掌握三角形相似的判定定理3和它的应用.
●教学重点:判定定理3
●教学难点:判定定理3的应用
●教学过程:
一、 复习:
1.判定三角形相似目前有哪些方法?
2.回忆三角形相似判定定理1和2的证明的方法.
二、 新授
(一)导入新课
三角形全等的判定中AAS 和ASA 对应于相似三角形的判定的判定定理1,SAS 对应于相似三角形的判定的判定定理2,那么SSS 对应的三角形相似的判定命题是否正确,这就是本节研究的内容.(板书)
(二)做一做
画△ABC 与△A ′B ′C ′,使B A AB ''、C B BC ''和A C CA '
'都等于给定的值k. (1)设法比较∠A 与∠A ′的大小;
(2)△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗?说说你的理由.
改变k 值的大小,再试一试.
定理3:三边:成比例的两个三角形相似.
(三)例题学习
例:如图,在△ABC 和△ADE 中,AB AD =BC DE =AC AE
,∠BAD=20°,求∠CAE 的度数.
解:∵AB AD =BC DE =AC AE
, ∴△ABC ∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE ,
∴∠BAC -∠DAC=∠D AE -∠DAC ,
即∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°,
∴∠CAE=20°.
三、巩固练习
四、小结 本节学习了相似三角形的判定定理3,使用时一定要注意它使用的条件.
五、作业:
板书设计:
教学后记:。
第3课时 利用两边及其夹角证相似一、选择题1.如图K -23-1,要使△ACD ∽△ABC ,则它们必须具备的条件是( )图K -23-1A.AC CD =AB BC B.CD AD =BC AC C.CD AD =BD CD D.AC AD =AB AC2.2017·枣庄如图K -23-2,在△ABC 中,∠A =78°,AB =4,AC =6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )图K -23-2 图K -23-33.如图K -23-4,四边形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA ∶OC =OB ∶OD ,则下列结论中一定正确的是( )图K -23-4A .①②相似B .①③相似C .①④相似D .②③相似4.如图K -23-5,在等边三角形ABC 中,D 为AC 的中点,AE EB =13,则和△AED 相似的三角形有( )图K -23-5A .1个B .2个C .3个D .4个5.下列各组条件中,一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是( ) A .∠A =∠E 且∠D =∠F B .∠A =∠B 且∠D =∠F C .∠A =∠E 且AB AC =EF EDD .∠A =∠E 且AB BC =DF ED二、填空题6.2017·潍坊如图K -23-6,在△ABC 中,AB ≠AC .D ,E 分别为边AB ,AC 上的点.AC =3AD ,AB =3AE ,F 为BC 边上一点,添加一个条件:________,可以使得△FDB 与△ADE 相似.(只需写出一个)图K -23-67.如图K -23-7,在△ABC 中,分别以AB ,AC 为斜边作Rt △ABD 和Rt △ACE ,∠ADB =∠AEC =90°,∠ABD =∠ACE =30°,连接DE .若DE =5,则BC 的长为________.图K -23-78.2017·随州在△ABC 中,AB =6,AC =5,点D 在边AB 上,且AD =2,点E 在边AC上,当AE=________时,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似.三、解答题9.如图K-23-8,已知AC和BD交于点E,CE·AE=BE·DE.求证:△ABE∽△DCE.图K-23-810.已知:如图K-23-9,D,E是△ABC的边AB,AC上的点,AB=9,AD=4,AC=7.2,AE=5.求证:∠B=∠AED.图K-23-911.已知:如图K-23-10,在四边形ABCD中,∠BAD=∠CDA,AB=DC=ab,CE=a,AC=b.求证:(1)△DEC∽△ADC;(2)AE·AB=BC·DE.图K-23-1012.如图K-23-11,四边形ABCD是菱形,点E在AB的延长线上,连接AC,DE,DE 与BC,AC分别交于点F,G,且CD·AE=AC·AG.求证:(1)△ABC∽△AGE;(2)AB2=GD·DE.图K-23-1113.如图K-23-12所示,在△ABC中,∠C=90°,BC=8 cm,4AC=3BC,点P从点B 出发,沿BC方向以2 cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发,沿CA方向以1 cm/s的速度向点A移动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止移动.若P,Q分别从B,C同时出发,经过多长时间,△CPQ与△CBA相似?图K-23-1214.如图K-23-13,点C,D都在线段AB上,△PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△PAC∽△BPD?(2)当△PAC∽△BPD时,求∠APB的度数.图K-23-1315方程思想如图K-23-14,已知AB⊥BD,CD⊥BD.(1)若AB=9,CD=4,BD=10,则在BD上是否存在点P,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?若存在,求BP的长;若不存在,请说明理由.(2)若AB=9,CD=4,BD=12,则在BD上存在多少个点P,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长.图K-23-141.[答案] D2.[解析] C A项,阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两个三角形相似,故本选项不符合题意;B项,阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两个三角形相似,故本选项不符合题意;C项,不能证明两个三角形相似,故本选项符合题意;D项,两个三角形对应边成比例且夹角相等,故两个三角形相似,故本选项不符合题意.3.[解析] C∵OA∶OC=OB∶OD,∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD,C正确,故选C.4.[解析] C ∵△ABC 是等边三角形,∴AB =AC =BC.又∵D 是AC 的中点,∴BD ⊥AC ,∠ABD =30°,AD ∶AC =1∶2.∵AE EB =13,∴AE ∶AB =1∶4,∴AE ∶AD =1∶2=AD∶AB.又∵∠A=∠A,∴△AED ∽△ADB ,∴∠AED =∠ADB=90°.∵∠A =∠C=60°,CD ∶BC =AE∶AD=1∶2,∴△AED ∽△CDB.∵∠AED =∠DEB=90°,∠ADE =∠DBE=30°,∴△AED ∽△DEB ,故选C .5.解析] C A 项,∠D 和∠F 不是两个三角形的对应角,故本选项错误;B 项,∠A 和∠B,∠D 和∠F 不是两个三角形的对应角,故本选项错误;C 项,由∠A=∠E,AB AC=EF ED可以根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判断出△ABC 与△DEF 相似,故本选项正确;D 项,由∠A=∠E 且AB BC =DF ED不能判定△ABC 与△DEF 相似,因为相等的两个角不是夹角,故本选项错误.6.[答案] 答案不唯一,如DF∥AC 或∠BFD=∠A 等[解析] ∵∠A=∠A,AD AC =AE AB =13,∴△ADE ∽△ACB ,∴①当DF∥AC 时,△BDF ∽△BAC ,∴△BDF ∽△EAD.②当∠BFD=∠A 时,∵∠B =∠AED,∴△FBD ∽△AED.7.答案] 10[解析] 由题意可得AD∶AB=AE∶AC=1∶2,∠BAC =∠DAE =60°+∠DAC,∴△ABC ∽△ADE ,∴BC ∶DE =A B∶AD=2∶1,∴BC =10.8.[答案] 125或53[解析] 如图①,当AE AD =AB AC 时,∵∠A =∠A,∴△AED ∽△ABC ,此时AE =AB·AD AC =6×25=125;如图②,当AD AE =AB AC 时,∵∠A =∠A,∴△ADE ∽△ABC ,此时AE =AC·AD AB =5×26=53.故答案为125或53.9.证明:因为CE·AE=BE·DE,所以AE DE =BECE.又∠AEB=∠DEC,所以△ABE∽△DCE.10.证明:∵AB=9,AD =4,AC =7.2,AE =5, ∴AB AE =95=1.8,AC AD =7.24=1.8, ∴AB AE =AC AD. 又∵∠A=∠A,∴△ABC ∽△AED , ∴∠B =∠AED.11.证明:(1)∵DC=ab ,CE =a ,AC =b ,∴DC 2=CE·AC,即CE DC =DCAC.又∵∠ECD=∠DCA,∴△DEC ∽△ADC.(2)∵△DEC∽△ADC,∴∠DAE =∠CDE.又∵∠BAD=∠CDA,∴∠BAC =∠EDA.∵△DEC ∽△ADC ,∴DE AD =DC AC .∵DC=AB ,∴DE AD =AB AC ,即DE AB =AD AC ,∴△ADE ∽△CAB ,∴AE CB =DE AB ,即AE·AB=BC·DE.12.证明:(1)∵CD·AE=AC·AG,∴CD AG =ACAE .∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =CD ,∴AB AG =AC AE. 又∵∠BAC=∠GAE, ∴△ABC ∽△AGE.(2)∵△ABC∽△AGE,∴∠ACB =∠E.∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =AD ,BC ∥AD ,∴∠ACB =∠CAD=∠E.又∵∠ADG=∠ADE,∴△ADG ∽△EDA ,∴AD DE =GD AD ,∴AD 2=GD·DE,∴AB2=GD·DE.13.解:∵BC=8 cm ,4AC =3BC , ∴AC =6 cm .设经过t s ,△CPQ 与△CBA 相似, 此时BP =2t cm ,CQ =t cm , 则CP =(8-2t)cm (0<t<4).(1)当PQ∥AB 时,△CPQ ∽△CBA , 则CP CB =CQ CA ,即8-2t 8=t 6,解得t =2.4. (2)当CP CA =CQCB 时,△CPQ ∽△CAB ,则8-2t 6=t 8,解得t =3211. 故经过2.4 s 或3211 s ,△CPQ 与△CBA 相似.14.解:(1)∵△PCD 是等边三角形, ∴PC =CD =PD ,∠PCD =∠PDC=60°, ∴∠PCA =∠BDP=120°,∴只要满足AC PD =PCDB,△PAC ∽△BPD 即成立,∴当AC ,CD ,DB 满足AC CD =CD DB (或CD 2=AC ·DB)时,△PAC ∽△BPD.(2)∵△PAC∽△BPD, ∴∠BPD =∠A.又∵∠PDC=∠BPD+∠B=60°, ∴∠A +∠B=60°,∴∠APB =180°-∠A-∠B=120°. 15解:(1)存在. 设BP =x ,则PD =10-x.∵∠B =∠D,∴当AB∶PD=PB∶CD 时, △ABP ∽△PDC , 即9∶(10-x)=x∶4,整理得x 2-10x +36=0,此方程没有实数根; 当AB∶CD=PB∶PD 时,△ABP ∽△CDP ,即9∶4=x∶(10-x),解得x =9013,即BP 的长为9013.(2)存在两个点P.设BP =x ,则PD =12-x. ∵∠B =∠D,∴当AB∶PD=PB∶CD 时,△ABP ∽△PDC ,即9∶(12-x)=x∶4, 整理得x 2-12x +36=0,解得x 1=x 2=6; 当AB∶CD=PB∶PD 时,△ABP ∽△CDP , 即9∶4=x∶(12-x),解得x =10813,故BP 的长为6或10813.。