2018年秋九年级数学上册3.4.1相似三角形的判定第3课时利用两边及其夹角证相似练习湘教版
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湘教版数学九年级上册3.4《相似三角形的判定与性质》教学设计1一. 教材分析《相似三角形的判定与性质》是湘教版数学九年级上册3.4节的内容,本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的内角和定理等知识的基础上进行学习的。
本节内容主要让学生了解相似三角形的判定方法和性质,培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础,能够理解和掌握三角形的分类、内角和定理等基本知识。
但是,对于相似三角形的判定与性质,学生可能初次接触,理解起来可能存在一定的困难。
因此,在教学过程中,教师需要通过具体例题、引导学生动手操作等方式,帮助学生理解和掌握相似三角形的判定与性质。
三. 教学目标1.让学生掌握相似三角形的判定方法。
2.让学生了解相似三角形的性质。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点:相似三角形的判定方法,相似三角形的性质。
2.教学难点:相似三角形的判定与性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法,引导学生探究相似三角形的判定与性质。
2.利用多媒体辅助教学,展示相似三角形的判定与性质的应用。
3.学生进行小组讨论,培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关教学课件。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过一个实际问题引入相似三角形的概念,激发学生的学习兴趣。
例题:在ΔABC中,AB=AC,点D在BC上,且BD=DC。
求证:ΔABD∽ΔACD。
2.呈现(10分钟)教师引导学生观察上述例题,总结相似三角形的判定方法。
1.两角对应相等;2.两边对应成比例且夹角相等;3.三边对应成比例。
4.操练(10分钟)教师给出几个练习题,让学生运用判定方法进行解答。
1.判断ΔABC与ΔA’B’C’是否相似。
2.判断ΔABD与ΔACD是否相似。
3.巩固(10分钟)教师引导学生总结相似三角形的性质,并进行讲解。
第3课时 利用两边及其夹角证相似一、选择题1.如图K -23-1,要使△ACD ∽△ABC ,则它们必须具备的条件是( )图K -23-1A.AC CD =AB BC B.CD AD =BC AC C.CD AD =BD CD D.AC AD =AB AC2.2017·枣庄如图K -23-2,在△ABC 中,∠A =78°,AB =4,AC =6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )图K -23-2 图K -23-33.如图K -23-4,四边形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA ∶OC =OB ∶OD ,则下列结论中一定正确的是( )图K -23-4A .①②相似B .①③相似C .①④相似D .②③相似4.如图K -23-5,在等边三角形ABC 中,D 为AC 的中点,AE EB =13,则和△AED 相似的三角形有( )图K -23-5A .1个B .2个C .3个D .4个5.下列各组条件中,一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是( ) A .∠A =∠E 且∠D =∠F B .∠A =∠B 且∠D =∠F C .∠A =∠E 且AB AC =EF EDD .∠A =∠E 且AB BC =DF ED二、填空题6.2017·潍坊如图K -23-6,在△ABC 中,AB ≠AC .D ,E 分别为边AB ,AC 上的点.AC =3AD ,AB =3AE ,F 为BC 边上一点,添加一个条件:________,可以使得△FDB 与△ADE 相似.(只需写出一个)图K -23-67.如图K -23-7,在△ABC 中,分别以AB ,AC 为斜边作Rt △ABD 和Rt △ACE ,∠ADB =∠AEC =90°,∠ABD =∠ACE =30°,连接DE .若DE =5,则BC 的长为________.图K -23-78.2017·随州在△ABC 中,AB =6,AC =5,点D 在边AB 上,且AD =2,点E 在边AC上,当AE=________时,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似.三、解答题9.如图K-23-8,已知AC和BD交于点E,CE·AE=BE·DE.求证:△ABE∽△DCE.图K-23-810.已知:如图K-23-9,D,E是△ABC的边AB,AC上的点,AB=9,AD=4,AC=7.2,AE=5.求证:∠B=∠AED.图K-23-911.已知:如图K-23-10,在四边形ABCD中,∠BAD=∠CDA,AB=DC=ab,CE=a,AC=b.求证:(1)△DEC∽△ADC;(2)AE·AB=BC·DE.图K-23-1012.如图K-23-11,四边形ABCD是菱形,点E在AB的延长线上,连接AC,DE,DE 与BC,AC分别交于点F,G,且CD·AE=AC·AG.求证:(1)△ABC∽△AGE;(2)AB2=GD·DE.图K-23-1113.如图K-23-12所示,在△ABC中,∠C=90°,BC=8 cm,4AC=3BC,点P从点B 出发,沿BC方向以2 cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发,沿CA方向以1 cm/s的速度向点A移动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止移动.若P,Q分别从B,C同时出发,经过多长时间,△CPQ与△CBA相似?图K-23-1214.如图K-23-13,点C,D都在线段AB上,△PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△PAC∽△BPD?(2)当△PAC∽△BPD时,求∠APB的度数.图K-23-1315方程思想如图K-23-14,已知AB⊥BD,CD⊥BD.(1)若AB=9,CD=4,BD=10,则在BD上是否存在点P,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?若存在,求BP的长;若不存在,请说明理由.(2)若AB=9,CD=4,BD=12,则在BD上存在多少个点P,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长.图K-23-141.[答案] D2.[解析] C A项,阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两个三角形相似,故本选项不符合题意;B项,阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两个三角形相似,故本选项不符合题意;C项,不能证明两个三角形相似,故本选项符合题意;D项,两个三角形对应边成比例且夹角相等,故两个三角形相似,故本选项不符合题意.3.[解析] C∵OA∶OC=OB∶OD,∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD,C正确,故选C.4.[解析] C ∵△ABC 是等边三角形,∴AB =AC =BC.又∵D 是AC 的中点,∴BD ⊥AC ,∠ABD =30°,AD ∶AC =1∶2.∵AE EB =13,∴AE ∶AB =1∶4,∴AE ∶AD =1∶2=AD∶AB.又∵∠A=∠A,∴△AED ∽△ADB ,∴∠AED =∠ADB=90°.∵∠A =∠C=60°,CD ∶BC =AE∶AD=1∶2,∴△AED ∽△CDB.∵∠AED =∠DEB=90°,∠ADE =∠DBE=30°,∴△AED ∽△DEB ,故选C .5.解析] C A 项,∠D 和∠F 不是两个三角形的对应角,故本选项错误;B 项,∠A 和∠B,∠D 和∠F 不是两个三角形的对应角,故本选项错误;C 项,由∠A=∠E,AB AC=EF ED可以根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判断出△ABC 与△DEF 相似,故本选项正确;D 项,由∠A=∠E 且AB BC =DF ED不能判定△ABC 与△DEF 相似,因为相等的两个角不是夹角,故本选项错误.6.[答案] 答案不唯一,如DF∥AC 或∠BFD=∠A 等[解析] ∵∠A=∠A,AD AC =AE AB =13,∴△ADE ∽△ACB ,∴①当DF∥AC 时,△BDF ∽△BAC ,∴△BDF ∽△EAD.②当∠BFD=∠A 时,∵∠B =∠AED,∴△FBD ∽△AED.7.答案] 10[解析] 由题意可得AD∶AB=AE∶AC=1∶2,∠BAC =∠DAE =60°+∠DAC,∴△ABC ∽△ADE ,∴BC ∶DE =A B∶AD=2∶1,∴BC =10.8.[答案] 125或53[解析] 如图①,当AE AD =AB AC 时,∵∠A =∠A,∴△AED ∽△ABC ,此时AE =AB·AD AC =6×25=125;如图②,当AD AE =AB AC 时,∵∠A =∠A,∴△ADE ∽△ABC ,此时AE =AC·AD AB =5×26=53.故答案为125或53.9.证明:因为CE·AE=BE·DE,所以AE DE =BECE.又∠AEB=∠DEC,所以△ABE∽△DCE.10.证明:∵AB=9,AD =4,AC =7.2,AE =5, ∴AB AE =95=1.8,AC AD =7.24=1.8, ∴AB AE =AC AD. 又∵∠A=∠A,∴△ABC ∽△AED , ∴∠B =∠AED.11.证明:(1)∵DC=ab ,CE =a ,AC =b ,∴DC 2=CE·AC,即CE DC =DCAC.又∵∠ECD=∠DCA,∴△DEC ∽△ADC.(2)∵△DEC∽△ADC,∴∠DAE =∠CDE.又∵∠BAD=∠CDA,∴∠BAC =∠EDA.∵△DEC ∽△ADC ,∴DE AD =DC AC .∵DC=AB ,∴DE AD =AB AC ,即DE AB =AD AC ,∴△ADE ∽△CAB ,∴AE CB =DE AB ,即AE·AB=BC·DE.12.证明:(1)∵CD·AE=AC·AG,∴CD AG =ACAE .∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =CD ,∴AB AG =AC AE. 又∵∠BAC=∠GAE, ∴△ABC ∽△AGE.(2)∵△ABC∽△AGE,∴∠ACB =∠E.∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =AD ,BC ∥AD ,∴∠ACB =∠CAD=∠E.又∵∠ADG=∠ADE,∴△ADG ∽△EDA ,∴AD DE =GD AD ,∴AD 2=GD·DE,∴AB2=GD·DE.13.解:∵BC=8 cm ,4AC =3BC , ∴AC =6 cm .设经过t s ,△CPQ 与△CBA 相似, 此时BP =2t cm ,CQ =t cm , 则CP =(8-2t)cm (0<t<4).(1)当PQ∥AB 时,△CPQ ∽△CBA , 则CP CB =CQ CA ,即8-2t 8=t 6,解得t =2.4. (2)当CP CA =CQCB 时,△CPQ ∽△CAB ,则8-2t 6=t 8,解得t =3211. 故经过2.4 s 或3211 s ,△CPQ 与△CBA 相似.14.解:(1)∵△PCD 是等边三角形, ∴PC =CD =PD ,∠PCD =∠PDC=60°, ∴∠PCA =∠BDP=120°,∴只要满足AC PD =PCDB,△PAC ∽△BPD 即成立,∴当AC ,CD ,DB 满足AC CD =CD DB (或CD 2=AC ·DB)时,△PAC ∽△BPD.(2)∵△PAC∽△BPD, ∴∠BPD =∠A.又∵∠PDC=∠BPD+∠B=60°, ∴∠A +∠B=60°,∴∠APB =180°-∠A-∠B=120°. 15解:(1)存在. 设BP =x ,则PD =10-x.∵∠B =∠D,∴当AB∶PD=PB∶CD 时, △ABP ∽△PDC , 即9∶(10-x)=x∶4,整理得x 2-10x +36=0,此方程没有实数根; 当AB∶CD=PB∶PD 时,△ABP ∽△CDP ,即9∶4=x∶(10-x),解得x =9013,即BP 的长为9013.(2)存在两个点P.设BP =x ,则PD =12-x. ∵∠B =∠D,∴当AB∶PD=PB∶CD 时,△ABP ∽△PDC ,即9∶(12-x)=x∶4, 整理得x 2-12x +36=0,解得x 1=x 2=6; 当AB∶CD=PB∶PD 时,△ABP ∽△CDP , 即9∶4=x∶(12-x),解得x =10813,故BP 的长为6或10813.。